Exercícios sobre Números Complexos

Prof Antunes Mendes Geometria Analítica 1ºsem2017 Prof Antunes Mendes Disciplina Cálculo 4 Turma Engenharia Exercícios sobre Números Complexos 1 Efetue as operações indicadas escrevendo o resultado na forma algébrica bi a z a 5 2 3 i i b 1 2 1 3 1 i i c 3 5 2 1 3 2 i i i d i i 3 2 3 1 2 1 e 1 2 1 1 1 i i i f i i i 1 4 2 5 3 7 g 4 2 3 1 2 i ii h 3 4 5 3 5 16 i i i i 2 11 3 i i i j i i i 3 3 4 4 3 k i i i 1 2 3 1 2 Dados os números complexos i z 2 1 1 i z 3 1 2 e i z 2 2 3 calcule a z1 z2 b z1 z2 z3 c z12 z2 d z22 z32 z12 3 Represente no plano complexo e obtenha z e o argumento de z a i z 1 b i z 3 c i z 5 d i z 2 2 3 4 Determine o argumento dos números complexos dados expresse na forma trigonométrica polar e representeos geometricamente a 𝑧 3 𝑖 R 𝑧 2 𝑐𝑜𝑠 5𝜋 6 𝑖 𝑠𝑒𝑛 5𝜋 6 b 𝑧 2 2𝑖 R 𝑧 22 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 4 𝑖 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 4 c 𝑧 1 3𝑖 R 𝑧 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋 3 d 𝑧 1 2𝑖 R 𝑧 5𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑚 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1 5 e 𝑧 4 𝑖 R 𝑧 17𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑚 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 4 17 f 𝑧 3 2𝑖 g i z 1 h i z 2 i i z 3 j 𝑧 1 𝑖 5 Expresse na forma algébrica 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 o número complexo cuja forma polar é dada a 𝑧 5 𝑐𝑜𝑠 7𝜋 6 𝑖 𝑠𝑒𝑛 7𝜋 6 R 53 2 5 2 𝑖 b 𝑧 82 𝑐𝑜𝑠 11𝜋 4 𝑖 𝑠𝑒𝑛 11𝜋 4 c 𝑧 6 𝑐𝑜𝑠 𝜋 8 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋 8 d 𝑧 10 𝑐𝑜𝑠 𝜋 5 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋 5 e 6 2 cos 6 isen z f 0 5 cos 0 isen z g isen z 4 cos h 4 5 6 cos54 isen z Vídeo httpswwwyoutubecomwatchvoKcei606KS8 01 Se i é a unidade imaginária qual é o valor da soma 50 49 3 2 i i i i i Prof Antunes Mendes Geometria Analítica 1ºsem2017 02 UFAL Se o complexo a bi é o produto dos números complexos i z 2 e i w 3 4 então a b vale 03 UFPA Qual é o valor de m para que o produto i mi 3 2 seja um imaginário puro 04 Ache os valores reais de 0 0 e n m e n m que tornam verdadeira a igualdade i ni m i 2 1 3 4 05 Determine o valor de A em cada um dos seguintes casos a 10 0 n ni A b 20 19 3 2 i i i i i A 06 UFPA Numa PG de quatro termos a soma dos termos de ordem ímpar é 1i e a soma dos termos de ordem par é i2 onde i é a unidade imaginária Determine o número complexo a bi que representa a razão desta progressão 07 Simplifique a expressão i i i i 2 2 2 2 08 Qual o conjugado do número complexo i i i 3 2 2 3 2 09 Calcule ab sabendo que i b i i i a 2 1 3 2 3 10 UnisaSP Calcular 78 77 16 15 i i i i S 11 O determinante 0 1 1 1 1 1 i i i i i define um número complexo Determine o módulo desse complexo 12 UFPelRS Um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem tem como um de seus vértices o afixo de i z 1 3 Que números complexos são representados pelos outros três vértices 13 Os números complexos z tais que 13 4 z z z z são representados no plano de ArgandGauss pelos pontos A e B Qual é a área do triângulo ABO em que O é a origem do plano 14 UFPelRS Dado um número complexo i z 2 1 escreva na forma algébrica o complexo z 1 15 UFAL Seja o número complexo 106 105 104 103 102 101 i i i i i i z Calcule 2z 16 Dado o complexo z tal que 0 1 2 i z iz determine z1004 18 Determine z C tal que 2 2 iz z 19 UFCE Se i representa o número complexo cujo quadrado é igual a 1 determine o valor numérico da soma 27 3 2 1 i i i i 20 FuvestSP Determine todas as soluções no campo complexo da equação z iz2 onde i é a unidade imaginária isto é 1 2 i e z é o conjugado de z 21 UFAL dados os números complexos i z 2 3 1 