Lista de Exercícios 3: Séries, Sequências, Integrais e Transformadas

Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas Prof Antunes Mendes Disciplina Funções de Variáveis Complexas Turma Engenharia Elétrica Atendimento Quarta 10h às 12h e 17h às 19h Agendar o atendimento Lista de Exercícios 3 Séries Sequências Integrais e Transformadas 01 Escreva os cinco primeiros termos das sequências dadas a 5𝑖𝑛 b 2 𝑖𝑛 c 1 𝑒𝑛𝜋𝑖 d 1 𝑒𝑛 sugestão Use a forma polar 02 Determine se a sequência dada converge ou diverge a 3𝑛𝑖2 𝑛𝑛𝑖 b 𝑛𝑖2𝑛 3𝑛𝑖5𝑛 c 𝑛𝑖22 𝑛2𝑖 d 𝑛1𝑖𝑛 𝑛1 e 𝑛𝑖𝑛 𝑛 f 𝑒 1 𝑛 2𝑡𝑎𝑛1𝑛𝑖 03 Mostre que a sequência dada 𝑧0 converge a um número complexo L para isso calcule lim𝑛 𝑅𝑒 𝑧0 e lim𝑛 𝐼𝑚 𝑧0 a 4𝑛3𝑛𝑖 2𝑛𝑖 b 1𝑖 4 𝑛 04 Use a sequência de somas parciais para mostrar que a série dada é convergente a 1 𝑘2𝑖 1 𝑘12𝑖 𝑘1 b 𝑖 𝑘𝑘1 𝑘1 05 Determine se a dada série geométrica é convergente ou divergente Caso seja convergente determine sua soma a 1 𝑖𝑘 𝑘0 b 4𝑖 1 3 𝑘1 𝑘1 c 𝑖 2 𝑘 𝑘1 d 1 2 𝑖 𝑘 𝑘0 e 3 2 12𝑖 𝑘 𝑘0 f 𝑖𝑘 1𝑖𝑘1 𝑘2 06 Determine o círculo e o raio de convergência da série de potência a 1 12𝑖𝑘1 𝑧 2𝑖𝑘 𝑘0 b 1 𝑘 𝑖 1𝑖 𝑧𝑘 𝑘1 c 1𝑘 𝑘2𝑘 𝑧 1 𝑖𝑘 𝑘1 d 1 𝑘234𝑖𝑘 𝑧 3𝑖𝑘 𝑘1 e 1 3𝑖𝑘 𝑘0 𝑧 𝑖𝑘 f 𝑧𝑘 𝑘𝑘 𝑘1 g 𝑧43𝑖𝑘 52𝑘 𝑘0 h 1𝑘 12𝑖 2 𝑘 𝑘0 𝑧 2𝑖𝑘 i 2𝑘 𝑘2𝑘2 𝑧 𝑖2𝑘 𝑘0 j 𝑘 2𝑘𝑘 𝑧3𝑘 𝑘0 7 Mostre que a série de potências 𝑧𝑖𝑘 𝑘2𝑘 𝑘1 não converge absolutamente na circunferência de seu círculo de convergência Determine pelo menos um ponto na circunferência do círculo de convergência em que a série de potências é convergente Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas 08 Mostre que a série de potências 𝑧𝑘 𝑘2 𝑘1 converge em todos os pontos na circunferência de seu círculo de convergência 09 Mostre que a série de potências 𝑘𝑧𝑘 𝑘1 converge em todos os pontos na circunferência de seu círculo de convergência 10 Considere a série de potências 𝑎𝑘𝑧 1 2𝑖𝑘 𝑘0 Esta série pode convergir em 3 𝑖 e divergir em 5 3𝑖 Série de Taylor e Série de Maclaurin 01 Use resultados conhecidos para expandir a função dada em uma série de Maclaurin Dê o raio de convergência R de cada série a 𝑓𝑧 𝑧 1𝑧 b 𝑓𝑧 1 12𝑧2 c 𝑓𝑧 𝑒2𝑧 d 𝑓𝑧 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑧 e 𝑓𝑧 cos 𝑧 2 f 𝑓𝑧 sin 𝑧2 02 Use a série de Maclaurin para 𝑒𝑧 e expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto 𝑧0 indicado sugestão 𝑧 𝑧 𝑧0 𝑧0 a 𝑓𝑧 𝑒𝑧 𝑧0 3𝑖 03 Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto 𝑧0 indicado Dê o raio de convergência R de cada série a 𝑓𝑧 1 𝑧 𝑧0 1 b 𝑓𝑧 1 3𝑧 𝑧0 2𝑖 c 𝑓𝑧 𝑧1 3𝑧 𝑧0 1 d 𝑓𝑧 cos 𝑧 𝑧0 𝜋 4 04 Use frações parciais para auxiliar a determinação da série de Maclaurin pra a função dada Dê o raio de convergência R da série a 𝑓𝑧 𝑖 𝑧𝑖𝑧2𝑖 05 Sem efetuar a expansão determine o raio de convergência R da série de Taylor da função dada centrada no ponto indicado