Lista de Exercícios: Números Complexos e Funções Complexas

Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas Prof Antunes Mendes Disciplina Cálculo 4 Turma Engenharia Lista de Exercícios Números Complexos Funções Complexas 01 Escreva o número dado na forma 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 a 3𝑖5 𝑖4 7𝑖3 10𝑖2 9 b 5 𝑖 2 𝑖3 20 𝑖18 c 2𝑖6 2 𝑖 5𝑖5 12𝑖 d 1𝑖12𝑖 2𝑖43𝑖 e 2 3𝑖 2𝑖 12𝑖 2 02 Resolva os sistemas de equações para 𝑧1 e 𝑧2 a 𝑖𝑧1 𝑖𝑧2 2 10i 𝑧1 1 𝑖𝑧2 3 5i b 𝑖𝑧1 1 𝑖𝑖𝑧2 1 2i 2 𝑖𝑧1 2i𝑧2 4i 03 Escreva o número dado na forma 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 a 𝑧 1 3𝑖2 b 𝑧 5𝑧 04 Descreva o conjunto de pontos z no plano cartesiano que satisfazem a equação dada a 𝑧 2 𝑅𝑒𝑧 b 𝐼𝑚𝑖𝑧2 2 c 𝑅𝑒𝑧2 3 𝑖 d 𝑧 𝑖 2𝑧 1 05 Comprove as desigualdades simultâneas dadas a Se 𝑧 2 então 8 𝑧 6 8𝑖 12 b Se 𝑧 1 então 2 𝑧2 3 4 06 Determine um número complexo z que satisfaça a equação dada a 𝑧 𝑧 2𝑖 b 𝑧2 1 12𝑖 6𝑧 07 Dado o número complexo na forma polar escreva na forma 𝑥 𝑦𝑖 8𝑐𝑜𝑠3𝜋 8 𝑖 𝑠𝑒𝑛3𝜋 8 3 2𝑐𝑜𝑠 𝜋 16𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋 16 3 08 Calcule todas as raízes a 1 𝑖3 1 2 b 16𝑖 1𝑖 1 8 c 1𝑖 3𝑖 1 6 09 Use o fato de que 8𝑖 2 2𝑖2 para determinar todas as soluções da equação 𝑧2 8𝑧 16 8𝑖 10 Esboce no plano complexo o gráfico da equação dada a 𝑧 4 3𝑖 5 b 𝐼𝑚𝑧 3𝑖 6 c 𝐼𝑚𝑧 𝑖 𝑅𝑒𝑧 4 3𝑖 d 𝑧2 𝑧2 2 11 Desenhe o conjunto S de todos os pontos no plano complexo que satisfazem a desigualdade dada a 𝑅𝑒2 𝑖𝑧 1 0 b 1 𝐼𝑚𝑧 4 c 2 𝑧 𝑖 3 d 1 𝑧 1 𝑖 2 e 2 𝑧 3 4𝑖 5 f 𝑧 3 𝑧 3 10 12 Resolva as equações Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas a 𝑧2 𝑖𝑧 2 0 b 𝑖𝑧2 𝑧 𝑖 0 c 𝑧2 𝑖𝑧 2 0 d 𝑧2 1 𝑖𝑧 6 17𝑖 0 e 𝑧2 1 9𝑖𝑧 20 5𝑖 0 13 Expresse o número complexo dado na forma exponencial 𝑧 𝑟𝑒𝑖𝜃 a 4 4𝑖 b 2𝜋𝑖 c 2 1𝑖 d 1 𝑖20 14 Calcule o valor da função complexa f nos pontos indicados 1 𝑧2𝑧 2𝑖 𝑎1 𝑖 𝑏3 2𝑖 2 𝑓𝑧 ln𝑧 𝑖𝐴𝑟𝑔𝑧 𝑎4𝑖 𝑏1 𝑖 3 𝑓𝑧 𝑧2 2𝑅𝑒𝑖𝑧 𝑧 𝑎3 4𝑖 𝑏1 2𝑖 4 𝑓𝑧 𝑥𝑦 𝑥2 3𝑥 𝑦 𝑎3𝑖 𝑏3 5𝑖 5 𝑓𝑧 𝑟 𝑖 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑎 2𝑖 𝑏2 𝑖 6 𝑓𝑧 𝑟 𝑠𝑒𝑛3𝜃 𝑖 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑎 2 𝑏 5𝑖 15 Determine as partes real e imaginária u e v da função complexa f em termos de x e y a 𝑓𝑧 