Física II Termodinâmica e Ondas - Young e Freedman 14ed

ISBN 9788543005737 9 788543 005737 Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r TERMODINÂMICA E ONDAS II FÍSICA 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY Física w w w p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint manual de soluções e exercícios adicionais em inglês Para estudantes exercícios adicionais Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site 14e TERMODINÂMICA E ONDAS YOUNG FREEDMAN II FÍSICA Desde sua primeira edição esta obra tem sido referência por sua ênfase nos princípios fundamentais de física e em como aplicálos Estruturado de maneira clara e com uma didática minuciosa aliada a uma extensa gama de exercícios e exemplos explicativos este livro permite que os alunos desenvolvam habilidades de identificação estabele cimento execução e avaliação de problemas Fundamental para estudantes dos cursos de graduação em matemática física e para todos os ramos da engenharia esta 14a edição foi totalmente atualizada e revisada para oferecer um aprendizado eficaz por meio de uma abordagem mais explicativa somada a uma quantidade maior de figuras fotos e exercícios E todo esse conteúdo é complementado por notas explicativas nas principais equações quadros com os erros mais comuns conteúdo atualizado da física moderna e aplicações de biociência o que o torna a grande referência para os estudiosos da área SEARS ZEMANSKY 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY FÍSICA II TERMODINÂMICA E ONDAS VIRA VIRA VIRA VIRA 9788543005737SEARSFISICA IIindd 1 17122015 115951 14e Young Freedman II FÍSICA SearS ZemanSky Termodinâmica e ondas BookSEARSVol2indb 1 021015 148 PM BookSEARSVol2indb 2 021015 148 PM 14e Young Freedman II FÍSICA SearS ZemanSky Hugh D Young Roger A Freedman Universidade da Califórnia Santa Bárbara Colaborador a Lewis Ford Universidade AM do Texas Tradutor Daniel Vieira Revisão técnica adir moysés Luiz Doutor em ciência Professor associado aposentado do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro Termodinâmica e ondas BookSEARSVol2indb 3 021015 148 PM 2015 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Avenida Santa Marina 1193 CEP 05036001 São Paulo SP Brasil Fone 11 38213542 vendaspearsoncom Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Young Hugh D Física II Sears e Zemansky termodinâmica e ondas Hugh D Young Roger A Freedman colaborador A Lewis Ford tradução Daniel Vieira revisão técnica Adir Moysés Luiz 14 ed São Paulo Pearson Education do Título original Sears e Zemanskys University pjysics with modern physics Bibliografia ISBN 9788543018140 1 Física 2 Mecânica 3 Ondas 4 Termodinâmica I Freedman Roger A II Ford A Lewis III Título 1508353 CDD530 Índice para catálogo sistemático 1 Física 530 2016 by Pearson Education do Brasil Ltda Copyright 2016 2014 2012 by Pearson Inc Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Gerente editorial Thiago Anacleto Supervisora de produção editorial Silvana Afonso Coordenador de produção editorial Jean Xavier Editor de aquisições Vinícius Souza Editora de texto Sabrina Levensteinas Editores assistentes Marcos Guimarães e Karina Ono Preparação Renata Siqueira Campos Revisão Oitava Rima Capa Solange Rennó Projeto gráfico e diagramação Casa de Ideias BookSEARSVol2indb 4 021015 148 PM FÍSICA II TERMODINÂMICA E ONDAS 12 Gravitação 1 121 Lei de Newton da gravitação 1 122 Peso 6 123 Energia potencial gravitacional 9 124 Movimento de satélites 11 125 as leis de Kepler e o movimento de planetas 15 126 Distribuição esférica de massa 19 127 Peso aparente e rotação da terra 23 128 Buraco negro 25 resumo 29 Problemasexercíciosrespostas 31 13 MoviMENto PErióDico 41 131 causas da oscilação 41 132 Movimento harmônico simples 44 133 Energia no movimento harmônico simples 52 134 aplicações do movimento harmônico simples 55 135 o pêndulo simples 60 136 o pêndulo físico 62 137 oscilações amortecidas 64 138 oscilações forçadas e ressonância 66 resumo 68 Problemasexercíciosrespostas 70 14 MEcâNica Dos fLuiDos 81 141 Gases líquidos e densidade 81 142 Pressão em um fluido 83 143 Empuxo 88 144 Escoamento de um fluido 91 145 Equação de Bernoulli 94 146 viscosidade e turbulência 99 resumo 101 Problemasexercíciosrespostas 103 15 oNDas MEcâNicas 113 151 tipos de ondas mecânicas 114 152 ondas periódicas 115 153 Descrição matemática das ondas 118 154 velocidade de uma onda transversal 124 155 Energia no movimento ondulatório 129 156 interferência de ondas condições de contorno de uma corda e princípio da superposição 132 157 ondas sonoras estacionárias em uma corda 135 158 Modos normais de uma corda 139 resumo 143 Problemasexercíciosrespostas 145 16 soM E auDição 154 161 ondas sonoras 154 162 velocidade das ondas sonoras 159 163 intensidade do som 164 164 ondas estacionárias e modos normais 168 165 ressonância e som 173 166 interferência de ondas 175 167 Batimentos 177 168 o efeito Doppler 179 169 ondas de choque 185 resumo 187 Problemasexercíciosrespostas 189 17 tEMPEratura E caLor 198 171 temperatura e equilíbrio térmico 199 172 termômetros e escalas de temperatura 201 173 termômetro de gás e escala Kelvin 202 174 Expansão térmica 204 175 Quantidade de calor 210 176 calorimetria e transições de fase 215 177 Mecanismos de transferência de calor 220 resumo 229 Problemasexercíciosrespostas 231 18 ProPriEDaDEs térMicas Da Matéria 242 181 Equações de estado 243 182 Propriedades moleculares da matéria 249 183 Modelo cinéticomolecular de um gás ideal 251 184 calor específico 258 185 velocidades moleculares 262 186 fases da matéria 264 resumo 267 Problemasexercíciosrespostas 269 19 a PriMEira LEi Da tErMoDiNâMica 279 191 sistemas termodinâmicos 279 192 trabalho realizado durante variações de volume 281 193 caminhos entre estados termodinâmicos 283 sumário BookSEARSVol2indb 5 021015 148 PM VI Física II 194 Energia interna e a primeira lei da termodinâmica 285 195 tipos de processos termodinâmicos 291 196 Energia interna de um gás ideal 293 197 calor específico de um gás ideal 294 198 Processo adiabático de um gás ideal 297 resumo 301 Problemasexercíciosrespostas 302 20 a sEGuNDa LEi Da tErMoDiNâMica 311 201 sentido de um processo termodinâmico 311 202 Máquinas térmicas 313 203 Máquinas de combustão interna 316 204 refrigeradores 319 205 segunda lei da termodinâmica 321 206 o ciclo de carnot 323 207 Entropia 330 208 interpretação microscópica da entropia 337 resumo 339 Problemasexercíciosrespostas 341 FÍSICA I MECÂNICA 1 uNiDaDEs GraNDEzas físicas E vEtorEs 11 a natureza da física 12 solução de problemas de física 13 Padrões e unidades 14 utilização e conversão de unidades 15 incerteza e algarismos significativos 16 Estimativas e ordens de grandeza 17 vetores e soma vetorial 18 componentes de vetores 19 vetores unitários 110 Produtos de vetores resumo ProblemasExercíciosrespostas 2 MoviMENto rEtiLíNEo 21 Deslocamento tempo e velocidade média 22 velocidade instantânea 23 aceleração instantânea e aceleração média 24 Movimento com aceleração constante 25 Queda livre de corpos 26 velocidade e posição por integração resumo ProblemasExercíciosrespostas 3 MoviMENto EM Duas ou três DiMENsõEs 31 vetor posição e vetor velocidade 32 vetor aceleração 33 Movimento de um projétil 34 Movimento circular 35 velocidade relativa resumo ProblemasExercíciosrespostas 4 LEis DE NEwtoN Do MoviMENto 41 força e interações 42 Primeira lei de Newton 43 segunda lei de Newton 44 Massa e peso 45 terceira lei de Newton 46 Exemplos de diagramas do corpo livre resumo ProblemasExercíciosrespostas 5 aPLicaçõEs Das LEis DE NEwtoN 51 uso da primeira lei de Newton partículas em equilíbrio 52 uso da segunda lei de Newton dinâmica de partículas 53 forças de atrito 54 Dinâmica do movimento circular 55 forças fundamentais da natureza resumo ProblemasExercíciosrespostas 6 traBaLho E ENErGia ciNética 61 trabalho 62 Energia cinética e o teorema do trabalhoenergia 63 trabalho e energia com forças variáveis 64 Potência resumo ProblemasExercíciosrespostas 7 ENErGia PotENciaL E coNsErvação Da ENErGia 71 Energia potencial gravitacional 72 Energia potencial elástica 73 forças conservativas e forças não conservativas 74 força e energia potencial 75 Diagramas de energia resumo ProblemasExercíciosrespostas 8 MoMENto LiNEar iMPuLso E coLisõEs 81 Momento linear e impulso 82 conservação do momento linear 83 conservação do momento linear e colisões 84 colisões elásticas 85 centro de massa 86 Propulsão de um foguete resumo ProblemasExercíciosrespostas 9 rotação DE corPos ríGiDos 91 velocidade angular e aceleração angular 92 rotação com aceleração angular constante 93 relações entre a cinemática linear e a angular 94 Energia no movimento de rotação BookSEARSVol2indb 6 021015 148 PM Sumário VII 95 teorema dos eixos paralelos 96 cálculos do momento de inércia resumo ProblemasExercíciosrespostas 10 DiNâMica Do MoviMENto DE rotação 101 torque 102 torque e aceleração angular de um corpo rígido 103 rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel 104 trabalho e potência no movimento de rotação 105 Momento angular 106 conservação do momento angular 107 Giroscópios e precessão resumo ProblemasExercíciosrespostas 11 EQuiLíBrio E ELasticiDaDE 111 condições de equilíbrio 112 centro de gravidade 113 solução de problemas de equilíbrio de corpos rígidos 114 tensão deformação e módulos de elasticidade 115 Elasticidade e plasticidade resumo ProblemasExercíciosrespostas FÍSICA III ElETROMAgNETISMO 21 carGa ELétrica E caMPo ELétrico 211 carga elétrica 212 condutores isolantes e cargas induzidas 213 Lei de coulomb 214 campo elétrico e forças elétricas 215 Determinação do campo elétrico 216 Linhas de um campo elétrico 217 Dipolos elétricos resumo Problemasexercíciosrespostas 22 LEi DE Gauss 221 carga elétrica e fluxo elétrico 222 Determinação do fluxo elétrico 223 Lei de Gauss 224 aplicações da lei de Gauss 225 cargas em condutores resumo Problemasexercíciosrespostas 23 PotENciaL ELétrico 231 Energia potencial elétrica 232 Potencial elétrico 233 Determinação do potencial elétrico 234 superfícies equipotenciais 235 Gradiente de potencial resumo Problemasexercíciosrespostas 24 caPacitâNcia E DiELétricos 241 capacitância e capacitores 242 capacitores em série e em paralelo 243 armazenamento de energia em capacitores e energia do campo elétrico 244 Dielétricos 245 Modelo molecular da carga induzida 246 Lei de Gauss em dielétricos resumo Problemasexercíciosrespostas 25 corrENtE rEsistêNcia E força ELEtroMotriz 251 corrente 252 resistividade 253 resistência 254 força eletromotriz e circuitos 255 Energia e potência em circuitos elétricos 256 teoria da condução em metais resumo Problemasexercíciosrespostas 26 circuitos DE corrENtE coNtíNua 261 resistores em série e em paralelo 262 Leis de Kirchhoff 263 instrumentos de medidas elétricas 264 circuitos rc 265 sistemas de distribuição de potência resumo Problemasexercíciosrespostas 27 caMPo MaGNético E forças MaGNéticas 271 Magnetismo 272 campo magnético 273 Linhas do campo magnético e fluxo magnético 274 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético 275 aplicações do movimento de partículas carregadas 276 força magnética sobre um condutor conduzindo uma corrente 277 força e torque sobre uma espira de corrente 278 o motor de corrente contínua 279 o efeito hall resumo Problemasexercíciosrespostas 28 foNtEs DE caMPo MaGNético 281 campo magnético de uma carga em movimento BookSEARSVol2indb 7 021015 148 PM VIII Física II 282 campo magnético de um elemento de corrente 283 campo magnético de um condutor retilíneo conduzindo uma corrente 284 força entre condutores paralelos 285 campo magnético de uma espira circular 286 Lei de ampère 287 aplicações da lei de ampère 288 Materiais magnéticos resumo Problemasexercíciosrespostas 29 iNDução ELEtroMaGNética 291 Experiências de indução 292 Lei de faraday 293 Lei de Lenz 294 força eletromotriz produzida pelo movimento 295 campos elétricos induzidos 296 correntes de rodamoinho 297 corrente de deslocamento e equações de Maxwell 298 supercondutividade resumo Problemasexercíciosrespostas 30 iNDutâNcia 301 indutância mútua 302 indutores e autoindutância 303 Energia do campo magnético 304 o circuito rL 305 o circuito Lc 306 o circuito rLc em série resumo Problemasexercíciosrespostas 31 corrENtE aLtErNaDa 311 fasor e corrente alternada 312 resistência e reatância 313 o circuito rLc em série 314 Potência em circuitos de corrente alternada 315 ressonância em circuitos de corrente alternada 316 transformadores resumo Problemasexercíciosrespostas 32 oNDas ELEtroMaGNéticas 321 Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas 322 ondas eletromagnéticas planas e a velocidade da luz 323 ondas eletromagnéticas senoidais 324 Energia e momento linear em ondas eletromagnéticas 325 ondas eletromagnéticas estacionárias resumo Problemasexercíciosrespostas FÍSICA IV ÓTICA E FÍSICA MODERNA 33 NaturEza E ProPaGação Da Luz 331 Natureza da luz 332 reflexão e refração 333 reflexão interna total 334 Dispersão 335 Polarização 336 Espalhamento da luz 337 Princípio de huygens resumo Problemasexercíciosrespostas 34 ótica GEoMétrica E iNstruMENtos DE ótica 341 reflexão e refração em uma superfície plana 342 reflexão em uma superfície esférica 343 refração em uma superfície esférica 344 Lentes delgadas 345 câmera 346 o olho 347 a lupa 348 Microscópios e telescópios resumo Problemasexercíciosrespostas 35 iNtErfErêNcia 351 interferência e fontes coerentes 352 interferência da luz produzida por duas fontes 353 intensidade das figuras de interferência 354 interferência em películas finas 355 o interferômetro de Michelson resumo Problemasexercíciosrespostas 36 Difração 361 Difração de fresnel e difração de fraunhofer 362 Difração produzida por uma fenda simples 363 intensidade na difração produzida por uma fenda simples 364 fendas múltiplas 365 a rede de difração 366 Difração de raios X 367 orifícios circulares e poder de resolução 368 holografia resumo Problemasexercíciosrespostas 37 rELativiDaDE 371 invariância das leis físicas 372 relatividade da simultaneidade 373 relatividade dos intervalos de tempo 374 relatividade do comprimento 375 as transformações de Lorentz BookSEARSVol2indb 8 021015 148 PM Sumário IX 376 o efeito Doppler para as ondas eletromagnéticas 377 Momento linear relativístico 378 trabalho e energia na relatividade 379 Mecânica newtoniana e relatividade resumo Problemasexercíciosrespostas 38 fótoNs oNDas DE Luz sE coMPortaNDo coMo PartícuLas 381 Luz absorvida como fótons o efeito foloelétrico 382 Luz emitida como fótons produção de raios X 383 Luz dispersa como fótons dispersão de compton e produção de pares 384 Dualidade ondapartícula probabilidade e incerteza resumo Problemasexercíciosrespostas 39 a NaturEza oNDuLatória Das PartícuLas 391 ondas de elétrons 392 o átomo nuclear e espectros atômicos 393 Níveis de energia e o modelo do átomo de Bohr 394 o laser 395 Espectros contínuos 396 revisão do princípio da incerteza resumo Problemasexercíciosrespostas 40 MEcâNica QuâNtica i fuNçõEs DE oNDa 401 funções de onda e a equação unidimensional de schrödinger 402 Partícula em uma caixa 403 Poços de potencial 404 Barreira de potencial e efeito túnel 405 o oscilador harmônico 406 Medição na mecânica quântica resumo Problemasexercíciosrespostas 41 MEcâNica QuâNtica ii Estrutura atôMica 411 a equação de schrödinger em três dimensões 412 Partícula em uma caixa tridimensional 413 o átomo de hidrogênio 414 o efeito de zeeman 415 spin eletrônico 416 Átomos com muitos elétrons e o princípio de exclusão 417 Espectro de raios X 418 Entrelaçamento quântico resumo Problemasexercíciosrespostas 42 MoLécuLas E Matéria coNDENsaDa 421 tipos de ligações moleculares 422 Espectro molecular 423 Estrutura de um sólido 424 Bandas de energia 425 Modelo do elétron livre para um metal 426 semicondutores 427 Dispositivos semicondutores 428 supercondutividade resumo Problemasexercíciosrespostas 43 física NucLEar 431 Propriedades do núcleo 432 Ligação nuclear e estrutura nuclear 433 Estabilidade nuclear e radioatividade 434 atividade e meiavida 435 Efeitos biológicos da radiação 436 reações nucleares 437 fissão nuclear 438 fusão nuclear resumo Problemasexercíciosrespostas 44 física Das PartícuLas E cosMoLoGia 441 Partículas fundamentais uma história 442 aceleradores de partículas e detectores 443 interações entre partículas 444 Quarks e o modelo com simetria de oito modos 445 o modelo padrão e os modelos futuros 446 o universo em expansão 447 o começo do tempo resumo Problemasexercíciosrespostas ApêNDICES a o sistema internacional de unidades 349 B relações matemáticas úteis 351 c alfabeto grego 353 D tabela periódica dos elementos 354 E fatores de conversão das unidades 355 f constantes numéricas 356 respostas dos problemas ímpares 359 créditos 363 índice remissivo 365 sobre os autores 373 BookSEARSVol2indb 9 021015 148 PM Desde a sua primeira edição o livro Física tem sido reconhecido por sua ênfase nos princípios fundamentais e em como aplicálos o texto é conhecido por sua narrativa clara e abrangente e por seu conjunto amplo profundo e ponderado de exemplos funcionais ferramentaschave para o desenvolvimento do conhecimento conceitual e das habilidades para a solução de problemas a décima quarta edição melhora as características essenciais do texto enquanto acrescenta novos recursos influenciados pela pesquisa acadêmica em física com foco no aprendizado visual novos tipos de problemas en cabeçam as melhorias elaboradas para criar o melhor recurso de aprendizagem para os alunos de física de hoje FoCo NA soLUÇÃo dE ProBLEmAs rEFErÊNCiA DE ClArEZA E riGor 48 Física II harmônico simples seria impossível fazer os relógios mecânicos e eletrônicos que conhecemos funcionarem com precisão ou tocar a maior parte dos instrumentos musicais de modo afinado Quando você encontrar um corpo oscilando com um período que dependa da amplitude a oscilação não corresponderá a um movi mento harmônico simples a extremidade esquerda de uma mola horizontal é mantida fixa Ligamos um dinamômetro na extremidade livre da mola e puxa mos para a direita Figura 138a verificamos que a força que estica a mola é proporcional ao deslocamento e que uma força de 60 N produz um deslocamento igual a 0030 m a seguir removemos o dinamômetro e amarramos a extremidade livre a um corpo de 050 kg o puxamos até uma distância de 0020 m para a direita ao longo de um percurso sem atrito e o liberamos do repouso figura 138b a calcule a força constante k da mola b calcule a frequência v a frequência f e o período T da oscilação resultante Figura 138 a a força exercida sobre a mola indicada pelo vetor F possui um componente no eixo x Fx 60 N a força exercida pela mola possui um componente no eixo x igual a Fx 60 N b um corpo é preso à mesma mola e pode oscilar livremente m F 60 N a b x 0 x 0020 m m 050 kg x x 0 x 0030 m x soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como a força da mola igual em módulo à força que a estica é proporcional ao deslocamento o movimento é harmônico simples Encontramos o valor da constante da mola k usando a lei de hooke Equação 133 e os valores de v f e T por meio das equações 1310 1311 e 1312 respectivamente EXECUTAR a quando x 0030 m a força que a mola exerce sobre o dinamômetro é Fx 60 N usando a Equação 133 k Fx x 60 N 0030 m 200 Nm 200 kgs2 b substituindo m 050 kg na Equação 1310 encontramos v Ä k m Å 200 kgs2 050 kg 20 rads f v 2p 20 rads 2p radciclo 32 cicloss 32 Hz T 1 f 1 32 cicloss 031 s AVALIAR a amplitude da oscilação é igual a 0020 m que cor responde à deformação inicial da mola quando puxamos o corpo para a direita antes de libertálo Em um Mhs a frequência angular a frequência e o período são todos independentes da amplitude observe que o período normalmente é indicado em segundos em vez de segundos por ciclo ExEmPlo 132 FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA ANGULAR E PERÍODO NO MHS deslocamento velocidade e aceleração no mhs ainda precisamos achar o deslocamento x em função do tempo para um os cilador harmônico a Equação 134 para um corpo que descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo Ox é idêntica à Equação 138 para a coorde nada x de um ponto de referência que descreve um movimento circular uniforme com uma velocidade angular constante dada por v km Da Equação 135 vemos que x A cos u descreve a coordenada x em ambas as situações se em t 0 o fasor OQ faz um ângulo f com o sentido positivo do eixo Ox então para qualquer outro instante posterior t esse ângulo é dado por u vt f substi tuindo na Equação 135 obtemos x A cos 1vt f2 1313 Amplitude Deslocamento no movimento harmônico simples em função do tempo Tempo Ângulo da fase Frequência angular km a Figura 139 mostra um gráfico da Equação 1313 para o caso particular f 0 Poderíamos também ter escrito a Equação 1313 em termos de uma função senoidal em vez de usar o cosseno usando a identidade cos a sena p2 Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 245 ATENÇÃo Densidade versus pressão ao usar a Equação 185 não confunda a letra grega r rô que indica a densidade com a letra P usada para pressão Para uma massa constante ou número de moles constante o produto nR de um gás ideal é constante de modo que PVT também é constante Designando dois estados da mesma massa de um gás pelos subscritos 1 e 2 podemos escrever P1 V1 T1 P2 V2 T2 constante gás ideal massa constante 186 Note que você não precisa do valor de R para resolver essa equação usamos a proporcionalidade entre a pressão e a temperatura absoluta no capítulo 17 para definir uma escala de temperatura em termos de pressão em um termômetro de gás a volume constante Pode parecer então que a relação entre a pressão e a temperatura em um gás ideal indicada na Equação 183 seja apenas uma conse quência da definição de temperatura que utilizamos contudo a equação também nos mostra o que ocorre quando fazemos o volume ou a massa da substância variar além disso veremos no capítulo 20 que a escala de temperatura definida por esse termômetro corresponde à escala de temperatura que não depende das proprieda des de nenhum material particular Por enquanto considere que a Equação 186 é baseada nessa escala de temperatura realmente independente do material ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 181 GASES IDEAIS iDENTiFiCAr os conceitos relevantes a não ser que o problema diga algo em contrário você pode usar a equação do gás ideal em qualquer situação na qual precise encontrar grandezas re lacionadas ao estado de um gás como pressão P volume V temperatura T eou número de moles n PrEPArAr o problema por meio dos seguintes passos 1 Liste as grandezas conhecidas e desconhecidas identifique as variáveisalvo do problema 2 se o problema se refere a apenas um dos estados do sistema use a Equação 183 PV nRT ou a Equação 185 r PMRT se o problema envolver a densidade r em vez de n ou V 3 Em problemas que se referem a dois estados chameos de 1 e 2 da mesma quantidade de gás se todas menos uma das seis grandezas P1 P2 V1 V2 T1 e T2 forem conhecidas use a Equação 186 P1V1T1 P2V2T2 constante caso con trário use a Equação 183 ou a Equação 185 ExECuTAr a solução da seguinte forma 1 use unidades coerentes unidades si são totalmente coe rentes Às vezes o enunciado do problema mostrará que um determinado sistema de unidades é mais conveniente que outros sistemas faça as conversões de unidade apro priadas como de atm para pascal ou de litros para metros cúbicos 2 algumas vezes você terá de converter a massa total mtot em número de moles n usando a relação mtot Mn onde M é a massa molar se você usar a Equação 184 deverá usar as mesmas unidades de massa para mtot e para M Então quando M é dado em gramas por mol a unidade usual de massa molar mtot também deve estar em gramas se você quiser usar mtot em kg deve converter M em kg mol Por exemplo a massa molar do oxigênio é 32 gmol ou 32 103 kgmol 3 Lembrese de que nas equações do gás ideal T é sempre uma temperatura absoluta Kelvin e P é sempre uma pres são absoluta não manométrica 4 calcule as variáveisalvo AVAliAr sua resposta seus resultados fazem sentido na fí sica use um raciocínio semelhante ao usado no resultado do Exemplo 181 a seguir lembrese de que um mol de um gás ideal a uma pressão de uma atmosfera ocupa um volume de 224 litros Qual é o volume de um recipiente que contém exatamente um mol de um gás ideal nas chamadas condições normais de tempe ratura e pressão cNtP que correspondem a um estado com uma temperatura de 0 c 27315 K e uma pressão p 1 atm 1013 105 Pa soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve as proprie dades de um gás ideal então usamos a Equação 183 o problema fornece a pressão P a temperatura T e o número de moles n nossa variávelalvo é o volume correspondente V EXECUTAR pela Equação 183 usando R em Jmol K V nRT P 11 mol2 18314 Jmol K2 127315 K2 1013 105 Pa 00224 m3 224 L AVALIAR nas cNtP 1 mol de um gás ideal ocupa 224 L Esse é o volume de um cubo de 0282 m de lado ou de uma esfera com 0350 m de diâmetro ExEmPlo 181 VOLUME DE UM GÁS IDEAL NAS CNTP dAdos mosTrAm A equação do gás ideal Quando os alunos recebiam um problema usando a Equação 183 mais de 47 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que na Equação 183 a pressão P é absoluta e não manométrica seção 142 e a temperatura T é absoluta Kelvin e não em celsius Não interpretar corretamente a Equação 183 para representar graficamente P versus V para T constante P versus T para V constante ou V versus T para P constante PROBLEMAS EM DESTAQUE que ajudam os alu nos a passarem de exemplos resolvidos de um único conceito para problemas multiconceituais ao final do capítulo foram revisados com base no feed back dos revisores garantindo que sejam eficazes e estejam no nível de dificuldade apropriado Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 341 sistema interage com suas vizinhanças a variação total da entropia do sistema e do ambiente nunca pode diminuir Quando a interação envolve apenas processos reversíveis a entropia total é constante e S 0 quando existe um processo irreversível a variação total da entropia aumenta e S 0 Entropia e estados microscópicos quando um sistema está em dado estado macroscópico as par tículas que o compõem podem ser distribuídas em w estados microscópicos possíveis Quanto maior for o número w maior será a entropia ver Exemplo 2011 S k ln w 2022 w microestados N moléculas de gás V V 2Nw microestados 2V Problema em destaque Variações de entropia gelo frio em água quente um recipiente isolado com massa desprezível mantém 0600 kg de água a 450 c você coloca um cubo de gelo de 00500 kg a 150 c na água Figura 2023 a calcule a temperatura final da água quando o gelo tiver se derretido b calcule a variação na entropia do sistema gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas e identifique as variáveisalvo 2 como você achará a temperatura final da mistura gelo água como você decidirá se todo o gelo se derrete ou não 3 Quando você descobrir a temperatura final da mistura como determinará as variações na entropia i do gelo ini cialmente a 150 c e ii da água inicialmente a 450 c EXECUTAr 4 use os métodos do capítulo 17 para calcular a temperatura final T Dica primeiro considere que todo o gelo se der rete depois escreva uma equação informando que o calor que flui para o gelo é igual ao que sai da água se a sua hipótese estiver correta a temperatura final que você cal cula será maior que 0 c se a sua hipótese estiver incorreta a temperatura final será 0 c ou menos o que significa que algum gelo permanece Então você precisará refazer o cál culo para considerar isso 5 use o resultado do item 4 para calcular as variações de entropia do gelo e da água Dica você terá de incluir o fluxo de calor associado às variações de temperatura como no Exemplo 206 além do fluxo de calor associado à varia ção de fase 6 ache a variação total na entropia do sistema AVALIAr 7 os sinais das variações de entropia fazem sentido Explique o motivo Figura 2023 o que esta mistura de gelo e água se torna Estado fnal tudo água líquida ou água líquida gelo Água líquida a 450 C Recipiente isolado Gelo a 150 C problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q201 uma panela de pressão é cheia de água até a metade e sua tampa a veda de modo a impedir a saída de vapor dágua de seu interior a panela é colocada sobre a chama de um fogão e a água se vaporiza em seu interior a chama é apagada o vapor se condensa e o líquido volta ao seu estado inicial Esse processo é reversível ou irreversível Por quê Q202 forneça dois exemplos de processos reversíveis e dois exemplos de processos irreversíveis em sistemas puramente mecânicos como blocos escorregando em planos molas rol danas e fios Explique o que faz o processo ser reversível ou irreversível Q203 refrigeradores domésticos possuem serpentinas de tubos no exterior normalmente na parte traseira ou inferior Quando o O FOCO NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS baseado em pesquisa IDENTIFICAR PREPARAR EXECUTAR AVALIAR é utilizado em cada Exemplo Essa abor dagem consistente ajuda os alunos a enfrentarem os problemas de modo ponderado em vez de partir di reto para o cálculo ESTRATÉGIAS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS fornecem aos alunos táticas específicas para a resolução de determinados tipos de problema BookSEARSVol2indb 10 021015 148 PM PEdAgogIA INsPIrAdA Por dAdos E PEsQUIsA iNFluENCiADo PElo QuE Há DE mAis NoVo Em PEsQuisA ACADÊmiCA 336 Física II Entropia e a segunda lei os resultados do Exemplo 2010 sobre o fluxo de calor de uma temperatura mais elevada para uma mais baixa são característicos de todos os processos naturais isto é irreversíveis Quando incluímos todas as variações de entropia no interior de um sistema as variações positivas são sempre maiores que as negativas No caso especial de um processo reversível os aumentos e diminuições de entropia são exatamente iguais Portanto podemos enunciar o princípio geral quando todos os sistemas que ocorrem em um processo são incluídos a entropia aumenta ou permanece constante Em outras palavras não existe nenhum processo com diminuição de entropia quando todas as possíveis variações de entropia são incluídas Essa afirmação constitui um enunciado alternativo para a segunda lei da termodinâmica em termos de entropia Logo ele é equivalente aos enunciados da máquina e do refrigerador discutidos anteriormente a Figura 2020 mostra um exemplo específico desse princípio geral o aumento de entropia em todo processo irreversível natural mede o aumento da desordem e do caos no universo associado a esse processo considere novamente a mistura de água quente com água fria Exemplo 2010 Poderíamos usar a água quente e a água fria como reservatórios quente e frio de uma máquina térmica Enquanto retiramos calor da água quente e o fornecemos para a água fria podemos obter certa quantidade de trabalho mecânico Porém depois que a água se mistura e atinge o equilíbrio térmico a oportunidade de obter trabalho é irremediavelmente perdida Depois do equilíbrio a água quente não pode ser mais separada da água fria Não existe nenhuma diminuição de energia quando a água quente se mistura com a água fria o que foi perdido foi a disponibilidade ou seja a oportunidade de converter parte do calor da água quente em trabalho mecânico Portanto quando a entropia cresce a energia para produção de trabalho se torna menos disponível e o universo se torna mais caótico ou aleatório dAdos mosTrAm A segunda lei da termodinâmica Quando os alunos recebiam um problema envolvendo a segunda lei da termodinâmica mais de 40 davam uma resposta incorreta Erros comuns confundir o sinal algébrico do calor Q é positivo se o calor flui para um sistema mas negativo se o calor sai do sistema ou seja é rejeitado pelo sistema confundir o sinal da variação de entropia a entropia de um sistema aumenta S 0 se o calor flui para dentro dele mas diminui S 0 se o calor flui para fora dele se o calor flui do objeto A para o objeto B S é negativo para A mas positivo para B Figura 2020 a mistura de tinta colorida com água começa a partir de um estado de baixa entropia no qual os fluidos inicialmente estão separados e podem ser distinguidos No estado final as moléculas da tinta e da água são espalhadas aleatoriamente pelo volume do líquido de modo que a entropia é maior a separação espontânea da água e da tinta um processo em que haveria diminuição de entropia nunca poderá ser observado a variação total de entropia do sistema é Stotal Sh Sc 603 JK 705 JK 102 JK AVALIAR um fluxo de calor irreversível em um sistema isolado é acompanhado por um aumento de entropia Poderíamos ter che gado ao mesmo estado final simplesmente misturando as duas quantidades de água quente e fria que também é um processo irreversível a variação de entropia total que depende apenas dos estados inicial e final do sistema novamente seria a mesma 102 JK é interessante observar que a entropia do sistema aumenta conti nuamente enquanto as duas quantidades de água entram em equi líbrio Por exemplo os primeiros 4190 J de calor transferidos resfriam a água quente até 99 c e aquecem a água fria até 1 c a variação total da entropia nessa etapa é aproximadamente S 4190 J 373 K 4190 J 273 K 41 JK você consegue demonstrar de um modo semelhante que a varia ção de entropia total é positiva em qualquer variação de tempe ratura de um grau que conduza ao estado de equilíbrio Continuação 110 Física II acima da base do tanque devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele tenha alcance igual ao do pri meiro furo Figura P1477 h R H 1478 seu tio está na cabine inferior de seu barco enquanto você está pescando próximo da água um arpão errante faz um pequeno furo no casco do barco e a água começa a escorrer para dentro da cabine a se o furo está a 0900 m abaixo da superfí cie dágua e possui área de 120 cm2 quanto tempo levará para que 100 L de água entrem no barco b você precisa levar em consideração o fato de que o barco afunda mais lentamente na água à medida que a água entra 1479 PC você segura uma mangueira na altura da cintura e esguicha água horizontalmente a ela o esguicho da mangueira tem um diâmetro de 180 cm e a água jorra no solo a uma dis tância de 0950 m horizontalmente a partir do esguicho se você restringir o esguicho a um diâmetro de 0750 cm a que distância horizontal a água jorrará antes de atingir o solo Despreze a resistência do ar 1480 um balde cilíndrico aberto na parte superior possui diâmetro de 100 cm e altura igual a 250 cm um orifício circu lar com área da seção reta igual a 150 cm2 é feito no centro da base do balde a água flui para dentro dele por um tubo acima dele com uma taxa de 240 104 m3s até que altura a água subirá no balde 1481 a água flui continuamente de um tanque aberto como indicado na Figura P1481 a altura do ponto 1 é 100 m e os pontos 2 e 3 estão a uma altura de 200 m a área da seção reta no ponto 2 é igual a 00480 m2 e no ponto 3 ela é igual a 00160 m2 a área do tanque é muito maior que a área da seção reta do tubo supondo que a equação de Bernoulli seja aplicável calcule a a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo b a pressão manométrica no ponto 2 Figura P1481 2 100 m 200 m 3 1 1482 PC o furacão Emily ocorrido em 1993 apresentava um raio de aproximadamente 350 km a velocidade do vento ao redor do centro o olho do furacão de 30 km de raio atingiu 200 kmh À medida que o ar formava redemoinhos no sentido do olho o momento angular permanecia praticamente constante a Estime a velocidade do vento na periferia do furacão b Estime a diferença de pressão na superfície terrestre entre o olho e a pe riferia do furacão Dica consulte a tabela 141 onde a pressão é maior c se a energia cinética do ar em redemoinho no olho pudesse ser totalmente convertida em energia potencial gravita cional até que altura o ar se elevaria d Na realidade o ar no olho se eleva até altitudes de diversos quilômetros como você concilia esse fato com sua resposta do item c 1483 Dois grandes tanques abertos A e F Figura P1483 contêm o mesmo líquido um tubo horizontal BCD que tem uma constrição C e é aberto ao ar no ponto D sai da base do tanque A e um tubo vertical E parte da constrição em C e mergulha no líquido do tanque F suponha um escoamento com linhas de corrente e despreze a viscosidade sabendo que a área da seção reta da constrição em C é a metade da área em D e que D está a uma distância h1 abaixo do nível do líquido no tanque A até que altura h2 o líquido subirá no tubo E Expresse sua resposta em termos de h1 h1 h2 A B C D E F Figura P1483 1484 um líquido escoando por um tubo vertical apresenta uma forma definida durante o escoamento Para obter a equação para essa forma suponha que o líquido esteja em queda livre quando sai do tubo No exato momento em que o líquido sai ele possui velocidade v0 e o raio da corrente é r0 a Encontre uma expressão para a velocidade do líquido em função da distância y de sua queda combinando essa relação com a da continuidade ache uma expressão para o raio da corrente em função de y b se a água escoa de um tubo vertical com velocidade de 120 ms a que distância da saída do tubo o raio será igual à metade de seu valor na corrente original 1485 dAdos os valores de densidade na tabela 141 são lis tados em ordem crescente um estudante de química observa que os quatro primeiros elementos químicos incluídos também estão listados em ordem crescente de massa atômica a veja se há uma relação simples entre densidade e massa atômica para todos os oito elementos nessa tabela veja no apêndice D suas massas atômicas em gramas por mole b você consegue desenhar uma linha reta ou uma curva simples atravessando os pontos para achar uma relação simples c Explique por que Átomos com mais massa resultam em sólidos mais densos não conta a história toda 1486 dAdos você tem um balde contendo um líquido des conhecido também tem um bloco de madeira em forma de cubo com 80 cm de lado mas não sabe sua massa ou sua densidade Para descobrir a densidade do líquido você realiza uma expe riência Primeiro coloca o bloco no líquido e mede a altura do topo do bloco flutuante acima da superfície do líquido Depois empilha diversas quantidades de moedas de 25 centavos de dólar sobre o bloco e mede o novo valor de h a linha reta que oferece 1486 dAdos conhecido também tem um bloco de madeira em forma de cubo com 80 cm de lado mas não sabe sua massa ou sua densidade Para descobrir a densidade do líquido você realiza uma expe riência Primeiro coloca o bloco no líquido e mede a altura do topo do bloco flutuante acima da superfície do líquido Depois empilha diversas quantidades de moedas de 25 centavos de dólar Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 111 o melhor ajuste aos dados que você coletou aparece na Figura P1486 ache a massa de uma moeda de 25 centavos consulte em wwwusmintgov as moedas datadas de 2012 use essa informação e a inclinação e interceptação do ajuste da linha reta aos seus dados para calcular a a densidade do líquido em kg m3 e b a massa do bloco em kg Figura P1486 h cm 0 35 30 20 25 15 10 5 10 15 20 25 Número de moedas 30 1487 dAdos a agência de Proteção ambiental está in vestigando uma fábrica de produtos químicos abandonada um tanque cilíndrico grande e fechado contém um líquido desconhe cido você precisa determinar a densidade e a altura do líquido no tanque a distância vertical da superfície do líquido até o fundo do tanque Para manter diversos valores da pressão manométrica no ar que está acima do líquido no tanque você pode usar ar comprimido você faz um pequeno furo no fundo da lateral do tanque que está sobre uma plataforma de concreto para que o furo esteja 500 cm acima do solo a tabela a seguir oferece suas medições da distância horizontal R que o fluxo de líquido inicial mente horizontal jorrando para fora do tanque trafega antes de atingir o solo e a pressão manométrica Pg do ar no tanque Pg atm 050 100 200 300 400 R m 54 65 82 97 109 a represente R2 graficamente em função de Pg Explique por que os pontos de dados ficam próximos de uma linha reta En contre a inclinação e a interceptação dessa linha b use a incli nação e a interceptação encontradas no item a para calcular a altura h em metros do líquido no tanque e a densidade do lí quido em kgm3 use g 980 ms2 suponha que o líquido seja não viscoso e que o furo seja pequeno o suficiente em com paração com o diâmetro do tanque para que a variação em h durante as medições seja muito pequena ProBLEmA dEsAFIAdor 1488 um sifão mostrado na Figura P1488 é um dispo sitivo conveniente para remo ver líquido de um recipiente Para efetuar o escoamento de vemos encher completamente o tubo com líquido suponha que o líquido possua densidade r e que a pressão atmosférica seja Patm suponha que a seção reta do tubo seja a mesma em todas as suas partes a se a extremi dade inferior do sifão está a uma distância h abaixo da superfície do líquido no recipiente qual é a velocidade do líquido quando ele sai pela extremidade inferior do sifão suponha que o re cipiente tenha um diâmetro muito grande e despreze qualquer efeito da viscosidade b uma característica curiosa de um sifão é que o líquido inicialmente sobe no tubo Qual é a altura máxima H que o ponto mais alto do tubo pode ter para que o escoamento ainda ocorra Problemas com contexto BIo Elefantes sob pressão um elefante pode nadar ou caminhar com seu peito vários metros abaixo dágua enquanto respira por seu tronco que permanece acima da superfície e atua como um snorkel os tecidos do elefante estão com pressão aumentada em razão da água ao seu redor mas os pulmões estão na pressão at mosférica pois estão conectados ao ar através do tronco a figura mostra as pressões manométricas nos pulmões e abdome de um elefante quando seu peito está submerso até uma profundidade em particular em um lago Nessa situação o diafragma do elefante que separa os pulmões do abdome deverá sustentar a diferença em pressão entre os dois o diafragma de um elefante normalmente possui 30 cm de espessura e 120 cm de diâmetro ver why doesnt the elephant have a pleural space de John B west Physiology vol 174750 1 de abril de 2002 Pulmões 0 mmHg Diafragma Superfície da água Abdome 150 mmHg 1489 Para a situação mostrada os tecidos no abdome do ele fante estão em uma pressão manométrica de 150 mmhg Essa pressão corresponde a que distância abaixo da superfície de um lago a 15 m b 20 m c 30 m d 15 m 1490 a força máxima que os músculos do diafragma podem exer cer é de 24000 N Que diferença de pressão máxima o diafragma pode suportar a 160 mmhg b 760 mmhg c 920 mmhg d 5000 mmhg 1491 como a força que o diafragma experimenta pela diferença de pressão entre os pulmões e o abdome depende da distância do abdome abaixo da superfície da água a força a aumenta linearmente com a distância b aumenta conforme a distância ao quadrado c aumenta conforme a distância ao cubo d aumenta exponencialmente com a distância 1492 se o elefante respirasse como em um snorkel na água salgada que é mais densa que a água doce a profundidade má xima em que ele poderia respirar seria diferente daquela da água doce a sim essa profundidade aumentaria pois a pressão seria menor em determinada profundidade na água salgada que na água doce b sim essa profundidade diminuiria pois a pressão seria maior em determinada profundidade na água sal gada que na água doce c não porque as diferenças de pressão dentro do elefante submerso dependem somente da densidade do ar e não da densidade da água d não porque a força de empuxo sobre o elefante seria a mesma nos dois casos H h Figura P1488 Capítulo 17 Temperatura e calor 221 os três mecanismos de transferência de calor são a condução a convecção e a radiação a condução ocorre no interior de um corpo ou entre dois corpos em contato a convecção depende do movimento da massa de uma região para outra a radiação é a transferência de calor que ocorre pela radiação eletromagnética como a luz solar sem que seja necessária a presença de matéria no espaço entre os corpos Condução Quando você segura uma das extremidades de uma barra de cobre e coloca a outra sobre uma chama a extremidade que você está segurando fica cada vez mais quente embora não esteja em contato direto com a chama o calor é transferido por condução através do material até atingir a extremidade mais fria Em nível atômico verificamos que os átomos de uma região quente possuem em média uma energia cinética maior que a energia cinética dos átomos de uma região vizinha as colisões desses átomos com os átomos vizinhos fazem com que eles lhes transmi tam parte da energia os átomos vizinhos colidem com outros átomos vizinhos e assim por diante ao longo do material os átomos em si não se deslocam de uma região a outra do material mas sua energia se desloca Quase todos os metais utilizam outro mecanismo mais eficiente para conduzir calor No interior do metal alguns elétrons se libertam de seus átomos originais e ficam vagando pelo metal Esses elétrons livres podem transferir energia ra pidamente da região mais quente para a região mais fria do metal de modo que os metais geralmente são bons condutores de calor uma barra de metal a 20 c parece estar mais fria que um pedaço de madeira a 20 c porque o calor pode fluir mais facilmente entre sua mão e o metal a presença de elétrons livres também faz com que os metais sejam bons condutores de eletricidade Na condução o sentido de transferência de calor é sempre da temperatura maior para a menor a Figura 1724a mostra uma barra de um material condutor de comprimento L com uma seção reta de área A a extremidade esquerda da barra é mantida a uma temperatura Th e a extremidade direita é mantida a uma tempe ratura mais baixa Tc isso faz com que o calor flua da esquerda para a direita os lados da barra são cobertos por um isolante ideal de modo que o calor não possa fluir por eles Quando uma quantidade de calor dQ é transferida através da barra em um tempo dt a taxa de transferência de calor é dada por dQdt chamamos essa grandeza de taxa de transferência de calor ou corrente de calor e a designamos por H ou seja H dQdt a experiência mostra que a taxa de transferência de calor é proporcional à área A da seção reta da barra figura 1724b e a diferença de temperatura Th Tc e inversamente proporcional ao comprimento da barra L figura 1724c 1721 Taxa de transferência de calor Temperaturas das extremidades quente e fria da barra Comprimento da barra Área da seção reta da barra Condutividade térmica do material da barra Transferência de calor na condução H kA L TH TC dt dQ a quantidade Th TcL é a diferença de temperatura por unidade de compri mento é denominada módulo do gradiente de temperatura o valor numérico da condutividade térmica k depende do material da barra os materiais com valores elevados de k são bons condutores de calor os materiais com valores pequenos de k conduzem pouco calor ou são isolantes a Equação 1721 também fornece a taxa de transferência de calor através de uma placa ou de qualquer corpo homogêneo que possua uma seção reta A ortogonal à direção do fluxo de calor L é o compri mento da trajetória do fluxo de calor Figura 1724 transferência de calor constante produzida pela condução do calor em uma barra uniforme TH A L a Taxa de transferência de calor H b Dobrar a área da seção reta do condutor faz com que a taxa de transferência de calor dobre H é proporcional a A c Dobrar o comprimento do condutor faz com que a taxa de transferência de calor se reduza à metade H é inversamente proporcional a L TC TH A 2L TC TH A A L TC NOTAS DADOS MOSTRAM alertam os alunos para os erros estatisticamente mais comuns cometidos na solução de problemas de determinado tópico Todas as EQUAÇÕES PRINCIPAIS AGORA ESTÃO COMENTADAS para ajudar os alunos a fazer uma ligação entre entendimento conceitual e ma temático da física Cada capítulo inclui de três a cinco PROBLEMAS COM CON TEXTO que seguem o formato usado nos testes de medicina MCAT Esses problemas exigem que os alunos investiguem diver sos aspectos de uma situação física da vida real normalmente bio lógica por natureza conforme descrito em um texto inicial PROBLEMAS DE DADOS aparecem em cada capí tulo Esses problemas de raciocínio baseados em dados muitos deles ricos em contexto exigem que os alunos usem evidência experimental apresen tada no formato de tabela ou gráfico para formular conclusões BookSEARSVol2indb 11 021015 148 PM Para o professor Este livro é o resultado de seis décadas e meia de liderança e inovação no ensino da física a primeira edição do livro Física de francis w sears e Mark w zemansky publicada em 1949 foi revolucionária dentre os livrostexto baseados em cálculo por dar ênfase aos princípios da física e suas aplicações o êxito alcançado por esta obra para o uso de diversas gerações de alunos e professores em várias partes do mundo atesta os méritos desse método e das muitas inovações introduzidas posteriormente tornouse famoso pela clareza das apli cações e pela solução de exemplos e problemas fundamentais para a compreensão da matéria ao preparar esta décima quarta edição incrementamos e desenvolvemos o livro de modo a incorporar as melhores ideias extraídas de pesquisas acadêmicas com ensino aprimorado de solução de problemas pedagogia visual e conceitual pioneira e novas categorias de problemas de final de capítulo além de melhorar as explicações de novas aplicações da física oriundas das pesquisas científicas recentes Novidades desta edição Todas as equações principais agora incluem anotações que descrevem a equação e explicam os significados dos símbolos Essas anotações ajudam a promover o pro cessamento detalhado da informação e melhoram a assimilação do conteúdo Notas de DADOS MOSTRAM em cada capítulo com base em dados capturados de milhares de alunos advertem sobre os erros mais comuns cometidos ao resolver problemas Conteúdo atualizado da física moderna inclui seções sobre medição quântica ca pítulo 40 e entrelaçamento quântico capítulo 41 bem como dados recentes sobre o bóson de higgs e radiação básica cósmica capítulo 44 Aplicações adicionais da biociência aparecem por todo o texto principalmente na forma de fotos com legendas explicativas para ajudar os alunos a ver como a física está conectada a muitos avanços e descobertas nas biociências O texto foi simplificado com uma linguagem mais concisa e mais focada Revendo conceitos de relaciona os conceitos passados essenciais no início de cada capítulo para que os alunos saibam o que precisam ter dominado antes que se aprofundem no capítulo atual Principais recursos de Física Problemas em destaque ao final dos capítulos muitos deles revisados oferecem uma transição entre os Exemplos de único conceito e os problemas mais desafiado res do final do capítulo cada Problema em Destaque impõe um problema difícil multiconceitual que normalmente incorpora a física dos capítulos anteriores um Guia da Solução de modelo consistindo em perguntas e dicas ajuda a treinar os alunos para enfrentar e resolver problemas desafiadores com confiança Grupos de problemas profundos e extensos abordam uma vasta gama de dificul dade com pontos azuis para indicar o nível de dificuldade relativo e exercitam tanto a compreensão da física quanto a habilidade para a solução de problemas Muitos problemas são baseados em situações complexas da vida real Este livro contém mais Exemplos e Exemplos Conceituais que a maioria dos outros principais livros baseados em cálculo permitindo que os alunos explorem desafios para a solução de problemas que não são tratados em outros livrostexto PrEFáCio BookSEARSVol2indb 12 021015 148 PM Prefácio XIII uma abordagem para a solução de problemas Identificar Preparar Executar e Avaliar é usada em cada Exemplo bem como nas Estratégias para a solução de Pro blemas e nos Problemas em Destaque Essa abordagem consistente ajuda os alunos a saber como enfrentar uma situação aparentemente complexa de modo ponderado em vez de partir direto para o cálculo Estratégias para a Solução de Problemas ensinam os alunos a tratar de tipos especí ficos de problemas as figuras utilizam um estilo gráfico simplificado com foco na física de uma situa ção e incorporam mais anotações explicativas que na edição anterior as duas técni cas têm demonstrado um forte efeito positivo sobre o aprendizado os populares parágrafos de Atenção focalizam as principais ideias erradas e as áreas problemáticas do aluno as perguntas de Teste sua compreensão ao final da seção permitem que os alunos verifiquem se entenderam o material usando um formato de exercício de múltipla es colha ou de ordenação para descobrir problemas conceituais comuns Resumos visuais ao final de cada capítulo apresentam as principais ideias em pala vras equações e imagens em miniatura ajudando os alunos a revisarem de forma mais eficiente Para o aluno Como aprender física para valer Mark Hollabaugh Normandale Community College Professor Emérito a física abrange o pequeno e o grande o velho e o novo Dos átomos até as galáxias dos circuitos elétricos até a aerodinâmica a física é parte integrante do mundo que nos cerca você provavelmente está fazendo este curso de física baseada em cálculo como prérequisito para cursos subsequentes que fará para se preparar para uma carreira de ciências ou engenha ria seu professor deseja que você aprenda física e que goste da experiência Ele está muito interessado em ajudálo a aprender essa fascinante matéria Essa é uma das razões para ter escolhido este livrotexto para o seu curso também foi por isso que os doutores Young e fre edman me pediram para escrever esta seção introdutória Desejamos seu sucesso o objetivo desta seção é fornecer algumas ideias que possam auxiliálo durante a aprendi zagem após uma breve abordagem sobre hábitos e estratégias gerais de estudo serão apresen tadas sugestões específicas sobre como usar o livrotexto Preparação para este curso caso esteja adiantado em seus estudos de física você aprenderá mais rapidamente alguns conceitos por estar familiarizado com a linguagem dessa matéria Da mesma forma seus estudos de matemática facilitarão sua assimilação dos aspectos matemáticos da física seu professor poderá indicar alguns tópicos de matemática que serão úteis neste curso Aprendendo a aprender cada um de nós possui um estilo próprio e um método preferido de aprendizagem compre ender seu estilo de aprender ajudará a focar nos aspectos da física que podem ser mais difíceis e a usar os componentes do seu curso que o ajudarão a superar as dificuldades obviamente você preferirá dedicar mais tempo estudando os assuntos mais complicados se você aprende mais ouvindo assistir às aulas e conferências será muito importante se aprende mais explicando o trabalho em equipe vai lhe ser útil se a sua dificuldade está na solução de problemas gaste uma parte maior do seu tempo aprendendo a resolver problemas também é fundamental desenvolver bons hábitos de estudo talvez a coisa mais importante que você possa fazer por si mesmo seja estabelecer uma rotina de estudos em horários regulares e em um ambiente livre de distrações BookSEARSVol2indb 13 021015 148 PM XIV Física II responda para si mesmo as seguintes perguntas Estou apto a usar os conceitos matemáticos fundamentais da álgebra da geometria e da trigonometria Em caso negativo faça um programa de revisão com a ajuda de seu professor Em cursos semelhantes qual foi a atividade na qual tive mais dificuldade Dedique mais tempo a isso Qual foi a atividade mais fácil para mim Executea primeiro isso lhe dará mais confiança Eu entendo melhor a matéria se leio o livro antes ou depois da aula Pode ser que você aprenda melhor fazendo uma leitura superficial da matéria assistindo à aula e depois relendo com mais atenção Eu dedico tempo adequado aos meus estudos de física uma regra prática para um curso deste tipo é dedicar em média 2h30 de estudos para cada hora de aula Para uma semana com 5 horas de aula devese dedicar cerca de 10 a 15 horas por semana estudando física Devo estudar física todos os dias Distribua as 10 ou 15 horas de estudos durante a semana Em que parte do dia meus estudos são mais eficientes Escolha um período específico do dia e atenhase a ele Eu estudo em um ambiente silencioso que favorece minha concentração as distrações podem quebrar sua rotina de estudos e atrapalhar a assimilação de pontos importantes Trabalho em grupo cientistas e engenheiros raramente trabalham sozinhos e preferem cooperar entre si você aprenderá melhor e com mais prazer estudando física com outros colegas alguns professores aplicam métodos formais de aprendizagem cooperativa ou incentivam a formação de grupos de estudo você pode por exemplo formar seu próprio grupo de estudos com os colegas de sala de aula use email para se comunicar com outros colegas seu grupo de estudos será um excelente recurso quando estiver fazendo revisões para os exames Aulas e anotações um componente importante de seu curso são as aulas e conferências Na física isso é espe cialmente importante porque seu professor geralmente faz demonstrações de princípios físi cos executa simulações em computador ou exibe vídeos todos esses recursos ajudam você a entender os princípios fundamentais da física Não falte a nenhuma aula e caso por algum motivo isso seja inevitável peça a algum colega do seu grupo de estudos suas anotações e explique o que aconteceu faça anotações das aulas sob a forma de tópicos e deixe para completar os detalhes do conteúdo mais tarde é difícil anotar palavra por palavra portanto anote apenas as ideias básicas o professor pode usar um diagrama contido no livro Deixe um espaço em suas notas para inserir o diagrama depois após as aulas revise suas anotações preenchendo as lacunas e anotando os pontos que devem ser mais desenvolvidos posteriormente anote as referências de páginas equações ou seções do livro faça perguntas em classe ou procure o professor depois da aula Lembrese de que a única pergunta tola é aquela que não foi feita sua instituição poderá ter assistentes de ensino ou outros profissionais disponíveis para ajudálo com alguma dificuldade Exames fazer uma prova gera um elevado nível de estresse contudo estar bem preparado e des cansado alivia a tensão Prepararse para uma prova é um processo contínuo ele começa assim que a última prova termina imediatamente depois de uma prova você deve rever cuidadosa mente os eventuais erros cometidos se tiver resolvido um problema e cometido erros proceda do seguinte modo divida uma folha de papel em duas colunas Em uma delas escreva a solu ção correta do problema Na outra coloque sua solução e se souber onde foi que errou caso não consiga identificar o erro com certeza ou não souber como evitar cometêlo novamente BookSEARSVol2indb 14 021015 148 PM Prefácio XV consulte seu professor a física se constrói a partir de princípios básicos e é necessário corrigir imediatamente qualquer interpretação incorreta Atenção embora você possa passar em um exame deixando para estudar na última hora não conseguirá reter adequadamente os concei tos necessários para serem usados na próxima prova AgrAdECImENTos Desejamos agradecer às centenas de revisores e colegas que ofereceram valiosos comentá rios e sugestões para este livro o sucesso duradouro de Física devese em grande medida às suas contribuições Miah adel u of arkansas at Pine Bluff Edward adelson ohio state u Julie alexander camosun c ralph alexander u of Missouri at rolla J G anderson r s anderson wayne anderson sacramento city c sanjeev arora fort valley state u alex azima Lansing comm c Dilip Balamore Nassau comm c harold Bale u of North Dakota arun Bansil Northeastern u John Barach vanderbilt u J D Barnett h h Barschall albert Bartlett u of colorado Marshall Bartlett hollins u Paul Baum cuNY Queens c frederick Becchetti u of Michigan B Bederson David Bennum u of Nevada reno Lev i Berger san Diego state u angela Biselli fairfield u robert Boeke william rainey harper c Bram Boroson clayton state u s Borowitz a c Braden James Brooks Boston u Nicholas E Brown california Polytechnic state u san Luis obispo tony Buffa cali fornia Polytechnic state u san Luis obispo shane Burns colorado c a capecelatro Michael cardamone Pennsylvania state u Duane carmony Purdue u troy carter ucLa P catranides John cerne suNY at Buffalo shinil cho La roche c tim chupp u of Michigan roger clapp u of south florida william M cloud Eastern illinois u Leonard cohen Drexel u w r coker u of texas austin Malcolm D cole u of Mis souri at rolla h conrad David cook Lawrence u Gayl cook u of colorado hans courant u of Minnesota carl covatto arizona state u Bruce a craver u of Dayton Larry curtis u of toledo Jai Dahiya southeast Missouri state u Dedra Demaree Geor getown u steve Detweiler u of florida George Dixon oklahoma state u steve Drasco Grinnell c Donald s Duncan Boyd Edwards west virginia u robert Eisenstein carne gie Mellon u amy Emerson Missourn virginia institute of technology olena Erhardt richland c william faissler Northeastern u Gregory falabella wagner c william fasnacht us Naval academy Paul feldker st Louis comm c carlos figueroa cabrillo c L h fisher Neil fletcher florida state u allen flora hood c robert folk Peter fong Emory u a Lewis ford texas aM u D frantszog James r Gaines ohio state u solomon Gartenhaus Purdue u ron Gautreau New Jersey institute of technology J David Gavenda u of texas austin Dennis Gay u of North florida Elizabeth George wittenberg u James Gerhart u of washington N s Gingrich J L Glathart s Goodwin rich Gottfried frederick comm c walter s Gray u of Michigan Paul Gresser u of Maryland Benjamin Grinstein uc san Diego howard Grotch Pennsylvania state u John Gruber san Jose state u Graham D Gutsche us Naval academy Michael J harrison Michigan state u harold hart western illinois u howard hayden u of connecticut carl helrich Goshen c andrew hirsch Purdue u Linda hirst uc Merced Laurent hodges iowa state u c D hodgman Elizabeth holden u of wisconsin Platteville Mi chael hones villanova u Keith honey west virginia institute of technology Gregory hood tidewater comm c John hubisz North carolina state u Eric hudson Pennsylva nia state u M iona Bob Jacobsen uc Berkeley John Jaszczak Michigan technical u alvin Jenkins North carolina state u charles Johnson south Georgia state c robert P Johnson uc santa cruz Lorella Jones u of illinois Manoj Kaplinghat uc irvine John Karchek GMi Engineering Management institute thomas Keil worcester Polytechnic institute robert Kraemer carnegie Mellon u Jean P Krisch u of Michigan robert a Kromhout andrew Kunz Marquette u charles Lane Berry c stewart Langton u of victoria thomas N Lawrence texas state u robert J Lee alfred Leitner rensselaer Polytechnic u frederic Liebrand walla walla u Gerald P Lietz DePaul u Gordon Lind utah state u s Livingston u of wisconsin Milwaukee Jorge Lopez u of texas El Paso BookSEARSVol2indb 15 021015 148 PM XVI Física II Elihu Lubkin u of wisconsin Milwaukee robert Luke Boise state u David Lynch iowa state u Michael Lysak san Bernardino valley c Jeffrey Mallow Loyola u robert Mania Kentucky state u robert Marchina u of Memphis David Markowitz u of connecticut Philip Matheson utah valley u r J Maurer oren Maxwell florida international u Jo seph L Mccauley u of houston t K Mccubbin Jr Pennsylvania state u charles Mc farland u of Missouri at rolla James Mcguire tulane u Lawrence Mcintyre u of arizona fredric Messing carnegie Mellon u thomas Meyer texas aM u andre Mi rabelli st Peters c New Jersey herbert Muether suNY stony Brook Jack Munsee ca lifornia state u Long Beach Lorenzo Narducci Drexel u van E Neie Purdue u forrest Newman sacramento city c David a Nordling us Naval academy Benedict oh Pen nsylvania state u L o olsen Michael ottinger Missouri western state u russell Palma Minnesota state u Mankato Jim Pannell Devry institute of technology Neeti Parashar Purdue u calumet w f Parks u of Missouri robert Paulson california state u chico Jerry Peacher u of Missouri at rolla arnold Perlmutter u of Miami Lennart Peterson u of florida r J Peterson u of colorado Boulder r Pinkston ronald Poling u of Minne sota Yuri Popov u of Michigan J G Potter c w Price Millersville u francis Prosser u of Kansas shelden h radin roberto ramos Drexel u Michael rapport anne arundel comm c r resnick James a richards Jr John s risley North carolina state u fran cesc roig uc santa Barbara t L rokoske richard roth Eastern Michigan u carl rot ter u of west virginia s clark rowland andrews u rajarshi roy Georgia institute of technology russell a roy santa fe comm c Desi saludes hillsborough comm c thomas sandin North carolina at state u Dhiraj sardar u of texas san antonio tumer sayman Eastern Michigan u Bruce schumm uc santa cruz Melvin schwartz st Johns u f a scott L w seagondollar Paul shand u of Northern iowa stan shepherd Pennsylvania state u Douglas sherman san Jose state u Bruce sherwood carnegie Mellon u hugh siefkin Greenville c christopher sirola u of southern Mississippi to masz skwarnicki syracuse u c P slichter Jason slinker u of texas Dallas charles w smith u of Maine orono Malcolm smith u of Lowell ross spencer Brigham Young u Julien sprott u of wisconsin victor stanionis iona c James stith american institute of Physics chuck stone North carolina at state u Edward strother florida institute of technology conley stutz Bradley u albert stwertka us Merchant Marine academy Kenneth szparaDeNisco harrisburg area comm c Devki talwar indiana u of Pennsyl vania fiorella terenzi florida international u Martin tiersten cuNY city c David toot alfred u Greg trayling rochester institute of technology somdev tyagi Drexel u Matthew vannette saginaw valley state u Eswara venugopal u of Detroit Mercy f verbrugge helmut vogel carnegie Mellon u aaron warren Purdue u North central ro bert webb texas aM u thomas weber iowa state u M russell wehr Pennsylvania state u robert weidman Michigan technical u Dan whalen uc san Diego Lester v whitney thomas wiggins Pennsylvania state u robyn wilde oregon institute of techno logy David willey u of Pittsburgh Johnstown George williams u of utah John williams auburn u stanley williams iowa state u Jack willis suzanne willis Northern illinois u robert wilson san Bernardino valley c L wolfenstein James wood Palm Beach Ju nior c Lowell wood u of houston r E worley D h ziebell Manatee comm c George o zimmerman Boston u além disso gostaria de agradecer aos meus colegas do passado e do presente da ucsB in cluindo rob Geller carl Gwinn al Nash Elisabeth Nicol e francesc roig pelo dedicado apoio e pelas valiosas discussões Expresso minha gratidão especial aos meus primeiros professores willa ramsay Peter zimmerman william Little alan schwettman e Dirk walecka por me mostrarem como é claro e envolvente o ensino da física e a stuart Johnson por me convidar a participar deste projeto como coautor deste livro a partir da nona edição Meus especiais agradecimentos a Lewis ford por criar diversos novos problemas para esta edição incluindo a nova categoria de problemas DaDos a wayne anderson que revisou cuidadosamente todos os problemas e os resolveu com forrest Newman e Michael ottinger e a Elizabeth George que forneceu a maior parte da nova categoria de Problemas com contexto agradeço em particular a tom sandin por suas diversas contribuições para os problemas de final de capítulo incluindo a verificação cuidadosa de todos eles e a escrita de outros novos também tiro meu chapéu e BookSEARSVol2indb 16 021015 148 PM Prefácio XVII dou as boasvindas a Linda Hirst por colaborar com uma série de ideias que se tornaram novos recursos de Aplicação nesta edição Quero expressar meu agradecimento especial à equipe edi torial da Pearson norteamericana a Nancy Whilton pela visão editorial a Karen Karlin por sua leitura atenta e cuidadoso desenvolvimento desta edição a Charles Hibbard pela cuidadosa leitura das provas e a Beth Collins Katie Conley Sarah Kaubisch Eric Schrader e Cindy John son por manter a produção editorial fluindo Acima de tudo desejo expressar minha gratidão e meu amor à minha esposa Caroline a quem dedico minhas contribuições a este livro Alô Caroline a nova edição finalmente saiu vamos comemorar Digame o que você pensa Gosto de receber notícias de alunos e professores especialmente com relação a erros ou defeitos que vocês encontrarem nesta edição O falecido Hugh Young e eu dedicamos muito tempo e esforço para escrever o melhor livro que soubemos escrever e espero que ele o ajude à medida que você ensina e aprende física Por sua vez você pode me ajudar avisando sobre o que ainda precisa ser melhorado Por favor fique à vontade para entrar em contato eletronicamente ou pelo correio comum Seus comentários serão muito bem recebidos Agosto de 2014 Roger A Freedman Department of Physics University of California Santa Barbara Santa Barbara CA 931069530 airboyphysicsucsbedu httpwwwphysicsucsbeduairboy Twitter RogerFreedman Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegi do por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para ensinosuperiorpearsoncom Site de apoio do livro Na Sala Virtual deste livro svpearsoncombr professores e estudantes podem acessar os seguintes materiais adicionais a qualquer momento Para professores Apresentações em PowerPoint Manual de soluções Exercícios adicionais em inglês Para estudantes Exercícios adicionais A01SEARS00001SEA01indd 17 141015 1123 AM BookSEARSVol2indb 18 021015 148 PM 12 GrAViTAÇÃo oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 121 Como calcular as forças gravitacionais que dois corpos quaisquer exercem um sobre o outro 122 Como relacionar o peso de um objeto à expressão geral para a força gravitacional 123 Como usar e interpretar a expressão geral para a energia potencial gravitacional 124 Como calcular a velocidade o período orbital e a energia mecânica de um satélite em uma órbita circular 125 Como aplicar e interpretar as três leis que descrevem os movimentos dos planetas 126 Por que a força gravitacional exercida por um planeta esfericamente simétrico é a mesma que aquela que seria exercida supondo que a massa de todo o planeta estivesse concentrada em seu centro 127 Como a rotação da Terra afeta o peso aparente de um objeto em diferentes latitudes 128 O que são buracos negros como calcular suas propriedades e como eles são encontrados Revendo conceitos de 33 Movimento de projétil 44 Peso 52 Falta de peso aparente 54 Força e aceleração no movimento circular uniforme 55 As forças fundamentais da natureza 71 Energia potencial gravitacional e conservação da energia mecânica 74 Força e energia potencial Os anéis de Saturno são compostos de inúmeras partículas individuais orbitando Em comparação com uma par tícula de anel que descreve uma órbita distante de Sa turno uma partícula descreve uma órbita próxima de Saturno com i a mesma velocidade e maior aceleração ii maior velocidade e mesma acelera ção iii menor velocidade e mesma aceleração iv maior velocidade e maior aceleração ou v nenhuma das respostas anteriores A lgumas das primeiras investigações em física começaram com perguntas que as pessoas se faziam a respeito do céu noturno Por que a Lua não cai sobre a terra Por que os planetas se deslocam no céu Por que a terra não sai voando no espaço em vez de permanecer em órbita ao redor do sol o estudo da interação gra vitacional fornece respostas para essas e outras perguntas relacionadas conforme acentuamos no capítulo 5 Física I a gravitação é uma das quatro classes de interações presentes na natureza e foi a primeira das quatro a ser estudada extensivamente No século Xvii Newton descobriu que a interação que faz a maçã cair da árvore é a mesma que mantém os planetas em órbita ao redor do sol Essa descoberta assinalou o começo da mecânica celeste o estudo da dinâmica dos objetos no espaço hoje nossos conhecimentos da mecânica celeste nos permitem determinar como colocar um satélite artificial da terra em uma órbita desejada ou escolher a trajetória exata para enviar uma nave espacial a outro planeta Neste capítulo estudaremos a lei básica que governa a interação gravitacional Esta lei é universal a gravidade atua do mesmo modo fundamental entre a terra e o corpo do leitor deste livro entre o sol e um planeta e entre um planeta e uma de suas luas aplicaremos a lei da gravitação a fenômenos como a variação do peso com a altura as órbitas de um satélite em torno da terra e as órbitas de planetas em torno do sol 121 LEI dE NEWToN dA grAVITAÇÃo seu peso a força que oa atrai para o centro da terra talvez seja o exemplo mais familiar de atração gravitacional para você Estudando BookSEARSVol2indb 1 021015 148 PM 2 Física II o movimento da Lua e dos planetas Newton descobriu uma lei da gravitação que oferece o caráter fundamental da atração gravitacional entre dois corpos de qual quer natureza com as três leis do movimento Newton publicou a lei da gravitação em 1687 Ela pode ser enunciada do seguinte modo em linguagem moderna Cada partícula do universo atrai qualquer outra partícula com uma força diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversa mente proporcional ao quadrado da distância entre as partículas a Figura 121 representa essa lei que pode ser expressa como uma equação 121 Constante gravitacional a mesma para duas partículas quaisquer Massas das partículas Distância entre partículas Lei da gravitação de Newton módulo da força gravitacional de atração entre duas partículas quaisquer Fg r2 Gm1m2 a constante gravitacional G na Equação 121 é uma constante física funda mental que tem o mesmo valor para duas partículas quaisquer Logo veremos qual é o valor de G e como esse valor é medido a Equação 121 nos mostra que a força gravitacional entre duas partículas di minui com o aumento da distância r se a distância dobra a força se reduz a um quarto e assim por diante Embora muitas estrelas no céu noturno possuam muito mais massa que o sol elas estão tão distantes que sua força gravitacional sobre a terra pode ser desprezada pois é muito pequena ATENÇÃo Não confunda g com G os símbolos g e G são semelhantes mas representam duas quantidades gravitacionais muito diferentes a letra minúscula g é a aceleração da gravidade que relaciona o peso p com a massa m do corpo pela equação p mg o valor de g varia em locais diferentes da terra e sobre as superfícies de outros planetas Em con traste a letra maiúscula G relaciona a força entre dois corpos com suas massas e a distância entre eles a constante G denominase universal porque possui sempre o mesmo valor para dois corpos independentemente dos locais do universo nos quais os corpos estejam Na próxima seção mostraremos como G se relaciona com g as forças gravitacionais atuam sempre ao longo da linha que une as duas partículas constituindo um par de ação e reação Essas forças sempre possuem módulos iguais mesmo quando as massas são diferentes figura 121 a força de atração que seu corpo exerce sobre a terra possui o mesmo módulo da força de Duas partículas quaisquer se atraem mutuamente pela ação da força gravitacional As forças gravitacionais que as duas partículas exercem entre si possuem módulos iguais mesmo quando as massas das partículas são bastante diferentes Fg 1 sobre 2 Fg 2 sobre 1 r m1 m2 Fg 2 sobre 1 S Fg 1 sobre 2 S Figura 121 forças gravitacionais entre duas partículas de massas m1 e m2 BookSEARSVol2indb 2 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 3 atração que a terra exerce sobre você Quando você salta do trampolim de uma piscina a terra se move em sua direção Por que você não nota isso Porque a massa da terra é cerca de 1023 vezes maior que a sua massa de modo que a aceleração da terra é igual a 1023 da sua aceleração gravitação e corpos de simetria esférica Enunciamos a lei da gravitação em termos da interação entre duas partículas verificase que a interação gravitacional entre dois corpos com distribuições de massa de simetria esférica como esferas maciças ou ocas é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas nos centros das respectivas esfe ras como indicado na Figura 122 Portanto quando modelamos a terra como um corpo esférico de massa mt a força que ela exerce sobre uma partícula ou sobre um corpo com simetria esférica de massa m sendo r a distância entre seus respectivos centros é dada por Fg GmT m r2 122 122 desde que o corpo esteja situado na parte externa da terra uma força de mesmo módulo é realizada pelo corpo sobre a terra Essas afirmações serão demonstradas na seção 126 Para os pontos situados no interior da terra a situação é diferente se pudés semos fazer um furo até o centro da terra e medíssemos a força gravitacional em diferentes profundidades verificaríamos que a força gravitacional diminui com o aumento da profundidade em vez de crescer como 1r2 À medida que um corpo penetra no interior da terra ou em qualquer outro corpo esférico as partes exter nas da massa da terra opostas em relação ao centro exercem forças em sentidos contrários sobre o corpo Exatamente no centro a força gravitacional exercida pela terra sobre o corpo é igual a zero corpos que possuem distribuição de massa com simetria esférica são muito importantes porque luas planetas e estrelas tendem a possuir forma esférica visto que todas as partículas de um corpo sofrem a ação de forças gravitacionais que tendem a aproximálas entre si as partículas tendem a se mover para minimizar a distância entre elas Por causa disso o corpo naturalmente tende a possuir uma forma esférica do mesmo modo que uma porção de barro tende a assumir uma forma esférica quando você a comprime com força igual em todas as direções Em corpos celestes com massa pequena esse efeito é bastante reduzido porque as forças gravitacionais são menos intensas e esses corpos tendem a não assumir uma forma esférica Figura 123 determinação do valor de G Para determinar o valor da constante gravitacional G devemos medir a força gravitacional entre dois corpos de massas conhecidas m1 e m2 separados por uma distância r conhecida Essa força é extremamente pequena para corpos existentes em laboratórios mas pode ser medida com um instrumento denominado balança de torção usado em 1798 por henry cavendish para determinar o valor de G uma versão moderna da balança de cavendish é indicada na Figura 124 uma haste leve e rígida em forma de letra t invertido é sustentada verticalmente por uma fibra de quartzo fina Duas pequenas esferas cada uma com massa m1 estão fixadas nas extremidades dos braços horizontais da armação em forma de t ao aproximarmos duas esferas grandes cada uma com massa m2 nas posições Fg R1 R2 m2 r Fg r m2 m1 Fg Fg a A força gravitacional entre duas massas com simetria esférica m1 e m2 b seria a mesma se reuníssemos toda a massa de cada esfera no centro da esfera m1 Figura 122 o efeito gravitacional na parte externa de qualquer distribuição de massa com simetria esférica é o mesmo efeito produzido supondose que a massa total da esfera esteja reunida em seu centro 100 km 100000 km Amalteia uma das pequenas luas de Júpiter possui massa relativamente pequena 717 1018 kg apenas cerca de 38 10 9 da massa de Júpiter e fraca atração gravitacional mútua por isso tem forma irregular A massa de Júpiter é muito grande 190 1027 kg então a atração gravitacional mútua de suas partes deulhe uma forma quase esférica Figura 123 corpos esféricos e não esféricos o planeta Júpiter e uma de suas pequenas luas amalteia BookSEARSVol2indb 3 021015 148 PM 4 Física II indicadas as forças gravitacionais fazem o t girar em um pequeno ângulo em virtude da torção Para medir esse ângulo fazemos um feixe de luz incidir sobre um espelho fixado na haste do t o feixe refletido atinge uma escala graduada e quando o t sofre uma torção o feixe refletido se move ao longo da escala Depois de calibrar a balança de cavendish podemos medir as forças gravitacio nais e assim determinar o valor de G o valor atualmente aceito em unidades si é dado por G 66738480 1011 N m2kg2 com três algarismos significativos escrevemos G 667 1011 N m2kg2 como 1 N 1 kg ms2 as unidades de G também podem ser expressas como m3kg s2 as forças gravitacionais devem ser