Lista de Exercícios 2: Funções Complexas

Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas Prof Antunes Mendes Disciplina Funções de Variáveis Complexas Turma Engenharia Elétrica Atendimento Quarta 10h às 12h e 17h às 19h Agendar o atendimento Lista de Exercícios 2 Funções Complexas 01 Determine todos os valores da potência complexa dada a 13𝑖 b 1 𝑖1𝑖 c 𝑖𝑖 d 32𝑖𝜋 e 1 𝑖3 4 f 𝑒𝑖2 02 Determine o valor principal da potência complexa dada a 13𝑖 b 24𝑖 c 1 𝑖3 3𝑖 d 32𝑖𝜋 f 𝑖𝑖𝜋 g 1 𝑖2𝑖 03 Determine a derivada da função dada no ponto especificado Admita que 𝑧𝛼 representa o valor principal da potência complexa definida no domínio 𝑧 0 𝜋 arg𝑧 𝜋 a 𝑧32 𝑧 1 𝑖 b 𝑧1𝑖 𝑧 1 𝑖3 c 𝑧2𝑖 𝑧 𝑖 d 𝑧2 𝑧 𝑖 04 Expresse o valor da função trigonométrica da na forma 𝑎 𝑏𝑖 a 𝑠𝑒𝑛4𝑖 b 𝑐𝑜𝑠3𝑖 c 𝑐𝑜𝑠2 4𝑖 d 𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝑖 e 𝑡𝑎𝑛2𝑖 f 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜋 2𝑖 g 𝑠𝑒𝑐 𝜋 2 𝑖 h 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐1 𝑖 05 Determine todos os valores complexos de z que satisfaçam a equação dada a 𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑖 b 𝑠𝑒𝑛𝑧 cos𝑧 c 𝑐𝑜𝑠𝑧 4 d 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑧 cos𝑧 06 Determine a derivada da função dada a 𝑠𝑒𝑛𝑧2 b 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑒𝑧 c 𝑧𝑡𝑎𝑛 1 𝑧 d 𝑠𝑒𝑐𝑧2 1 𝑖𝑧 𝑖 07 Expresse o valor da função hiperbólica dada na forma 𝑎 𝑏𝑖 a 𝑐𝑜𝑠ℎ𝜋𝑖 b 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝜋 2 𝑖 c 𝑐𝑜𝑠ℎ 1 𝜋 6 𝑖 d 𝑡𝑎𝑛ℎ2 3𝑖 08 Determine todos os valores complexos de z que satisfaçam a equação dada a 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑧 𝑖 b 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑧 1 c 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑧 cosh𝑧 d 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑧 𝑒𝑧 09 Determine a derivada da função dada a 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑠𝑒𝑛ℎ𝑧 b 𝑡𝑎𝑛ℎ𝑧 c 𝑡𝑎𝑛ℎ𝑖𝑧 2 d 