a 𝑓𝑧 45𝑧 1𝑧2 𝑧0 2 5𝑖 06 Expanda a função dada em uma série de Taylor centrada em cada um dos pontos indicados Dê o raio de convergência R de cada série Faça uma ilustração da região em que as duas séries convergem a 𝑓𝑧 1 2𝑧 𝑧0 1 𝑧0 𝑖 07 Use resultados desta seção para determinar a soma da série de potências dada a 3𝑘𝑧𝑘 𝑘0 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas Respostas 01 a 1𝑘1𝑧𝑘 𝑘1 𝑅 1 b 1𝑘1𝑘2𝑧𝑘1 𝑘1 𝑅 12 c 1 𝑘 𝑘 2𝑧𝑘 𝑘0 𝑅 d 1 2𝑘1 𝑧2𝑘1 𝑘0 𝑅 e 1 2𝑘 𝑘 𝑧 2 2𝑘 𝑘0 𝑅 f 1 2𝑘1 𝑘 𝑧4𝑘2 𝑘0 𝑅 02 a 𝑒3𝑖 1 𝑘 𝑧 3𝑖𝑘 𝑘0 𝑅 03 a 1𝑘𝑧 1𝑘 𝑘1 𝑅 1 b 1 32𝑖𝑘1 𝑧 2𝑖𝑘 𝑘0 𝑅 13 c 1 2𝑘 𝑧 1𝑘 𝑘1 𝑅 2 d 2 2 2 21 𝑧 𝜋 4 2 22 𝑧 𝜋 4 2 2 23 𝑧 𝜋 4 3 𝑅 04 1 2𝑖 3 2𝑖2 𝑧 7 2𝑖3 𝑧2 15 2𝑖4 𝑧3 𝑅 1 05 𝑅 25 06 1𝑘𝑧 1𝑘 𝑘0 𝑅 2 1𝑘 2𝑖𝑘 𝑧 𝑖𝑘 𝑘0 𝑅 5 07 1 13𝑖 Série de Laurent 01 Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado a 𝑓𝑧 cos𝑧 𝑧 0 𝑧 b 𝑓𝑧 𝑒 1 𝑧2 0 𝑧 c 𝑓𝑧 𝑒𝑧 𝑧1 0 𝑧 1 02 Expanda 𝑓𝑧 1 𝑧𝑧3 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado a 0 𝑧 3 b 0 𝑧 3 3 c 1 𝑧 4 4 03 Expanda 𝑓𝑧 1 𝑧1𝑧2 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado a 1 𝑧 2 b 0 𝑧 1 1 04 Expanda 𝑓𝑧 𝑧 𝑧1𝑧2 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado a 0 𝑧 1 3 b 1 𝑧 2 05 Expanda 𝑓𝑧 1 𝑧2𝑧13 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado a 0 𝑧 2 1 Respostas 01 a 1 𝑧 𝑧 2 𝑧3 4 𝑧5 6 b 1 1 1 𝑧2 1 2 𝑧4 1 3 𝑧6 c 𝑒 𝑧1 𝑒 𝑒𝑧1 2 𝑒𝑧12 3 02 a 1 3𝑧 1 32 𝑧 33 𝑧2 34 b 1 3𝑧3 1 32 𝑧3 33 𝑧32 34 Prof Antunes Mendes Funções de Variáveis Complexas c 1 3𝑧42 1 3𝑧4 1 12 𝑧4 3 42 𝑧42 3 43 03 a 1 𝑧2 1 𝑧 1 2 𝑧 22 𝑧2 23 b 1 𝑧1 1 𝑧 1 𝑧 12 04 a 1 3𝑧1 2 32 2𝑧1 33 2𝑧12 34 b 1 3 𝑧2 1 3𝑧 1 3 𝑧 3 2 𝑧2 3 22 05 a 1 𝑧2 3 6𝑧 2 10𝑧 22 Polos e Resíduos 01 Use o teorema de resíduos de Cauchy onde for apropriado para calcular a integral ao longo do contorno especificado a 1 𝑧1𝑧22 𝑑𝑧 𝑖 𝑧 1 2 𝑖𝑖 𝑧 3 2 𝐶 𝑖𝑖𝑖 𝑧 3 b 𝑧3𝑒 1 𝑧2𝑑𝑧 𝑖 𝑧 5 𝑖𝑖 𝑧 𝑖 2 𝐶 𝑖𝑖𝑖 𝑧 3 1 c 1 𝐶 𝑧24𝑧13 𝑑𝑧 𝐶 𝑧 3𝑖 3 d 𝑧𝑒𝑧 𝐶 𝑧21𝑑𝑧 𝐶 𝑧 2 Respostas a i 0 ii 2𝜋𝑖 iii 0 b i 𝜋𝑖 ii 𝜋𝑖 iii 0 c 𝜋3 d 2𝜋𝑖 𝑐𝑜𝑠ℎ1 Integrais Trigonométricas Reais 01 Calcule a integral trigonométrica dada a 1 105 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 b 𝑐𝑜𝑠𝜃 3𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 c 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 sugestão seja 𝑡 2𝜋 𝜃 d 𝑠𝑒𝑛2𝜃 54 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 e 𝑐𝑜𝑠2𝜃 54 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 f 𝑐𝑜𝑠2𝜃 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 0 Res a 4𝜋 3 b 0 c 𝜋 3 d 𝜋 4 e 𝜋 6 f 𝜋 90523 1273 Transformada de Laplace e Fourier 01 Determine a transformada de Laplace da função dada e faça sua inversa a 𝑓𝑡 𝑒5𝑡 b 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡 c 𝑓𝑡 𝑒23𝑖𝑡 02 Determine a transformada de Fourier da função dada a 𝑓𝑡 0 𝑥 0 𝑒𝑥 𝑥 0 Resp 01 a 1 𝑠5 𝑠 5 b 1 𝑠29 𝑠 0 02 a 1 1𝑖𝛼 Bons Estudos