adicionadas vetorialmente se duas massas exercem forças gravitacionais sobre uma terceira massa a força resultante sobre esta é igual à soma vetorial dessas duas forças gravitacionais No Exemplo 123 utilizamos esta propriedade normalmente chamada de superposição de forças ver seção 41 a massa m1 de uma das esferas pequenas da balança de cavendish é igual a 00100 kg a massa m2 de uma das esferas grandes é igual a 0500 kg e a distância entre o centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 00500 m calcule a força gravitacional Fg sobre cada esfera soLUÇÃo IDENTIFICAR PREPARAR E EXECUTAR como os objetos são esfericamente simétricos podemos calcular a força gravitacional Fg que um exerce sobre o outro supondo que eles sejam partícu las distanciadas por 00500 m como na figura 122 cada esfera recebe uma força de mesmo módulo da outra esfera usaremos a lei da gravitação Equação 121 para determinar Fg Fg 1667 1011 N m2kg22 100100 kg2 10500 kg2 100500 m22 133 1010 N AVALIAR é incrível como uma força tão pequena pudesse ser medida ou mesmo detectada mais de 200 anos atrás é preciso um objeto de massa realmente grande como a terra para exercer uma força gravitacional que possa ser sentida ExEmPlo 121 CÁLCULO DE UMA FORÇA GRAVITACIONAL Figura 124 Princípio de funcionamento de uma balança de cavendish usada para a determinação do valor de G o ângulo de deflexão está exagerado para dar mais clareza A gravitação atrai as pequenas massas para as grandes fazendo com que a fbra vertical de quartzo gire As esferas pequenas atingem uma nova posição de equilíbrio quando a força elástica exercida pela fbra de quartzo deslocada equilibra a força gravitacional entre elas Massa grande 1m22 Massa pequena 1m12 Espelho Raio laser Fibra de quartzo m1 Fg m2 Escala Laser Fg 1 A defexão do raio laser indica o quanto a fbra girou Essa defexão fornece o valor de G 2 BookSEARSVol2indb 4 021015 148 PM EXEMPLO 122 ACELERAÇÃO PRODUZIDA POR ATRAÇÃO GRAVITACIONAL Suponha que as duas esferas do Exemplo 121 sejam colocadas a uma distância de 00500 m entre seus centros em um local no espaço muito afastado de todos os outros corpos Qual é o módulo da aceleração de cada esfera em relação a um sistema inercial SOLUÇÃO IDENTIFICAR PREPARAR E EXECUTAR a força gravitacional que as duas esferas exercem uma sobre a outra possui o mesmo módulo Fg encontrado no Exemplo 121 Podemos desprezar quaisquer outras forças Mas as acelerações das duas esferas a₁ e a₂ são diferentes porque suas massas são diferentes Para achar o módulo da aceleração de cada esfera usaremos a segunda lei de Newton a₁ Fgm₁ 133 10¹⁰ N00100 kg 133 10⁸ ms² a₂ Fgm₂ 133 10¹⁰ N0500 kg 266 10¹⁰ ms² AVALIAR a esfera maior possui 50 vezes mais massa que a menor e assim sua aceleração é igual a 150 da aceleração da menor Note também que as acelerações não são constantes as forças gravitacionais aumentam à medida que as esferas se aproximam EXEMPLO 123 SUPERPOSIÇÃO DE FORÇAS GRAVITACIONAIS Muitas estrelas pertencem a sistemas de duas ou mais estrelas mantidas juntas pela atração gravitacional mútua A Figura 125 mostra um sistema de três estrelas em um instante em que elas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 45 Determine a força gravitacional resultante sobre a estrela menor exercida pela ação das duas estrelas maiores Figura 125 A força gravitacional resultante sobre a estrela menor em O é a soma vetorial das forças gravitacionais exercidas sobre ela pelas duas estrelas maiores Em comparação a massa do Sol uma estrela bastante comum é 199 10³⁰ kg e a distância da Terra ao Sol é 150 10¹¹ m SOLUÇÃO IDENTIFICAR PREPARAR E EXECUTAR devemos usar o princípio da superposição a força total F sobre a estrela menor é a soma vetorial das forças F₁ e F₂ produzidas pelas estrelas maiores como mostra a Figura 125 Vamos supor que as estrelas sejam esferas como na Figura 122 Primeiro calcularemos os módulos F₁ e F₂ de cada força usando a Equação 121 e depois a soma vetorial usando componentes F₁ 667 10¹¹ Nm²kg² 800 10³⁰ kg100 10³⁰ kg 200 10¹² m² 200 10¹² m²12 667 10²⁵ N F₂ 667 10²⁵ N 667 10¹¹ Nm²kg² 800 10³⁰ kg100 10³⁰ kg 200 10¹² m² 133 10²⁶ N Os componentes x e y destas forças são F₁x 667 10²⁵ Ncos 45 472 10²⁵ N F₁y 667 10²⁵ Nsen 45 472 10²⁵ N F₂x 133 10²⁶ N F₂y 0 Os componentes da força resultante F sobre a esfera menor são Fx F₁x F₂x 181 10²⁶ N Fy F₁y F₂y 472 10²⁵ N O módulo da força resultante F e seu ângulo θ ver Figura 125 são F Fₓ² Fy² 181 10²⁶ N² 472 10²⁵ N² 187 10²⁶ N θ arctanFyFx arctan472 10²⁵ N181 10²⁶ N 146 AVALIAR embora a força resultante F sobre a estrela pequena seja imensa o módulo da aceleração resultante não é a Fm 187 10²⁶ N10 10³⁰ kg 187 10⁴ ms² Além do mais a força F não está dirigida para o centro de massa das duas estrelas maiores 6 Física II Por que as forças gravitacionais são importantes comparando os exemplos 121 e 123 vemos que as forças gravitacionais entre objetos caseiros de tamanho normal são desprezíveis mas bastante significativas entre objetos do tamanho de estrelas com efeito a gravidade é a força mais im portante na escala de planetas estrelas e galáxias Figura 126 Ela é responsável por manter a terra agregada e os planetas girando ao redor do sol a atração gra vitacional mútua entre as diversas partes do sol comprime a massa em seu núcleo a intensidades e temperaturas muito altas possibilitando as reações nucleares que acontecem lá Essas reações geram a energia do sol que torna possível a existência de vida na terra e permite que você esteja lendo estas palavras agora a força gravitacional é muito importante em escala cósmica porque ela atua a distância sem nenhum contato direto entre os corpos as forças elétricas e mag néticas também possuem essa notável propriedade mas são menos importantes em escala astronômica porque grandes acúmulos de matéria são eletricamente neutros ou seja contêm quantidades iguais de carga positiva e negativa como resultado as forças elétricas e magnéticas entre estrelas e planetas aproximamse de zero as interações fortes e fracas discutidas na seção 55 Física I também agem a distância porém sua influência é desprezível em distâncias muito maiores que o diâmetro de um núcleo atômico cerca de 1014 m o conceito de campo é um método útil para descrever forças que atuam a distân cia um corpo produz uma perturbação ou campo em todos os pontos do espaço e a força que atua sobre outro corpo situado em dado ponto é uma resposta do campo do primeiro corpo nesse ponto Existem campos associados às forças que atuam a dis tância por essa razão mencionaremos campos gravitacionais elétricos magnéticos e assim por diante como não necessitamos do conceito de campo gravitacional para os estudos deste capítulo não o mencionaremos mais aqui No entanto em capítulos posteriores verificaremos que o conceito de campo é uma ferramenta extremamente poderosa para descrever interações elétricas e magnéticas TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 121 o planeta saturno possui cerca de cem vezes a massa da terra e fica cerca de dez vezes mais longe do sol que a terra comparada à aceleração da terra provocada pela atração gravitacional do sol quão maior ou menor é a aceleração de saturno em virtude da atração gravitacional do sol i cem vezes maior ii dez vezes maior iii igual iv 1 10 da aceleração da terra v 1 100 da aceleração da terra 122 PEso Definimos o peso de um corpo na seção 44 Física I como a força de atração gravitacional exercida pela terra sobre ele Podemos agora estender nossa defi nição e dizer que o peso de um corpo é a força gravitacional resultante exercida por todos os corpos do universo sobre esse corpo Quando o corpo está próximo da superfície terrestre podemos desprezar todas as outras forças gravitacionais e considerar o peso apenas como a atração gravitacional exercida pela terra sobre o corpo Na superfície da Lua consideramos o peso do corpo como a atração gravi tacional exercida por ela sobre o corpo e assim por diante se modelarmos a terra como um corpo esférico de raio Rt e massa mt o peso p de um corpo pequeno de massa m na superfície terrestre a uma distância Rt do seu centro é dado por 123 Constante gravitacional Massa da Terra Raio da Terra Massa do corpo O peso de um corpo na superfície da Terra p Fg RT 2 GmTm é igual à força gravitacional que a Terra exerce sobre o corpo dAdos mosTrAm Gravitação Quando os alunos recebiam um problema sobre superposição de forças gravitacionais mais de 60 davam uma resposta incorreta Erros comuns supor que objetos de massa igual A e B deverão exercer atração gravitacional igualmente forte sobre um objeto C o que não é verdade quando A e B estão a distâncias diferentes de C Deixar de considerar a natureza vetorial da força Para somar duas forças que apontam em direções diferentes não se pode simplesmente somar os módulos de força Figura 126 Nosso sistema solar é parte de uma galáxia em espiral como esta que contém aproximadamente 1011 estrelas mas também gás poeira e outros materiais o conjunto todo é mantido agregado pela atração gravitacional mútua entre toda a matéria da galáxia BookSEARSVol2indb 6 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 7 sabemos porém da seção 44 que o peso p de um corpo é a força que produz uma aceleração g quando o corpo está em queda livre então pela segunda lei de Newton p mg igualando esta relação com a Equação 123 e dividindo por m obtemos 124 Constante gravitacional Massa da Terra Raio da Terra Aceleração da gravidade na superfície da Terra g RT 2 GmT a aceleração da gravidade g é independente da massa m do corpo porque m não aparece nesta equação Já conhecíamos esse resultado porém agora verificamos como ele decorre da lei da gravitação com exceção de mt as demais grandezas da Equação 124 são mensuráveis portanto usando essa relação podemos determinar a massa da terra Explicitando mt da Equação 124 e usando os valores Rt 6370 km 637 106 m e g 980 ms2 achamos mT gRT 2 G 596 1024 kg Esse resultado é bem próximo do valor de 5972 1024 kg atualmente aceito Quando cavendish mediu G ele determinou a massa da terra usando exatamente esse método Em um ponto acima da superfície terrestre situado a uma distância r do centro da terra a uma altura r Rt acima da superfície o peso de um corpo é dado pela Equação 123 substituindose Rt por r p Fg GmT m r2 125 o peso de um corpo diminui com o inverso do quadrado de sua distância ao centro da terra Figura 127 a Figura 128 mostra como o peso varia com a altura acima da terra para uma astronauta que pesa 700 N na superfície terrestre p peso da astronauta GmTmr2 r distância da astronauta ao centro da Terra r RT distância da astronauta à superfície da Terra Raio da Terra RT 637 106 m Astronauta massa m Massa da Terra mT r RT 1 106 m2 r 1 106 m2 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 0 100 200 300 400 500 600 700 p N Figura 128 uma astronauta pesando 700 N na superfície terrestre sofre a ação de uma força gravitacional menor em pontos acima dessa superfície a distância que importa é a distância r da astronauta ao centro da terra não a distância dela à superfície terrestre Aplicação Caminhando e correndo na lua Você automaticamente passa de uma caminhada para uma corrida quando a força vertical que você exerce sobre o solo que segundo a terceira lei de Newton é igual à força vertical que o solo exerce sobre você é maior que o seu peso Essa transição de caminhada para corrida acontece em velocidades muito mais lentas na Lua onde os objetos pesam apenas 17 do peso na Terra Logo os astronautas da Apollo se achavam correndo mesmo quando se moviam de forma relativamente lenta durante suas caminhadas na Lua Figura 127 Quando está em um avião voando a uma altitude elevada você pesa menos por estar mais longe do centro da terra que quando está sobre a superfície terrestre você é capaz de mostrar que a uma altura de 10 km acima da superfície terrestre seu peso é precisamente 03 menor que seu peso sobre a superfície terrestre BookSEARSVol2indb 7 021015 148 PM 8 Física II o peso aparente de um corpo na superfície terrestre difere ligeiramente da força de atração gravitacional exercida pela terra porque esta gira e portanto não é preci samente um sistema de referência inercial Em nossa discussão anterior desprezamos esse efeito mas voltaremos a discutilo cuidadosamente na seção 127 Embora a terra seja aproximadamente uma distribuição de massa esfericamente simétrica isso não significa supor que ela seja uniforme Para provar que ela não pode ser uniforme inicialmente vamos calcular sua densidade média ou seja a massa por unidade de volume da terra supondo que ela seja esférica seu volume é V T 4 3 pRT 3 4 3 p 1637 106 m23 108 1021 m3 a densidade média r letra grega rô é igual à massa total dividida pelo volume r mT V T 597 1024 kg 108 1021 m3 5500 kgm3 55 gcm3 compare com a densidade da água dada por 1000 kgm3 100 gcm3 caso a terra fosse uniforme as rochas nas vizinhanças da superfície terrestre deveriam possuir a mesma densidade Na realidade a densidade das rochas de superfície é bem menor entre aproximadamente 2000 kgm3 para as rochas sedimentares e cerca de 3300 kgm3 para o basalto Portanto a terra não pode ser uniforme e o interior dela deve possuir uma densidade maior que a da superfície terrestre para que sua densidade média seja de 5500 kgm3 De acordo com modelos geofísicos do interior da terra a densidade máxima no centro da terra é aproximadamente igual a 13000 kgm3 a Figura 129 mostra um gráfico da densidade em função da distância ao centro da terra um veículo explorador não tripulado com peso na terra igual a 3430 N é enviado à superfície do planeta Marte que possui raio RM 339 106 m e massa mM 642 1023 kg ver apêndice f calcule o peso Fg do veículo na superfície mar ciana e a aceleração da gravidade gM soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR encontramos o peso Fg usando a Equação 123 substituindo mt a massa da terra por mM a massa de Marte e Rt por RM raios da terra e de Marte respec tivamente Determinamos a massa do veículo m a partir de seu peso na terra p e depois encontramos gM usando a equação Fg mgM EXECUTAR o peso do veículo na terra é p mg portanto m p g 3430 N 980 ms2 350 kg a massa é a mesma não importa onde o veículo esteja Pela Equação 123 o peso do veículo em Marte é Fg GmMm RM 2 1667 1011 N m2kg22 1642 1023 kg2 1350 kg2 1339 106 m2 2 130 103 N a aceleração da gravidade em Marte é gM Fg m 130 103 N 350 kg 37 ms2 AVALIAR embora Marte tenha apenas 11 da massa da terra 642 1023 kg contra 597 1024 kg a aceleração da gravidade gM e portanto o peso do objeto Fg é aproximadamente 40 de seu valor na terra isso porque gM também é inversamente propor cional ao quadrado do raio do planeta e Marte tem apenas 53 do raio da terra 339 106 m contra 637 106 m você pode verificar nosso resultado de gM usando a Equação 124 com as devidas substituições a resposta é a mesma ExEmPlo 124 GRAVIDADE EM MARTE TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 122 coloque os seguintes planetas hipotéticos em ordem da maior à menor gravidade de superfície i massa 2 vezes a massa da terra raio 2 vezes o raio da terra ii massa 4 vezes a massa da terra raio 4 vezes o raio da terra iii massa 4 vezes a massa da terra raio 2 vezes o raio da terra iv massa 2 vezes a massa da terra raio 4 vezes o raio da terra r 1 106 m2 4 8 12 16 r 1 1000 kgm32 1 2 3 4 5 6 RT 0 Núcleo exterior líquido Manto quase todo sólido Núcleo sólido interior Figura 129 a densidade r diminui à medida que aumenta a distância r ao centro da terra BookSEARSVol2indb 8 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 9 123 ENErgIA PoTENCIAL grAVITACIoNAL Quando desenvolvemos o conceito de energia potencial gravitacional na seção 71 Física I a força gravitacional da terra que atua sobre um corpo de massa m não depende da altura do corpo isso levou ao resultado U mgy Mas a Equação 122 Fg Gmtmr2 mostra que a força gravitacional exercida pela terra massa mt geralmente depende da distância r entre o corpo e o centro da terra Em problemas nos quais o corpo pode estar longe da superfície da terra precisamos de uma expressão mais genérica para a energia potencial gravitacional Para obter essa expressão seguimos as mesmas etapas indicadas na seção 71 consideramos um corpo de massa m fora da terra e inicialmente calculamos o trabalho Wgrav realizado pela força gravitacional quando o corpo se move ao longo de uma reta que o une ao centro da terra movendose diretamente para cima ou para baixo como na Figura 1210 desde o ponto r r1 até o ponto r r2 Esse trabalho é dado por Wgrav r2 r1 Fr dr 126 onde Fr é o componente radial da força gravitacional ou seja o componente que aponta para fora do centro da terra como a força aponta para dentro do centro da terra Fr é negativo Esse componente é diferente da Equação 122 que fornece o módulo da força gravitacional porque possui um sinal negativo Fr GmT m r2 127 substituindo a Equação 127 na 126 vemos que Wgrav é dado por Wgrav GmT m r2 r1 dr r2 GmT m r2 GmT m r1 128 a trajetória não precisa ser retilínea ela também poderia ser uma trajetória curva como a indicada na figura 1210 usandose um método semelhante ao da seção 71 vemos que esse trabalho depende apenas dos valores final e inicial de r e não da trajetória descrita isso também prova que a força gravitacional é sempre conservativa agora definimos a energia potencial gravitacional U correspondente de tal modo que wgrav U1 U2 como na Equação 73 comparando este resultado com a Equação 128 vemos que a definição apropriada da energia potencial gravita cional é Distância entre o corpo e o centro da Terra Energia potencial gravitacional expressão geral 129 Constante gravitacional Massa da Terra Massa do corpo U r GmTm a Figura 1211 mostra como a energia potencial gravitacional depende da dis tância r entre o corpo de massa m e o centro da terra Quando o corpo se afasta da terra a distância r aumenta a força gravitacional realiza um trabalho negativo e U aumenta isto é tornase menos negativa Quando o corpo cai em direção à terra a distância r diminui a força gravitacional realiza um trabalho positivo e a energia potencial gravitacional diminui isto é tornase mais negativa Trajetória curva Trajetória retilínea m r2 r1 mT A força gravitacional é conservativa o trabalho realizado por Fg não depende da trajetória de r1 a r2 S Fg S Figura 1210 trabalho realizado pela força gravitacional quando o corpo se move da coordenada radial r1 até r2 RT r U O GmTm RT U é sempre negativa mas se torna menos negativa com o aumento da distância radial r Terra massa mT Astronauta massa m Energia potencial gravitacional U para o sistema composto pela Terra e pela astronauta GmTm r Figura 1211 Gráfico da energia potencial gravitacional U para o sistema da terra massa mt e uma astronauta massa m em função da distância r da astronauta ao centro da terra BookSEARSVol2indb 9 021015 148 PM 10 Física II talvez você fique confuso com a Equação 129 porque ela afirma que a energia potencial gravitacional é sempre negativa No entanto você já encontrou valores negativos para U anteriormente ao usar a relação U mgy na seção 71 você verificou que U se tornava negativa quando o corpo de massa m se encontrava em uma altura y abaixo do ponto que você escolheu para y 0 ou seja sempre que a distância entre o corpo e a terra era menor que uma certa distância arbitrária veja o Exemplo 72 na seção 71 ao definir U pela Equação 129 escolhemos U 0 quando o corpo de massa m se encontra em uma distância infinita da terra r À medida que o corpo se aproxima da terra a energia potencial gravitacional diminui e portanto tornase negativa ATENÇÃo Força gravitacional versus energia potencial gravitacional tome cuidado para não confundir a relação da força gravitacional dada pela Equação 127 com a relação da energia potencial gravitacional dada pela Equação 129 a força Fr é proporcional a 1r2 enquanto a energia potencial gravitacional U é proporcional a 1r caso quiséssemos poderíamos fazer U 0 na superfície terrestre onde r Rt simplesmente adicionando a quantidade GmtmRt à Equação 129 isso faria U se tornar positiva para r Rt Não faremos isso por dois motivos primeiro porque tornaria a expressão de U mais complicada segundo porque o termo adicionado não alteraria a diferença de energia potencial entre dois pontos arbitrários que é a única grandeza com significado físico Quando a força gravitacional da terra sobre um corpo é a única que realiza trabalho a energia mecânica total do sistema é constante ou se conserva No exemplo fornecido a seguir usaremos esse princípio para calcular a velocidade de escape a velocidade mínima necessária para que um corpo escape completa mente de um planeta No livro com esse título escrito por Júlio verne em 1865 um projétil com três homens foi disparado em direção à Lua por um gigantesco canhão semienterrado no solo na flórida a calcule a velocidade mínima necessária na boca do canhão para que o projétil disparado verticalmente atinja uma altura igual ao raio da terra Rt b calcule a velocidade de escape ou seja a velocidade mínima necessária para que o projétil deixe a terra completamente Despreze a resistência do ar a rotação da terra e a atração gravitacional da Lua o raio da terra é dado por Rt 637 106 m e a massa da terra é mt 597 1024 kg soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR assim que o projétil sai da boca do canhão apenas a força gravitacional conservativa realiza tra balho assim podemos usar a conservação da energia mecânica para achar a velocidade com que o projétil precisa sair da boca do canhão a fim de parar a ao atingir uma distância de dois raios da terra desde o centro do planeta e b ao atingir uma distância infi nita da terra a equação de conservação de energia é K1 U1 K2 U2 em que a energia potencial U é dada pela Equação 129 Na Figura 1212 o ponto 1 está em r1 Rt em que o projétil sai do canhão com velocidade v1 a variávelalvo o ponto 2 é onde o projétil atinge sua altura máxima no item a r2 2Rt figura 1212a e no item b r2 figura 1212b Em ambos os casos v2 0 e K2 0 vamos considerar m a massa do projétil com os passageiros 2 2 1 1 Massa do projétil m Massa da Terra mT Massa da Terra mT Massa do projétil m r1 RT r1 RT r2 2RT r2 q a b Figura 1212 Nossos esquemas para este problema EXECUTAR a podemos calcular v1 usando a equação da con servação da energia mecânica K1 U1 K2 U2 1 2 mv 2 1 a GmTm RT b 0 a GmTm 2RT b v1 Å GmT RT Å 1667 1011 N m2kg22 1597 1024 kg2 637 106 m 7910 ms 1 28500 kmh 17700 mih2 ExEmPlo 125 DA TERRA À LUA Continua BookSEARSVol2indb 10 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 11 outras relações envolvendo energia potencial gravitacional como observação final mostraremos que quando estamos nas vizinhanças da superfície terrestre a Equação 129 se reduz ao resultado familiar U mgy obtido no capítulo 7 inicialmente reescrevemos a Equação 128 do seguinte modo Wgrav GmT m r1 r2 r1 r2 Quando o corpo está nas vizinhanças da superfície terrestre podemos substituir r1 e r2 pelo raio da terra Rt no denominador logo Wgrav GmT m r1 r2 RT 2 usando a Equação 124 g GmtRt 2 obtemos Wgrav mg 1r1 r22 substituindose cada r pelo respectivo y obtemos justamente a Equação 71 referente ao trabalho realizado por uma força gravitacional constante Na seção 71 usamos essa relação para deduzir a Equação 72 U mgy de modo que podemos considerar a Equação 72 para a energia potencial gravitacional um caso particular da relação mais geral dada pela Equação 129 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 123 se um planeta possui a mesma gravidade de superfície que a terra ou seja o mesmo valor de g na superfície qual é sua velocidade de escape i a mesma que a da terra ii menor que a da terra iii maior que a da terra iv qualquer uma destas respostas é possível 124 moVImENTo dE sATéLITEs satélites artificiais em órbita em torno da terra constituem uma parte familiar da tecnologia Figura 1213 No entanto quais são os fatores que determinam as propriedades de suas órbitas e como eles permanecem orbitando as respostas podem ser fornecidas aplicandose as leis de Newton e a lei da gravitação vere mos na próxima seção que o movimento de planetas pode ser analisado de modo semelhante Figura 1213 com uma massa de aproximadamente 45 105 kg e uma largura de mais de 108 m a Estação Espacial internacional é o maior satélite já colocado em órbita b agora r2 e portanto U2 0 veja a figura 1211 visto que K2 0 a energia mecânica resultante K2 U2 é zero neste caso Novamente explicitamos v1 usando a equação da conservação da energia 1 2 mv1 2 a GmT m RT b 0 0 v1 Å 2GmT RT Å 21667 1011 N m2kg22 1597 1024 kg2 637 106 m 112 104 ms 1 40200 kmh 25000 mih2 AVALIAR nossos resultados não dependem nem da massa do projétil nem da direção em que ele foi lançado as modernas espaçonaves lançadas na flórida devem atingir essencialmente a velocidade encontrada no item b para deixar a terra porém antes do lançamento ela já está se movendo a 410 ms para leste em virtude da rotação da terra Lançandose a espaçonave para leste ela recebe gratuitamente essa contribuição para a velo cidade de escape Generalizando nosso resultado a velocidade inicial v1 necessária para que um corpo escape da superfície de um astro esférico de massa M e raio R desprezando a resistência do ar é dada por v1 2GMR velocidade de escape Essa equação resulta em 503 103 ms para Marte 602 104 ms para Júpiter e 618 105 ms para o sol Continuação BookSEARSVol2indb 11 021015 148 PM 12 Física II Para começar lembrese do raciocínio feito na seção 33 Física I quando discutimos o movimento de um projétil No Exemplo 36 um motociclista se lança horizontalmente da extremidade de um morro descrevendo uma trajetória parabó lica que termina no solo plano na base do morro caso ele sobreviva e repita essa experiência com velocidades crescentes em cada lançamento ele chegará ao solo em pontos cada vez mais afastados do local do lançamento é possível imaginar que ele se lance com uma velocidade suficientemente grande para que a curvatura da terra passe a ser um fator importante À medida que ele cai a terra se encurva embaixo dele caso ele se lance com uma velocidade suficientemente grande e o topo do morro seja suficientemente elevado ele pode dar a volta na terra sem retornar ao solo a Figura 1214 mostra uma variante do tema apresentado no parágrafo anterior Lançamos um projétil de um ponto A em uma direção AB tangente à superfície terrestre as trajetórias de 1 até 7 mostram o efeito do aumento da velocidade inicial Nas trajetórias de 3 até 5 o projétil não volta para o solo e tornase um satélite artificial da terra caso não exista nenhuma força retardadora como a resistência do ar a velocidade quando ele retorna ao ponto A é igual à velocidade inicial e o corpo repete esse movimento indefinidamente as trajetórias de 1 até 5 se fecham sobre si mesmas e denominamse órbitas fechadas todas as órbitas fechadas ou são elipses ou segmentos de elipses a tra jetória 4 é uma circunferência que é um caso particular de elipse Estudaremos as propriedades das elipses na seção 125 as trajetórias 6 e 7 denominamse órbitas abertas Nessas trajetórias o projétil não retorna ao ponto A em vez disso afastase cada vez mais da terra 1 3 2 4 6 7 Um projétil é lançado de A para B As trajetórias de a mostram o efeito do aumento da velocidade inicial 1 7 5 B A C RT r Figura 1214 trajetórias de um projétil lançado de uma grande altura desprezando a resistência do ar as órbitas 1 e 2 se completariam como mostrado se a terra fosse uma massa pontual em C Esta ilustração se baseia em uma ilustração do livro Principia de isaac Newton satélites órbitas circulares uma órbita circular como a trajetória 4 indicada na figura 1214 é o caso mais simples é também um caso importante porque muitos satélites artificiais possuem órbitas quase circulares assim como as órbitas dos planetas do sistema solar a única força que atua sobre um satélite artificial em órbita circular em torno da terra é sua atração gravitacional que está orientada para o centro desta e portanto para o centro da órbita Figura 1215 conforme discutimos na seção 54 isso equivale a dizer que o satélite descreve um movimento circular uniforme RT r a S a S a S v S v S O satélite está em uma órbita circular sua aceleração a é sempre perpendicular à sua velocidade v então o módulo da sua velocidade v é constante S S v S Fg S Fg S Fg S Figura 1215 a força g decorrente da atração gravitacional exercida pela terra fornece a aceleração centrípeta necessária para manter o satélite em órbita compare esta figura com a figura 528 BookSEARSVol2indb 12 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 13 e sua velocidade é constante Em sua queda o satélite não vai em direção à terra em vez disso ele segue constantemente ao redor dela e sua velocidade tangencial na órbita circular é exatamente a necessária para manter constante sua distância ao centro da terra vejamos como é possível achar a velocidade constante v de um satélite em uma órbita circular o raio da órbita é r medido a partir do centro da terra a aceleração do satélite possui módulo arad v2r e ela está sempre dirigida para o centro do círculo De acordo com a lei da gravitação a força resultante a força gravitacional que atua sobre um satélite de massa m é dada por Fg Gmtmr2 e possui a mesma direção e sentido da aceleração Então a segunda lei de Newton g m permite escrever GmT m r2 mv2 r Explicitando v obtemos 1210 Constante gravitacional Massa da Terra Raio da órbita Velocidade do satélite em uma órbita circular em torno da Terra v r GmT Å Essa relação mostra que a escolha de v não pode ser feita de modo independente da escolha de r para um dado valor de r a velocidade v de uma órbita circular é determinada por essa relação a massa m do satélite não aparece na Equação 1210 o que mostra que o movi mento de um satélite não depende de sua massa uma astronauta no interior de um ônibus espacial em órbita é ela própria um satélite artificial da terra mantida na mesma órbita do ônibus espacial em virtude da atração gravitacional do planeta a aceleração e a velocidade da astronauta possuem valores iguais aos da acelera ção e da velocidade do ônibus espacial de modo que não existe nenhuma força empurrandoa nem contra a parede nem contra o piso Ela está no chamado estado de imponderabilidade no qual seu peso aparente é nulo tal como no caso de um elevador em queda livre veja a discussão que segue o Exemplo 59 da seção 52 um verdadeiro estado de imponderabilidade ocorreria somente se ela estivesse muito afastada de qualquer corpo de modo que a atração gravitacional sobre ela seria igual a zero Na verdade todas as partes de seu corpo possuem um peso apa rente igual a zero ela não sente nenhuma força empurrando seu estômago contra seus intestinos ou sua cabeça contra seus ombros Figura 1216 a ocorrência de um peso aparente igual a zero não é apenas característica de uma órbita circular isso ocorrerá sempre que a atração gravitacional for a única força atuando sobre uma espaçonave Portanto ocorre em qualquer tipo de órbita incluindo as órbitas abertas indicadas pelas trajetórias 6 e 7 na figura 1214 Podemos deduzir uma relação entre o raio r de uma órbita circular e o período T o tempo de uma revolução a velocidade v é a distância 2pr percorrida durante uma revolução dividida pelo período v 2pr T 1211 resolvemos a Equação 1211 explicitando T e eliminamos v usando a Equação 1210 1212 Raio da órbita Velocidade orbital Constante gravitacional Massa da Terra Período de uma órbita circular em torno da Terra T 2pr v 2pr GmT 2pr32 GmT r Ä Figura 1216 Estes astronautas de um ônibus espacial encontramse em estado de aparente imponderabilidade Quais estão em pé e quais estão de cabeça para baixo BookSEARSVol2indb 13 021015 148 PM 14 Física II as equações 1210 e 1212 mostram que as órbitas maiores correspondem a velocidades mais baixas e a períodos mais longos como um exemplo a Estação Espacial internacional figura 1213 orbita a 6800 km do centro da terra 400 km acima da superfície da terra com uma velocidade orbital de 77 kms e um período orbital de 93 minutos a Lua circula a terra em uma órbita muito maior com raio de 384000 km e portanto possui velocidade orbital muito mais lenta 10 kms e período orbital muito mais longo 273 dias é interessante comparar a Equação 1210 com o cálculo da velocidade de es cape do Exemplo 125 vemos que a velocidade de escape de um corpo esférico com raio R é 2 vezes maior que a velocidade de um satélite em uma órbita de mesmo raio caso nossa espaçonave esteja em uma órbita circular em torno de qualquer planeta devemos multiplicar a velocidade dessa órbita por 2 para que ele escape para o infinito qualquer que seja a massa do planeta uma vez que a velocidade v em uma órbita circular é determinada pela Equação 1210 para um dado raio r da órbita a energia mecânica total E K U também pode ser determinada usando as equações 129 e 1210 achamos E K U 1 2 mv2 a GmT m r b 1 2 m aGmT r b GmT m r GmT m 2r 1órbita circular 1213 a energia mecânica total em uma órbita circular é negativa e igual à metade da energia potencial gravitacional aumentar o raio r da órbita significa aumentar a energia mecânica isto é fazer E ficar menos negativa Quando o satélite está em uma órbita relativamente baixa no limiar da atmosfera terrestre a energia mecânica diminui por causa do trabalho negativo realizado pela força de resistência do ar portanto o raio da órbita deve ir diminuindo até que o satélite queime na atmosfera ou caia no solo temos nos referido principalmente a satélites artificiais da terra porém po demos aplicar a análise anterior para qualquer corpo submetido a uma atração gravitacional de um astro estacionário a Figura 1217 mostra um exemplo Figura 1217 o planetaanão Plutão possui pelo menos cinco satélites De acordo com as equações 1210 e 1212 quanto maior a órbita do satélite em torno de Plutão menor é a velocidade orbital do satélite e maior seu período orbital BookSEARSVol2indb 14 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 15 suponha que você deseje colocar um satélite meteorológico de 1000 kg em uma órbita circular 300 km acima da superfície terrestre a Quais seriam a velocidade o período e a aceleração radial desse satélite b Qual seria o trabalho necessário para colocar esse satélite em órbita c Qual seria o trabalho adicional necessário para fazer esse satélite deixar a terra o raio e a massa da terra podem ser encontrados no Exemplo 125 seção 123 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o satélite está em uma órbita cir cular então podemos usar as equações deduzidas nesta seção No item a primeiro acharemos o raio r da órbita do satélite nessa altitude Depois calcularemos a velocidade v e o período T usando as equações 1210 e 1212 e a aceleração por arad v2r Nos itens b e c o trabalho necessário é a diferença entre as energias mecânicas inicial e final que para uma órbita circular é dada pela Equação 1213 EXECUTAR a o raio da órbita do satélite é r 6370 km 300 km 6670 km 667 106 m Pela Equação 1210 a velocidade orbital é v Å GmT r Å 1667 1011 N m2kg22 1597 1024 kg2 667 106 m 7730 ms Pela Equação 1212 o período orbital é T 2pr v 2p 1667 106 m2 7730 ms 5420 s 904 min Por fim a aceleração radial é dada por a rad v2 r 17730 ms2 2 667 106 m 896 ms2 Este é o valor de g na altura de 300 km acima da superfície da terra ele é aproximadamente 10 menor que o valor de g na superfície terrestre b o trabalho necessário é dado pela diferença entre a energia mecânica total E2 quando o satélite está em órbita e a energia mecânica total original E1 quando o satélite estava em repouso na plataforma de lançamento usando a Equação 1213 obtemos a energia em órbita E2 GmTm 2r 1667 1011 N m2kg22 1 2 597 1024 kg2 1 1000 kg 21667 106 m2 298 1010 J a energia cinética do satélite é zero na plataforma de lançamento r Rt portanto E1 K1 U1 0 a GmT m RT b 1667 1011 N m2kg22 1597 1024 kg2 11000 kg2 637 106 m 625 1010 J Portanto o trabalho necessário é Wnecessário E2 E1 1298 1010 J2 1625 1010 J2 327 1010 J c vimos na parte b do Exemplo 125 que para um satélite escapar até o infinito a energia mecânica total deve ser igual a zero aqui a energia mecânica total na órbita circular é E2 298 1010 J para fazer essa energia crescer até zero seria preciso realizar um trabalho igual a 298 1010 J no satélite energia esta que poderia ser fornecida pelos motores de um fo guete ligado ao satélite AVALIAR na parte b desprezamos a energia cinética inicial do satélite que ainda estava na plataforma de lançamento em virtude da rotação da terra Que diferença faz esse fator veja dados úteis no Exemplo 125 ExEmPlo 126 UMA ÓRBITA DE SATÉLITE TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 124 sua espaçonave está em baixa altitude em uma órbita circular ao redor da terra a resistência do ar nas regiões mais periféricas da atmosfera executa trabalho negativo sobre a espaçonave fazendo com que o raio da órbita diminua um pouco a velocidade da espaçonave i permanece a mesma ii aumenta ou iii diminui 125 As LEIs dE KEPLEr E o moVImENTo dE PLANETAs a palavra planeta deriva de um termo grego que significa errante e na ver dade os planetas mudam constantemente de posição no céu em relação ao fundo de estrelas uma das maiores realizações intelectuais dos séculos Xvi e Xvii foi a verificação de três fatos a terra também é um planeta todos os planetas descrevem órbitas em torno do sol os movimentos aparentes dos planetas vistos da terra podem ser usados para determinar suas órbitas precisamente BookSEARSVol2indb 15 021015 148 PM 16 Física II Nicolau copérnico publicou em 1543 na Polônia a primeira e a segunda dessas conclusões a determinação das órbitas dos planetas foi realizada entre 1601 e 1619 pelo astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler usando um conjunto volumoso de dados precisos sobre os movimentos planetários aparentes compi lados por seu preceptor o astrônomo dinamarquês tycho Brahe Pelo método de tentativa e erro Kepler descobriu três leis empíricas que descrevem com precisão o movimento dos planetas 1 Cada planeta se move em uma órbita elíptica com o Sol ocupando um dos focos da elipse 2 A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais 3 O período de um planeta é proporcional à potência 3 2 do comprimento do eixo maior da elipse descrita pelo respectivo planeta Kepler não sabia por que os planetas se moviam desse modo três gerações mais tarde quando Newton estudava o movimento dos planetas descobriu que todas as leis de Kepler poderiam ser deduzidas elas decorrem das leis do movimento de Newton e da lei da gravitação vamos examinar cada uma das leis de Kepler separadamente Primeira lei de Kepler inicialmente vamos considerar a órbita elíptica mencionada na primeira lei de Kepler a Figura 1218 mostra a geometria de uma elipse a dimensão maior cor responde ao eixo maior e a é a metade do comprimento do eixo maior esta metade é o semieixo maior a soma das distâncias de S até P e de S até P é a mesma para todos os pontos sobre a curva os pontos S e S são os focos o sol está no ponto S não no centro da elipse e o planeta no ponto P consideramos esses astros como pontos porque suas dimensões são muito menores que a distância entre eles Não existe nada no outro foco S a distância de cada foco até o centro da elipse é igual a ea onde e é um número sem dimensões entre 0 e 1 denominado excentricidade Quando e 0 os dois focos coincidem e a elipse é uma circunferência as órbitas reais dos planetas são aproximadamente circulares suas excentricidades variam de 0007 para vênus a 0206 para Mercúrio a órbita da terra tem e 0017 o periélio corresponde ao ponto mais próximo do sol na órbita do planeta e o afélio corresponde ao ponto mais afastado do sol na órbita do planeta Newton verificou que quando uma força de atração proporcional a 1r2 atua sobre um corpo as únicas órbitas fechadas possíveis são a elipse e a circunferên cia ele também mostrou que órbitas abertas trajetórias 6 e 7 na figura 1214 devem ser parábolas ou hipérboles Esses resultados podem ser obtidos de forma direta usandose as leis do movimento de Newton e a lei da gravitação com várias outras equações diferenciais que você ainda não está pronto para utilizar segunda lei de Kepler a segunda lei de Kepler é mostrada na Figura 1219 Em um pequeno intervalo dt a linha que liga o sol S ao planeta P descreve um ângulo du a área varrida é dada pelo triângulo sombreado de altura r base r du e área dA 1 2r2 du na figura 1219b a taxa com a qual essa área é varrida dAdt é denominada velocidade setorial dA dt 1 2 r2 du dt 1214 a essência da segunda lei de Kepler consiste em dizer que a velocidade setorial permanece constante qualquer que seja o ponto da órbita Quando o planeta está y Não há nada no outro foco O Sol S encontrase em um dos focos da elipse Um planeta P segue uma órbita elíptica Afélio Periélio O x P ea ea a a S9 S Figura 1218 Geometria de uma elipse a soma das distâncias SP e SP permanece constante para todos os pontos da curva as dimensões do sol S e do planeta P estão ampliadas exageradamente para dar maior clareza v S v S v2 S v1 S A linha SP varre áreas iguais A em tempos iguais a b c A dA área varrida pela linha SP em um tempo dt du r S P f r du v v sen f P SP linha que liga o Sol S ao planeta P S A r Figura 1219 a o planeta P se move ao redor do sol S descrevendo uma órbita elíptica b Em um intervalo dt a linha SP varre uma área dA 1 2r dur 1 2r2 du c a velocidade do planeta varia de tal modo que a linha SP varre a mesma área A em um dado tempo t qualquer que seja a posição do planeta em sua órbita BookSEARSVol2indb 16 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 17 próximo do sol r é pequeno e dudt possui valor grande quando o planeta está longe do sol r é grande e dudt possui valor pequeno Para ver como a segunda lei de Kepler é deduzida a partir das leis de Newton escrevemos dAdt em termos do vetor velocidade do planeta P o componente de perpendicular à linha radial é dado por v v sen f Pela figura 1219b o deslocamento ao longo da direção de v durante um intervalo dt é r du de modo que obtemos v r dudt substituindo essa relação na Equação 1214 achamos dA dt 1 2 rv sen f 1velocidade do setor2 1215 agora rv sen f é o módulo do produto vetorial que por sua vez é igual a 1m vezes o momento angular m do planeta em relação ao sol assim obtemos dA dt 1 2m 0 r S mv S 0 L 2m 1216 Portanto a segunda lei de Kepler segundo a qual a velocidade setorial é cons tante significa que o momento angular é constante é fácil provar que o momento angular de um planeta deve ser constante De acordo com a Equação 1026 a taxa de variação de é igual ao torque da força gravitacional que atua sobre o planeta dL S dt t S r S F S Neste caso é o vetor que liga o sol ao planeta e a força gravitacional é direcionada do planeta ao sol Figura 1220 Portanto esses dois vetores sempre estão sobre a mesma direção e o produto vetorial é igual a zero Logo d dt 0 Essa conclusão não depende do fato de a força ser proporcional a 1r2 o momento angular se conserva para qualquer força que sempre atua ao longo da linha que liga a partícula a um ponto fixo Esse tipo de força denominase força central a primeira e a terceira leis de Kepler são válidas somente quando a força é proporcional a 1r2 a conservação do momento angular também explica por que a órbita deve estar contida em um plano o vetor m é sempre perpendicular ao plano for mado pelos vetores e como é um vetor constante em módulo e direção é devem sempre estar sobre um mesmo plano que é justamente o plano da órbita do planeta Terceira lei de Kepler Já deduzimos a terceira lei de Kepler para o caso particular de órbitas circulares a Equação 1212 mostra que o período de um satélite ou planeta em uma órbita circular é proporcional à potência 3 2 do raio da órbita Newton mostrou que essa mesma relação também vale no caso de uma órbita elíptica substituindose o raio da órbita r pelo semieixo maior a T 2pa32 GmS 1órbita elíptica em torno do Sol2 1217 uma vez que o planeta descreve a órbita em torno do sol e não em torno da terra substituímos a massa da terra mt na Equação 1212 pela massa do sol ms Note que o período não depende da excentricidade e um asteroide em uma órbita elíptica alongada com um semieixo maior a terá o mesmo período orbital que um planeta que descreva uma órbita circular com raio a a diferença principal é que o r S r S F S F S Mesmo planeta em dois pontos de sua órbita S A força gravitacional F sobre o planeta tem diferentes módulos em diferentes pontos mas é sempre oposta ao vetor r do Sol até o planeta Logo F produz torque zero em torno do Sol S S S Figura 1220 como a força gravitacional que o sol exerce sobre um planeta produz torque zero em torno do sol o momento angular do planeta em torno do sol permanece constante BIo Aplicação Danos biológicos das viagens interplanetárias Uma espaçonave enviada da Terra a outro planeta passa a maior parte de sua jornada fazendo uma órbita elíptica com o Sol em um foco Os foguetes são usados apenas no início e no final da viagem e até mesmo a viagem a um planeta próximo como Marte leva vários meses Durante essa jornada a espaçonave é exposta a raios cósmicos radiação que emana de todas as partes da nossa galáxia Na Terra somos protegidos dessa radiação pelo campo magnético do nosso planeta conforme explicaremos no Capítulo 27 Isso não impõe problema algum para uma espaçonave robótica mas poderia causar um dano biológico grave aos astronautas que estão realizando tal viagem BookSEARSVol2indb 17 021015 148 PM 18 Física II asteroide se move com velocidades diversas em diferentes pontos da órbita elíptica figura 1219c enquanto a velocidade do planeta se mantém constante ao longo de sua órbita circular Em que ponto de uma órbita elíptica figura 1219 um planeta apresenta a maior velocidade E a menor soLUÇÃo a energia mecânica se conserva enquanto o planeta se move ao redor da órbita a energia cinética do planeta K 1 2mv2 é má xima quando a energia potencial U Gmsmr é mínima isto é o mais negativa possível veja a figura 1211 o que ocorre quando a distância r entre o sol e o planeta é mínima assim a velocidade v é máxima no periélio De modo semelhante K é mínimo quando r é máximo de modo que a velocidade é mais lenta no afélio sua intuição a respeito de corpos que caem é útil aqui Enquanto o planeta cai na direção do sol ele acelera e sua velocidade é máxima quando está mais perto do sol Pelo mesmo raciocínio o planeta desacelera quando se afasta do sol e sua velocidade é mínima no afélio ExEmPlo CoNCEiTuAl 127 VELOCIDADES ORBITAIS o asteroide Palas tem um período orbital de 462 anos e uma excen tricidade orbital de 0233 Encontre o semieixo maior de sua órbita soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este exemplo usa a terceira lei de Kepler que relaciona o período T com o semieixo maior a de um objeto como um asteroide em órbita usamos a Equação 1217 para encontrar a pelo apêndice f temos ms 199 1030 kg e um fator de conversão do apêndice E fornece T 462 anos 3156 107 sano 146 108 s Note que não precisamos do valor da excentricidade EXECUTAR pela Equação 1217 a32 Gms12T2p Para explicitar a elevamos essa expressão à potência 2 3 a aGmST2 4p2 b 13 415 1011 m substitua você mesmo os números para verificar AVALIAR nosso resultado fica entre os semieixos maiores de Marte e Júpiter veja o apêndice f com efeito a maioria dos as teroides conhecidos orbita em um cinturão de asteroides entre as órbitas desses dois planetas ExEmPlo 128 TERCEIRA LEI DE KEPLER o cometa halley se move em uma órbita alongada ao redor do sol Figura 1221 No periélio a distância entre o cometa e o sol é igual a 875 107 km no afélio é igual a 526 109 km calcule o semieixo maior a excentricidade e o período orbital ExEmPlo 129 O COMETA HALLEY Continua Figura 1221 a a órbita do cometa halley b imagem do cometa halley quando ele apareceu em 1986 No coração do cometa existe uma camada de gelo chamada núcleo que possui diâmetro de aproximadamente 10 km Quando a órbita do cometa faz com que ele se aproxime do sol o calor produz uma vaporização parcial do núcleo o material evaporado constitui a cauda que pode se projetar até uma distância de dezenas de milhões de quilômetros b a 1983 1985 1977 1948 2024 1996 1989 1987 Plutão Netuno Urano Saturno Júpiter Marte Terra Órbitas planetárias Órbita do cometa Halley BookSEARSVol2indb 18 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 19 movimentos planetários e o centro de massa havíamos suposto que quando um planeta ou um cometa descreve uma órbita em torno do sol este permanece absolutamente estacionário obviamente isso não é correto como o sol exerce uma força gravitacional sobre o planeta este exerce uma força gravitacional sobre o sol de mesmo módulo e direção Na realidade o Sol e o planeta descrevem uma órbita em torno do centro de massa comum Figura 1222 ao desprezarmos esse efeito no entanto cometemos apenas um pequeno erro porque a massa do sol é aproximadamente 750 vezes maior que a soma das massas de todos os planetas de modo que o centro de massa do sistema solar não está muito afastado do centro do sol é interessante observar que os astrônomos utilizam esse efeito para detectar a presença de planetas orbitando ao redor de ou tras estrelas telescópios sensíveis são capazes de detectar a oscilação aparente de uma estrela ao orbitar ao redor do centro comum de massa de uma estrela e de um planeta não visível que a acompanha os planetas não são suficientemente iluminados para serem observados diretamente analisando essas oscilações os astrônomos descobriram planetas orbitando ao redor de centenas de outras estrelas o resultado mais impressionante do trabalho de Newton é que as mesmas leis usadas para descrever o movimento de corpos na terra podem ser usadas para des crever o movimento de todos os corpos do universo Essa síntese newtoniana como se costuma dizer é um dos grandes princípios unificadores da ciência isso produziu efeitos profundos no modo como a humanidade passou a encarar o universo não como uma realidade misteriosa e impenetrável mas como uma extensão de nosso mundo cotidiano sujeita ao cálculo e ao estudo científico TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 125 a órbita do cometa X possui um semieixo quatro vezes maior que o do cometa Y Qual é a razão entre o período orbital de X e o de Y i 2 ii 4 iii 8 iv 16 v 32 vi 64 126 dIsTrIBUIÇÃo EsFérICA dE mAssA afirmamos sem demonstrar que a interação gravitacional entre dois corpos que possuem distribuições de massa com simetria esférica para pontos externos das es feras é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas nos centros das respectivas esferas agora estamos preparados para demonstrar essa afirmação Newton passou vários anos em busca dessa demonstração e atrasou a publicação da lei da gravitação até conseguir encontrála Centro de massa do sistema da estrela e do planeta A estrela tem uma massa maior que a do planeta e por isso sua órbita é mais próxima do centro de massa O planeta e a estrela estão sempre em lados opostos do centro de massa vP vS Órbita do planeta ao redor do centro de massa Órbita da estrela Estrela Planeta cm Figura 1222 uma estrela e seu planeta orbitam ao redor de seu centro de massa comum soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR precisamos descobrir o semieixo maior a a excentricidade e e o período orbital T Podemos usar a figura 1218 para encontrar a e e a partir das distâncias do periélio e do afélio assim que soubermos o valor de a podemos encontrar o período orbital T usando a terceira lei de Kepler Equação 1217 EXECUTAR vemos na figura 1218 que o comprimento do eixo maior é igual à soma da distância entre o cometa e o sol no perié lio e a distância entre o cometa e o sol no afélio Logo a 1875 107 km2 1526 109 km2 2 267 109 km a figura 1218 também mostra que a distância entre o cometa e o sol no periélio é a ea a1 e como sabemos que a distância é 875 107 km a excentricidade é e 1 875 107 km a 1 875 107 km 267 109 km 0967 o período pode ser obtido usandose a Equação 1217 T 2pa32 GmS 2p 1267 1012 m232 1667 1011 N m2kg22 1199 1030 kg2 238 109 s 755 anos AVALIAR a excentricidade é muito próxima de 1 portanto a ór bita do cometa é muito alongada veja a figura 1221a o cometa halley atingiu o periélio no início de 1986 a próxima vez que ele atingirá o periélio será em 2061 Continuação BookSEARSVol2indb 19 021015 148 PM 20 Física II Em vez de começar com dois corpos de simetria esférica vamos estudar o pro blema mais simples da atração entre uma partícula de massa m interagindo com uma fina casca esférica de massa M Mostraremos que quando a massa m está fora da esfera a energia potencial associada a esse sistema é a mesma obtida supondo que toda a massa M da esfera esteja concentrada em seu centro vimos na seção 74 que a força é a derivada da energia potencial com o sinal negativo de modo que a força sobre m também é a mesma obtida para a massa M Nosso resultado também será válido para qualquer distribuição de massa M com simetria esférica que pode ser imaginada como se fosse constituída por uma superposição de muitas cascas esféricas concêntricas Uma massa pontual no exterior de uma casca esférica começamos considerando um anel sobre a superfície de uma casca esférica Figura 1223a centralizado sobre a reta que une m ao centro da casca Escolhe mos esse exemplo porque nele todas as partículas sobre o anel estão a uma mesma distância s da massa pontual m Pela Equação 129 a energia potencial gravitacional da interação entre a massa pontual m e a terra massa mt separada pela distân cia r é dada por U Gmtmr Por essa relação vemos que a energia potencial gravitacional da interação entre a massa pontual m e uma partícula de massa mi no interior do anel é dada por Ui Gmmi s Para achar a energia potencial dU da interação entre m e o anel inteiro cuja massa é dM gimi somamos a expressão anterior de Ui a todas as partículas que constituem o anel dU a i Ui a i a Gmmi s b Gm s a i mi Gm dM s 1218 Para prosseguir precisamos conhecer a massa dM do anel Podemos encontrá la com o auxílio da geometria o raio da casca esférica é igual a R portanto em termos do ângulo f mostrado na figura o raio do anel é dado por R sen f e sua circunferência possui comprimento 2pR sen f a largura do anel é R df e sua área dA é aproximadamente igual à sua largura multiplicada por sua circunferência dA 2pR2 sen f df a razão entre a massa do anel dM e a massa total M da casca esférica é igual à razão entre a área dA do anel e a área total A 4pR2 da casca esférica dM M 2pR2senf df 4pR2 1 2 senf df 1219 agora explicite dM da Equação 1219 e substitua o resultado na Equação 1218 para achar a energia potencial da interação entre a massa pontual m e o anel dU GMm sen f df 2s 1220 a energia potencial total da interação entre a massa pontual e a casca esférica é dada pela integral da Equação 1220 sobre a esfera inteira quando f varia de zero a Geometria da situação b A distância s é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados são 1r R cos f2 e R sen f m P s R df R sen f R df f O M r O R s m P R sen f r R cos f R cos f r f dM dA M A dA 12pR sen f21R df2 Figura 1223 calculando a energia potencial gravitacional da interação entre uma massa pontual m no exterior de uma casca esférica e um anel sobre a superfície da casca com massa M BookSEARSVol2indb 20 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 21 até p e não de zero até 2p e s varia de r R até r R Para poder integrar de vemos escrever o integrando em termos de uma única variável escolhemos s Para expressar f e df em função de s é necessário usar a geometria a figura 1223b mostra que s é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados são r R cos f e R sen f Então o teorema de Pitágoras fornece s2 1r R cos f22 1R sen f2 2 r 2 2rR cos f R2 1221 Diferenciando os dois membros dessa relação 2s ds 2rRsenf df Dividindo por 2rR e substituindo o resultado na Equação 1220 obtemos dU GMm 2s s ds rR GMm 2rR ds 1222 Podemos agora integrar a Equação 1222 lembrando que s varia de r R a r R U GMm 2rR r R r R ds GMm 2rR 31r R2 1r R24 1223 finalmente temos U GMm r massa m no exterior da casca esférica de massa M 1224 isso é igual à energia potencial de duas massas pontuais m e M separadas por uma distância r Portanto provamos que a energia potencial de uma massa pontual m interagindo com uma casca esférica de massa M para qualquer distância r é a mesma obtida supondose uma interação entre duas massas pontuais como a força é dada por Fr dUdr o mesmo raciocínio também vale para a força A força gravitacional entre distribuições esféricas de massa Qualquer distribuição de massa com simetria esférica pode ser imaginada como se fosse constituída por uma superposição de muitas cascas esféricas concêntricas aplicando o princípio da superposição das forças concluímos que o que é verda deiro para uma camada também o é para o conjunto inteiro das camadas Portanto provamos metade do que desejávamos demonstrar ou seja que a interação gravita cional entre uma massa pontual e uma distribuição de massa com simetria esférica é a mesma como se toda a massa da distribuição de massa com simetria esférica estivesse concentrada no centro da esfera a outra metade a ser provada é que duas distribuições de massa com simetria esférica interagem como se ambas fossem pontos Esta parte é mais fácil Na figura 1223a as forças de atração formam um par de ação e reação e elas obedecem à terceira lei de Newton Portanto provamos também que a força exercida por m so bre a esfera de massa M é a mesma que se M estivesse concentrada em um ponto substituímos agora a massa m por uma distribuição de massa com simetria esférica centralizada no ponto onde se encontrava a massa m a força gravitacional resultante sobre qualquer parte de M é a mesma que a mencionada anteriormente e portanto a força total também será a mesma isso completa nossa demonstração BookSEARSVol2indb 21 021015 148 PM 22 Física II massa pontual no interior de uma casca esférica havíamos considerado que a massa pontual m estava no exterior da casca es férica portanto nossa demonstração só vale quando a massa m se encontra no exterior de uma distribuição de massa com simetria esférica Quando a massa pontual m se encontra no interior da casca a geometria é indicada na Figura 1224 a análise inteira segue os mesmos passos da dedução anterior continuam válidas as relações desde a Equação 1218 até a 1222 Porém na Equação 1223 os limites de integração devem ser alterados os novos limites são de R r até R r obtemos U GMm 2rR R r R r ds GMm 2rR 31R r2 1 R r24 1225 e o resultado final é U GMm R massa m no interior de uma casca esférica de massa M 1226 compare esse resultado com a Equação 1224 em vez de termos no denomina dor a distância r entre m e o centro de M temos R o raio da casca isso nos leva a concluir que U na Equação 1226 não depende de r e portanto possui o mesmo valor no interior da casca esférica Quando m se move no interior da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela de modo que a força que atua sobre a massa pontual m é igual a zero em qualquer ponto do interior da casca Generalizando em qualquer ponto no interior de uma distribuição de massa com simetria esférica não necessariamente uma casca a uma distância r do centro a força gravitacional sobre uma massa pontual m é a mesma força que seria produzida se removêssemos todas as massas situadas em pontos com distâncias ao centro maio res que r e concentrássemos toda a massa da esfera restante no centro desta O R s r m P R sen f df R df M f Figura 1224 Quando uma massa pontual m está no interior de uma casca esférica de massa M a energia potencial é sempre a mesma qualquer que seja o ponto onde se encontra a massa pontual no interior da casca esférica a interação gravitacional mútua resultante das massas é igual a zero suponha que você faça um buraco através de um diâmetro da terra e deixe cair nele um malote de correspondência Deduza uma expressão da força gravitacional Fg sobre o malote em fun ção de sua distância r ao centro suponha que a densidade da terra seja constante este não é um modelo realista veja a figura 129 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como dissemos anteriormente a força gravitacional Fg a uma distância r do centro é determinada apenas pela massa M dentro de uma região esférica de raio r Figura 1225 a força gravitacional resultante sobre o malote é a mesma que se toda a massa M dentro de um raio r estivesse concentrada no centro da terra a massa de uma esfera uniforme é proporcional ao volume da esfera que é 4 3 pr3 para uma esfera de raio r e 4 3 pR 3 T para a terra inteira Figura 1225 um buraco é feito através do centro da terra supostamente uniforme Quando um objeto está a uma distância r do centro somente a massa no interior de uma esfera de raio r exerce uma força gravitacional resultante sobre ele Seção transversal da Terra Região esférica de raio r m RT mT M O Fg r ExEmPlo 1210 VIAGEM AO CENTRO DA TERRA Continua BookSEARSVol2indb 22 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 23 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 126 No clássico livro de ficção científica de 1913 Tarzan no centro da Terra de Edgar rice Burroughs exploradores descobrem que a terra é uma esfera oca e que existe uma civilização morando dentro dela seria possível ficar em pé e caminhar sobre a superfície interna de um planeta oco e sem rotação 127 PEso APArENTE E roTAÇÃo dA TErrA como a terra gira em torno de seu eixo não podemos considerála precisamente um sistema de referência inercial Por essa razão o peso aparente de um corpo sobre a terra não é exatamente igual à força de atração gravitacional que a terra exerce sobre esse corpo a qual chamamos de peso real 0 do corpo a Figura 1226 exibe um corte da terra mostrando três observadores cada observador segura uma balança de mola com um corpo de massa m pendurado em cada uma cada balança exerce uma tensão sobre o corpo que nela está pendurado e a leitura da balança fornece o módulo F dessa força caso os observadores não tivessem cons ciência do movimento da terra cada um deles pensaria que a leitura da escala da balança seria igual ao peso do corpo porque pensa que o corpo está em equilíbrio na balança sendo assim cada observador pensa que a tensão deve ser igual e oposta à força que chamamos de peso aparente Entretanto como os corpos estão girando com a terra eles não estão exatamente em equilíbrio Nossa tarefa consiste em encontrar a relação entre o peso aparente e o peso real 0 F F F g p p No polo Sul ou Norte o peso aparente é igual ao peso real O O9 N m m m u arad arad p0 p0 p0 Rotação da Terra u g0 Longe dos polos em virtude da rotação da Terra o peso aparente não é igual ao peso real arad S arad S S S S S g0 p0m S S g pm S S S S S S S S S S p0 peso real de um objeto de massa m F força exercida pela balança de molas sobre um objeto de massa m F p0 força resultante sobre um objeto de massa m em virtude da rotação da Terra ela não é zero exceto nos polos p peso aparente oposto de F S S S S S S b b Figura 1226 Exceto nos polos as leituras das balanças o peso aparente são menores que a força de atração gravitacional sobre o objeto o peso real isso acontece porque é preciso haver uma força resultante que forneça uma aceleração centrípeta enquanto o objeto gira com a terra Para maior visibilidade a ilustração exagera o ângulo b entre os vetores do peso real e do peso aparente EXECUTAR a razão entre a massa M da esfera de raio r e a massa da terra mt é M mT 4 3 pr3 4 3 pR 3 T r3 R 3 T então M mT r3 R 3 T o módulo da força gravitacional resultante sobre m é dado por Fg GMm r2 Gm r2 amT r3 R 3 T b GmT m R 3 T r AVALIAR para pontos no interior da esfera de densidade uni forme Fg é diretamente proporcional à distância r ao centro da esfera em vez de ser proporcional a 1r2 para pontos no exterior da esfera Diretamente sobre a superfície onde r Rt a ex pressão anterior fornece Fg GmtmRt 2 como esperado No próximo capítulo aprenderemos como calcular o tempo que o malote levaria para emergir no lado oposto da terra Continuação BookSEARSVol2indb 23 021015 148 PM 24 Física II supondo que a terra seja esfericamente simétrica então o peso aparente possui módulo GmtmRt 2 onde mt e Rt são a massa e o raio da terra Esse valor é o mesmo para todos os pontos da superfície terrestre caso o centro da terra seja a origem de um sistema inercial então um corpo no Polo Norte realmente está em equilíbrio em um sistema inercial e a leitura da balança do observador é igual a p0 No entanto um corpo no equador terrestre se move em um círculo de raio Rt com velocidade v e deverá haver uma força resultante para dentro igual à massa vezes a aceleração centrípeta p 0 F mv2 RT Portanto o módulo do peso aparente igual ao módulo de F é dado por p p 0 mv2 RT 1no equador2 1227 se a terra não estivesse girando quando um corpo fosse liberado ele teria uma aceleração em queda livre dada por g0 p0m visto que a terra está girando a aceleração real do corpo que cai em relação a um observador no equador é g pm Dividindo a Equação 1227 por m e usando essas relações encontramos g g0 v2 RT 1no equador2 Para calcular v2Rt notamos que um ponto sobre o equador leva 86164 s para percorrer uma distância igual ao comprimento da circunferência da terra 2pRt 2p637 106 m o dia solar 86400 s é 1 365 vezes maior que esse valor porque em um dia a terra percorre uma fração de sua órbita em torno do sol Portanto achamos v 2p 1637 106 m2 86164 s 465 ms v2 RT 1465 ms2 2 637 106 m 00339 ms2 Logo considerando a terra esfericamente simétrica a aceleração da gravidade no equador é cerca de 003 ms2 menor que a aceleração da gravidade nos polos Nos locais intermediários entre o equador e os polos o peso real 0 e a força centrípeta não estão alinhados na mesma direção e devemos escrever uma equação vetorial correspondente à Equação 1227 Pela figura 1226 vemos que a equação apropriada é p S p S 0 ma S rad mg S 0 ma S rad 1228 a diferença entre os módulos g e g0 está compreendida entre zero e 00339 ms2 como indicado na figura 1226 existe um pequeno ângulo b da ordem de 01 ou menos entre a direção do vetor peso aparente e a direção que liga o ponto ao centro da terra a Tabela 121 fornece valores de g em diversos locais além de variações mode radas com a latitude existem também pequenas variações adicionais provocadas pela elevação variações locais de densidade e o desvio da terra de uma simetria esférica perfeita BookSEARSVol2indb 24 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 25 TABElA 121 Variações de g com a latitude e a altitude Local Latitude Norte Altitude m g ms2 zona do canal 9 0 978243 Jamaica 18 0 978591 Bermuda 32 0 979806 Denver co 40 1638 979609 Pittsburgh Pa 405 235 980118 cambridge Ma 42 0 980398 Groenlândia 70 0 982534 tEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 127 imagine um planeta que possua a mesma massa e raio que a terra mas complete dez rotações no mesmo tempo em que a terra com pleta uma Qual seria a diferença entre a aceleração da gravidade no equador do planeta e a aceleração da gravidade nos polos i 000339 ms2 ii 00339 ms2 iii 0339 ms2 iv 339 ms2 128 BUrACo NEgro Em 1916 albert Einstein apresentou sua teoria geral da relatividade que incluía um novo conceito de natureza da gravitação Em sua teoria um objeto que possui massa realmente muda a geometria do espaço ao seu redor outros objetos sentem essa geometria alterada e respondem sendo atraídos ao primeiro objeto a teoria ge ral da relatividade está fora do escopo deste capítulo mas podemos examinar uma de suas previsões mais surpreendentes a existência de buracos negros objetos cuja influência gravitacional é tão grande que nada nem mesmo a luz pode escapar deles Podemos compreender a ideia básica de um buraco negro usando os princípios da mecânica newtoniana Velocidade de escape de uma estrela Pense nas propriedades do nosso sol sua massa M 199 1030 kg e o raio R 696 108 m são muito maiores que os de qualquer planeta em comparação com outras estrelas contudo o sol não possui massa excepcionalmente grande você pode calcular a densidade média r do sol como calculamos a densidade média da terra na seção 122 r M V M 4 3 pR3 199 1030 kg 4 3 p 1696 108 m2 3 1410 kgm3 a temperatura do sol varia entre 5800 K cerca de 5500 c na superfície e 15 107 K em seu interior de modo que ele certamente não contém sólidos ou líquidos contudo a atração gravitacional aglutina os átomos dos gases fazendo com que ele tenha uma densidade 41 mais elevada que a da água e cerca de 1200 vezes maior que a densidade do ar que respiramos Pense agora na velocidade de escape de um corpo da superfície do sol No Exemplo 125 seção 123 verificamos que a velocidade de escape da superfície de um corpo esférico com massa M e raio R é dada por v 2GMR substituindo M rV r1 4 3 pR32 na relação da velocidade de escape obtemos v Ä 2GM R Ä 8pGr 3 R 1229 usando qualquer uma das duas relações anteriores você pode mostrar que a velocidade de escape de um corpo da superfície do sol é dada por v 618 105 ms BookSEARSVol2indb 25 021015 148 PM 26 Física II cerca de 22 milhões de kmh Esse valor igual a aproximadamente 1 500 da velo cidade da luz no vácuo é independente da massa do corpo que escapa depende apenas da massa e do raio ou do raio e da densidade média do sol considere agora diversas estrelas com a mesma densidade média r mas di ferentes raios R a Equação 1229 mostra que para um dado valor da densidade média r a velocidade de escape v é diretamente proporcional a R Em 1783 o reverendo John Mitchell um astrônomo amador notou que se um corpo com a mesma densidade média do sol tivesse um raio aproximadamente 500 vezes maior que o do sol o módulo da velocidade de escape seria maior que a velocidade da luz no vácuo c com a afirmação de que toda luz emitida por esse corpo seria atraída para seu interior Mitchell tornouse o primeiro homem a sugerir a existência do que hoje chamamos de buraco negro Buracos negros raio de schwarzschild e horizonte de eventos a primeira expressão para a velocidade de escape indicada na Equação 1229 sugere que o corpo de massa M atuará como um buraco negro caso seu raio R seja menor ou igual a um certo raio crítico como determinar esse raio talvez você pense que basta substituir v c na Equação 1229 Na realidade esse procedi mento fornece uma resposta correta mas somente por causa de dois erros que se compensam a energia cinética da luz não é dada por mc22 e a energia potencial gravitacional nas vizinhanças de um buraco negro não é dada pela Equação 129 Em 1916 Karl schwarzschild usou a teoria da relatividade geral de Einstein para deduzir uma expressão para o raio crítico Rs atualmente chamado de raio de Schwarzschild verificase que o resultado é igual ao obtido quando substituímos v c na Equação 1229 Portanto c Ä 2GM RS Explicitando o raio de schwarzschild Rs obtemos 1230 Constante gravitacional Massa do buraco negro Velocidade da luz no vácuo Raio de Schwarzschild de um buraco negro RS c2 2GM Quando um corpo esférico de massa M que não está girando possui raio menor que Rs então nada nem mesmo a luz pode escapar da superfície do corpo e este é um buraco negro Figura 1227 Neste caso qualquer outro corpo situado até uma distância igual a Rs do centro dele é aprisionado por sua atração gravitacional e não pode escapar a superfície da esfera de raio Rs que cerca o buraco negro denominase horizonte de eventos porque uma vez que a luz não pode escapar de seu inte rior não podemos ver nenhum evento que ocorre nessa esfera tudo o que um observador situado no exterior do horizonte de eventos pode conhecer a respeito de um buraco negro é sua massa em virtude dos efeitos gravitacionais produ zidos sobre outros corpos sua carga elétrica em virtude das forças elétricas produzidas sobre outros corpos carregados e seu momento angular porque um buraco negro que gira tende a arrastar o espaço e tudo o que existe nesse espaço em torno de sua fronteira todas as outras informações sobre o corpo são perdidas de modo irrecuperável quando ele cai em seu horizonte de eventos BookSEARSVol2indb 26 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 27 R RS a Quando o raio R de um corpo é maior que o raio de Schwarzschild RS a luz pode escapar da superfície do corpo A gravidade provoca desvios para o vermelho da luz que sai do corpo aumentando seu comprimento de onda RS b Se toda a massa do corpo estiver dentro do raio RS esse corpo é um buraco negro Nenhuma luz pode escapar dele a teoria astrofísica sugere que uma estrela que terminou de quei mar todo o seu combustível pode entrar em colapso gravitacional e formar um buraco negro quando sua massa for três vezes menor que a massa do sol caso ela possua esse raiolimite qual seria seu horizonte de eventos soLUÇÃo IDENTIFICAR PREPARAR E EXECUTAR o raio pedido corres ponde ao raio de schwarzschild usamos a Equação 1230 com um valor de M igual a três massas solares ou M 3199 1030 kg 60 1030 kg RS 2GM c2 21667 1011 N m2kg22 160 1030 kg2 1300 108 ms2 2 89 103 m 89 km AVALIAR a densidade média desse corpo é r M 4 3 pR3 60 1030 kg 4 3 p189 103 m2 3 20 1018 kgm3 Essa densidade é cerca de 1015 vezes maior que a densidade dos corpos comuns na terra sendo comparável à densidade de nú cleos atômicos Na realidade depois que o corpo se contrai até o raio RS nada pode impedir que haja um colapso posterior pro duzindo maior contração toda a matéria no interior do buraco negro é esmagada até atingir um ponto em seu centro denomi nado singularidade Esse ponto possui volume igual a zero e portanto sua densidade é infinita ExEmPlo 1211 CÁLCULOS SOBRE BURACOS NEGROS Visita a um buraco negro Em pontos muito distantes de um buraco negro o efeito gravitacional é igual ao produzido por qualquer corpo normal com a mesma massa caso o sol sofresse um colapso e se transformasse em um buraco negro as órbitas dos planetas não seriam afetadas Porém nas vizinhanças de um buraco negro os eventos ocor rem de forma drasticamente diferente caso você decidisse se tornar um mártir da ciência e pulasse para dentro de um buraco negro quem o estivesse observando notaria diversos efeitos adversos à medida que você se aproximasse do horizonte de eventos quase todos ligados à relatividade geral se você levasse um transmissor de rádio para comentar sua viagem seria neces sário sintonizar os sinais para frequências cada vez menores um efeito chamado de deslocamento para o vermelho gravitacional Em virtude desse deslocamento os relógios eletrônicos ou biológicos que estivessem com você pareceriam cada vez mais lentos um efeito chamado dilatação do tempo Na realidade durante suas vidas seus observadores jamais veriam você chegar ao horizonte de eventos Figura 1227 a um corpo de raio R maior que o raio de schwarzschild RS b se o corpo passa a ter um raio menor que RS ele é um buraco negro que possui uma velocidade de escape maior que a velocidade da luz a superfície da esfera de raio RS é chamada horizonte de eventos do buraco negro BookSEARSVol2indb 27 021015 148 PM 28 Física II No sistema de referência deles você conseguiria atingir o horizonte de eventos em um intervalo muito curto mas de uma forma bastante perturbadora Quando você se aproximasse da superfície do buraco negro a força gravitacional sobre os seus pés seria maior que a força sobre sua cabeça que estaria ligeiramente mais afastada do centro do buraco as diferenças entre as forças gravitacionais ao longo de seu corpo seriam suficientemente elevadas a ponto de achatar seu corpo comprimindoo em direção ao buraco negro Esses efeitos chamados de forças de maré fariam você se estilhaçar em um grupo de átomos e a seguir fariam esses átomos se estilhaçarem antes que você chegasse ao horizonte de eventos detectando um buraco negro considerando o fato de um buraco negro não permitir que a luz escape dele e o de possuir um raio tão pequeno quanto o indicado no Exemplo 1211 como podemos verificar se esse corpo existe no espaço isso é possível porque poeiras e gases existentes nas vizinhanças do buraco negro são agrupados formando um disco de acréscimo que gira formando uma espiral em torno do buraco negro de modo semelhante a um redemoinho Figura 1228 o atrito entre as partes do material que constitui o disco de acréscimo produz uma perda de energia mecânica fazendo o material cair dentro do buraco negro e formando uma espiral à medida que o disco se move para dentro ele sofre uma compressão isso produz um aque cimento do material como o aquecimento do ar comprimido no interior de uma bomba que você usa para encher o pneu de uma bicicleta temperaturas superiores a 106 K podem ocorrer no interior de um disco de acréscimo tão quentes que o disco emite não apenas luz visível como no caso de um corpo quente vermelho ou um corpo quente branco mas raios X os astrônomos procuram esses raios X emitidos antes de o disco de acréscimo cruzar o horizonte de eventos para si nalizar a presença de um buraco negro Diversos candidatos promissores já foram encontrados e os astrônomos contemporâneos acreditam firmemente na existência de buracos negros um buraco negro em um sistema de estrela binária como o retratado na figura 1228 possui massas algumas vezes maiores que a massa do sol há também nume rosos indícios da existência de buracos negros com supermassas acreditase que um exemplo desses buracos negros ocorra no centro de nossa via Láctea a cerca de 26000 anosluz da terra na direção da constelação de sagitário imagens de alta resolução do centro da galáxia mostram estrelas se movendo em velocidades maio res que 1500 kms perto de um objeto invisível localizado na posição de uma fonte Figura 1228 Em um sistema de estrela binária duas estrelas giram em torno uma da outra neste caso especial uma das estrelas é um buraco negro o buraco negro em si não pode ser visto mas os raios X de seu disco de acréscimo podem ser detectados Buraco negro Estrela comum 1 Matéria é atraída para fora de uma estrela comum a fm de formar um disco de acréscimo em torno do buraco negro 3 O gás do disco de acréscimo que não cai no buraco negro é ejetado com a formação de dois jatos de grande velocidade 2 O gás do disco de acréscimo é comprimido e aquecido a altas temperaturas tornandose uma intensa fonte de raios X BookSEARSVol2indb 28 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 29 de ondas de rádio chamada sgr a Figura 1229 analisando esses movimentos os astrônomos podem deduzir o período T e o semieixo maior a da órbita de cada estrela a massa do objeto invisível pode ser calculada por meio da terceira lei de Kepler na forma dada na Equação 1217 substituindo a massa do sol ms por mX T 2pa32 GmX logo mX 4p2a3 GT2 a conclusão extraída desse cálculo é que o misterioso objeto negro no centro da galáxia possui uma massa de 82 1036 kg ou seja 41 milhões de vezes a massa do sol apesar disso observações com radiotelescópios mostram que ele possui um raio de não mais que cerca de 44 1010 m comparável a um terço da distância entre a terra e o sol Essas observações sugerem que esse objeto de massa elevada compacto é um buraco negro com um raio de schwarzschild de 11 1010 m os astrônomos esperam aperfeiçoar a resolução de suas observações de modo a poderem realmente ver o horizonte de eventos desse buraco negro outras linhas de pesquisa sugerem que haveria buracos negros ainda maiores de massa 109 vezes maior que a do sol nos centros de outras galáxias os estudos observacionais e teóricos de buracos negros de todos os tamanhos continuam sendo uma área fascinante de pesquisas tanto na física quanto na astronomia TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 128 se o sol de alguma forma sofrer um colapso e formar um buraco negro que efeito esse acontecimento teria sobre a órbita da terra i a órbita encolheria ii a órbita se expandiria iii a órbita permaneceria do mesmo tamanho Figura 1229 Esta imagem em falsa cor mostra o movimento de estrelas no centro de nossa galáxia durante um período de 17 anos analisando essas órbitas por meio