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑖𝑧 𝑒𝑖𝑧 10 Calcule a integral definida a 𝑥𝑥 1𝑥 2𝑑𝑥 3 1 b 𝑡2𝑑𝑡 𝑥2𝑑𝑥 𝑢2𝑑𝑢 3 2 2 0 0 1 c 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑥𝑑𝑥 1 12 d 𝑠𝑒𝑐22𝑥𝑑𝑥 𝜋8 0 e 𝑑𝑥 2𝑥1 4 0 f 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑙𝑛3 𝑙𝑛2 g 𝑒𝑥22𝑥𝑑𝑥 4 2 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas h 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 i 𝑑𝑥 𝑥26𝑥5 𝑑𝑥 4 2 j 2𝑥1 𝑥32 4 2 𝑑𝑥 11 Calcule as integrais de linha 𝐶 𝐺𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝐶 𝐺𝑥 𝑦𝑑𝑦 e 𝐶 𝐺𝑥 𝑦𝑑𝑠 na curva C indicada a 𝐺𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 𝑥 5𝑐𝑜𝑠𝑡𝑦 5𝑠𝑒𝑛𝑡 0 𝑡 𝜋4 b 𝐺𝑥 𝑦 𝑥3 2𝑥𝑦2 2𝑥 𝑥 2𝑡𝑦 𝑡2 0 𝑡 1 c 𝐺𝑥 𝑦 3𝑥2 6𝑦2 2𝑥 𝑦 2𝑥 11 𝑥 0 d 𝐺𝑥 𝑦 𝑥2𝑦3 2𝑦 3𝑥32 1 𝑡 8 12 Calcule 𝐶 2𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦 na curva dada 12 a 25 a 𝑦 𝑥 3 b 𝑦 𝑥2 1 c d 13 Calcule 𝐶 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑦 na curva dada 00 a 11 a 𝑦 𝑥2 b 𝑦 𝑥 c C consiste nos segmentos de retas 00 a 01 e de 01 a 11 d C consiste nos segmentos de retas 00 a 10 e de 10 a 11 14 Calcule 𝐶 6𝑥2 2𝑦2𝑑𝑥 4𝑥𝑦𝑑𝑦 onde C é dada por 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡4 𝑡 9 15 Calcule 𝐶 𝑦2𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦 onde C é dada por 𝑥 2𝑡 𝑦 𝑡30 𝑡 2 16 Calcule 𝐶 2𝑥3𝑦𝑑𝑥 3𝑥 𝑦𝑑𝑦 onde C é dada por 𝑥 𝑦2 𝑑𝑒1 1𝑒11 17 Calcule 𝐶 4𝑥𝑑𝑥 2𝑦𝑑𝑦 onde C é dada por 𝑥 𝑦3 1 𝑑𝑒0 1𝑒92 18 Calcule 𝐶 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥 2𝑥𝑦𝑑𝑦 na curva fechada dada a b Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas 19 Calcule 𝐶 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 𝑥𝑦2𝑑𝑦 na curva fechada dada a b 20 Calcule 𝐶 𝑥2 𝑦2𝑑𝑠 onde C é dada por 𝑥 5 cos 𝑡 𝑦 5𝑠𝑒𝑛𝑡0 𝑡 2𝜋 21 Calcule 𝐶 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑦 onde C é dada por 𝑥 2 cos 𝑡 𝑦 3𝑠𝑒𝑛𝑡0 𝑡 𝜋 22 Comprove que a integral de linha 𝐶 𝑦2𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦 tem o mesmo valor em C para cada