6𝑧 5 9𝑖 b 𝑓𝑧 3𝑧 2𝑧 𝑖 c 𝑓𝑧 𝑧3 2𝑧 6 d 𝑓𝑧 𝑧2 𝑧2 e 𝑓𝑧 𝑧 𝑧1 f 𝑓𝑧 𝑧 1 𝑧 g 𝑓𝑧 𝑒2𝑧𝑖 h 𝑓𝑧 𝑒𝑧2 16 Determine o domínio da função complexa f dada a 𝑓𝑧 2𝑅𝑒𝑧 𝑖𝑧2 b 𝑓𝑧 3𝑧2𝑖 𝑧34𝑧2𝑧 c 𝑓𝑧 𝑖𝑧 𝑧1 d 𝑓𝑧 𝑖𝑧 𝑧1 17 Determine as partes real e imaginária u e v da função complexa f em termos de 𝑟 e 𝜃 a 𝑓𝑧 𝑧 b 𝑓𝑧 𝑧 c 𝑓𝑧 𝑧4 d 𝑓𝑧 𝑧 1 𝑧 e 𝑓𝑧 𝑒𝑧 f 𝑓𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑦𝑖 18 Considere 𝑧 𝑥 𝑖𝑦 Determine como expressar 𝑥 e 𝑦 em termos de 𝑧 e 𝑧 A seguir escreva as seguintes funções em termos dos símbolos de 𝑧 e 𝑧 a 𝑓𝑧 𝑥2 𝑦2 b 𝑓𝑧 𝑥 2𝑦 2 6𝑥 𝑦𝑖 c 𝑓𝑧 𝑥2 𝑦2 5𝑥𝑦𝑖 d 𝑓𝑧 3𝑦2 3𝑥2𝑖 19 Determine o período de cada uma das funções a seguir a 𝑓𝑧 𝑒𝑧𝜋 b 𝑓𝑧 𝑒𝑧𝜋 c 𝑓𝑧 𝑒2𝑖𝑧 d 𝑓𝑧 𝑒3𝑧𝑖 20 Expresse a função f na forma 𝑓𝑧 𝑢𝑥 𝑦 𝑖𝑣𝑥 𝑦 a 𝑓𝑧 𝑒𝑖𝑧 b 𝑓𝑧 𝑒2𝑧𝑖 c 𝑓𝑧 𝑒𝑧2 d 𝑓𝑧 𝑒 1 𝑧 21 Determine todos os valores complexos do logaritmo dado a ln5 b ln𝑒𝑖 c ln2 2𝑖 d ln1 𝑖 e ln2 𝑖6 f ln3 𝑖 22 Escreva o valor principal do logaritmo na forma 𝑎 𝑏𝑖 a ln6 6𝑖 b ln𝑒2 c ln12 5𝑖 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas d ln3 4𝑖 e ln 1 𝑖3 5 f ln1 𝑖4 23 Determine todos os valores complexos que satisfazem a equação dada a 𝑒𝑧 4𝑖 b 𝑒 1 𝑧 1 c 𝑒𝑧1 𝑖𝑒3 d 𝑒2𝑧 𝑒𝑧 1 0 24 Calcule os limites complexos a lim𝑧2𝑖𝑧2 𝑧 b lim𝑧1𝑖 𝑧𝑧 𝑧𝑧 c lim𝑧1𝑖𝑧2 𝑖𝑧 d lim𝑧3𝑖 𝐼𝑚𝑧2 𝑧𝑅𝑒𝑧 e lim𝑧𝜋𝑖 𝑒𝑧 f lim𝑧0 𝑧2𝑧2 𝑅𝑒𝑧𝐼𝑚𝑧 g lim𝑧0 𝑒𝑧𝑒𝑧 𝐼𝑚𝑧 h lim𝑧1𝑖 𝑙𝑛𝑥2 𝑦2 𝑖 arctan 𝑦 𝑥 g lim𝑧𝑧0 𝑎𝑧𝑏𝑎𝑧0𝑏 𝑧𝑧0 h lim𝑧3𝑖2 𝑧3𝑖2 𝑧26𝑧11 25 Use o teorema lim𝑧𝑧0 𝑓𝑧 𝑓𝑧0 a lim𝑧2𝑖 𝑧2 𝑧 b lim𝑧𝑖 𝑧5 𝑧2 𝑧 c lim𝑧𝑒𝑖𝜋4𝑧 1 𝑧 d lim𝑧1𝑖 𝑧21 𝑧21 e lim𝑧𝑖 𝑧41 𝑧𝑖 f lim𝑧2𝑖 𝑧22𝑖2 𝑧2𝑖 26 Resolva os limites a lim𝑧 𝑧2𝑖𝑧2 12𝑖𝑧2 b lim𝑧 𝑖𝑧1 2𝑧𝑖 c lim𝑧𝑖 𝑧21 𝑧21 d lim𝑧𝑖2 1𝑖𝑧𝑖 2𝑧𝑖 e lim𝑧 𝑧223𝑖𝑧1 𝑖𝑧3 f lim𝑧𝑖 𝑧21 𝑧2𝑧1𝑖 27 Mostre que a função 𝑓 é contínua no ponto especificado a 𝑓𝑧 𝑧2 𝑖𝑧 3 2𝑖 ponto 𝑧0 2 𝑖 b 𝑓𝑧 𝑧3 1 𝑧 ponto 𝑧0 3𝑖 c 𝑓𝑧 𝑧3 𝑧33𝑧2𝑧 ponto 𝑧0 𝑖 d 𝑓𝑧 𝑧3𝑖 𝑧22𝑧1 ponto 𝑧0 1 𝑖 e 𝑓𝑧 𝑧31 𝑧1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 1 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 1 ponto 𝑧0 1 f 𝑓𝑧 𝑧31 𝑧2𝑧1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 1 1𝑖3 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 1 ponto 𝑧0 1𝑖3 2 g 𝑓𝑧 𝑧 3𝑅𝑒𝑧 𝑖 ponto 𝑧0 3 2𝑖 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas h 𝑓𝑧 𝑅𝑒𝑧 