da terceira lei de Kepler vemos que as estrelas estão se movendo ao redor de um objeto não visível cuja massa é cerca de 41 106 vezes maior que a massa do sol a escala indica uma distância de 1014 m 670 vezes a distância da terra ao sol do centro da galáxia 1014 m Lei de Newton da gravitação quaisquer dois corpos de massas m1 e m2 separados por uma dis tância r são mutuamente atraídos por forças inver samente proporcionais a r2 Essas forças formam um par de ação e reação e obedecem à terceira lei de Newton Quando dois ou mais corpos exercem atrações gravitacionais sobre um corpo particular a força gravitacional resultante sobre esse corpo é dada pela soma vetorial de todas as forças gravita cionais exercidas pelos outros corpos sobre o corpo em particular a interação gravitacional entre dois corpos que possuem distribuições de massa com simetria esférica como planetas ou estrelas é a mesma que existiria se toda a massa dos corpos es tivesse concentrada no centro de cada corpo veja os exemplos 121123 e 1210 Fg Gm1 m2 r2 121 r Fg 1 sobre 2 Fg 2 sobre 1 m1 m2 Fg 1 sobre 2 S Fg 2 sobre 1 S Força gravitacional peso e energia potencial gravitacional o peso p de um corpo é a força gravi tacional resultante decorrente da ação de todas as for ças gravitacionais exercidas pelos outros corpos do universo sobre o corpo considerado Nas vizinhanças da superfície da terra massa mt e raio Rt o peso é basicamente dado pela força gravitacional da terra a energia potencial gravitacional U de dois corpos de massas m e mt separados por uma distância r é p Fg GmT m RT 2 123 peso na superfície da terra g GmT RT 2 124 aceleração da gravidade na superfície da terra RT 637 106 m r RT 1 106 m2 r 1 106 m2 p N 0 0 massa m Terra massa mT p GmTmr2 capítulo 12 resumo BookSEARSVol2indb 29 021015 148 PM 30 Física II um cometa circunda o sol massa mS em uma órbita elíp tica do semieixo maior a e excentricidade e a Determine as expressões para as velocidades do cometa no periélio e no afélio b avalie essas expressões para o cometa halley veja o Exemplo 129 e determine energia cinética energia potencial gravitacional e energia mecânica total para esse cometa no periélio e no afélio considere que a massa do cometa halley seja 22 1014 kg gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 faça o diagrama da situação mostre todas as dimensões relevantes rotule o periélio e o afélio veja a figura 1218 2 Liste as incógnitas e identifique as variáveisalvo 3 assim como para um satélite em órbita da terra a energia mecânica é conservada para um cometa orbitando em torno do sol Por quê Que outra quantidade é conservada en quanto o cometa se move em sua órbita Dica veja a seção 125 EXECUTAr 4 você precisará pelo menos de duas equações que envolvem as duas velocidades desconhecidas além de expressões para as distâncias entre o sol e o cometa no periélio e no afélio Dica veja a figura 1218 5 resolva as equações para suas variáveisalvo compare suas expressões qual é a velocidade mais baixa Ela faz sentido 6 use suas expressões do item 5 para determinar as velocida des no periélio e no afélio para o cometa halley Dica veja o apêndice f 7 use seus resultados da etapa 6 para achar a energia cinética K a energia potencial gravitacional U e a energia mecânica total E para o cometa halley no periélio e no afélio AVALIAr 8 verifique se seus resultados do item a fazem sentido para o caso especial de uma órbita circular e 0 9 No item b como seus valores calculados de E no periélio e no afélio estão relacionados isso faz sentido o que sig nifica se E for negativo Problema em destaque Velocidades em uma órbita elíptica inversamente proporcional a r a energia potencial nunca é positiva ela é igual a zero somente quando os dois corpos estão separados por uma distância infinita veja os exemplos 124 e 125 U GmTm r 129 Órbitas quando um satélite se move ao longo de uma órbita circular a aceleração centrípeta é for necida pela atração gravitacional da terra as três leis de Kepler descrevem o caso mais geral uma órbita elíptica de um planeta em torno do sol ou um satélite em torno de seu planeta veja os exemplos 126 a 129 v Å GmT r 1210 velocidade na órbita circular T 2pr v 2pr Ä r GmT 2pr32 GmT 1212 RT r a S a S a S v S v S v S Fg S Fg S Fg S Buracos negros caso uma distribuição de massa com simetria esférica sem rotação e que apresente uma massa resultante M possua raio menor que o raio de schwarzschild RS tal corpo denominase buraco negro a interação gravitacional impede o escape de qualquer tipo de matéria incluindo a luz do interior da esfera com raio RS veja o Exemplo 1211 RS 2GM c2 1230 raio de schwarzschild RS Se todo o corpo estiver dentro de seu raio de Schwarzschild RS 2GMc2 esse corpo é um buraco negro BookSEARSVol2indb 30 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 31 problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q121 um estudante escreveu a única razão pela qual a maçã cai no sentido da terra em vez de a terra subir no sentido da maçã é que a massa da terra é muito maior que a massa da maçã e portanto ela exerce uma atração muito maior Por favor comente Q122 se todos os planetas tivessem a mesma densidade média como a aceleração da gravidade na superfície de um planeta de penderia de seu raio Q123 cem gramas de manteiga na terra possuem a mesma quantidade de manteiga que cem gramas em Marte o que você diria sobre um quilograma de manteiga Explique Q124 o Exemplo 122 seção 121 mostra que a aceleração de cada esfera produzida pela força gravitacional é inversamente proporcional à massa da respectiva esfera Então como você explica que qualquer corpo caindo nas vizinhanças da superfície terrestre possui a mesma aceleração da gravidade Q125 Quando a atração gravitacional entre você e o sol é maior ao meiodia ou à meianoite Explique Q126 visto que a Lua é constantemente atraída pela força gra vitacional da terra por que elas não se chocam Q127 uma espaçonave executa uma órbita circular com pe ríodo T ao redor de uma estrela se uma estrela com três vezes a massa da primeira estivesse em órbita à mesma distância o novo período em termos de T seria a 3T b T3 c T d T3 ou e T3 Q128 um planeta executa uma órbita circular com período T ao redor de uma estrela se um planeta com três vezes a massa do primeiro planeta estivesse em órbita à mesma distância o novo período em termos de T seria a 3T b T3 c T d T3 ou e T3 Q129 o sol puxa a Lua com uma força duas vezes maior que a força de atração entre a terra e a Lua Então por que o sol não afasta a Lua da terra Q1210 o que exige mais combustível uma viagem da terra até a Lua ou da Lua até a terra Explique Q1211 um planeta se move com velocidade de módulo cons tante em uma órbita circular em torno de uma estrela Em uma órbita completa o trabalho total realizado pela força gravitacio nal da estrela sobre o planeta é positivo negativo ou nulo Qual seria a resposta a essa pergunta no caso de uma órbita elíptica ao longo da qual o módulo da velocidade não é constante Explique suas respostas Q1212 a velocidade de escape de um corpo na superfície ter restre depende da direção em que ele é lançado Explique sua resposta depende da inclusão ou não do efeito da resistência do ar Q1213 Quando um projétil é disparado verticalmente de baixo para cima da superfície terrestre o que ocorreria se sua energia mecânica total cinética mais potencial fosse a menor que zero b maior que zero Em cada caso despreze a resistência do ar e os efeitos gravitacionais do sol da Lua e dos outros planetas Q1214 verifique se a seguinte afirmação é correta Na ausência da resistência do ar a trajetória de um projétil nas vizinhanças da superfície terrestre é uma elipse e não uma parábola Q1215 a terra está mais próxima do sol em novembro do que em maio Em qual desses meses a velocidade da terra é maior em sua órbita Explique o motivo Q1216 uma empresa de comunicações deseja colocar um sa télite em órbita de modo que ele sempre sobrevoe a terra ao longo do paralelo 45 latitude norte de 45 isso significa que o plano da órbita não passará pelo centro da terra Essa órbita seria possível Explique por quê Q1217 Em qual ponto de uma órbita elíptica a aceleração é má xima Em qual ponto ela é mínima Justifique suas respostas Q1218 como seria enunciada a terceira lei de Kepler na hipó tese de uma órbita circular caso a lei de Newton da gravitação fosse alterada de modo que a força fosse inversamente propor cional a r3 Essa alteração modificaria as outras duas leis de Kepler Explique Q1219 Na órbita elíptica do cometa halley indicada na figura 1221a a gravidade do sol faz o cometa cair aproximandose do sol do afélio para o periélio Porém qual é o efeito responsável pelo afastamento do cometa do periélio até o afélio Q1220 Muitas pessoas acreditam que astronautas em órbita não sentem seu peso porque estão fora da atração da gravidade terrestre Qual deveria ser a distância entre uma espaçonave e a terra para que ela realmente ficasse fora da influência do campo gravitacional da terra caso a espaçonave realmente ficasse fora da atração terrestre ela poderia permanecer em órbita Explique Qual é a verdadeira razão pela qual astronautas em órbita sentem como se não tivessem peso Q1221 como parte do treinamento para poder permanecer em órbita astronautas pilotam um avião que voa ao longo de uma tra jetória parabólica como um projétil em queda livre Explique como a sensação existente nesse caso é a mesma que a experimentada em órbita quando o peso aparente é igual a zero EXErCÍCIos seção 121 Lei de Newton da gravitação 121 calcule a razão da força de atração gravitacional do sol sobre a Lua e a força da terra sobre a Lua suponha que a dis tância da Lua ao sol seja aproximadamente a mesma da terra ao sol use dados do apêndice f é mais preciso dizer que a Lua está em órbita ao redor da terra ou que a Lua está em órbita ao redor do sol 122 PC Experiência de Cavendish Para usar a balança de cavendish mostrada na figura 124 suponha que m1 110 kg m2 250 kg e a haste que conecta os pares de m1 possui 300 cm de comprimento se em cada par m1 e m2 estão a 120 cm de BookSEARSVol2indb 31 021015 148 PM 32 Física II distância de centro a centro encontre a a força resultante e b o torque resultante em relação ao eixo de rotação na parte rotatória do aparelho c você acha que o torque na parte b seria suficiente para girar a haste facilmente sugira modos de aperfeiçoar a sensibilidade do experimento 123 Encontro no espaço um casal de astronautas concorda em se encontrar no espaço depois do horário de trabalho o plano deles é deixar que a gravidade os aproxime um deles tem uma massa de 65 kg e o outro de 72 kg e eles partem do repouso afastados por 200 m um do outro a Desenhe um diagrama do corpo livre de cada astronauta e useo para descobrir sua aceleração inicial como uma aproximação bruta podemos modelar os astronautas como es feras uniformes b se a aceleração dos astronautas permanecesse constante quantos dias eles teriam de esperar antes que um alcance o outro cuidado Ambos possuem aceleração em direção ao outro c sua aceleração realmente permaneceria constante se não ela aumentaria ou diminuiria Por quê 124 Duas esferas uniformes cada uma com massa M e raio R estão em contato Qual é o módulo da força de atração gravi tacional entre elas 125 Duas esferas uniformes cada uma com massa igual a 0260 kg estão fixas nos pontos A e B Figura E125 Determine o módulo a direção e o sen tido da aceleração inicial de uma esfera uniforme com massa 0010 kg quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B 126 ache o módulo a direção e o sentido da força gravita cional resultante sobre a massa A decorrente das massas B e C na Figura E126 cada massa é igual a 200 kg Figura E126 40 cm 10 cm 40 cm 10 cm A C B a C A B b 127 um homem adulto típico possui massa igual a 70 kg a Qual é a força que a Lua cheia exerce sobre esse homem quando ela está diretamente sobre ele a uma distância de 378000 km b compare essa força com a força exercida sobre o homem pela terra 128 Duas massas pontuais uma de 800 kg e outra de 120 kg são mantidas fixas a 500 cm de distância uma partícula de massa m é solta de um ponto entre as duas massas a 200 cm da massa de 80 kg ao longo da linha que conecta as duas massas fixas ache o módulo a direção e o sentido da aceleração da partícula 129 uma partícula de massa 3m está localizada a 100 m de outra partícula de massa m a onde você deve colocar uma terceira massa M de modo que a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas massas seja exatamente zero b o equilíbrio de M é estável ou instável i em pontos ao longo da linha que conecta m e 3m e ii em pontos ao longo da linha que passa por M e é perpendicular à linha que conecta m e 3m 1210 as massas pontuais m e 2m estão situadas ao longo do eixo x com m na origem e 2m em x L uma terceira massa pontual M é deslocada ao longo do eixo x a Em que ponto a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas outras massas é igual a zero b Desenhe o componente x da força resul tante sobre M em virtude de m e 2m supondo que as grandezas à direita sejam positivas inclua as regiões x 0 0 x L e x L Não deixe de mostrar o comportamento do gráfico em ambos os lados de x 0 e x L seção 122 Peso 1211 sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da terra é igual a 980 ms2 qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 0980 ms2 1212 a massa de vênus é igual a 815 da massa da terra e seu raio é 949 do raio da terra a usando esses dados calcule a aceleração da gravidade na superfície de vênus b se uma pedra pesa 750 N na terra qual seria seu peso na superfície de vênus 1213 titânia a maior lua do planeta urano possui um raio igual a 1 8 do raio da terra e massa igual a 1 1700 da massa da terra a Qual é a aceleração da gravidade na superfície de titânia b Qual é a densidade média de titânia Esse valor é menor que a densidade média das rochas uma evidência a favor da hipótese de que titânia seja basicamente constituída por gelo 1214 reia uma das luas de saturno possui raio igual a 764 km e a aceleração da gravidade na sua superfície é igual a 0265 ms2 calcule sua massa e sua densidade média 1215 calcule a força da gravidade exercida pela terra sobre um astronauta de 75 kg que está consertando o telescópio Espacial hubble a 600 km acima da superfície de nosso planeta e depois compare esse valor com o peso dele na superfície Diante de seu resultado explique por que dizemos que os astronautas não têm peso quando orbitam a terra em um satélite como um ônibus espacial isso se deve ao fato de a atração gravitacional da terra ser tão pequena a ponto de poder ser desprezada seção 123 Energia potencial gravitacional 1216 Vulcões em Io a lua io de Júpiter possui vulcões ativos na verdade esse é o corpo mais vulcanicamente ativo no sistema solar que ejetam material a uma altura de 500 km ou ainda mais acima da superfície io possui uma massa de 893 1022 kg e um raio de 1821 km Para esse cálculo ignore qualquer variação na gravidade pelo alcance de 500 km dos fragmentos Que altura esse material alcançaria na terra se fosse ejetado com a mesma velocidade que em io 1217 use os resultados do Exemplo 125 seção 123 para calcular a velocidade de escape para uma espaçonave sair a da superfície de Marte b da superfície de Júpiter use dados do apêndice f c Por que a velocidade de escape não depende da massa da espaçonave 1218 Dez dias após seu lançamento para Marte em de zembro de 1998 a espaçonave Mars Climate Orbiter massa de 629 kg estava a uma distância de 287 106 km da terra e se deslocava com velocidade igual a 120 104 kmh em relação à terra Nesse momento qual era a a energia cinética da espa çonave em relação à terra e b a energia potencial do sistema espaçonaveterra 0010 kg 0260 kg 80 cm 80 cm 100 cm 0260 kg 100 cm P B A 60 cm Figura E125 BookSEARSVol2indb 32 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 33 1219 um planeta na órbita de uma estrela distante possui raio de 324 106 m a velocidade de escape para um objeto lançado da superfície desse planeta é de 765 103 ms Qual é a aceleração da gravidade na superfície do planeta seção 124 movimento de satélites 1220 um satélite terrestre movese em uma órbita circular com uma velocidade orbital de 6200 ms Determine a o tempo de uma revolução do satélite b a aceleração radial do satélite em sua órbita 1221 Para um satélite estar em uma órbita circular 890 km acima da superfície da terra a que velocidade orbital deve ser dada a ele e b qual é o período da órbita em horas 1222 Missão Aura Em 15 de julho de 2004 a Nasa lan çou a espaçonave Aura para estudar o clima e a atmosfera da terra Esse satélite foi colocado em uma órbita 705 km acima da superfície da terra suponha uma órbita circular a Quantas horas esse satélite leva para completar uma órbita b com que velocidade em kms a espaçonave Aura está se movendo 1223 Dois satélites estão em órbitas circulares em torno de um planeta com raio de 900 106 m um satélite tem massa de 680 kg raio orbital de 700 107 m e velocidade orbital de 4800 ms o segundo satélite tem massa de 840 kg e raio orbi tal de 300 107m Qual é a velocidade orbital desse segundo satélite 1224 Estação Espacial Internacional Em sua órbita diá ria a Estação Espacial internacional completa 1565 revoluções ao redor da terra supondo uma órbita circular a que altura acima da terra esse satélite se encontra 1225 Deimos uma das luas de Marte possui cerca de 12 km de diâmetro e 15 1015 kg de massa suponha que você tenha sido abandonado sozinho em Deimos e queira jogar beisebol você seria o arremessador e o rebatedor ao mesmo tempo a com que velocidade você teria de arremessar uma bola de beise bol para que ela entrasse em órbita circular um pouco acima da superfície e retornasse a você para que pudesse rebatêla você acha que poderia realmente arremessar a bola a essa velocidade b Quanto tempo em horas depois de arremessar a bola você deveria se preparar para rebatêla haveria muita ação nesse jogo de beisebol seção 125 As leis de Kepler e o movimento de planetas 1226 Planeta Vulcano suponha que houvesse sido des coberto um planeta entre o sol e Mercúrio com uma órbita cir cular de raio igual a 2 3 do raio orbital médio de Mercúrio Qual seria o período orbital desse planeta antigamente acreditavase que esse planeta existisse em parte para explicar a precessão da órbita de Mercúrio chegouse mesmo a batizálo de vulcano embora hoje em dia não se tenha nenhuma evidência de que ele realmente exista a precessão de Mercúrio é explicada pela relatividade geral 1227 a estrela rho1cancri está a uma distância de 57 anosluz da terra e possui massa igual a 085 da massa do sol verificouse que existe um planeta descrevendo uma órbita cir cular em torno de rho1 cancri com raio igual a 011 do raio da órbita da terra em torno do sol a Qual é a velocidade orbital e b o período orbital do planeta de rho1 cancri 1228 Em março de 2006 foram descobertos dois pequenos satélites orbitando Plutão um deles a uma distância de 48000 km e o outro a 64000 km Já se sabia que Plutão possuía um grande satélite caronte orbitando a 19600 km com um período orbital de 639 dias supondo que os satélites não se afetem um ao outro encontre os períodos orbitais dos dois satélites sem usar a massa de Plutão 1229 o planetaanão Plutão possui uma órbita elíptica com um semieixo maior de 591 1012 m e excentricidade 0249 a calcule o período orbital de Plutão Expresse sua resposta em segundos e em anos terrestres b Durante a órbita de Plutão em torno do sol quais são suas distâncias mais próxima e mais distante do sol 1230 Júpiter quente Em 2004 astrônomos relataram a descoberta de um planeta tão grande quanto Júpiter orbitando muito perto da estrela hD 179949 daí o termo Júpiter quente a órbita é exatamente 19 da distância de Mercúrio ao nosso sol e o planeta leva apenas 309 dias para completar uma órbita su ponha que a órbita seja circular a Qual é a massa da estrela Dê sua resposta em quilogramas e como um múltiplo da massa de nosso sol b Qual é a velocidade em kms com que esse planeta se move 1231 Planetas além do sistema solar Em 15 de outubro de 2001 descobriuse um planeta orbitando em torno da estrela hD 68988 sua distância orbital foi medida como 105 milhões de quilômetros do centro da estrela e seu período orbital foi estimado em 63 dias Qual é a massa da hD 68988 Expresse sua resposta em quilogramas e em termos da massa do nosso sol consulte o apêndice f seção 126 distribuição esférica de massa 1232 uma casca esférica uniforme de massa igual a 1000 kg possui raio de 500 m a ache a força gravitacional que essa casca exerce sobre uma massa pontual de 20 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da casca i 501 m ii 499 m iii 272 m b Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pon tual m em função da distância r de m do centro da esfera inclua a região de r 0 a r 1233 uma esfera sólida uniforme de massa igual a 1000 kg possui um raio de 500 m a ache a força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual de 20 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da esfera i 501 m e ii 250 m b Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera inclua a região de r 0 a r 1234 CALC uma barra delgada uniforme possui massa M e comprimento L uma pequena esfera uniforme de massa m é situada a uma distância x de uma das extremidades da barra ao longo do eixo da barra Figura E1234 a calcule a energia potencial gravitacional do sistema barraesfera considere a ener gia potencial gravitacional igual a zero quando a distância entre a barra e a esfera for igual ao infinito Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior que L Dica use o desenvolvimento em série de potências da função ln1 x indicado no apêndice B b use a relação Fx dUdx para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pela BookSEARSVol2indb 33 021015 148 PM 34 Física II barra sobre a esfera veja a seção 74 Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior que L M L x m Figura E1234 1235 CALC considere o corpo em forma de anel indicado na Figura E1235 uma partícula de massa m é colocada a uma distância x do centro do anel ao longo de seu eixo e perpendicu larmente a seu plano a calcule a energia potencial gravitacio nal U desse sistema considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando os dois objetos estiverem muito distantes b Mostre que o resultado da parte a se reduz ao esperado quando x for muito maior que o raio a do anel c use a relação Fx dUdx para achar o módulo e a direção da força gravi tacional exercida pelo anel sobre a partícula veja a seção 74 d Mostre que sua resposta da parte c se reduz ao esperado quando x for muito maior que a e Quais são os valores de U e de Fx quando x 0 Explique por que esses re sultados fazem sentido seção 127 Peso aparente e rotação da Terra 1236 Visita ao Papai Noel você decide visitar o Papai Noel no Polo Norte para falar sobre seu excelente comporta mento durante o ano Enquanto está lá você observa que o anão atchim quando pendurado em uma corda produz uma tensão de 3950 N na corda se atchim se pendurar de uma corda seme lhante enquanto entrega presentes no equador terrestre qual será a tensão na corda Lembrese de que a terra está girando em torno de um eixo que atravessa seus polos Norte e sul consulte o apêndice f e comece com um diagrama do corpo livre do atchim no equador 1237 a aceleração da gravidade no polo norte de Netuno é aproximadamente igual a 112 ms2 Netuno possui massa igual a 102 1026 kg e raio igual a 246 104 km girando uma vez em torno de seu eixo em cerca de 16 h a Qual é a força gravi tacional sobre um objeto de 300 kg no polo norte de Netuno b Qual é o peso aparente do mesmo objeto no equador de Netuno Note que a superfície de Netuno é gasosa e não sólida de modo que é impossível ficar em pé sobre ela seção 128 Buraco negro 1238 Miniburacos negros os cosmólogos especulam que buracos negros do tamanho de um próton poderiam ter se formado durante os primeiros dias do Big Bang quando o universo teve início se considerarmos o diâmetro de um próton como 10 1015 m qual seria a massa de um miniburaco negro 1239 No núcleo da Via Láctea astrônomos obser varam um objeto pequeno com massa elevada no centro da nossa galáxia a via Láctea veja a seção 128 Giram em torno desse objeto materiais distribuídos ao longo de um anel o diâmetro desse anel é aproximadamente igual a 15 anosluz e sua velocidade orbital é aproximadamente igual a 200 kms a Determine a massa desse objeto no centro da via Láctea Dê a resposta em quilogramas e em massas solares a massa solar é uma unidade de massa igual à massa do sol b observações de estrelas bem como teorias das estruturas estelares sugerem que é impossível que uma única estrela possua massa maior que 50 massas solares Esse objeto com massa elevada seria constituído por uma única estrela c Muitos astrônomos acreditam que esse objeto no centro da via Láctea seja um buraco negro caso seja qual deveria ser seu raio de schwarzschild um buraco negro desse tamanho caberia no interior da órbita da terra em torno do sol 1240 Em 2005 foi anunciada a descoberta de um grande buraco negro na galáxia Markarian 766 Esse buraco negro pos suía blocos de matéria completando uma órbita a cada 27 horas e movendose a 30000 kms a a que distância do centro do buraco negro esses blocos estão b Qual é a massa desse buraco negro supondo órbitas circulares Dê a resposta em quilogramas e como um múltiplo da massa do nosso sol c Qual é o raio do horizonte de eventos desse buraco negro ProBLEmAs 1241 Estrelas de nêutrons como a que se localiza no cen tro da Nebulosa do caranguejo têm aproximadamente a mesma massa que nosso sol mas um diâmetro muito menor se você pesasse 675 N na terra qual seria seu peso na superfície de uma estrela de nêutrons que possuísse a mesma massa de nosso sol e um diâmetro de 20 km 1242 Quatro massas idênticas de 800 kg cada são coloca das nos cantos de um quadrado cujo lado mede 200 m Qual é a força gravitacional resultante módulo direção e sentido sobre uma das massas em virtude das outras três 1243 três esferas uniformes estão fixadas nas posições in dicadas na Figura P1243 a Determine o módulo a direção e o sentido da força sobre uma partícula de 00150 kg situada no ponto P b se essas esferas estivessem nas profundezas do espaço sideral e uma partícula de 00150 kg fosse liberada do repouso a 300 m da origem ao longo de uma reta a 45 abaixo do eixo x qual seria a velocidade da partícula quando ela atingisse a origem Figura P1243 y x P 10 kg 20 kg 10 kg 050 m 050 m 1244 PC Explorando Europa há fortes indícios de que Europa um satélite de Júpiter tenha um oceano líquido sob a su perfície de gelo Muitos cientistas acham que deveríamos enviar um módulo espacial para lá em busca de vida antes de lançálo deveríamos testar o módulo sob as condições de gravidade na superfície de Europa um modo de fazer isso é colocar o módulo na extremidade de um braço rotativo em um satélite orbitando ao redor da terra se o braço possuir 425 m de comprimento e girar ao redor de uma extremidade em que velocidade angular em x m a M Figura E1235 BookSEARSVol2indb 34 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 35 rpm ele deveria girar para que a aceleração do módulo espacial fosse a mesma que a aceleração da gravidade na superfície de Europa a massa de Europa é 48 1022 kg e seu diâmetro é 3120 km 1245 uma esfera uniforme de massa igual a 500 kg é mantida fixa com seu centro na origem e uma segunda esfera uniforme de massa igual a 800 kg é mantida fixa com seu centro no ponto x 0 y 300 m a Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante produzida por essas esferas sobre uma terceira esfera uniforme com massa igual a 0500 kg situada no ponto x 400 m y 0 b Em que ponto sem ser o infinito a terceira esfera deve ser colocada para que a força gravitacional resultante que atua sobre ela seja igual a zero 1246 Missão para Titã Em 25 de dezembro de 2004 a sonda Huygens separouse da espaçonave Cassini que orbitava em saturno e iniciou uma jornada de 22 dias até a lua gigante titã de saturno em cuja superfície pousou além dos dados do apêndice f é útil saber que titã está a 122 106 km do centro de saturno e possui massa de 135 1023 kg e diâmetro de 5150 km a que distância de titã sua atração gravitacional deverá equilibrar a atração gravitacional de saturno 1247 PC realizase uma experiência nas profundezas do espaço sideral com duas esferas uniformes de mesmo raio uma com massa igual a 500 kg e a outra com massa igual a 1000 kg as esferas possuem raios de mesmo tamanho r 020 m e são liberadas do repouso com seus centros a 400 m de distância Elas aceleram uma ao encontro da outra em virtude da atração gravitacional entre elas Despreze outras forças gravitacionais além da existente entre as esferas a Explique por que existe conservação do momento linear b Quando a distância entre seus centros for igual a 200 m calcule i a velocidade de cada esfera e ii o módulo da velocidade relativa da aproximação entre as duas esferas c Qual é a distância entre o ponto ocupado pelo centro da esfera de 500 kg e o ponto no qual as superfícies das duas esferas colidem 1248 Em um dado instante a terra a Lua e uma espaço nave de massa igual a 1250 kg ocupam os vértices de um triân gulo equilátero de lado igual a 384 105 km a Determine o módulo a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pela terra e pela Lua sobre a espaçonave Descreva a direção em termos do ângulo a partir da linha que liga a terra com a espaçonave faça um diagrama mostrando a terra a Lua a espaçonave e o vetor força b Qual seria o trabalho mínimo que você deveria realizar para afastar a espaçonave até uma distância infinita da terra e da Lua Despreze os efeitos gravitacionais produzidos pelo sol e pelos outros planetas 1249 Satélites geossíncronos Muitos satélites se movem em um círculo no plano equatorial da terra Eles estão a uma altura tal que sempre permanecem sobre um mesmo ponto a ache a altura desses satélites acima da superfície terrestre Esse tipo de órbita é denominado geossíncrono b faça um dia grama para mostrar que um receptor a uma latitude norte superior a 813 N não pode receber sinais de rádio emitidos por esse tipo de satélite 1250 PC Submarinos na Europa alguns cientistas de sejam enviar um submarino de controle remoto à lua Europa de Júpiter para procurar vida em seus oceanos abaixo da crosta de gelo do satélite considerase que a massa de Europa seja 480 1022 kg seu diâmetro seja 3120 km e ela não possua atmosfera considerável suponha que a camada de gelo na super fície não seja grossa o suficiente para exercer uma força substan cial sobre a água se cada uma das escotilhas sendo projetadas para o submarino tiver uma área de 625 cm2 e puder suportar uma força máxima de fora para dentro de 8750 N por escotilha qual é a maior profundidade à qual o submarino poderá mergulhar com segurança 1251 Qual é a velocidade de escape de um asteroide com diâmetro de 300 km e densidade igual a 2500 kgm3 1252 um módulo espacial de massa igual a 12500 kg está em uma órbita circular 575 105 sobre a superfície de um planeta o período da órbita é 5800 s os astronautas no módulo medem o diâmetro do planeta e obtêm 960 106 m o módulo espacial pousa no polo norte do planeta Qual é o peso de um astronauta de 856 kg ao descer à superfície do planeta 1253 o Planeta X gira do mesmo modo que a terra ao redor de um eixo que passa por seus polos norte e sul e é per feitamente esférico um astronauta que pesa 9430 N na terra pesa 9150 N no polo norte do Planeta X e apenas 8500 N em seu equador a distância do polo norte ao equador é 18850 km medidos ao longo da superfície do Planeta X a Qual a duração do dia no Planeta X b se um satélite de 45000 kg for colocado em uma órbita circular 2000 km acima da superfície do Planeta X qual será seu período orbital 1254 a suponha que você esteja no equador da terra e observe um satélite passando bem em cima de sua cabeça e movendose de oeste para leste no céu Exatamente 120 horas depois você vê esse satélite sobre sua cabeça outra vez a que distância da superfície da terra está a órbita do satélite b você vê outro satélite bem em cima de sua cabeça e seguindo de leste para oeste Esse satélite está novamente sobre sua cabeça em 120 horas a que distância da superfície da terra está a órbita desse satélite 1255 PC uma astronauta cuja missão é ir até onde nin guém jamais foi pousa em um planeta esférico em uma galáxia distante ao pousar na superfície do planeja ela lança uma pe quena pedra que parte do repouso e descobre que ela precisa de 0480 s para descer 190 m se o raio do planeta é de 860 107 m qual é a massa do planeta 1256 PC sua espaçonave a Andarilha Errante pousa no misterioso planeta Mongo como engenheiro e cientista chefe você efetua as seguintes medidas uma pedra de massa igual a 250 kg jogada para cima a partir do solo a 120 ms e retorna ao solo em 480 s a circunferência de Mongo no equador é 200 105 km e não existe atmosfera significativa em Mongo o comandante da nave capitão confusão pede as seguintes informações a Qual é a massa de Mongo b se a Andarilha Errante entrar em uma órbita circular 30000 km acima da superfície de Mongo quantas horas ela levará para completar uma órbita 1257 PC você está explorando um planeta distante Quando sua espaçonave está em uma órbita circular a uma dis tância de 630 km acima da superfície do planeta a velocidade orbital da espaçonave é de 4900 ms observando o planeta você determina o raio como sendo 448 106 m Então você pousa na superfície e em um local onde o solo é nivelado lança um pequeno projétil com velocidade inicial de 126 ms a um BookSEARSVol2indb 35 021015 148 PM 36 Física II ângulo de 308 acima do plano horizontal Desprezando a resis tência devida à atmosfera do planeta qual é o alcance horizontal desse projétil 1258 a esfera de 0100 kg da Figura P1258 é lançada do repouso em uma posição mostrada no desenho com seu centro a 0400 m do centro da massa de 500 kg suponha que as únicas forças sobre a esfera de 0100 kg sejam as forças gravitacionais exercidas pelas duas outras esferas e que as esferas de 500 e 1000 kg sejam mantidas no local em suas posições iniciais Qual é a velocidade da esfera de 0100 kg quando ela tiver se movido 0400 m à direita de sua posição inicial Figura P1258 500 kg 0100 kg 100 kg 0400 m 0600 m 1259 uma espaçonave não tripulada descreve uma órbita circular em torno da Lua observando a superfície desta de uma altura de 500 km ver o apêndice f Para surpresa dos cientistas na terra em decorrência de uma falha elétrica um dos motores da espaçonave deixa de funcionar fazendo sua velocidade dimi nuir 200 ms caso nada seja feito para corrigir sua órbita com que velocidade em kmh a espaçonave atingiria a superfície da Lua 1260 Massa de um cometa Em 4 de julho de 2005 a espaçonave Deep Impact da Nasa lançou um projétil sobre a superfície do cometa tempel 1 Esse cometa tem um diâmetro de cerca de 90 km observações dos fragmentos provocados pelo impacto na superfície revelaram a liberação de poeira do co meta com uma velocidade bastante reduzida de cerca de 10 ms a supondo uma forma esférica qual é a massa desse cometa Dica veja o Exemplo 125 na seção 123 b a que distância do centro do cometa estará um fragmento quando ele houver perdido i 900 de sua energia cinética inicial na superfície e ii toda a energia cinética que possuía na superfície 1261 Martelo em queda um martelo com massa m é lar gado de uma altura h acima da superfície da terra Essa altura não é necessariamente pequena em comparação ao raio da terra Rt Desprezando a resistência do ar deduza uma expressão para a velocidade v do martelo quando ele atinge a superfície da terra Essa expressão deve envolver h Rt e mt a massa da terra 1262 a calcule o trabalho necessário para lançar uma espa çonave de massa m da superfície da terra massa mt e raio Rt e colocála em uma órbita terrestre baixa isto é uma órbita cuja al tura acima da superfície da terra seja muito menor que Rt como exemplo a Estação Espacial internacional está em uma órbita terrestre baixa a uma altura de 400 km que é muito menor que Rt 6370 km Despreze a energia cinética que a espaçonave possui na superfície da terra em virtude da rotação da terra b calcule o trabalho adicional mínimo necessário para fazer a espaçonave se deslocar da órbita terrestre até uma distância muito grande da terra Despreze os efeitos gravitacionais do sol da Lua e dos outros planetas c Justifique a seguinte afirmação Em termos de energia uma órbita terrestre baixa está na metade da distância até o limite do universo 1263 Estrela binária massas iguais Duas estrelas idên ticas cada uma com massa M giram em torno de seus centros de massa cada órbita é circular e possui raio R de modo que as duas estrelas estão sempre em lados opostos do círculo a ache a força gravitacional de uma estrela sobre a outra b ache a velocidade orbital de cada estrela e o período da órbita c Qual deve ser a energia necessária para separar as duas estrelas até uma distância infinita 1264 PC Estrela binária massas diferentes Duas estrelas uma com massa M1 e a outra com massa M2 descre vem uma órbita circular em torno de seus centros de massa a estrela de massa M1 possui uma órbita com raio R1 e a estrela de massa M2 possui uma órbita com raio R2 a Mostre que a razão entre os raios orbitais das duas estrelas é inversamente proporcional à razão entre suas massas ou seja mostre que R1 R2 M2M1 b Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por T 2p1R1 R22 32G1M1 M22 c as duas estrelas de um certo sistema de estrela binária descrevem órbitas circula res a primeira estrela alfa possui velocidade orbital igual a 360 kms a outra estrela Beta possui velocidade orbital igual a 120 kms o período orbital é igual a 137 d Quais são as massas de cada uma das duas estrelas d Presumese que um dos melhores candidatos a buraco negro se encontre no sistema binário denominado a06200090 os dois corpos desse sistema são uma estrela laranja v616 Monocerotis e um corpo com pacto que parece ser um buraco negro figura 1228 o período orbital do binário a06200090 é igual a 775 horas Estimase que a massa de v616 Monocerotis seja igual a 067 vez a massa do sol e que a massa do buraco negro seja igual a 38 vezes a massa do sol supondo que as órbitas sejam circulares calcule o raio da órbita e a velocidade orbital de cada um desses corpos compare suas respostas com o raio orbital e com a velocidade da terra em sua órbita em torno do sol 1265 os cometas descrevem órbitas elípticas em torno do sol com elevadas excentricidades se um cometa possui veloci dade igual a 20 104 ms quando sua distância ao centro do sol é igual a 25 1011 m qual é sua velocidade quando a uma distância do centro do sol de 50 1010 m 1266 o planeta urano possui raio igual a 25360 km e a aceleração da gravidade em sua superfície nos polos é igual a 90 ms2 sua lua Miranda descoberta por Kuiper em 1948 des creve uma órbita circular em torno de urano a uma altura de 104000 km acima da superfície desse planeta Miranda possui massa igual a 66 1019 kg e raio igual a 236 km a calcule a massa de urano usando os dados anteriores b calcule o mó dulo da aceleração de Miranda em sua órbita em torno de urano c calcule a aceleração da gravidade na superfície de Miranda d suas respostas dos itens b e c significam que um objeto lançado a 1 m acima da superfície de Miranda no lado voltado para urano cairia para cima em relação a Miranda Explique 1267 PC considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da terra Em seu ponto inferior ou perigeu de sua órbita ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre em seu ponto superior ou apogeu de sua órbita ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre a Qual é o período da órbita da espaçonave b usando a conservação do momento angular ache a razão entre as velocidades no perigeu e no apogeu c usando a conser vação da energia ache as velocidades no perigeu e no apogeu d Desejamos fazer a espaçonave escapar completamente da BookSEARSVol2indb 36 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 37 terra se os motores dos foguetes forem acionados durante o perigeu quanto a velocidade deve aumentar para atingir esse objetivo E se os motores forem acionados durante o apogeu Qual é o ponto da órbita mais eficiente para usar 1268 um foguete com massa de 500 103 kg está em uma órbita circular de raio 720 106 m em torno da terra os motores do foguete são acionados por um período para aumentar esse raio para 880 106 m com a órbita novamente circular a Qual é a variação da energia cinética do foguete Ela aumenta ou diminui b Qual é a variação da energia potencial gravitacio nal do foguete Ela aumenta ou diminui c Qual é o trabalho realizado pelos motores do foguete na mudança do raio orbital 1269 uma espaçonave de 5000 kg descreve uma ór bita circular a uma altura de 2000 km acima da superfície de Marte Qual é o trabalho realizado pelos motores da espaçonave para transportála até uma órbita circular a 4000 km acima da superfície 1270 um satélite com massa de 848 kg está em uma órbita circular com velocidade orbital de 9640 ms em torno da terra Qual é a nova velocidade orbital depois que o atrito causado pela atmosfera superior da terra tiver realizado um trabalho de 750 109 J sobre o satélite sua velocidade aumenta ou diminui 1271 CALC Planetas não são uniformes por dentro Normalmente eles são mais densos no núcleo e sua densidade vai decrescendo de dentro para fora até a superfície Modele um planeta esfericamente simétrico de mesmo raio que a terra tendo uma densidade que diminui linearmente com a distância a partir do centro suponha que a densidade seja 150 103 kgm3 no núcleo e 20 103 kgm3 na superfície Qual é a aceleração da gravidade na superfície desse planeta 1272 um dos cometas mais brilhantes que apareceram no século XX foi o cometa hyakutake que passou nas proximidades do sol em torno de 1996 Estimouse em 30000 anos o período orbital desse cometa calcule o semieixo maior da órbita desse cometa compare o resultado com a distância média entre o sol e Plutão e com a distância da estrela mais próxima do sol alfa centauro situada a uma distância da terra aproximadamente igual a 43 anosluz 1273 CALC um corpo com forma de anel fino possui raio a e massa M uma esfera uniforme de raio R e massa m é colo cada com seu centro situado a uma distância x à direita do centro do anel sobre a linha que une os centros perpendicular ao plano do anel figura E1235 Qual é a força gravitacional que a esfera exerce sobre o corpo em forma de anel Mostre que seu resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que a 1274 CALC um fio uniforme de comprimento L e massa M está curvado em semicírculo calcule o módulo a direção e o sentido da força gravitacional que o fio exerce sobre uma partícula de massa m situada no centro da curvatura do semicírculo 1275 CALC Perfuramos um túnel da superfície até o cen tro da terra figura 1225 como no Exemplo 1210 seção 126 considere a hipótese bastante irreal de que a densidade da terra seja constante com essa aproximação a força gra vitacional exercida sobre um objeto de massa m no interior da terra situado a uma distância r de seu centro possui módulo dado por Fg GmtmrRt 3 como deduzido no Exemplo 1210 e aponta para o centro da terra a Deduza uma expressão para a energia potencial gravitacional Ur do sistema objeto terra em função da distância entre o objeto e o centro da terra considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando o objeto está no centro da terra b se um objeto fosse liberado dentro do túnel na superfície terrestre qual seria sua velocidade quando ele atingisse o centro da terra 1276 dAdos Para cada um dos oito planetas de Mercúrio a Netuno o semieixo maior a de sua órbita e seu período orbital T são os seguintes Planeta Semieixo maior 106 km Período orbital dias Mercúrio 579 880 Vênus 1082 2247 Terra 1496 3652 Marte 2279 6870 Júpiter 7783 4331 Saturno 14267 10747 Urano 28707 30589 Netuno 44984 59800 a Explique por que esses valores quando desenhados como T 2 em função de a3 ficam próximos de uma linha reta Qual das leis de Kepler está sendo testada Entretanto os valores de T 2 e a3 cobrem uma extensão tão grande que esse desenho não é um modo muito prático de representar os dados grafica mente Experimente Em vez disso desenhe logT com T em segundos em função de loga com a em metros Explique por que os dados também deverão ficar próximos de uma linha reta nesse desenho b De acordo com as leis de Kepler qual deverá ser a inclinação de seu gráfico de logT em função de loga no item a seu gráfico tem essa inclinação c usando G 6674 1011 N m2kg2 calcule a massa do sol a partir da interceptação y de seu gráfico como seu valor calculado se relaciona com o valor dado no apêndice f d o único aste roide visível a olho nu e somente sob condições ideais de vi sualização é vesta que possui um período orbital de 13254 dias Qual é o comprimento do semieixo maior da órbita de vesta onde isso coloca a órbita de vesta em relação às órbi tas dos oito principais planetas alguns cientistas argumentam que vesta deveria ser chamado de um planeta menor em vez de asteroide 1277 dAdos Para um planeta esférico com massa M volume V e raio R derive uma expressão para a aceleração da gravidade na superfície do planeta g em termos da densidade média do planeta r MV e seu diâmetro D 2R a tabela fornece os valores de D e g para os oito principais planetas Planeta D km g ms2 Mercúrio 4879 37 Vênus 12104 89 Terra 12756 98 Marte 6792 37 Júpiter 142984 231 Saturno 120536 90 Urano 51118 87 Netuno 49528 110 a trate os planetas como esferas sua equação para g em função de r e D mostra que se a densidade média dos plane tas for constante um gráfico de g em função de D será bem representado por uma linha reta Desenhe o gráfico de g em BookSEARSVol2indb 37 021015 148 PM 38 Física II função de D para os oito principais planetas o que o grá fico informa a respeito da variação na densidade média b calcule a densidade média para cada um dos principais pla netas relacione os planetas em ordem decrescente de den sidade indicando a densidade média calculada de cada um c a terra não é uma esfera uniforme e possui maior densi dade perto de seu centro é razoável supor que isso também poderia acontecer com outros planetas Discuta o efeito que essa não uniformidade tem sobre sua análise d se saturno tivesse a mesma densidade média que a terra qual seria o valor de g na superfície desse planeta 1278 dAdos Para um planeta em nosso sistema solar suponha que o eixo da órbita esteja no sol e seja circular Então o momento angular em torno desse eixo em razão do movimento orbital do planeta é L MvR a Derive uma expressão para L em termos da massa M do planeta raio orbital R e período T da órbita b usando os dados do apêndice f calcule o módulo do momento angular orbital para cada um dos oito principais planetas considere uma órbita circular some esses valores para obter o momento angular total dos principais planetas em virtude de seu movimento orbital todos esses planetas orbitam na mesma direção próximos do mesmo plano de modo que a soma dos módulos para obter o valor total é uma aproximação razoável c o período rotacional do sol é de 246 dias usando os dados do apêndice f calcule o momento angular que o sol tem em decorrência da rotação em torno de seu eixo suponha que o sol seja uma esfera uniforme d Qual é a relação entre o momento angular rotacional do sol e o momento angular or bital total dos planetas Qual é a relação entre a massa do sol e a massa total dos planetas o fato de o sol ter a maior parte da massa do sistema solar mas apenas uma pequena fração de seu momento angular total deve ser levado em consideração nos modelos da formação do sistema solar e o sol tem uma densidade que diminui com a distância a partir de seu centro isso significa que seu cálculo no item c superestima ou subes tima o momento angular rotacional do sol ou a densidade não uniforme não possui efeito algum ProBLEmAs dEsAFIAdorEs 1279 Navegação interplanetária o método mais efi ciente para enviar uma espaçonave da terra a outro planeta con siste em usar uma órbita de transferência de Hohmann Figura P1279 se as órbitas da partida e do destino forem circulares a órbita de transferência de hohmann será uma elipse cujo periélio tangencia a órbita de um dos planetas e cujo afélio tangencia a órbita do outro planeta os foguetes são acionados brevemente na órbita de partida para colocar a espaçonave na órbita de transfe rência a seguir a espaçonave viaja até atingir o planeta desejado Depois os foguetes são novamente acionados para colocar a es paçonave na mesma órbita em torno do sol descrita pelo planeta do destino a Para uma viagem da terra até Marte qual deve ser a direção e o sentido em que o foguete deve ser disparado na terra e em Marte no sentido do movimento ou no sentido oposto ao movimento E no caso de uma viagem de Marte até a terra b Quanto tempo entre os disparos dos foguetes levaria uma viagem de ida da terra até Marte c Para atingir Marte a partir da terra o lançamento deve ser cronometrado de modo que Marte deve estar no local exato de sua órbita quando a trajetória da espaçonave tangencia a órbita do planeta em torno do sol Qual deve ser o ângulo entre a direção do lançamento e a direção da linha que une o sol com Marte e da linha que une o sol com a terra use dados do apêndice f Figura P1279 Sol Órbita da Terra Órbita de Marte Órbita de trans ferência de Hohmann 1280 PC Forças de maré nas vizinhanças de um bu raco negro uma astronauta no interior de uma espaçonave que a protege das radiações perigosas descreve uma órbita em torno de um buraco negro a uma distância de 120 km de seu centro o buraco negro possui massa igual a 500 vezes a massa do sol e um raio de schwarzschild igual a 150 km a astronauta está posicionada no interior da espaçonave de tal modo que uma de suas orelhas com 0030 kg está 60 cm mais afastada do cen tro do buraco negro que o centro de massa da espaçonave e a outra orelha está 60 cm mais próxima a Qual é a tensão entre suas orelhas a astronauta poderia suportar essa força ou seria rasgada por ela uma vez que o corpo inteiro da astronauta descreve a órbita com a mesma velocidade angular por causa da diferença entre os raios uma das orelhas se move com velo cidade maior que a outra Portanto sua cabeça deverá exercer forças sobre as orelhas para mantêlas na órbita b o centro de massa da sua cabeça está situado no mesmo ponto de seu centro de gravidade Explique 1281 CALC a massa M está uniformemente distribuída ao longo de um disco de raio a Determine o módulo a direção e o sentido da força gra vitacional entre o disco e a partícula de massa m localizada a uma distân cia x acima do centro do disco Figura P1281 seu resultado se reduz a uma expressão cor reta quando x assume valores muito elevados Dica divida o disco em anéis finos concên tricos infinitesimais a seguir use a expressão deduzida no Exercício 1235 para a força gravitacional de cada anel e integre o resultado para achar a força total Figura P1281 a x m M BookSEARSVol2indb 38 021015 148 PM Capítulo 12 Gravitação 39 Problemas com contexto BIo Exoplanetas Enquanto planetas com diversas proprieda des estão sendo descobertos fora do nosso sistema solar astro biólogos estão imaginando se e como poderia haver vida em planetas muito diferentes da terra um planeta recentemente descoberto fora do sistema solar ou exoplaneta está em órbita de uma estrela cuja massa é 070 vez a massa do nosso sol Descobriuse que esse planeta possui 23 vezes o diâmetro da terra e 79 vezes a sua massa Para os planetas nessa faixa de tamanho os modelos de computador indicam um relaciona mento entre a densidade do planeta e sua composição Densidade relativa à Terra Composição 23 vezes Principalmente ferro 092 vezes Núcleo de ferro com crosta de rocha 0409 vez Núcleo de ferro com crosta de rocha e alguns elementos mais leves como o gelo água 04 vez Gases de hidrogênio eou hélio Baseado em s seager et al Massradius relationships for solid exoplanets arXiv07072895 astroph 1282 com base nesses dados qual é a composição mais pro vável desse planeta a Principalmente ferro b ferro e rocha c ferro e rocha com alguns elementos mais leves d gases de hidrogênio e hélio 1283 a aceleração da gravidade perto da superfície desse pla neta é quantas vezes a aceleração da gravidade g perto da super fície da terra a cerca de 029g b cerca de 065g c cerca de 15g d cerca de 79g 1284 as observações desse planeta com o tempo mostram que ele está em uma órbita quase circular em torno de sua estrela e completa uma órbita em apenas 95 dias o raio orbital r da terra em torno do sol é quantas vezes o raio orbital desse exo planeta em torno de sua estrela suponha que a terra também esteja em uma órbita quase circular a 0026r b 0078r c 070r d 23r respostas resposta à pergunta inicial do capítulo iv Para um satélite uma distância r do centro de seu planeta a velocidade orbital é proporcional a 1r e a aceleração da gravidade é proporcional a 1r2 veja a seção 124 assim uma partícula que orbita próximo a saturno possui velocidade e aceleração maiores que uma partícula orbitando a uma distân cia maior respostas às perguntas dos testes de compreensão 121 resposta v Pela Equação 121 a força gravitacional do sol massa m1 sobre um planeta massa m2 a uma distância r tem módulo Fg Gm1m2r2 comparado à terra saturno possui um valor de r2 que é cem vezes maior e um valor de m2 que também é cem vezes maior Portanto a força que o sol exerce sobre saturno tem o mesmo módulo que a força exercida pelo sol sobre a terra a aceleração de um planeta é igual à força resultante dividida pela massa do planeta como saturno possui cem vezes mais massa que a terra sua aceleração é 1 100 da ace leração da terra 122 resposta iii i ii iv Pela Equação 124 a acele ração da gravidade na superfície de um planeta de massa mP e raio RP é gP GmPRP 2 ou seja gP é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado de seu raio seguese que comparado ao valor de g na superfície da terra o valor de gP em cada planeta é i 222 1 2 do valor de g ii 442 1 4 442 1 4 do valor de g iii 422 1 vez o valor de g ou seja igual a g e iv 242 1 8 do valor de g 123 resposta iv Para um planeta com massa mP e raio RP a gravidade na superfície é GmPRP 2 enquanto a velocidade de escape é vesc 2GmPRP comparando essas duas expressões você obtém vesc 2gRP Logo mesmo que um planeta tenha o mesmo valor de g que a terra sua velocidade de escape pode ser diferente dependendo de como seu raio RP está relacionado ao raio da terra Para o planeta saturno por exemplo mP é cerca de cem vezes a massa da terra e RP é cerca de dez vezes o raio da terra o valor de g é diferente do que é na terra por um fator 100102 1 isto é é o mesmo que na terra enquanto a velocidade de escape é maior por um fator de 10010 32 124 resposta ii a Equação 1210 mostra que em uma ór bita de raio menor a espaçonave apresenta uma maior veloci dade o trabalho negativo realizado pela resistência do ar reduz a energia mecânica total E K U a energia cinética K aumenta tornase mais positiva mas a energia potencial gravitacional U diminui tornase mais negativa muito mais 125 resposta iii a Equação 1217 indica que o período orbital T é proporcional à potência 3 2 do semieixo maior a assim o período orbital do cometa X é maior que o do cometa Y por um fator de 432 8 126 resposta não Nossa análise mostra que existe uma força gravitacional de valor zero dentro de uma casca esférica oca Dessa forma os visitantes do interior de um planeta oco ficariam sem peso e não poderiam ficar em pé ou caminhar pela superfície interna desse planeta 127 resposta iv ao analisar a Equação 1227 vimos que a diferença entre a aceleração da gravidade no equador e nos polos é v2Rt como esse planeta possui o mesmo raio e portanto a mesma circunferência que a terra a velocidade v em seu equador deve ser dez vezes a velocidade no equador da terra Logo v2 Rt é 102 100 vezes maior que na terra ou 10000339 ms2 339 ms2 a aceleração da gravidade nos polos é 980 ms2 enquanto no equador é drasticamente menor 980 ms2 339 ms2 641 ms2 Podese demonstrar que se esse planeta pre cisasse girar 170 vezes mais rápido que a terra a aceleração da gravidade no equador seria zero e objetos soltos sairiam voando da superfície do equador 128 resposta iii se o sol se transformasse em um bu raco negro o que segundo nosso conhecimento das estrelas BookSEARSVol2indb 39 021015 148 PM 40 Física II é impossível ele teria a mesma massa porém um raio muito menor como a atração gravitacional exercida pelo sol sobre a terra não depende do raio do sol a órbita da terra não seria afetada Problema em destaque a Periélio vP Å GmS a 11 e2 11 e2 afélio vA Å GmS a 11 e2 11 e2 b vP 544 kms va 0913 kms KP 326 1023 J UP 331 1023 J EP 547 1021 J Ka 917 1019 J Ua 556 1021 J Ea 547 1021 J BookSEARSVol2indb 40 021015 148 PM oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 131 Como descrever oscilações em termos de amplitude período frequência e frequência angular 132 Como fazer cálculos com movimento harmônico simples MHS um tipo importante de oscilação 133 Como usar conceitos de energia para analisar MHS 134 Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situações físicas 135 Como analisar os movimentos de um pêndulo simples 136 O que é um pêndulo físico e como calcular as propriedades de seu movimento 137 O que determina o quão rapidamente uma oscilação chega ao fim 138 Como uma força propulsora aplicada a um oscilador na frequência certa pode provocar uma resposta muito intensa ou ressonância Revendo conceitos de 13 Padrões de tempo 34 Movimento circular uniforme 63 Lei de Hooke 72 7 4 Energia potencial elástica relação entre força e energia potencial 93 Relação entre movimento angular e movimento linear 102 Segunda lei de Newton para o movimento de rotação M uitos tipos de movimento se repetem indefinidamente a vibração de um cristal de quartzo em um relógio a oscilação do pêndulo de um relógio de carrilhão as vibrações sonoras produzidas por um clari nete ou pelo tubo de um órgão e as oscilações produzidas pelos pistões no motor de um automóvel Esse tipo de movimento chamado de movimento periódico ou oscilação é o assunto deste capítulo o entendimento do mo vimento periódico será essencial para os estudos que faremos sobre as ondas o som as correntes elétricas e a luz um corpo que executa movimento periódico encontrase sempre em uma posição de equilíbrio estável Quando ele é deslocado dessa posição e liberado surge uma força ou um torque que o faz retornar à sua posição de equilíbrio Quando ele atinge esse ponto entretanto pelo fato de haver acumulado energia cinética ele o ultrapassa parando em algum ponto do outro lado e sendo novamente puxado para sua posição de equilíbrio ima gine uma bola rolando para a frente e para trás no interior de um recipiente côncavo ou um pêndulo que oscila de um lado para o outro passando por sua posição de equilíbrio na vertical Neste capítulo concentraremos nossa atenção em dois exemplos simples de sistemas que executam movimentos periódicos o sistema massamola e o pêndulo também estudaremos por que as oscilações diminuem de in tensidade com o tempo e por que algumas oscilações podem se superpor e construir deslocamentos cada vez maiores quando forças periódicas atuam sobre o sistema 131 CAUsAs dA osCILAÇÃo Na Figura 131 vemos um dos sistemas mais simples que podem execu tar um movimento periódico um corpo de massa m está em repouso sobre moVimENTo PEriÓDiCo 13 Cães caminham com pas sos muito mais rápidos que os humanos Isso ocorre princi palmente porque em compara ção com as pernas dos huma nos as pernas dos cães i são mais curtas ii possuem mais massa iii possuem maior ra zão entre músculos e gordura iv possuem patas em vez de dedos do pé ou v mais de um desses fatores BookSEARSVol2indb 41 021015 148 PM 42 Física II um trilho horizontal sem atrito como no caso de um trilho de ar linear de modo que ele pode se mover apenas ao longo do eixo Ox a mola presa ao corpo possui massa desprezível e pode ser comprimida ou esticada a extremidade esquerda da mola é mantida fixa e sua extremidade direita está presa ao corpo a força da mola é a única força horizontal que atua sobre o corpo a força vertical normal sempre anula a força gravitacional é mais simples definir o sistema de coordenadas com a origem O na posição de equilíbrio para a qual a mola não está esticada nem comprimida Então x fornece o componente x do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio e também indica a variação de comprimento da mola a mola exerce uma força sobre o corpo com componente x igual a Fx e o componente x da aceleração é ax Fxm a Figura 132 mostra diagramas do corpo livre para as três diferentes posições da mola Quando o corpo é deslocado da posição de equilíbrio da mola a força da mola tende a fazer o corpo voltar para a posição de equilíbrio chamamos essa força de força restauradora uma oscilação só ocorre quando existe uma força restaura dora que obriga o sistema a voltar para sua posição de equilíbrio vamos analisar como as oscilações ocorrem nesse sistema Quando deslocamos o corpo para a direita até a posição x A e a seguir o liberamos a força resultante e a aceleração são orientadas para a esquerda figura 132a a velocidade aumenta até o corpo atingir a posição de equilíbrio O Quando o corpo está no ponto O a força resultante que atua sobre ele é igual a zero figura 132b mas em razão de seu movimento ele ultrapassa a posição de equilíbrio No outro lado da posição de equilíbrio a velocidade do corpo está orientada para a esquerda porém a força resultante e sua aceleração estão orientadas para a direita figura 132c conse quentemente a velocidade diminui até o corpo parar Mostraremos mais adiante que no caso da mola ideal o corpo para no ponto x A a seguir o corpo acelera para a direita ultrapassa novamente a posição de equilíbrio e para no ponto x A pronto para repetir o processo inteiro o corpo está oscilando caso não existisse atrito nem outra força capaz de remover a energia mecânica do sistema esse mo vimento se repetiria eternamente a força restauradora sempre obrigaria o corpo a voltar para sua posição de equilíbrio e todas as vezes ele ultrapassaria essa posição Em situações diferentes a força pode depender do deslocamento x a partir do equilíbrio de diferentes modos Entretanto as oscilações sempre ocorrem quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a voltar para sua posição de equilíbrio Figura 131 um sistema que pode ter movimento periódico Mola Posição de equilíbrio mola não comprimida nem esticada m O x y x 0 o corpo é deslocado para a esquerda da posição de equilíbrio Fx 0 então ax 0 a mola comprimida empurra o corpo para a posição de equilíbrio Fx ax Fx x 0 a mola relaxada não exerce força sobre o corpo então o corpo possui aceleração zero b O x y x n mg y a x x y x n mg y x 0 o corpo é deslocado para a direita da posição de equilíbrio Fx 0 então ax 0 a mola esticada empurra o corpo para a posição de equilíbrio Fx ax Fx c x x y x n mg y Figura 132 Exemplo de um movimento periódico Quando o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio em x 0 a mola exerce uma força restauradora que o leva de volta à posição de equilíbrio BIo Aplicação Frequências da asa O beijaflordopescoço vermelho Archilochus colubris normalmente bate suas asas com uma frequência de 50 ciclos por segundo produzindo o som que dá nome a esse pássaro em inglês que significa pássaro de zumbido Insetos podem bater suas asas em taxas ainda maiores de 330 ciclos para uma mosca doméstica a 600 ciclos para um mosquito e incríveis 1040 ciclos para um minúsculo pernilongo BookSEARSVol2indb 42 021015 148 PM Capítulo 13 Movimento periódico 43 Amplitude período frequência e frequência angular a seguir definimos alguns termos que serão usados na discussão de todos os tipos de movimentos periódicos a amplitude do movimento designada por A é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio isto é o valor máximo de x Ela é sempre positiva se a mola da figura 132 for ideal a amplitude total do movimento será 2A a unidade si de A é o metro uma vibração completa ou ciclo é um percurso completo de ida e volta digamos de A até A e retornando ao ponto A ou de O até A de volta a O seguindo até A e retornando a O Note que o movimento de uma extremidade a outra digamos de A até A constitui um semiciclo e não um ciclo completo o período T é o tempo correspondente a um ciclo Ele é sempre positivo a unidade si é o segundo porém algumas vezes ele é expresso em segundos por ciclo a frequência f é o número de ciclos em uma unidade de tempo Ela é sempre positiva a unidade si de frequência é o hertz uma unidade designada em home nagem ao físico alemão heinrich hertz 1 hertz 1 Hz 1 ciclo s 1 s1 a frequência angular v é 2p vezes a frequência v 2p f Em breve veremos por que v é uma grandeza útil Ela representa uma taxa de variação de uma grandeza angular não necessariamente relacionada ao movimento de rotação que é sempre medida em radianos portanto ela possui unidades de rads uma vez que f é em ciclos podemos interpretar o fator 2p como se tivesse unidades de radciclo Por definição período e frequência são recíprocos 131 Período No movimento periódico frequência e período são recíprocos f T 1 T f 1 Frequência além disso da definição de v 132 Período Frequência angular relacionada à frequência e ao período v 2pf T 2p Frequência um transdutor ultrassônico uma espécie de altofalante usado para diagnóstico médico oscila com uma frequência igual a 67 Mhz 67 106 hz Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR as variáveis procuradas são o perí odo T e a frequência angular v temos a frequência f portanto podemos achar as variáveis que desejamos usando as equações 131 e 132 EXECUTAR usando as equações 131 e 132 obtemos T 1 f 1 67 106 Hz 15 107 s 015 ms v 2pf 2p 167 106 Hz2 12p radciclo2 167 106 ciclo s2 42 107 rads AVALIAR tratase de uma vibração muito rápida com valores elevados de f e v e um valor pequeno para T Em uma vibração lenta f e v são pequenos e T é elevado ExEmPlo 131 PERÍODO FREQUÊNCIA E FREQUÊNCIA ANGULAR BookSEARSVol2indb 43 021015 148 PM 44 Física II TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 131 um corpo como o mostrado na figura 132 oscila para a frente e para trás Para cada um dos seguintes valores da velocidade vx e da aceleração ax do corpo ao longo do eixo Ox diga se o deslocamento x é positivo negativo ou zero a vx 0 e ax 0 b vx 0 e ax 0 c vx 0 e ax 0 d vx 0 e ax 0 e vx 0 e ax 0 f vx 0 e ax 0 132 moVImENTo hArmôNICo sImPLEs o tipo mais simples de oscilação ocorre quando a força restauradora Fx é di retamente proporcional ao deslocamento x da posição de equilíbrio isso ocorre quando a mola das figuras 131 e 132 é ideal ou seja quando ela obedece à lei de Hooke veja a seção 63 a constante de proporcionalidade entre Fx e x é a constante da força ou constante k Nos dois lados da posição de equilíbrio Fx e x sempre possuem sinais opostos Na seção 63 representamos a força que atua sobre a mola por Fx kx o componente x da força que a mola exerce sobre o corpo é o negativo disso portanto Fx kx 133 Força restauradora exercida por uma mola ideal Componente x da força Deslocamento Constante de força da mola Essa equação fornece corretamente o módulo e o sinal da força independen temente de o valor de x ser positivo negativo ou nulo Figura 133 a constante da mola k é sempre positiva e suas unidades são Nm um conjunto de unidades alternativo e útil é kgs2 supondo que não exista atrito a Equação 133 fornece a força resultante sobre o corpo Quando a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio conforme indicado na Equação 133 a oscilação de nominase movimento harmônico simples abreviado por MHS a aceleração ax d2xdt2 Fxm de um corpo que executa um Mhs é dada por 134 Constante de força da força restauradora Componente x da aceleração Equação para o movimento harmônico simples ax x dt2 d2x m k Deslocamento Massa do objeto Segunda derivada do deslocamento o sinal negativo indica que no Mhs a aceleração sempre possui sentido con trário ao do deslocamento Essa aceleração não é constante portanto nem pense em usar as fórmulas deduzidas no capítulo 2 Física I para o movimento com aceleração constante Em breve mostraremos como resolver essa equação para encontrar o deslocamento x em função do tempo um corpo que executa um mo vimento harmônico simples é chamado oscilador harmônico Por que o movimento harmônico simples é tão importante Não se esqueça de que nem todos os movimentos periódicos constituem um movimento harmônico simples em movimentos periódicos em geral a força restauradora depende do deslocamento de modo mais complicado que o indicado na Equação 133 con tudo em muitos sistemas a força restauradora é aproximadamente proporcional ao deslocamento no caso de ele ser suficientemente pequeno Figura 134 ou seja no caso de uma amplitude suficientemente pequena as oscilações do sistema constituem aproximadamente um movimento harmônico simples que pode ser des crito pela Equação 134 Logo podemos notar que o Mhs é um modelo simples para descrever diversos tipos de movimentos periódicos como a vibração de um diapasão de afinação a corrente elétrica em um circuito de corrente alternada e as vibrações dos átomos nas moléculas e nos sólidos Figura 133 uma mola ideal exerce uma força restauradora que obedece à lei de hooke Fx kx uma oscilação com uma força restauradora desse tipo é chamada de movimento harmônico simples A força restauradora exercida por uma mola ideal é diretamente proporcional ao deslocamento lei de Hooke Fx kxo gráfco de Fx em função de x é uma linha reta O Deslocamento x Força restauradora Fx x 6 0 Fx 7 0 x 7 0 Fx 6 0 BookSEARSVol2indb 44 021015 148 PM Capítulo 13 Movimento periódico 45 Figura 134 Em muitas oscilações reais a lei de hooke se aplica desde que o corpo não se afaste muito da posição de equilíbrio Em tal caso as oscilações de pequena amplitude podem ser consideradas aproximadamente como harmônicas simples mas Fx kx pode ser uma boa aproximação para a força se o deslocamento x for sufcientemente pequeno Caso ideal a força restauradora obedece à lei de Hooke Fx kx então o gráfco de Fx em função de x é uma linha reta Caso real típico a força restauradora não segue a lei de Hooke O Deslocamento x Força restauradora Fx movimento circular e as equações do mhs Para explorar as propriedades do movimento harmônico simples devemos re presentar a distância x do corpo que oscila em função do tempo xt a segunda derivada dessa função d2xdt2 deve ser igual a km multiplicada pela própria função conforme exigido pela Equação 134 como já dissemos as fórmulas para aceleração constante da seção 24 não servem para este caso porque a acelera ção varia constantemente à medida que x varia Em vez disso deduziremos uma expressão para xt notando que o Mhs está relacionado ao movimento circular uniforme que estudamos na seção 34 a Figura 135a mostra a vista do topo de um disco horizontal de raio A com uma bola presa em sua periferia no ponto Q o disco gira com velocidade angular constante v medida em rads de modo que a bola gira com movimento circular uniforme um feixe de luz horizontal projeta a sombra da bola sobre uma tela a sombra do ponto P oscila para a frente e para trás enquanto a bola faz um movi mento circular agora colocamos um corpo na extremidade de uma mola ideal como indicado nas figuras 131 e 132 de modo que o corpo oscile paralelamente à direção do deslocamento da sombra Mostraremos que o movimento desse corpo e o da sombra são idênticos quando a amplitude do movimento do corpo é igual ao raio A do disco e que a frequência angular 2pf do corpo oscilante é igual à velocidade angular do disco que gira ou seja o movimento harmônico simples é a projeção de um movimento circular uniforme sobre um diâmetro do círculo Podemos verificar essa importante conclusão determinando a aceleração da som bra no ponto P e comparando o resultado com a aceleração de um corpo que executa u Sombra da bola na tela Sombra da bola Bola em plataforma giratória Enquanto a bola Q sobre a plataforma giratória se move em movimento circular sua sombra P se desloca para a frente e para trás sobre a tela em movimento harmônico simples Tela iluminada vertical Iluminação Mesa Feixe de luz A A A O P Q Bola se move em movimento circular uniforme Sombra se desloca para a frente e para trás sobre o eixo x em MHS a Visão do topo do aparelho para criar um círculo de referência b Uma representação abstrata do movimento em a O P A y x Q x A cos u v Figura 135 a relacionando o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples b a sombra da bola se move exatamente como um corpo oscilando em uma mola ideal BookSEARSVol2indb 45 021015 148 PM 46 Física II um Mhs dada a Equação 134 o círculo ao longo do qual a bola se move de modo que sua projeção se superpõe à do movimento oscilatório do corpo denominase círculo de referência chamaremos o ponto Q de ponto de referência considera mos o círculo de referência contido em um plano xy com a origem O no centro do círculo figura 135b No instante t o vetor OQ que liga a origem ao ponto Q faz um ângulo u com o sentido positivo do eixo Ox À medida que o ponto Q percorre o círculo de referência com velocidade angular constante v o vetor OQ gira com a mesma velocidade angular Esse vetor girante denominase fasor Este termo era usado muito antes da invenção da arma paralisante de nome semelhante do se riado Jornada nas Estrelas utilizaremos fasores novamente quando estudarmos circuitos de corrente alternada no capítulo 31 Física III e ao analisarmos a interferência da luz nos capítulos 35 e 36 Física IV o componente x do fasor no instante t nada mais é que a coordenada x do ponto Q x A cos u 135 Essa relação também fornece a coordenada x da sombra P que é a projeção do ponto Q sobre o eixo Ox Portanto a velocidade da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor velocidade do ponto de referência Q Figura 136a e a aceleração da sombra P ao longo do eixo Ox é igual ao componente x do vetor aceleração do ponto de referência Q figura 136b visto que o ponto Q possui movimento circular uniforme o vetor aceleração Q está sempre orientado para o ponto O além disso o módulo de Q é constante e dado pelo quadrado da velocidade angular multiplicado pelo raio do círculo ver a seção 93 aQ v2A 136 a figura 136b mostra que o componente x de Q é dado por ax aQ cos u combinando esse resultado com as equações 135 e 136 obtemos a aceleração do ponto P na forma ax aQ cos u v2 A cos u 137 ou ax v2x 138 a aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao deslocamento x e sempre possui sentido contrário a ele Essas são precisamente as características básicas do movimento harmônico simples a Equação 138 é exatamente igual à Equação 134 que fornece a aceleração de um movimento harmônico simples desde que a velocidade angular v do ponto de referência Q esteja relacionada à constante da mola k e à massa m do corpo que oscila por ou k v2 m Ä k m v 139 temos usado o mesmo símbolo v para a velocidade angular do ponto de refe rência Q e para a frequência angular do ponto oscilante P isso é feito porque essas grandezas são iguais se o ponto Q executa uma revolução completa no tempo T então o ponto P realiza o ciclo completo da oscilação no mesmo intervalo portanto T é o período da oscilação Durante o tempo T o ponto Q se move 2p radianos logo sua velocidade angular é v 2p T Porém esse resultado é exa tamente igual à Equação 132 para a frequência angular do ponto P confirmando Figura 136 a a velocidade x e b aceleração x da sombra da bola P veja a figura 135 são respectivamente os componentes x dos vetores velocidade e aceleração da bola Q u u u u O P y x Q vQ vx vQ sen u a Usando o círculo de referência para determinar a velocidade x do ponto P O P y x Q ax aQ cos u b Usando o círculo de referência para determinar a aceleração x do ponto P aQ BookSEARSVol2indb 46 021015 148 PM Capítulo 13 Movimento periódico 47 nossa afirmação acerca das duas interpretações de v Essa foi a razão pela qual introduzimos o conceito de frequência angular na seção 131 essa é a grandeza que estabelece a conexão entre a oscilação e o movimento circular Logo podemos interpretar novamente a Equação 139 como uma relação para a frequência angular do movimento harmônico simples 1310 Massa do objeto Constante de força da força restauradora Frequência angular para o movimento harmônico simples Ä k m v Quando você inicia um corpo oscilando em Mhs não é você quem escolhe o valor de v ele é predeterminado pelos valores de k e de m as unidades de k são Nm ou kgs2 logo km possui unidades de kgs2kg s2 Quando extraímos a raiz quadrada da Equação 1310 obtemos s1 ou mais apropriadamente rads porque se trata de uma frequência angular lembrese de que radiano não é uma unidade verdadeira De acordo com as equações 131 e 132 a frequência f e o período T são 1311 Massa do objeto Constante de força da força restauradora Frequência angular Frequência para o movimento harmônico simples Ä k m f 2p v 2p 1 1312 Massa do objeto Constante de força da força restauradora Frequência angular Frequência Período para o movimento harmônico simples Ä m k 1 f v 2p 2p T com a Equação 1312 notamos que para um corpo de massa m maior a acele ração é menor ele se move mais lentamente e leva um tempo maior para completar um ciclo Figura 137 Quando a mola é mais dura com valor elevado da cons tante da mola k a força exercida é maior para a mesma deformação x produzindo aceleração mais elevada velocidade maior e tempo T menor por ciclo ATENÇÃo Não confunda frequência e frequência angular você poderá se atrapalhar caso não saiba a diferença entre a frequência f e a frequência angular v 2pf a frequência informa o número de ciclos por segundo enquanto a frequência angular informa o número de radianos por segundo correspondente ao círculo de referência ao resolver um problema verifique cuidadosamente se o objetivo é achar f ou v Período e amplitude no mhs as equações 1311 e 1312 mostram que o período e a frequência do movi mento harmônico simples são completamente determinados pela massa m e pela constante de força k No movimento harmônico simples o período e a frequência não dependem da amplitude A Para dados valores de m e de k o tempo de uma oscilação completa não depende do fato de a amplitude ser grande ou pequena a Equação 133 mostra por que essa conclusão deveria ser esperada um valor maior de A significa que o corpo alcança valores maiores de x e está sujeito a forças restauradoras maiores isso faz aumentar a velocidade média do corpo ao longo de um ciclo completo compensando a distância maior a ser percorrida e resultando no mesmo tempo total as vibrações de um diapasão constituem aproximadamente um movimento harmônico simples o que significa que sua frequência não depende de sua am plitude Essa é a razão pela qual o diapasão é usado como padrão para identificar o tom de uma nota musical se não fosse por essa característica do movimento Figura 137 Quanto maior a massa m de cada dente do garfo do diapasão menor será a frequência da oscilação f 1 12p2 km e menor a frequência do som que o diapasão produz Dentes com massa m elevada baixa frequência f 128 Hz Dentes de massa m pequena alta frequência f 4096 Hz BookSEARSVol2indb 47 021015 148 PM 48 Física II harmônico simples seria impossível fazer os relógios mecânicos e eletrônicos que conhecemos funcionarem com precisão ou tocar a maior parte dos instrumentos musicais de modo afinado Quando você encontrar um corpo oscilando com um período que dependa da amplitude a oscilação não corresponderá a um movi mento harmônico simples a extremidade esquerda de uma mola horizontal é mantida fixa Ligamos um dinamômetro na extremidade livre da mola e puxa mos para a direita Figura 138a verificamos que a força que estica a mola é proporcional ao deslocamento e que uma