uma das seguintes parametrizações 𝐶 𝑥 2𝑡 1 𝑦 4𝑡 2 0 𝑡 1 𝐶 𝑥 𝑡2 𝑦 2𝑡2 1 𝑡 3 𝐶 𝑥 ln 𝑡 𝑦 2 ln 𝑡 𝑒 𝑡 𝑒3 23 Considere as três curvas entre 00 e 24 𝐶 𝑥 𝑡 𝑦 2𝑡 0 𝑡 2 𝐶 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡2 0 𝑡 2 𝐶 𝑥 2𝑡 4 𝑦 4𝑡 8 2 𝑡 3 Mostre que 𝑥𝑦𝑑𝑠 𝐶3 𝑥𝑦𝑑𝑠 𝐶1 mas 𝑥𝑦𝑑𝑠 𝐶2 𝑥𝑦𝑑𝑠 𝐶1 Justifique sua resposta Integrais Complexas Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado 01 𝐶 𝑧 3𝑑𝑧 onde C é 𝑥 2𝑡 𝑦 4𝑡 11 𝑡 3 02 𝐶 2𝑧 𝑧𝑑𝑧 onde C é 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡2 20 𝑡 2 03 𝐶 𝑧2𝑑𝑧 onde C é 𝑧𝑡 3𝑡 2𝑖𝑡 2 𝑡 2 04 𝐶 3𝑧2 2𝑧𝑑𝑧 onde C é 𝑧𝑡 𝑡 𝑖𝑡20 𝑡 1 05 𝑧1 𝑧 𝑑𝑧 𝐶 onde C é a metade direita da circunferência 𝑧 1𝑧 𝑖𝑎𝑧 𝑖 06 𝑧2𝑑𝑧 𝐶 onde C é 𝑥 𝑡2 𝑦 1𝑡1 𝑡 2 07 𝐶 𝑅𝑒𝑧𝑑𝑧 onde C é a circunferência 𝑧 1 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas 08 1 𝑧𝑖3 5 𝑧𝑖 8𝑑𝑧 𝐶 onde C é a circunferência 𝑧 𝑖 1 09 𝐶 𝑥2 𝑖𝑦3𝑑𝑧 onde C é a segmento de reta de 𝑧 1𝑎𝑧 𝑖 10 𝐶 𝑥2 𝑖𝑦3𝑑𝑧 onde C é a metade inferior da circunferência 𝑧 1 𝑑𝑒𝑧 1𝑎𝑧 1 11 𝐶 𝑒𝑧𝑑𝑧 onde C é o percurso poligonal que consiste aos segmentos de retas de 𝑧 0𝑎𝑧 2 e de 𝑧 2𝑎𝑧 1 𝑖𝜋 12 𝐶 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑑𝑧 onde C é o percurso poligonal que consiste aos segmentos de retas de 𝑧 0𝑎𝑧 1 e de 𝑧 1𝑎𝑧 1 𝑖 13 𝐶 𝐼𝑚𝑧 𝑖𝑑𝑧 onde C é o percurso poligonal que consiste no arco circular ao longo de 𝑧 1 e de 𝑧 1𝑎𝑧 𝑖 e no segmento de reta 𝑧 𝑖𝑎𝑧 1 14 𝐶 𝑑𝑧 onde C é a metade esquerda da elipse 1 36 𝑥2 1 4 𝑦2 1 de 𝑧 2𝑖 a 𝑧 2𝑖 15 𝐶 𝑧𝑒𝑧𝑑𝑧 onde C é o quadrado com vértices em 𝑧 0 𝑧 1 𝑧 1 𝑖𝑒𝑧 𝑖 Nos problemas 16 19 calcule 𝐶 𝑧2 𝑧 2𝑑𝑧 ao longo do contorno C especificados nas figuras de 𝑧 𝑖𝑒𝑧 1 16 17 18 19 Nos problemas 20 23 determine um limitante superior para o valor absoluto da integral dado ao longo do contorno especificado 20 𝑒𝑧 𝑧21𝑑𝑧 𝐶 onde C é a circunferência 𝑧 5 21 1 𝑧22𝑖 𝑑𝑧 𝐶 onde C é a metade direita da circunferência 𝑧 6 de 𝑧 6𝑖𝑎𝑧 6𝑖 22 𝑧2 4𝑑𝑧 𝐶 onde C é o segmento de reta de 𝑧 0𝑎𝑧 1 𝑖 23 1 𝑧3 𝑑𝑧 𝐶 onde C é um quarto da circunferência 