𝑧2𝑧 2𝑧2 ponto 𝑧0 𝑒𝑖𝜋4 28 Mostre que a função 𝑓é descontínua no ponto especificado a 𝑓𝑧 𝑧21 𝑧𝑖 ponto 𝑧0 𝑖 b 𝑓𝑧 1 𝑧1 ponto 𝑧0 𝑖 c 𝑓𝑧 Arg 𝑧 ponto 𝑧0 1 d 𝑓𝑧 Arg 𝑖𝑧 ponto 𝑧0 𝑖 e 𝑓𝑧 𝑧31 𝑧1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 1 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 1 ponto 𝑧0 𝑖 g 𝑓𝑧 𝑧 𝑧 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 0 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 0 ponto 𝑧0 0 29 Use a definição 𝑓𝑧 lim𝑧0 𝑓𝑧𝑧𝑓𝑧 𝑧 a 𝑓𝑧 9𝑖𝑧 2 3𝑖 b 𝑓𝑧 𝑖𝑧3 7𝑧2 c 𝑓𝑧 𝑧2 30 Calcule 𝑓𝑧 das funções dadas a 𝑓𝑧 2 𝑖𝑧5 𝑖𝑧4 3𝑧2 𝑖6 b 𝑓𝑧 5𝑖𝑧3 10𝑧2 3 4𝑖 c 𝑓𝑧 𝑧6 1𝑧2 𝑧 1 5𝑖 d 𝑓𝑧 𝑧2 2𝑧 7𝑖5𝑧4 4𝑖𝑧3 e 𝑓𝑧 𝑖𝑧22𝑧 3𝑧1𝑖 f 𝑓𝑧 5𝑖𝑧2 2𝑖 𝑧2 g 𝑓𝑧 𝑧4 2𝑖𝑧2 𝑧10 h 𝑓𝑧 42𝑖 2𝑖𝑧29𝑖3 31 Mostre que a função 𝑓𝑧 0 𝑧 0 𝑥3𝑦3 𝑥2𝑦2 𝑖 𝑥3𝑦3 𝑥2𝑦2 𝑧 0 não é diferenciável em 𝑧 0 32 Use a regra de LHospital para calcular o limite desejado a lim𝑧𝑖 𝑧7𝑖 𝑧141 b lim𝑧1𝑖 𝑧64𝑧 𝑧22𝑧2 c lim𝑧2𝑖2 𝑧416 𝑧222𝑧4 d lim𝑧𝑖2 𝑧35𝑧22𝑧10 𝑧52𝑧3 33 Determine os pontos em que a função dada não é analítica a 𝑓𝑧 𝑖𝑧22𝑧 3𝑧1𝑖 b 𝑓𝑧 5𝑖𝑧2 2𝑖 𝑧2 c 𝑓𝑧 𝑧4 2𝑖𝑧2 𝑧10 d 𝑓𝑧 42𝑖 2𝑖𝑧29𝑖3 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas 34 Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto a 𝑓𝑧 𝑅𝑒𝑧 b 𝑓𝑧 𝑦 𝑖𝑥 c 𝑓𝑧 4𝑧 6𝑧 3 d 𝑓𝑧 𝑥2 𝑦2 e 𝑓𝑧 𝑥 𝑥2𝑦2 𝑖 𝑦 𝑥2𝑦2 35 Mostrar que a função dada é analítica em um domínio apropriado a 𝑓𝑥 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑖𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 b 𝑓𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑖𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑦 c 𝑓𝑥 𝑒𝑥2𝑦2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑦 𝑖𝑒𝑥2𝑦2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑦 d 𝑓𝑥 4𝑥2 5𝑥 4𝑦2 9 𝑖8𝑥𝑦 5𝑦 1 e 𝑓𝑧 𝑥1 𝑥12𝑦2 𝑖 𝑦 𝑥12𝑦2 f 𝑓𝑧 𝑥3𝑥𝑦2𝑥 𝑥2𝑦2 𝑖 𝑥2𝑦𝑦3𝑦 𝑥2𝑦2 36 Mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto mas é diferenciável ao longo da curva indicada a 𝑓𝑧 𝑥2 𝑦2 2𝑖𝑥𝑦 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 b 𝑓𝑧 3𝑥2𝑦2 6𝑖𝑥2𝑦2 𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 c 𝑓𝑧 𝑥3 3𝑥𝑦2 𝑥 𝑖𝑦3 3𝑥2𝑦 𝑦 𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 d 𝑓𝑧 𝑥2 𝑥 𝑦 𝑖𝑦2 5𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 2 Bons Estudos