força de 60 N produz um deslocamento igual a 0030 m a seguir removemos o dinamômetro e amarramos a extremidade livre a um corpo de 050 kg o puxamos até uma distância de 0020 m para a direita ao longo de um percurso sem atrito e o liberamos do repouso figura 138b a calcule a força constante k da mola b calcule a frequência v a frequência f e o período T da oscilação resultante Figura 138 a a força exercida sobre a mola indicada pelo vetor F possui um componente no eixo x Fx 60 N a força exercida pela mola possui um componente no eixo x igual a Fx 60 N b um corpo é preso à mesma mola e pode oscilar livremente m F 60 N a b x 0 x 0020 m m 050 kg x x 0 x 0030 m x soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como a força da mola igual em módulo à força que a estica é proporcional ao deslocamento o movimento é harmônico simples Encontramos o valor da constante da mola k usando a lei de hooke Equação 133 e os valores de v f e T por meio das equações 1310 1311 e 1312 respectivamente EXECUTAR a quando x 0030 m a força que a mola exerce sobre o dinamômetro é Fx 60 N usando a Equação 133 k Fx x 60 N 0030 m 200 Nm 200 kgs2 b substituindo m 050 kg na Equação 1310 encontramos v Ä k m Å 200 kgs2 050 kg 20 rads f v 2p 20 rads 2p radciclo 32 cicloss 32 Hz T 1 f 1 32 cicloss 031 s AVALIAR a amplitude da oscilação é igual a 0020 m que cor responde à deformação inicial da mola quando puxamos o corpo para a direita antes de libertálo Em um Mhs a frequência angular a frequência e o período são todos independentes da amplitude observe que o período normalmente é indicado em segundos em vez de segundos por ciclo ExEmPlo 132 FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA ANGULAR E PERÍODO NO MHS deslocamento velocidade e aceleração no mhs ainda precisamos achar o deslocamento x em função do tempo para um os cilador harmônico a Equação 134 para um corpo que descreve um movimento harmônico simples ao longo do eixo Ox é idêntica à Equação 138 para a coorde nada x de um ponto de referência que descreve um movimento circular uniforme com uma velocidade angular constante dada por v km Da Equação 135 vemos que x A cos u descreve a coordenada x em ambas as situações se em t 0 o fasor OQ faz um ângulo f com o sentido positivo do eixo Ox então para qualquer outro instante posterior t esse ângulo é dado por u vt f substi tuindo na Equação 135 obtemos x A cos 1vt f2 1313 Amplitude Deslocamento no movimento harmônico simples em função do tempo Tempo Ângulo da fase Frequência angular km a Figura 139 mostra um gráfico da Equação 1313 para o caso particular f 0 Poderíamos também ter escrito a Equação 1313 em termos de uma função senoidal em vez de usar o cosseno usando a identidade cos a sena p2 BookSEARSVol2indb 48 021015 148 PM Capítulo 13 Movimento periódico 49 No movimento harmônico simples o deslocamento é uma função periódica e se noidal do tempo Existem muitas outras funções periódicas contudo nenhuma delas é tão simples quanto uma função seno ou cosseno o valor da função cosseno está sempre compreendido entre 1 e 1 assim na Equação 1313 o valor de x está sempre entre A e A o que confirma que A é a amplitude do movimento a função cosseno na Equação 1313 se repete todas as vezes que o tempo t aumenta em um período T ou quando vt f aumenta em 2p radianos Logo se começamos no instante t 0 o tempo T necessário para completar um ciclo é dado por vT Ä k m T 2p ou T 2p Ä m k que é exatamente a Equação 1312 fazendose variar m ou k o período T varia conforme indicado nas figuras 1310a e 1310b mas T não depende da amplitude A figura 1310c a constante f indicada na Equação 1313 denominase ângulo de fase Ela nos informa em que ponto do ciclo o movimento se encontrava em t 0 equivalente a dizer em que ponto da circunferência estava o ponto Q em t 0 vamos designar como x0 a posição em t 0 substituindo t 0 e x x0 na Equação 1313 obtemos x0 A cos f 1314 se f 0 então x0 A cos 0 A e o corpo começa em seu deslocamento positivo máximo se f p então x0 A cos p A e o corpo começa em seu deslocamento negativo máximo se f p2 então x0 A cosp2 0 e o corpo está inicialmente na origem a Figura 1311 mostra o deslocamento x em função do tempo para três ângulos de fase diferentes achamos a velocidade vx e a aceleração ax em função do tempo para um os cilador harmônico tomando as derivadas da Equação 1313 em função do tempo vx dx dt vA sen 1vt f2 velocidade em MHS 1315 ax dvx dt d2x dt2 v2A cos 1vt f2 aceleração em MHS 1316 Figura 139 Gráfico de x em função de t ver Equação 1313 em um movimento harmônico simples No caso mostrado f 0 O deslocamento x varia entre A e A O período T é o tempo para um ciclo completo de oscilação x 2T t O xmáx A T T 1 T xmáx A 2 1 2 Figura 1310 variações em um movimento harmônico simples todos os casos indicados são para f 0 ver Equação 1313 c A aumenta k e m não variam O t x 3 2 1 a m aumenta A e k não variam O t x 1 2 3 b k aumenta A e m não variam t O x 3 2 1 A constante da força k aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas k aumenta o período diminui A massa m aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas m aumenta o período também aumenta A amplitude A aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas A varia o período não se altera c A aumenta k e m não variam O t x 3 2 1 a m aumenta A e k não variam O t x 1 2 3 b k aumenta A e m não variam t O x 3 2 1 A constante da força k aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas k aumenta o período diminui A massa m aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas m aumenta o período também aumenta A amplitude A aumenta da curva 1 a 2 e a 3 Como apenas A varia o período não se altera Figura 1311 variações do Mhs mesmos m k e A com diferentes ângulos f de fase Estas três curvas mostram MHS com o mesmo período T e amplitude A mas com ângulos f de fase diferentes O t x T A A f 0 f p 4 f p 2 T 4 3T 4 T 2 BookSEARSVol2indb 49 021015 148 PM 50 Física II a velocidade vx oscila entre os valores vmáx vA e vmáx vA e a ace leração ax oscila entre os valores amáx v2A e amáx v2A Figura 1312 comparando a Equação 1316 com a Equação 1313 e lembrando da Equação 139 em que v2 km vemos que ax v2x k m x que é exatamente a Equação 134 do movimento harmônico simples isso confirma a validade da Equação 1313 para x em função do tempo Na realidade já havíamos deduzido a Equação 1316 de forma geométrica con siderando o componente x do vetor aceleração do ponto de referência Q isso foi feito na figura 136b e na Equação 137 lembrese de que u vt f Do mesmo modo poderíamos ter deduzido a Equação 1315 tomando o componente x do vetor velocidade de Q conforme indicado na figura 136b Deixaremos os detalhes para você resolver Note que o gráfico senoidal do deslocamento em função do tempo figura 1312a está deslocado em um quarto de período em relação ao gráfico da ve locidade em função do tempo figura 1312b e em meio período do gráfico da aceleração em função do tempo figura 1312c a Figura 1313 mostra por que isso acontece Quando o corpo está passando pela posição de equilíbrio de modo que seu deslocamento é igual a zero sua velocidade será vmáx ou vmáx depen dendo do sentido do movimento do corpo e sua aceleração é igual a zero Quando o corpo está em seu ponto de deslocamento máximo x A ou em seu ponto de deslocamento negativo máximo x A sua velocidade é nula e o corpo fica momentaneamente em repouso Nesses pontos a força restauradora Fx kx e a aceleração do corpo possuem os módulos máximos Em x A a aceleração é negativa e igual a amáx Em x A a aceleração é positiva ax amáx conhecendose a posição inicial x0 e a velocidade inicial v0x de um corpo os cilante podemos determinar a amplitude A e a fase f a velocidade inicial v0x é a velocidade no tempo t 0 substituindo vx v0x e t 0 na Equação 1315 temos v0x vA sen f 1317 Para achar f divida a Equação 1317 pela Equação 1314 Essa divisão elimina A e a seguir podemos explicitar f v0x x0 vA sen f A cos f v tan f f arctan a v0x vx0 b ângulo de fase no MHS 1318 também é fácil achar a amplitude A quando conhecemos x0 e v0x vamos es quematizar a dedução e você acrescentará os detalhes Eleve a Equação 1314 ao quadrado divida a Equação 1317 por v eleve o resultado ao quadrado e some com o quadrado da Equação 1314 o membro direito será igual a A2sen2 f cos2 f que é igual a A2 o resultado final é A Å x0 2 v0x 2 v2 amplitude no MHS 1319 Note que quando o corpo apresenta tanto uma posição inicial x0 quanto uma velocidade inicial v0x diferente de zero a amplitude A não é igual ao deslocamento inicial isso é razoável se o corpo está na posição inicial positiva x0 e você fornece a ele uma velocidade inicial v0x positiva ele deverá ir além do ponto x0 antes de parar e retornar e portanto A x0 Figura 1312 Gráficos de a x em função de t b vx em função de t e c ax em função de t para um corpo em Mhs Para o movimento descrito nestes gráficos f p3 t a Deslocamento x em função do tempo t x 2T T xmáx A x A cos 1vt f2 vx vA sen 1vt f2 ax v2A cos 1vt f2 O xmáx A T t b Velocidade vx em função do tempo t vx T 2T vmáx vA vmáx vA O c Aceleração ax em função do tempo t t ax T 2T amáx v2A amáx v2A O O gráfco axt está deslocado por de ciclo em relação ao gráfco vxt e por ciclo em relação ao gráfco xt 1 4 1 2 O gráfco vxt está deslocado por de ciclo em relação ao gráfco xt 1 4 Figura 1313 como a velocidade vx e a aceleração ax ao longo do eixo Ox variam durante um ciclo de Mhs x x x x x x x x x ax amáx ax amáx ax amáx x A x A x 0 vx 0 vx 0 vx 0 ax vx ax vx axvx ax vx A A2 A2 A 0 ax 0 ax 0 x vx vmáx vx vmáx BookSEARSVol2indb 50 021015 148 PM Capítulo 13 Movimento periódico 51 ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 131 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES I DESCREVENDO O MOVIMENTO iDENTiFiCAr os conceitos relevantes um sistema em osci lação está em movimento harmônico simples Mhs ape nas se a força restauradora for diretamente proporcional ao deslocamento PrEPArAr o problema seguindo estes passos 1 identifique as grandezas conhecidas e as grandezas ignora das e verifique quais são as variáveisalvo 2 é útil distinguir entre dois tipos de grandeza as proprieda des do sistema incluem a massa m e a constante da força k assim como as grandezas derivadas a partir de m e k como o período T a frequência f e a frequência angular v as propriedades do movimento descrevem como o sistema se comporta quando é colocado em movimento de certa ma neira e incluem a amplitude A a velocidade máxima vmáx e o ângulo de fase f assim como os valores do deslocamento x da velocidade vx e da aceleração ax em um dado instante 3 se necessário defina um eixo Ox como na figura 1313 com a posição de equilíbrio em x 0 ExECuTAr a solução como segue 1 use as equações dadas nas seções 131 e 132 para encon trar as variáveisalvo 2 se você precisar encontrar os valores de x vx e ax em di versos tempos use as equações 1313 1315 e 1316 respectivamente se tanto a posição inicial x0 quanto a velocidade inicial v0x forem dadas você pode calcular f e A pelas equações 1318 e 1319 se o corpo apresentar um deslocamento inicial positivo x0 mas uma velocidade inicial nula v0x 0 então a amplitude é A x0 e o ân gulo de fase é f 0 se o corpo tiver uma posição inicial nula x0 0 e uma velocidade inicial v0x positiva então a amplitude é dada por A v0xv e o ângulo de fase é f p2 Expresse todos os ângulos de fase em radianos AVAliAr sua resposta confira seus resultados para ter certeza de que são coerentes Por exemplo suponha que você tenha usado x0 e v0x para encontrar expressões gerais para x e vx no tempo t se você substituir o valor de t fazendo t 0 nessas expressões você deve retornar aos valores corretos de x0 e v0x vamos dar ao corpo descrito no Exemplo 132 um deslocamento inicial x0 0015 m e uma velocidade inicial v0x 040 ms a calcule o período a amplitude e o ângulo de fase do movimento b Escreva equações para o deslocamento a velo cidade e a aceleração em função do tempo soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como no Exemplo 132 as oscila ções são um Mhs Podemos usar as expressões deduzidas nesta seção e os valores indicados k 200 Nm m 050 kg x0 e v0x para calcular as variáveisalvo A e f e obter as expressões para x vx e ax EXECUTAR a no Mhs o período e a frequência angular são propriedades do sistema que dependem apenas de k e m e não da amplitude de modo que são exatamente iguais aos obtidos no Exemplo 132 T 031 s e v 20 rads Logo conforme a Equação 1319 a amplitude é A Åx 2 0 v0x 2 v2 Å10015 m2 2 1040 ms2 2 120 rads2 2 0025 m Para achar o ângulo de fase usamos a Equação 1318 f arctan a v0x vx0 b arctan a 040 ms 120 rads2 10015 m2 b 53 093 rad b o deslocamento a velocidade e a aceleração em qualquer instante são dados pelas equações 1313 1315 e 1316 respec tivamente substituindo os valores de A v e f nessas equações obtemos x 10025 m2 cos3 120 rads2 t 093 rad4 vx 1050 ms2 sen 3120 rads2 t 093 rad4 ax 110 ms22 cos3 120 rads2 t 093 rad4 AVALIAR é possível verificar os resultados de x e vx confir mando que ao substituir t 0 eles resultam em x x0 0015 m e vx v0x 040 ms ExEmPlo 133 DESCREVENDO UM MHS TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 132 um corpo está preso a uma mola como mostra a figura 1313 se o corpo é deslocado para x 010 m e liberado a partir do re pouso no tempo t 0 ele irá oscilar com amplitude A 010 m e ângulo de fase f 0 a suponha agora que em t 0 o corpo esteja em x 010 m e movendose para a direita conforme a figura 1313 Nessas condições a amplitude é maior menor ou igual se com parada ao valor anterior de 010 m E o ângulo de fase é maior menor ou igual a zero b suponha desta vez que em t 0 o corpo esteja em x 010 m e movendose para a es querda conforme a figura 1313 Nessas condições a amplitude é maior menor ou igual se comparada ao valor anterior de 010 m E o ângulo de fase é maior menor ou igual a zero BookSEARSVol2indb 51 021015 148 PM 52 Física II 133 ENErgIA No moVImENTo hArmôNICo sImPLEs Podemos aprender ainda mais sobre o movimento harmônico simples levando em conta aspectos relacionados à energia a única força horizontal que atua sobre o corpo no Mhs nas figuras 132 e 1313 é a força conservadora exercida por uma mola ideal as forças verticais não realizam trabalho de modo que a energia me cânica total do sistema é conservada vamos também supor que a massa da mola seja desprezível a energia cinética do corpo é dada por K 1 2 mv2 e a energia potencial da mola é U 1 2 kx2 como na seção 72 Não existe nenhuma força não conservadora rea lizando trabalho logo a energia mecânica total E K U é conservada E 1 2 mvx 2 1 2 kx2 constante 1320 como o movimento é unidimensional v2 vx 2 a energia mecânica total E também é relacionada diretamente com a amplitude A do movimento Quando o corpo atinge o ponto x A seu deslocamento má ximo a partir do ponto de equilíbrio ele para momentaneamente e depois retorna a seu ponto de equilíbrio ou seja quando x A ou A vx 0 Nesse ponto a energia é inteiramente potencial e 1 E2 kA 2 como E é constante ela permanece sempre igual a 1 E2 kA 2 em qualquer outro ponto combinando essa expressão com a Equação 1320 obtemos 1321 Massa Constante de força da força restauradora Velocidade Energia mecânica total no MHS Deslocamento Amplitude E mvx 2 kx2 kA2 constante 1 2 1 2 1 2 Podemos verificar essa equação substituindo x e vx fornecidos pelas equações 1313 e 1315 e usando a relação v2 km da Equação 139 E 1 2 mvx 2 1 2 kx2 1 2 m 3 vA sen1vt f24 2 1 2 k3 A cos 1vt f242 1 2 kA2 sen21vt f2 1 2 kA2 cos21vt f2 1 2 kA2 Lembrese de que sen2a cos2a 1 Portanto nossas expressões para o deslocamento e para a velocidade no Mhs são consistentes com a conservação da energia como era de se esperar Podemos usar a Equação 1321 para explicitar a velocidade vx do corpo em função do deslocamento x vx Ä k m A2 x2 1322 o sinal significa que em um dado ponto x o corpo pode estar se deslocando em qualquer um dos dois sentidos Por exemplo quando x A2 temos vx Ä k m ÅA2 aA 2 b 2 Ä 3 4 Ä k m A a Equação 1322 também mostra que o módulo da velocidade máxima vmáx ocorre em x 0 usando a Equação 1310 v km verificamos que vmáx Ä k m A vA 1323 dAdos mosTrAm Oscilações e MHS Quando os alunos recebiam um problema sobre oscilações e movimento harmônico simples mais de 26 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que o período T é o tempo para um ciclo de movimento completo e não o tempo para o trajeto entre x A e x A Não usar a Equação 1318 para determinar o ângulo de fase f BookSEARSVol2indb 52 021015 148 PM Capítulo 13 Movimento periódico 53 Esse resultado concorda com a Equação 1315 a qual indica que vx oscila entre vA e vA Interpretando E K e U no mhs a Figura 1314 mostra as energias E K e U para os pontos x 0 x A2 e x A a Figura 1315 é uma representação gráfica da Equação 1321 o eixo vertical indica a energia cinética potencial e total e a posição x é indicada no eixo horizontal a curva parabólica mostrada na figura 1315a representa a energia potencial U 1 2 kx2 a linha horizontal representa a energia mecânica total E que permanece constante e não varia com a posição x Em qualquer valor de x entre A e A a distância vertical do eixo x até a parábola é U como E K U a distância vertical restante até a linha horizontal é K a figura 1315b mostra K e U em fun ção de x a linha horizontal para E corta a curva da energia potencial nos pontos x A e x A nos quais a energia é totalmente potencial a energia cinética é nula e o corpo entra momentaneamente em repouso antes de inverter o sentido Enquanto o corpo oscila entre A e A a energia é continuamente transformada de potencial para cinética e viceversa a figura 1315a mostra a conexão entre a amplitude A e a energia mecânica total correspondente E 1 E2 kA 2 se tentássemos fazer x maior que A ou menor que A U seria maior que E e K seria negativa Porém K nunca pode ser negativa logo x não pode ser maior que A nem menor que A Figura 1314 Gráficos de E K e U em função do deslocamento em Mhs a velocidade do corpo não é constante portanto essas imagens do corpo em posições com intervalos espaciais iguais entre si não estão posicionadas em intervalos iguais no tempo E é toda composta pela energia potencial A E é toda composta pela energia potencial E é parte energia potencial parte energia cinética E é parte energia potencial parte energia cinética E é toda composta pela energia cinética ax amáx ax amáx vx vmáx ax 0 vx 0 vx 0 x O A zero zero zero A 1 2 ax amáx 1 2 1 A 2 ax amáx 1 2 E K U E K U E K U E K U E K U vmáx 3 vx Ä 4 vmáx 3 4 vx Ä Figura 1315 Energia cinética K energia potencial U e energia mecânica total E em função da posição no Mhs Em cada ponto x a soma dos valores de K e de U é sempre igual ao valor constante E você consegue demonstrar que a energia é em parte cinética e em parte potencial em x 1 2 A A energia mecânica total E é constante Em x A a energia é toda potencial K 0 Em x 0 a energia é toda cinética U 0 Nesses pontos a energia é parte cinética e parte potencial a A energia potencial U e a energia mecânica total E de um corpo em MHS em função do deslocamento x b O mesmo gráfco do item a mostrando também a energia cinética K Energia x 1 2 U kx2 E K U O A A x Energia x E K U O A A U K BookSEARSVol2indb 53 021015 148 PM 54 Física II ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 132 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES II ENERGIA a equação para a energia no Mhs Equação 1321 fornece uma relação útil entre a velocidade o deslocamento e a energia mecânica total caso o problema envolva uma relação entre deslocamento velocidade e aceleração sem fazer referência ao tempo em geral é mais fácil usar a Equação 134 da se gunda lei de Newton ou a Equação 1321 da conservação da energia como a Equação 1321 envolve x2 e vx 2 você precisa deduzir os sinais de x e de vx para cada situação Por exemplo se o corpo for deslocado da sua posição de equilíbrio para o ponto de seu deslocamento positivo máximo então x é positivo e vx também é positiva a ache as velocidades máxima e mínima atingidas pelo corpo que oscila no Exemplo 132 b ache as acelerações máxima e mínima c calcule a velocidade vx e a aceleração ax quando o corpo está na metade da distância entre sua posição inicial e a posição de equilíbrio x 0 d ache as energias total potencial e cinética nesse ponto soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o problema trata do movimento em diversas posições não em tempos específicos e portanto podemos usar as relações de energia vistas nesta seção a figura 1313 mostra a escolha do eixo Ox o deslocamento máximo a partir da posição de equilíbrio é a 0020 m usamos as equa ções 1322 e 134 para achar a velocidade vx e a aceleração ax respectivamente para qualquer posição x Para os valores dados de x e vx usamos a Equação 1321 para encontrar o valor das energias total potencial e cinética E U e K EXECUTAR a a velocidade vx em função do deslocamento x é dada pela Equação 1322 vx Ä k m A2 x2 a velocidade máxima ocorre no ponto em que o corpo está se deslocando por x 0 vmáx Ä k m A Å 200 Nm 050 kg 1 0020 m2 040 ms as velocidades máxima e mínima ou seja a mais negativa são 040 ms e 040 ms que ocorrem quando o corpo está se deslocando por x 0 para a direita e para a esquerda respectivamente b Pela Equação 134 ax kmx a aceleração máxima do corpo ou seja a mais positiva ocorre no valor mais negativo de x ou seja para x A amáx k m 1A2 200 Nm 050 kg 10020 m2 80 ms2 a aceleração mínima ou seja a mais negativa é amín 80 ms2 e ocorre no ponto x A 0020 m c o ponto na metade da distância entre x x0 A e x 0 é x A2 0010 m Pela Equação 1322 neste ponto vx Å 200 Nm 050 kg 10020 m22 1 0010 m22 035 ms Escolhemos a raiz quadrada negativa porque o corpo está se des locando de x A até o ponto x 0 Pela Equação 134 ax 200 Nm 050 kg 10010 m2 40 ms2 as condições nos pontos x 0 x A2 e x A são indicadas na figura 1314 d as energias são E 1 2 kA2 1 2 1200 Nm2 10020 m2 2 0040 J U 1 2 kx2 1 2 1200 Nm2 10010 m2 2 0010 J K 1 2 mv 2 x 1 2 1050 kg2 1035 ms2 2 0030 J AVALIAR nesse ponto x A2 a energia total E é composta por 1 4 de energia potencial e por 3 4 de energia cinética você pode verificar isso observando a figura 1315b ExEmPlo 134 VELOCIDADE ACELERAÇÃO E ENERGIA EM UM MHS um bloco de massa M preso a uma mola horizontal de cons tante de força k descreve um movimento harmônico simples Mhs com amplitude A1 No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio um pedaço de massa de vidraceiro de massa m cai verticalmente de uma pequena altura sobre o bloco e gruda nele a calcule a nova amplitude e o período do movimento b repita a parte a supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua trajetória soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o problema envolve o movimento em uma dada posição e não em dado instante portanto pode mos usar os métodos de energia a Figura 1316 mostra nossos esboços antes de a massa cair a energia mecânica do sistema molabloco era constante Na parte a quando a massa gruda no bloco a colisão é completamente inelástica existe conservação do componente horizontal do momento linear a energia cinética diminui e a quantidade de massa oscilante aumenta Depois da ExEmPlo 135 ENERGIA E MOMENTO NO MHS Continua BookSEARSVol2indb 54 021015 148 PM Capítulo 13 Movimento periódico 55 colisão a energia mecânica permanece constante em um novo valor Na parte b a massa oscilante também aumenta mas o bloco não está se movendo quando a massa é acrescentada efe tivamente não há colisão alguma e nenhuma energia mecânica é perdida Encontramos a amplitude A2 depois da colisão a partir da energia final do sistema usando a Equação 1321 e a conser vação do momento o período T2 após a colisão é o mesmo nas partes a e b pois a massa final é a mesma ela pode ser achada com a Equação 1312 EXECUTAR a antes da colisão a energia mecânica total da mola e do bloco é dada por E1 1 2 kA 2 1 como o bloco está x 0 então U 0 e a energia é puramente cinética figura 1316a Designando por v1 a velocidade do bloco nesse ponto então E1 1 2 kA 2 1 1 2 Mv 2 1 e v1 Ä k M A1 Durante a colisão existe conservação do componente x do mo mento linear do sistema massabloco Por quê imediatamente antes da colisão esse momento linear é dado pela soma de Mv1 para o bloco e zero para a massa imediatamente depois da colisão o bloco e a massa se movem juntos com velocidade v2 e o momento linear desse conjunto é dado por M mv2 Pela lei da conservação do momento linear obtemos Mv1 0 1M m2 v2 logo v2 M M m v1 a colisão dura um instante muito pequeno de modo que imedia tamente depois da colisão o bloco e a massa se encontram ainda na posição de equilíbrio a energia ainda é puramente cinética porém é menor que a energia cinética antes da colisão E2 1 2 1 M m2 v 2 2 1 2 M2 M m v 2 1 M M m 1 1 2 Mv 2 1 2 a M M m bE1 como E2 é igual a E2 1 2 kA 2 2 onde A2 é a amplitude depois da colisão temos 1 2 kA 2 2 a M M m b 1 2 kA 2 1 A2 A1 Ä M M m 1 2 kA 2 2 a M M m b 1 2 kA 2 1 A2 A1 Ä M M m Pela Equação 1312 o período de oscilação após a colisão é T2 2p Ä M m k b Quando a massa de vidraceiro cai sobre o bloco ele está momentaneamente em repouso figura 1316b o componente x do momento linear é zero tanto antes quanto depois da colisão a massa e o bloco possuem energia cinética zero imediatamente antes e depois da colisão a energia é toda composta de energia potencial armazenada na mola portanto o acréscimo da massa de vidraceiro não exerce nenhum efeito sobre a energia mecânica ou seja E2 E1 1 2 kA 2 1 e a amplitude não se altera após a co lisão A2 A1 o período é novamente T2 2p 1 M m2 k AVALIAR a energia é perdida na parte a porque a massa de vi draceiro desliza contra o bloco em movimento durante a colisão e a energia é dissipada por atrito cinético Nenhuma energia é perdida na parte b pois não há deslizamento durante a colisão Figura 1316 Nossos esboços para este problema a b Massa de vidraceiro Posição de equilíbrio k k m m M M 0 0 v1 A1 A1 x x v 0 Posição de equilíbrio Continuação TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 133 a Para dobrar a energia total em um sis tema massamola que oscila em Mhs por qual fator a amplitude deve aumentar i 4 ii 2 iii 2 1414 iv 2 4 1189 b Por qual fator a frequência irá variar em virtude desse aumento na amplitude i 4 ii 2 iii 2 1414 iv 2 4 1189 v não se altera 134 APLICAÇõEs do moVImENTo hArmôNICo sImPLEs até o momento analisamos muitos exemplos de uma única situação em que ocorre o movimento harmônico simples Mhs o caso da mola horizontal ideal ligada a um corpo Porém o Mhs pode ocorrer em qualquer sistema no qual exista uma força restauradora diretamente proporcional ao deslocamento a partir da po sição de equilíbrio como na Equação 133 Fx kx a força restauradora pode surgir de diferentes modos em situações variadas então a constante k dessa força BookSEARSVol2indb 55 021015 149 PM 56 Física II deve ser achada examinando a força resultante que atua sobre o sistema Depois dessa determinação tornase fácil achar a frequência angular v a frequência f e o período T basta substituir o valor obtido para k nas equações 1310 1311 e 1312 respectivamente vamos usar esse procedimento para examinar diversos exemplos de movimento harmônico simples mhs na direção vertical suponha que penduremos um corpo de massa m em uma certa mola que possui constante de força k Figura 1317a as oscilações agora ocorrem na direção ver tical elas ainda constituem um Mhs Na figura 1317b o corpo está suspenso na mola em equilíbrio Nessa posição a mola está esticada de um valor l suficiente para que a força vertical da mola sobre o corpo k l equilibre o peso do corpo mg k l mg considere x 0 a posição de equilíbrio e oriente o sentido positivo do eixo Ox de baixo para cima Quando o corpo está a uma distância x acima da posição de equilíbrio figura 1317c a deformação da mola é l x Logo a força de baixo para cima exercida pela mola sobre o corpo é kl x e o componente x da força total resultante sobre o corpo é Fres kl x mg kx ou seja uma força resultante orientada de cima para baixo de módulo igual a kx analogamente quando o corpo está abaixo da posição de equilíbrio existe uma força resultante orientada de baixo para cima de módulo igual a kx Quando o corpo se move verticalmente ele oscila em Mhs com a mesma frequência angular que teria caso estivesse oscilando na horizontal v km Portanto o Mhs verti cal é essencialmente análogo ao Mhs horizontal a única diferença real é que a posição de equilíbrio ponto x 0 não corresponde mais ao ponto em que a mola não está deformada o raciocínio anterior também vale quando um corpo com peso mg é colocado verticalmente sobre uma mola Figura 1318 e a comprime até uma distância l Figura 1317 um corpo preso na extremidade de uma mola suspensa l a l l x 0 mg F k l mg F kl x l x l x Uma mola suspensa que obedece à lei de Hooke b Um corpo suspenso na extremidade da mola está em equilíbrio quando a força da mola de baixo para cima possui módulo igual ao do peso do corpo c Se o corpo sofre um deslocamento a partir da posição de equilíbrio a força restauradora do corpo é proporcional a esse deslocamento As oscilações constituem um MHS Figura 1318 Quando o peso mg comprime a mola até uma distância l a constante de força é dada por k mgl e a frequência angular do Mhs vertical é dada por v km a mesma que o corpo apresentaria se estivesse suspenso na mola veja a figura 1317 F kl mg l Mola que obedece à lei de Hooke Um corpo é colocado sobre a mola Ele está em equilíbrio quando a força de baixo para cima exercida pela mola comprimida for igual ao peso do corpo BookSEARSVol2indb 56 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 57 os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completa mente gastos Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro ele se abaixa 28 cm Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um quebra molas o carro oscila verticalmente com Mhs crie um modelo do carro e da pessoa como um único corpo sobre uma única mola e calcule o período e a frequência da oscilação soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a situação é semelhante à mostrada na figura 1318 a compressão da mola quando o peso adicional é acrescentado nos mostra a constante de força que podemos usar para achar o período e a frequência as variáveisalvo EXECUTAR quando a força aumenta em 980 N a mola sofre uma compressão adicional de 0028 m e a coordenada x do carro varia em 0028 m Portanto a constante da mola efetiva in cluindo o efeito da suspensão toda é k Fx x 980 N 0028 m 35 104 kgs2 a massa da pessoa é pg 980 N98 ms2 100 kg a massa total que oscila é m 1000 kg 100 kg 1100 kg o período T é T 2p Ä m k 2p Å 1100 kg 35 104 kgs2 111 s a frequência é f 1T 1111 s 090 hz AVALIAR uma oscilação persistente com um período de cerca de um segundo não é nada agradável durante a viagem o propósito dos amortecedores é fazer com que tais oscilações sejam reduzi das veja a seção 137 ExEmPlo 136 MHS VERTICAL EM UM CARRO VELHO mhs angular a Figura 1319 mostra a roda de balanço de um relógio mecânico a roda possui um momento de inércia I em torno de seu eixo uma mola helicoidal exerce um torque restaurador tz proporcional ao deslocamento angular u a partir da posição de equilíbrio Escrevemos tz ku onde k letra grega capa é uma constante denominada constante de torção usando o análogo rotacional da segunda lei de Newton para um corpo rígido gtz Iaz I d2udt2 Equação 107 encontramos ku Ia ou d2u dt2 k I u Essa equação possui forma exatamente igual à da Equação 134 para um mo vimento harmônico simples se substituirmos x por u e km por kI Logo tratase da forma angular do movimento harmônico simples a frequência angular v e a frequência f são dadas respectivamente pelas equações 1310 e 1311 fazendose as mesmas substituições mencionadas 1324 Frequência angular Frequência MHS angular Constante de torção dividida pelo momento de inércia e v Ä k I f 2p 1 Ä k I o deslocamento angular u em função do tempo é descrito pela função u U cosvt f onde U a letra grega teta maiúscula desempenha o papel de uma amplitude angular é vantajoso que a oscilação de uma roda de balanço seja um movimento har mônico simples caso não fosse a frequência dependeria da amplitude e o relógio poderia adiantar ou atrasar quando a mola se desgastasse Figura 1319 a roda de balanço de um relógio mecânico a mola helicoidal exerce um torque restaurador proporcional ao deslocamento angular u Logo o movimento é um Mhs u tz Mola Roda de balanço O torque da mola tz se opõe ao deslocamento angular u BookSEARSVol2indb 57 021015 149 PM 58 Física II Vibrações das moléculas o estudo que faremos a seguir sobre as vibrações das moléculas usa o teorema binomial caso você não esteja familiarizado com esse teorema consulte a seção adequada em um livro de matemática Quando dois átomos estão separados por uma distância da ordem de alguns diâmetros atômicos eles exercem uma força de atração entre si Porém quando eles estão suficientemente próximos de modo que haja superposição entre suas respectivas nuvens eletrônicas os átomos passam a se repelir Entre essas duas situações extremas pode existir uma posição de equilíbrio na qual os dois átomos constituem uma molécula Quando esses átomos são ligeiramente deslocados de suas posições de equilíbrio eles começam a oscilar consideraremos um tipo de força entre átomos conhecida como interação de van der Waals No momento nossa tarefa imediata aqui é estudar oscilações por isso não forneceremos detalhes acerca do processo dessas interações suponha que o centro de massa de um dos átomos seja a origem e que o centro do outro átomo esteja a uma distância r Figura 1320a a distância de equilíbrio entre os centros é dada por r R0 a experiência mostra que a interação de van der waals pode ser descrita pela seguinte função de energia potencial U U0 c a R0 r b 12 2a R0 r b 6 d 1325 onde U0 é uma constante positiva com unidade de joules Quando a distância entre os dois átomos for muito grande U 0 quando a separação entre os dois átomos for igual à distância de equilíbrio r R0 U U0 Pela seção 74 a força sobre o segundo átomo é obtida pela derivada negativa da Equação 1325 Fr dU dr U0 c 12R0 12 r13 2 6R0 6 r7 d 12 U0 R0 c a R0 r b 13 a R0 r b 7 d 1326 as figuras 1320b e 1320c indicam respectivamente a energia potencial e a força a força é positiva para r R0 e negativa para r R0 logo ela é uma força restauradora vamos examinar a força restauradora Fr na Equação 1326 considere que x descreva o deslocamento a partir do equilíbrio x r R0 logo r R0 x Em termos de x a força Fr na Equação 1326 tornase Figura 1320 a Dois átomos com os centros separados por uma distância r b Energia potencial U e c força Fr na interação de van der waals 10U0R0 10U0R0 5U0R0 5U0R0 c A força Fr no átomo da direita em função de r R0 r O 15R0 2R0 Fr U 2U0 Ur Frr Parábola U0 R0 r U0 2U0 O 15R0 2R0 b Energia potencial U do sistema de dois átomos em função de r r a Sistema de dois átomos Átomos Fr força exercida pelo átomo do lado esquerdo sobre o átomo do lado direito Distância entre os centros dos átomos O ponto de equilíbrio é em r R0 onde Fr é zero O ponto de equilíbrio é em r R0 onde U é mínimo Perto do equilíbrio U pode ser aproximado por uma parábola Perto do equilíbrio Fr pode ser aproximado por uma linha reta BookSEARSVol2indb 58 021015 149 PM Fr 12 U₀R₀ R₀R₀ x¹³ R₀R₀ x⁷ 12 U₀R₀ 11 xR₀¹³ 11 xR₀⁷ 1327 Essa força não se parece em nada com a lei de Hooke Fx kx de modo que poderíamos ser induzidos a pensar que as oscilações moleculares não constituem um MHS Porém vamos restringir nosso estudo a oscilações com pequenas amplitudes de modo que o módulo do deslocamento x seja pequeno em comparação com R₀ e o módulo da razão xR₀ seja muito menor que 1 Podemos então simplificar a Equação 1327 usando o teorema binomial 1 uⁿ 1 nu nn 12 u² nn 1n 23 u³ 1328 Quando u for muito menor que 1 cada termo sucessivo da Equação 1328 é muito menor que o termo precedente e podemos aproximar com segurança 1 uⁿ usando apenas os dois primeiros termos Na Equação 1327 substituindo u por xR₀ e fazendo n igual a 13 ou 7 obtemos 11 xR₀¹³ 1 xR₀¹³ 1 13 xR₀ 11 xR₀⁷ 1 xR₀⁷ 1 7 xR₀ Fr 12 U₀R₀ 1 13 xR₀ 1 7 xR₀ 72 U₀R₀² x 1329 Essa é precisamente a lei de Hooke com a constante da força dada por k 72U₀R₀² Note que k apresenta as unidades corretas Jm² ou Nm Logo as oscilações das moléculas ligadas pela interação de van der Waals podem constituir um movimento harmônico simples desde que a amplitude seja pequena em comparação a R₀ de modo que seja válida a aproximação xR₀ 1 usada na dedução da Equação 1329 Podemos também usar o teorema binomial para mostrar que a energia potencial U na Equação 1325 pode ser escrita como U 12 kx² C onde C U₀ e k é novamente igual a 72U₀R₀² Quando se adiciona uma constante a energia potencial não se altera fisicamente portanto o sistema constituído por dois átomos é essencialmente semelhante ao sistema da massa ligada a uma mola horizontal para a qual U 12 kx² EXEMPLO 137 VIBRAÇÃO MOLECULAR Dois átomos de argônio podem formar uma molécula Ar₂ como resultado de uma interação de van der Waals com U₀ 168 10²¹ J e R₀ 382 10¹⁰ m Calcule a frequência das pequenas oscilações de um átomo de Ar em torno da posição de equilíbrio SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR esta é a mesma situação mostrada na Figura 1320 Como as oscilações são pequenas podemos usar a Equação 1329 para obter a constante de força k e a Equação 1311 para obter a frequência do MHS EXECUTAR pela Equação 1329 k 72U₀R₀² 72 168 10²¹ J382 10¹⁰ m² 0829 Jm² 0829 Nm Esta constante de força é comparável àquela de uma mola frouxa como as molas usadas em brinquedos do tipo mola maluca Pelo Apêndice D a massa atômica média do argônio é 39948 u166 10²⁷ kgu 663 10²⁶ kg Pela Equação 1311 se um átomo estiver fixo e o outro oscilar f 12π km 12π 0829 Nm 663 10²⁶ kg 563 10¹¹ Hz AVALIAR nossa resposta para f não é muito correta Quando não existe nenhuma força externa atuando sobre a molécula o centro de massa da molécula localizado na metade da distância entre os dois átomos não acelera de modo que os dois átomos oscilam com a mesma amplitude em sentidos opostos Podemos dar conta dessa questão substituindo m por m2 em nossa expressão de f Isso faz f aumentar por um fator 2 de modo que a frequência Continua 60 Física II TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 134 um bloco suspenso em uma mola ideal oscila para cima e para baixo sobre a terra com um período igual a 10 s se você levar o bloco e a mola para Marte onde a aceleração da gravidade é apenas 40 da aceleração da gravidade da terra qual será o novo período de oscilação i 10 s ii mais de 10 s iii menos de 10 s 135 o PêNdULo sImPLEs um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído por um corpo punti forme suspenso por um fio inextensível de massa desprezível Quando esse corpo é puxado lateralmente a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir liberado ele oscila em torno da posição de equilíbrio algumas situações familiares como uma bola de demolição presa ao cabo de um guindaste ou uma criança sentada em um balanço Figura 1321a podem ser consideradas pêndulos simples a trajetória do corpo puntiforme algumas vezes chamado de peso do pêndulo não é uma linha reta mas um arco de circunferência de raio L igual ao compri mento do fio figura 1321b usaremos como coordenada a distância x medida ao longo do arco Para que a oscilação seja um movimento harmônico simples é necessário que a força restauradora seja diretamente proporcional à distância x ou a u porque x Lu será que isso está correto Na figura 1321b representamos a força sobre o peso em termos dos compo nentes radial e do tangencial a força restauradora Fu é o componente tangencial da força resultante Fu mg sen u 1330 a força restauradora Fu é fornecida pela gravidade a tensão T atua meramente para fazer o peso puntiforme se deslocar ao longo de um arco como a força Fu não é proporcional a u mas sim a sen u o movimento não é harmônico simples contudo quando o ângulo u é pequeno sen u é aproximadamente igual ao ângulo u em radianos Figura 1322 Quando u 01 rad aproximadamente igual a 6o sen u 0998 Essa é uma diferença de apenas 02 com essa aproximação podemos escrever a Equação 1330 na forma Fu mgu mg x L mg L x 1331 a força restauradora é então proporcional à coordenada para pequenos des locamentos e a constante da força é dada por k mgL Pela Equação 1310 a frequência angular v de um pêndulo simples com pequena amplitude é dada por 1332 Massa do pêndulo anulase Aceleração da gravidade Comprimento do pêndulo Frequência angular do pêndulo simples pequena amplitude v L g Ä m k Ä m mgL Ä a frequência e o período correspondentes são dados por 1333 Frequência angular Aceleração da gravidade Comprimento do pêndulo Frequência do pêndulo simples pequena amplitude f 2p v 2p 1 L g Ä Figura 1321 a dinâmica de um pêndulo simples A força restauradora sobre o peso é proporcional a sen u não a u Entretanto para um u pequeno sen u u então o movimento é aproximadamente harmônico simples O peso é considerado uma massa puntiforme a Um pêndulo real b Um pêndulo ideal simples L T x mg sen u mg mg cos u m u u Suponha que o fo não tenha massa e seja inextensível correta é f 2563 1011 hz 796 1011 hz uma com plicação adicional ocorre porque na escala atômica devemos usar a mecânica quântica em vez da mecânica newtoniana para descrever o movimento felizmente a mecânica quântica também resulta em f 796 1011 hz Continuação BookSEARSVol2indb 60 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 61 Figura 1322 Em deslocamentos angulares u pequenos a força restauradora Fu mg u sen u sobre um pêndulo simples é aproximadamente igual a mgu isto é é aproximadamente proporcional ao deslocamento u assim para ângulos pequenos as oscilações são movimentos harmônicos simples p2 p4 p4 p2 u rad Fu Fu mg sen u real Fu mgu aproximado 2mg 2mg mg mg O 1334 Frequência angular Frequência Aceleração da gravidade Comprimento do pêndulo Período do pêndulo simples pequena amplitude T 2p v 2p f 1 g L Ä Essas expressões não envolvem a massa da partícula isso ocorre porque a força restauradora gravitacional que é um componente do peso da partícula é propor cional a m Logo a massa é cancelada porque aparece em ambos os membros da equação g m Esse raciocínio físico é o mesmo usado para mostrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração no vácuo Em pequenas oscilações o período de um pêndulo simples para um dado valor de g é determinado exclusiva mente pelo seu comprimento as equações de 1332 a 1334 nos dizem que um pêndulo comprido possui um período maior que um pêndulo curto Quando g aumenta a força restauradora tornase maior fazendo aumentar a frequência e diminuir o período o movimento do pêndulo simples é aproximadamente harmônico simples Quando o deslocamento angular máximo U amplitude não é pequeno o desvio do comportamento harmônico simples pode ser significativo Em geral o período T é dado por T 2p Ä L g a1 12 22 sen2 ϴ 2 12 32 22 42 sen4 ϴ 2 gb 1335 Podemos calcular o período com a precisão desejada se tomarmos na série o número de termos necessários convidamos você a mostrar que quando U 15o o período real é menos de 05 maior que o período aproximado indicado pela Equação 1334 a utilidade de um pêndulo para medir o tempo depende do fato de o período ser aproximadamente independente da amplitude desde que seja pequena Por tanto quando um relógio de pêndulo envelhece e a amplitude das oscilações di minui um pouco o relógio continua a medir o tempo de modo aproximadamente correto calcule a frequência e o período de um pêndulo simples de 1000 m de comprimento em um local onde g 9800 ms2 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como se trata de um pêndulo sim ples podemos usar a Equação 1334 para calcular o período T do pêndulo a partir de seu comprimento e a Equação 131 para achar a frequência f a partir de T EXECUTAR pelas equações 1334 e 131 T 2p Ä L g 2p Ä 1000 m 9800 ms2 2007 s e f 1 T 1 2007 s 04983 Hz AVALIAR o período é quase exatamente igual a 2 s De fato quando o sistema métrico foi estabelecido o segundo foi defi nido como a metade do período de um pêndulo de 1 m Porém essa não foi uma boa escolha para um padrão de tempo porque o valor de g varia de um local para outro Na seção 13 discutimos padrões mais modernos para a marcação do tempo ExEmPlo 138 UM PÊNDULO SIMPLES BookSEARSVol2indb 61 021015 149 PM 62 Física II TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 135 Quando um corpo que oscila preso a uma mola horizontal passa por sua posição de equilíbrio sua aceleração é igual a zero ver figura 132b Quando o peso de um pêndulo simples oscilando passa pela posição de equilíbrio sua aceleração é i igual a zero ii para a esquerda iii para a direita iv para cima ou v para baixo 136 o PêNdULo FÍsICo um pêndulo físico é qualquer pêndulo real que usa um corpo com volume fi nito em contraste com o modelo idealizado do pêndulo simples que usa um corpo cuja massa está concentrada em um único ponto a Figura 1323 mostra um corpo de forma irregular suspenso por um pivô e girando sem atrito ao redor de um eixo que passa pelo ponto O Na posição de equilíbrio o centro de gravidade cg está diretamente abaixo do pivô na posição indicada na figura o corpo está deslocado de um ângulo u que usaremos como a coordenada do sistema a distância entre o ponto O e o centro de gravidade é d o momento de inércia do corpo em torno do eixo de rotação passando pelo ponto O é I e a massa total é igual a m Quando o corpo é deslocado conforme indicado o peso mg produz um torque restaurador tz mg d sen u 1336 o sinal negativo mostra que o torque restaurador possui sentido antihorário quando o deslocamento possui sentido horário e viceversa Quando o corpo é liberado ele oscila em torno da posição de equilíbrio o mo vimento não é harmônico simples porque o torque restaurador não é proporcional a tz mas sim a sen u contudo quando o ângulo é pequeno podemos novamente aproximar sen u por u em radianos como fizemos ao analisar o pêndulo simples Dessa forma o movimento é aproximadamente harmônico simples com essa aproximação tz mgdu Pelo que vimos na seção 102 a equação do movimento é gtz Iaz logo 1mgd2u Iaz I d2u dt2 d2u dt2 mgd I u 1337 comparando esse resultado com a Equação 134 vemos que o termo km do sistema massamola é análogo ao termo mgdI Portanto a frequência angular é dada por 1338 Massa Aceleração da gravidade Distância do eixo de rotação ao centro de gravidade Momento de inércia Frequência angular do pêndulo físico pequena amplitude v I mgd Ä a frequência f é 1 2 p desse valor e o período T é dado por 1f 1339 Massa Aceleração decorrente da gravidade Distância do eixo de rotação ao centro de gravidade Momento de inércia Período do pêndulo físico pequena amplitude T 2p mgd I Ä Figura 1323 Dinâmica de um pêndulo físico O corpo pode girar livremente ao redor do eixo z O torque restaurador sobre o corpo é proporcional a sen u não a u Apesar disso quando u é pequeno sen u u então o movimento é aproximadamente harmônico simples A força gravitacional atua sobre o corpo em seu centro de gravidade cg d z mg sen u mg mg cos u cg Corpo de forma irregular Pivô O d sen u u BookSEARSVol2indb 62 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 63 a Equação 1339 é a base para a determinação do momento de inércia de um corpo com uma forma complicada inicialmente localize o centro de gravidade do corpo efetuando testes de equilíbrio a seguir o corpo é suspenso de modo que possa girar livremente em torno de um eixo e meça o período T das oscilações com amplitude pequena Por fim use a Equação 1339 para calcular o momento de inércia I em torno desse eixo a partir de T a massa m e a distância d entre o eixo e o centro de gravidade ver o Exercício 1355 Pesquisadores de biomecânica usam esse método para calcular o momento de inércia dos membros inferiores de animais Essa informação é importante para analisar como um animal caminha conforme veremos no segundo dos dois exemplos apresentados a seguir suponha que o corpo da figura 1323 seja uma barra uniforme de comprimento L suspensa em uma de suas extremidades calcule o período de seu movimento como um pêndulo soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a variável que queremos encon trar é o período da oscilação T de uma barra que age como um pêndulo físico Encontramos o momento de inércia da barra na tabela 92 e depois determinamos T pela Equação 1339 EXECUTAR o momento de inércia de uma barra uniforme em relação a um eixo passando em sua extremidade é I 1 3 ML2 a distância entre o pivô e o centro de gravidade é d L2 Pela Equação 1339 T 2pÄ I mgd 2p Å 1 3 ML2 MgL2 2p Ä 2L 3g AVALIAR caso a barra seja uma régua de um metro L 100 m e g 980 ms2 obtemos T 2p Å 21100 m2 31980 ms22 164 s Esse período é 2 3 0816 menor que o período do pêndulo simples de mesmo comprimento calculado no Exemplo 138 o momento de inércia da barra em torno de uma de suas extremi dades I 1 3 ML2 é um terço do momento da inércia do pêndulo simples e a distância entre o cg da barra e o pivô é a metade da distância entre o cg do pêndulo simples e o pivô você pode demonstrar que juntas na Equação 1339 essas duas diferenças são responsáveis pelo fator 2 3 pelo qual os períodos diferem ExEmPlo 139 PÊNDULO FÍSICO CONTRA PÊNDULO SIMPLES todos os animais que caminham inclusive os homens pos suem um ritmo natural de caminhada ou seja um número de passos por minuto mais confortável que um ritmo mais lento ou veloz suponha que esse ritmo natural seja igual ao período da perna encarada como um pêndulo físico a como o ritmo de uma caminhada natural depende do comprimento L da perna medido do quadril até o pé b Evidências de fósseis mostram que o Tyrannosaurus rex um dinossauro com duas pernas que viveu há 65 milhões de anos tinha pernas de comprimento L 31 m e uma passada distância entre uma pegada e a pegada seguinte do mesmo pé S 40 m Figura 1324 Estime a ve locidade da caminhada do Tyrannosaurus rex Figura 1324 a velocidade de caminhada do Tyrannosaurus rex pode ser estimada a partir do comprimento de sua perna L e do comprimento de sua passada S Comprimento da passada S Comprimento da perna L soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR as variáveis procuradas são a a relação entre o ritmo de caminhada e o comprimento da perna L e b a velocidade de caminhada do T rex vamos considerar a perna como um pêndulo físico com um período de oscilação dado como no Exemplo 139 Podemos encontrar a velocidade de caminhada a partir do período e do comprimento da passada EXECUTAR a conforme o Exemplo 139 o período de oscila ção da perna é T 2p 2L3g proporcional a L cada passo leva metade de um período então o ritmo da caminhada em passos por segundo é igual ao dobro da frequência de oscilação f 1T e é proporcional a 1L Quanto maior a perna mais lento é o ritmo da caminhada b De acordo com nosso modelo o tempo de uma passada na caminhada do T rex é dado por T 2p Ä 2L 3g 2p Å 2 131 m2 3198 ms22 29 s de modo que a velocidade da caminhada seja v S T 40 m 29 s 14 ms 50 kmh 31 mih Esse valor é aproximadamente igual ao da velocidade da cami nhada típica de um humano adulto ExEmPlo 1310 TYRANNOSAURUS REX E O PÊNDULO FÍSICO Continua BookSEARSVol2indb 63 021015 149 PM 64 Física II TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 136 o centro de gravidade de um pêndulo simples de massa m e comprimento L está localizado na posição do peso do pêndulo a uma distância L do ponto de suspensão o centro de gravidade de uma barra uniforme com a mesma massa m e comprimento 2L em torno de uma extremidade também está a uma dis tância L do ponto de suspensão Em relação ao período do pêndulo simples o período dessa barra uniforme é i maior ii menor iii igual 137 osCILAÇõEs AmorTECIdAs os sistemas oscilantes ideais discutidos até o momento não possuíam atrito Nesses sistemas as forças são conservativas a energia mecânica total é constante e quando o sistema começa a oscilar ele continua oscilando eternamente sem nenhuma diminuição da amplitude contudo os sistemas reais sempre possuem alguma força dissipativa e a am plitude das oscilações vai diminuindo com o tempo a menos que seja fornecida alguma energia para suprir a energia mecânica dissipada Figura 1325 um reló gio de pêndulo mecânico continua a oscilar porque a energia potencial acumulada em uma mola ou sistema de pesos suspensos é usada para suprir a dissipação da energia mecânica no pivô e nas engrenagens Porém a mola acaba se desgastando ou os pesos acabam atingindo o final de seus percursos Então não existe mais energia disponível e a amplitude das oscilações diminui até o pêndulo parar a diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa denominase amortecimento e o movimento correspondente denominase oscilação amorte cida o caso mais simples a ser examinado em detalhe é um oscilador harmônico simples com uma força de atrito amortecedora diretamente proporcional à velo cidade do corpo que oscila Esse comportamento ocorre no escoamento de um fluido viscoso como em um amortecedor ou no caso do atrito entre superfícies lubrificadas com óleo Neste caso existe uma força de atrito adicional que atua sobre o corpo dada por Fx bvx onde vx dxdt é a velocidade e b é uma constante que descreve a intensidade da força de amortecimento o sinal negativo indica que a força possui sempre um sentido contrário ao da velocidade Portanto a força resultante sobre o corpo é dada por gFx kx bvx 1340 e a segunda lei de Newton para o sistema é kx bvx max ou kx b dx dt m d2x dt2 1341 a Equação 1341 é uma equação diferencial para x a única diferença entre ela e a Equação 134 que fornece a aceleração no Mhs é que ela possui um termo adicional bdxdt Não daremos os detalhes dessa solução aqui simplesmente a mostraremos Quando a força de amortecimento é relativamente pequena o mo vimento é descrito por Figura 1325 um sino balançando por si só acaba parando de oscilar em virtude das forças amortecedoras resistência do ar e atrito no ponto de suspensão AVALIAR uma barra uniforme não é um modelo muito bom para uma perna as pernas de muitos animais incluindo o homem e o T rex são afuniladas a quantidade de massa entre o joelho e o quadril é muito maior que entre o joelho e o pé Logo o centro de massa está a uma distância menor que L2 a partir do quadril uma estimativa razoável pode ser L4 o momento de inércia é consideravelmente menor que ML23 provavelmente em torno de ML215 Experimente essas estima tivas seguindo o Exemplo 139 você obterá um período mais curto para as oscilações e um fator ainda maior para a velocidade da caminhada do T rex Continuação BookSEARSVol2indb 64 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 65 x Ae1b2m2tcos1vt f2 1342 Amplitude inicial Deslocamento do oscilador com pequeno amortecimento Constante de amortecimento Massa Tempo Frequência angular das oscilações amortecidas Ângulo de fase a frequência angular dessas oscilações amortecidas é dada por 1343 Constante de força da força restauradora Constante de amortecimento Massa Frequência angular do oscilador com pequeno amortecimento v m k 4m2 b2 Å Podemos verificar que a Equação 1342 é uma solução da Equação 1341 calcu lando a primeira e a segunda derivadas de x substituindo o resultado na Equação 1341 e conferindo se o membro esquerdo é igual ao direito o movimento descrito pela Equação 1342 difere do caso sem amortecimento de dois modos Primeiro a amplitude Aeb2mt não é constante e diminui com o tempo por causa do fator decrescente eb2mt a Figura 1326 é um gráfico da Equação 1342 para um ângulo de fase f 0 ela mostra que quanto maior for o valor de b mais rapidamente a amplitude diminuirá segundo a frequência angular v dada pela Equação 1343 não é mais igual a v km e sim ligeiramente menor Ela tende a zero quando b é tão grande que k m b2 4m2 0 ou b 2 km 1344 Quando a Equação 1344 é satisfeita ocorre o chamado amortecimento crítico o sistema não oscila mais e ao ser deslocado e liberado retorna para sua posição de equilíbrio sem oscilar a condição b maior que 2km corresponde ao superamortecimento Nova mente o sistema não oscila porém retorna para sua posição de equilíbrio mais len tamente que no caso do amortecimento crítico Para o caso do superamortecimento as soluções da Equação 1341 possuem a seguinte forma x C1ea1t C2ea2t onde C1 e C2 são constantes que dependem das condições iniciais e a1 e a2 são constantes determinadas por m k e b Para b menor que o valor crítico quando a Equação 1342 é satisfeita a condi ção denominase subamortecimento o sistema oscila com uma amplitude que diminui continuamente Em um diapasão vibrando ou na corda de um violão geralmente se deseja o menor amortecimento possível Em contraste o amortecimento tem um efeito be néfico no sistema de suspensão de um automóvel as forças de amortecimento de um carro dependem da velocidade e impedem que ele oscile o tempo todo ao passar por alguma saliência em seu caminho Figura 1327 Para o maior con forto do passageiro o sistema deve ser criticamente amortecido ou ligeiramente subamortecido amortecimento demais é contraproducente se a suspensão estiver superamortecida e o carro passar por outra saliência logo após a primeira as molas da suspensão ainda estarão comprimidas em razão do primeiro solavanco e não conseguirão absorver completamente o impacto Figura 1326 Gráfico do deslocamento em função do tempo de um oscilador com leve amortecimento ver Equação 1342 e com um ângulo de fase f 0 as curvas mostram dois valores da constante de amortecimento b O A A Aeb2mt x b 01km força de amortecimento fraca b 04km força de amortecimento mais forte Com um amortecimento mais forte quanto maior for b A amplitude curvas tracejadas diminui mais rapidamente O período T aumenta T0 período com amortecimento igual a zero t T0 2T0 3T0 4T0 5T0 Figura 1327 amortecedor de um carro o fluido viscoso produz uma força de amortecimento que depende da velocidade relativa entre as duas extremidades da unidade Pistão Fluido viscoso O cilindro inferior preso ao eixo da roda movese para cima e para baixo Extensão Compressão O cilindro superior preso ao chassi do carro movese muito pouco BookSEARSVol2indb 65 021015 149 PM 66 Física II Energia em oscilações amortecidas Nas oscilações amortecidas a força do amortecimento não é conservativa a energia mecânica do sistema não é constante e diminui continuamente tendendo a zero depois de um longo tempo a fim de deduzir uma expressão para a taxa de variação da energia inicialmente escrevemos uma expressão para a energia mecâ nica total E em qualquer instante E 1 2 mvx 2 1 2 kx2 Para determinar a taxa de mudança dessa quantidade tomamos sua derivada em relação ao tempo dE dt mvx dvx dt kx dx dt Porém dvxdt ax e logo dxdt vx então dE dt vx 1max kx2 Pela Equação 1341 max kx bdxdt bvx logo dE dt vx 1bvx2 bvx 2 oscilações amortecidas 1345 o membro direito da Equação 1345 é negativo sempre que o corpo oscilante estiver em movimento independentemente de a velocidade vx ser positiva ou nega tiva isso mostra que quando o corpo se move a energia diminui embora com uma taxa não uniforme o termo bvx 2 bvxvx força vezes velocidade é a taxa com a qual a força do amortecimento realiza trabalho negativo sobre o sistema ou seja a potência do amortecimento Ela é igual à taxa de variação da energia mecânica total do sistema um comportamento semelhante ocorre em circuitos elétricos contendo induto res capacitores e resistores Existe uma frequência natural da oscilação e a resis tência desempenha o papel da constante de amortecimento b Estudaremos esses circuitos em detalhes nos capítulos 30 e 31 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 137 um avião está voando em linha reta a uma altitude constante se uma rajada de vento soprar e erguer o nariz do avião o nariz oscilará para cima e para baixo até que o avião volte à sua posição original Essas oscilações são i não amortecidas ii subamortecidas iii criticamente amortecidas ou iv superamortecidas 138 osCILAÇõEs ForÇAdAs E rEssoNâNCIA Quando um oscilador amortecido é deixado livre suas oscilações tendem a pa rar Porém podemos manter constante a amplitude das oscilações aplicando uma força que varia periodicamente com o tempo como exemplo considere seu primo tobias oscilando no balanço de um playground você pode manter a amplitude das oscilações constante se fornecer a ele um pequeno empurrão ao final de cada ciclo Essa força adicional é chamada de força propulsora oscilações amortecidas com uma força propulsora periódica Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente com uma fre quência angular vd a um oscilador harmônico amortecido o movimento resultante BookSEARSVol2indb 66 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 67 é uma oscilação forçada ou uma oscilação com força propulsora tratase de um movimento diferente do ocorrido quando simplesmente deslocamos o sistema de sua posição de equilíbrio e o deixamos livre neste caso o sistema oscila com uma frequência angular natural v determinada por m k e b como na Equação 1343 contudo no caso de uma oscilação forçada a frequência angular da oscilação da massa é igual à frequência angular da força propulsora vd Essa frequência não precisa ser igual à frequência angular natural v Quando você segura as cordas do balanço de tobias pode forçálo a oscilar com a frequência que desejar suponha que você force o oscilador a vibrar com uma frequência angular vd quase igual à frequência angular v com a qual ele oscilaria sem a ação de ne nhuma força propulsora o que ocorreria o oscilador teria uma tendência na tural a oscilar com uma frequência angular v v então é de se esperar que a amplitude da oscilação resultante seja maior que a amplitude existente quando as frequências são muito diferentes uma análise detalhada e dados experimentais mostram que isso é exatamente o que ocorre o caso mais simples a ser analisado é o de uma força que varia senoidalmente digamos com a forma Ft Fmáx cos vdt Quando variamos a frequência angular vd da força propulsora a amplitude da oscilação forçada resultante varia de modo interessante Figura 1328 Quando existe um amortecimento muito pequeno b pequeno a amplitude tende a crescer fortemente até atingir um pico agudo quando a frequência angular vd da força propulsora aproximase da frequência angular natural v Quando o amortecimento é aumentado b maior o pico se torna mais largo a amplitude se torna menor e se desloca para frequências menores usando mais equações diferenciais do que você pode estar preparado para re solver podemos deduzir uma expressão para a amplitude A da oscilação forçada em função da frequência angular de uma força propulsora o resultado obtido é 1346 Valor máximo da força propulsora Constante de amortecimento Amplitude de um oscilador forçado Constante de força da força restauradora Massa Frequência angular da força propulsora A 1k mvd 222 b2vd 2 Fmáx BIo Aplicação oscilações forçadas Esta joaninha da família Coccinellidae voa por meio de uma oscilação forçada Diferentemente das asas dos pássaros as asas deste inseto são extensões de seu exoesqueleto Os músculos ligados ao interior do exoesqueleto aplicam uma força propulsora periódica que deforma o exoesqueleto de modo rítmico fazendo com que as asas conectadas batam para cima e para baixo A frequência de oscilação das asas e do exoesqueleto é a mesma que a frequência da força propulsora Figura 1328 Gráfico da amplitude A da oscilação forçada em função da frequência angular vd da força propulsora o eixo horizontal indica a razão entre a frequência angular vd e a frequência angular v km de um oscilador não amortecido cada curva apresenta um valor diferente da constante de amortecimento b Cada curva mostra a amplitude A para um oscilador sujeito a uma força propulsora em várias frequências angulares vd As curvas sucessivas de amplitude cada vez menor representam amortecimentos cada vez maiores Um oscilador levemente amortecido exibe um pico agudo de ressonância quando vd se aproxima de v a frequência angular natural de um oscilador não amortecido A frequência angular da força propulsora vd é igual à frequência angular natural v de um oscilador não amortecido Um amortecimento mais forte reduz a altura do pico e o torna mais largo deslocandoo para frequências mais baixas Fmáxk 2Fmáxk 3Fmáxk 4Fmáxk 5Fmáxk 05 10 15 20 A 0 vdv b 10km b 20km b 07km b 04km b 02km Se b 2km o pico desaparece completamente BookSEARSVol2indb 67 021015 149 PM 68 Física II Quando k mvd 2 0 o primeiro termo sob o sinal da raiz quadrada é zero de modo que o valor de A se torna máximo para vd km a altura da curva nesse ponto é proporcional a 1b quanto menor for o amortecimento mais elevado se torna o pico No caso extremo de baixas frequências quando vd 0 obtemos A Fmáxk isso corresponde a uma força constante Fmáx e a um deslocamento constante A Fmáxk a partir do equilíbrio como era de se esperar A ressonância e suas consequências a ressonância é o fenômeno que ocorre quando existe um pico de amplitude provocado por uma força cuja frequência está próxima da frequência de oscilação natural do sistema a física está repleta de exemplos de ressonância um deles é criar oscilações com grande amplitude empurrando uma criança em um balanço com uma frequência igual à da oscilação natural do balanço a forte vibração que ocorre em um carro quando o motor gira em determinadas rotações é outro exem plo um altofalante barato geralmente produz um ruído desagradável quando uma nota musical coincide com a frequência da oscilação natural da caixa ou do cone do altofalante No capítulo 16 estudaremos outros exemplos de ressonância que envolvem som circuitos elétricos também apresentam ressonância como veremos no capítulo 31 os circuitos de sintonia do rádio ou da televisão respondem for temente a ondas que possuam uma frequência próxima de sua frequência natural Esse fenômeno nos permite selecionar uma emissora e rejeitar outras a ressonância de um sistema mecânico pode ser destrutiva uma tropa de sol dados em certa ocasião destruiu uma ponte porque a atravessou em passo de marcha a frequência da marcha era próxima da frequência da vibração natural da ponte e o crescimento das amplitudes da oscilação resultante foi suficiente para quebrála Depois desse desastre os soldados são orientados a não marcharem de modo cadenciado ao atravessar uma ponte há alguns anos as vibrações do motor de um avião atingiram uma frequência próxima da frequência de ressonância das asas as oscilações se somaram e as asas se partiram TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 138 Quando submetido a uma força propulsora com frequência próxima à natural um oscilador com amortecimento muito fraco apresenta uma resposta muito maior que o mesmo oscilador com amortecimento mais forte Quando submetido a uma força propulsora com frequência muito maior ou muito menor do que a natural qual oscilador apresentará uma resposta maior i aquele com amortecimento muito fraco ou ii aquele com amortecimento mais forte BIo Aplicação ressonância canina Diferente dos humanos os cães não possuem glândulas sudoríparas e portanto precisam respirar de forma ofegante para poder resfriarse A frequência com que um cão respira é muito próxima da frequência de ressonância de seu sistema respiratório Isso produz a quantidade máxima de entrada e saída de ar e portanto reduz o esforço que o cão precisa exercer para resfriarse Movimento periódico o movimento periódico é aquele que se repete em um ciclo definido Ele ocorre quando o corpo possui uma posição de equilí brio estável e uma força restauradora que atua sobre o corpo quando ele é deslocado de sua posição de equilíbrio o período T é o tempo necessário para completar um ciclo a frequência f é o número de ciclos por unidade de tempo a frequência angular v é 2p vezes a frequência veja o Exemplo 131 f 1 T T 1 f 131 v 2pf 2p T 132 Fx ax x x n mg y n mg y Fx ax x n mg y x A x 0 x 6 0 x 7 0 x A x Movimento harmônico simples quando a força restauradora Fx no movimento periódico for direta mente proporcional ao deslocamento x o movimento denominase movimento harmônico simples Mhs Em muitos casos essa condição é satisfeita se o des locamento a partir do equilíbrio for pequeno a fre quência angular a frequência e o período no Mhs Fx kx 133 ax Fx m k m x 134 v Ä k m 1310 f v 2p 1 2p Ä k m 1311 T 1 f 2p Ä m k 1312 x A cos1vt f2 1313 2T O A T t x A capítulo 13 resumo BookSEARSVol2indb 68 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 69 não dependem da amplitude apenas da massa m e da constante de força k o deslocamento a veloci dade e a aceleração no Mhs são funções senoidais do tempo a amplitude A e o ângulo de fase f da oscilação são determinados pela posição inicial e velocidade do corpo veja os exemplos 132 133 136 e 137 Fx kx 133 ax Fx m k m x 134 v Ä k m 1310 f v 2p 1 2p Ä k m 1311 T 1 f 2p Ä m k 1312 x A cos1vt f2 1313 Energia no movimento harmônico simples a energia se conserva no Mhs a energia total pode ser expressa em termos da constante de força k e da amplitude A veja os exemplos 134 e 135 E 1 2 mvx 2 1 2 kx2 1 2 kA2 constante 1321 Energia x E K U O A A U K Movimento harmônico simples angular no Mhs angular a frequência e a frequência angular são re lacionadas ao momento de inércia I e à constante de torção k v Ä k I e f 1 2p Ä k I 1324 u tz Mola Roda de balanço Torque da mola tz se opõe ao deslocamento angular u Pêndulo simples um pêndulo simples é constitu ído por uma massa pontual m presa à extremidade de um fio sem massa de comprimento L seu movi mento é aproximadamente harmônico simples para amplitudes suficientemente pequenas portanto a frequência angular a frequência e o período depen dem apenas de g e L não da massa ou da amplitude veja o Exemplo 138 v Ä g L 1332 f v 2p 1 2p Ä g L 1333 T 2p v 1 f 2p Ä L g 1334 L T mg sen umg mg cos u u Pêndulo físico um pêndulo físico é qualquer corpo suspenso em um eixo de rotação a frequência an gular a frequência e o período para oscilações de pequena amplitude são independentes da amplitude mas dependem da massa m da distância d do eixo de rotação ao centro de gravidade e do momento de inércia I em torno do eixo de rotação veja os exemplos 139 e 1310 v Å mgd I 1338 T 2p Ä I mgd 1339 d z mg senu mg mg cosu cg O d senu u Oscilações amortecidas quando uma força Fx bvx é acrescentada a um oscilador harmônico simples o movimento denominase oscilação amor tecida se b 2km subamortecimento o sis tema oscila com uma amplitude cada vez menor e uma frequência angular v menor do que seria sem o amortecimento se b 2km amortecimento crítico ou se b 2km superamortecimento então o sistema ao ser deslocado retorna ao equi líbrio sem oscilar x Ae1b2m2 t cos 1vt f2 1342 v Å k m b2 4m2 1343 O A A T0 3T0 4T0 5T0 2T0 t Ae1b2m2t x b 01km b 04km Oscilações forçadas e ressonância quando uma força propulsora que varia senoidalmente atua sobre um oscilador harmônico amortecido o movimento resultante denominase oscilação forçada a ampli tude é dada em função da frequência angular vd da força propulsora e atinge um pico quando a frequên cia da força propulsora possui um valor próximo da frequência da oscilação natural do sistema Esse fenômeno denominase ressonância A Fmáx 1k mvd 222 b2vd 2 1346 5Fmáxk 4Fmáxk 3Fmáxk 2Fmáxk Fmáxk 05 10 15 20 A 0 vdv b 02km b 04km b 07km b 10km b 20km BookSEARSVol2indb 69 021015 149 PM 70 Física II Problema em destaque oscilando e rolando Dois cilindros sólidos e uniformes com raio R e massa total M estão conectados ao longo de seu eixo comum por uma barra curta e leve repousados sobre uma mesa horizontal Figura 1329 um anel sem atrito no centro da barra é preso a uma mola com constante de força k a outra ponta da mola está fixa os cilindros são puxados para a esquerda a uma distân cia x esticando a mola e depois liberados do repouso Em razão do atrito entre a mesa e os cilindros estes rolam sem desligar enquanto oscilam Mostre que o movimento do cen tro de massa dos cilindros é harmônico simples e ache seu período gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 Que condição deverá ser satisfeita para que o movimento do centro de massa dos cilindros seja harmônico simples Mhs 2 Que equações você deverá usar para descrever os movi mentos de translação e rotação dos cilindros Que equação você deverá usar para descrever a condição de que os cilin dros rolam sem deslizar Dica consulte a seção 103 3 faça um esboço da situação e escolha um sistema de coor denadas Liste as quantidades desconhecidas e decida qual é a variávelalvo EXECUTAr 4 Desenhe um diagrama do corpo livre para os cilindros quando eles são deslocados a uma distância x do equilíbrio 5 resolva as equações para achar uma expressão para a ace leração do centro de massa dos cilindros o que essa ex pressão informa 6 use seu resultado do item 5 para determinar o período de oscilação do centro de massa dos cilindros AVALIAr 7 Qual seria o período de oscilação se não houvesse atrito e os cilindros não rolassem Esse período é maior ou menor que seu resultado do item 6 isso é razoável Figura 1329 cilindros rolando presos a uma mola M x k R problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q131 um objeto está se movendo na extremidade de uma mola com Mhs de amplitude A se a amplitude for dobrada o que acontece com a distância total que o objeto percorre em um período o que acontece com o período o que acontece com a velocidade máxima do objeto Discuta como essas respostas estão relacionadas Q132 forneça diversos exemplos da vida cotidiana de mo vimentos que possam ser considerados pelo menos aproxima damente harmônicos simples Em que aspectos eles diferem do Mhs Q133 um diapasão ou um dispositivo semelhante usado para afinar um instrumento musical executa um movimento harmônico simples Por que essa questão é essencial para os músicos Q134 uma caixa contendo uma pedrinha é presa a uma mola ideal horizontal e está oscilando em uma mesa de ar sem atrito Quando a caixa atinge sua distância máxima do ponto de equilí brio a pedrinha é subitamente içada na vertical sem que a caixa seja movida Diga quais das seguintes grandezas aumentarão diminuirão ou permanecerão inalteradas no movimento subse quente da caixa a frequência b período c amplitude d a energia cinética máxima da caixa e a velocidade máxima da caixa Justifique cada resposta Q135 se uma certa mola uniforme fosse cortada em duas partes iguais qual seria a constante da mola de cada metade Justifique sua resposta usandose a mesma massa na extremidade qual seria a diferença entre a frequência do Mhs da metade da mola e a frequência da mola inteira Q136 um corpo é preso a uma mola ideal fixa e oscila sobre um trilho de ar horizontal sem atrito uma moeda encontrase sobre o corpo e oscila com ele Em que pontos do movimento a força de atrito sobre a moeda é maior E quando ela é menor Justifique suas respostas Q137 Dois corpos idênticos sobre um trilho de ar estão ligados por uma certa mola ideal a oscilação desse sistema constitui um Mhs Explique como esse período pode ser comparado com o de um único corpo preso a uma mola cuja outra extremidade está presa a um objeto fixo Explique Q138 você é capturado por marcianos levado para a nave deles e posto para dormir você acorda algum tempo depois e se vê tran cado em uma sala pequena sem janelas tudo o que os marcianos lhe deixaram é seu relógio digital de pulso o anel que usava e sua longa corrente de prata Explique como você pode verificar se ainda está na terra ou se foi levado para Marte Q139 o sistema indicado na figura 1317 é montado em um elevador o que acontece com o período do movimento aumenta diminui ou permanece constante se o elevador a está subindo com aceleração igual a 50 ms2 b está subindo com velocidade constante de 50 ms e c está descendo com aceleração igual a 50 ms2 Justifique suas respostas BookSEARSVol2indb 70 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 71 Q1310 se um pêndulo possui um período de 25 s na terra qual seria seu período em uma estação espacial em órbita ao redor da terra se uma massa suspensa em uma mola vertical possui um período de 50 s na terra qual seria seu período na estação espacial Justifique todas as suas respostas Q1311 um pêndulo simples é montado em um elevador o que acontece com o período do movimento aumenta diminui ou per manece constante se o elevador a está subindo com aceleração igual a 50 ms2 b está subindo com velocidade constante de 50 ms c está descendo com aceleração igual a 50 ms2 d está descendo com aceleração igual a 98 ms2 Justifique suas respostas Q1312 Explique o que você deve fazer com o comprimento do fio de um pêndulo simples para a dobrar sua frequência b dobrar seu período c dobrar sua frequência angular Q1313 se um relógio de pêndulo for transportado ao topo de uma montanha ele se atrasará ou adiantará supondo que mostrasse a hora certa na base da montanha Justifique sua resposta Q1314 Quando a amplitude de um pêndulo simples aumenta seu período aumenta ou diminui forneça um argumento quali tativo não se baseie na Equação 1335 seu argumento também seria válido para um pêndulo físico Q1315 Por que um cão com patas curtas como o da raça chihuahua caminha com passos mais velozes que um cão com patas longas como o dogue alemão Q1316 Em que ponto do movimento de um pêndulo simples a tensão no fio atinge o valor máximo E o valor mínimo Em cada caso explique o raciocínio usado na resposta Q1317 um padrão de tempo pode ser baseado no período de um certo pêndulopadrão Quais seriam as vantagens e as des vantagens desse padrão em relação ao padrão atual de tempo discutido na seção 13 Q1318 Em um pêndulo simples distinga claramente entre v a velocidade angular e v a frequência angular Qual é constante e qual é variável Q1319 ao projetar uma estrutura em uma região propensa à ocorrência de terremotos qual deve ser a relação entre a frequên cia da estrutura e a frequência típica de um terremoto Por quê a estrutura deve possuir um amortecimento grande ou pequeno EXErCÍCIos seção 131 Causas da oscilação 131 BIo a Música Quando uma pessoa canta suas cor das vocais vibram em um padrão repetitivo que tem a mesma frequência da nota cantada se alguém cantar a nota si bemol que tem uma frequência de 466 hz quanto tempo leva para as cordas vocais da pessoa vibrarem por um ciclo completo e qual é a frequência angular das cordas b Audição Quando ondas de som atingem o tímpano essa membrana vibra com a mesma frequência do som o tom mais alto que humanos jovens podem ouvir tem um período de 500 ms Quais são a frequência e a fre quência angular do tímpano vibrando para esse som c Visão Quando uma luz possuindo vibrações com frequência angular variando de 27 1015 rads a 47 1015 rads atinge a retina ela estimula as células receptoras lá existentes e é percebida como luz visível Quais são os limites do período e a frequência dessa luz d Ultrassom ondas de som de alta frequência ultras som são usadas para sondar o interior do corpo assim como os raios X Para detectar pequenos objetos como tumores uma frequência em torno de 50 Mhz é utilizada Quais são o período e a frequência angular das vibrações de moléculas causadas por esse pulso de som 132 se um objeto sobre uma superfície horizontal sem atrito é preso a uma mola deslocado e depois liberado ele irá oscilar se ele for deslocado 0120 m de sua posição de equilíbrio e li berado com velocidade inicial igual a zero depois de 0800 s verificase que seu deslocamento é de 0120 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de equilíbrio durante esse intervalo ache a a amplitude b o período c a frequência 133 a extremidade de um diapasão executa 440 vibrações completas em 0500 s calcule a frequência angular e o período do movimento 134 o deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na Figura E134 Quais são a a frequência b a amplitude c o período d a frequência angular desse movimento Figura E134 100 O 50 100 150 x cm t s 100 135 a peça de uma máquina está se movendo em Mhs com uma frequência igual a 400 hz e amplitude igual a 180 cm Quanto tempo leva para a peça ir de x 0 até x 180 cm 136 BIo as asas do