𝑧 4 de 𝑧 4𝑖𝑎𝑧 4 Nos problemas de 01 08 mostre que 𝐶 𝑓𝑧𝑑𝑧 0 onde 𝑓 é a função dada e C a circunferência 𝑧 1 01 𝑓𝑧 𝑧3 1 3𝑖 02 𝑓𝑧 𝑧2 1 𝑧4 03 𝑓𝑧 𝑧 2𝑧3 04 𝑓𝑧 𝑧3 𝑧22𝑧2 05 𝑓𝑧 𝑠𝑒𝑛𝑧 𝑧225𝑧29 06 𝑓𝑧 𝑒𝑧 2𝑧211𝑧15 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas 07 𝑓𝑧 tan 𝑧 08 𝑓𝑧 𝑍29 cosh 𝑧 09 Calcule 1 𝐶 𝑧 𝑑𝑧 onde C é o contorno mostrado na figura 1 10 Calcule 5 𝐶 𝑧1𝑖 𝑑𝑧 onde C é o contorno mostrado na figura 2 Figura 1 Figura 2 Nos problemas de 11 21 use qualquer um dos resultados desta seção para calcular a integral dada ao longo do contorno fechado indicado 11 𝑧 1 𝑧 𝑑𝑧𝑧 2 𝐶 12 𝑧 1 𝑧2 𝑑𝑧𝑧 2 𝐶 13 𝑧 𝑧2𝜋2𝑑𝑧𝑧 3 𝐶 14 10 𝐶 𝑧𝑖4 𝑑𝑧𝑧 𝑖 1 15 2𝑧1 𝑧2𝑧 𝑑𝑧 𝑎𝑧 1 2 𝑏𝑧 2𝑐𝑧 3𝑖 1 𝐶 16 2𝑧 𝐶 𝑧23𝑑𝑧 𝑎𝑧 1𝑏𝑧 2𝑖 1𝑐𝑧 4 17 3𝑧2 𝐶 𝑧28𝑧12 𝑑𝑧 𝑎𝑧 5 2𝑏𝑧 9 18 3 𝑧2 1 𝑧2𝑖 𝑑𝑧 𝑎𝑧 5𝑏𝑧 2𝑖 1 2 𝐶 19 𝑧1 𝑧𝑧𝑖𝑧3𝑖 𝑑𝑧𝑧 𝑖 1 2 𝐶 20 1 𝐶 𝑧32𝑖𝑧2 𝑑𝑧𝑧 1 21 𝐶 ln𝑧 10 𝑑𝑧𝑧 2 22 Calcule 8𝑧3 𝐶 𝑧2𝑧 𝑑𝑧 onde C é o contorno da figura de oito 23 Calcule a integral de contorno 𝑒𝑧 𝑧3 3𝑧 𝑑𝑧 𝐶 onde C é a circunferência unitária 𝑧 1 24 Calcule a integral de contorno 𝑧3 𝑧2 𝑅𝑒𝑧𝑑𝑧 𝐶 onde C é o triângulo com vértices em 𝑧 0 𝑧 1 2𝑖𝑒𝑧 1 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas Nos problemas de 01 22 use os teoremas pra calcular a dada integral ao longo do contorno fechado indicado 01 4 𝐶 𝑧3𝑖 𝑑𝑧𝑧 5 02 𝑧2 𝐶 𝑧3𝑖2 𝑑𝑧𝑧 5 03 𝑒𝑧 𝐶 𝑧𝜋𝑖 𝑑𝑧𝑧 4 04 1𝑒𝑧 𝑧 𝑑𝑧𝑧 1 𝐶 05 𝑧23𝑧4𝑖 𝑧2𝑖 𝑑𝑧𝑧 3 𝐶 06 cos 𝑧 𝐶 3𝑧𝜋 𝑑𝑧𝑧 11 07 𝑧2 𝐶 𝑧24𝑑𝑧 𝑎𝑧 𝑖 2 𝑏𝑧 2𝑖 1 08 𝑧23𝑧2𝑖 𝐶 𝑧23𝑧4 𝑑𝑧 𝑎𝑧 2 𝑏𝑧 5 32 09 𝑧24 𝐶 𝑧25𝑧𝑖4 𝑑𝑧𝑧 3𝑖 13 10 𝑠𝑒𝑛𝑧 𝐶 𝑧2𝜋2 𝑑𝑧𝑧 2𝑖 2 11 𝑒𝑧2 𝐶 𝑧𝑖3 𝑑𝑧𝑧 𝑖 1 12 𝑧 𝐶 𝑧𝑖4 𝑑𝑧𝑧 2 13 cos2𝑧 𝑧5 𝑑𝑧𝑧 1 𝐶 14 𝑒𝑧sin 𝑧 𝑧3 𝑑𝑧𝑧 1 3 𝐶 15 2𝑧5 𝑧22𝑧 𝑑𝑧 𝑎𝑧 1 2 𝑏𝑧 1 2𝑐𝑧 3 2𝑑𝑧 2𝑖 1 𝐶 16 𝑧 𝑧1𝑧2 𝑑𝑧 𝑎𝑧 1 2 𝑏𝑧 1 1𝑐𝑧 1 1 2 𝑑𝑧 4 𝐶 17 𝑧2 𝐶 𝑧2𝑧1𝑖 𝑑𝑧 𝑎𝑧 1𝑏𝑧 1 𝑖 1 18 1 𝐶 𝑧3𝑧4 𝑑𝑧 𝑎𝑧 1𝑏𝑧 2 1 19 𝑒2𝑖𝑧 𝑧4 𝑧4 𝑧𝑖3 𝑑𝑧 𝑎𝑧 6 𝐶 20 cosh𝑧 𝑧𝜋3 𝑠𝑒𝑛2𝑧 2𝑧𝜋3 𝑑𝑧𝑧 3 𝐶 21 1 𝐶 𝑧3𝑧12 𝑑𝑧𝑧 2 5 22 1 𝑧2𝑧21 𝑑𝑧 𝑎𝑧 𝑖 3 2 𝐶 Nos problemas 23 24 calcule a integral dada onde C é o percurso com aspecto do número oito conforme as figuras 23 3𝑧1 𝐶 𝑧𝑧22 𝑑𝑧 24 𝑒𝑖𝑧 𝐶 𝑧212 𝑑𝑧 Bons Estudos