e i z 5 2 2 qual é o valor de 2 1 z2 z Prof Antunes Mendes Geometria Analítica 1ºsem2017 22 UFCE Sejam 1z e 2z os números complexos que são raízes da equação 1 1 x x Determine o valor de 2 1 z z 23 UFSC Dada a expressão 7 2 2 zi z z sendo z um número complexo determine 2 z 24 UFMS Dados os números complexos 6 2 cos 6 isen z e 3 2 2 3 i i i w determine a parte real de 4 6 w z A 25 UnBDF Julgue os itens abaixo Quais deles são verdadeiros a Para o número complexo i z 2 temse i z z z 3 7 8 4 3 3 b O número complexo 12 1 1 i é igual a 12i 1 c Se x e y são números reais tais que i y ix iy x 5 7 5 2 3 então x y 1 26 UFPE Encontre o menor número natural n maior do que 10 tal que 3 i n seja um número complexo imaginário puro 27 UFUMG Calcule as raízes quartas do complexo i z 88 3 28 FEISP Dado o número complexo 3 1 i z a Escreva na forma algébrica o complexo z 1 b Escreva o complexo z na forma trigonométrica 29 Dados os complexos 6 8 cos 6 1 i sen z e 3 5 3 4 cos5 2 i sen z a Calcule 1 z2 z 2 1 z z e 1 2 z z b Escreva as respostas do item anterior na forma algébrica 30 UCMG O produto dos três números complexos 40 2 cos 40 1 i sen z 135 3 cos135 2 i sen z e 125 1 cos125 3 isen z é igual a 31 MACKSP O número 1 i 10 é igual a 32 UFSC Dado o número complexo 3 2 cos 3 i sen z determinar o valor de 3 6 z 2z 33 UnBDF Sejam 1 2 i z um número complexo z o seu conjugado e z seu módulo Julgue os itens seguintes a Se z 1 então z z1 b Se z 1 é tal que z5 1 então 0 5 4 3 2 z z z z z c Se n é um número inteiro positivo múltiplo de 4 então 1i n é um número real d 1 1 1995 2 i i i Quais são verdadeiros 34 UFBA Determine a soma das soluções da equação 3 8 8 4 i x 35 FatecSP Sejam os números complexos i z 2 1 1 e i z 2 1 1 2 O argumento principal de 2 1 z z é Prof Antunes Mendes Geometria Analítica 1ºsem2017 36 CefetMG O número complexo z em sua forma trigonométrica que verifica a equação 0 1 2 i z iz é 37 UFUMG Sejam 1z e 2z números complexos que satisfazem a condição 2 1 z zi em que 1 2 i Assim podese afirmar que a 2 1 z z b 1z e 2z são simétricos com relação ao eixo Ox c 1z e 2z são simétricos com relação ao eixo Ox d 1z e 2z são simétricos com relação à reta y x e 1z e 2z são simétricos com relação à reta x y 38 No plano de ArgandGauss as imagens dos complexos z tais que z z 6 e z z 10 são vértices de um polígono regular a Qual é o perímetro desse polígono b Qual é a área desse polígono 39 VunespSP Considere os números complexos i w 4 2 e ai a z 3 4 em que a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária Se em centímetros altura de um triângulo é z e a base é a parte real de z w determine a de modo que a área do triângulo seja 2 90cm 40 EURJ João desenhou um mapa no quintal de sua casa onde enterrou um cofre Para isso usou um sistema de coordenadas retangulares colocando a origem O na base de uma mangueira e os eixos Ox e Oy com sentidos oeste leste e sul norte respectivamente Nesse sistema cada ponto é a re11presentação de um número complexo yi x z em que x y e 1 2 i Para indicar a posição x1 y1 e a distância d do cofre à origem João escreveu a seguinte observação no canto do mapa 9 1 1 1 i iy x Calcule a as coordenadas de x1 y1 b o valor de d 41 Sendo bi a z um número complexo mostre que a z z b z z 42 Sendo z e w números complexos mostre que a w z w z b w z w z c z w z w Respostas 01 02 15 03 6 04 1 2 e n m 05 1i 06 3 1 6 5 2 07 5 32 5 24 i z 08 5 5 e b a 09 0 10 2 2 11 3i 3 i 33 12 XXX 13 i z 3 2 3 1 14 i2 15 zero 16 i i e z i z z z 2 1 2 3 2 1 2 3 0 4 3 2 1 17 377 18 1 19 5 20 56 21 a c 22 n 15 23 i e i i i 3 3 1 3 3 1 24 a 4 i 3 4 1 b 3 2 cos 3 i sen z 25 XXX 26 3 3 3 i 27 32i 28 80 29 a c 30 zero Bons Estudos