beijaflordegargantaazul Lampornis clemenciae que habita no México e no sudoeste dos Estados unidos batem a uma taxa de até 900 vezes por minuto calcule a o período de vibração das asas desse pássaro b a frequência de vibração das asas e c a frequência angular das batidas de asa do pássaro seção 132 movimento harmônico simples 137 uma bola de 240 kg está presa a uma mola desconhecida e oscila com ela a Figura E137 mostra um gráfico da posição x da bola como uma função do tempo t Qual é a o período da oscilação b sua frequência c sua frequência angular e d sua amplitude e Qual é a constante de força da mola Figura E137 20 10 10 20 30 30 050 10 x cm t s O 138 Em um laboratório de física você liga o cavaleiro de um trilho de ar com 0200 kg à extremidade de uma mola ideal com massa desprezível e inicia a oscilação o tempo decorrido entre o instante em que o cavaleiro ultrapassa a posição de equilíbrio e a segunda vez que ele ultrapassa esse ponto é igual a 260 s calcule o valor da constante de força da mola 139 Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a 120 Nm verificase que ele oscila com uma frequência igual a 600 hz ache a o período b a frequência angular c a massa do corpo 1310 Quando uma massa de 0750 kg oscila em uma mola ideal a frequência é igual a 175 hz Qual será a frequência se 0220 kg a forem adicionados à massa original e b subtraídos BookSEARSVol2indb 71 021015 149 PM 72 Física II da massa original tente resolver este problema sem achar a constante de força da mola 1311 um objeto executa um Mhs com período de 0900 s e amplitude igual a 0320 m Em t 0 o objeto está em x 0320 m e instantaneamente em repouso calcule o tempo gasto para o objeto passar a de x 0320 m para x 0160 m e b de x 0160 m para x 0 1312 um pequeno bloco está preso a uma mola ideal e move se em Mhs sobre uma superfície horizontal sem atrito Quando o bloco está em x 0280 m a aceleração do bloco é 530 m s2 Qual é a frequência do movimento 1313 um bloco de 200 kg sem atrito está preso a uma mola ideal cuja constante é igual a 300 Nm Em t 0 a mola não está comprimida nem esticada e o bloco se move no sentido negativo com 120 ms ache a a amplitude e b o ângulo de fase c Escreva uma equação para a posição em função do tempo 1314 repita o Exercício 1313 porém suponha que em t 0 o bloco possua velocidade igual a 40 ms e deslocamento igual a 0200 m 1315 a ponta da agulha de uma máquina de costura se move com Mhs ao longo de um eixo Ox com uma frequência de 25 hz Em t 0 os componentes da posição e da velocidade são respectivamente 11 cm e 15 cms a ache o componente da aceleração da agulha para t 0 b Escreva equações para os componentes da posição da velocidade e da aceleração do ponto considerado em função do tempo 1316 um pequeno bloco está preso a uma mola ideal e movese em Mhs sobre uma superfície horizontal sem atrito Quando a amplitude do movimento é 0090 m o bloco leva 270 s para passar de x 0090 m para x 0090 m se a am plitude for dobrada para 0180 m quanto tempo levará para o bloco passar a de x 0180 m para x 0180 m e b de x 0090 m para x 0090 m 1317 BIo Pesando astronautas Este procedimento tem sido usado para pesar astronautas no espaço uma cadeira de 425 kg é presa a uma mola e deixada para oscilar livremente Quando vazia a cadeira leva 130 s para completar uma vibração Mas com uma astronauta sentada nela sem apoiar os pés no chão a cadeira leva 254 s para completar um ciclo Qual é a massa da astronauta 1318 um objeto de 0400 kg em Mhs possui uma aceleração ax 180 ms2 quando x 0300 m Qual é a duração de uma oscilação 1319 sobre um trilho de ar sem atrito horizontal um corpo oscila na extremidade de uma mola ideal de força constante 250 Ncm o gráfico da Figura E1319 mostra a aceleração do corpo em função do tempo Encontre a a massa do corpo b o des locamento máximo do corpo a partir do ponto de equilíbrio c a força máxima que a mola exerce sobre o corpo Figura E1319 120 60 O ax ms2 t s 120 60 040 010 020 030 1320 uma massa de 0500 kg oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por vxt 360 cms sen 471 radst p 2 Qual é a o período b a amplitude c a aceleração máxima da massa d a constante de força da mola 1321 uma massa de 150 kg oscilando em uma mola tem o deslocamento em função do tempo dado pela equação xt 740 cm cos 416 radst 242 Encontre a o tempo de uma vibração completa b a constante de força da mola c a velocidade máxima da massa d a força máxima sobre a massa e posição velocidade e aceleração da massa em t 100 s f a força sobre a massa nesse instante 1322 BIo Pesando um vírus Em fevereiro de 2004 os cientistas da Purdue university usaram uma técnica altamente sensível para medir a massa do vaccinia vírus o tipo de vírus usado na vacina contra varíola o procedimento envolvia medir a frequência de oscilação de um minúsculo pedaço de silício com apenas 30 nm de comprimento com um laser primeiro sem o vírus e depois quando ele estivesse preso ao silício a diferença na massa causava uma variação na frequência Podemos modelar esse processo como uma certa massa sobre uma dada mola a Mostre que a razão entre a frequência com o vírus preso fsv e a frequência sem o vírus fs é dada por fsvfs 11 1 mVmS2 onde mv é a massa do vírus e ms é a massa do pedaço de silício observe que não é necessário saber ou medir a constante de força da mola b Em alguns dados o pedaço de silício tem uma massa de 210 1016g e uma frequência de 200 1015 hz sem o vírus e 287 1014 hz com o vírus Qual é a massa do vírus em gramas 1323 CALC Sacudida uma corda de guitarra vibra a uma frequência de 440 hz um ponto em seu centro movese em Mhs com uma amplitude de 30 mm e um ângulo de fase de zero a Escreva uma equação para a posição do centro da corda em função do tempo b Quais são os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração do centro da corda c a derivada da aceleração em função do tempo é uma quantidade chamada de sacudida Escreva uma equação para a sacudida do centro da corda em função do tempo e encontre o valor máximo do módulo da sacudida seção 133 Energia no movimento harmônico simples 1324 Para o objeto oscilante na figura E134 quais são a sua velocidade máxima e b sua aceleração máxima 1325 um pequeno bloco é preso a uma mola ideal e movese em Mhs sobre uma superfície horizontal sem atrito a amplitude do movimento é de 0165 m a velocidade máxima do bloco é 390 ms Qual é o módulo máximo da aceleração do bloco 1326 um pequeno bloco é preso a uma mola ideal e movese em Mhs sobre uma superfície horizontal sem atrito a amplitude do movimento é de 0250 m e o período é de 320 s Quais são a velocidade e a aceleração do bloco quando x 0160 m 1327 um brinquedo de 0150 kg executa um Mhs na extre midade de uma mola horizontal com uma constante k 300 Nm Quando o objeto está a uma distância de 00120 m da posição de equilíbrio verificase que ele possui uma velocidade igual a 0400 ms Quais são a a energia mecânica total do brinquedo em qualquer ponto b a amplitude do movimento c a velocidade máxima atingida durante o movimento 1328 um oscilador harmônico possui frequência v e am plitude A a Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica é igual à energia cinética suponha que U 0 no equilíbrio b Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo Qual é o intervalo entre duas ocor rências consecutivas c No momento em que o deslocamento é BookSEARSVol2indb 72 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 73 igual a A2 qual é a fração da energia total do sistema referente à energia cinética e a qual fração corresponde à energia potencial 1329 um corpo de 0500 kg ligado à extremidade de uma mola ideal de constante de força k 450 Nm executa um Mhs com amplitude igual a 0040 m calcule a a velocidade máxima do corpo b a velocidade do corpo quando ele está no ponto x 0015 m c o módulo da aceleração máxima do corpo d a aceleração do corpo quando ele está no ponto x 0015 m e sua energia mecânica total quando ele está em qualquer ponto em seu movimento 1330 uma animadora de torcida faz seu pompom oscilar em Mhs com uma amplitude de 180 cm e frequência igual a 0850 hz ache a o módulo da velocidade e da aceleração má xima b o módulo da velocidade e da aceleração quando a coor denada do pompom é x 90 cm c o tempo necessário para ele se deslocar da posição de equilíbrio até o ponto x 120 cm a partir do equilíbrio d Quais das grandezas solicitadas nas partes a b e c podem ser obtidas usandose o método da energia da seção 133 e quais não podem Explique 1331 PC Para a situação descrita no item a do Exemplo 135 qual deveria ser o valor m da porção de massa de vidraceiro para que a amplitude depois da colisão fosse igual à metade da amplitude original Para esse valor de m qual é a fração da ener gia mecânica original convertida em calor 1332 um bloco com massa m 0300 kg é preso a uma extremidade de uma mola ideal e movese sobre uma superfície horizontal sem atrito a outra extremidade da mola é presa a uma parede Quando o bloco está em x 0240 m sua aceleração é ax 120 ms2 e sua velocidade é vx 400 ms Quais são a a constante de força da mola k b a amplitude do movimento c a velocidade máxima do bloco durante seu movimento e d o módulo máximo da aceleração do bloco durante seu movimento 1333 você observa um objeto movendose em Mhs Quando o objeto é deslocado até 0600 m à direita de sua posição de equilíbrio sua velocidade é igual a 220 ms para a direita e sua aceleração é igual a 840 ms2 para a esquerda a que distância máxima desse ponto o objeto irá se mover antes de parar momen taneamente e depois começar a se mover de volta para a esquerda 1334 um bloco de 200 kg sem atrito é preso a uma mola ideal com constante de força de 315 Nm inicialmente a mola não está esticada nem comprimida mas o bloco movese na direção negativa a 120 ms ache a a amplitude do movimento b a aceleração máxima do bloco e c a força máxima que a mola exerce sobre o bloco 1335 um bloco de 200 kg sem atrito preso a uma mola ideal com constante de força de 315 Nm passa por um Mhs Quando o bloco tem deslocamento 0200 m ele se move na direção x negativa com uma velocidade de 400 ms ache a a amplitude do movimento b a aceleração máxima do bloco e c a força máxima que a mola exerce sobre o bloco 1336 uma massa está oscilando com amplitude A na ex tremidade de uma mola a que distância em termos de A essa massa está da posição de equilíbrio da mola quando a energia potencial elástica é igual à energia cinética seção 134 Aplicações do movimento harmônico simples 1337 um corpo de 175 g sobre um trilho de ar horizontal sem atrito é preso a uma mola fixa ideal de constante 155 Nm No instante em que você efetua medições sobre o corpo ele está se movendo a 0815 ms e está a 30 cm de seu ponto de equilíbrio use a conservação da energia para achar a a amplitude do movimento e b a velocidade máxima do corpo c Qual é a frequência angular das oscilações 1338 um orgulhoso pescador de águas marinhas profundas pendura um peixe de 650 kg na extremidade de uma certa mola ideal com massa desprezível o peixe estica a mola em 0180 m a Qual é a constante de força da mola agora o peixe é puxado para baixo por 500 cm e liberado b Qual é o período da oscilação do peixe c Que velocidade máxima ele alcançará 1339 um gato com massa igual a 400 kg está preso por arreios a uma mola ideal de massa desprezível e oscila verti calmente em Mhs a amplitude do movimento é 0050 m No ponto mais alto do movimento a mola está na posição natural ou seja não está esticada calcule a energia potencial elástica da mola considerandoa igual a zero quando ela não está esticada a energia cinética do gato a energia potencial gravitacional do sistema em relação ao ponto mais baixo do movimento e a soma dessas três energias quando o gato está a no ponto mais alto do movimento b no ponto mais baixo c no ponto de equilíbrio 1340 um disco de metal sólido uniforme de massa igual a 650 kg e diâmetro igual a 240 cm está suspenso em um plano horizontal sustentado em seu centro por um fio de metal na vertical você descobre que é preciso uma força horizontal de 423 N tangente à borda do disco para girálo em 334 torcendo assim o fio de metal a seguir você remove essa força e libera o disco a partir do repouso a Qual é a constante de torção do fio de metal b Quais são a frequência e o período das oscilações de torção do disco c Escreva a equação do movimento para ut do disco 1341 um relógio dá quatro tiques a cada segundo cada tique corresponde à metade do período a roda de balanço do reló gio consiste em uma fina camada circular com raio de 055 cm conectada ao conjunto da roda por meio de raios com massas desprezíveis a massa total da roda é igual a 090 g a Qual é o momento de inércia da roda em torno do eixo central b Qual é a constante de torção da mola capilar figura 1319 1342 um disco metálico fino de massa igual a 200 103 kg e raio igual a 220 cm está suspenso em seu centro por uma longa fibra Figura E1342 o disco depois de torcido e liberado oscila com um período igual a 100 s calcule a constante de torção da fibra 1343 você deseja deter minar o momento de inércia de certa parte complicada de uma máquina em relação a um eixo passando em seu centro de massa você suspende o objeto por um fio ao longo desse eixo a cons tante de torção do fio é igual a 0450 N mrad você torce ligei ramente o objeto ao redor desse eixo e o libera cronometrando 165 oscilações em 265 s Qual é o momento de inércia 1344 CALC a roda de balanço de um relógio vibra com amplitude angular U frequência angular v e ângulo de fase f 0 a Determine uma expressão para a velocidade angular dudt e para a aceleração angular d2udt2 em função do tempo b Determine a velocidade angular e a aceleração angular da roda quando seu deslocamento angular for igual a U e quando seu deslocamento angular for igual a U2 e u estiver diminuindo Dica faça um gráfico de u em função de t Figura E1342 R BookSEARSVol2indb 73 021015 149 PM 74 Física II seção 135 o pêndulo simples 1345 você puxa lateralmente um pêndulo simples de 0240 m de comprimento até um ângulo de 350 e soltao a seguir a Quanto tempo leva para o peso do pêndulo atingir a velocidade mais elevada b Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de 175 em vez de 350 1346 um alpinista de 850 kg planeja saltar a partir do re pouso de uma saliência de um rochedo usando uma corda leve de 650 m de comprimento Ele segura uma das extremidades da corda e a outra extremidade é amarrada em uma parede de rocha mais acima como a saliência onde ele está não fica muito distante da parede de rocha a corda forma um ângulo pequeno com a vertical No ponto mais baixo de seu oscilar o alpinista planeja largar a corda e cair de uma altura não muito elevada até o chão a Quanto tempo depois de saltar segurando a corda o alpinista chegará pela primeira vez ao seu ponto mais baixo b se ele perder a primeira oportunidade de soltar a corda quanto tempo após o início de sua oscilação o alpinista chegará ao seu ponto mais baixo pela segunda vez 1347 um prédio em são francisco Estados unidos tem en feites luminosos que consistem em pequenos bulbos de 235 kg com quebraluzes pendendo do teto na extremidade de cordas leves e finas de 150 m de comprimento se houver um terre moto de intensidade fraca quantas oscilações por segundo esses enfeites farão 1348 Um pêndulo em Marte um pêndulo simples possui um período igual a 160 s na terra Qual é o período na superfície de Marte onde g 371 ms2 1349 Depois de pousar em um planeta desconhecido uma exploradora do espaço constrói um pêndulo simples de 500 cm de comprimento Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 oscilações completas em 136 s Qual é o valor de g nesse planeta 1350 No laboratório um aluno de física estuda um pêndulo representando o ângulo u que o fio faz com a vertical em fun ção do tempo t obtendo o gráfico mostrado na Figura E1350 a Quais são o período a frequência a frequência angular e a amplitude do movimento do pêndulo b Qual é a duração do pêndulo c é possível determinar a massa do peso do pêndulo Figura E1350 4 2 2 4 6 6 10 20 u 1grau2 t 1s2 30 O 1351 um pêndulo simples de 20 m de comprimento oscila em um ângulo máximo de 300 com a vertical calcule seu pe ríodo a supondo uma amplitude pequena e b usando os três primeiros termos da Equação 1335 c Qual das respostas aos itens a e b é mais precisa a resposta menos precisa está errada em que porcentagem em relação à mais precisa 1352 uma pequena esfera de massa m está presa a uma barra sem massa de comprimento L por meio de um pivô em sua extremidade superior formando um pêndulo simples o pêndulo é puxado lateralmente até um ângulo u com a vertical e a seguir é liberado a partir do repouso a Desenhe um diagrama mostrando o pêndulo logo após o instante em que ele é liberado Desenhe vetores representando as forças que atuam sobre a esfera e a aceleração da esfera a precisão é importante Nesse ponto qual é a aceleração linear da esfera b repita o item a para o instante em que o pêndulo forma um ângulo u2 com a vertical c repita o item a para o instante em que o pêndulo está na direção vertical Nesse ponto qual é a velocidade linear da esfera seção 136 o pêndulo físico 1353 Dois pêndulos possuem as mesmas dimensões com primento L e massa total m o pêndulo A é uma esfera bem pequena oscilando na extremidade de uma barra uniforme de massa desprezível No pêndulo B metade da massa pertence à bola e a outra metade à barra uniforme Encontre o período de cada pêndulo para oscilações pequenas Qual dos dois pêndulos leva mais tempo para completar uma oscilação 1354 Desejamos suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilação completa com ângulo pequeno a cada 20 s Qual deve ser o valor do raio do aro 1355 uma barra de conexão de um motor de automóvel de 180 kg é suspensa por um eixo horizontal mediante um pivô em forma de cunha como indicado na Figura E1355 o centro de gra vidade da barra determinado por equilíbrio está a uma distância de 0200 m do pivô Quando ela exe cuta oscilações com amplitudes pequenas a barra faz 100 oscila ções completas em 120 s calcule o momento de inércia da barra em re lação a um eixo passando pelo pivô 1356 um macaco mecânico de 180 kg é suspenso por um pivô localizado a uma distância de 0250 m de seu centro de massa e começa a oscilar como um pên dulo físico o período da oscilação com ângulo pequeno é igual a 0940 s a Qual é o momento de inércia do macaco em relação a um eixo passando pelo pivô b Quando ele é deslocado 0400 rad de sua posição de equilíbrio qual é sua velocidade angular quando ele passa pela posição de equilíbrio 1357 cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura E1357 consiste em uma esfera sólida uniforme de massa M sustentada por uma corda de massa desprezível porém a esfera do pêndulo A é muito pequena enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior calcule o período de cada pêndulo para deslocamen tos pequenos Qual das esferas leva mais tempo para completar uma oscilação L M A L L2 M B Figura E1357 Figura E1355 d 0200 m cg BookSEARSVol2indb 74 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 75 1358 PC um enfeite com forma de esfera oca de massa M 0015 kg e raio R 0050 m é pendurado em um galho da árvore de Natal por um pequeno fio preso à superfície da esfera se o ornamento é deslocado a uma pequena distância e solto a seguir ele oscila como um pêndulo físico com atrito desprezível calcule seu período Dica use o teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento de inércia da esfera ao redor do pivô situado no galho da árvore seção 137 oscilações amortecidas 1359 um objeto de 135 kg é preso a uma mola horizontal com constante de força de 25 Ncm o objeto começa a oscilar puxandoa por 60 cm a partir de sua posição de equilíbrio e soltandoa de modo que fique livre para oscilar em uma trilha de ar horizontal sem atrito você observa que depois de oito ciclos seu deslocamento máximo a partir do equilíbrio é de apenas 35 cm a Quanta energia esse sistema perdeu para o amortecimento durante esses oito ciclos b Para onde foi a energia perdida Explique fisicamente como o sistema poderia ter perdido energia 1360 um ovo de 500 g fervido durante muito tempo está preso na extremidade de uma mola cuja constante é k 250 Nm seu deslocamento inicial é igual a 0300 m uma força de amorte cimento Fx bvx atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui para 0100 m em 500 s calcule o módulo da constante de amortecimento b 1361 uma força de amortecimento Fx bvx atua sobre um rato infeliz de 0300 kg que se move preso na extremidade de uma mola cuja constante é k 250 Nm a se a constante b tem um valor igual a 0900 kgs qual é a frequência de osci lação do rato b Para qual valor da constante b o movimento é criticamente amortecido 1362 uma massa está vibrando na extremidade de uma mola com constante de força igual a 225 Nm a Figura E1362 mostra um gráfico de sua posição x em função do tempo t a Em que momentos a massa não está se movendo b Quanta energia esse sistema continha originalmente c Quanta ener gia o sistema perdeu entre t 10 s e t 40 s Para onde foi essa energia Figura E1362 5 5 1 2 x cm O t s 3 4 seção 138 oscilações forçadas e ressonância 1363 uma força propulsora variando senoidalmente é apli cada a um oscilador harmônico amortecido de constante de força k e massa m se a constante de amortecimento possui valor b1 a amplitude é A1 quando a frequência angular da força propulsora é igual a v km Em termos de A1 qual é a amplitude para a mesma frequência angular da força propulsora e a mesma amplitude da força propulsora Fmáx quando a constante de amortecimento for a 3b1 e b b12 ProBLEmAs 1364 um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 0300 s e amplitude igual a 600 cm Em t 0 o objeto está instantaneamente em repouso em x 600 cm calcule o tempo que o objeto leva para ir de x 600 cm até x 150 cm 1365 um objeto executa um Mhs com período de 1200 s e amplitude igual a 0600 m Em t 0 o objeto está em x 0 e movese na direção negativa de x Qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando t 0480 s 1366 ao entrarem em um carro quatro passageiros com massa total igual a 250 kg comprimem em 40 cm as molas de um carro com amortecedores gastos considere o carro e os passageiros como um único corpo sobre uma única mola ideal sabendo que o período da oscilação do carro com os passageiros é igual a 192 s qual é o período da oscilação do carro vazio 1367 ao final de uma corrida em um parque de diversões com temas de inverno um trenó com massa de 250 kg incluindo dois passageiros desliza sem atrito ao longo de uma superfície horizontal coberta de neve o trenó atinge a extremidade de uma mola horizontal que obedece à lei de hooke e tem sua outra extre midade presa a uma parede o trenó agarrase a uma extremidade da mola e depois oscila em Mhs no final da mola até que um mecanismo de freio é acionado levando o trenó ao repouso a frequência do Mhs é 0225 hz e a amplitude é 0950 m a Qual foi a velocidade do trenó imediatamente antes de atingir o final da mola b Qual é o módulo máximo da aceleração do trenó durante seu Mhs 1368 PC um bloco de massa M repousa sobre uma super fície sem atrito e está preso a uma mola horizontal cuja constante de força é k a outra extremidade da mola está presa a uma parede Figura P1368 um segundo bloco de massa m repousa sobre o primeiro o coeficiente de atrito estático entre os blocos é ms ache a amplitude máxima da oscilação para que o bloco superior não deslize sobre o inferior Figura P1368 k m M ms 1369 um prato uniforme horizontal de 150 kg é preso a uma mola vertical ideal de constante igual a 185 Nm e uma esfera de metal de 275 g está sobre o prato a mola está sob o prato podendo oscilar para cima e para baixo o prato é então empurrado para baixo até o ponto A que está 150 cm abaixo de seu ponto de equilíbrio e liberado a partir do repouso a a que altura acima do ponto A o prato estará quando a esfera de metal deixar o prato Dica isso não ocorre quando a esfera e o prato atingem suas velocidades máximas b Quanto tempo passa entre o momento em que o sistema é liberado no ponto A e o momento em que a esfera sai do prato c com que velocidade a esfera está se movendo ao sair do prato 1370 PC um corpo com massa de 100 kg está se deslo cando para a direita com uma velocidade igual a 200 ms sobre uma superfície horizontal quando colide com outro corpo que possui massa de 100 kg inicialmente em repouso mas preso BookSEARSVol2indb 75 021015 149 PM 76 Física II a uma mola leve com constante de força igual a 1700 Nm a calcule a frequência a amplitude e o período das oscilações subsequentes b Quanto tempo leva para o sistema retornar pela primeira vez à posição em que estava imediatamente depois da colisão 1371 uma maçã pesa 100 N Quando você a suspende na extremidade de uma mola longa de massa desprezível e constante de força igual a 150 Nm ela oscila para cima e para baixo com um Mhs Quando você interrompe a oscilação e deixa a maçã oscilar lateralmente em um ângulo pequeno a frequência do pêndulo simples é igual à metade da frequência da oscilação vertical como o ângulo é pequeno a oscilação lateral não produz variação no comprimento da mola Determine o comprimento da mola quando ela não está esticada sem a maçã 1372 PC MHS de um objeto flutuando um objeto com altura h massa M e seção reta uniforme A flutua diretamente para cima em um líquido com densidade r a calcule a dis tância vertical a partir da superfície do líquido até o fundo do objeto flutuante em equilíbrio b uma força para baixo com módulo F é aplicada ao topo do objeto Na nova posição de equilíbrio que distância abaixo da superfície do líquido o fundo do objeto se afasta em relação à posição no item a suponha que parte do objeto permaneça acima da superfície do líquido c seu resultado no item b mostra que se a força for repen tinamente removida o objeto oscilará para cima e para baixo no Mhs calcule o período desse movimento em termos da densidade r do líquido da massa M e da seção reta A do objeto você pode ignorar o amortecimento pelo atrito com o fluido ver seção 137 1373 PC um objeto qua drado de massa m é formado por quatro varetas finas idênticas todas de comprimento L amar radas juntas Esse objeto é pen durado em um gancho pelo seu canto superior Figura P1373 se ele for girado levemente para a esquerda e solto em seguida em que frequência ele irá oscilar para a frente e para trás 1374 um bloco de massa igual a 0200 kg está submetido a uma força restauradora elástica e a constante da força é igual a 100 Nm a faça um gráfico da energia potencial elástica U em função do deslocamento x no intervalo de x 0300 m até x 0300 m Em seu gráfico adote a escala 1 cm 005 J no eixo vertical e 1 cm 005 m no eixo horizontal o bloco inicia o movimento oscilatório com uma energia potencial igual a 0140 J e uma energia cinética igual a 0060 J Examinando o gráfico responda às perguntas a seguir b Qual é a amplitude da oscilação c Qual é a energia potencial quando o deslocamento é igual à metade da amplitude d Para qual deslocamento a energia cinética é igual à energia potencial e Qual é o valor do ângulo de fase f sabendo que a velocidade inicial é positiva e o deslocamento inicial é negativo 1375 CALC um balde de massa igual a 200 kg contendo 100 kg de água está pendurado em uma mola vertical ideal de constante de força igual a 450 Nm e oscilando para cima e para baixo com uma amplitude igual a 300 cm De repente surge um vazamento no fundo do balde de tal modo que a água escoa à taxa constante de 200 gs Quando o balde estiver cheio até a metade ache a o período de oscilação e b a taxa em que o período está variando em relação ao tempo o período está au mentando ou diminuindo c Qual é o período mais curto que esse sistema pode ter 1376 uma viga uniforme é suspensa horizontalmente por duas molas verticais idênticas presas entre o teto e ambas as extremidades da viga Esta possui massa igual a 225 kg e um saco de cascalho de 175 kg descansa sobre seu centro a viga está oscilando em Mhs com amplitude de 400 cm e frequên cia de 0600 ciclos a o saco de cascalho cai da viga quando esta atinge seu máximo deslocamento para cima Quais são a frequência e a amplitude do Mhs subsequente da viga b se em vez disso o cascalho cair quando a viga atingir sua veloci dade máxima quais serão a frequência e a amplitude do Mhs subsequente da viga 1377 uma perdiz de 500 kg está pendurada em uma pe reira por uma mola ideal de massa desprezível Quando a perdiz é puxada para baixo a uma distância de 0100 m abaixo de sua posição de equilíbrio e liberada ela oscila com um período igual a 420 s a Qual é sua velocidade quando ela passa pela posição de equilíbrio b Qual é sua aceleração quando ela está a 0050 m acima da posição de equilíbrio c Quando ela está se movendo para cima quanto tempo é necessário para que ela se mova de um ponto 0050 m abaixo da posição de equilíbrio até um ponto 0050 m acima dessa posição d o movimento da perdiz é inter rompido e ela é removida da mola o quanto a mola se encurta 1378 um parafuso de 00200 kg executa um Mhs com am plitude igual a 0240 m e período igual a 1500 s o deslocamento do parafuso é igual a 0240 m quando t 0 calcule a o deslocamento do parafuso quando t 0500 s b o módulo a direção e o sentido da força que atua sobre o parafuso quando t 0500 s c o tempo mínimo necessário para que o parafuso se desloque da posição inicial até um ponto x 0180 m d a velocidade do parafuso quando x 0180 m 1379 PC MHS da balança de um açougue uma mola de massa desprezível e constante k 400 Nm está suspensa vertical mente e um prato de 0200 kg está suspenso em sua extremidade inferior um açougueiro deixa cair sobre o prato de uma altura de 040 m uma peça de carne de 22 kg a peça produz uma colisão totalmente inelástica com o prato e faz o sistema executar um Mhs calcule a a velocidade do prato e da carne logo após a colisão b a amplitude da oscilação subsequente c o período desse movimento 1380 uma força de 400 N estica uma mola vertical de 0250 m a Qual é o valor da massa que deve ser suspensa da mola para que o sistema oscile com um período igual a 10 s b se a amplitude do movimento for igual a 0050 m e o período for o especificado no item a onde estará o objeto e em qual sentido ele estará se movendo 035 s depois de atravessar a posição de equilíbrio de cima para baixo c Quais são o módulo a direção e o sentido da força que a mola exerce sobre o objeto quando ele está 0030 m abaixo da posição de equilíbrio movendose para cima 1381 Não perca o barco Em visita a Minnesota a terra dos dez mil lagos você se inscreve em uma excursão ao redor de um dos maiores lagos ao chegar ao cais onde o barco de 1500 kg está ancorado você descobre que ele está oscilando com as ondas para cima e para baixo executando um movimento harmônico simples Figura P1373 Gancho L L L L BookSEARSVol2indb 76 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 77 com amplitude igual a 20 cm O barco leva 35 s para completar um ciclo de oscilação Quando o barco está em seu ponto mais alto o convés está na mesma altura que o cais Enquanto observa o barco oscilando você que possui massa de 60 kg começa a se sentir um pouco tonto em parte por ter comido peixe demais no jantar Em consequência você se recusa a embarcar a não ser que o nível do convés esteja a 10 cm ou menos do nível do cais Quanto tempo você tem para embarcar confortavelmente a cada ciclo do movimento de subida e descida 1382 PC Um exemplo interessante de oscilação embora impraticável é o movimento de um objeto que é deixado cair em um buraco que atravessa a Terra de um extremo ao outro passando pelo centro Usando a hipótese não realista de que a Terra seja uma esfera com densidade uniforme prove que o movimento é harmônico simples MHS e determine seu período Observação a força gravitacional que atua sobre o objeto em função da distância r ao centro da Terra foi calculada no Exemplo 1210 Seção 126 O movimento é harmônico simples quando a aceleração ax e o deslocamento do equilíbrio x são relacionados pela Equação 138 e o período é então dado por T 2pv 1383 PC A bala de um rifle com massa de 800 g e velo cidade horizontal inicial de 280 ms atinge e gruda em um bloco com massa de 0992 kg apoiado sobre uma superfície sem atrito e preso à extremidade de uma mola ideal A outra extremidade da mola está presa à parede O impacto comprime a mola a uma distância máxima de 150 cm Após o impacto o bloco se move em MHS Calcule o período desse movimento 1384 PC Duas esferas sólidas uniformes cada uma com massa M 0800 kg e raio R 00800 m são conectadas por uma barra leve e curta ao longo de um diâmetro de cada esfera e estão em repouso sobre uma mesa horizontal Uma mola com constante de força k 160 Nm tem uma ponta presa à parede e a outra presa a um anel sem atrito que passa pela barra no centro de massa das esferas na metade do percurso entre os centros das duas esferas Cada uma delas é puxada à mesma distância da parede esticando a mola e depois são liberadas Existe atrito suficiente entre a mesa e as esferas para que elas rolem sem deslizar enquanto oscilam na ponta da mola Mostre que o mo vimento do centro de massa das esferas é harmônico simples e calcule o período do movimento 1385 PC Na Figura P1385 a esfera de cima é liberada a partir do repouso colide com a esfera de baixo que está em repouso e gruda nela Ambos os fios têm 500 cm de comprimento A esfera de cima possui massa de 200 kg e está inicialmente a uma altura 100 cm acima da esfera de baixo cuja massa é igual a 30 kg Ache a frequência e o deslocamento angular máximo do movimento após a colisão 1386 Problema do sino silencioso Um sino grande de 340 kg está suspenso em uma viga de madeira de forma que possa oscilar com atrito desprezível O centro de massa do sino está situado 060 m abaixo do eixo de suspensão O momento de inércia do sino em relação ao eixo de suspensão é igual a 180 kg m2 O badalo do sino é uma pequena massa de 18 kg ligada à extremidade de uma barra delgada de comprimento L e massa desprezível A outra extremidade da barra está presa à parte in terna do sino de modo a poder oscilar livremente em torno do mesmo eixo do sino Qual deve ser o comprimento L da barra delgada do badalo do sino para que ele toque silenciosamente ou seja para que o período de oscilação do sino seja igual ao período de oscilação do badalo 1387 CALC Uma barra metálica delgada e homogênea de massa M possui um pivô em seu centro por onde passa um eixo perpendicular à barra Uma mola horizontal cuja constante é k possui uma extremidade presa na parte inferior da barra e sua outra extremidade está rigidamente presa a um suporte Quando a barra é deslocada formando um pequeno ângulo U com a vertical Figura P1387 e liberada mostre que a os cilação é um MHS angular e calcule seu período Dica suponha que o ân gulo U seja suficiente mente pequeno para que as relações sen U U e cos U 1 sejam válidas O movi mento é harmônico simples quando d2udt2 v2u e o período é então dado por T 2pv 1388 Duas hastes del gadas cada uma delas com massa m e comprimento L são conectadas perpendicu larmente de modo a forma rem um objeto em forma de L Esse objeto é equilibrado no topo de uma aresta aguda Figura P1388 Quando o objeto em forma de L é deslocado ligeiramente ele oscila Ache a frequência de oscilação 1389 DADOS Uma massa m é presa a uma mola com cons tante de força igual a 75 Nm e oscila A Figura P1389 mostra um gráfico de seu componente de velocidade vx em função do tempo t Ache a o período b a frequência e c a frequência angular desse movimento d Qual é a amplitude em cm e em que momentos a massa alcança essa posição e Ache o módulo da aceleração máxima da massa e os tempos em que ela ocorre f Qual é o valor de m Figura P1389 20 10 10 20 02 06 10 14 16 vx cms t s O 1390 DADOS Você pendura diversas massas m na ponta de uma mola vertical de 0250 kg que obedece à lei de Hooke Figura P1385 100 cm Figura P1387 u Figura P1388 L L M13SEARS00001SEC13indd 77 021015 157 PM 78 Física II Problemas com contexto BIo Vendo superfícies na nanoescala uma técnica para fazer imagens de superfícies em escala nanométrica incluindo membranas e biomoléculas é o microscópio dinâmico de força atômica Neste exemplo uma pequena ponta é presa a uma peça em balanço que é uma barra flexível retangular e apoiada em uma ponta como um trampolim de mergulho a peça vibra de modo que a ponta sobe e desce em um movimento harmônico simples Em um modo de operação a frequência ressonante para e é afunilada o que significa que o diâmetro muda ao longo do comprimento da mola como a massa da mola não é desprezível você precisa substituir m na equação T 2pmk por m mef onde mef é a massa efetiva da mola oscilando veja o Problema desafiador 1393 você varia a massa m e mede o tempo para 10 oscilações completas obtendo estes dados m kg 0100 0200 0300 0400 0500 Tempo s 87 105 122 139 151 a represente graficamente o quadrado do período T versus a massa suspensa a partir da mola e ache a linha reta do melhor ajuste b Pela inclinação dessa linha determine a constante de força da mola c Pela interceptação vertical da linha de termine a massa efetiva da mola d mef corresponde a qual fração de massa da mola e se uma massa de 0450 kg oscila na ponta da mola determine seu período frequência e fre quência angular 1391 dAdos Experimentando com pêndulos você prende um fio leve ao teto e uma pequena esfera de metal à ponta inferior do fio Quando você desloca a esfera por 200 m à esquerda ela quase toca na parede vertical com o fio esticado você solta a esfera do repouso a esfera oscila como um pêndulo simples e você mede seu período T Esse ato é repetido para fios de vários tamanhos L cada vez começando o movimento com a esfera deslocada 200 m à esquerda da posição vertical do fio Em cada caso o raio da esfera é muito pequeno em comparação com L seus resultados são dados na tabela a seguir Lm 1200 1000 800 600 500 400 300 250 230 Ts 696 636 570 495 454 408 360 335 327 a Para os cinco maiores valores de L represente graficamente T2 versus L Explique por que os pontos de dados ficam pró ximos de uma linha reta a inclinação dessa linha tem o valor que você esperava b acrescente os dados restantes ao seu gráfico Explique por que os dados começam a se desviar da linha reta à medida que L diminui Para ver esse efeito mais claramente desenhe o gráfico de TT0 versus L onde T0 2pLg e g 980 ms2 c use seu gráfico de TT0 versus L para estimar a amplitude angular do pêndulo em graus para a qual a equação T 2pLg tem um erro de 5 Problemas desafiadores 1392 A constante elástica efetiva de duas molas Duas molas ambas com o mesmo comprimento sem deformação porém com constantes diferentes k1 e k2 são ligadas a um bloco de massa m apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito Determine a constante efetiva da força kef para cada um dos três casos a b e c indicados na Figura P1392 a constante efetiva da força é obtida pela definição gFx kefx d um objeto de massa m suspenso da extremidade de uma mola cuja constante é k oscila com uma frequência f1 se a mola for cortada em duas metades e o mesmo objeto for sus penso em uma delas a frequência da oscilação será f2 Qual é a razão f1 f2 Figura P1392 k1 k2 m a k1 k2 m b k1 k2 m c 1393 CALC Mola com massa Em todos os pro blemas anteriores deste capítulo consideramos molas com massas desprezíveis Porém é claro que toda mola pos sui alguma massa Para estudar o efeito da massa da mola considere uma mola de massa M comprimento de equilí brio L0 e constante k Quando ela é comprimida ou esticada até atingir um comprimento L a energia potencial é U 1 2 kx2 onde x L L0 a considere uma mola como descrito an teriormente porém com uma extremidade fixa e a outra se deslocando com velocidade v suponha que a velocidade ao longo dos pontos do comprimento da mola varie linearmente com a distância l a partir da extremidade fixa suponha tam bém que a massa M da mola seja distribuída uniformemente ao longo do comprimento da mola calcule a energia cinética da mola em termos de M e de v Dica divida a mola em pe daços de comprimento dl ache a velocidade de cada pedaço em termos de l v e L calcule a massa de cada pedaço em ter mos de dl M e L e integre de 0 até L o resultado não é 1 2 Mv2 visto que a mola não se move com a mesma velocidade em todas as partes b tome a derivada em relação ao tempo da lei da conservação da energia Equação 1321 para um corpo de massa m preso a uma mola sem massa comparando os re sultados que você obteve com a Equação 138 que definiu v mostre que a frequência angular da oscilação é v km c aplique o procedimento indicado na parte b para obter a frequência angular v da oscilação da mola considerada na parte a se a massa efetiva da mola M for definida por v kM como se escreve M em termos de M BookSEARSVol2indb 78 021015 149 PM Capítulo 13 Movimento periódico 79 respostas resposta à pergunta inicial do capítulo i o movimento de vai e vem de uma perna durante a cami nhada é como um pêndulo físico para o qual o período de oscilação é T 2pImgd veja a Equação 1339 Nessa ex pressão I é o momento de inércia do pêndulo m é sua massa e d é a distância a partir do eixo de rotação até o centro de massa do pêndulo I é proporcional a m de modo que a massa se cancela nessa expressão para T Logo apenas as dimensões da perna importam veja os exemplos 139 e 1310 respostas às perguntas dos testes de compreensão 131 respostas a x 0 b x 0 c x 0 d x 0 e x 0 f x 0 a figura 132 mostra que o componente resultante no eixo Ox da força Fx e da aceleração ax são ambos positivos quando x 0 logo o corpo é deslocado para a esquerda e a mola é comprimida quando x 0 Fx e ax são ambas negativas assim o corpo é deslocado para a direita e a mola é esticada Portanto x e ax sempre apresentam sinais opostos isso é ver dade quer o objeto esteja se movendo para a direita vx 0 quer para a esquerda vx 0 ou mesmo se não estiver se mo vendo vx 0 já que a força exercida pela mola depende apenas do fato de ela estar comprimida ou esticada e de que compri mento isso explica as respostas de a até e se a aceleração for nula como em f a força resultante também deve ser nula e assim a mola não deve estar comprimida nem esticada logo x 0 132 respostas a A 010 m f 0 b A 010 m f 0 Em ambas as situações a velocidade inicial v0x no eixo Ox em t 0 não é nula Portanto pela Equação 1319 a amplitude A x0 2 1 v0x 2v22 é maior que a coordenada inicial no eixo Ox x0 010 m Pela Equação 1318 o ângulo de fase é dado por f arctan v0xvx0 sendo positivo se a grandeza v0xvx0 o argumento da função arcotangente for positivo e negativo se v0xvx0 for negativo Na parte a x0 e v0x são positivos portanto v0xvx0 0 e f 0 Na parte b x0 é positivo e v0x é negativo portanto v0xvx0 0 e f 0 133 respostas a iii b v Para aumentar a energia total E 1 2 kA2 de um fator 2 a amplitude A deve ser aumentada por um fator 2 como se trata de um Mhs a variação da amplitude não exerce nenhum efeito sobre a frequência 134 resposta i o período de oscilação de um corpo de massa m suspenso em uma mola de força constante k é dado por T 2p mk a mesma expressão que usamos para um corpo preso a uma mola horizontal Nem m nem k variam quando o aparelho é levado a Marte portanto o período não se altera a única diferença é que na posição de equilíbrio a mola se esticará de um comprimento menor em Marte do que na terra em razão da gravidade mais fraca 135 resposta iv assim como ocorre com um objeto os cilando em uma mola na posição de equilíbrio a velocidade do peso do pêndulo não varia momentaneamente isso ocorre quando a velocidade é máxima portanto sua derivada é zero nesse mo mento Entretanto a direção do movimento varia porque o peso do pêndulo executa uma trajetória circular assim o peso deve ter um componente da aceleração perpendicular ao deslocamento e orientado para o centro do círculo ver seção 34 Para produzir essa aceleração na posição de equilíbrio quando a mola está na vertical a força de tensão para cima nessa posição deve ser maior que o peso do pêndulo isso produz uma força resultante para cima sobre o peso do pêndulo e uma aceleração para cima na direção do centro da trajetória circular 136 resposta i o período de um pêndulo físico é dado pela Equação 1339 T 2pImgd a distância d L do pivô ao centro de gravidade é a mesma para a barra e para o pêndulo simples assim como a massa m isso significa que para qualquer ângulo de deslocamento u o mesmo torque restaurador age tanto sobre a barra quanto sobre o pêndulo simples Entretanto a barra possui um momento de inércia maior Ibarra 1 3 m12L22 4 3 mL2 e Ipêndulo mL2 toda a massa do pêndulo está a uma distância L do pivô Logo a barra possui um período maior 137 resposta ii as oscilações são subamortecidas com uma amplitude decrescente em cada ciclo de oscilação como uma peça com constante de força k 1000 Nm é de 100 khz À medida que a ponta oscilante é trazida para alguns nanô metros da superfície da amostra como mostra a figura ela experimenta uma força atrativa da superfície Para uma oscila ção com uma pequena amplitude normalmente 0050 nm a força F que a superfície da amostra exerce sobre a ponta varia linearmente com o deslocamento x da ponta F ksupx onde ksup é a constante de força efetiva para essa força a força re sultante sobre a ponta é portanto k ksupx e a frequência da oscilação muda ligeiramente em razão da interação com a superfície as medições da frequência enquanto a ponta se move por diferentes partes da superfície da amostra podem dar informações sobre a amostra Superfície da amostra Ponta 1394 se modelarmos o sistema vibratório como uma massa sobre uma mola qual é a massa necessária para conseguir a frequência ressonante desejada quando a ponta não estiver in teragindo com a superfície a 25 ng b 100 ng c 25 mg d 100 mg 1395 No modelo do Problema 1394 qual é a energia mecânica da vibração quando a ponta não está interagindo com a super fície a 12 1018 J b 12 1016 J c 12 109 J d 50 108J 1396 Por qual porcentagem a frequência de oscilação varia se ksup 5 Nm a 01 b 02 c 05 d 10 BookSEARSVol2indb 79 021015 149 PM 80 Física II representado graficamente na figura 1326 se as oscilações não fossem amortecidas elas continuariam indefinidamente com a mesma amplitude se elas fossem amortecidas criticamente ou superamortecidas o nariz não oscilaria para cima e para baixo e sim retornaria suavemente à posição de equilíbrio original sem ultrapassála 138 resposta i a figura 1328 mostra que a curva da am plitude em função da frequência angular da força propulsora é ascendente em todas as frequências à medida que a constante de amortecimento b diminui Logo para valores fixos de k e m o oscilador com o menor amortecimento menor valor de b apresentará a maior resposta diante de qualquer frequência da força propulsora Problema em destaque T 2p3M2k BookSEARSVol2indb 80 021015 149 PM oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 141 O que é a densidade de um material e a densidade média de um corpo 142 O que é a pressão em um fluido e como é medida 143 Como calcular a força de empuxo exercida por um fluido sobre um corpo nele imerso 144 A diferença entre fluido laminar e fluido turbulento e como a velocidade do escoamento em um tubo depende do tamanho desse tubo 145 Como usar a equação de Bernoulli em certos tipos de escoamento para relacionar a pressão à velocidade do escoamento em diferentes pontos 146 Como o fluido viscoso e o turbulento diferem do ideal Revendo conceitos de 71 Variação da energia mecânica quando forças que não são da gravidade realizam trabalho 114 Pressão e suas unidades O s fluidos desempenham papel vital em muitos aspectos de nossa vida coti diana Nós bebemos respiramos e nadamos em fluidos Eles circulam em nosso corpo e são responsáveis pelo clima a física dos fluidos portanto é fundamental para nosso conhecimento da natureza e da tecnologia vamos começar com a estática dos fluidos o estudo de fluidos em repouso em situação de equilíbrio analogamente a outras situações de equilíbrio ela se pauta na primeira e na terceira leis de Newton vamos analisar os conceitos básicos de densidade pressão e empuxo a dinâmica dos fluidos o estudo de fluidos em movimento é muito mais complexa tratase na verdade de um dos ramos mais complexos da mecânica felizmente podemos analisar muitas situações impor tantes utilizando modelos idealizados simples e princípios familiares como as leis de Newton e a lei da conservação da energia Mesmo assim trataremos apenas superficialmente deste vasto e interessante tópico 141 gAsEs LÍQUIdos E dENsIdAdE um fluido é qualquer substância que pode escoar e alterar a forma do volume que ele ocupa ao contrário um sólido tende a manter sua forma usamos o termo fluido para gases e líquidos a principal diferença entre eles é que um líquido tem coesão e um gás não as moléculas em um líquido estão próximas umas das outras de modo que podem exercer forças de atração umas sobre as outras e assim tendem a permanecer juntas ou seja coesas é por isso que uma quantidade de líquido mantém o mesmo volume enquanto flui se você derramar 500 ml de água em uma tigela a água ainda ocupará um volume de 500 ml as moléculas de gás ao contrário são separadas na média por distâncias muito maiores que o tamanho de uma molécula Logo as forças entre as moléculas são fracas há pouca ou nenhuma mECÂNiCA Dos FluiDos 14 Um pequeno peixe colorido chamado wrasse Halicho eres melanurus tem cerca de 10 cm de comprimento e pode flutuar no oceano com pouco esforço enquanto uma raia manta Manta birostris tem mais de 5 m de comprimento e precisa bater suas nadadeiras continuamente para não afun dar Qual item explica melhor a diferença Uma raia jamanta tem i uma forma diferente ii maior massa iii maior volume iv maior produto de massa e volume v maior razão entre massa e volume BookSEARSVol2indb 81 021015 149 PM 82 Física II coesão e um gás pode facilmente mudar de volume se você abrir a válvula em um tanque de oxigênio comprimido que possui um volume de 500 ml o oxigênio se expandirá para um volume muito maior uma propriedade importante de qualquer material fluido ou sólido é sua den sidade definida como a massa por unidade de volume Em português um sinô nimo de densidade é massa específica um material homogêneo como o gelo ou o ferro possui a mesma densidade em todas as suas partes usaremos a letra grega r pronunciase rô para simbolizar a densidade Para um material homogêneo 141 Massa do material Volume ocupado pelo material Densidade de um material homogêneo V m r Dois objetos feitos com o mesmo material possuem a mesma densidade mesmo que tenham massas e volumes diferentes isso acontece porque a razão entre a massa e o volume é a mesma para ambos os objetos Figura 141 a unidade si de densidade é o quilograma por metro cúbico 1 kgm3 a uni dade cgs grama por centímetro cúbico 1 gcm3 também é muito empregada o fator de conversão entre ambas é 1 gcm3 1000 kgm3 Na Tabela 141 listamos as densidades de algumas substâncias comuns em tem peraturas normais observe a grande variedade das ordens de grandeza o material mais denso encontrado na superfície terrestre é o ósmio r 22500 kgm3 porém essa densidade é muito pequena se comparada à densidade de corpos astronômicos exóticos como a estrela de nêutrons e a anã branca a densidade relativa de um material é a razão entre a densidade do material e a densidade da água a 40 c 1000 kgm3 tratase de um número puro sem unidades Por exemplo a densidade relativa do alumínio é 27 a densidade de alguns materiais varia de um ponto a outro no interior do material um exemplo disso é o corpo humano que inclui gordura de baixa densidade cerca de 940 kgm3 e ossos de alta densidade de 1700 a 2500 kgm3 Dois outros exemplos são a atmosfera terrestre que é menos densa em altitudes elevadas e os oceanos que são mais densos em profundidades elevadas Para esses materiais a Equação 141 descreve apenas a densidade média Em geral a densidade de um material depende de fatores ambientais como a temperatura e a pressão TABElA 141 Densidades de algumas substâncias comuns Material Densidade kgm3 Material Densidade kgm3 ar 1 atm 20 c 120 ferro aço 78 103 Etanol 081 103 Bronze 86 103 Benzeno 090 103 cobre 89 103 Gelo 092 103 Prata 105 103 Água 100 103 chumbo 113 103 Água do mar 103 103 Mercúrio 136 103 sangue 106 103 ouro 193 103 Glicerina 126 103 Platina 214 103 concreto 2 103 Estrela anã branca 1010 alumínio 27 103 Estrela de nêutrons 1018 Para obter a densidade em gramas por centímetro cúbico simplesmente divida os valores por 103 Figura 141 Dois objetos de massas diferentes e volumes diferentes mas com a mesma densidade Chave inglesa de aço Prego de aço Massas diferentes mesma densidade tanto a chave inglesa quanto o prego por serem feitos de aço possuem a mesma densidade massa por unidade de volume BIo Aplicação Coesão líquida em árvores Como é que as árvores algumas delas crescendo até mais de 100 m fornecem água às suas folhas mais altas A resposta está nas forças coesivas fortes entre as moléculas da água no estado líquido Estreitos canais dentro da árvore se estendem desde as raízes até as folhas À medida que a água se evapora das folhas as forças de coesão puxam a água substituta para cima através desses canais BookSEARSVol2indb 82 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 83 ache a massa e o peso do ar a 20 c no interior de uma sala de estar com altura de 30 m e piso com área de 40 m 50 m Quais seriam a massa e o peso de um volume igual de água soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR vamos supor que o ar seja homo gêneo de modo que a densidade seja a mesma em toda a sala é verdade que o ar é menos denso em regiões elevadas do que perto do nível do mar mas a densidade varia muito pouco para uma sala com 30 m de altura veja a seção 142 usaremos a Equação 141 para relacionar a massa mar com o volume V que iremos calcular a partir das dimensões da sala e a densidade rar conforme a tabela 141 EXECUTAR o volume da sala é V 40 m 50 m 30 m 60 m3 Logo pela Equação 141 mar rarV 120 kgm3 60 m3 72 kg Par mar g 72 kg 98 ms2 700 N 160 libras a massa e o peso de um volume igual de água são mágua rágua V 1000 kgm3 60 m3 60 104 kg Págua mágua g 60 104 kg 98 ms2 59 105 N 13 105 libras 66 toneladas AVALIAR uma sala cheia de ar pesa o mesmo que um adulto de tamanho médio a água é quase mil vezes mais densa que o ar e sua massa e peso são maiores nesse mesmo fator o peso de uma sala cheia de água faria com que o piso de uma casa comum afundasse ExEmPlo 141 PESO DO AR NO INTERIOR DE UMA SALA TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 141 coloque os seguintes objetos em ordem da maior à menor densidade média i massa 400 kg volume V 160 103 m3 ii m 800 kg V 160 103 m3 iii m 800 kg V 320 103 m3 iv m 2560 kg V 0640 m3 v m 2560 kg V 128 m3 142 PrEssÃo Em Um FLUIdo um fluido exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele como a parede do recipiente ou um corpo imerso no fluido Essa é a força que pressiona suas pernas quando você as movimenta em uma piscina Embora o fluido como um todo esteja em repouso as moléculas que o constituem estão em movimento as forças exercidas pelo fluido são oriundas das colisões moleculares com as superfícies vizinhas se pensarmos em uma superfície imaginária no interior do fluido este exerce forças iguais e contrárias sobre os dois lados da superfície caso contrário a su perfície seria acelerada e o fluido não estaria em repouso considere uma pequena superfície de área dA centralizada em um ponto do fluido a força normal exercida pelo fluido sobre cada lado da superfície é dF Figura 142 Definimos a pressão P nesse ponto como a força normal por unidade de área ou seja pela razão entre dF e dA Figura 143 142 P dA dF Força normal exercida pelo fuido sobre uma pequena superfície nesse ponto Área de superfície Pressão em um ponto em um fuido Quando a pressão for a mesma em todos os pontos de uma superfície plana de área A então P F A 143 onde F é a força normal resultante sobre um dos lados da superfície a unidade si de pressão é o pascal onde 1 pascal 1 Pa 1 Nm2 Já havíamos trabalhado com o pascal no capítulo 11 Duas unidades relaciona das usadas principalmente em meteorologia são o bar igual a 105 Pa e o milibar igual a 100 Pa a pressão atmosférica Pa é a pressão exercida pela atmosfera terrestre a pres são no fundo desse oceano de ar em que vivemos Essa pressão varia com as condições do tempo e com a altitude a pressão atmosférica normal ao nível do A superfície não acelera então o fuido circundante exerce forças normais iguais em ambos os lados da superfície O fuido não pode exercer qualquer força paralela à superfície já que isso faria com que a superfície acelerasse dA dF dF Uma pequena superfície de área d A no interior de um fuido em repouso Figura 142 forças atuando sobre uma pequena superfície dentro de um fluido em repouso a pressão sobre elas a força dividida pela área é a mesma e é escalar Embora essas duas superfícies difram em área e orientação dA 2dA dF dF 2dF 2dF Figura 143 a pressão é uma grandeza escalar com unidades de newtons por metro quadrado Já a força é uma grandeza vetorial e sua unidade é o newton BookSEARSVol2indb 83 021015 149 PM 84 Física II mar um valor médio é 1 atm atmosfera equivalente a 101325 Pa com quatro algarismos significativos Pam 1 atm 1013 105 Pa 1013 bar 1013 millibar 1470 lbpol2 ATENÇÃo Não confunda pressão e força Na linguagem cotidiana pressão e força significam praticamente o mesmo contudo na mecânica dos fluidos essas palavras descrevem grandezas distintas com características físicas diferentes a pressão do fluido sempre atua ortogonalmente sobre qualquer superfície orientada em qualquer direção figura 143 Portanto a pressão não tem nenhuma direção própria tratase de uma grandeza escalar Em contraste a força é uma grandeza vetorial que possui módulo di reção e sentido Lembrese também de que a pressão é força por unidade de área como mostra a figura 143 uma superfície com o dobro da área é submetida ao dobro da força pelo fluido de modo que a pressão é a mesma Na sala descrita no Exemplo 141 ache a força total de cima para baixo exercida pela pressão do ar de 100 atm sobre a superfície do piso soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este exemplo usa a relação entre a pressão P de um fluido neste caso o ar a área A sobre a qual essa força age e a força normal F exercida pelo fluido a pres são é uniforme então usamos a Equação 143 F PA para determinar F a superfície do piso é horizontal portanto F é vertical de cima para baixo EXECUTAR a área do piso é A 40 m 50 m 20 m2 logo a Equação 143 fornece F PA 1013 105 Nm2 20 m2 20 106 N 46 105 lb 230 toneladas AVALIAR diferente da água no Exemplo 141 F não é sufi ciente para fazer o piso afundar porque há uma força de igual módulo exercida de baixo para cima sobre o piso se a casa tiver um porão essa força é fornecida pelo ar existente embaixo do piso Nesse caso desprezandose a espessura do piso a força resultante exercida pela pressão do ar é igual a zero ExEmPlo 142 A FORÇA DO AR Pressão profundidade e lei de Pascal Quando desprezamos o peso do fluido a pressão no interior do fluido é a mesma em todos os pontos de seu volume Na seção 114 usamos essa aproximação na discussão da tensão e da deformação volumétrica Porém geralmente o peso de um fluido não é desprezível as variações de pressão são importantes a pressão atmosférica em altitudes elevadas é menor que a pressão atmosférica ao nível do mar por essa razão a cabine de um avião deve ser pressurizada Quando você mergulha em águas profundas seus ouvidos informam a você que a pressão está crescendo com o aumento da profundidade Podemos deduzir uma expressão geral entre a pressão P em um dado ponto no interior de um fluido em repouso e a altura y desse ponto vamos supor que a den sidade r e a aceleração da gravidade g permaneçam constantes em todos os pontos do fluido ou seja a densidade é uniforme Quando o fluido está em equilíbrio qualquer elemento fino do fluido com espessura dy também está em equilíbrio Figura 144a as superfícies inferior e superior possuem área A e estão em elevações y e y dy acima de algum nível de referência onde y 0 o volume do elemento de fluido é dV A dy sua massa é dm r dV rA dy e seu peso é dP dm g gA dy Quais são as outras forças que atuam sobre esse elemento de fluido figura 144b chame de P a pressão na superfície inferior o componente y da força resultante que atua sobre essa superfície é PA a pressão na superfície superior é P dP e o componente y da força resultante que atua de cima para baixo sobre a superfície superior é P dPA o elemento de fluido está em equilíbrio logo o componente y da força total resultante incluindo o peso e as outras forças men cionadas deve ser igual a zero gFy 0 logo PA P dP A rgA dy 0 a Força decorrente da aressão P dP sobre a superfície superior As forças sobre os quatro lados do elemento se anulam Como o fuido está em equilíbrio a soma vetorial das forças verticais sobre o elemento de fuido deve ser igual a zero PA P dPA dP 0 Força decorrente da pressão P sobre a superfície inferior Peso do elemento de fuido y dy 0 Um elemento de fuido em repouso com área A e altura dy b dy dP PA P dPA A Figura 144 as forças que atuam sobre um elemento de fluido em equilíbrio BookSEARSVol2indb 84 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 85 Dividindo pela área A e reagrupando os termos obtemos dP dy rg 144 Esta equação mostra que quando y aumenta P diminui ou seja à medida que subimos através do fluido a pressão diminui como era de se esperar se P1 e P2 forem respectivamente as pressões nas alturas y1 e y2 e se r e g permanecerem constantes então P2 P1 rgy2 y1 145 Diferença de pressão entre dois pontos em um fuido de densidade uniforme Aceleração decorrente da gravidade g 7 0 Densidade uniforme do fuido Alturas dos dois pontos costuma ser mais conveniente expressar a Equação 145 em termos da pro fundidade abaixo da superfície do fluido Figura 145 considere o ponto 1 em qualquer nível do fluido e seja P a pressão nesse nível considere o ponto 2 na superfície do fluido onde a pressão é P0 subscrito 0 para a profundidade zero a profundidade do ponto 1 abaixo da superfície do fluido é h y2 y1 e a Equação 145 pode ser escrita na forma P0 P rg y2 y1 rgh ou P P0 rgh 146 Pressão na profundidade h em um fuido com densidade uniforme Pressão na superfície do fuido Aceleração decorrente da gravidade g 7 0 Profundidade abaixo da superfície Densidade uniforme do fuido a pressão P em uma profundidade h é maior que a pressão P0 na superfície e a diferença entre elas é rgh observe que a pressão em qualquer dos dois pontos do fluido é sempre igual em todos os pontos no mesmo nível do fluido a forma do recipiente não altera essa pressão Figura 146 a Equação 146 mostra que se aumentarmos o valor da pressão P0 no topo da superfície possivelmente usando um pistão que se adapta firmemente ao interior do recipiente e empurra a superfície do fluido para baixo a pressão P em qualquer profundidade do fluido aumenta de um valor exatamente igual ao do aumento da pressão Esse fato é chamado de lei de Pascal LEI dE PAsCAL a pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente um elevador hidráulico Figura 147 ilustra a lei de Pascal um pistão cuja seção reta possui pequena área A1 exerce uma força F1 sobre a superfície de um líquido como um óleo a pressão aplicada P F1A1 é transmitida integralmente através dos tubos até um pistão maior com área A2 a pressão aplicada nos dois cilindros é a mesma logo P F1 A1 F2 A2 e F2 A2 A1 F1 147 o elevador hidráulico é um dispositivo que multiplica o valor de uma força e o fator de multiplicação é dado pela razão entre as áreas dos dois pistões cadeiras de dentista elevadores de carro macacos hidráulicos diversos elevadores e freios hidráulicos são exemplos de aplicação desse princípio Diferença de pressão entre os níveis 1 e 2 P2 P1 rgy2 y1 A pressão é maior no nível mais baixo A uma profundidade h a pressão P é igual à pressão de superfície P0 mais a pressão rgh decorrente do fuido sobreposto P P0 rgh P2 P0 P1 P y1 y2 y2 y1 h 2 1 Fluido densidade r Figura 145 como a pressão varia com a profundidade em um fluido com densidade uniforme A pressão na base de cada coluna de líquido possui o mesmo valor P A pressão no topo de cada coluna de líquido é a pressão atmosférica P0 A diferença entre P e P0 é rgh onde h é a distância do topo à base da coluna de líquido Logo todas as colunas apresentam a mesma altura h Figura 146 todas as colunas de fluido apresentam a mesma altura independentemente de sua forma BookSEARSVol2indb 85 021015 149 PM 86 Física II F2 PA2 F1 PA1 Uma força pequena é aplicada a um pistão pequeno Como a pressão P é a mesma em todos os pontos em determinada altura no fuido um pistão com área maior na mesma altura experimenta uma força maior Figura 147 o elevador hidráulico é uma aplicação da lei de Pascal Para maior clareza o tamanho do recipiente que contém o fluido está exagerado Em se tratando de gases a hipótese de que a densidade r permanece constante é realista apenas para pequenas diferenças de altura Em uma sala com 30 m de altura cheia de ar com densidade uniforme igual a 12 kgm3 a diferença de pressão entre o piso e o teto de acordo com a Equação 146 é rgh 12 kgm3 98 ms2 30 m 35 Pa ou cerca de 000035 atm uma diferença muito pequena contudo entre o nível do mar e o topo do Monte Everest 8882 m a densidade do ar varia de um fator aproximadamente igual a 3 e neste caso não podemos usar a Equação 146 Em contraste um líquido é aproximadamente incompressível portanto geralmente é uma boa aproximação considerar sua densidade como indepen dente da pressão Pressão absoluta e pressão manométrica se a pressão no interior do pneu de um automóvel fosse igual à pressão atmosfé rica o pneu ficaria arriado a pressão deve ser maior que a pressão atmosférica para que ele possa sustentar o peso do carro logo a grandeza física importante neste caso é a diferença entre as pressões interna e externa Quando dizemos que a pressão de um pneu é de 32 libras na realidade 32 lbpol2 igual a 220 kPa ou 22 105 Pa queremos dizer que ela é maior que a pressão atmosférica 147 lbpol2 ou 101 105 Pa por esse valor a pressão total no pneu é então 47 lbpol2 320 kPa o excesso de pressão acima da atmosférica denominase pressão manométrica e a pressão total denominase pressão absoluta Quando a pressão absoluta for menor que a atmosférica como no caso de um recipiente no qual existe um vácuo parcial a pressão manométrica é negativa um tanque de armazenamento de 120 m de profundidade está cheio de água o topo do tanque é aberto ao ar Qual é a pressão absoluta no fundo do tanque Qual é a pressão manométrica soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a tabela 112 indica que a água é quase sempre incompressível de modo que podemos tratála como um fluido de densidade uniforme o nível da parte supe rior do tanque corresponde ao ponto 2 na figura 145 e o nível do fundo do tanque corresponde ao ponto 1 Logo a variável que queremos encontrar é P na Equação 146 temos h 120 m e P0 1 atm 101 105 Pa EXECUTAR de acordo com a Equação 146 a pressão absoluta é P P0 rgh 101 105 Pa 1000 kgm3 980 ms2 120 m 219 105 Pa 216 atm 318 lbpol2 a pressão manométrica é P P0 219 101 105 Pa 118 105 Pa 116 atm 171 lbpol2 AVALIAR quando um tanque possui um manômetro ele nor malmente é calibrado para medir a pressão manométrica e não a pressão absoluta ExEmPlo 143 CÁLCULO DAS PRESSÕES MANOMÉTRICA E ABSOLUTA BookSEARSVol2indb 86 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 87 Pressão manométrica o manômetro mais simples é o manômetro de tubo aberto que vemos na Figura 148a o tubo em forma de u contém um líquido de densidade r geralmente mer cúrio ou água uma das extremidades do tubo está conectada ao recipiente onde desejamos medir a pressão P e a outra extremidade está aberta para a atmosfera a uma pressão P0 Patm a pressão na base do tubo decorrente do fluido da coluna da esquerda é P rgy1 e a pressão na base do tubo decorrente do fluido da coluna da direita é Patm rgy2 como essas pressões referemse ao mesmo ponto elas são iguais P rgy1 Patm rgy2 148 P Patm rgy2 y1 rgh Na Equação 148 P é a pressão absoluta e a diferença P Patm entre as pres sões absoluta e atmosférica é a pressão manométrica Logo a pressão manométrica é proporcional à diferença na altura h y2 y1 entre as duas colunas do líquido outro tipo comum de manômetro é o barômetro de mercúrio Ele consiste em um longo tubo de vidro fechado em uma extremidade previamente preenchido com mercúrio e posteriormente invertido em um recipiente que contém mercúrio figura 148b o espaço acima da coluna de mercúrio contém apenas vapor de mercúrio sua pressão extremamente pequena pode ser desprezada de modo que a pressão P0 no topo da coluna de mercúrio é praticamente igual a zero De acordo com a Equação 146 Patm 0 rgy2 y1 rgh 149 Portanto o barômetro mede a pressão atmosférica Patm diretamente a partir da altura h da coluna de mercúrio Em muitas aplicações as pressões são descritas pela altura da coluna de mercúrio correspondente como um certo valor de milímetros de mercúrio ou de forma abre viada mmhg a pressão equivalente a 1 mmhg denominase 1 torr em homenagem a Evangelista torricelli o inventor do barômetro de mercúrio Mas essas unidades dependem da densidade do mercúrio que pode variar com a temperatura e de g que varia com o local portanto o pascal é a unidade de pressão preferida Muitos tipos de manômetro usam um recipiente flexível selado Figura 149 uma variação de pressão fora ou dentro do recipiente produz uma variação de suas dimensões Essa variação pode ser medida elétrica óptica ou mecanicamente A pressão é a mesma na base dos dois tubos Há um quase vácuo na parte superior do tubo A altura a que o mercúrio sobe depende da pressão atmosférica exercida sobre ele no prato Pressão P P0 Patm h y2 y1 y2 y1 a Manômetro de tubo aberto P rgy1 Patm rgy2 P0 0 P Patm b Barômetro de mercúrio h y2 y1 y2 y1 Figura 148 Dois tipos de manômetro BIo Aplicação Pressão manométrica arterial As leituras de pressão arterial como 13080 informam as pressões manométricas máxima e mínima nas artérias medidas em mmHg ou torr A pressão sanguínea varia com a posição vertical dentro do corpo o ponto de referência padrão é a parte superior do braço no nível do coração BookSEARSVol2indb 87 021015 149 PM 88 Física II Figura 149 a um manômetro Bourdon Quando a pressão no interior do recipiente aumenta o tubo infla ligeiramente produzindo uma deflexão do ponteiro sobre a escala b um manômetro Bourdon usado em um tanque de gás comprimido a pressão no manômetro mostrada está pouco acima de 5 bars 1 bar 105 Pa Pressão P sendo medida b a Tubo de pressão fexível Entrada As variações na pressão de entrada fazem com que o tubo se mova movendo o ponteiro o tubo de um manômetro é parcialmente preenchido com água Despejase óleo que não se mistura com a água no braço es querdo do tubo até que a linha de separação entre o óleo e a água esteja na metade do recipiente como mostra a Figura 1410 ambos os braços do tubo são abertos para o ar Encontre a relação entre as alturas hóleo e hágua Figura 1410 Nosso esboço para esse problema hágua rágua r0 r0 róleo hóleo soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a figura 1410 mostra nosso esboço a relação entre pressão e profundidade dada na Equação 146 aplicase apenas a fluidos de densidade uniforme temos dois flui dos de densidades diferentes de modo que precisamos escrever uma relação entre a pressão e a profundidade para cada fluido se paradamente Note que as duas colunas de fluido possuem pressão P na base onde os fluidos estão em contato e em equilíbrio e as duas colunas estão na pressão atmosférica P0 no topo onde os dois fluidos estão em contato com o ar e em equilíbrio com ele EXECUTAR aplicando a Equação 146 a cada um dos dois flui dos obtemos P P0 ráguaghágua P P0 róleoghóleo como a pressão P no fundo do tubo é a mesma nos dois fluidos igualamos as duas expressões e resolvemos para hóleo em termos de hágua hóleo rágua hágua róleo AVALIAR a água rágua 1000 kgm3 é mais densa que o óleo róleo 850 kgm3 de modo que hóleo é maior que hágua como mostra a figura 1410 ou seja a altura do óleo que tem menor densidade precisa ser maior para produzir a mesma pressão P ao fundo do tubo ExEmPlo 144 A HISTÓRIA DE DOIS FLUIDOS TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 142 o mercúrio é menos denso em tempe raturas elevadas que em temperaturas baixas suponha que você leve um barômetro de mercúrio do interior gelado de um refrigerador bem fechado para o ar livre em um dia quente de verão e descubra que a coluna de mercúrio continua na mesma altura no tubo comparada à pressão do ar dentro do refrigerador a pressão ao ar livre é i maior ii menor ou iii igual Despreze as pequenas variações nas dimensões do tubo em virtude da variação da temperatura 143 EmPUXo um corpo imerso na água parece possuir um peso menor que no ar Quando o corpo possui densidade menor que a do fluido ele flutua o corpo humano normal mente flutua na água e um balão cheio de hélio flutua no ar Estes são exemplos de empuxo um fenômeno descrito pelo princípio de Arquimedes BookSEARSVol2indb 88 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 89 PrINCÍPIo dE ArQUImEdEs quando um corpo está parcial ou completa mente imerso em um fluido este exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo Para demonstrar esse princípio consideramos uma porção qualquer de fluido em repouso Na Figura 1411a a linha tracejada externa indica a superfície que delimita essa porção do fluido as setas rotuladas com dF representam as forças exercidas pelo fluido vizinho sobre a superfície da porção o fluido todo está em equilíbrio logo o componente y da força resultante deve ser igual a zero Portanto a soma dos componentes y das forças que atuam sobre a superfície deve ser uma força para cima com módulo igual ao peso mg do fluido no interior da superfície além disso a soma dos torques sobre a porção do fluido deve ser igual a zero de forma que a linha de ação da força resultante deve passar pelo centro de gravidade dessa porção do fluido agora substituímos o elemento de fluido por um corpo sólido com uma forma exatamente igual à do elemento considerado figura 1411b a pressão em cada ponto é exatamente a mesma que a anterior assim a força para cima exercida pelo fluido é também a mesma novamente igual ao peso mg do fluido deslocado que abriu espaço para o corpo Essa força para cima denominase força de empuxo sobre o corpo sólido a linha de ação da força de empuxo novamente passa pelo centro de gravidade do fluido deslocado que não coincide necessariamente com o centro de gravidade do corpo Quando um balão flutua em equilíbrio no ar seu peso incluindo o gás de seu interior deve ser igual ao peso do ar deslocado pelo balão o corpo de um peixe é mais denso que a água e mesmo assim o peixe flutua quando colocado dentro da água porque possui uma cavidade cheia de gás dentro do corpo isso torna a densidade média do peixe igual à da água de forma que seu peso total é o mesmo que o peso da água que ele desloca um corpo cuja densidade média é menor que a do líquido pode flutuar parcialmente submerso na superfície livre do líquido um navio feito de aço que é muito mais denso que a água pode flutuar porque a densidade é menor que a da água Quanto maior for a densidade do líquido menor é a parte do corpo submersa Quando você nada na água do mar densidade igual a 1030 kgm3 seu corpo flutua mais facilmente do que quando você nada na água doce 1000 kgm3 outro exemplo familiar é o densímetro um dispositivo usado para determinar a densidade de líquidos Figura 1412a um flutuador calibrado afunda no líquido até que seu peso se torne exatamente igual ao do fluido deslocado o flutuador do densímetro em um líquido mais denso flutua em uma altura mais elevada que a altura em um líquido menos denso e uma escala na haste superior permite a leitura direta da densidade Densímetros como este são usados em diagnóstico médico para medir a densidade da urina que depende do nível de hidratação do paciente a figura 1412b mostra um tipo de densímetro geralmente usado para medir a densi dAdos mosTrAm Empuxo Quando os alunos recebiam um problema sobre empuxo mais de 25 davam uma resposta incor reta Erros comuns Esquecer que a força de empuxo sobre um objeto depende da densidade do fluido e do volume submergido do objeto mas não da densidade desse objeto Esquecer que a força de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do fluido deslocado que não precisa ser igual ao peso do objeto A profundidade em que a escala cujo peso é conhecido mergulha informa a densidade do fuido O peso no fundo faz com que a escala futue em pé a Um densímetro simples b Usando um densímetro para medir a densidade do ácido da bateria ou do anticongelante Figura 1412 Medindo a densidade de um fluido a b Porção de fuido substituída por um corpo sólido de mesmo tamanho e forma cg cg Uma porção qualquer de fuido em equilíbrio As forças da pressão sobre a porção de fuido somamse constituindo uma força de empuxo que é igual em módulo ao peso da porção dF dF dF B B dF dF dF pfuido dF dF dF dF dF dF dF dF dF pcorpo dF As forças decorrentes da pressão são iguais então o corpo é submetido à mesma força de empuxo que a porção de fuido independentemente do peso do corpo Figura 1411 Princípio de arquimedes BookSEARSVol2indb 89 021015 149 PM 90 Física II dade do ácido de uma bateria ou de um anticongelante a extremidade inferior do tubo maior é imersa no líquido e o bulbo é comprimido para expelir o ar e a seguir liberado funcionando como um contagotas gigante o líquido sobe no tubo e o flutuador atinge o equilíbrio na amostra do líquido uma estátua de ouro sólido de 150 kg está sendo içada de um navio submerso Figura 1413a Qual é a tensão no cabo de sustentação desprezando sua massa quando a estátua está em repouso a completamente submersa b fora da água Figura 1413 Qual é a tensão no cabo que sustenta a estátua a Estátua submersa em equilíbrio y T B x mg 147 N b Diagrama do corpo livre para a estátua soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR nos dois casos a estátua está em equilíbrio e experimenta três forças seu peso a tensão do cabo e uma força de empuxo igual em módulo ao peso do fluido deslocado pela estátua água do mar na parte a ar na parte b a figura 1413b mostra o diagrama de forças da estátua em equilíbrio Nossas variáveisalvo são a tensão na água do mar Tágua e no ar Tar o problema forneceu a massa mestátua e podemos calcular a força de empuxo na água do mar Bágua e no ar Bar por meio do princípio de arquimedes EXECUTAR a para encontrar o empuxo Bágua calcule pri meiro o volume V da estátua verificando a densidade do ouro na tabela 141 V mestátua rouro 150 kg 193 103 kgm3 777 104 m3 a força de empuxo Bágua é igual ao peso desse mesmo volume de água do mar usando a tabela 141 mais uma vez Bágua págua máguag ráguaVg 103 103 kgm3 777 104 m3 98 ms2 784 N como a estátua está em repouso a força externa resultante que atua sobre ela é igual a zero Pela figura 1413b gFy Bágua Tágua mestátuag 0 Tágua mestátuag Bágua 150 kg 980 ms2 784 N 147 N 784 N 139 N se um dinamômetro for preso à extremidade superior do cabo ele indicará 784 N a menos que o peso real da estátua mestátuag 147 N b a densidade do ar é aproximadamente igual a 12 kgm3 de modo que a força de empuxo do ar sobre a estátua é Bar rarVg 12 kgm3 777 104 m3 980 ms2 91 103 N isso é desprezível em relação ao peso real da estátua mestátuag 147 N assim dentro da precisão requerida neste problema a tensão no cabo com a estátua no ar é Tar mestátuag 147 N AVALIAR note que o empuxo é proporcional à densidade do fluido não à densidade da estátua Quanto mais denso é o fluido maior o empuxo e menor a tensão no cabo se o fluido tivesse a mesma densidade que a estátua o empuxo seria igual ao peso da estátua e a tensão seria zero o cabo ficaria frouxo se o fluido fosse mais denso que a estátua a tensão seria negativa o empuxo seria maior que o peso da estátua e uma força de cima para baixo seria necessária para impedir a estátua de emergir ExEmPlo 145 EMPUXO Tensão superficial se um objeto é menos denso que a água ele flutua com parte de seu volume abaixo da superfície um clipe de papel por outro lado pode flutuar sobre a superfície da água embora sua densidade seja diversas vezes maior que a dela Essas situações exemplificam o fenômeno da tensão superficial a superfície do líquido se comporta como uma membrana submetida à tensão Figura 1414 a tensão superficial ocorre porque as moléculas de um líquido exercem forças de atração mútuas a força resultante sobre qualquer molécula situada no interior do volume do líquido é igual a zero porém uma molécula na superfície é puxada para dentro do volume Figura 1415 ou seja o líquido tende a minimizar a área da superfície da mesma forma que uma membrana esticada Figura 1414 a superfície da água age como uma membrana sob tensão permitindo que essa aranha dágua literalmente ande sobre as águas BookSEARSVol2indb 90 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 91 a tensão superficial explica por que gotas de chuva caindo livremente são es féricas e não em forma de lágrimas a esfera é a forma que possui a menor área superficial para um dado volume isso explica também por que água com sabão serve para a limpeza Para lavar bem as roupas a água precisa ser forçada a entrar nos minúsculos espaços entre as fibras Figura 1416 isso exige um aumento na área superficial da água que é difícil de obter em virtude da tensão superficial a tarefa se torna mais simples aumentando a temperatura da água e adicionando sabão pois ambos os procedimentos diminuem essa tensão a tensão superficial é importante para uma gota de água de tamanho milimétrico que possui área superficial relativamente grande para seu volume uma esfera de raio r tem área superficial igual a 4pr2 e volume igual a 4p3r3 a razão entre a área superficial e o volume é de 3r que aumenta à medida que o raio diminui Para grandes quantidades de líquido contudo a razão entre a área superficial e o volume é relativamente pequena e a tensão superficial é desprezível se comparada às forças de pressão Durante o restante deste capítulo consideraremos apenas fluidos em grandes quantidades e portanto desprezaremos os efeitos da tensão superficial TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 143 você coloca um recipiente de água do mar em uma balança e verifica seu peso a seguir você mergulha a estátua do Exemplo 145 dentro da água suspendendoa por um fio Figura 1417 como a leitura do peso na balança varia i aumenta em 784 N ii diminui em 784 N iii permanece igual iv nenhuma das anteriores Figura 1416 a tensão superficial dificulta a penetração da água entre fendas pequenas a pressão da água P necessária pode ser reduzida usandose água quente com sabão que possui tensão superficial menor Fibras Pressão do ar P0 Pressão da água P Figura 1417 como a leitura na balança varia quando a estátua é imersa na água 144 EsCoAmENTo dE Um FLUIdo agora estamos preparados para estudar o movimento de um fluido o escoa mento de um fluido pode ser extremamente complexo como no caso das corren tezas de um rio ou das chamas revoltas de uma fogueira em um acampamento Entretanto algumas situações podem ser descritas mediante um modelo idealizado relativamente simples um fluido ideal é um fluido incompressível ou seja aquele cuja densidade não varia e sem nenhum atrito interno chamado de viscosidade os líquidos são aproximadamente incompressíveis em muitas situações e também podemos considerar um gás incompressível quando as diferenças de pressão de uma região para outra não forem muito elevadas o atrito interno em um fluido produz tensões de cisalhamento quando existe um movimento relativo entre duas camadas vizinhas do fluido como no caso do escoamento de um fluido no interior de um tubo ou em torno de um obstáculo Em alguns casos essas tensões de ci salhamento podem ser desprezadas em comparação às diferenças de pressão e às forças oriundas da ação da gravidade a trajetória de uma partícula individual durante o escoamento de um fluido denominase linha de escoamento ou linha de fluxo Quando a configuração global do escoamento de um fluido não varia com o tempo ele se chama escoamento estacionário ou escoamento permanente No escoamento estacionário todo ele mento que passa por um dado ponto segue sempre a mesma linha de escoamento Neste caso o mapa das velocidades do fluido em diversos pontos do espaço Figura 1415 uma molécula na superfície de um líquido é atraída para dentro do seio do líquido o que tende a reduzir sua área superficial Moléculas de água Moléculas do interior são igualmente atraídas em todas as direções Moléculas de um líquido são atraídas pelas moléculas vizinhas Na superfície as atrações não equilibradas fazem com que a superfície resista à expansão BookSEARSVol2indb 91 021015 149 PM 92 Física II permanece constante embora a velocidade da partícula possa variar em módulo direção e sentido em pontos diferentes uma linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sentido da velocidade no respectivo ponto Quando a configuração do escoamento de um fluido varia com o tempo as linhas de corrente não coincidem com as linhas de escoamento consideraremos apenas situações com escoamento estacionário nas quais as linhas de corrente e as de escoamento são idênticas as linhas de escoamento que passam através de um elemento de área imaginário como a área A na Figura 1418 formam um tubo chamado tubo de escoamento ou tubo de fluxo Pela definição de linha de escoamento em um escoamento esta cionário nenhuma parte do fluido pode atravessar as paredes laterais de um tubo de escoamento Na Figura 1419 da esquerda para a direita vemos o escoamento de um fluido em torno de três tipos diferentes de obstáculos Essas fotografias foram feitas injetandose corante na água que escoava entre duas placas de vidro todas as configurações indicadas são típicas do escoamento laminar no qual camadas adjacentes de fluido deslizam umas sobre as outras e o escoamento é estacionário uma lâmina é uma folha fina Para taxas de escoamento suficientemente elevadas ou quando um obstáculo produz variações abruptas de velocidade o escoamento pode se tornar irregular e caótico Neste caso ele recebe o nome de escoamento turbulento Figura 1420 Em um escoamento turbulento não pode existir ne nhuma configuração com escoamento estacionário a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo Figura 1418 um tubo de escoamento delimitado por linhas Em um escoamento estacionário o fluido não pode cruzar as paredes desse tipo de tubo Linhas de escoamento Tubo de escoamento Área A Equação da continuidade a massa de um fluido não varia durante seu escoamento isso leva a uma relação importante chamada equação da continuidade considere um tubo de escoamento delimitado por duas seções retas estacionárias de áreas A1 e A2 Figura 1421 Nessas seções retas as velocidades do fluido são v1 e v2 respectivamente como dissemos nenhum fluido pode escoar pelas paredes laterais do tubo Durante um pequeno intervalo dt o fluido que estava em A1 se desloca uma distância ds1 v1 dt de modo que um cilindro de fluido com altura v1 dt e volume dV1 A1v1 dt escoa para o interior do tubo através de A1 Durante esse mesmo intervalo um cilindro com volume dV2 A2v2 dt escoa para fora do tubo através de A2 inicialmente vamos considerar o caso de um fluido incompressível de tal forma que a densidade r possua o mesmo valor em todos os pontos do fluido a massa dm1 que flui para o interior do tubo através da área A1 no tempo dt é dada por dm1 rA1v1 dt analogamente a massa dm2 que flui para fora do tubo através da área A2 no mesmo tempo é dada por dm2 rA2v2 dt No escoamento estacionário a massa total no tubo permanece constante logo dm1 dm2 e rA1v1 dt rA2v2 dt ou A1v1 A2v2 1410 Equação da continuidade para um fuido incompressível Seção reta do tubo de escoamento em dois pontos ver Figura 1421 Velocidade de escoamento nos dois pontos Tons escuros seguem caminhos de escoamento laminar o fuxo é da esquerda para a direita Figura 1419 Escoamento laminar em torno de um obstáculo Figura 1420 o escoamento da fumaça erguendose dessa vareta de incenso é laminar até certo ponto e depois tornase turbulento Fluxo turbulento Fluxo laminar Figura 1421 um tubo de escoamento com seção reta de área variável v2dt Quando o fuido é incompressível o mesmo volume de fuido dV que entra na parte inferior sai do tubo na extremidade superior Quando o fuido é incompressível o produto Av área do tubo vezes velocidade tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo do tubo v1dt ds2 ds1 dV dV v1 v2 A1 A2 BookSEARSVol2indb 92 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 93 o produto Av é a vazão volumétrica dVdt ou seja a taxa com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo 1411 Velocidade de escoamento Seção reta do tubo de escoamento Vazão volumétrica de um fuido dt Av dV a vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da seção reta do tubo Ela é dada pelo produto da densidade r pela vazão volumétrica dVdt a Equação 1410 mostra que a vazão volumétrica possui sempre o mesmo va lor em todos os pontos ao longo de qualquer tubo de escoamento Figura 1422 Quando a seção reta de um escoamento diminui a velocidade aumenta e vice versa a parte mais profunda de um rio possui uma seção reta maior e correntes mais lentas que as partes rasas mas a vazão volumétrica é a mesma nos dois casos Essa é a essência da máxima Águas profundas ainda correm Quando um tubo com diâmetro de 2 cm é ligado a um tubo com diâmetro de 1 cm a velocidade do escoamento no tubo de 1 cm é quatro vezes maior que a velocidade do escoamento no tubo de 2 cm Podemos generalizar a Equação 1410 para o caso do escoamento de um fluido que não é incompressível se r1 e r2 forem as densidades nas seções 1 e 2 então r1A1v1 r2A2v2 equação da continuidade fluido compressível 1412 se o fluido for mais denso no ponto 2 que no ponto 1 r2 r1 a vazão volumé trica no ponto 2 será menor que no ponto 1 A2v2 A1v1 Deixamos os detalhes desta demonstração como um exercício No caso do fluido incompressível como r1 e r2 são sempre iguais a Equação 1412 se reduz à Equação 1410 um óleo incompressível de densidade igual a 850 kgm3 é bom beado através de um tubo cilíndrico a uma taxa de 95 litros por segundo a a primeira seção do tubo tem 80 cm de diâmetro Qual é a velocidade do óleo Qual é a vazão mássica b a se gunda seção do tubo tem 40 cm de diâmetro Quais são os valores para a velocidade e vazão volumétrica nessa seção soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como o fluido é incompressível a vazão volumétrica tem o mesmo valor 95 Ls nas duas seções do tubo a vazão mássica o produto da densidade e da vazão volumétrica também tem o mesmo valor nas duas seções Esta é a mesma afirmação de que nenhum fluido é perdido ou acres centado em qualquer ponto ao longo do tubo usamos a defi nição da vazão volumétrica Equação 1411 para encontrar a velocidade v1 na seção de 80 cm de diâmetro e a equação da continuidade para escoamento incompressível Equação 1410 para encontrar a velocidade v2 na seção de 40 cm de diâmetro EXECUTAR a pela Equação 1411 a vazão volumétrica na primeira seção é dVdt A1v1 onde A1 é a área da seção reta do tubo de diâmetro de 80 cm e raio de 40 cm assim v1 dVdt A1 195 Ls2 1103 m3L2 p 140 102 m2 2 19 ms a vazão mássica é r dVdt 850 kgm3 95 103 m3s 81 kgs b Pela equação da continuidade Equação 1410 v2 A1 A2 v1 p140 102 m22 p120 102 m22 119 ms2 76 ms 4v1 as vazões volumétrica e mássica são as mesmas daquelas na parte a AVALIAR a segunda seção do tubo tem a metade do diâmetro e um quarto da área de seção reta da primeira Logo a velo cidade deve ser quatro vezes maior na segunda seção o que é exatamente o que nosso resultado mostra ExEmPlo 146 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 144 uma equipe de manutenção está traba lhando no trecho de uma estrada de três pistas deixando apenas uma pista aberta ao trá fego o resultado é um tráfego muito mais lento um engarrafamento os carros na estrada se comportam como i moléculas de um fluido incompressível ou ii moléculas de um fluido compressível Figura 1422 a equação da continuidade Equação 1410 ajuda a explicar a forma de um fluxo de mel despejado de uma colher v1 v2 À medida que o mel cai sua velocidade de escoamento v aumenta e a seção reta A do fuxo diminui A vazão volumétrica dVdt Av permanece constante BookSEARSVol2indb 93 021015 149 PM 94 Física II 145 EQUAÇÃo dE BErNoULLI De acordo com a equação da continuidade a velocidade do escoamento de um fluido pode variar com as trajetórias desse fluido a pressão também pode variar ela depende da altura como na situação estática seção 142 e também da velo cidade do escoamento Podemos deduzir uma relação importante entre a pressão a velocidade e a altura no escoamento de um fluido ideal chamada de equação de Bernoulli Esta é uma ferramenta essencial para analisar escoamentos em muitos tipos de escoamento de fluidos a dependência da pressão em relação à velocidade decorre da equação da conti nuidade Equação 1410 Quando um fluido incompressível escoa ao longo de um tubo de escoamento com seção reta variável sua velocidade deve variar e portanto um elemento do fluido deve possuir uma aceleração Quando o tubo é horizontal a força que produz essa aceleração é proveniente do fluido das vizinhanças isso significa que a pressão deve variar em diferentes seções retas do tubo caso ela fosse a mesma em todos os pontos a força resultante sobre cada elemento do fluido deveria ser igual a zero Quando um tubo horizontal afunila e o elemento do fluido acelera ele deve se deslocar para uma região de pressão menor para ter uma força resultante capaz de acelerálo Quando existe uma diferença de altura ocorre uma diferença de pressão adicional deduzindo a equação de Bernoulli Para deduzir a equação de Bernoulli aplicamos o teorema do trabalhoenergia ao fluido em uma seção de um tubo de escoamento Na Figura 1423 considera mos um elemento do fluido que inicialmente estava entre duas seções retas a e c a velocidade na extremidade inferior é v1 e na extremidade superior é v2 Durante um pequeno intervalo dt o fluido que estava inicialmente em a se desloca para b percorrendo uma distância ds1 v1 dt e o fluido que estava em c deslocase para d percorrendo uma distância ds2 v2 dt as áreas das seções retas nas duas extremidades são A1 e A2 conforme indicado o fluido é incompressível portanto pela equação da continuidade Equação 1410 o volume de fluido dV que passa em qualquer seção reta durante um intervalo dt é sempre o mesmo ou seja dV A1 ds1 A2 ds2 vamos calcular o trabalho realizado sobre esse elemento de fluido durante dt Estamos supondo que o atrito interno no fluido é desprezível ou seja não há vis cosidade de modo que as únicas forças não gravitacionais que realizam trabalho sobre o elemento do fluido são as da pressão do fluido circundante as pressões nas duas extremidades são P1 e P2 a força sobre a seção reta a é P1A1 e a força sobre a seção reta c é P2A2 o trabalho resultante dW realizado pelo fluido das vizinhanças sobre o elemento de fluido durante esse deslocamento é dW P1A1 ds1 P2A2 ds2 P1 P2dV 1413 o segundo termo P2A2ds2 possui sinal negativo porque a força sobre c se opõe ao deslocamento do fluido o trabalho dW é decorrente de outras forças além da força conservativa da gravidade portanto ele é igual à variação da energia mecânica do sistema energia cinética mais energia potencial gravitacional associada ao elemento de fluido a energia mecânica no fluido entre as seções b e c não varia No início de dt o fluido entre as seções a e b possui volume A1 ds1 massa rA1 ds1 e energia cinética P2A2 ds2 ds1 a b c d dV dV v1 v2 Escoamento y1 y2 A1 A2 P1A1 Figura 1423 Deduzindo a equação de Bernoulli o trabalho total realizado sobre um elemento do fluido pela pressão do fluido circundante é igual à variação da energia cinética acrescida da variação da energia potencial gravitacional BookSEARSVol2indb 94 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 95 1 2 r1 A1 ds12 v1 2 No final de dt o fluido entre as seções c e d possui energia cinética 1 2 r 1A2 ds22 v2 2 a variação total da energia cinética dK durante o intervalo dt é dK 1 2 r dV 1v2 2 v1 22 1414 E quanto à variação da energia potencial gravitacional No início de dt a ener gia potencial da massa entre a e b é dm gy1 r dV gy1 No final de dt a energia potencial da massa entre c e d é dm gy2 r dV gy2 a variação total da energia potencial dU durante o intervalo dt é dU r dV gy2 y1 1415 substituindo as equações 1413 1414 e 1415 na equação da energia dW dK dU obtemos 1P1 P22 dV 1 2 r dV1v2 2 v1 22 r dV g1y2 y12 P1 P2 1 2 r1v2 2 v1 22 rg1y2 y12 1416 Esta é a equação de Bernoulli Ela afirma que o trabalho realizado pelo fluido das vizinhanças sobre uma unidade de volume de fluido é igual à soma das varia ções das energias cinética e potencial ocorridas na unidade de volume durante o escoamento também podemos interpretar a Equação 1416 em termos das pres sões o primeiro termo do membro direito é a diferença de pressão associada à variação da velocidade do fluido o segundo termo do membro direito é a diferença de pressão adicional associada ao peso e produzida pela diferença de altura entre as duas extremidades também podemos expressar a Equação 1416 de modo mais conveniente usando a forma P1 rgy1 P1 rgy1 1 2 rv1 2 P2 rgy2 1 2 rv2 2 rv1 2 P2 rgy2 P1 rgy1 1 2 rv1 2 P2 rgy2 1 2 rv2 2 rv2 2 1417 os subscritos 1 e 2 referemse a qualquer par de pontos ao longo do tubo de escoamento então também podemos escrever 1418 Pressão Densidade do fuido O valor é o mesmo em todos os pontos no tubo de escoamento Equação de Bernoulli para um fuido ideal incompressível Aceleração decorrente da gravidade Elevação Velocidade de escoamento P rgy rv2 constante 1 2 Note que quando o fluido não está em movimento quando v1 v2 0 a Equação 1417 se reduz à Equação 145 que dá a pressão de um fluido em repouso ATENÇÃo A equação de Bernoulli se aplica apenas em certas situações acentuamos mais uma vez que a equação de Bernoulli vale somente para o escoamento estacionário de um fluido incompressível sem atrito interno viscosidade Por ser uma equação simples e fácil de usar pode surgir a tentação de usála em situações para as quais ela não é válida BIo Aplicação Por que girafas saudáveis possuem pressão sanguínea alta A equação de Bernoulli sugere que quando o sangue flui para cima em uma velocidade mais ou menos constante v do coração ao cérebro a pressão P cairá à medida que a altura y do sangue aumenta Para o sangue alcançar o cérebro com a pressão mínima exigida o coração humano oferece uma pressão máxima sistólica de cerca de 120 mmHg A distância vertical do coração ao cérebro é muito maior para uma girafa de modo que seu coração precisa produzir uma pressão muito maior cerca de 280 mmHg BookSEARSVol2indb 95 021015 149 PM 96 Física II ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 141 EQUAÇÃO DE BERNOULLI a equação de Bernoulli foi deduzida a partir do teorema do tra balhoenergia portanto podemos aplicar aqui muitas recomen dações de Estratégia para a solução de problemas 71 seção 71 iDENTiFiCAr os conceitos relevantes comece certificando se de que o escoamento do fluido seja estacionário e que o fluido seja compressível e livre de atrito interno ver seção 146 isso geralmente é aplicável a fluidos que escoam por tubos suficientemente grandes e a escoamentos dentro de fluidos com grande volume por exemplo o ar que cerca um avião ou a água ao redor de um peixe PrEPArAr o problema usando as seguintes etapas 1 identifique os pontos 1 e 2 mencionados na equação de Bernoulli Equação 1417 2 Defina seu sistema de coordenadas e em especial o nível em que y 0 considere o sentido positivo de y como de baixo para cima 3 faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas na Equação 1417 Decida quais incógnitas são as variáveis alvo ExECuTAr a solução da seguinte forma em alguns proble mas você terá de usar a equação da continuidade Equação 1410 para obter uma relação entre as duas velocidades em termos das áreas das seções retas dos tubos ou dos recipien tes você também pode precisar da Equação 1411 para achar a vazão volumétrica AVAliAr sua resposta confirme se os resultados fazem sen tido verifique se as unidades são consistentes umas com as outras Em unidades si a pressão é dada em pascal a den sidade em quilograma por metro cúbico e a velocidade em metros por segundo as pressões devem ser todas expressas como absolutas ou manométricas a água entra em uma casa Figura 1424 através de um tubo com diâmetro interno de 20 cm com uma pressão absoluta igual a 40 105 Pa cerca de 4 atm um tubo com diâmetro interno de 10 cm a conduz ao banheiro do segundo andar a 50 m de altura sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 15 ms ache a velocidade do escoamento a pressão e a vazão volumétrica no banheiro Figura 1424 Qual é a pressão da água no banheiro do segundo andar desta casa Tanque de água quente Hidrômetro Da entrada de água tubo de 20 cm 1 Para o segundo andar tubo de 10 cm 50 m 2 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR estamos supondo que a água escoa a uma taxa constante a água é bastante incompressível portanto podemos usar a equação da continuidade é razoável ignorar o atrito interno pois a tubulação tem um diâmetro rela tivamente grande e por isso também podemos usar a equação de Bernoulli os pontos 1 e 2 devem ser colocados no tubo de entrada e no banheiro respectivamente o problema fornece os diâmetros do tubo nos pontos 1 e 2 por meio dos quais calcu lamos as áreas A1 e A2 bem como a velocidade v1 15 ms e a pressão P1 40 105 Pa no tubo de entrada fazemos y1 0 na entrada e y2 50 m no banheiro Encontramos a velocidade v2 pela equação da continuidade e a pressão P2 pela equação de Bernoulli assim que encontrarmos v2 poderemos calcular a vazão volumétrica v2A2 EXECUTAR usando a equação da continuidade Equação 1410 v2 A1 A2 v1 p110 cm2 2 p1050 cm2 2 115 ms2 60 ms usando a equação de Bernoulli Equação 1416 P2 P1 1 2 r1v 2 2 v 2 1 2 rg1 2 y2 y1 40 105 Pa 1 2110 103 kgm32136 m2s2 225 m2s22 110 103 kgm32198 ms22150 m2 40 105 Pa 017 105 Pa 049 105 Pa 33 105 Pa 33 atm 48 lbpol2 a vazão volumétrica é dV dt A2 v2 p1 050 102 m2 21 60 ms2 47 104 m3s 047 Ls AVALIAR esta é uma vazão volumétrica razoável para uma tor neira de banheiro ou chuveiro Note que quando a torneira está fechada tanto v1 quanto v2 são zero o termo 1 2 r1v 2 2 v 2 1 2 na equação de Bernoulli se anula e a pressão P2 sobe de 33 105 Pa para 35 105 Pa ExEmPlo 147 PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA BookSEARSVol2indb 96 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 97 a Figura 1425 mostra um tanque de armazenamento de gasolina com uma seção reta de área A1 cheio até uma altura h o espaço entre a gasolina e a parte superior do recipiente contém ar e está a uma pressão P0 e a gasolina flui para fora através de um pe queno tubo de área A2 Deduza expressões para a velocidade de escoamento no tubo e para a vazão volumétrica Figura 1425 Esquema para calcular a velocidade de saída da gasolina que escoa pela parte inferior de um tanque de armazenamento h 2 1 P0 Patm A1 A2 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR podemos considerar o volume in teiro do líquido que escorre como um único tubo de escoamento de um fluido incompressível com atrito interno desprezível Podemos portanto aplicar o princípio de Bernoulli os pontos 1 e 2 estão na superfície da gasolina e no tubo de saída respec tivamente No ponto 1 a pressão é P0 e no ponto 2 é a pressão atmosférica Patm fazemos y 0 no tubo de saída de modo que y1 h e y2 0 como A1 é muito maior que A2 a superfície superior da gasolina escoará muito lentamente e assim v1 é pra ticamente igual a zero Encontramos a variável v2 com a Equação 1417 e a vazão volumétrica com a Equação 1411 EXECUTAR aplicamos a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2 P0 1 2 rv 2 1 rgh Patm 1 2 rv 2 2 rg102 v 2 2 v 2 1 2aP0 Patm r b 2gh usando v1 0 obtemos v2 Ç 2aP0 Patm r b 2gh conforme a Equação 1411 a vazão volumétrica dVdt v2A2 AVALIAR a velocidade de saída v2 algumas vezes chamada de velocidade de efluxo depende da diferença de pressão P0 Patm e da altura do nível h do líquido no tanque se o tanque estivesse aberto para a atmosfera em sua parte superior P0 Patm e P0 Patm 0 Neste caso v2 2gh ou seja a velocidade de efluxo de uma abertura situada a uma distância h abaixo da superfície superior do líquido é a mesma velocidade que teria um corpo caindo livremente de uma altura h Esse resultado é conhecido como teorema de Torricelli Ele vale também para uma abertura lateral na parede do recipiente situada a uma distância h abaixo da superfície superior do líquido se P0 Patm a vazão volumétrica é dV dt A22gh ExEmPlo 148 VELOCIDADE DE EFLUXO a Figura 1426 mostra um medidor de Venturi usado para medir a velocidade de escoamento em um tubo Deduza uma expressão para a velocidade de escoamento v1 em termos das áreas das seções retas A1 e A2 e da diferença de altura h entre os níveis dos líquidos nos dois tubos verticais Figura 1426 Medidor de venturi A diferença entre as alturas é resultado de uma pressão reduzida no gargalo ponto 2 h P2 A2 A1 2 v2 1 v1 P1 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o escoamento é estacionário e su pomos que o fluido seja incompressível e seu atrito interno seja desprezível Podemos portanto aplicar a equação de Bernoulli à parte larga do tubo ponto 1 e à parte estreita ponto 2 o gar galo a Equação 146 relaciona h à diferença de pressão P1 P2 EXECUTAR os pontos 1 e 2 estão na mesma coordenada verti cal y1 y2 então aplicamos a Equação 1417 P1 1 2 rv 2 1 P2 1 2 rv 2 2 Pela equação da continuidade v2 A1A2v1 substituindo esse valor na equação e reagrupando obtemos P1 P2 1 2 rv 2 1 c aA1 A2 b 2 1d ExEmPlo 149 MEDIDOR DE VENTURI Continua BookSEARSVol2indb 97 021015 149 PM 98 Física II a Figura 1427a mostra as linhas de escoamento em torno da seção reta da asa de um avião as linhas de escoamento se con centram acima da asa indicando um aumento na velocidade de escoamento e correspondendo a uma pressão mais baixa nessa região como no caso do gargalo do medidor de venturi no Exemplo 149 a força de baixo para cima na asa do avião é maior que a força de cima para baixo a força resultante de baixo para cima é chamada de força de sustentação a sustentação não é simplesmente devida ao impulso do ar que incide sobre a parte de baixo da asa na realidade verificase que a redução da pressão sobre a superfície superior da asa dá a maior contribuição para a sustentação Esta discussão altamente simplificada despreza a formação de vórtices também podemos entender a força de sustentação com base nas variações do momento linear o diagrama de vetor da figura 1427a mostra que existe uma variação do momento linear vertical resultante de cima para baixo produzida pelo escoamento do ar que passa em torno da asa correspondendo à força de cima para baixo que a asa exerce sobre o ar a força de reação sobre a asa é orientada de baixo para cima conforme concluímos anteriormente um padrão de escoamento e uma força de sustentação seme lhantes são encontrados nas vizinhanças de qualquer objeto curvo ao vento vento moderado pode fazer um guardachuva flutuar um vento forte pode virálo para cima uma força de sustentação também age sobre os pneus de um carro em alta velocidade um spoiler na traseira do carro tem a forma de uma asa virada para baixo e aplica uma força de compensação para baixo ATENÇÃo Um equívoco a respeito das asas Explicações simplificadas muitas vezes afirmam que o ar se desloca mais rá pido sobre a parte de cima de uma asa porque tem mais espaço a percorrer Essa explicação supõe que duas moléculas de ar adjacentes que se separam na extremidade de ataque parte da frente da asa uma se dirigindo à superfície superior e a outra à superfície inferior devem se encontrar novamente na extremi dade de fuga parte de trás da asa isso não é correto a figura 1427b mostra uma simulação de computador do escoamento de parcelas de ar em torno de uma asa as faixas adjacentes na extremidade de ataque da asa não se encontram na extremidade de fuga porque o escoamento sobre a parte de cima da asa é na verdade mais rápido que na parte de baixo conforme a equa ção de Bernoulli essa velocidade maior implica uma pressão menor sobre a asa e portanto uma maior força de sustentação que a explicação de mais espaço a percorrer sugeriria a Linhas de escoamento em torno da asa de um avião b Simulação de computador de parcelas de ar escoando ao redor de uma asa o que mostra que o ar se move muito mais depressa na parte superior que na inferior Asa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Linhas de escoamento do ar se movendo sobre a parte de cima da asa se aglomeram portanto a velocidade do escoamento é maior e a pressão é menor Uma explicação equivalente a forma da asa cria um momento linear total de cima para baixo sobre o ar então a força de reação sobre o avião é para cima Observe que as parcelas de ar que estão juntas na extremidade de ataque da asa não se encontram na extremidade de fuga P ar Pi Pf Pf Pi S S S S S Figura 1427 Escoamento em torno da asa de um avião ExEmPlo CoNCEiTuAl 1410 SUSTENTAÇÃO SOBRE A ASA DE UM AVIÃO TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 145 Qual é a afirmação mais correta a res peito do princípio de Bernoulli i o ar que se move mais depressa provoca uma pressão mais baixa ii a pressão mais baixa faz com que o ar se mova mais rápido iii as afirma tivas i e ii são igualmente corretas conforme a Equação 146 a diferença de pressão P1 P2 também é igual a rgh combinando esse resultado com a equação anterior e explicitando v1 obtemos v1 Å 2gh 1A1A22 2 1 AVALIAR como A1 é maior que A2 v2 é maior que v1 e a pres são P2 na garganta é menor que P1 Essas diferenças de pressão produzem uma força resultante orientada da esquerda para a direita que acelera o fluido quando ele entra no gargalo e uma força resultante orientada da direita para a esquerda que freia o fluido depois que ele sai Continuação BookSEARSVol2indb 98 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 99 146 VIsCosIdAdE E TUrBULêNCIA ao estudarmos o escoamento de fluidos consideramos que o fluido não apre sentava atrito interno e que o escoamento era laminar Embora essas suposições muitas vezes sejam válidas em várias situações físicas importantes os efeitos da viscosidade atrito interno e da turbulência escoamento não laminar são funda mentais vamos estudar brevemente algumas dessas situações Viscosidade a viscosidade é o atrito interno em um fluido as forças viscosas se opõem ao movimento de uma parte do fluido em relação à outra a viscosidade é a razão pela qual você realiza um esforço para remar em uma canoa se deslocando em águas cal mas mas também é a razão pela qual você consegue remar os efeitos da viscosidade são importantes para o escoamento através de tubos para o fluxo do sangue para a lubrificação de diversas partes de máquinas e muitas outras situações fluidos que escoam facilmente como a água ou a gasolina possuem menos vis cosidade que líquidos espessos como o mel ou o óleo de motor as viscosidades de todos os fluidos dependem muito da temperatura à medida que a temperatura aumenta a viscosidade aumenta nos gases e diminui nos líquidos Figura 1428 os óleos para lubrificação de máquinas precisam fluir igualmente bem em condi ções frias e quentes e por isso são projetados para reduzir a variação de temperatura da viscosidade tanto quanto possível um fluido viscoso sempre tende a aderir a uma superfície sólida em contato com ele Existe uma camada fina chamada de camada limite do fluido nas proximidades da superfície ao longo da qual o fluido está praticamente em repouso em relação à superfície sólida é por essa razão que partículas de poeira aderem às pás de um ventilador mesmo quando ele gira rapidamente e também é por isso que você não consegue eliminar toda a sujeira do carro simplesmente jogando água sobre ele com uma mangueira a viscosidade tem efeitos importantes sobre o escoamento de líquidos através de tubos inclusive para o fluxo do sangue no sistema circulatório Pense em um fluido com viscosidade zero de modo a poder aplicar a equação de Bernoulli a Equação 1417 se as duas extremidades de um longo tubo cilíndrico estão na mesma altura y1 y2 e a velocidade do escoamento é a mesma em ambas as extremidades v1 v2 a equação de Bernoulli nos diz que a pressão é a mesma em ambas as extremidades Entretanto esse resultado simplesmente não é verdadeiro se levarmos em conta a viscosidade Para ver por que considere a Figura 1429 que mostra o perfil das velocidades no escoamento laminar de um fluido viscoso em um longo tubo cilíndrico Em razão da viscosidade a velocidade é zero nas paredes do tubo às quais o fluido adere e máxima no centro do tubo o escoa mento é como uma série de tubos concêntricos escorregando em relação um ao outro com o tubo central movendose mais rapidamente e o tubo mais externo em repouso as forças de viscosidade entre os tubos se opõem a esse escorregamento para manter o fluxo devemos aplicar uma pressão mais forte na parte de trás do que na parte da frente é por isso que você aperta um tubo de pasta de dentes ou uma embalagem de ketchup ambos fluidos viscosos para fazer o fluido sair de seu recipiente seus dedos imprimem uma pressão à parte de trás que é bem maior que a pressão atmosférica na parte da frente do escoamento a diferença de pressão necessária para manter uma dada vazão volumétrica em um tubo cilíndrico de comprimento L e raio R é proporcional a LR4 se reduzir mos R à metade a pressão necessária aumenta em 24 16 se diminuirmos R de um fator de 090 uma redução de 10 aumentamos a diferença de pressão de um fator de 10904 152 um aumento de 52 Essa relação simples explica a relação entre uma dieta com elevado teor de colesterol que tende a estreitar as artérias e a alta pressão sanguínea Em razão da dependência de R4 mesmo um pequeno estreitamento nas artérias pode levar a uma elevação substancial na pres são sanguínea e aumentar a tensão sobre o músculo cardíaco Figura 1428 a lava é um exemplo de escoamento de fluido viscoso a viscosidade diminui com o aumento da temperatura quanto mais quente a lava mais facilmente ela escoa Figura 1429 Perfil de velocidades no escoamento de um fluido viscoso em um tubo cilíndrico Seção reta de um tubo cilíndrico O perfl da velocidade de um fuido com viscosidade escoando no tubo apresenta uma forma parabólica v versus r R r BookSEARSVol2indb 99 021015 149 PM 100 Física II Turbulência Quando a velocidade do escoamento de um fluido supera um certo valor crítico o escoamento deixa de ser laminar Em vez disso a configuração do escoamento tornase extremamente irregular e complexa variando continuamente com o tempo não existe nenhuma configuração com escoamento estacionário Esse escoamento irregular e caótico denominase turbulência a figura 1420 mostra o contraste entre um escoamento laminar e um turbulento quando a fumaça sobe no ar a equação de Bernoulli não pode ser aplicada em regiões onde existe turbulência porque o escoamento não é estacionário o fato de um escoamento ser laminar ou turbulento depende em parte da viscosi dade do fluido Quanto maior a viscosidade maior a tendência do fluido para escoar em lâminas e mais provável que o escoamento seja laminar Quando discutimos a equação de Bernoulli na seção 145 supusemos que o escoamento fosse laminar e que o fluido tivesse viscosidade zero Na verdade um pouco de viscosidade é necessário para assegurar que o escoamento seja laminar Em um fluido de uma dada viscosidade a velocidade do escoamento é um fator determinante no estabelecimento da turbulência uma configuração de escoamento estável em velocidades baixas pode se tornar subitamente instável quando a ve locidade supera certo valor crítico as irregularidades no escoamento podem ser produzidas por rugosidades no interior da parede do tubo variações na densidade do fluido e muitos outros fatores Em velocidades pequenas essas perturbações são amortecidas a configuração do escoamento é estável e tende a manter sua natureza laminar Figura 1430a Porém quando a velocidade crítica é atingida a configu ração do escoamento tornase instável as perturbações não são mais amortecidas e crescem até que toda a configuração laminar seja destruída figura 1430b Figura 1430 o escoamento da água de uma torneira pode ser a laminar ou b turbulento a Baixa velocidade fuxo laminar b Alta velocidade fuxo turbulento BIo Aplicação Escutando o fluxo turbulento O fluxo do sangue na aorta humana é laminar porém pequenas perturbações patológicas podem fazêlo se tornar turbulento A turbulência produz ruído e é por isso que escutar o fluxo do sangue com um estetoscópio é uma técnica de diagnóstico bastante útil a trajetória de uma bola curva é realmente curva a resposta é sim e o motivo é a turbulência a Figura 1431a mostra uma bola que se move através do ar da esquerda para a direita Para um obser vador que se move com o centro da bola a corrente de ar parece se mover da direita para a esquerda como mostrado pelas linhas de escoamento na figura Em virtude das elevadas velocidades normalmente envolvidas cerca de 35 ms ou 125 kmh existe uma região de escoamento turbulento atrás da bola a figura 1431b mostra uma bola girando com spin para cima camadas de ar nas proximidades da superfície da bola são puxa das no sentido do spin pelo atrito entre o ar e a bola e por causa do atrito interno do ar viscosidade a velocidade do ar em relação à superfície da bola tornase menor no topo do que na base e ocorre mais turbulência na parte superior da bola do que na parte inferior a força resultante faz a bola desviar para baixo figura 1431c Essa é a razão pela qual o top spin ou spin para cima é usado no tênis em saques velozes para manter a bola dentro do campo figura 1431d No lançamento de uma bola curva no beisebol a bola gira em torno de um eixo aproximadamente vertical e a curva real obtida é lateral Nesse caso a figura 1431c mostra uma vista de topo da situação uma bola curva lançada por um arremessador que usa a mão esquerda figura 1431e sofre um desvio na direção de um rebatedor que usa a mão direita dificultando a rebatida um efeito semelhante ocorre com uma bola de golfe que sempre possui spin para trás em razão do impacto da face inclinada do taco a figura 1431f mostra o spin para trás adquirido pela bola logo após o impacto com o taco a diferença de pressão resultante entre as partes superior e inferior da bola produz uma força de sustentação que permite mantêla suspensa no ar durante um tempo maior do que se não houvesse o spin Quando uma tacada é bem dada a bola parece flutuar acima do local de onde ExEmPlo CoNCEiTuAl 1411 BOLA CURVA Continua BookSEARSVol2indb 100 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 101 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 146 Que pressão adicional um enfermeiro deve aplicar com o polegar para dar uma injeção com uma agulha hipodérmica de 030 mm de diâmetro interno em comparação com a pressão necessária para aplicar uma injeção com uma agulha de 060 mm de diâmetro interno suponha que as duas agulhas tenham o mesmo comprimento e que a vazão volumétrica seja a mesma em ambos os casos i o dobro ii 4 vezes iii 8 vezes iv 16 vezes v 32 vezes Densidade e pressão a densidade é a massa por unidade de volume se a massa m de um corpo ho mogêneo possui volume V sua densidade é a razão mV a densidade relativa é a razão entre a densi dade de um material e a densidade da água veja o Exemplo 141 Pressão é a força normal por unidade de área a lei de Pascal afirma que a pressão aplicada sobre a superfície de um fluido fechado é transmitida sem diminuição a todos os pontos do fluido a pressão absoluta é a pressão total em um fluido a pressão manométrica é a diferença entre as pressões absoluta e atmosférica a unidade si de pressão é o pascal Pa 1 Pa 1 Nm2 veja o Exemplo 142 r m V 141 P dF dA 142 Forças normais iguais exercidas sobre ambos os lados pelo fuido circundante dA dF dF Pequena área d A no interior do fuido em repouso capítulo 14 resumo partiu ou até mesmo desviarse para cima durante a porção ini cial da trajetória tratase de um efeito real e não uma ilusão as pequenas reentrâncias da bola desempenham um papel essencial para uma mesma velocidade inicial e um mesmo spin a visco sidade do ar produziria uma trajetória mais curta em uma bola sem reentrâncias do que no caso de uma bola com reentrâncias Este lado da bola se move no sentido contrário ao escoamento de ar Uma bola em movimento arrasta o ar adjacente consigo Assim quando o ar passa por uma bola que gira A força resultante aponta no sentido do lado de baixa pressão De um lado a bola retarda o ar criando uma região de alta pressão Do outro lado a bola acelera o ar criando uma região de baixa pressão Este lado se move no mesmo sentido do escoamento de ar a Movimento do ar em relação a uma bola que não gira b Movimento de uma bola que gira d Spin empurrando uma bola de tênis para baixo e Spin fazendo uma bola se desviar lateralmente f Spin para trás em uma bola de golfe c Força gerada quando uma bola que gira se move no ar vbola Figura 1431 ae analisando o movimento de uma bola girando no ar f fotografia estroboscópica de uma bola de golfe sendo arremessada por um taco a fotografia foi feita com 1000 flashes por segundo a bola faz uma volta completa depois de oito fotografias correspondendo a uma velocidade angular de 125 rots ou 7500 rpm fonte harold Edgerton do Mit copyright 2014 cortesia da Palm Press inc Continuação BookSEARSVol2indb 101 021015 149 PM 102 Física II Pressões em um fluido em repouso a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em um fluido em repouso de densidade uniforme r um fluido incom pressível é proporcional à diferença entre as altu ras y1 e y2 se a pressão na superfície de um fluido incompressível em repouso é P0 a pressão em uma profundidade h é maior por uma quantidade rgh veja os exemplos 143 e 144 P2 P1 rgy2 y1 145 pressão em um fluido de densidade uniforme P P0 rgh 146 pressão em um fluido de densidade uniforme P2 P0 P1 P y1 y 2 y2 y1 h 2 1 Fluido densidade r Empuxo o princípio de arquimedes afirma que quando um corpo está imerso em um fluido ele exerce sobre o corpo uma força de empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo veja o Exemplo 145 cg Porção de fuido substituída por um corpo sólido de mesmo tamanho e forma B dF Pcorpo Escoamento de fluidos um fluido ideal é incom pressível e não possui viscosidade atrito interno uma linha de escoamento é a trajetória de uma par tícula do fluido uma linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sen tido do vetor velocidade um tubo de escoamento é delimitado em sua superfície externa por linhas de escoamento No escoamento laminar as camadas do fluido deslizam suavemente umas sobre as ou tras No escoamento turbulento existe uma grande desordem e a configuração do escoamento muda constantemente a conservação da massa de um fluido incompres sível é expressa pela equação da continuidade que relaciona as velocidades de escoamento v1 e v2 para duas seções retas A1 e A2 ao longo de um tubo de escoamento o produto Av é a vazão volumétrica dVdt a taxa com a qual o volume atravessa uma seção reta do tubo ver Exemplo 146 a equação de Bernoulli declara que uma quantidade envolvendo a pressão P a velocidade de escoamento v e a altura y tem o mesmo valor em qualquer lugar do tubo supondo o escoamento estacionário de um fluido ideal Essa equação pode ser usada para re lacionar as propriedades do fluxo em dois pontos quaisquer veja os exemplos 147 a 1410 A1v1 A2v2 1410 equação da continuidade fluido incompressível dV dt Av 1411 vazão volumétrica P rgy P rgy 1 2 rv2 rv2 constante 1418 equação de Bernoulli P2A2 ds2 ds1 a b c d dV dV v2 Fluxo y1 y2 A1 A2 P1A1 v1 Problema em destaque Quanto tempo para drenar um grande tanque cilíndrico com diâmetro D está aberto para o ar na parte superior o tanque contém água até uma altura H um pequeno furo circular com diâmetro d onde d D é aberto no fundo do tanque Figura 1432 ignore quaisquer efeitos da viscosidade a Determine y a altura da água no tanque em um tempo t após o furo ser aberto como função de t b Quanto tempo é necessário para drenar total mente o tanque c se você dobrar a altura H por qual fator aumentará o tempo para drenar o tanque Figura 1432 um tanque de água é aberto no topo e tem um furo na base D d Tanque Água Altura dágua H em t 0 Altura dágua y no instante t Continua BookSEARSVol2indb 102 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 103 problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q141 um cubo de carvalho de faces lisas normalmente flutua na água suponha que você o submergisse completamente e pres sionasse uma das faces contra o fundo do tanque de modo que não houvesse água sob essa face o bloco subiria à superfície e flutuaria há uma força de empuxo atuando sobre ele Explique Q142 uma mangueira de borracha é ligada a um funil e a extre midade livre é encurvada para apontar para cima Derramandose água no funil ela sobe na mangueira até um nível igual ao da água no funil embora o volume da água nele seja maior que na mangueira Por quê o que sustenta o peso adicional da água no funil Q143 comparando os exemplos 141 seção 141 e 142 seção 142 parece que um peso de 700 N de ar exerce uma força para baixo igual a 20 106 N sobre o piso como isso é possível Q144 a Equação 147 mostra que uma razão de 100 para 1 pode fornecer uma força na saída 100 vezes maior que a força na entrada isso não viola a conservação da energia Explique Q145 você deve ter notado que quanto menor for a pressão de um pneu maior será a área de contato entre o pneu e o asfalto Por quê Q146 No balonismo enchese um balão grande com ar aque cido por um combustor de gás situado em sua parte inferior Por que o ar deve ser aquecido como o balonista controla a ascensão e a descida do balão Q147 Para descrever o tamanho de um grande navio é cos tume usar expressões do tipo ele desloca 20000 toneladas o que isso significa o peso do navio pode ser calculado por essa informação Q148 você coloca uma esfera maciça de alumínio dentro de um balde com água em repouso sobre o solo a força de em puxo é igual ao peso da água deslocada este é menor que o peso da esfera logo a esfera afunda até a base do balde se você transporta o balde até um elevador que sobe verticalmente com aceleração constante o peso aparente da água aumenta e a força de empuxo também caso a aceleração do elevador seja suficientemente elevada a esfera pode saltar para fora da água Explique sua resposta Q149 um dirigível resistente mais leve que o ar e cheio de hélio não pode continuar subindo indefinidamente Por quê Qual é o fator que determina a altura máxima que ele pode atingir Q1410 Qual destes tem maior força de empuxo sobre ele um pedaço de madeira de 25 cm3 flutuando com parte de seu volume acima da água ou um pedaço de ferro submerso com 25 cm3 ou você precisa saber quais são suas massas antes de poder respon der Explique Q1411 a pureza do ouro pode ser testada medindo seu peso no ar e na água como você acha que conseguiria enganar as pessoas fabricando uma falsa barra recobrindo de ouro um ma terial mais barato Q1412 Durante a grande inundação do Mississipi em 1993 os diques em st Louis tendiam a se romper primeiro na base Por quê Q1413 um navio cargueiro está viajando no oceano atlântico água salgada e entra pelo rio st Lawrence no Lago ontario água doce No Lago ontario o navio flutua a um nível vários centímetros mais baixo que o nível da flutuação no oceano Por quê Q1414 você empurra um pedaço de madeira para dentro de uma piscina Depois que ele submergiu completamente você continua empurrandoo mais para o fundo Enquanto faz isso o que acontecerá com a força de empuxo sobre o objeto Ela con tinuará aumentando ficará igual ou diminuirá Por quê Q1415 uma velha pergunta é o que pesa mais um quilo de penas ou um quilo de chumbo como o peso resulta da força gravitacional suponha que você coloque um quilograma de penas no prato de uma balança de braços iguais e coloque um quilograma de chumbo no outro prato a balança ficará equili brada Explique levando em conta a força de empuxo Q1416 suponha que a porta de uma sala esteja ajustada ao ba tente sem atrito impedindo a passagem do ar se a pressão de um lado da porta for igual a uma atmosferapadrão e a pressão do outro lado for 1 maior que a atmosferapadrão ela se abrirá Explique gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 Desenhe um esboço da situação mostrando todas as di mensões relevantes 2 relacione as quantidades desconhecidas e decida quais delas são as variáveisalvo 3 com que velocidade a água sai do fundo do tanque como isso se relaciona com a vazão volumétrica da água saindo do tanque como a vazão volumétrica se relaciona com a taxa de variação de y EXECUTAr 4 use os resultados do item 3 para escrever uma equação para dydt 5 seu resultado do item 4 é uma equação diferencial relati vamente simples com seu conhecimento de cálculo você poderá integrálo para achar y como uma função de t Dica quando tiver feito a integração você ainda terá de fazer alguma álgebra 6 use o resultado do item 5 para determinar o tempo que levará para esvaziar o tanque Qual é a relação entre seu resultado e a altura inicial H AVALIAr 7 verifique se suas respostas fazem sentido uma boa veri ficação é desenhar um gráfico de y em função de t De acordo com seu gráfico qual é o sinal algébrico de dydt em diferentes momentos isso faz algum sentido Continuação BookSEARSVol2indb 103 021015 149 PM 104 Física II Q1417 a uma certa profundidade em um líquido incompres sível a pressão absoluta é P a uma profundidade duas vezes maior a pressão absoluta será igual maior ou menor que 2P Justifique sua resposta Q1418 um pedaço de ferro está colado sobre um bloco de ma deira Quando esse bloco com o ferro em seu topo é colocado em um balde cheio de água ele flutua a seguir o bloco é inver tido de modo que o ferro fique submerso embaixo da madeira o bloco flutuará ou afundará o nível da água do balde permane cerá o mesmo aumentará ou diminuirá Explique suas respostas Q1419 Em um tanque de água você mergulha um pote de vidro vazio com o bocal voltado para baixo de modo que o ar fique preso e não possa escapar se você empurrar o pote para o fundo do tanque a força de empuxo sobre o pote permanecerá cons tante caso não permaneça aumentará ou diminuirá Explique suas respostas Q1420 você está flutuando em uma canoa no meio de uma piscina seu amigo está à beira da piscina verificando cuidado samente o nível de água em sua lateral você tem uma bola de boliche dentro da canoa se você soltar a bola suavemente ao lado da canoa e ela afundar até o chão da piscina o nível da água aumenta ou diminui Q1421 você está flutuando em uma canoa no meio de uma piscina um grande pássaro alça voo e pousa em seu ombro o nível da água na piscina aumenta ou diminui Q1422 Dois baldes idênticos estão cheios de água até a borda mas um deles tem um pedaço de madeira flutuando Qual balde pesa mais Explique Q1423 um cubo de gelo flutua em um copo com água Quando o gelo se liquefaz o nível da água no copo permanece o mesmo aumenta ou diminui Explique suas respostas Q1424 um balão cheio de gás hélio está preso a uma corda leve dentro de um carro em repouso a outra ponta da corda é presa ao piso do carro de modo que o balão puxa a corda vertical o carro agora acelera para a frente o balão se move se sim ele se move para a frente ou para trás Justifique seu raciocínio com relação ao empuxo se tiver chance tente fazer essa experiência mas com outra pessoa dirigindo Q1425 se a velocidade em cada ponto do espaço de um es coamento estacionário é constante como uma partícula pode acelerar Q1426 Na vitrine de uma loja uma bola de tênis de mesa flu tua no ar empurrada por um jato de ar vindo da saída do cano de um aspirador de pó a bola oscila um pouco porém sempre permanece próxima do centro do jato mesmo quando ele está ligeiramente inclinado como esse comportamento ilustra a equa ção de Bernoulli Q1427 um tornado é um redemoinho de ar muito veloz Por que a pressão no centro é sempre muito menor que na periferia como essa condição é responsável pelo poder de destruição de um tornado Q1428 o comprimento das pistas de pouso e decolagem de aeroportos situados em altitudes elevadas é maior que o das pistas de aeroportos situados ao nível do mar uma razão para isso é que o motor do avião desenvolve menor potência no ar rarefeito em altitudes elevadas Qual é a outra razão Q1429 Quando uma corrente de água sai suavemente de uma torneira sua largura diminui à medida que a água cai Explique por que isso acontece Q1430 cubos de chumbo e alumínio de tamanho idêntico são suspensos em diferentes profundidades por dois fios em um grande tanque de água Figura Q1430 a Qual dos cubos é submetido à maior força de empuxo b Em qual dos cubos a tensão do fio é maior c Qual dos cubos é submetido a uma força maior em sua face inferior d Em qual dos cubos a dife rença de pressão entre as faces superior e inferior é maior Alumínio Chumbo Figura Q1430 EXErCÍCIos seção 141 gases líquidos e densidade 141 fazendo um trabalho extra você foi solicitado a trans portar uma barra de ferro cilíndrica de 8580 cm de comprimento e 285 cm de diâmetro de um depósito até um torneiro mecânico você precisará usar um carrinho de mão Para responder cal cule o peso da barra 142 um cubo de 50 cm de lado é composto de uma liga me tálica Depois de fazer um furo cilíndrico de 20 cm de diâmetro atravessando uma face e perpendicular a ela você descobre que o cubo pesa 630 N a Qual é a densidade desse metal b Qual era o peso do cubo antes que você fizesse o furo 143 você compra uma peça retangular de metal com dimen sões de 50 150 300 mm e massa igual a 00158 kg o vendedor diz que o metal é ouro Para verificar se é verdade você deve calcular a densidade média da peça Qual foi o valor obtido você foi enganado 144 Barra de ouro você ganha na loteria e decide impres sionar seus amigos exibindo um cubo de ouro de um milhão de dólares o ouro está sendo vendido a 1282 por onça troy e uma onça troy equivale a 311035 g Qual seria a altura do seu cubo de um milhão de dólares 145 uma esfera de chumbo e uma esfera de alumínio uni formes têm a mesma massa Qual é a razão entre o raio da esfera de alumínio e o raio da esfera de chumbo 146 a Qual é a densidade média do sol b Qual é a densi dade média de uma estrela de nêutrons que possui a mesma massa que o sol mas um raio de apenas 200 km 147 um tubo cilíndrico de cobre oco mede 150 m de com primento tem diâmetro externo de 350 cm e diâmetro interno de 250 cm Quanto pesa esse tubo seção 142 Pressão em um fluido 148 Chaminés negras chaminés negras são jatos vulcâ nicos quentes que emitem fumaça no fundo do oceano Muitas dessas chaminés estão repletas de animais exóticos e alguns biólogos acreditam que a vida na terra tenha começado ao redor delas os jatos variam em profundidade de cerca de 1500 a 3200 m abaixo da superfície Qual é a pressão manométrica em um jato a 3200 m de profundidade supondo que a densidade da água não varie Dê sua resposta em pascals e atmosferas BookSEARSVol2indb 104 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 105 149 Oceanos em Marte cientistas encontraram indícios de que Marte pode ter tido um oceano com 0500 km de profundi dade a aceleração da gravidade em Marte é 371 ms2 a Qual seria a pressão manométrica no fundo desse oceano supondo que ele fosse de água doce b a que profundidade você precisaria descer nos oceanos da terra para ser submetido à mesma pressão manométrica 1410 BIo a calcule a diferença na pressão sanguínea entre os pés e o topo da cabeça de uma pessoa de 165 m de altura b considere um segmento cilíndrico de um vaso san guíneo de 20 cm de comprimento e 150 mm de diâmetro Que força externa adicional esse vaso precisaria suportar nos pés em comparação a um vaso semelhante na cabeça dessa pessoa 1411 BIo Na alimentação intravenosa uma agulha é inse rida em uma veia no braço do paciente e um tubo vai da agulha até um reservatório de fluido densidade igual a 1050 kgm3 localizado em uma altura h acima do braço a parte superior do reservatório é aberta para o ar se a pressão manométrica dentro da veia é 5980 Pa qual é o valor mínimo de h para que o fluido possa entrar na veia suponha que o diâmetro da agulha seja grande o bastante para que se possa desprezar a viscosidade veja a seção 146 do fluido 1412 um barril contém uma camada de óleo de 0120 m flutuando sobre a água com uma profundidade igual a 0250 m a densidade do óleo é igual a 600 kgm3 a Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água b Qual é a pressão manométrica no fundo do barril 1413 BIo Pressão de cabeça para baixo a Qual é a dife rença entre a pressão sanguínea no seu cérebro quando você está de cabeça para baixo e quando está em pé suponha que você tenha 185 m de altura a densidade do sangue é 1060 kgm3 b Que efeito a pressão aumentada tem sobre os vasos sanguíneos no seu cérebro 1414 você está projetando um sino de mergulho para aguen tar a pressão da água do mar até uma profundidade de 250 m a Qual é a pressão manométrica nessa profundidade Despreze as variações de densidade da água com a profundidade b sabendo que nessa profundidade a pressão dentro do sino é igual à pressão fora dele qual é a força resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro dele sobre uma janela de vidro cir cular com diâmetro de 300 cm Despreze a pequena variação de pressão sobre a superfície da janela 1415 BIo Lesão no ouvido pelo mergulho se a força sobre a membrana do tímpano aumentar cerca de 15 N acima da força da pressão atmosférica a membrana pode ser lesionada Quando você mergulha no oceano abaixo de qual profundidade seu tím pano poderia começar a ser lesionado o tímpano normalmente possui 82 mm de diâmetro consulte a tabela 141 1416 o líquido no manômetro de tubo aberto indicado na figura 148a é o mercúrio y1 300 cm e y2 700 cm a pressão atmosférica é igual a 980 milibares a Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo em forma de u b Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a uma profundidade de 40 cm abaixo da superfície livre c Qual é a pressão absoluta do gás no tanque d Qual é a pressão manométrica do gás em pascals 1417 BIo Existe uma profundidade máxima na qual uma mergulhadora Figura E1417 pode respirar através de um tubo snorkel respirador porque à medida que a profundidade au menta a diferença de pressão também aumenta tendendo a forçar os pulmões como o snorkel liga o ar dos pulmões à atmosfera sobre a superfície livre a pressão no interior dos pulmões é igual à pressão atmosférica Qual é a diferença de pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da mergulhadora a uma profun didade de 61 m suponha que a mergu lhadora esteja mergulhando em água doce um mergulhador usando um cilindro e respirando ar comprimido desse dispo sitivo pode atingir profundidades muito maiores que um mergulhador usando o snorkel uma vez que a pressão do ar com primido no interior do cilindro compensa o aumento da pressão da água no exterior dos pulmões 1418 BIo a ponta inferior de um ca nudo longo de plástico é submergida na água em um copo de plástico uma pessoa normal sugando na ponta superior do canudo pode puxar a água no canudo até uma altura vertical de 11 m acima da superfície da água na xícara a Qual é a menor pressão manométrica que essa pessoa pode conseguir dentro de seus pulmões b Explique por que sua res posta no item a é negativa 1419 um curtocircuito elétrico impede o fornecimento da potência necessária para um submarino situado a 30 m abaixo da superfície do oceano a tripulação deve empurrar uma es cotilha com área de 075 m2 e peso igual a 300 N para poder escapar pelo fundo do submarino se a pressão interna for igual a 10 atm qual é a força para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha 1420 um cilindro alto com área da seção reta igual a 120 cm2 está parcialmente cheio de mercúrio a superfície do mercúrio está 800 cm acima do fundo do cilindro Despejase água lentamente sobre o mercúrio e os dois fluidos não se misturam Que volume de água deve ser acrescentado para dobrar a pressão manométrica no fundo do cilindro 1421 um disco cilíndrico de madeira pesando 450 N e com diâmetro de 300 cm flutua sobre um cilindro de óleo de densidade 0850 gcm3 Figura E1421 o cilindro de óleo está a 750 cm de profundidade e tem o mesmo diâmetro que o disco de madeira a Qual é a pressão manométrica no topo da coluna de óleo b suponha agora que alguém coloque um peso de 830 N sobre a madeira e que nenhum óleo passe pela beira do disco Qual é a variação de pressão i no fundo do cilindro de óleo e ii na metade do cilindro Disco de madeira 750 cm Óleo 300 cm Figura E1421 Figura E1417 61 m Pa BookSEARSVol2indb 105 021015 149 PM 106 Física II 1422 um recipiente fechado é parcialmente preenchido com água inicialmente o ar acima da água é a pressão atmosférica 101 105 Pa e a pressão manométrica no fundo da água é 2500 Pa a seguir bombeiase mais ar para dentro aumentando a pressão de ar acima da água em 1500 Pa a Qual é a pressão manométrica no fundo da água b caso se retire água por uma válvula no fundo do recipiente quanto mais o nível da água pre cisa ser reduzido para que a pressão manométrica no fundo volte a ser a original de 2500 Pa a pressão do ar acima da água é mantida em 1500 Pa acima da pressão atmosférica 1423 Elevador hidráulico I No elevador hidráulico mos trado na figura 147 qual deve ser a razão entre o diâmetro do braço do recipiente sob o carro e o diâmetro do braço do reci piente onde a força é aplicada para que um carro de 1520 kg possa ser erguido com uma força F1 de apenas 125 N 1424 Elevador hidráulico II o pistão de um elevador hi dráulico de carros possui diâmetro igual a 030 m Qual é a pres são manométrica em pascals necessária para elevar um carro com massa igual a 1200 kg Expresse essa pressão também em atmosferas 1425 Explorando Vênus a pressão na superfície de vênus é de 92 atm e a aceleração devida à gravidade lá é de 0894g Em uma futura missão de exploração ao planeta um tanque ci líndrico vertical com benzeno é selado no topo mas ainda está pressurizado a 92 atm logo acima do benzeno o tanque tem um diâmetro de 172 m e a coluna de benzeno tem 1150 m de altura ignore quaisquer efeitos decorrentes da temperatura muito alta em vênus a Qual é a força total exercida sobre a superfície interior do fundo do tanque b Que força a atmosfera do planeta exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque c Qual é a força total para o interior que a atmosfera exerce sobre as paredes verticais do tanque seção 143 Empuxo 1426 uma pedra tem massa de 180 kg Quando a pedra é suspensa da ponta inferior de uma corda e totalmente imersa na água a tensão na corda é 128 N Qual é a menor densidade de um líquido no qual a pedra flutuará 1427 um cano de 950 kg flutua verticalmente na água do mar o diâmetro do cano é igual a 0900 m calcule a distância vertical adicional que o cano deverá afundar quando um homem de 800 kg ficar em pé sobre ele 1428 um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 650 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem molhar os pés 1429 uma amostra de minério pesa 1750 N no ar Quando ela é suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água a tensão na corda é igual a 1120 N calcule o volume total e a densidade da amostra 1430 você está preparando um aparelho para uma visita a um planeta recémdescoberto chamado caasi onde há oceanos de glicerina e cuja aceleração gravitacional na superfície é igual a 540 ms2 se o seu aparelho flutua nos oceanos da terra com 250 de seu volume submerso que porcentagem de seu volume estará submersa nos oceanos de glicerina de caasi 1431 uma pedra com densidade de 1200 kgm3 é suspensa pela ponta inferior de uma corda leve Quando a pedra está no ar a tensão na corda é de 280 N Qual é a tensão na corda quando a pedra está totalmente imersa em um líquido com densidade de 750 kgm3 1432 uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada a uma corda presa no fundo do lago o volume da esfera é igual a 0650 m3 e a tensão na corda é igual a 1120 N a calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera b Qual é a massa da esfera c a corda se rompe e a esfera sobe até a superfície Quando ela atinge o equilíbrio qual é a fração do volume da esfera que fica submersa 1433 um bloco de madeira cúbico com face de 100 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de água e uma de óleo com sua base situada 150 cm abaixo da superfície livre do óleo Figura E1433 a densidade do óleo é igual a 790 kgm3 a Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco b E na inferior c Quais são a massa e a densidade do bloco Figura E1433 100 cm Óleo 100 cm Água Madeira 1434 um lingote de alumínio sólido pesa 89 N no ar a Qual é o seu volume b o lingote é suspenso por uma corda leve e totalmente imerso na água Qual é a tensão na corda o peso aparente do lingote na água 1435 uma rocha é suspensa por uma corda leve Quando a rocha está no ar a tensão na corda é 392 N Quando ela está totalmente imersa na água a tensão é 284 N Quando está total mente imersa em um líquido desconhecido a tensão é 215 N Qual é a densidade do líquido desconhecido seção 144 Escoamento de um fluido 1436 a água corre para dentro de uma fonte enchendo todos os tubos a uma taxa constante de 0750 m3s a com que velo cidade a água jorraria de um buraco de 450 cm de diâmetro b com que velocidade ela jorraria se o diâmetro do buraco fosse três vezes maior 1437 um chuveiro comum possui 20 aberturas circulares cada uma com raio de 10 mm o chuveiro é conectado a um cano de plástico de raio igual a 080 cm se a velocidade da água nesse cano é 30 ms qual é sua velocidade ao sair pelas aberturas do chuveiro 1438 a água escoa em um tubo cuja seção reta possui área variável e enche completamente o tubo em todos os pontos No ponto 1 a seção reta possui área igual a 0070 m2 e o módulo da velocidade do fluido é igual a 350 ms a Qual é a velocidade do fluido nos pontos em que a seção reta possui área igual a i 0105 m2 ii 0047 m2 b calcule o volume da água descarregada pela extremidade aberta do tubo em 1 hora 1439 a água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável Ela enche completamente o tubo em todos os pontos a Em um ponto o raio do tubo é igual a 0150 m Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumé trica no tubo é igual a 120 m3s b Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 380 ms Qual é o raio do tubo nesse ponto BookSEARSVol2indb 106 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 107 1440 Reparo doméstico você precisa estender um tubo com diâmetro de 250 pol mas tem apenas um tubo de 100 pol de diâmetro disponível você usa uma conexão para unir esses tubos de uma ponta à outra se a água estiver escoando a 600 cms no tubo mais largo com que velocidade estará es coando no mais estreito seção 145 Equação de Bernoulli 1441 um tanque selado que contém água do mar a uma altura igual a 110 m também contém ar acima da água a uma pressão manométrica de 30 atm a água escoa para fora através de um pequeno orifício na base do tanque calcule a velocidade com que a água está se escoando 1442 BIo Entupimento da artéria uma cardiologista está tentando determinar qual porcentagem da artéria de um paciente está bloqueada por uma placa Para fazer isso ela mede a pressão sanguínea imediatamente antes da região entupida e descobre que é 120 104 Pa enquanto na região entupida é 115 104 Pa além disso ela sabe que o sangue que flui pela artéria normal imediatamente antes do ponto entupido está correndo a 300 cms e a densidade relativa do sangue do paciente é 106 Que porcentagem da seção reta da artéria do paciente está entupida pela placa 1443 Qual é a pressão manométrica necessária no tubo prin cipal da rua para que uma mangueira de incêndio ligada a ele seja capaz de lançar água até uma altura de 150 m suponha que o diâmetro do tubo principal seja muito maior que o diâmetro da mangueira de incêndio 1444 um pequeno orifício circular com diâmetro igual a 600 mm é cortado na superfície lateral de um grande tanque de água a uma profundidade de 140 m abaixo da superfície o topo do tanque está aberto para a atmosfera ache a a velocidade de efluxo da água b o volume de água descarregado por segundo 1445 Em um dado ponto de um encanamento horizontal a velocidade da água é igual a 250 ms e a pressão manométrica é igual a 180 104 Pa calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo que o diâmetro do se gundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro 1446 Em um ponto de um encanamento a velocidade da água é 30 ms e a pressão manométrica é igual a 500 104 Pa calcule a pressão manométrica em um segundo ponto 110 m abaixo do primeiro sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro 1447 um sistema de irrigação de um campo de golfe des carrega água de um cano horizontal à taxa de 7200 cm3s Em um ponto do cano em que o raio é 40 cm a pressão absoluta da água é 240 105 Pa Em um segundo ponto do cano a água passa por uma constrição onde o raio é 200 cm Qual é a pressão absoluta da água ao passar por essa constrição 1448 uma bebida leve essencialmente água escoa em um tubo de uma fábrica de cerveja com vazão volumétrica tal que deve encher 220 latas de 355 ml por minuto Em um ponto 2 do tubo a pressão manométrica é igual a 152 kPa e a área da seção reta é igual a 800 cm2 Em um ponto 1 situado 135 m acima do ponto 2 a área da seção reta é igual a 200 cm2 obtenha a a vazão mássica b a vazão volumétrica c as velocidades de escoamento nos pontos 1 e 2 d a pressão manométrica no ponto 1 seção 146 Viscosidade e turbulência 1449 BIo Artéria obstruída o sangue viscoso está esco ando por uma artéria parcialmente obstruída pelo colesterol um cirurgião deseja remover uma quantidade suficiente do colesterol para dobrar a vazão de sangue por essa artéria se o diâmetro ori ginal da artéria é D qual deverá ser o novo diâmetro em termos de D para conseguir esse mesmo gradiente de pressão 1450 uma diferença de pressão de 600 104 Pa é necessária para manter uma vazão volumétrica de 0800 m3s para um fluido viscoso escoando por uma seção de tubo cilíndrico com raio de 0210 m Que diferença de pressão é necessária para manter a mesma vazão volumétrica se o raio do tubo for diminuído para 00700 m ProBLEmAs 1451 Em uma demonstração uma professora separa facil mente dois hemisférios ocos de aço diâmetro D por meio de uma alça presa a cada um deles a seguir ela os encaixa novamente bombeia o ar para fora da esfera até atingir uma pressão absoluta P e entregaos ao aluno musculoso da última fileira para que ele tente separálos a Designando por P0 a pressão atmosférica qual é a força que o aluno deve exercer sobre cada hemisfério b avalie sua resposta para o caso P 0025 atm e D 100 cm 1452 PC o ponto com a maior profundidade de todos os oceanos da terra é a fossa das Marianas com uma profundidade igual a 1092 km a supondo que a água seja incompressível qual é a pressão nessa profundidade use a densidade da água do mar b a pressão real nesse ponto é igual a 116 108 Pa o valor que você calculou deve ser menor que esse porque na realidade a densidade da água varia com a profundidade usando o valor da compressibilidade da água e o valor real da pressão ache a densidade da água no fundo da fossa das Marianas Qual é a variação percentual da densidade da água 1453 PC CALC uma piscina tem 50 m de comprimento 40 m de largura e 30 m de profundidade Determine a força exercida pela água sobre a o fundo da piscina b ambas as extremidades da piscina Dica calcule a força que atua sobre uma estreita faixa horizontal situada a uma profundidade h e in tegre sobre a extremidade da piscina Despreze a força produzida pela pressão do ar 1454 BIo Navegação dos peixes a como você pode notar ao examinálos nadando em um aquário peixes são capazes de permanecer em qualquer profundidade na água sem esforço o que essa capacidade lhe diz a respeito de sua densidade b Peixes são capazes de se inflar usando um saco chamado bexiga natatória localizado sob sua espinha Esses sacos podem ser preenchidos com uma mistura de oxigênionitrogênio que vem do sangue se um peixe de 275 kg na água doce se infla e aumenta seu volume em 10 determine a força resultante que a água exerce sobre ele c Qual é a força externa resultante sobre ele o peixe sobe ou desce quando se infla 1455 PC CALC a face superior da comporta de uma re presa está em contato com a superfície da água a comporta tem 20 m de altura 40 m de largura e uma articulação ao longo de uma linha horizontal passando pelo seu centro Figura P1455 calcule o torque produzido pela força da água em relação ao eixo da articulação Dica use um procedimento análogo ao adotado no Problema 1453 calcule o torque sobre uma estreita faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta BookSEARSVol2indb 107 021015 149 PM 108 Física II 400 m 200 m Figura P1455 1456 Balões em Marte há quem diga que poderíamos ex plorar Marte usando balões de gás para sobrevoar a superfície de perto a força de empuxo da atmosfera manteria os balões no alto a densidade da atmosfera marciana é 00154 kgm3 embora esse valor varie com a temperatura suponha que esses balões sejam construídos com plástico fino porém resistente com uma densidade tal que cada metro quadrado possua uma massa de 500 g o gás que usaríamos para inflar esses balões é tão leve que sua massa poderia ser desprezada a Quais devem ser o raio e a massa desses balões para que eles pairem logo acima da superfície de Marte b se soltarmos um desses balões men cionados no item a na terra onde a densidade atmosférica é 120 kgm3 qual seria sua aceleração inicial supondo que o balão tenha o mesmo tamanho que em Marte Ele subiria ou cairia c se em Marte esses balões tivessem cinco vezes o raio calculado no item a qual seria o peso máximo dos instrumentos que eles poderiam carregar 1457 um cubo de gelo água congelada de 0180 kg está flutuando na glicerina a glicerina está em um cilindro alto que possui raio interno de 350 cm o nível da glicerina está bem abaixo do topo do cilindro se o gelo se derreter totalmente por que distância a altura do líquido no cilindro muda o nível do líquido sobe ou desce ou seja a superfície da água está acima ou abaixo do nível original da glicerina antes que o gelo se derreta 1458 um tubo de vidro es treito em forma de u com extre midades abertas é preenchido com 250 cm de óleo com densidade relativa igual a 080 e 250 cm de água em lados opostos com uma barreira separando os líquidos Figura P1458 a suponha que os dois líquidos não se misturem e determine as alturas finais das co lunas de líquido em cada lado do tubo depois que a barreira for re movida b Para os casos a seguir chegue à sua resposta pelo simples raciocínio físico e não por cálculos i Qual seria a altura em cada lado se o óleo e a água tivessem as mesmas densidades ii Quais seriam as alturas se a densidade do óleo fosse muito menor que a da água 1459 um tubo em forma de u está aberto em ambas as extremidades e contém uma porção de mercúrio uma quantidade de água é cuidado samente derramada na extre midade esquerda do tubo até que a altura da coluna de água seja igual a 150 cm Figura P1459 a Qual é a pres são manométrica na interface águamercúrio b calcule a distância vertical h entre o topo da superfície do mercúrio do lado direito e o topo da superfície da água do lado esquerdo 1460 CALC A grande inundação de melaço Na tarde do dia 15 de janeiro de 1919 em um dia atipicamente quente em Boston ocorreu a ruptura de um tanque cilíndrico metálico com diâmetro de 274 m e altura de 177 m que continha melaço o melaço inundou uma rua formando uma corrente com profun didade igual a 5 m matando pedestres e cavalos e destruindo edifícios a densidade do melaço era igual a 1600 kgm3 se o tanque estivesse completamente cheio antes do acidente qual seria a força total que o melaço exerceria de dentro para fora sobre a superfície lateral do tanque Dica considere a força de dentro para fora exercida sobre um anel circular da parede do tanque com largura dy situado a uma profundidade y abaixo da superfície superior integre para achar a força total de dentro para fora suponha que antes de o tanque se romper a pressão sobre a superfície do melaço fosse igual à pressão atmosférica fora do tanque 1461 um grande bloco cúbico de madeira de densidade uni forme com 400 kg está flutuando em um lago de água doce com 200 de seu volume acima da superfície da água você deseja colocar tijolos sobre o bloco e empurrálo horizontalmente pela água até uma ilha onde está construindo uma churrasqueira a Qual é o volume do bloco b Qual é o máximo de massa dos tijolos que você pode colocar no bloco sem fazer com que ele afunde abaixo da superfície da água 1462 um balão com ar quente possui volume igual a 2200 m3 o tecido envoltório do balão pesa 900 N a cesta com os equipamentos e o tanque cheio de propano pesam 1700 N se o peso máximo que o balão pode suportar é 3200 N incluindo passageiros comida e champanhe e sabendose que a densidade do ar externo é 123 kgm3 qual é a densidade média dos gases quentes no interior do balão 1463 uma barca aberta possui as dimensões indicadas na figura P1463 sabendose que todas as partes da barca são feitas com placas de aço de espessura igual a 40 cm qual é a massa de carvão que ela pode suportar em água doce sem afundar Existe espaço suficiente na parte interna da barca para manter essa quanti dade de carvão a densidade do carvão é aproximadamente igual a 1500 kgm3 1464 um cubo de gelo de massa igual a 164 g flutua em um copo de 420 cm3 completamente cheio de água a tensão superficial da água e a variação da densidade com a temperatura são desprezíveis quando ela permanece líquida a Qual é o volume de água deslocado pelo cubo de gelo b Depois que o gelo se fundiu completamente a água transbordou Em caso afirmativo calcule o volume da água transbordada Em caso negativo explique por que isso ocorre c suponha que a água do copo seja água salgada com densidade igual a 1050 kgm3 Qual seria o volume da água salgada deslocado pelo cubo de gelo de 970 g d refaça o item b para o caso de um cubo de gelo de água doce flutuando em água salgada 1465 a propaganda de um carro afirma que ele flutua na água a sabendose que a massa do carro é igual a 900 kg e seu volume interno é de 30 m3 qual é a fração do carro que fica submersa quando ele flutua Despreze o volume do aço e de outros materiais b a água penetra gradualmente por uma Figura P1458 A Água Óleo Barreira B Figura P1459 150 cm Água Mercúrio h 22 m 40 m 12 m Figura P1463 BookSEARSVol2indb 108 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 109 brecha deslocando o ar no interior do carro Que fração do vo lume interno do carro ficará cheia quando ele afundar 1466 um bloco de madeira mede 0600 m de comprimento 0250 m de largura e 0080 m de espessura a densidade desse bloco é 700 kgm3 Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado debaixo do bloco para que ele possa flutuar em águas calmas com seu topo alinhado à superfície Qual é a massa desse volume de chumbo 1467 as densidades do ar do hélio e do hidrogênio para p 10 atm e T 20 c são 120 kgm3 0166 kgm3 e 00899 kgm3 respectivamente a Qual é o volume em metros cúbicos deslocado por um aeróstato cheio de hidrogênio sobre o qual atua uma força de sustentação total igual a 90 kN a sustentação é a diferença entre a força de empuxo e o peso do gás que enche o aeróstato b Qual seria a sustentação se o hélio fosse usado no lugar do hidrogênio tendo em vista sua resposta explique por que o hélio é usado nos dirigíveis modernos de propaganda 1468 Quando um barco aberto possui uma massa de 5750 kg incluindo carga e passageiros ele flutua com a água bem no topo de seu costado em um lago de água doce a Qual é o volume desse barco b o capitão decide que é muito perigoso flutuar com seu barco na iminência de afundar e por isso decide jogar fora alguma carga de modo que 20 do volume do barco estará acima da água Quanta massa deverá ser retirada 1469 PC uma mangueira de incêndio deve poder lançar água no topo de um prédio de 280 m de altura quando apontada para cima a água entra na mangueira a uma taxa constante de 0500 m3s e sai por um esguicho redondo a Qual é o diâmetro máximo que esse esguicho pode ter b se o único esguicho disponível possuir o dobro do diâmetro qual é o ponto mais alto que a água atingirá 1470 Em águas salgadas um colete salvavidas com volume de 00400 m3 suportará uma pessoa de 750 kg densidade média de 980 kgm3 com 20 de seu volume acima da superfície da água quando o colete estiver totalmente submerso Qual é a densidade do material que compõe o colete 1471 CALC um tanque cilíndrico vertical fechado e ele vado com diâmetro de 200 m contém água a uma profundidade de 0800 m um funcionário acidentalmente abre um furo circular com diâmetro de 2 cm no fundo do tanque À medida que a água é drenada o ar comprimido acima da água no tanque mantém uma pressão manométrica de 500 103 Pa na superfície da água ignore quaisquer efeitos de viscosidade a Logo depois que o furo é feito qual é a velocidade da água à medida que ela sai do furo Qual é a razão entre essa velocidade e a velocidade de efluxo se o topo do tanque estiver aberto para o ar b Quanto tempo levará para que a água seja drenada do tanque Qual é a razão entre esse tempo e o tempo necessário para que o tanque seja drenado se seu topo estiver aberto para o ar 1472 o bloco A na Figura P1472 está suspenso por uma corda preso a uma balança de mola D e submerso em um líquido C contido em um recipiente cilíndrico B a massa do recipiente é 100 kg a massa do líquido é 180 kg a leitura da balança D indica 350 kg e a balança E indica 750 kg o volume do bloco A é igual a 380 103 m3 a Qual é a densidade do líquido b Qual será a leitura de cada balança quando o bloco A for retirado do líquido B C D E A 750 Figura P1472 1473 uma bola de plástico de raio igual a 120 cm flutua na água com 240 de seu volume submerso a Que força você precisa aplicar à bola para mantêla em repouso completamente abaixo da superfície da água b se você soltar a bola qual será sua aceleração no instante em que a soltar 1474 suponha que o petróleo de um superpetroleiro tenha densidade igual a 750 kgm3 o navio fica encalhado em um banco de areia Para fazer o navio flutuar novamente sua carga é bombeada para fora e armazenada em barris cada um deles com massa igual a 150 kg quando vazio e com capacidade para armazenar 0120 m3 de petróleo Despreze o volume ocupado pelo aço do barril a se um trabalhador transportando os barris acidentalmente deixa um barril cheio e selado cair pelo lado do navio ele flutuará ou afundará na água do mar b se o barril flutuar qual a fração de seu volume que ficará acima da super fície da água se ele afundar qual deveria ser a tensão mínima na corda necessária para rebocálo desde o fundo do mar para cima c repita as partes a e b supondo que o petróleo tenha densidade igual a 910 kgm3 e que a massa de cada barril vazio seja igual a 320 kg 1475 um bloco cúbico com densidade rB e lados de com primento L flutua sobre um líquido de densidade maior rL a Que fração do volume do bloco fica acima da superfície do lí quido b o líquido é mais denso que a água densidade igual a ra e não se mistura com ela Derramandose água sobre a superfície do líquido qual deve ser a camada de água para que sua superfície livre coincida com a superfície superior do bloco Expresse a resposta em termos de L rB rL e ra c calcule a profundidade da camada de água da parte b se o líquido for mercúrio e o bloco for de aço com lado L 100 cm 1476 uma barca está em uma eclusa retangular em um rio de água doce o comprimento da eclusa é 600 m e a largura é 200 m as comportas de aço das duas extremidades estão fechadas Quando a barca está flutuando na eclusa uma carga de 250 106 N de sucata de metal é colocada na barca a densidade do metal é 7200 kgm3 a Depois que a carga de sucata de metal que inicialmente estava nas margens da eclusa é colocada na barca em quanto o nível da água da eclusa se eleva verticalmente b a sucata de metal agora é despejada na água da eclusa pela parte lateral da barca o nível da água da eclusa sobe desce ou permanece inalterado caso ele suba ou desça quanto o nível da água da eclusa varia verticalmente 1477 PC a água de um grande tanque aberto com paredes verticais possui uma profundidade H Figura P1477 um ori fício é aberto na parede vertical a uma profundidade h abaixo da superfície da água a Qual é a distância R entre a base do tanque e o ponto onde a corrente atinge o solo b a qual distância BookSEARSVol2indb 109 021015 149 PM 110 Física II acima da base do tanque devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele tenha alcance igual ao do pri meiro furo Figura P1477 h R H 1478 seu tio está na cabine inferior de seu barco enquanto você está pescando próximo da água um arpão errante faz um pequeno furo no casco do barco e a água começa a escorrer para dentro da cabine a se o furo está a 0900 m abaixo da superfí cie dágua e possui área de 120 cm2 quanto tempo levará para que 100 L de água entrem no barco b você precisa levar em consideração o fato de que o barco afunda mais lentamente na água à medida que a água entra 1479 PC você segura uma mangueira na altura da cintura e esguicha água horizontalmente a ela o esguicho da mangueira tem um diâmetro de 180 cm e a água jorra no solo a uma dis tância de 0950 m horizontalmente a partir do esguicho se você restringir o esguicho a um diâmetro de 0750 cm a que distância horizontal a água jorrará antes de atingir o solo Despreze a resistência do ar 1480 um balde cilíndrico aberto na parte superior possui diâmetro de 100 cm e altura igual a 250 cm um orifício circu lar com área da seção reta igual a 150 cm2 é feito no centro da base do balde a água flui para dentro dele por um tubo acima dele com uma taxa de 240 104 m3s até que altura a água subirá no balde 1481 a água flui continuamente de um tanque aberto como indicado na Figura P1481 a altura do ponto 1 é 100 m e os pontos 2 e 3 estão a uma altura de 200 m a área da seção reta no ponto 2 é igual a 00480 m2 e no ponto 3 ela é igual a 00160 m2 a área do tanque é muito maior que a área da seção reta do tubo supondo que a equação de Bernoulli seja aplicável calcule a a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo b a pressão manométrica no ponto 2 Figura P1481 2 100 m 200 m 3 1 1482 PC o furacão Emily ocorrido em 1993 apresentava um raio de aproximadamente 350 km a velocidade do vento ao redor do centro o olho do furacão de 30 km de raio atingiu 200 kmh À medida que o ar formava redemoinhos no sentido do olho o momento angular permanecia praticamente constante a Estime a velocidade do vento na periferia do furacão b Estime a diferença de pressão na superfície terrestre entre o olho e a pe riferia do furacão Dica consulte a tabela 141 onde a pressão é maior c se a energia cinética do ar em redemoinho no olho pudesse ser totalmente convertida em energia potencial gravita cional até que altura o ar se elevaria d Na realidade o ar no olho se eleva até altitudes de diversos quilômetros como você concilia esse fato com sua resposta do item c 1483 Dois grandes tanques abertos A e F Figura P1483 contêm o mesmo líquido um tubo horizontal BCD que tem uma constrição C e é aberto ao ar no ponto D sai da base do tanque A e um tubo vertical E parte da constrição em C e mergulha no líquido do tanque F suponha um escoamento com linhas de corrente e despreze a viscosidade sabendo que a área da seção reta da constrição em C é a metade da área em D e que D está a uma distância h1 abaixo do nível do líquido no tanque A até que altura h2 o líquido subirá no tubo E Expresse sua resposta em termos de h1 h1 h2 A B C D E F Figura P1483 1484 um líquido escoando por um tubo vertical apresenta uma forma definida durante o escoamento Para obter a equação para essa forma suponha que o líquido esteja em queda livre quando sai do tubo No exato momento em que o líquido sai ele possui velocidade v0 e o raio da corrente é r0 a Encontre uma expressão para a velocidade do líquido em função da distância y de sua queda combinando essa relação com a da continuidade ache uma expressão para o raio da corrente em função de y b se a água escoa de um tubo vertical com velocidade de 120 ms a que distância da saída do tubo o raio será igual à metade de seu valor na corrente original 1485 dAdos os valores de densidade na tabela 141 são lis tados em ordem crescente um estudante de química observa que os quatro primeiros elementos químicos incluídos também estão listados em ordem crescente de massa atômica a veja se há uma relação simples entre densidade e massa atômica para todos os oito elementos nessa tabela veja no apêndice D suas massas atômicas em gramas por mole b você consegue desenhar uma linha reta ou uma curva simples atravessando os pontos para achar uma relação simples c Explique por que Átomos com mais massa resultam em sólidos mais densos não conta a história toda 1486 dAdos você tem um balde contendo um líquido des conhecido também tem um bloco de madeira em forma de cubo com 80 cm de lado mas não sabe sua massa ou sua densidade Para descobrir a densidade do líquido você realiza uma expe riência Primeiro coloca o bloco no líquido e mede a altura do topo do bloco flutuante acima da superfície do líquido Depois empilha diversas quantidades de moedas de 25 centavos de dólar sobre o bloco e mede o novo valor de h a linha reta que oferece BookSEARSVol2indb 110 021015 149 PM Capítulo 14 Mecânica dos fluidos 111 o melhor ajuste aos dados que você coletou aparece na Figura P1486 ache a massa de uma moeda de 25 centavos consulte em wwwusmintgov as moedas datadas de 2012 use essa informação e a inclinação e interceptação do ajuste da linha reta aos seus dados para calcular a a densidade do líquido em kg m3 e b a massa do bloco em kg Figura P1486 h cm 0 35 30 20 25 15 10 5 10 15 20 25 Número de moedas 30 1487 dAdos a agência de Proteção ambiental está in vestigando uma fábrica de produtos químicos abandonada um tanque cilíndrico grande e fechado contém um líquido desconhe cido você precisa determinar a densidade e a altura do líquido no tanque a distância vertical da superfície do líquido até o fundo do tanque Para manter diversos valores da pressão manométrica no ar que está acima do líquido no tanque você pode usar ar comprimido você faz um pequeno furo no fundo da lateral do tanque que está sobre uma plataforma de concreto para que o furo esteja 500 cm acima do solo a tabela a seguir oferece suas medições da distância horizontal R que o fluxo de líquido inicial mente horizontal jorrando para fora do tanque trafega antes de atingir o solo e a pressão manométrica Pg do ar no tanque Pg atm 050 100 200 300 400 R m 54 65 82 97 109 a represente R2 graficamente em função de Pg Explique por que os pontos de dados ficam próximos de uma linha reta En contre a inclinação e a interceptação dessa linha b use a incli nação e a interceptação encontradas no item a para calcular a altura h em metros do líquido no tanque e a densidade do lí quido em kgm3 use g 980 ms2 suponha que o líquido seja não viscoso e que o furo seja pequeno o suficiente em com paração com o diâmetro do tanque para que a variação em h durante as medições seja muito pequena ProBLEmA dEsAFIAdor 1488 um sifão mostrado na Figura P1488 é um dispo sitivo conveniente para remo ver líquido de um recipiente Para efetuar o escoamento de vemos encher completamente o tubo com líquido suponha que o líquido possua densidade r e que a pressão atmosférica seja Patm suponha que a seção reta do tubo seja a mesma em todas as suas partes a se a extremi dade inferior do sifão está a uma distância h abaixo da superfície do líquido no recipiente qual é a velocidade do líquido quando ele sai pela extremidade inferior do sifão suponha que o re cipiente tenha um diâmetro muito grande e despreze qualquer efeito da viscosidade b uma característica curiosa de um sifão é que o líquido inicialmente sobe no tubo Qual é a altura máxima H que o ponto mais alto do tubo pode ter para que o escoamento ainda ocorra Problemas com contexto BIo Elefantes sob pressão um elefante pode nadar ou caminhar com seu peito vários metros abaixo dágua enquanto respira por seu tronco que permanece acima da superfície e atua como um snorkel os tecidos do elefante estão com pressão aumentada em razão da água ao seu redor mas os pulmões estão na pressão at mosférica pois estão conectados ao ar através do tronco a figura mostra as pressões manométricas nos pulmões e abdome de um elefante quando seu peito está submerso até uma profundidade em particular em um lago Nessa situação o diafragma do elefante que separa os pulmões do abdome deverá sustentar a diferença em pressão entre os dois o diafragma de um elefante normalmente possui 30 cm de espessura e 120 cm de diâmetro ver why doesnt the elephant have a pleural space de John B west Physiology vol 174750 1 de abril de 2002 Pulmões 0 mmHg Diafragma Superfície da água Abdome 150 mmHg 1489 Para a situação mostrada os tecidos no abdome do ele fante estão em uma pressão manométrica de 150 mmhg Essa pressão corresponde a que distância abaixo da superfície de um lago a 15 m b 20 m c 30 m d 15 m 1490 a força máxima que os músculos do diafragma podem exer cer é de 24000 N Que diferença de pressão máxima o diafragma pode suportar a 160 mmhg b 760 mmhg c 920 mmhg d 5000 mmhg 1491 como a força que o diafragma experimenta pela diferença de pressão entre os pulmões e o abdome depende da distância do abdome abaixo da superfície da água a força a aumenta linearmente com a distância b aumenta conforme a distância ao quadrado c aumenta conforme a distância ao cubo d aumenta exponencialmente com a distância 1492 se o elefante respirasse como em um snorkel na água salgada que é mais densa que a água doce a profundidade má xima em que ele poderia respirar seria diferente daquela da água doce a sim essa profundidade aumentaria pois a pressão seria menor em determinada profundidade na água salgada que na água doce b sim essa profundidade diminuiria pois a pressão seria maior em determinada profundidade na água sal gada que na água doce c não porque as diferenças de pressão dentro do elefante submerso dependem somente da densidade do ar e não da densidade da água d não porque a força de empuxo sobre o elefante seria a mesma nos dois casos H h Figura P1488 BookSEARSVol2indb 111 021015 149 PM 112 Física II respostas resposta à pergunta inicial do capítulo v a razão entre massa e volume é a densidade a carne do wrasse e da raia é mais densa que a água do mar mas um wrasse tem uma cavidade corporal repleta de gás chamada bexiga na tatória Logo a densidade média do corpo do wrasse é a mesma que a da água do mar e o peixe nem afunda nem emerge as raias não possuem essa cavidade de modo que precisam nadar conti nuamente para evitar afundar suas nadadeiras oferecem susten tação como as asas de um pássaro ou avião ver seção 145 respostas às perguntas dos testes de compreensão 141 Resposta ii iv i e iii empate v Em todos os casos a densidade média é igual à massa dividida pelo volume Logo temos i r 400 kg160 103 m3 250 103 kgm3 ii r 800 kg160 103 m3 500 103 kgm3 iii r 800 kg320 103 m3 250 103 kgm3 iv r 2560 kg0640 m3 400 103 kgm3 v r 2560 kg128 m3 200 103 kgm3 Note que em comparação com o objeto i o objeto ii possui o dobro da massa porém o mesmo volume e assim tem o dobro da densidade média o objeto iii possui o dobro da massa e o dobro do volume do objeto i logo i e iii apresentam a mesma densidade média finalmente o objeto v tem a mesma massa que o objeto iv porém o dobro do volume então v possui a metade da densidade média de iv 142 Resposta ii Pela Equação 149 a pressão fora do ba rômetro é igual ao produto rgh Quando o barômetro é retirado do refrigerador a densidade r diminui enquanto a altura h da coluna de mercúrio permanece igual assim a pressão do ar deve ser mais baixa fora que dentro do refrigerador 143 Resposta i considere a água a estátua e o recipiente um sistema o peso total do sistema não depende do fato de a estátua estar ou não submersa a força de reação total inclusive a tensão T e a força F de baixo para cima que a balança exerce sobre o recipiente igual à leitura da balança é a mesma em ambos os casos Entretanto como vimos no Exemplo 145 T diminui em 784 N quando a estátua é submersa então a leitura da balança F precisa aumentar em 784 N um ponto de vista alternativo é que a água exerce uma força de empuxo de baixo para cima igual a 784 N sobre a estátua logo a estátua precisa exercer uma força igual de cima para baixo sobre a água tornando a leitura da balança 784 N maior que o peso da água e do recipiente 144 Resposta ii uma estrada que se estreita de três pistas para uma é como um tubo cuja área da seção reta diminui para um terço de seu valor se os carros se comportassem como as moléculas de um fluido incompressível à medida que os carros atingissem o trecho de uma pista o espaçamento entre eles a densidade permaneceria o mesmo porém a velocidade dos carros triplicaria isso manteria a vazão volumétrica número de carros por segundo passando por um ponto na estrada cons tante Na vida real os carros se comportam como moléculas de um fluido compressível acabam se aglomerando a densidade aumenta e menos carros por segundo passam por um ponto na estrada a vazão volumétrica diminui 145 Resposta ii a segunda lei de Newton afirma que um corpo acelera sua velocidade varia em reação a uma força resul tante No escoamento de fluidos a diferença de pressão entre dois pontos significa que as partículas do fluido que se movem entre esses dois pontos são submetidas a uma força que faz com que as partículas do fluido acelerem e tenham velocidade variável 146 Resposta iv a pressão necessária é proporcional a 1R4 onde R é o raio interno da agulha metade do diâmetro interno com a agulha de diâmetro menor a pressão aumenta de um fator 060 mm030 mm4 24 16 Problema em destaque T Å 2H g aD d b 2 c b a 2 y H a d D b 2 2gH t a d D b 4gt2 2 BookSEARSVol2indb 112 021015 149 PM oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 151 O que é uma onda mecânica e seus diferentes tipos 152 Como usar a relação entre velocidade frequência e comprimento de onda em uma onda periódica 153 Como interpretar e usar a expressão matemática para uma onda periódica senoidal 154 Como calcular a velocidade da onda em um fio ou em uma corda 155 Como calcular a taxa de transferência de energia em uma onda mecânica 156 O que acontece quando há superposição e interferência de ondas mecânicas 157 As propriedades das ondas estacionárias em uma corda e como analisar essas ondas 158 Como instrumentos de corda produzem sons de frequências específicas Revendo conceitos de 81 Teorema do impulsomomento 141 1 42 Movimento periódico e movimento harmônico simples 15 oNDAs mECÂNiCAs O ndulações em um lago sons musicais tremores sísmicos disparados por um terremoto estes são exemplos de fenômenos ondulatórios uma onda surge quando um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e a per turbação se desloca ou se propaga de uma região para outra do sistema Quando uma onda se propaga ela transporta energia a energia solar é transportada em ondas de luz que aquecem a superfície de nosso planeta a energia transportada por ondas sísmicas pode fazer rachar a crosta terrestre Neste capítulo e no próximo estudaremos as ondas mecânicas que se propagam dentro de algum material denominado meio o capítulo 16 trata de som um tipo importante de onda mecânica começaremos deduzindo as equações básicas para descrevêlas incluindo o caso especial das ondas periódicas para as quais o padrão de onda é uma função repetitiva do seno ou do cosseno Para auxiliar na compre ensão das ondas em geral estudaremos o caso simples das ondas que se propagam em um fio ou em uma corda esticada as ondas nas cordas desempenham um papel fundamental na música Quando um músico toca violão ou violino cria ondas que se deslocam em sentidos opostos ao longo das cordas do instrumento Quando essas ondas de sentidos opostos se superpõem ocorre o que se chama de interferência aprenderemos que as ondas periódicas podem ocorrer em um violão ou violino apenas em certas frequências especiais chamadas frequências do modo normal determinadas pelas proprie dades da corda as frequências de modo normal de um instrumento de cordas determinam a altura tom do som musical que ele produz No próximo capítulo veremos que a interferência também ajuda a explicar a afinação dos instrumentos de sopro como flautas e órgãos de tubo Na natureza nem todas as ondas são mecânicas as ondas eletromagnéticas que incluem a luz as ondas de rádio a radiação infravermelha a radiação ultravioleta e os raios X propagamse até no espaço vazio onde não há nenhum meio voltaremos a falar dessas e de outras ondas não mecânicas em capítulos posteriores Quando ocorre um terre moto os efeitos do evento se propagam pela Terra sob a forma de ondas sísmicas Quais aspectos de uma onda sísmica determinam a potên cia transportada pela onda i a amplitude ii a frequência iii tanto a amplitude quanto a frequência ou iv nem a am plitude nem a frequência BookSEARSVol2indb 113 021015 149 PM 114 Física II 151 TIPos dE oNdAs mECâNICAs uma onda mecânica é uma perturbação que se desloca através de um material chamado meio no qual a onda se propaga À medida que a onda se propaga através do meio as partículas que o constituem sofrem deslocamentos de diversas espécies dependendo da natureza da onda a Figura 151 mostra três variedades de ondas mecânicas Na figura 151a o meio é um fio ou uma corda esticada sob tensão Quando agitamos ou balan çamos a extremidade esquerda da corda a agitação se propaga através de seu comprimento as seções sucessivas da corda sofrem o mesmo tipo de movimento que aplicamos em sua extremidade mas em tempos sucessivamente posteriores como os deslocamentos do meio são perpendiculares ou transversais à direção de propagação da onda ao longo do meio este tipo de movimento é chamado de onda transversal Na figura 151b o meio é um líquido ou gás no interior de um tubo com uma parede rígida na extremidade direita do tubo e um pistão móvel na extremidade esquerda se fizermos o pistão oscilar para a frente e para trás uma perturbação de deslocamento e uma flutuação de pressão se propagam ao longo do meio Nesse caso as partículas do meio oscilam para a frente e para trás ao longo da mesma direção de propagação da onda esse movimento denominase onda longitudinal Na figura 151c o meio é um líquido em um canal como a água em um canal de irrigação Quando fazemos uma placa achatada oscilar para a frente e para trás na extremidade esquerda uma perturbação ondulatória se propaga ao longo do canal Nesse caso o deslocamento da água possui os dois componentes o transversal e o longitudinal cada um dos sistemas descritos anteriormente possui um estado de equilíbrio Para a corda esticada o equilíbrio corresponde ao estado em que o sistema está em repouso quando a corda está esticada em linha reta Para o fluido no interior do tubo o equilíbrio corresponde ao estado em que o fluido está em repouso com pressão uniforme E para a água o equilíbrio corresponde a uma situação em que sua superfície permanece em nível horizontal Em cada um desses casos Figura 151 três modos de criar uma onda que se desloca para a direita a a mão move a extremidade da corda para cima e depois retorna à posição inicial produzindo uma onda transversal b o pistão comprime um líquido ou um gás para a direita e depois retorna produzindo uma onda longitudinal c a placa se move para a direita e depois retorna produzindo a superposição de uma onda longitudinal com uma onda transversal Movimento da onda Partículas da corda Partículas do fuido Partículas na superfície do líquido v v v v v v À medida que a onda passa cada partícula da corda se move para cima e para baixo transversalmente ao movimento da onda em si À medida que a onda passa cada partícula do fuido se move para a frente e para trás paralelamente ao movimento da onda em si À medida que a onda passa cada partícula da superfície do líquido se move em um círculo a Onda transversal em uma corda b Onda longitudinal em um fuido c Ondas na superfície de um líquido BookSEARSVol2indb 114 021015 149 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 115 o movimento ondulatório é produzido por uma perturbação do estado de equilíbrio que se propaga de uma região para outra do meio Em cada um desses casos exis tem forças restauradoras que tendem a fazer o sistema retornar para sua posição de equilíbrio de modo análogo ao efeito da força gravitacional que tende a fazer um pêndulo retornar para sua posição de equilíbrio na vertical quando ele é deslocado dessa posição Esses exemplos possuem três coisas em comum Primeiro em cada caso a perturbação se desloca ou se propaga com uma velocidade definida pelo meio o módulo dessa velocidade denominase velocidade de propagação da onda ou simplesmente velocidade da onda Ela é determinada em cada caso pelas pro priedades mecânicas do meio usaremos o símbolo v para a velocidade da onda a velocidade da onda não é a mesma velocidade da partícula deslocada pelo movimento ondulatório voltaremos a comentar este ponto na seção 153 se gundo o próprio meio não se desloca no espaço as partículas individuais do meio oscilam movimentamse de trás para a frente e de cima para baixo em torno das respectivas posições de equilíbrio o padrão geral da perturbação da onda é que se propaga terceiro para produzir o movimento de qualquer um desses sistemas é necessário fornecer energia mediante um trabalho mecânico realizado sobre o sistema o movimento ondulatório transfere essa energia de uma região para ou tra do meio As ondas transmitem energia mas não transportam matéria de uma região para outra do meio Figura 152 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 151 Que tipo de onda é a ola mostrada na figura 152 i transversal ii longitudinal iii uma combinação de transversal e lon gitudinal Figura 152 fazer a ola em um estádio é um exemplo de onda mecânica a perturbação se propaga pela multidão mas não há transporte de matéria nenhum dos espectadores se move de um assento para outro 152 oNdAs PErIódICAs a onda transversal na corda esticada indicada na figura 151a é um exemplo de pulso ondulatório a mão exerce uma força transversal que balança a corda para cima e para baixo apenas uma vez exercendo sobre ela uma única ondu lação ou pulso que se propaga ao longo do comprimento da corda a tensão na corda restaura sua posição de equilíbrio em linha reta depois que o pulso termina de passar uma situação mais interessante ocorre quando balançamos a extremidade da corda com um movimento repetitivo ou periódico talvez você queira fazer uma revisão da discussão sobre movimento periódico no capítulo 14 antes de pros seguir Nesse caso cada partícula da corda também executará um movimento periódico à medida que a onda se propaga e o resultado é uma onda periódica onda periódica transversal suponha que você balance uma ponta da corda para cima e para baixo com um movimento harmônico simples Mhs como na Figura 153 com amplitude A BIo Aplicação ondulação no corpo de uma serpente Uma serpente movese pelo solo produzindo ondas que trafegam para trás ao longo de seu corpo a partir de sua cabeça até a cauda As ondas permanecem estacionárias em relação ao solo enquanto empurram contra ele de modo que a serpente se move para a frente BookSEARSVol2indb 115 021015 149 PM 116 Física II frequência f frequência angular v 2pf e período T 1f 2pv a onda resultante é uma sequência simétrica de cristas e ventres como veremos uma onda periódica produzida por um Mhs é particularmente fácil de analisar ela é chamada de onda senoidal veremos também que qualquer onda periódica pode ser representada pela combinação de ondas senoidais Portanto esse tipo particular de onda merece atenção especial Na figura 153 a onda que avança ao longo da corda é uma sucessão contínua de perturbações senoidais transversais a Figura 154 mostra a forma de uma parte da corda próxima de sua extremidade esquerda em intervalos iguais a 1 8 do período completando um tempo igual a um período a forma da onda avança uni formemente para a direita conforme indicado pela região sombreada À medida que a onda se propaga qualquer ponto sobre a corda oscila verticalmente com Mhs em torno da posição de equilíbrio Quando uma onda senoidal se propaga em um meio cada partícula do meio executa um movimento harmônico simples com a mesma frequência ATENÇÃo Movimento de onda versus movimento de partícula tome cuidado para não confundir o movimento de uma onda transversal ao longo da corda com o movi mento de uma partícula da corda a onda se desloca com uma velocidade constante v ao longo da corda enquanto o movimento da partícula é um Mhs transversal perpendicu lar ao comprimento da corda Para uma onda periódica a forma da corda em um dado instante é uma configu ração que se repete o comprimento de onda l a letra grega lambda da onda é a distância entre duas cristas sucessivas ou entre dois ventres consecutivos ou de qualquer ponto até o ponto correspondente na próxima repetição da forma de onda o padrão da onda se desloca com velocidade constante v avançando uma distância l no intervalo de um período T Logo a velocidade da onda é v lT ou como f 1T pela Equação 141 v lf 151 Velocidade da onda Comprimento de onda Frequência Para uma onda periódica a velocidade de propagação é igual ao produto do comprimento de onda pela frequência Esta é uma propriedade da onda periódica inteira pois todos os pontos da corda oscilam com a mesma frequência f as ondas em uma corda se propagam em apenas uma dimensão na figura 154 ao longo do eixo x Mas as ideias de frequência comprimento de onda e amplitude se aplicam igualmente bem às ondas que se propagam em duas ou três dimensões a Figura 155 mostra uma onda se propagando em duas dimensões sobre a superfície Figura 153 um bloco de massa m está preso a uma mola e sofre um movimento harmônico simples produzindo uma onda transversal senoidal que se propaga para a direita ao longo da corda Em um sistema real seria necessário aplicar uma força motriz ao bloco de massa m para compensar a energia transportada pela onda O MHS da mola e da massa gera uma onda senoidal na corda Cada partícula na corda apresenta o mesmo movimento harmônico da mola e da massa a amplitude da onda é a amplitude desse movimento Crista Ventre Amplitude A Movimento da onda Amplitude A Figura 154 uma onda senoidal transversal se propaga para a direita ao longo de uma corda a escala vertical está exagerada t 0 1 T 8 t 2 T 8 t 3 T 8 t 4 T 8 t 5 T 8 t 6 T 8 t 7 T 8 t t T Três pontos na corda Oscilador gerando onda A onda avança uma distância igual ao comprimento de onda l no intervalo de um período T Cada ponto sobe e desce no local As partículas separadas por uma distância igual a um comprimento de onda se movem em fase uma com a outra x y x y x y x y x y x y x y x y x y l A corda é indicada em intervalos de do período T A região destacada mostra o movimento de um comprimento de onda da onda 1 8 Ventre Crista l Figura 155 Diversas gotas caindo verticalmente sobre a água produzem uma onda periódica que se espalha radialmente a partir do centro da fonte as cristas e os ventres da onda formam círculos concêntricos o comprimento de onda l é a distância entre duas cristas sucessivas ou entre dois ventres consecutivos BookSEARSVol2indb 116 021015 149 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 117 frequência f frequência angular v 2pf e período T 1f 2pv a onda resultante é uma sequência simétrica de cristas e ventres como veremos uma onda periódica produzida por um Mhs é particularmente fácil de analisar ela é chamada de onda senoidal veremos também que qualquer onda periódica pode ser representada pela combinação de ondas senoidais Portanto esse tipo particular de onda merece atenção especial Na figura 153 a onda que avança ao longo da corda é uma sucessão contínua de perturbações senoidais transversais a Figura 154 mostra a forma de uma parte da corda próxima de sua extremidade esquerda em intervalos iguais a 1 8 do período completando um tempo igual a um período a forma da onda avança uni formemente para a direita conforme indicado pela região sombreada À medida que a onda se propaga qualquer ponto sobre a corda oscila verticalmente com Mhs em torno da posição de equilíbrio Quando uma onda senoidal se propaga em um meio cada partícula do meio executa um movimento harmônico simples com a mesma frequência ATENÇÃo Movimento de onda versus movimento de partícula tome cuidado para não confundir o movimento de uma onda transversal ao longo da corda com o movi mento de uma partícula da corda a onda se desloca com uma velocidade constante v ao longo da corda enquanto o movimento da partícula é um Mhs transversal perpendicu lar ao comprimento da corda Para uma onda periódica a forma da corda em um dado instante é uma configu ração que se repete o comprimento de onda l a letra grega lambda da onda é a distância entre duas cristas sucessivas ou entre dois ventres consecutivos ou de qualquer ponto até o ponto correspondente na próxima repetição da forma de onda o padrão da onda se desloca com velocidade constante v avançando uma distância l no intervalo de um período T Logo a velocidade da onda é v lT ou como f 1T pela Equação 141 v lf 151 Velocidade da onda Comprimento de onda Frequência Para uma onda periódica a velocidade de propagação é igual ao produto do comprimento de onda pela frequência Esta é uma propriedade da onda periódica inteira pois todos os pontos da corda oscilam com a mesma frequência f as ondas em uma corda se propagam em apenas uma dimensão na figura 154 ao longo do eixo x Mas as ideias de frequência comprimento de onda e amplitude se aplicam igualmente bem às ondas que se propagam em duas ou três dimensões a Figura 155 mostra uma onda se propagando em duas dimensões sobre a superfície Figura 153 um bloco de massa m está preso a uma mola e sofre um movimento harmônico simples produzindo uma onda transversal senoidal que se propaga para a direita ao longo da corda Em um sistema real seria necessário aplicar uma força motriz ao bloco de massa m para compensar a energia transportada pela onda O MHS da mola e da massa gera uma onda senoidal na corda Cada partícula na corda apresenta o mesmo movimento harmônico da mola e da massa a amplitude da onda é a amplitude desse movimento Crista Ventre Amplitude A Movimento da onda Amplitude A Figura 154 uma onda senoidal transversal se propaga para a direita ao longo de uma corda a escala vertical está exagerada t 0 1 T 8 t 2 T 8 t 3 T 8 t 4 T 8 t 5 T 8 t 6 T 8 t 7 T 8 t t T Três pontos na corda Oscilador gerando onda A onda avança uma distância igual ao comprimento de onda l no intervalo de um período T Cada ponto sobe e desce no local As partículas separadas por uma distância igual a um comprimento de onda se movem em fase uma com a outra x y x y x y x y x y x y x y x y x y l A corda é indicada em intervalos de do período T A região destacada mostra o movimento de um comprimento de onda da onda 1 8 Ventre Crista l Figura 155 Diversas gotas caindo verticalmente sobre a água produzem uma onda periódica que se espalha radialmente a partir do centro da fonte as cristas e os ventres da onda formam círculos concêntricos o comprimento de onda l é a distância entre duas cristas sucessivas ou entre dois ventres consecutivos de um tanque de água como nas ondas em uma corda o comprimento de onda é a distância de uma crista à próxima e a amplitude é a altura de uma crista em relação ao nível de equilíbrio Em muitas situações importantes incluindo ondas em uma corda a velocidade da onda v é inteiramente determinada pelas propriedades mecânicas do meio Neste caso o aumento de f produz uma diminuição de l de modo que o produto v lf permanece constante e as ondas com todas as frequências se propagam com a mesma velocidade Neste capítulo consideraremos somente ondas desse tipo Em capítulos posteriores estudaremos a propagação de uma onda luminosa em um meio material no qual a velocidade da onda depende da frequência é por isso que um prisma decompõe a luz branca formando um espectro e as gotas da chuva produzem um arcoíris ondas periódicas longitudinais Para entender a mecânica de uma onda periódica longitudinal consideramos um tubo longo repleto de fluido com um pistão em sua extremidade esquerda como indicado na figura 151b Quando empurramos o pistão para dentro comprimimos o fluido nas suas vizinhanças fazendo aumentar a pressão nessa região a seguir essa região empurra a região vizinha do fluido e assim por diante fazendo um pulso ondulatório se propagar ao longo do tubo suponha agora que o pistão seja movido para a frente e para trás executando um Mhs ao longo de uma linha paralela ao eixo do tubo Figura 156 Esse mo vimento produz regiões com densidades e pressões maiores ou menores que seus respectivos valores no equilíbrio uma compressão corresponde a uma região com densidade mais elevada uma região de densidade reduzida é chamada de expansão a figura 156 mostra compressões como regiões sombreadas escuras e expansões como regiões sombreadas claras o comprimento de onda é a distância de uma compressão à próxima ou de uma expansão à próxima a Figura 157 mostra a onda se propagando no tubo preenchido pelo fluido em intervalos de 1 8 de um período pelo tempo total de um período a configuração de compressões e expansões deslocase constantemente para a direita exatamente como a configuração de cristas e ventres em uma onda senoidal transversal com pare com a figura 154 cada partícula no fluido oscila em Mhs paralelamente à direção da propagação da onda ou seja esquerda e direita com a mesma amplitude A e período T que o pistão as partículas indicadas pelos dois pontos na figura 157 estão a um comprimento de onda de distância e assim oscilam em fase uma com a outra assim como a onda senoidal transversal mostrada na figura 154 em um período T a onda longitudinal que vemos na figura 157 se propaga um comprimento de onda l para a direita Portanto a equação fundamental v lf é válida para ondas tanto longitudinais quanto transversais e também para todos os tipos de ondas pe riódicas assim como no caso das ondas transversais neste capítulo e no próximo estudaremos apenas situações em que a velocidade das ondas longitudinais não depende da frequência Figura 156 usando um pistão oscilante para criar uma onda senoidal longitudinal em um fluido Compressão Êmbolo oscilando em MHS Expansão Velocidade da onda O movimento do êmbolo para a frente cria uma compressão uma zona de alta densidade um movimento para trás cria uma expansão uma zona de baixa densidade O comprimento de onda é a distância entre os pontos correspondentes em ciclos sucessivos v l 1 8 Ondas longitudinais são mostradas em intervalos de T para um período T Duas partículas do meio a um comprimento de onda l de distância Êmbolo oscilando em MHS As partículas oscilam com amplitude A A onda se desloca por uma distância l durante cada período T A l t 0 1 T 8 t 2 T 8 t 3 T 8 t 4 T 8 t 5 T 8 t 6 T 8 t 7 T 8 t t T Figura 157 uma onda senoidal longitudinal se propagando para a direita ao longo de um fluido a onda tem a mesma amplitude A e período T que a oscilação do pistão BookSEARSVol2indb 117 021015 149 PM 118 Física II ondas sonoras são ondas longitudinais que se propagam no ar a velocidade do som depende da temperatura a 20 c é igual a 344 ms Qual é o comprimento de onda de uma onda sonora no ar a 20 c sabendo que a frequência é 262 hz uma frequência aproximadamente igual à da tecla c médio do piano soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a Equação 151 v lf que relaciona a velocidade da onda v o compri mento de onda l e a frequência f de uma onda periódica a va riávelalvo é o comprimento de onda l são dadas v 344 ms e f 262 hz 262 s1 EXECUTAR usando a Equação 151 e explicitando a variável l obtemos l v f 344 ms 262 Hz 344 ms 262 s1 131 m AVALIAR a velocidade das ondas sonoras não é afetada por mudanças na frequência então a relação l vf nos diz que o comprimento de onda varia na proporção inversa da frequência como exemplo um c alto soprano está duas oitavas acima do c médio cada oitava corresponde a um fator dois na fre quência logo a frequência do c alto é quatro vezes maior que a frequência do c médio ou seja f 4262 hz 1048 hz Portanto o comprimento de onda correspondente a um c alto é quatro vezes menor l 131 m4 0328 m ExEmPlo 151 COMPRIMENTO DE ONDA DE UM SOM MUSICAL TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 152 se dobrarmos o comprimento de onda de uma onda em uma determinada corda o que acontece com a velocidade v e a frequência f da onda i v dobra e f não se altera ii v não se altera e f dobra iii v passa a ser a metade da original e f não se altera iv v não se altera e f passa a ser a metade da original v nenhuma das anteriores 153 dEsCrIÇÃo mATEmáTICA dAs oNdAs Muitas características das ondas periódicas podem ser descritas mediante os conceitos de velocidade da onda amplitude período frequência e comprimento de onda contudo frequentemente necessitamos de uma descrição mais detalhada de posições e movimentos de partículas individuais do meio em função do tempo durante a propagação da onda como um exemplo específico vamos examinar ondas em uma corda esticada Desprezando o pequeno encurvamento provocado pelo peso da corda a posição de equilíbrio corresponde a uma linha reta vamos usar um sistema de coordena das com o eixo Ox as ondas ao longo de uma corda são transversais durante o movimento da onda uma partícula na posição de equilíbrio x é deslocada até uma distância y perpendicular ao eixo Ox o valor de y depende da partícula específica isto é y depende de x e também é função do tempo t resumidamente y é uma função de x e de t y yx t Dizemos que yx t é a função de onda que descreve a onda Quando conhecemos essa função para uma dada onda podemos usála para achar o deslocamento a partir do equilíbrio de qualquer partícula em qualquer instante a partir desse resultado podemos calcular a velocidade e a aceleração de qualquer partícula a forma da corda e qualquer outro tipo de informação que desejarmos saber sobre o comportamento da corda em qualquer instante Função de onda de uma onda senoidal vamos mostrar como se determina a função de onda de uma onda senoidal su ponha que uma onda senoidal se propague da esquerda para a direita no sentido do aumento de x ao longo da corda como indicado na Figura 158 cada partícula da corda oscila executando um Mhs com a mesma frequência e a mesma amplitude Porém as oscilações das partículas em pontos diferentes da corda não estão todas sincronizadas a partícula assinalada pelo ponto B na figura 158 ocupa um valor de y máximo para t 0 e retorna para o valor mínimo y 0 para t 2 8T esses mesmos eventos ocorrem com uma partícula no ponto A ou no ponto C em t 4 8T e t 8 6T exatamente um meio período depois Para qualquer par de partículas dAdos mosTrAm Ondas periódicas Quando os alunos recebiam um problema sobre as propriedades das ondas periódicas mais de 25 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que para uma onda em uma corda o comprimento de onda e a frequência são independentes da amplitude interpretar de forma errada a amplitude de uma onda senoidal a diferença na altura entre uma crista e um ventre é na realidade o dobro da amplitude Figura 158 acompanhando as oscilações de três pontos em uma corda à medida que uma onda senoidal se propaga por ela A corda é mostrada em intervalos de do período por um período T 1 8 Três pontos sobre a corda a meio comprimento de onda de distância Ponto A Ponto C Ponto B Oscilador gerando onda x y x y x y x y x y x y x y x y x y l t 0 1 T 8 t 2 T 8 t 3 T 8 t 4 T 8 t 5 T 8 t 6 T 8 t 7 T 8 t t T BookSEARSVol2indb 118 021015 149 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 119 ondas sonoras são ondas longitudinais que se propagam no ar a velocidade do som depende da temperatura a 20 c é igual a 344 ms Qual é o comprimento de onda de uma onda sonora no ar a 20 c sabendo que a frequência é 262 hz uma frequência aproximadamente igual à da tecla c médio do piano soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a Equação 151 v lf que relaciona a velocidade da onda v o compri mento de onda l e a frequência f de uma onda periódica a va riávelalvo é o comprimento de onda l são dadas v 344 ms e f 262 hz 262 s1 EXECUTAR usando a Equação 151 e explicitando a variável l obtemos l v f 344 ms 262 Hz 344 ms 262 s1 131 m AVALIAR a velocidade das ondas sonoras não é afetada por mudanças na frequência então a relação l vf nos diz que o comprimento de onda varia na proporção inversa da frequência como exemplo um c alto soprano está duas oitavas acima do c médio cada oitava corresponde a um fator dois na fre quência logo a frequência do c alto é quatro vezes maior que a frequência do c médio ou seja f 4262 hz 1048 hz Portanto o comprimento de onda correspondente a um c alto é quatro vezes menor l 131 m4 0328 m ExEmPlo 151 COMPRIMENTO DE ONDA DE UM SOM MUSICAL TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 152 se dobrarmos o comprimento de onda de uma onda em uma determinada corda o que acontece com a velocidade v e a frequência f da onda i v dobra e f não se altera ii v não se altera e f dobra iii v passa a ser a metade da original e f não se altera iv v não se altera e f passa a ser a metade da original v nenhuma das anteriores 153 dEsCrIÇÃo mATEmáTICA dAs oNdAs Muitas características das ondas periódicas podem ser descritas mediante os conceitos de velocidade da onda amplitude período frequência e comprimento de onda contudo frequentemente necessitamos de uma descrição mais detalhada de posições e movimentos de partículas individuais do meio em função do tempo durante a propagação da onda como um exemplo específico vamos examinar ondas em uma corda esticada Desprezando o pequeno encurvamento provocado pelo peso da corda a posição de equilíbrio corresponde a uma linha reta vamos usar um sistema de coordena das com o eixo Ox as ondas ao longo de uma corda são transversais durante o movimento da onda uma partícula na posição de equilíbrio x é deslocada até uma distância y perpendicular ao eixo Ox o valor de y depende da partícula específica isto é y depende de x e também é função do tempo t resumidamente y é uma função de x e de t y yx t Dizemos que yx t é a função de onda que descreve a onda Quando conhecemos essa função para uma dada onda podemos usála para achar o deslocamento a partir do equilíbrio de qualquer partícula em qualquer instante a partir desse resultado podemos calcular a velocidade e a aceleração de qualquer partícula a forma da corda e qualquer outro tipo de informação que desejarmos saber sobre o comportamento da corda em qualquer instante Função de onda de uma onda senoidal vamos mostrar como se determina a função de onda de uma onda senoidal su ponha que uma onda senoidal se propague da esquerda para a direita no sentido do aumento de x ao longo da corda como indicado na Figura 158 cada partícula da corda oscila executando um Mhs com a mesma frequência e a mesma amplitude Porém as oscilações das partículas em pontos diferentes da corda não estão todas sincronizadas a partícula assinalada pelo ponto B na figura 158 ocupa um valor de y máximo para t 0 e retorna para o valor mínimo y 0 para t 2 8T esses mesmos eventos ocorrem com uma partícula no ponto A ou no ponto C em t 4 8T e t 8 6T exatamente um meio período depois Para qualquer par de partículas dAdos mosTrAm Ondas periódicas Quando os alunos recebiam um problema sobre as propriedades das ondas periódicas mais de 25 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que para uma onda em uma corda o comprimento de onda e a frequência são independentes da amplitude interpretar de forma errada a amplitude de uma onda senoidal a diferença na altura entre uma crista e um ventre é na realidade o dobro da amplitude Figura 158 acompanhando as oscilações de três pontos em uma corda à medida que uma onda senoidal se propaga por ela A corda é mostrada em intervalos de do período por um período T 1 8 Três pontos sobre a corda a meio comprimento de onda de distância Ponto A Ponto C Ponto B Oscilador gerando onda x y x y x y x y x y x y x y x y x y l t 0 1 T 8 t 2 T 8 t 3 T 8 t 4 T 8 t 5 T 8 t 6 T 8 t 7 T 8 t t T sobre a corda o movimento da partícula da direita em relação à onda a partícula corrente abaixo se atrasa em relação ao movimento da partícula da esquerda em um valor proporcional à distância entre as partículas Portanto existem diferenças de sincronia entre os diversos pontos oscilantes da corda correspondentes a várias frações do ciclo durante seus movimentos cí clicos chamamos essas diferenças de sincronia de diferenças de fase e dizemos que cada ponto possui uma fase durante o movimento Por exemplo quando um ponto possui seu deslocamento positivo máximo enquanto outro ponto possui seu deslocamento negativo máximo os dois pontos se encontram em uma diferença de fase equivalente a meio ciclo Este caso é exemplificado pelos pontos A e B ou pelos pontos B e C suponha que o deslocamento de uma partícula na extremidade esquerda da corda x 0 onde a onda começa seja dado por yx 0 t A cos vt A cos 2p ft 152 ou seja a partícula oscila executando um Mhs com amplitude A frequência f e frequência angular v 2pf a notação yx 0 t serve para lembrar que o deslocamento dessa partícula é um caso particular da função de onda yx t que descreve o movimento ondulatório inteiro Para t 0 a partícula no ponto x 0 está em seu deslocamento positivo máximo y A e instantaneamente em repouso porque o valor de y é um máximo a perturbação ondulatória se propaga de x 0 até um ponto x à direita da ori gem em um intervalo xv onde v é a velocidade da onda Portanto o movimento do ponto x no instante t é igual ao movimento do ponto x 0 no instante t xv Logo podemos achar o deslocamento x no instante t simplesmente substituindo t na Equação 152 por t xv y1x t2 Acos c vat x vb d como cosu cos u podemos reescrever a função de onda como 153 Amplitude Frequência angular 2pf Velocidade da onda Posição Tempo Função de onda para uma onda senoidal movendose no sentido x ax v b c d v t y1x t2 Acos o deslocamento yx t é uma função da posição x e do tempo t Poderíamos generalizar a Equação 153 levando em conta os diferentes valores do ângulo de fase como fizemos no caso do movimento harmônico simples discutido na seção 142 mas não faremos isso neste momento Podemos reescrever a função de onda dada pela Equação 153 de diversos modos úteis diferentes Podemos expressála em termos do período T 1f e do compri mento de onda l vf 2p vv 154 Amplitude Comprimento de onda Período Posição Tempo Função de onda para uma onda senoidal movendose no sentido x ax l t T b c d y1x t2 Acos 2p é conveniente definir uma grandeza k denominada número de onda BookSEARSVol2indb 119 021015 149 PM 120 Física II k 2p l 1número de onda2 155 substituindo l 2pk e f v2p na Equação 151 v lf obtemos v vk onda periódica 156 a seguir podemos reescrever a Equação 154 na forma 157 Amplitude Número de onda 2pl Frequência angular 2pf Posição Tempo Função de onda para uma onda senoidal movendose no sentido x y 1x t2 Acos1kx vt2 Qual das diferentes formas da função de onda yx t devemos usar para um problema específico é uma questão de conveniência Note que v possui unidades de rads de modo que para que as unidades das equações 156 e 157 sejam con sistentes o número de onda k deve possuir unidades de radm aviso alguns livros definem o número de onda como 1l em vez de 2pl gráfico da função de onda um gráfico da função de onda yx t em função de x para um tempo específico t é indicado na Figura 159a Esse gráfico fornece o deslocamento y de uma partícula a partir de sua posição de equilíbrio em função da coordenada x da partícula No caso de uma onda transversal se propagando em uma corda o gráfico indicado na figura 159a representa a forma da onda em cada instante como uma fotografia instantânea da corda Em particular para o tempo t 0 y1x t 02 A cos kx A cos 2p x l um gráfico da função de onda em função do tempo t para uma coordenada x fixa é mostrado na figura 159b Esse gráfico fornece o deslocamento y de uma partícula para essa coordenada em função do tempo ou seja ele descreve o movimento dessa partícula Na posição x 0 y1x 0 t2 A cos1 vt2 A cos vt A cos 2p t T Este resultado é coerente com nossa afirmação inicial sobre o movimento para x 0 Equação 152 ATENÇÃo Gráficos de ondas Embora possam parecer iguais à primeira vista a figura 159a e a figura 159b não são idênticas a figura 159a é o desenho da forma da corda em t 0 enquanto a figura 159b é um gráfico do deslocamento y de uma partícula para x 0 em função do tempo mais sobre função de onda Podemos modificar as equações 153 a 157 para representar uma onda se pro pagando no sentido negativo do eixo Ox Nesse caso o deslocamento do ponto x para um tempo t é o mesmo que o deslocamento do ponto x 0 para um tempo posterior t xv Logo substituindo t na Equação 152 por t xv obtemos para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo Ox Figura 159 Dois gráficos da função de onda yx t na Equação 157 a Gráfico do deslocamento y em função de x para um tempo t 0 b Gráfico do deslocamento y em função do tempo t quando x 0 a escala vertical está exagerada em a e em b a Se usarmos a Equação 157 para fazer o gráfco de y em função de x para o tempo t 0 a curva mostra a forma da corda em t 0 b Se usarmos a Equação 157 para fazer o gráfco de y em função de t para a posição x 0 a curva mostra o deslocamento y da partícula em x 0 em função do tempo x A A Comprimento de onda l t y Período T A y A BookSEARSVol2indb 120 021015 149 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 121 y1x t2 A cos cv ax v tb d A cos c2p ax l t T b d A cos1kx vt2 onda senoidal movendose no sentido x 158 Na expressão yx t A coskx vt para uma onda se propagando no sentido x ou no sentido x a grandeza kx vt denominase fase Ela desempenha o papel de uma grandeza angular sempre medida em radianos na Equação 157 ou na Equação 158 e seu valor para qualquer x e para qualquer tempo t determina qual é a parte do ciclo senoidal que está ocorrendo em um dado ponto e em um de terminado tempo Para uma crista onde y A e a função do cosseno tem valor 1 a fase poderia ser igual a 0 2p 4p e assim por diante para um ventre onde y A e o cosseno tem o valor 1 poderia ser igual a p 3p 5p e assim por diante a velocidade da onda é a velocidade com a qual temos de nos deslocar ao longo da onda para que a fase de um determinado ponto permaneça constante como uma crista particular de uma onda que se propaga ao longo de uma corda Para uma onda se propagando no sentido x isso significa que kx vt permanece constante Derivando em relação ao tempo t obtemos k dxdt v ou dx dt v k comparando esse resultado com a Equação 156 vemos que dxdt é a velocidade da onda v Por essa relação algumas vezes v é chamada de velocidade de fase da onda um nome melhor seria módulo da velocidade de fase da onda ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 151 ONDAS MECÂNICAS iDENTiFiCAr os conceitos relevantes como sempre identifique as variáveisalvo estas podem incluir expressões matemáticas por exemplo a função de onda para determinada situação observe que os problemas sobre ondas pertencem a duas gran des categorias Nos problemas de cinemática estamos interes sados apenas na descrição do movimento da onda as grandezas relevantes são a velocidade da onda v o comprimento de onda l ou o número de onda k a frequência f ou a frequência an gular v e a amplitude A Elas também podem envolver a posição a velocidade e a aceleração de partículas individuais no meio os problemas de dinâmica também usam concei tos das leis de Newton como força e massa como exemplo posteriormente neste capítulo encontraremos problemas que envolvem a relação da velocidade da onda com as proprieda des mecânicas do meio PrEPArAr o problema usando os seguintes passos 1 faça uma lista das grandezas cujos valores são fornecidos Esboce gráficos de y em função de x como na figura 159a e de y em função de t como na figura 159b e rotuleos com valores conhecidos 2 identifique equações úteis Elas podem incluir a Equação 151 v lf a Equação 156 v vk e as equações 153 154 e 157 que expressam a função de onda de diversas formas Pela função de onda você poderá encontrar o valor de y em qualquer ponto valor de x e em qualquer tempo t 3 se for preciso determinar a velocidade de onda v e você não conhecer l e f poderá utilizar a relação entre v e as proprie dades mecânicas do sistema Na próxima seção desenvol veremos essa relação para ondas em uma corda ExECuTAr a solução resolva as grandezas desconhecidas usando as equações que você identificou Para determinar a função de onda a partir das equações 153 154 ou 157 você precisa conhecer A e dois quaisquer entre v l e f ou v k e v AVAliAr sua resposta confirme se os valores de v f e l ou v v e k concordam com as relações dadas na Equação 151 ou na 156 se você tiver calculado a função de onda verifique um ou mais casos especiais para os quais você pode prever quais seriam os resultados seu primo tobias está brincando com a corda de seu varal de roupas sacudindoa senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 200 hz e uma amplitude de 0075 m a velocidade da onda é v 120 ms No instante t 0 a extremidade de tobias possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso suponha que nenhuma onda seja re fletida de volta na extremidade afastada a ache a amplitude da onda A a frequência angular v o período T o comprimento de ExEmPlo 152 ONDA NA CORDA DE UM VARAL Continua BookSEARSVol2indb 121 021015 149 PM 122 Física II onda l e o número de onda k b Escreva uma função de onda que a descreva c Escreva equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que tobias segura e em um ponto situado a 30 m dessa extremidade soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este é um problema de cinemá tica sobre o movimento da corda do varal como tobias move a mão de uma forma senoidal ele produz uma onda senoidal que se propaga pela corda assim podemos usar todas as ex pressões que deduzimos nesta seção No item a as variáveis que queremos encontrar são A v T l e k Então usamos as relações v 2p f f 1T v lf e k 2pl Nos itens b e c nossas variáveis são expressões para o deslocamento as quais obteremos a partir da equação apropriada para a função de onda tomamos o sentido x como o sentido em que a onda se propaga então podemos usar as equações 154 ou 157 para gerar a expressão desejada uma fotografia da corda do varal no tempo t 0 se pareceria com a figura 159a com o deslo camento máximo em x 0 a extremidade que tobias segura em sua mão EXECUTAR a a amplitude da onda e a frequência são as mes mas que para as oscilações na extremidade do varal de tobias A 0075 m e f 200 hz assim v 2pf a2p rad ciclo b a200 ciclos s b 400p rads 126 rads o período é T 1f 0500 s e pela Equação 151 l v f 120 ms 200 s1 600 m achamos o número de onda pela Equação 155 ou pela 156 k 2p l 2p rad 600 m 105 radm ou k v v 400p rads 120 ms 105 radm b como encontramos os valores de A T e l no item a pode mos escrever a função de onda usando a Equação 154 y1x t2 A cos 2p ax l t Tb 10075 m2 cos 2p a x 600 m t 0500 s b 10075 m2 cos31105 radm2 x 1126 rads2 t4 Poderíamos também ter obtido essa mesma relação partindo da Equação 157 usando os valores de v e de k obtidos no item a c Podemos achar o deslocamento em função do tempo em x 0 e x 30 m substituindo esses valores na função de onda encontrada no item b y1x 0 t2 10075 m2 cos 2p a 0 600 m t 0500 s b 10075 m2 cos 1126 rads2 t y 1x 300 m t2 10075 m2 cos 2p a300 m 600 m t 0500 s b 10075 m2 cos 3p 1126 rads2 t4 10075 m2 cos 1126 rads2 t AVALIAR no item b a quantidade 105 radmx 126 radst é a fase de um ponto x na corda no tempo t os dois pontos no item c oscilam em Mhs com a mesma frequência e am plitude porém as oscilações estão defasadas por 105 radm 300 m 315 rad p radianos ou seja meio ciclo pois os pontos estão separados por meio comprimento de onda l2 600 m2 300 m assim embora um gráfico de y em função de t para o ponto x 0 seja uma curva de cosseno como a figura 159b um gráfico de y em função de t para o ponto x 30 m é uma curva de cosseno negativo o mesmo que uma curva de cosseno deslocada em meio ciclo usando a relação anterior para yx 0 t no item c você é capaz de mostrar que a extremidade da corda x 0 no ins tante t 0 está em repouso conforme afirmamos no início deste exemplo Dica calcule a velocidade de y nesse ponto derivando y em relação a t Continuação Velocidade e aceleração de uma partícula em uma onda senoidal conhecendo a função de onda podemos obter uma expressão para a velocidade transversal de qualquer partícula em uma onda transversal vamos designála por vy para distinguila da velocidade v da onda Para achar a velocidade transversal vy em um ponto particular x derivamos a função de onda yx t em relação a t mantendo x constante se a função de onda for yxt A coskx vt então vy1x t2 0y1x t2 0t vAsen 1kx vt2 159 BookSEARSVol2indb 122 021015 149 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 123 o símbolo nesta relação é um d modificado usado para lembrar que yxt é uma função de duas variáveis e que somente uma delas t está variando a ou tra x permanece constante porque estamos considerando um ponto particular da corda Esse tipo de derivada chamase derivada parcial caso você ainda não tenha estudado esse assunto em seu curso de cálculo não se preocupe esse conceito é muito simples a Equação 159 mostra que a velocidade transversal de uma partícula varia com o tempo como era de se esperar para um movimento harmônico simples a velocidade máxima da partícula é igual a vA esse valor pode ser maior menor ou igual à velocidade de propagação da onda v dependendo da amplitude e da frequência da onda a aceleração de uma partícula é dada pela derivada parcial de segunda ordem de yxt em relação a t ay1x t2 02y 1x t2 0t2 v2A cos1kx vt2 v2y1x t2 1510 a aceleração de uma partícula é igual a v2 vezes seu deslocamento resultado igual ao obtido na seção 132 para um Mhs Podemos também calcular as derivadas parciais de yx t em relação a x en quanto t permanece constante a primeira derivada yxtx fornece a inclinação da corda no ponto x e no tempo t a segunda derivada em relação a x fornece a curvatura da corda 02y 1x t2 0x2 k2A cos 1kx vt2 k2y1x t2 1511 Pelas equações 1510 e 1511 e usando a relação v vk concluímos que 02y 1x t2 0t2 02y 1x t2 0x2 v2 k2 v2 e 1512 Segunda derivada em função de x Segunda derivada em função de t Equação de onda envolve segundas derivadas parciais da função de onda v2 1 0x2 02y1x t2 0t2 02y1x t2 Velocidade da onda Derivamos a Equação 1512 para uma onda se propagando no sentido x você pode usar os mesmos passos para mostrar que a função de onda para uma onda senoidal se propagando no sentido x negativo yx t A coskx vt também satisfaz essa equação a Equação 1512 denominada equação de onda é uma das mais importantes da física Quando ela ocorre sabemos que existe uma onda se propagando ao longo do eixo Ox com velocidade v a perturbação não precisa ser necessariamente uma onda senoidal na próxima seção veremos que qualquer onda se propagando ao longo de uma corda é descrita pela Equação 1512 quer ela seja periódica quer não No capítulo 32 mostraremos que os campos elétricos e magnéticos satisfazem a equação de onda verificase que a velocidade da onda é a velocidade da luz o que nos leva a concluir que a luz é uma onda eletromagnética a Figura 1510a mostra a velocidade vy e a aceleração ay fornecidas pelas equa ções 159 e 1510 para diversos pontos ao longo de uma corda à medida que uma onda senoidal se propaga observe que nos pontos em que a curvatura da corda é BookSEARSVol2indb 123 021015 149 PM 124 Física II voltada para cima 2yx2 0 a aceleração do ponto é positiva ay 2yt2 0 isso decorre da equação de onda Equação 1512 Pelo mesmo motivo a aceleração é negativa ay 2yt2 0 nos pontos em que a curvatura da corda é voltada para baixo 2yx2 0 e a aceleração é igual a zero ay 2yt2 0 nos pontos de inflexão em que a curvatura da corda é igual a zero 2yx2 0 Lembrese de que vy e ay são respectivamente a velocidade e a aceleração transversais de pontos sobre a corda esses pontos se movem ao longo da direção y e não ao longo da direção da propagação da onda a figura 1510b indica os movimentos transversais de diversos pontos sobre a corda Para ondas longitudinais a função de onda yx t ainda mede o deslocamento de uma partícula do meio a partir de sua posição de equilíbrio a diferença é que no caso de uma onda longitudinal esse deslocamento é paralelo ao eixo Ox em vez de perpendicular a ele No capítulo 16 estudaremos ondas longitudinais de modo mais detalhado TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 153 a figura 158 mostra uma onda senoidal de período T em uma corda nos tempos 0 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 1 T 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 T 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 T 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 T 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 T 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 T 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8T e T a Em que momento o ponto A da corda está se movendo para cima com velocidade máxima b Em que momento o ponto B da corda possui a maior aceleração para cima c Em que momento o ponto C da corda possui aceleração para baixo e velocidade para cima 154 VELoCIdAdE dE UmA oNdA TrANsVErsAL uma das principais propriedades de qualquer onda é sua velocidade de pro pagação a velocidade da luz no ar é muito maior que a velocidade do som no ar 30 108 ms contra 344 ms essa diferença explica por que você ouve o som da trovoada algum tempo depois de ver a luz do relâmpago Nesta seção estudaremos o que determina a velocidade de propagação de um tipo particular de onda as ondas transversais em uma corda o estudo da velocidade dessas ondas é importante pois constitui uma parte essencial da análise de instrumentos musicais que possuem cordas esticadas conforme veremos posteriormente neste mesmo capítulo além disso verificouse que as velocidades de muitos tipos de ondas mecânicas possuem expressões matemáticas basicamente iguais à expressão da velocidade da onda em uma corda as grandezas físicas que determinam a velocidade de uma onda transversal em uma corda são a tensão na corda e sua massa por unidade de comprimento também chamada de massa específica linear ou densidade linear Podemos supor que o aumento da tensão produz um aumento da força restauradora que tende a esticar Figura 1510 a outra visão da onda indicada na figura 159a para t 0 os vetores mostram a velocidade transversal vy e a aceleração transversal ay de diversos pontos sobre a corda b De t 0 a t 005T uma partícula no ponto 1 é deslocada para o ponto 1 uma partícula no ponto 2 é deslocada para o ponto 2 e assim por diante A aceleração ay em cada ponto da corda é proporcional ao deslocamento y naquele ponto A aceleração é para cima quando a corda se curva para cima e para baixo quando a corda se curva para baixo A A O vy 0 vy 0 ay 0 ay 0 ay 0 vy vy vy vy vy vy v vy vy vy x y ay ay ay ay ay ay ay ay 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 a Onda em t 0 y b A mesma onda em t 0 e em t 005T v 2 29 39 49 59 69 89 99 109 119 9 79 8 19 3 4 5 6 7 10 11 1 A A O x t 0 t 005T BookSEARSVol2indb 124 021015 149 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 125 a corda quando ela é perturbada provocando um aumento na velocidade da onda Podemos supor também que o aumento da massa deve fazer o movimento ficar mais lento causando uma diminuição da velocidade da onda Deduziremos a relação que envolve a velocidade da onda a tensão e a densidade linear usando dois métodos diferentes o primeiro se baseia em conceitos simples e considera uma forma de onda específica o segundo é mais geral e também mais formal Velocidade da onda em uma corda primeiro método considere uma corda perfeitamente flexível Figura 1511 Na posição de equi líbrio a tensão é F e a densidade linear massa por unidade de comprimento é igual a m Quando uma parte da corda é deslocada de sua posição de equilíbrio a densidade linear diminui um pouco e a tensão aumenta um pouco Podemos desprezar o peso da corda de modo que quando ela está na posição de equilíbrio forma uma linha reta perfeita como indicado na figura 1511a começando em t 0 aplicamos uma força transversal constante Fy na extre midade esquerda da corda Poderíamos esperar que essa extremidade se movesse com aceleração constante isso ocorreria se a força fosse aplicada a uma massa puntiforme Porém neste caso o efeito da força Fy é aumentar sucessivamente a quantidade de massa que entra em movimento a onda se desloca com velo cidade constante v portanto o ponto P que separa a parte da onda que está em repouso da parte em movimento se desloca com a mesma velocidade constante v figura 1511b como indicado na figura 1511b todos os pontos da parte da corda que está em movimento deslocamse com uma velocidade vy constante e não com aceleração constante Para entender como isso ocorre notamos que o impulso da força Fy até o instante t é dado por Fyt De acordo com o teorema do impulsomomento linear seção 81 o impulso é igual à variação total do componente transversal do mo mento da parte da corda que está em movimento como o sistema não começou com momento transversal zero o impulso é igual ao momento transversal total mvy no instante t impulso transversal Momento transversal Fyt mvy 1513 Portanto o momento linear total deve crescer proporcionalmente com o tempo Mas como o ponto P que separa as duas partes se desloca com velocidade cons tante o comprimento da corda que está em movimento e a massa total m em movi mento são proporcionais ao tempo t durante o qual a força atua assim a variação do momento linear deve estar inteiramente associada com a massa crescente em movimento e não com a velocidade crescente de um elemento de massa individual ou seja mvy varia em virtude da variação da massa m e não por causa de vy Figura 1511 Propagação de uma onda transversal em uma corda F P Equilíbrio Movendose para cima com velocidade vy Componente vertical Fy Componente horizontal F Ainda em repouso A perturbação se propaga com velocidade de onda v a Corda em equilíbrio b Parte da corda está em movimento F F vyt vt vy vy vy v BookSEARSVol2indb 125 021015 149 PM 126 Física II No tempo t a extremidade esquerda da corda se deslocou uma distância vyt e o ponto P da fronteira se deslocou uma distância vt a força total sobre a extremidade esquerda da corda possui componentes F e Fy Por que F Não existe nenhum movi mento ao longo da direção da corda portanto não existem forças desequilibradas na direção horizontal Logo o módulo F do componente da força na direção horizontal não varia quando a corda é deslocada Na posição fora do equilíbrio a tensão é dada por F2 Fy 212 maior que F e a corda estica ligeiramente Para deduzir uma expressão para a velocidade da onda v observamos que na figura 1511b o triângulo retângulo cujo vértice está no ponto P com lados vyt e vt é semelhante ao triângulo retângulo cujo vértice está no ponto onde se encontra a mão e possui lados Fy e F Portanto Fy F vy t vt Fy F vy v e Impulso transversal Fyt F t vy v a massa m da parte da corda que está em movimento é igual ao produto da den sidade linear m vezes o comprimento vt ou seja mvt o momento linear transversal é o produto de sua massa pela velocidade transversal vy Momento linear transversal mvy mvtvy substituindo estes na Equação 1513 obtemos F vy v t mvtvy Explicitando a velocidade de onda v obtemos 1514 Tensão na corda Densidade linear Velocidade de uma onda transversal em uma corda v F m a Equação 1514 confirma nossa previsão de que a velocidade da onda v deve aumentar quando a tensão F aumenta porém deve diminuir quando a densidade linear m aumenta Figura 1512 Note que vy não aparece na Equação 1514 portanto a velocidade da onda não depende de vy Nossos cálculos consideraram apenas um tipo especial de pulso porém podemos considerar que uma perturbação ondulatória com qualquer forma seja uma superposição de pulsos com diferentes valores de vy assim embora a Equação 1514 tenha sido deduzida para este caso particular ela vale para qualquer movimento de uma onda transversal em uma corda incluindo a onda senoidal e outras formas de onda periódica estudadas na seção 153 Note também que a ve locidade não depende nem da amplitude nem da frequência da onda concordando com as suposições da seção 153 Velocidade da onda em uma corda segundo método faremos agora uma dedução alternativa da Equação 1514 caso não esteja familiarizado com o conceito de derivada parcial você pode omitir o estudo desta dedução aplicamos a segunda lei de Newton g m a um pequeno segmento Figura 1512 Estes cabos de transmissão possuem uma densidade linear m relativamente grande e uma tensão F pequena Portanto quando um cabo é perturbado por exemplo quando um pássaro pousa sobre ele uma onda transversal se propaga ao longo de seu comprimento com uma velocidade muito pequena v Fm BookSEARSVol2indb 126 021015 149 PM da corda em equilíbrio cujo comprimento é igual a Δx Figura 1513 A massa do segmento é dada por m μ Δx Os componentes na direção x possuem o mesmo módulo F e a resultante é igual a zero porque o movimento é transversal e não existe nenhum componente da aceleração na direção x Para obter F₁y e F₂y notamos que a razão F₁yF é igual ao módulo da inclinação da corda no ponto x e que F₂yF é igual ao módulo da inclinação da corda no ponto x Δx Levando em conta os sinais apropriados obtemos F₁yF yxx F₂yF yxxΔx 1515 A notação com índices serve para lembrar que as derivadas são calculadas nos pontos x e x Δx respectivamente Pela Equação 1515 verificamos que o componente y da força é dado por Fy F1y F2y F yxxΔx yxx 1516 Igualamos agora Fy da Equação 1516 com a massa μ Δx vezes o componente y da aceleração ²yt² Obtemos F yxxΔx yxx μ Δx ²yt² 1517 ou dividindo a Equação 1517 por F Δx yxxΔx yxxΔx μF ²yt² 1518 Tomamos agora o limite quando Δx 0 Nesse limite o lado esquerdo da Equação 1518 fornece a derivada de yx em relação a x para t constante ou seja a derivada parcial de segunda ordem de y em relação a x ²yx² μF ²yt² 1519 Agora a Equação 1519 possui exatamente a mesma forma da equação de onda Equação 1512 que foi deduzida no final da Seção 153 Aquela equação e a Equação 1519 descrevem exatamente o mesmo movimento ondulatório portanto elas Figura 1513 Diagrama do corpo livre para um segmento da corda A força em cada extremidade da corda é tangente a ela no ponto onde a força é aplicada A corda à direita do segmento não mostrada exerce uma força F₂ sobre o segmento Pode haver uma força vertical sobre o segmento mas a força horizontal é zero o movimento é transversal Comprimento deste segmento da corda em equilíbrio A corda à esquerda do segmento não mostrada exerce uma força F₁ sobre o segmento devem ser idênticas Comparando essas duas equações para que elas sejam idênticas devemos ter v Fμ que é a mesma expressão da Equação 1514 No decorrer da dedução não fizemos nenhuma hipótese especial acerca da forma da onda Como a dedução nos levou a obter novamente a Equação 1512 a equação de onda concluímos que ela é válida para qualquer tipo de forma de onda que se propaga em uma corda Velocidade das ondas mecânicas A Equação 1514 fornece a velocidade da onda só para o caso especial de ondas mecânicas sobre um fio ou corda esticados É interessante que para muitos tipos de ondas mecânicas inclusive ondas em uma corda a expressão para a velocidade de onda possui a mesma forma geral v Força restauradora devolvendo o sistema ao equilíbrio Inércia resistindo à volta ao equilíbrio Para interpretar essa expressão vamos estudar o caso já visto das ondas sobre uma corda A tensão F na corda desempenha o papel da força restauradora tendendo a levar a corda de volta à sua configuração sem perturbações em equilíbrio A massa da corda ou mais exatamente a densidade linear μ fornece a inércia que impede a corda de voltar instantaneamente ao equilíbrio Obtemos assim v Fμ para a velocidade de ondas em uma corda No Capítulo 16 veremos uma expressão semelhante para a velocidade das ondas sonoras em um gás Podemos dizer grosso modo que a pressão do gás fornece a força que tende a devolver o gás a seu estado de equilíbrio quando uma onda sonora passa por ele A inércia é dada pela densidade ou massa por unidade de volume do gás EXEMPLO 153 CÁLCULO DA VELOCIDADE DA ONDA Uma das extremidades de uma corda de 200 kg está presa a um suporte fixo no topo de um poço vertical de uma mina com profundidade igual a 800 m Figura 1514 A corda fica esticada pela ação do peso de uma caixa de minérios com massa igual a 200 kg presa na extremidade inferior da corda Um geólogo no fundo da mina balançando a corda lateralmente envia um sinal para seu colega que está no topo a Qual é a velocidade da onda transversal que se propaga na corda b Sabendo que um ponto da corda executa um MHS com f 200 Hz quantos ciclos da onda existem pela extensão da corda Movimento da onda peristáltica Da boca Bolo alimentar Para o estômago BIO Aplicação Alimentação e ondas transversais Engolir comida gera movimentos peristálticos nos quais uma onda transversal se propaga esôfago abaixo A onda é uma contração radial do esôfago que empurra o bolo alimentar a massa de alimento engolido no sentido do estômago Diferente da velocidade das ondas em uma corda uniforme a velocidade dessa onda peristáltica não é constante ela é próxima de 3 cms no esôfago superior cerca de 5 cms no esôfago médio e cerca de 25 cms no esôfago inferior Figura 1514 Usando uma onda transversal para enviar sinais por meio de uma corda vertical mcorda 200 kg 800 m mminérios 200 kg Continua Continuação peso da caixa de modo que somente a caixa forneça a tensão na corda EXECUTAR a a tensão na corda por causa da caixa de minérios é F mcaixa g 200 kg980 ms² 196 N e a densidade linear da corda é μ mcorda L 200 kg 800 m 00250 kgm Assim substituindo na Equação 1514 a velocidade da onda é v Fμ 196 N 00250 kgm 885 ms b Substituindo na Equação 151 o comprimento de onda é λ v f 885 ms 200 s¹ 443 m Existem 800 m443 m 181 comprimento de onda ou seja ciclo da onda na corda AVALIAR em virtude do peso da corda a tensão seria maior na parte superior da corda do que na parte inferior Assim tanto a velocidade quanto o comprimento de onda aumentariam à medida que a onda fosse subindo na corda Levando isso em consideração você é capaz de verificar que a velocidade da onda é igual a 929 ms no topo da corda TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 154 As seis cordas de uma guitarra têm o mesmo comprimento e quase a mesma tensão mas espessuras diferentes Em qual das cordas as ondas se propagam mais rápido i Na corda mais espessa ii na corda mais fina iii a velocidade de onda é a mesma em todas as cordas 130 Física II utilizamos o valor negativo porque Fy é negativa quando a inclinação é posi tiva como na figura 1515b Escrevemos a força vertical na forma Fyx t para lembrar que esse valor pode se alterar em pontos diferentes ao longo da corda e em instantes diferentes Quando o ponto a se move ao longo da direção y a força Fy realiza um traba lho sobre esse ponto e portanto transfere energia para a parte da corda que está à direita do ponto a a potência correspondente P taxa de realização do trabalho no ponto a é a força transversal Fyx t no ponto a vezes a velocidade transversal vyx t yx tt nesse ponto P 1x t2 Fy 1x t2 vy 1x t2 F 0y 1x t2 0x 0y 1x t2 0t 1521 Essa potência é a taxa instantânea com a qual a energia é transferida ao longo da corda na posição x e no tempo t Note que a energia é transferida somente nos pontos em que a inclinação é diferente de zero yx diferente de zero de modo que existe uma componente transversal da força de tensão e quando a corda possui uma velocidade transversal diferente de zero yt diferente de zero de modo que a força transversal possa realizar trabalho a Equação 1521 é válida para qualquer onda se propagando em uma corda senoidal ou não Quando a onda for senoidal podemos usar a função de onda dada pela Equação 157 então obtemos y1x t2 A cos 1kx vt2 0y1x t2 0x kA sen 1kx vt2 0y1x t2 0t vA sen 1kx vt2 P1x t2 FkvA2 sen21kx vt2 1522 usando as relações v vk e v2 Fm também podemos escrever a Equação 1522 na forma alternativa P1x t2 mF v2A2 sen21kx vt2 1523 a função sen2 nunca pode ser negativa portanto a potência instantânea de uma onda senoidal ou é positiva de modo que a energia flua no sentido positivo do eixo Ox ou é igual a zero nos pontos onde não existe transferência de energia a energia nunca pode ser transferida no sentido oposto ao da propagação da onda Figura 1516 o valor máximo da potência instantânea Pxt ocorre quando a função sen2 atinge o valor igual a um Pmáx mF v2A2 1524 o valor médio da função sen2 considerando qualquer número inteiro de ciclos é 1 2 Logo pela Equação 1523 vemos que a potência média Pméd é simplesmente a metade da potência instantânea máxima Pmáx figura 1516 1525 Frequência angular da onda Amplitude da onda Tensão na corda Densidade linear Potência média onda senoidal em uma corda Pméd mFv2A2 1 2 Figura 1516 a potência instantânea Px t em uma onda senoidal é dada pela Equação 1523 mostrada em função do tempo na coordenada x 0 a potência nunca é negativa o que significa que a energia nunca flui no sentido contrário à propagação da onda Período T Pméd Pmáx t P Pmáx 0 Potência da onda em função do tempo t na coordenada x 0 1 2 BookSEARSVol2indb 130 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 131 a taxa média de transferência de energia é proporcional ao quadrado da ampli tude e ao quadrado da frequência Essa proporção é um resultado geral para ondas mecânicas de todos os tipos inclusive ondas sísmicas veja a fotografia no início deste capítulo Para uma onda mecânica a taxa de transferência de energia qua druplica se a frequência for dobrada para a mesma amplitude ou se a amplitude for dobrada para a mesma frequência o processo para as ondas eletromagnéticas é um pouco diferente Embora a taxa média de transferência de energia em uma onda eletromagnética seja proporcional ao quadrado da amplitude assim como ocorre com as ondas mecânicas ela inde pende do valor de v a No Exemplo 152 seção 153 qual é a taxa de transferência de energia máxima que tobias fornece à corda ou seja qual é a potência instantânea máxima suponha que a densidade linear da corda do varal seja m 0250 kgm e que tobias aplique uma tensão F 360 N b Qual é a potência média c À medida que tobias vai se cansando a amplitude diminui Qual é a potên cia média quando a amplitude diminui para 750 mm soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a variável que buscamos no item a é a potência instantânea máxima Pmáx enquanto nos itens b e c é a potência média Para o item a usaremos a Equação 1524 e para os itens b e c usaremos a Equação 1525 o Exemplo 152 nos oferece todas as quantidades necessárias EXECUTAR a pela Equação 1524 Pmáx mFv2A2 1 0250 kgm2 1 360 N2 1400p rads221 0075 m22 266 W b usando as equações 1524 e 1525 a potência média é a me tade da potência instantânea máxima portanto Pméd 1 2 Pmáx 1 2 1266 W2 133 W c a nova amplitude é igual a 1 10 do valor que usamos nos itens a e b a potência média é proporcional a A2 então a nova potência média é Pméd 1 1 1022 1133 W2 00133 W 133 mW AVALIAR a Equação 1523 mostra que Pmáx ocorre quando a grandeza sen2kx vt 1 Para qualquer valor dado de x isso acontece duas vezes a cada período de onda uma vez quando a função seno é igual a 1 e outra vez quando é igual a 1 a potência instantânea mínima é zero isso ocorre quando sen2 kx vt 0 o que também acontece duas vezes a cada período será que você consegue confirmar que os valores dados de m e F produzem a velocidade de onda mencionada no Exemplo 152 ExEmPlo 154 POTÊNCIA EM UMA ONDA Intensidade de onda ondas em uma corda transportam energia em apenas uma dimensão do espaço ao longo do sentido da corda Mas outros tipos de ondas inclusive ondas sonoras no ar e ondas sísmicas no corpo da terra transportam energia em todas as três di mensões do espaço Para ondas desse tipo definimos a intensidade simbolizada pela letra I como a taxa média de tempo em que a energia é transportada pela onda por unidade de área sobre uma superfície perpendicular à direção de propa gação ou seja a intensidade I é a potência média por unidade de área geralmente medida em watts por metro quadrado wm2 se as ondas se expandem igualmente em todas as direções a partir de uma fonte a intensidade a uma distância r dessa fonte é inversamente proporcional a r2 Figura 1517 Esse resultado chamado de lei do inverso do quadrado para a intensidade decorre diretamente da conservação da energia se a potência forne cida pela fonte é P então a intensidade média I1 por uma esfera com raio r1 e área de superfície 4pr1 2 é I1 P 4pr1 2 a intensidade média I2 através de uma esfera com raio r2 diferente é dada por uma expressão similar se nenhuma energia é absorvida entre as duas esferas a potência P deve ser igual para ambas e 4pr1 2I1 4pr2 2I2 Figura 1517 Quanto maior a distância de uma fonte de ondas maior a área sobre a qual a potência da onda é distribuída e menor a intensidade da onda À distância r1 da fonte a intensidade é I1 A uma distância maior r2 7 r1 a intensidade I2 é menor que I1 a mesma potência se espalha por uma área maior r1 r2 Fonte de ondas BookSEARSVol2indb 131 021015 150 PM Lei do inverso do quadrado da distância para a intensidade A intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância desde a fonte Intensidade no ponto 1 I₁ Intensidade no ponto 2 I₂ r₂² r₁² Distância da fonte ao ponto 2 Distância da fonte ao ponto 1 1526 EXEMPLO 155 A LEI DO INVERSO DO QUADRADO Uma sirene instalada sobre um poste alto irradia ondas sonoras uniformemente em todas as direções A uma distância de 150 m da sirene a intensidade do som é 0250 Wm² A que distância a intensidade é 0010 Wm² SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR como as ondas se espalham uniformemente em todas as direções podemos usar a lei do inverso do quadrado Equação 1526 A uma distância r₁ 150 m a intensidade é I₁ 0250 Wm² e a variávelalvo é a distância r₂ na qual a intensidade é I₂ 0010 Wm² EXECUTAR resolvemos a Equação 1526 para r₂ r₂ r₁ I₁ I₂ 150 m 0250 Wm² 0010 Wm² 750 m AVALIAR para verificarmos nossa resposta observe que r₂ é cinco vezes maior do que r₁ Pela lei do inverso do quadrado a intensidade I₂ deveria ser 15² 125 de I₁ e na verdade é Ao usarmos a lei do inverso do quadrado supusemos que o som se propagasse em linhas retas desde a sirene Uma solução mais realista deste problema porém fora do nosso escopo levaria em conta a reflexão das ondas sonoras a partir do solo TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 155 Cada uma de quatro cordas idênticas transporta uma onda senoidal de frequência 10 Hz A tensão na corda e a amplitude da onda são diferentes para cordas diferentes Liste as seguintes cordas em ordem do maior para o menor valor da potência média da onda i tensão 10 N amplitude 10 mm ii tensão 40 N amplitude 10 mm iii tensão 10 N amplitude 40 mm iv tensão 20 N amplitude 20 mm 156 INTERFERÊNCIA DE ONDAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DE UMA CORDA E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO Até agora estudamos ondas que se propagam continuamente na mesma direção Mas quando uma onda atinge as fronteiras de um meio ocorre reflexão da onda inteira ou de uma parte dela Quando você grita perto da parede de um edifício ou a certa distância da encosta de um morro a onda sonora se reflete na superfície rígida e um eco retorna para você Quando você balança a extremidade de uma corda que possui a outra extremidade presa em um suporte rígido um pulso se propaga ao longo da corda e se reflete retornando para você Nesses dois exemplos ocorre superposição entre a onda incidente e a refletida na mesma região do meio Essa superposição denominase interferência que se refere ao que acontece quando duas ou mais ondas passam pela mesma região ao mesmo tempo Como exemplo simples de reflexão de uma onda e o papel desempenhado pela fronteira do meio no qual a onda se propaga vamos analisar novamente uma onda transversal em uma corda esticada O que ocorre quando um pulso ondulatório ou uma onda senoidal atinge a extremidade da corda Quando a extremidade está presa a um suporte rígido como na Figura 1518 tratase de uma extremidade fixa A onda que chega exerce uma força sobre o suporte desenho 4 na Figura 1518 a reação dessa força exercida pelo suporte sobre a corda reage de volta sobre a corda e produz um pulso refletido ou onda que se propaga no sentido oposto desenho 7 O pulso refletido se move no sentido oposto ao do pulso inicial ou incidente e seu deslocamento também é oposto BIO Aplicação Ondas na superfície e a velocidade do nado dos patos Quando um pato nada ele necessariamente produz ondas na superfície da água Quanto mais rápido ele nada maior a amplitude da onda e mais potência ele precisa fornecer para produzir essas ondas A potência máxima fornecida pelos músculos de suas patas limita a velocidade máxima de nado dos patos a cerca de 07 ms 25 kmh Figura 1515 a O ponto a de uma corda na qual se propaga uma onda da esquerda para a direita b Componentes da força exercida pela parte da direita da corda sobre a parte que está à esquerda do ponto a Fᵧxt F yxtx 1520 Inclinacão ΔyΔx Movimento da onda a b Fₓ a Fᵧ A situação oposta de uma extremidade fixa é uma extremidade livre aquela que está completamente livre e pode se mover em uma direção perpendicular ao comprimento da corda Por exemplo ela poderia estar amarrada em um anel leve que desliza ao longo de uma haste sem atrito perpendicular como indicado na Figura 1519 O anel e a haste mantém a tensão ao longo da barra mas não exercem forças transversais Quando uma onda atinge essa extremidade fixa o anel desliza ao longo da haste Quando o anel atinge seu deslocamento máximo ele e a corda atingem momentaneamente o equilíbrio como indicado no desenho 4 da Figura 1519 Porém nesse momento a corda está esticada submetida a uma tensão máxima de modo que a extremidade livre da corda é puxada para baixo e novamente se produz um pulso refletido desenho 7 Como no caso da extremidade fixa o pulso refletido se desloca no sentido contrário ao do pulso inicial porém agora o pulso se reflete por cima da corda ou seja o deslocamento ocorre no mesmo sentido do deslocamento do pulso inicial As condições na extremidade da corda como um suporte rígido ou a ausência completa da força transversal denominamse condições de contorno ou de limite A formação de um pulso refletido é semelhante à superposição de dois pulsos que se deslocam em sentidos opostos A Figura 1520 mostra dois pulsos com a mesma forma um invertido em relação ao outro se deslocando em sentidos opostos Quando os dois pulsos se superpõem e um passa sobre o outro o deslocamento total da corda é a soma algébrica dos deslocamentos dos pulsos individuais no ponto onde eles se encontram Como os dois pulsos possuem a mesma forma o deslocamento total no ponto O no centro da figura é sempre igual a zero Portanto o movimento na metade esquerda da corda seria igual ao obtido caso ela fosse cortada no ponto O retirandose a metade da direita e mantendose a outra metade fixa no ponto O Então os dois pulsos do lado esquerdo correspondem aos pulsos incidente e refletido combinados de tal modo que o deslocamento no ponto O seja sempre zero Para que isso ocorra o pulso refletido deve ser sempre invertido em relação ao incidente assim como para o reflexo da extremidade fixa na Figura 1518 Figura 1519 Reflexão de um pulso ondulatório na extremidade livre de uma corda O tempo aumenta de cima para baixo Compare com a Figura 1518 O pulso chega na extremidade livre A haste não exerce força transversal sobre a corda O pulso reflete a partir da extremidade livre sem se inverter Figura 1520 Superposição de dois pulsos ondulatórios se deslocando em sentidos opostos sendo um invertido em relação ao outro O tempo aumenta de cima para baixo À medida que os pulsos se superpõem o deslocamento da corda em qualquer ponto é a soma algébrica do deslocamento decorrente dos pulsos individuais Formas que cada pulso teria sem interferência Figura 1518 Reflexão de um pulso ondulatório na extremidade fixa de uma corda O tempo aumenta de cima para baixo O pulso chega na extremidade fixa A corda exerce uma força para cima na parede a parede exerce uma força de reação para baixo sobre a corda O pulso inverte ao se refletir a partir da extremidade fixa 134 Física II a Figura 1521 mostra dois pulsos com a mesma forma deslocandose em senti dos opostos mas eles não estão invertidos um em relação ao outro o deslocamento no ponto O no meio da figura não é zero mas a inclinação da corda nesse ponto é sempre igual a zero De acordo com a Equação 1520 isso corresponde a uma ausência de qualquer força transversal nesse ponto Nesse caso o movimento da metade da direita da corda seria o mesmo que o obtido se cortássemos a corda no ponto O e fixássemos esse ponto em um anel deslizando sem atrito figura 1519 o qual mantém a tensão mas não exerce nenhuma força transversal Em outras palavras essa situação corresponde à reflexão de um pulso na extremidade livre de uma corda no ponto O Nesse caso o pulso refletido não é invertido o princípio da superposição a combinação de dois pulsos separados em um mesmo ponto para obter um deslocamento resultante é um exemplo do princípio da superposição quando duas ondas se superpõem o deslocamento resultante em qualquer ponto da corda em qualquer instante é obtido somandose os deslocamentos individuais que cada ponto deveria ter caso o outro deslocamento não existisse Em outras palavras a função de onda yx t que descreve o deslocamento resultante é obtida pela soma das duas funções de onda das duas ondas separadas yx t y1x t y2x t 1527 Funções de onda de duas ondas superpostas Princípio da superposição Função de onda da onda combinada soma das funções de onda individuais Matematicamente essa propriedade aditiva das funções de onda decorre da forma da equação de onda Equação 1512 ou 1519 que deve ser satisfeita por qualquer tipo de onda fisicamente possível Especificamente a equação de onda é linear ela contém a função yx t elevada apenas a uma potência igual a um não existem termos envolvendo potências yx t2 yx t12 etc Portanto quando duas funções y1x t e y2x t satisfazem separadamente à equação de onda sua soma y1x t y2x t também satisfaz a essa equação sendo assim um movimento fisicamente possível como esse princípio depende da linearidade da equação de onda e da propriedade correspondente da combinação linear das soluções ele tam bém é chamado de princípio da superposição linear Para alguns sistemas físicos como um meio que não segue a lei de hooke a equação de onda não é linear esse princípio não se aplica a tais sistemas o princípio da superposição é de importância fundamental para todos os tipos de onda Quando um amigo está falando com você enquanto você está ouvindo música é possível distinguir perfeitamente o som da conversa e o som da música isso ocorre precisamente porque o som total que chega aos seus ouvidos é a soma algébrica do som produzido pela voz do seu amigo e da onda produzida pelo alto falante do seu aparelho de som caso os sons não se combinassem linearmente dessa forma simples o som que você ouviria no caso desse exemplo seria irreme diavelmente indistinguível o princípio da superposição também se aplica para ondas eletromagnéticas como no caso da luz TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 156 a Figura 1522 mostra dois pulsos ondu latórios com formas diferentes deslocandose em sentidos diferentes ao longo de uma corda faça uma série de desenhos como os da figura 1521 mostrando a forma da corda enquanto os dois pulsos se aproximam superpõem e passam um pelo outro Figura 1521 superposição de dois pulsos ondulatórios deslocandose em sentidos opostos e um pulso não está invertido em relação ao outro o tempo aumenta de cima para baixo compare com a figura 1520 O Figura 1522 Dois pulsos ondulatórios com formas diferentes BookSEARSVol2indb 134 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 135 157 oNdAs soNorAs EsTACIoNárIAs Em UmA CordA analisamos a reflexão de um pulso ondulatório em uma corda quando ele chega a um ponto de contorno tanto no caso de uma extremidade fixa quanto no de uma extremidade móvel agora examinaremos o que ocorre quando uma onda senoidal é refletida pela extremidade fixa de uma corda vamos considerar novamente a superposição de duas ondas que se propagam através da corda uma representando a onda incidente e a outra a onda refletida na extremidade fixa a Figura 1523 mostra uma corda presa em sua extremidade esquerda sua extremidade direita oscila de cima para baixo em Mhs e produz uma onda que se propaga para a esquerda a onda refletida pela extremidade fixa se desloca para a direita o movimento ondulatório resultante quando as duas ondas se combinam não mais se parece com duas ondas que se propagam em sentidos opostos a corda parece estar subdividida em diversos segmentos conforme indicam as fotografias de longa exposição mostradas nas figuras 1523a 1523b 1523c e 1523d a figura 1523e mostra duas formas instantâneas da corda na figura 1523b vamos compa rar esse comportamento com as ondas que estudamos nas seções 151 a 155 Em uma onda que se propaga ao longo de uma corda a amplitude é constante e o padrão da onda se desloca com velocidade igual à da onda No caso presente ao contrário o padrão da onda permanece inalterado ao longo da corda e sua amplitude flutua Existem pontos particulares chamados de nós que nunca se movem indicados pela letra N na figura 1523e No meio de dois nós consecutivos existe um ponto chamado ventre indicado pela letra V na figura 1523e no qual a amplitude do movimento é máxima como o padrão da onda não parece se mover ao longo da corda ela é chamada onda estacionária Para acentuar a diferença uma onda que se move ao longo da corda denominase onda progressiva o princípio da superposição explica como as ondas incidentes e refletidas se combinam formando uma onda estacionária Na Figura 1524 as curvas vermelhas mostram ondas progressivas se deslocando da direita para a esquerda as curvas azuis mostram ondas progressivas se deslocando da esquerda para a direita com Figura 1523 ad tempos de exposição de ondas estacionárias em uma corda esticada De a até d a frequência da oscilação produzida pela extremidade direita aumenta e o comprimento de onda da onda estacionária diminui e os extremos dos movimentos da onda estacionária indicada em b mostrando os nós formados no centro e nas extremidades a extremidade direita se move muito pouco em comparação com os ventres de modo que ela é essencialmente um nó N nós pontos em que a corda nunca se move V ventres pontos em que a amplitude do movimento da corda é a maior a A corda tem meio comprimento de onda d A corda tem dois comprimentos de onda e A forma da corda em b em dois instantes diferentes b A corda tem um comprimento de onda c A corda tem comprimento de onda de um e meio N V N N V BookSEARSVol2indb 135 021015 150 PM 136 Física II a mesma velocidade de propagação o mesmo comprimento de onda e a mesma amplitude as ondas são indicadas em nove instantes sucessivos afastadas em 1 16 de um período Para cada ponto ao longo da corda somamos os deslocamentos das duas curvas os valores de y a superposição fornece a onda resultante indicada pela curva dourada Em certos instantes como t 1 4 T as duas ondas claras estão exatamente super postas porque estão em fase e a forma da onda é uma curva senoidal com amplitude igual ao dobro da amplitude de cada uma das duas ondas individuais componentes Em outros instantes como o instante t 1 2 T as duas ondas estão completamente defasadas entre si e nesse instante a superposição das ondas fornece uma onda resultante igual a zero o deslocamento resultante é sempre igual a zero em todos os pontos indicados pela letra N na parte inferior da figura 1524 Esses pontos são os nós Em cada nó os deslocamentos das duas ondas azul e vermelha são sempre iguais e opostos e a soma é igual a zero Esse cancelamento denominase interferência destrutiva No ponto no meio da distância entre dois nós consecu tivos ocorre uma amplitude máxima correspondente a um ventre designado pela letra V Nos ventres os deslocamentos das duas curvas azul e vermelha são iguais e possuem o mesmo sinal dando origem a um deslocamento resultante máximo esse fenômeno é conhecido como interferência construtiva vemos claramente na Figura 1524 formação de uma onda estacionária ondas progressivas se deslocando para a esquerda curvas vermelhas se combinam com ondas progressivas se deslocando para a direita curvas azuis formando ondas estacionárias curvas douradas t T T t T T t T T t T T t T l 2 l 2 l 2 A posição de equilíbrio da corda é indicada pelo eixo x em cada fgura Nesse instante as ondas coincidem então elas se somam produzindo o deslocamento máximo da corda Nesse instante as ondas se cancelam então o deslocamento da corda é zero N N N N N N N V V V V V V x x x x x x x x x y 1 16 3 16 5 16 7 16 9 16 t 1 8 t 1 4 t 3 8 t 1 2 BookSEARSVol2indb 136 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 137 figura que a distância entre dois nós consecutivos ou a distância entre dois ventres consecutivos é igual a l2 ou metade do comprimento de onda Podemos deduzir uma função de onda para a onda estacionária da figura 1524 somando as funções de onda y1x t e y2x t para as duas ondas que se propagam em sentidos opostos mas possuem valores iguais para a amplitude o período e o comprimento de onda Neste caso y1x t a curva vermelha na figura 1524 representa uma onda incidente se propagando para a esquerda e atingindo o ponto x 0 onde ela se reflete e a função de onda y2x t a curva azul na figura 1524 representa uma curva refletida que se desloca para a direita vimos na seção 156 que a curva refletida em uma extremidade fixa é invertida de modo que usaremos um sinal negativo para indicar uma das ondas y11x t2 A cos1kx vt2 onda incidente propagandose para a esquerda y21x t2 A cos1kx vt2 onda refetida propagandose para a direita a troca do sinal corresponde a uma mudança de fase de 180º ou p radianos Em x 0 o movimento da onda refletida é A cos vt e o movimento da onda incidente é A cos vt que também pode ser escrito na forma A cosvt p conforme a Equação 1527 a função de onda da onda estacionária é obtida pela soma das funções de onda individuais yx t y1x t y2 x t Acos kx vt cos kx vt Podemos reescrever cada um dos termos do cosseno usando identidades para o cosseno da soma e da diferença de dois ângulos cosa b cos a cos b sen a sen b usando essas relações e agrupando os termos obtemos a função de onda para a onda estacionária yx t y1x t y2 x t 2A sen kx sen vt ou yx t AESsenkx senvt 1528 Função de onda Amplitude de onda estacionária Onda estacionária em uma corda extremidade fxa em x 0 Número de onda Posição Frequência angular Tempo a amplitude da onda estacionária AEs é igual ao dobro da amplitude A das duas ondas progressivas originais AEs 2A a Equação 1528 possui dois fatores uma função de x e uma função de t o fator AEs sen kx mostra que em cada instante a forma da onda é uma senoide Porém diferentemente do caso de uma onda progressiva que se propaga ao longo de uma corda a forma da onda permanece na mesma posição oscilando verticalmente conforme descrito pelo fator sen vt Esse comportamento é indicado pela curva dourada na figura 1524 cada ponto da corda ainda executa um Mhs porém todos os pontos situados entre dois nós consecutivos oscilam em fase observe o contraste entre esse comportamento e as diferenças de fase que ocorrem entre as oscilações de pontos adjacentes durante a propagação de uma onda progressiva ao longo da direção da corda Podemos usar a Equação 1528 para achar os nós esses pontos são obtidos pela condição sen kx 0 de modo que o deslocamento desses pontos é sempre igual a zero os nós ocorrem quando kx 0 p 2p 3p ou usando k 2pl x 0 p k 2p k 3p k c nós de uma onda estacionária em uma corda com extremidade fxa em x 0 0 l 2 2l 2 3l 2 c 1529 BookSEARSVol2indb 137 021015 150 PM 138 Física II Em particular existe um nó para x 0 como era de se esperar visto que esse ponto é uma extremidade fixa da corda uma onda estacionária ao contrário de uma onda progressiva não transfere energia de uma extremidade para outra da corda as duas ondas que formam a onda estacionária transferem a mesma potência nos dois sentidos Existe um fluxo de energia total de cada nó para o ventre adjacente e viceversa porém a taxa média de transferência de energia é igual a zero em todos os pontos se você usar a função de onda da Equação 1528 para calcular a potência da onda dada pela Equação 1521 descobrirá que a potência média é igual a zero ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 152 ONDAS ESTACIONÁRIAS iDENTiFiCAr os conceitos relevantes identifique as variáveis alvo Depois determine se o problema é simplesmente cine mático envolvendo apenas quantidades como velocidade de onda v comprimento de onda l e frequência f ou se também são envolvidas propriedades dinâmicas do meio como F e m para ondas transversais em uma corda PrEPArAr o problema seguindo estes passos 1 Desenhe a forma da onda estacionária em um instante em particular isso o ajudará a visualizar os nós indiqueos com N e os ventres V a distância entre dois nós ou ventres adjacentes é sempre l2 e a distância entre um nó e o ventre adjacente é sempre l4 2 Decida quais equações irá utilizar a função de onda para a onda estacionária como na Equação 1528 quase sempre é útil 3 você pode calcular a velocidade da onda se conhecer tanto l quanto f ou de modo equivalente k 2pl e v 2pf ou as propriedades do meio para uma corda F e m ExECuTAr a solução calcule as variáveisalvo assim que obtiver a função de onda você pode encontrar o valor do des locamento y em qualquer ponto no meio ondulatório valor de x e em qualquer momento t você pode encontrar a velo cidade e a aceleração de uma partícula no meio ondulatório calculando a primeira e a segunda derivadas parciais de y em relação ao tempo respectivamente AVAliAr sua resposta compare as respostas numéricas com o seu diagrama veja se a função de onda é compatível com as condições de contorno por exemplo o deslocamento deve ser zero em uma extremidade fixa uma das cordas de uma guitarra está esticada ao longo do eixo Ox quando em equilíbrio a extremidade da corda em x 0 a ponte da guitarra está presa uma onda senoidal incidente com uma amplitude A 0750 mm 750 104 m e uma frequência f 440 hz correspondente às curvas vermelhas na figura 1524 deslocase pela corda no sentido x com uma velocidade de 143 ms Essa onda é refletida na extremidade fixa e a superposição das ondas incidente e refletida forma uma onda estacionária a Encontre a equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo b Localize os nós c Encontre a amplitude da onda estacionária a velocidade trans versal máxima e a aceleração transversal máxima soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este é um problema de cinemá tica veja a Estratégia para a solução de problemas 151 na seção 153 as variáveis procuradas são a a função de onda da onda estacionária b os pontos que não se movem ou nós e c o deslocamento máximo y a velocidade transversal vy e a aceleração transversal ay como há uma extremidade fixa em x 0 podemos usar as equações 1528 e 1529 para descrever essa onda estacionária Precisaremos das relações entre v 2pf v vk e v lf EXECUTAR a a amplitude da onda estacionária é AEs 2A 150 103 m o dobro da amplitude da onda incidente ou refle tida a frequência angular e o número de onda k são v 2pf 12p rad2 1440 s12 2760 rads k v v 2760 rads 143 ms 193 radm Então a Equação 1528 fornece y1x t2 1AES sen kx2 sen vt 3 1150 103 m2 sen 1193 radm2 x4 sen12760 rads2 t b Pela Equação 1529 as posições dos nós são x 0 l2 l 3l2 o comprimento de onda é l vf 143 ms440 hz 0325 m então os nós estão nas seguintes distâncias da extre midade fixa x 0 0163 m 0325 m 0488 m c Pela expressão para yx t no item a vemos que o deslo camento máximo a partir do equilíbrio é AEs 150 103m 150 mm Esse máximo ocorre nos ventres que estão a meio caminho entre nós adjacentes ou seja em x 0081 m 0244 m 0406 m Para uma partícula na corda em qualquer ponto x a velocidade transversal na direção y é ExEmPlo 156 ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UMA CORDA DE GUITARRA Continua BookSEARSVol2indb 138 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 139 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 157 suponha que a frequência da corda es tacionária no Exemplo 156 dobrasse de 440 hz para 880 hz será que todos os nós para f 440 hz também seriam nós para f 880 hz Em caso afirmativo haveria nós adicionais para f 880 hz Em caso negativo quais nós estariam ausentes para f 880 hz 158 modos NormAIs dE UmA CordA Quando descrevemos ondas estacionárias de uma corda com uma das extremi dades mantidas fixas em certa extremidade como indicado na figura 1523 não fizemos nenhuma hipótese sobre o comprimento da corda ou sobre a extremidade que não está fixa vamos agora considerar uma corda com comprimento fixo L presa rigidamente em ambas as extremidades Esse tipo de corda é encontrado em muitos instrumentos musicais inclusive pianos violinos violões e guitarras Quando você puxa a corda de uma guitarra uma onda se propaga na corda essa onda se reflete sucessivamente nas duas extremidades produzindo uma onda esta cionária Essa onda estacionária na corda por sua vez dá origem a uma onda sonora que se propaga no ar com a frequência determinada pelas propriedades da corda é por essa razão que os instrumentos de corda são muito úteis para produzir música Para entender as propriedades das ondas estacionárias produzidas em uma corda com as duas extremidades fixas vamos inicialmente observar que a onda estacio nária resultante deve possuir nós em ambas as extremidades da corda vimos na seção precedente que a distância entre dois nós adjacentes é igual a meio compri mento de onda l2 de modo que o comprimento da corda deve ser igual a l2 ou 2l2 ou 3l2 ou de modo geral igual a um número inteiro múltiplo de meio comprimento de onda L n l 2 1 n 1 2 3 c2 corda fxa nas duas extremidades 1530 ou seja se uma corda de comprimento L possui as duas extremidades fixas uma onda estacionária só pode existir quando seu comprimento de onda satisfizer à Equação 1530 Explicitando l nessa equação e identificando os valores possíveis de l com o símbolo ln encontramos ln 2L n 1 n 1 2 3 c2 corda fxa nas duas extremidades 1531 vy 1x t2 0y1x t2 0t 3 1150 103 m2 sen 1193 radm2 x4 3 12760 rads2 cos12760 rads 2 t4 3 1415 ms2 sen 1193 radm2x4 cos 12760 rads2 t Em um ventre sen193 radmx 1 e o valor da velocidade transversal varia entre 415 ms e 415 ms como sempre acontece em um Mhs a velocidade máxima ocorre quando a partícula está passando pela posição de equilíbrio y 0 a aceleração transversal ayx t é a segunda derivada parcial de yx t em relação ao tempo você pode demonstrar que ay1x t2 0 vy1x t2 0t 02y1x t2 0t2 3 1 115 104 ms22 sen 1193 radm2 x4 sen 12760 rads2 t Nos ventres o valor da aceleração transversal varia entre 115 104 ms2 e 115 104 ms2 AVALIAR a velocidade transversal máxima em um ventre é considerável em torno de 15 kmh Mas a aceleração trans versal máxima é fenomenal 1170 vezes a aceleração da gra vidade Na verdade as cordas de guitarra estão presas em ambas as extremidades veremos as consequências disso na próxima seção Continuação BookSEARSVol2indb 139 021015 150 PM 140 Física II é possível a existência de ondas na corda que não possuem esses comprimen tos de onda porém tais ondas não podem formar ondas estacionárias com nós e ventres e a onda resultante não pode ser estacionária a Equação 1531 é ilustrada pelas ondas estacionárias mostradas nas figuras 1523a 1523b 1523c e 1523d esses casos equivalem a n 1 2 3 e 4 respectivamente correspondendo a uma série de valores possíveis de ln há uma série de frequên cias de onda estacionária fn cada uma delas relacionada aos respectivos compri mentos de onda por meio da relação fn vln a menor frequência f1 corresponde ao maior comprimento de onda o caso n 1 l1 2L f1 v 2L corda fxa nas duas extremidades 1532 Esse valor é chamado de frequência fundamental as outras frequências de ondas estacionárias são f2 2v2L f3 3v2L e assim por diante Esses valores são múltiplos inteiros da frequência fundamental f1 como 2f1 3f1 4f1 e assim por diante Podemos expressar todas essas frequências por 1533 Velocidade da onda Frequência fundamental v2L Frequências de onda estacionária corda fxa nas duas extremidades n 1 2 3 c fn n 2L nf1 v Comprimento da corda Essas frequências são chamadas de harmônicos e a série desses valores de nominase série harmônica algumas vezes os músicos chamam de sobretom a cada uma das frequências f2 f3 e assim por diante f2 é o segundo harmônico ou primeiro sobretom f3 é o terceiro harmônico ou segundo sobretom e assim por diante o primeiro harmônico corresponde à frequência fundamental Figura 1525 Para uma corda fixa nas duas extremidades em x 0 e x L a função de onda yx t da onda estacionária de ordem n é dada pela Equação 1528 a qual satisfaz à condição de que existe um nó para x 0 com v vn 2pfn e k kn 2pln ynx t AEs sen kn x sen vnt 1534 você pode confirmar que essa função de onda possui nós nas duas extremidades x 0 e x L um modo normal de um sistema oscilante é um movimento no qual todas as partículas do sistema se movem senoidalmente com a mesma frequência Para um sistema constituído por uma corda de comprimento L com as duas extremida des fixas cada uma das frequências fornecidas pela Equação 1533 corresponde a um padrão com um modo normal possível a Figura 1526 mostra o padrão dos primeiros quatro modos normais e suas frequências e comprimentos de onda Figura 1525 cada corda de um violino oscila naturalmente em suas frequências harmônicas produzindo ondas sonoras que se propagam pelo ar com as mesmas frequências a n 1 frequência fundamental f1 b n 2 segundo harmônico f2 primeiro sobretom c n 3 terceiro harmônico f3 segundo sobretom d n 4 quarto harmônico f4 terceiro sobretom N V N N V N N V N V N V N N V N V N N V N V V N l 2 L 2 l 2 L l 2 L 3 l 2 L 4 a n 1 frequência fundamental f1 b n 2 segundo harmônico f2 primeiro sobretom c n 3 terceiro harmônico f3 segundo sobretom d n 4 quarto harmônico f4 terceiro sobretom N V N N V N N V N V N V N N V N V N N V N V V N l 2 L 2 l 2 L l 2 L 3 l 2 L 4 Figura 1526 os quatro primeiros modos normais de uma corda com as duas extremidades fixas compare estes valores com as fotografias mostradas na figura 1523 BookSEARSVol2indb 140 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 141 associados esses valores correspondem aos obtidos pela Equação 1534 com n 1 2 3 e 4 Em contraste um oscilador harmônico que contém apenas uma partícula oscilante possui apenas um modo normal e uma única frequência ca racterística Essa corda fixa nas duas extremidades possui um número infinito de modos normais porque ela é constituída por um número muito grande efetivamente infinito de partículas sistemas oscilantes mais complicados também possuem infinitos números de modos normais embora com padrões de modo normal mais complexos Figura 1527 ondas estacionárias complexas caso pudéssemos deslocar uma corda de tal modo que sua forma tivesse um padrão igual a um dos modos normais de vibração e a corda fosse liberada a partir dessa posição ela passaria a vibrar com a mesma frequência desse modo normal a corda vibrante faria o ar se deslocar com a mesma frequência produzindo uma onda sonora senoidal que você ouviria como um tom puro Porém quando você golpeia a corda como no caso de um piano ou a puxa como no caso de uma gui tarra a forma da corda perturbada não é tão simples como os padrões indicados na figura 1526 Portanto esse movimento é uma superposição ou combinação de muitos modos normais Diversos movimentos harmônicos simples com frequências diferentes surgem simultaneamente e o deslocamento de qualquer ponto da corda é a soma ou superposição dos deslocamentos associados aos modos individuais o som produzido por essa corda vibrante também é uma superposição de ondas sonoras senoidais progressivas que ouvimos como um tom complexo e rico com a frequência fundamental f1 a onda estacionária na corda e a onda sonora progressiva no ar possuem composição harmônica semelhante querendo dizer que frequências mais elevadas que a frequência fundamental também estão presentes a compo sição harmônica de uma corda depende da maneira como a corda foi inicialmente perturbada se você puxar a corda de um violão em um local perto da boca o buraco do violão o som que você escuta possui uma composição harmônica diferente do ouvido quando você puxa a corda nas proximidades da extremidade fixa do violão é possível representar qualquer movimento da corda como uma superposição de modos normais achar essa representação para uma dada configuração de vibração é o objetivo da análise harmônica a soma das funções senoidais que representam uma onda complexa é chamada de série de Fourier a Figura 1528 mostra a combinação de funções senoidais equivalente a uma onda estacionária produzida em uma corda de comprimento L puxada em um ponto situado a uma distância L4 da extremidade da corda ondas estacionárias e instrumentos de corda como vimos pela Equação 1532 a frequência fundamental de uma corda vi brante é f1 v2L a velocidade v de ondas ao longo da corda é determinada pela Equação 1514 v Fm combinando essas relações achamos 1535 Tensão na corda Densidade linear Frequência fundamental corda fxa nas duas extremidades Comprimento da corda f1 2L 1 Ä F m Essa também é a frequência fundamental da onda sonora criada no ar que en volve a corda vibrante a dependência inversa entre a frequência e o comprimento L é ilustrada pelas cordas longas da seção de sons graves baixa frequência do piano em comparação com as cordas curtas do violino ou da seção de sons agudos do piano Figura 1529 a altura do som de um violino ou de um violão geralmente varia comprimindose a corda com os dedos de modo a fazer variar o comprimento Figura 1527 os astrônomos descobriram que o sol oscila com diversos modos normais Esta simulação de computador mostra apenas um modo Seção transversal mostrando o interior do Sol As partes vermelhas indicam os locais nos quais a matéria se move para fora do Sol As partes azuis indicam os locais onde o movimento ocorre para dentro do Sol y31x 02 1A92 sen 3k1x y11x 02 A sen k1x yreal 1x 02 y1x 02 L y11x 02 y21x 02 y31x 02 N N y21x 02 1A222 sen 2k1x Figura 1528 Quando a corda de uma guitarra é puxada assumindo uma forma triangular e solta o resultado é uma onda estacionária Esta onda é bem representada com exceção do ponto máximo pela soma de somente três funções senoidais a inclusão de um maior número de funções senoidais melhora a representação BookSEARSVol2indb 141 021015 150 PM 142 Física II L da parte da corda que vibra Quando fazemos aumentar a tensão F produzimos o aumento da velocidade v da onda e portanto fazemos aumentar a frequência e a altura todos os instrumentos de corda são afinados para as frequências cor retas fazendose variar a tensão apertamos a corda para fazer aumentar a altura finalmente quando a densidade linear m da corda aumenta ocorre a diminuição da velocidade da onda e portanto da frequência as notas mais baixas em guitarras especiais com cordas de aço são produzidas por cordas mais grossas e um motivo para enrolar as cordas dos sons graves de um piano com um fio de aço é obter a baixa frequência desejada com uma corda relativamente curta instrumentos de sopro como saxofones e trombones também possuem modos normais como os instrumentos de corda as frequências desses modos normais determinam a altura dos tons musicais que esses instrumentos produzem falaremos sobre esses instrumentos e muitos outros aspectos do som no capítulo 16 Figura 1529 comparação dos tamanhos das cordas de um piano com as de um contrabaixo de um violoncelo de uma viola e de um violino Em todos os casos cordas longas produzem notas mais graves e cordas curtas produzem notas mais agudas Contrabaixo Contrabaixo Violoncelo Violoncelo Viola Viola Violino Violino Em um esforço para ter seu nome no Guinness Book of World Records livro dos recordes mundiais você deseja construir um contrabaixo com uma corda de 500 m de comprimento entre os dois pontos fixos uma corda com densidade linear de 400 gm é afinada a uma frequência fundamental igual a 200 hz a menor frequência audível pelo ser humano calcule a tensão na corda b a frequência e o comprimento de onda para o segundo harmônico e c a frequência e o comprimento de onda na corda para o segundo sobretom soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR no item a a variávelalvo é a ten são F da corda usaremos a Equação 1535 que relaciona F aos valores conhecidos f1 200 hz L 500 m e m 400 gm Nos itens b e c as variáveis procuradas são a frequência e o comprimento de onda do harmônico e sobretom indicados os determinamos a partir do comprimento indicado da corda e da frequência fundamental usando as equações 1531 e 1533 EXECUTAR a resolvemos a Equação 1535 para a tensão F F 4mL2f 2 1 4 1400 103 kgm2 1500 m2 21200 s12 2 1600 N 360 lb b Pelas equações 1533 e 1531 a frequência e o comprimento de onda do segundo harmônico n 2 são f2 2f1 21200 Hz2 400 Hz l2 2L 2 21500 m2 2 500 m c o segundo sobretom é o segundo tom sobre acima do fundamental ou seja n 3 sua frequência e comprimento de onda são f3 3f1 31200 Hz2 600 Hz l3 2L 3 21500 m2 3 333 m AVALIAR a tensão da corda em um baixo real normalmente é de poucas centenas de newtons a tensão no item a é um pouco maior do que isso os comprimentos de onda nos itens b e c são iguais ao comprimento da corda e dois terços do com primento da corda respectivamente esses resultados estão de acordo com os desenhos de ondas estacionárias na figura 1526 ExEmPlo 157 UM CONTRABAIXO GIGANTESCO BookSEARSVol2indb 142 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 143 Quais são a frequência e o comprimento de onda das ondas so noras produzidas no ar quando a corda do Exemplo 157 está vibrando em sua frequência fundamental a velocidade do som no ar a 20 c é 344 ms soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR as variáveisalvo são a frequência e o comprimento de onda da onda sonora produzida pela corda do contrabaixo não da onda estacionária na corda a frequência da onda de som é a mesma que a frequência fundamental f1 da onda estacionária pois a corda força o ar circundante para que vibre na mesma frequência o comprimento de onda da onda de som é l1som vsomf1 EXECUTAR temos f f1 200 hz Logo l11som2 vsom f1 344 ms 200 Hz 172 m AVALIAR no Exemplo 157 o comprimento de onda da fre quência fundamental na corda foi l1corda 2L 2500 m 100 m aqui l1som 172 m é maior que isso pelo fator dado por 172100 172 isso deveria ser assim como as frequências da onda de som e da onda estacionária são iguais l vf diz que os comprimentos de onda no ar e na corda estão na mesma razão que as velocidades de onda correspondentes aqui vsom 344 ms é maior que vcorda 100 m 200 hz 200 ms exatamente pelo fator 172 ExEmPlo 158 DAS ONDAS EM UMA CORDA ÀS ONDAS SONORAS NO AR TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 158 Enquanto a corda de um violão está vi brando você toca levemente em um ponto na metade da corda para garantir que ela não vibre naquele ponto Que modos normais não podem estar presentes na corda enquanto você a segura dessa maneira Ondas e suas propriedades onda é qualquer per turbação de uma condição de equilíbrio que se pro paga de uma região para outra uma onda mecânica sempre se propaga no interior de um material deno minado meio a velocidade de onda v depende do tipo de onda e das propriedades do meio Em uma onda periódica o movimento de cada ponto do meio é periódico com frequência f e período T o comprimento de onda l é a distância em que o padrão da onda se repete e a amplitude A é o deslocamento máximo de uma partícula no meio o produto de l e f fornece a velocidade da onda uma onda senoidal é uma onda periódica especial em que cada ponto se move em Mhs veja o Exemplo 151 v lf 151 v Cada partícula da corda oscila em MHS Amplitude A Velocidade de onda Comprimento de onda l Funções e dinâmica de onda uma função de onda yx t descreve o deslocamento das partículas indi viduais no meio as equações 153 154 e 157 for necem a equação de onda para uma onda senoidal que se desloca no sentido x se a onda estiver se deslocando no sentido x os sinais negativos nas funções cosseno são substituídos por sinais positi vos veja o Exemplo 152 a função de onda obedece à equação diferencial parcial chamada equação de onda Equação 1512 a velocidade de uma onda transversal em uma corda depende da tensão F e da densidade linear m veja o Exemplo 153 y1x t2 A cosc va x v tb d 153 y1x t2 Acos2p ca x l t Tbd 154 y1x t2 A cos1kx vt2 onde e k 2pl v 2pf vk 157 02y1x t2 0x2 1 v2 02y1x t2 0t2 1512 v ondas em uma corda Ä F m 1514 y x A A y Comprimento de onda l t Período T A A capítulo 15 resumo BookSEARSVol2indb 143 021015 150 PM 144 Física II Potência de onda o movimento ondulatório trans porta energia de uma região para outra Em uma onda senoidal mecânica a potência média Pméd é proporcional ao quadrado da amplitude de onda e ao quadrado da frequência Para ondas que se pro pagam em três dimensões a intensidade da onda I é inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte veja os exemplos 154 e 155 Pméd 1 2 mF v2A2 potência média onda senoidal 1525 I1 I2 r2 2 r1 2 lei do quadrado inverso para a intensidade 1526 Potência da onda em função do tempo t em x 0 t P Pmáx Período T Pméd Pmáx 0 1 2 Superposição de onda uma onda é refletida quando atinge a fronteira ou o limite do meio onde se propaga Em qualquer ponto onde duas ou mais ondas se superpõem o deslocamento total é igual à soma dos deslocamentos das ondas individuais princípio da superposição y 1x t2 y11x t2 y21x t2 princípio da superposição 1527 O Ondas estacionárias em uma corda quando uma onda senoidal é refletida em uma extremidade livre ou fixa de uma corda esticada as ondas incidente e refletida se combinam formando uma onda esta cionária que contém nós e ventres a distância entre dois nós adjacentes ou entre dois ventres consecuti vos é igual a l2 veja o Exemplo 156 Quando as duas extremidades de uma corda de com primento L são mantidas fixas as ondas estacionárias só podem ocorrer quando L for um múltiplo inteiro de l2 cada frequência com seu padrão de vibra ção associado constitui um modo normal veja os exemplos 157 e 158 y1x t2 1AES sen kx2 sen vt onda estacionária em uma corda extremidade fxa em x 0 1528 fn n v 2L nf1 1 n 1 2 3 c2 1533 f1 1 2L Ä F m corda fxa em ambas as extremidades 1535 l 2 l 2 l 2 l 2 N V N L N V N 3 L N V N V N V N 2 L N V N V N 4 L N V N V V N Problema em destaque ondas em uma corda rotativa uma corda uniforme com comprimento L e massa m é presa em uma extremidade e enrolada em um círculo horizontal com velocidade angular v a força da gravidade sobre a corda pode ser desprezada a Em um ponto na corda a uma distância r da extremidade presa qual é a tensão F b Qual é a veloci dade das ondas transversais nesse ponto c ache o tempo necessário para que uma onda transversal se desloque de uma extremidade da corda à outra gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 Desenhe um esboço da situação e indique as distâncias r e L a tensão na corda será diferente em diferentes valores de r você consegue descobrir o motivo Em que lugar da corda você espera que a tensão seja maior onde você espera que ela seja menor 2 Na corda onde você espera que a velocidade da onda seja maior onde você espera que ela seja menor 3 Pense na parte da corda que é mais distante de r a partir da extremidade fixa Que forças atuam sobre essa parte Lembrese de que a gravidade pode ser desprezada Qual é a massa dessa parte a que distância do eixo de rotação está o seu centro de massa 4 Liste as quantidades desconhecidas e decida quais são as variáveisalvo EXECUTAr 5 Desenhe um diagrama do corpo livre para a parte da corda que está mais distante da extremidade fixa do que r 6 use seu diagrama do corpo livre para ajudar a determinar a tensão na corda na distância r 7 use seu resultado do item 6 para determinar a velocidade de onda na distância r 8 use seu resultado do item 7 para determinar o tempo para que uma onda passe de uma extremidade à outra Dica a velocidade da onda é v drdt de modo que o tempo para a onda atravessar uma distância dr ao longo da corda é dt drv integre isso para encontrar o tempo total veja o apêndice B AVALIAr 9 seus resultados para os itens a e b correspondem às suas expectativas dos itens 1 e 2 as unidades estão corretas 10 verifique seu resultado do item a considerando a força resultante sobre um pequeno segmento da corda na distân cia r com comprimento dr e massa dm mLdr Dica as forças de tensão nesse segmento são Fr em um lado e Fr dr no outro você poderá obter uma equação para dFdr que pode ser integrada para achar F em função de r BookSEARSVol2indb 144 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 145 problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q151 Duas ondas se deslocam na mesma corda é possível que elas tenham a frequências diferentes b comprimentos de onda diferentes c velocidades diferentes d amplitudes diferentes e a mesma frequência mas comprimentos de onda diferentes Explique seu raciocínio Q152 sob uma tensão F leva 20 s para um pulso se deslocar pela extensão de um fio esticado Que tensão é necessária em função de F para que o pulso leve 60 s Explique como você chegou a essa conclusão Q153 Quais são os tipos de energia associados às ondas que se propagam em uma corda esticada como esses tipos de energia podem ser detectados experimentalmente Q154 a amplitude de uma onda diminui quando ela se propaga ao longo de uma corda esticada muito comprida o que é feito com a energia da onda quando isso ocorre Q155 Para o movimento ondulatório descrito neste capítulo a velocidade de propagação depende da amplitude como você pode afirmar isso Q156 a velocidade das ondas no oceano depende da profun didade da água quanto maior for a profundidade maior será a velocidade use esse raciocínio para explicar por que as ondas do oceano aumentam suas cristas e quebram à medida que chegam à praia Q157 é possível produzir uma onda longitudinal em uma corda esticada Justifique sua resposta é possível produzir uma onda transversal em uma barra de aço Justifique caso suas respostas sejam positivas nas duas perguntas anteriores explique como você poderia produzir tais ondas Q158 Para ondas transversais em uma corda a velocidade da onda é igual à velocidade de qualquer parte da corda Explique a diferença entre essas duas velocidades Qual delas é constante Q159 as quatro cordas de um violino possuem espessuras di ferentes porém as tensões nelas são aproximadamente iguais a velocidade das ondas é maior na corda mais grossa ou na mais fina Por quê a frequência de vibração fundamental se comporta de modo diferente quando a corda é espessa e quando é fina Q1510 uma onda senoidal pode ser descrita por uma fun ção cosseno que é negativa tão frequentemente quanto posi tiva Então por que a potência média fornecida por essa onda é zero Q1511 Duas cordas de diferentes densidades lineares m1 e m2 são amarradas uma à outra e esticadas com uma tensão F uma onda percorre a corda e passa pela descontinuidade em m Diga qual das seguintes propriedades será a mesma de ambos os lados da descontinuidade e qual irá mudar velocidade da onda fre quência comprimento da onda Explique o raciocínio físico que embasa suas respostas Q1512 uma corda longa de massa m é pendurada no teto e pende verticalmente um pulso ondulatório é produzido na ex tremidade inferior da corda e se propaga para cima a velocidade da onda se altera à medida que o pulso sobe a corda e caso se altere aumenta ou diminui Explique Q1513 Em uma onda transversal em uma corda o movimento da corda é perpendicular ao seu comprimento Então como ocorre a transferência de energia através da corda Q1514 a energia pode ser transferida ao longo de uma corda por movimento ondulatório todavia em uma onda estacionária em uma corda nenhuma energia pode ser transferida além de um nó Por que não Q1515 uma onda estacionária pode ser produzida em uma corda pela superposição de duas ondas que se propagam em sentidos opostos com a mesma frequência porém com amplitudes diferentes Justifique sua resposta uma onda estacionária pode ser produzida em uma corda pela super posição de duas ondas que se propagam em sentidos opostos com a mesma amplitude porém com frequências diferentes Justifique sua resposta Q1516 ao esticar uma tira de borracha e puxar verticalmente um de seus pontos você ouvirá um tom ligeiramente musi cal como a frequência desse tom irá variar quando você esticar ainda mais a tira tente fazer isso Esse efeito concorda com a Equação 1535 para uma corda fixa nas duas extremidades Explique Q1517 um intervalo musical de uma oitava corresponde a um fator 2 na frequência Qual é o fator de aumento da tensão na corda de um violão ou de um violino para que sua altura aumente em uma oitava E para que ocorra um aumento de duas oitavas Explique há algum risco nessas mudanças de tonalidade Q1518 ao tocar seu violino um músico pressiona suavemente o centro da corda para produzir uma nota exatamente uma oitava acima da nota com a qual a corda está afinada ou seja uma nota cuja frequência é exatamente igual ao dobro da frequência inicial como isso é possível Q1519 como vimos na seção 151 as ondas na água são uma combinação de ondas longitudinais e transversais Defenda a se guinte afirmação Quando ondas de água atingem uma parede vertical a parede é um nó de deslocamento da onda longitudinal porém é um ventre de deslocamento da onda transversal Q1520 violinos são instrumentos pequenos enquanto vio loncelos e contrabaixos são instrumentos grandes Em termos de frequência das ondas que produzem explique por que esses instrumentos são assim Q1521 Para que servem as palhetas de um violão ou de uma guitarra Explique seu uso em termos de frequência da vibração das cordas EXErCÍCIos seção 152 ondas periódicas 151 a velocidade do som no ar a 20 c é igual a 344 ms a Qual é o comprimento da onda sonora com frequência igual a 784 hz correspondente à nota G5 de um piano e quantos mi lissegundos leva cada vibração b Qual é o comprimento de onda de um som uma oitava mais alto dobro da frequência que a nota do item a BookSEARSVol2indb 145 021015 150 PM 146 Física II 152 BIo Som audível Desde que a amplitude seja suficien temente grande o ouvido humano pode detectar ondas longitu dinais no intervalo aproximado entre 200 hz e 200 khz a se você precisasse assinalar o início de cada padrão de onda completo com um ponto vermelho para o som de comprimento de onda longo e um ponto azul para o som de comprimento de onda curto a que distância os pontos vermelhos estariam um do outro e a que distância os pontos azuis estariam um do outro b Na realidade os pontos adjacentes em cada conjunto estariam longe o suficiente para que você pudesse medir a distância com uma régua c suponha que você repetisse o item a na água onde o som se propaga a 1480 ms a que distância os pontos estariam um do outro em cada conjunto você poderia medir facilmente essa distância com uma régua 153 Tsunami Em 26 de dezembro de 2004 um forte ter remoto ocorreu na costa de sumatra e provocou ondas imensas tsunami que mataram cerca de 200 mil pessoas os satélites que observavam essas ondas do espaço mediram 800 km de uma crista de onda para a seguinte e um período entre ondas de 1 hora Qual era a velocidade dessas ondas em ms e kmh a res posta ajuda você a entender por que as ondas causaram tamanha devastação 154 BIo Imagem de ultrassom o som que possui frequên cias acima da capacidade de audição humana cerca de 20000 hz é chamado de ultrassom ondas acima dessa frequência podem ser usadas para penetrar no corpo e produzir imagens por meio da reflexão de superfícies Em um exame de ultrassom típico a onda atravessa os tecidos do corpo com uma velocidade de 1500 ms Para uma imagem boa e detalhada o comprimento de onda não deve ser maior que 10 mm Que frequência sonora é necessária para obter boas imagens 155 BIo a Comprimentos de onda audíveis a faixa de frequências audíveis vai de cerca de 20 hz a 20000 hz Qual é a faixa de comprimentos de onda do som audível no ar b Luz visível a faixa de luz visível se estende de 380 nm até 750 nm Quais são os limites de frequência da luz visível c Cirurgia cerebral os cirurgiões podem remover tumores cere brais usando um aspirador cirúrgico ultrassônico tipo cavitron que produz ondas sonoras com frequência de 23 khz Qual é o comprimento de onda dessas ondas no ar d Som no corpo Qual seria o comprimento de onda do som no item c nos flui dos do corpo em que a velocidade do som é de 1480 ms mas a frequência não é alterada 156 um pescador observa que seu barco está se movendo para cima e para baixo periodicamente em razão das ondas na superfície da água Passamse 25 s para que o barco vá do seu ponto mais alto para o mais baixo uma distância total de 053 m o pescador observa que as cristas da onda estão afastadas por 48 m a com que velocidade as ondas estão se deslocando b Qual é a amplitude de cada onda c se a distância vertical total atravessada pelo barco fosse 030 m mas os outros dados perma necessem iguais quais seriam suas respostas aos itens a e b seção 153 descrição matemática das ondas 157 ondas transversais em uma corda possuem veloci dade de 80 ms amplitude de 00700 m e comprimento de onda igual a 0320 m as ondas se movem no sentido x e em t 0 a extremidade x 0 da corda possui deslocamento má ximo para cima a ache a frequência o período e o número de onda dessas ondas b Escreva uma função de onda que des creve essa onda c calcule o deslocamento transversal de uma partícula situada no ponto x 0360 m no instante t 0150 s d a partir do instante calculado no item c quanto tempo a partícula situada no ponto x 0360 m leva para atingir o des locamento máximo para cima 158 uma onda transversal é descrita pela equação y1x t2 1650 mm2 cos 2pa x 280 cm t 00360 s b Determine a a amplitude da onda b seu comprimento de onda c sua frequência d sua velocidade de propagação e a direção da propagação 159 CALC Quais das seguintes funções satisfazem a função de onda dada pela Equação 1512 a yx t A coskx vt b yx t A senkx vt c yx t Acos kx cos vt d Para a onda do item b escreva a equação para a veloci dade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x 1510 uma onda de água deslocandose em linha reta em um lago é descrita pela equação yx t 275 cm cos0410 radcm x 620 rads t onde y é o deslocamento perpendicular à superfície plana do lago b Quanto tempo é necessário para que um padrão de onda com pleto passe por um pescador em um banco ancorado e que dis tância horizontal a crista da onda percorre nesse intervalo b Qual é o número de onda e quantas ondas passam pelo pescador a cada segundo c com que velocidade a crista da onda passa pelo pescador e qual é a velocidade máxima de sua boia de cortiça à medida que a onda a faz subir e descer 1511 uma onda senoidal propagase ao longo de uma corda esticada sobre o eixo Ox o deslocamento da corda em função do tempo é indicado na Figura E1511 para partículas nos pontos x 0 e x 00900 m a Qual é a amplitude da onda b Qual é o período da onda c sabese que a distância entre os pontos x 0 e x 00900 m é menor que o comprimento de onda Determine a velo cidade e o comprimento de onda quando ela se propaga no sentido x d supondo agora que a onda se propa gue no sentido x determine a velocidade e o comprimento de onda e seria possível determinar de forma não ambígua o comprimento de onda calculado nos itens c e d se você não usasse o dado de que a distância entre os pontos é menor que o comprimento de onda Justifique sua resposta 1512 CALC Velocidade de propagação da onda versus velocidade de uma partícula a Mostre que a Equação 153 pode ser escrita na forma y1x t2 A cosc 2p l 1x vt2d b use yx t para encontrar uma expressão para a velocidade transversal vy de uma partícula da corda onde a onda se propaga c calcule a velocidade máxima de uma partícula da corda Em que circunstâncias essa velocidade pode ser igual à velocidade v de propagação da onda Quando ela pode ser menor que v E maior que v Figura E1511 001 003 005 007 x 0 x 00900 m y mm 4 2 0 t s 2 4 BookSEARSVol2indb 146 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 147 1513 uma onda transversal em uma corda possui am plitude de 0300 cm comprimento de onda igual a 120 cm e velocidade de 60 cms Ela é representada pela função yx t dada no Exercício 1512 a No instante t 0 calcule y para intervalos de x iguais a 15 cm ou seja x 0 x 15 cm x 30 cm e assim por diante desde x 0 até x 120 cm faça um gráfico dos resultados obtidos Essa é a forma da corda para o tempo t 0 b repita o cálculo para os mesmos inter valos de x para os tempos t 0400 s e t 0800 s faça um gráfico da forma da corda para esses tempos Qual é o sentido da propagação da onda 1514 uma onda em uma corda é descrita por yx t A coskx vt a faça gráficos para y vy e ay em função de x para t 0 b considere os seguintes pontos sobre a corda i x 0 ii x p4k iii x p2k iv x 3 p4k v x pk vi x 5p4k vii x 3p2k e viii x 7p4k Para uma partícula em cada um desses pontos para t 0 descreva em palavras se a partícula está em movimento em que sentido ela se move e diga se está aumentando de velocidade diminuindo ou se a aceleração é instantaneamente igual a zero seção 154 Velocidade de uma onda transversal 1515 uma das extremidades de um fio é presa a um dos ramos de um diapasão eletricamente excitado com uma frequên cia transversal igual a 120 hz a outra extremidade passa sobre uma polia e suporta massa igual a 150 kg a densidade linear do fio é igual a 00480 kgm a Qual é a velocidade de propagação de uma onda transversal na corda b Qual é o comprimento de onda c como suas respostas aos itens a e b se modificariam se a massa do objeto aumentasse para 300 kg 1516 com que tensão uma corda de comprimento igual a 250 m e massa de 0120 kg deve ser esticada para que uma onda transversal com frequência de 400 hz possua um comprimento de onda igual a 0750 m 1517 a extremidade superior de um fio de aço de 380 m de extensão é presa ao teto e um objeto de 540 kg é suspenso pela ponta inferior do fio você observa que um pulso leva 00492 s para se deslocar de baixo para cima pelo fio Qual é a massa do fio 1518 uma corda de 150 m e peso 00125 N está amarrada ao teto pela sua extremidade superior e a inferior sustenta um peso p Despreze a pequena variação na tensão pelo comprimento da corda produzida pelo seu peso Quando a corda é puxada suavemente as ondas que se deslocam para cima obedecem à equação yx t 85 mm cos 172 radm x 4830 rads t suponha que a tensão da corda seja constante e igual a p a Quanto tempo leva para um pulso percorrer toda a extensão da corda b Qual é o peso p c Quantos comprimentos de onda há sobre a corda em qualquer instante d Qual é a equação para ondas que se deslocam para baixo na corda 1519 um fio fino de 750 cm possui massa igual a 165 g uma extremidade está presa por um prego e a outra está presa a um parafuso que pode ser ajustado para variar a tensão no fio a Para que tensão em newtons você deve ajustar o parafuso a fim de que uma onda transversal de comprimento de onda de 333 cm produza 625 vibrações por segundo b com que rapidez essa onda se deslocaria 1520 uma corda pesada com 600 m de extensão e 294 N de peso é presa em uma extremidade a um teto e pendu rada verticalmente uma massa de 0500 kg é suspensa pela extremidade inferior da corda Qual é a velocidade das ondas que se propagam pela corda a em sua extremidade inferior b no meio c em sua extremidade superior d a tensão no meio da corda é a média das tensões em suas extremidades superior e inferior a velocidade de onda no meio da corda é a média das velocidades de onda em suas extremidades superior e inferior Explique 1521 um oscilador harmônico simples no ponto x 0 gera uma onda em uma corda o oscilador opera em uma frequência de 400 hz e com uma amplitude de 300 cm a corda possui uma densidade linear de 500 gm e está esticada a uma tensão de 500 N a Determine a velocidade da onda b calcule o comprimento de onda c Escreva sua função de onda yx t suponha que o oscilador tenha seu deslocamento máximo para cima no instante t 0 d calcule a aceleração transversal má xima dos pontos na corda e Quando tratamos das ondas trans versais neste capítulo a força da gravidade foi ignorada Essa aproximação é razoável para essa onda Explique seção 155 Energia no movimento ondulatório 1522 a corda de um piano de massa igual a 300 g e com primento de 800 cm é submetida a uma tensão de 250 N uma onda com frequência de 1200 hz e amplitude igual a 16 mm deslocase no fio a ache a potência média transportada pela onda b o que ocorrerá com a potência média se a amplitude da onda for reduzida à metade 1523 um fio horizontal é esticado com uma tensão de 940 N e a velocidade das ondas transversais ao fio é de 406 ms Qual deverá ser a amplitude de uma onda com frequência de 690 hz para que a potência média transportada pela onda seja de 0365 w 1524 um fio leve é bastante esticado com uma tensão F as ondas transversais que se propagam com amplitude A e comprimento de onda l1 transportam uma potência média Pméd1 0400 w se o comprimento de onda for dobrado de modo que l2 2l1 enquanto a tensão F e a amplitude A permanecem as mesmas qual será a potência média Pméd2 transportada pelas ondas 1525 um avião a jato em decolagem pode produzir um som de intensidade 100 wm2 a 300 m de distância você contudo prefere o som tranquilo de uma conversa normal que é 10 mwm2 suponha que o avião se comporte como uma fonte sonora pontual a Qual é a distância mínima do aeroporto que sua casa precisa estar para que você possa conservar sua paz de espírito b Qual é a intensidade sonora que chega à sua amiga se ela mora duas vezes mais longe da pista do que você c Que potência sonora o jato produz ao decolar 1526 Limite da dor você está investigando um relatório da aterrissagem de um ovni em uma região deserta do Novo México e encontra um objeto estranho que está irradiando ondas sonoras uniformemente em todas as direções suponha que o som venha de uma fonte pontual e que você possa des prezar as reflexões você está caminhando lentamente na direção da fonte Quando chega a 75 m dela você mede a in tensidade e descobre que é 011 wm2 uma intensidade de 10 wm2 costuma ser considerada o limite da dor o quão mais perto da fonte você conseguirá chegar antes que a intensidade sonora atinja esse limite 1527 Fornecimento de energia Por meio de medições você determina que ondas sonoras estão se propagando igual mente em todas as direções a partir de uma fonte pontual e que a intensidade é igual a 0026 wm2 a uma distância de 43 m BookSEARSVol2indb 147 021015 150 PM 148 Física II da fonte a Qual é a intensidade a uma distância de 31 m b Quanta energia sonora a fonte emite em uma hora se a potência fornecida permanecer constante 1528 um colega com talento para a matemática lhe diz que a função de onda de uma onda progressiva em uma corda fina é yx t 230 mm cos698 radmx 742 radst sendo mais prático você mede a corda para que ela tenha comprimento de 135 m e massa de 000338 kg Pedese então que você calcule a amplitude b frequência c comprimento de onda d velo cidade da onda e sentido em que a onda se desloca f tensão na corda g potência média transmitida pela onda 1529 a uma distância de 700 1012 m de uma estrela sua intensidade da radiação é 154 wm2 supondo que a estrela irradie uniformemente em todas as direções qual é a potência transmitida total da estrela seção 156 Interferência de ondas condições de contorno de uma corda e princípio da superposição 1530 Reflexão um pulso ondulatório deslocandose sobre uma corda para t 0 possui as dimensões indicadas na Figura E1530 a velocidade da onda é igual a 40 cms a se o ponto O for uma extre midade fixa desenhe a onda total sobre a corda para t 15 ms 20 ms 25 ms 30 ms 35 ms 40 ms e 45 ms b repita o item a quando o ponto O for uma extremidade livre 1531 Reflexão um pulso ondulatório deslocandose sobre uma corda para t 0 pos sui as dimensões indicadas na Figura E1531 a ve locidade da onda é igual a 50 ms a se o ponto O for uma extremidade fixa desenhe a onda total sobre a corda para t 10 ms 20 ms 30 ms 40 ms 50 ms 60 ms e 70 ms b repita o item a quando o ponto O for uma extremidade livre 1532 Interferência de pulsos triangulares Dois pulsos ondulatórios triangulares estão se aproximando em uma corda esticada como indicado na Figura E1532 os dois pulsos são idênticos e se deslocam com velocidade igual a 20 cms a distância entre as extremidades dianteiras dos pulsos é igual a 100 cm para t 0 Desenhe a forma da corda para t 0250 s t 0500 s t 0750 s t 1000 s e t 1250 s Figura E1532 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm 100 cm v 200 cms v 200 cms 1533 suponha que o pulso que se desloca para a esquerda no Exercício 1532 esteja abaixo do nível da corda não esticada em vez de acima Desenhe os mesmos diagramas que você desenhou naquele exercício 1534 Dois pulsos estão se deslocando em sentidos opostos a 10 cms em uma corda esticada como mostra a Figura E1534 cada quadrado possui 10 cm de lado Desenhe a forma da corda depois de a 60 s b 70 s c 80 s Figura E1534 1535 Interferência de pulsos retangulares a Figura E1535 mostra dois pulsos ondulatórios retangulares se aproximando em sentidos contrários em uma corda esticada a velocidade de cada pulso é igual a 10 mms e a figura indica a largura e a altura de cada pulso se a distância entre a parte dianteira de um pulso e a frente do outro for igual a 80 mm no instante t 0 desenhe a onda na corda para t 40 s t 60 s e t 100 s Figura E1535 400 mm 800 mm 400 mm 400 mm v 100 mms v 100 mms 300 mm seção 157 ondas sonoras estacionárias em uma corda seção 158 modos normais de uma corda 1536 CALC a distância entre dois ventres adjacentes de uma onda estacionária sobre uma corda é igual a 150 cm uma partícula situada em um ventre oscila em Mhs com amplitude igual a 0850 cm e período igual a 00750 s a corda está sobre o eixo Ox e se encontra fixa no ponto x 0 a Qual a distância entre os nós adjacentes b Qual o comprimento de onda a am plitude e a velocidade de duas ondas progressivas que adquirem esse padrão c calcule as velocidades transversais máxima e mínima de um ponto em um ventre d Qual é a menor distância ao longo da corda entre um nó e um ventre 1537 as ondas estacionárias em um fio são descritas pela Equação 1528 com AEs 250 mm v 942 rads e k 0750p radm a extremidade esquerda do fio está no ponto x 0 calcule as distâncias entre a extremidade esquerda do fio e a os nós da onda estacionária e b os ventres 1538 uma corda de comprimento igual a 150 m é esticada entre dois suportes com uma tensão tal que a velocidade da onda transversal é igual a 620 ms calcule o comprimento de onda e a frequência a do modo fundamental b do segundo sobretom c do quarto harmônico 1539 um fio com massa igual a 400 g é esticado de modo que suas extremidades permanecem fixas a uma distância igual a 800 cm Ele vibra de forma que a frequência do modo fun damental é igual a 600 hz e a amplitude em um ventre é igual a 0300 cm a ache a velocidade de propagação de uma onda transversal no fio b calcule a tensão nele c calcule a velo cidade transversal máxima e a aceleração de partículas 1540 um afinador estica os fios de aço do piano com tensão igual a 800 N o comprimento do fio é igual a 0400 m e sua massa é igual a 300 g a Qual é a frequência do modo funda mental de vibração do fio b Qual é o número de harmônicos Figura E1530 80 mm O v 40 cms 40 mm 40 mm 40 mm Figura E1531 50 mm 10 cm O 20 cm v 50 ms BookSEARSVol2indb 148 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 149 superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir frequências de até 10000 hz 1541 CALC uma corda fina esticada presa nas duas extre midades e oscilando em seu terceiro harmônico possui a forma descrita pela equação yx t 560 cm sen 00340 radcmx sen 500 radst onde a origem está na extremidade esquerda da corda o eixo Ox está na corda e o eixo Oy é perpendicular à corda a Desenhe um diagrama que mostre o padrão da onda estacionária b calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária c Qual é o comprimento da corda d calcule o comprimento de onda a frequência o período e a velocidade das ondas progressivas e calcule a ve locidade transversal máxima de um ponto na corda f Qual seria a equação yx t para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico 1542 a função de uma onda estacionária é yx t 444 mm sen 325 radmx sen 754 radst Para as duas ondas progres sivas que compõem essa onda estacionária calcule a amplitude da onda b o comprimento c a frequência d a velocidade e suas funções f Pelas informações fornecidas você consegue descobrir qual é esse harmônico Explique 1543 Ondas em uma vareta uma vareta flexível de 20 m de comprimento não está presa estando completamente livre para vibrar Desenhe de modo claro essa vareta vibrando em seus primeiros três harmônicos depois use seus desenhos para encontrar o comprimento de onda de cada um desses harmônicos Dica as extremidades devem ser nós ou ventres 1544 uma corda de certo instrumento musical tem 750 cm de comprimento e uma massa de 875 g o instrumento está sendo tocado em uma sala onde a velocidade do som é 344 ms a a que tensão é preciso ajustar a corda para que ao vibrar em seu segundo sobretom produza um som de comprimento de onda igual a 0765 m suponha que a tensão de quebra do fio seja muito grande e não seja ultrapassada b Que frequência sonora essa corda produz em seu modo de vibração fundamental 1545 o segmento da corda de um instrumento entre a ponte de apoio das cordas e a extremidade superior a parte que vibra livremente possui comprimento igual a 600 cm e essa extensão da corda tem massa igual a 20 g Quando tocada a corda emite uma nota a4 440 hz a Em que ponto o músico deverá colocar o dedo ou seja qual é a distância x entre o ponto e a ponte de apoio das cor das para produzir uma nota D5 587 hz veja a Figura E1545 Nas duas notas a4 e D5 a corda vibra no modo fundamental b sem afinar novamente é possível pro duzir uma nota G4 392 hz nessa corda Justifique sua resposta 1546 a uma corda horizontal amarrada nas duas extre midades vibra no modo fundamental uma onda estacionária possui velocidade v frequência f amplitude A e comprimento de onda igual a l calcule a velocidade transversal máxima e a aceleração máxima nos pontos localizados em i x l2 ii x l4 e iii x l8 a partir da extremidade esquerda da corda b Em cada um dos pontos calculados no item a qual é a amplitude do movimento c Em cada um dos pontos calculados no item a quanto tempo a corda leva para ir de seu deslocamento máximo para cima até seu deslocamento máximo para baixo 1547 Corda de violão uma das cordas de um violão de comprimento igual a 635 cm é afinada para produzir uma nota B3 frequência igual a 245 hz quando está vibrando no modo fundamental a calcule a velocidade da onda transversal que percorre a corda b se a tensão da corda aumentar em 1 qual deve ser sua nova frequência fundamental c se a velocidade do som no ar circundante for igual a 344 ms ache o comprimento de onda e a frequência da onda sonora produzida quando a corda vibra com a nota B3 como este resultado se compara com a frequência e com o comprimento de onda da onda estacionária na corda ProBLEmAs 1548 uma onda transversal sobre uma corda é dada por yx t 0750 cm cos p0400 cm1x 250 s1t a ache a amplitude o período a frequência o comprimento de onda e a velocidade de propagação b faça um desenho da corda para os seguintes valores de t 0 00005 s e 00010 s c a onda está se deslocando no sentido x ou no sentido x d a densidade linear da corda é igual a 00500 kgm ache a tensão e ache a potência média transportada por essa onda 1549 CALC uma onda transversal senoidal com 250 mm de amplitude e 180 m de comprimento de onda propagase com velocidade de 360 ms da esquerda para a direita ao longo de uma corda esticada na horizontal considere a origem na ex tremidade esquerda da corda sem perturbação No instante t 0 a extremidade esquerda da corda tem seu deslocamento máximo para cima a ache a frequência a frequência angular e o número de onda b Qual é a função yx t que descreve a onda c Qual é a função yt para uma partícula na extremidade esquerda da corda d Qual é a função yt para uma partícula situada 135 m à direita da origem e Qual é o módulo má ximo da velocidade transversal de qualquer partícula da corda f ache o deslocamento transversal e a velocidade transversal de uma partícula situada 135 m à direita da origem para o tempo t 00625 s 1550 PC uma viga irregular de 1750 N está pendurada horizontalmente em suas extremidades em um teto por dois cabos verticais A e B cada um com 125 m de comprimento e pesando 0290 N o centro de gravidade dessa viga está a um terço da viga a partir da extremidade em que o fio A está amarrado se você puxar ambos os cabos ao mesmo tempo qual será o inter valo entre a chegada dos dois pulsos ao teto Que pulso chegará primeiro Despreze o efeito do peso dos cabos sobre a tensão neles 1551 três partes de fio cada uma de comprimento L são ligadas em série por meio de suas extremidades formando um fio de comprimento igual a 3L a primeira parte do fio tem den sidade linear m1 a segunda tem densidade linear m2 4m1 e a terceira tem densidade linear m3 m14 a se o fio combinado está sob tensão F quanto tempo uma onda transversal leva para percorrer o comprimento total 3L forneça a resposta em função de L F e m1 b a resposta do item a depende da ordem em que os fios estão ligados Explique 1552 Formiga sem peso uma formiga de massa m está tranquilamente em repouso sobre uma corda esticada na Figura E1545 x 600 cm BookSEARSVol2indb 149 021015 150 PM 150 Física II horizontal a corda possui densidade linear m e está sob tensão F sem avisar seu primo tobias produz uma onda transversal se noidal com comprimento de onda l que se propaga na corda o movimento da corda está contido em um plano vertical Qual é a amplitude mínima da onda que faz a formiga ficar repentina mente com peso aparente igual a zero suponha que a massa m seja tão pequena que a presença da formiga não altere a propa gação da onda 1553 você precisa determinar o comprimento de um fio longo e fino suspenso a partir do teto no átrio de um prédio alto um pedaço do fio com 200 cm sobrou de sua instalação usando uma balança analítica você determina que a massa do pedaço que sobra é de 145 mg Então você pendura uma massa de 0400 kg na ponta inferior do fio longo e suspenso Quando um pulso ondulatório transversal de pequena amplitude é en viado a esse fio sensores nas duas extremidades medem que o pulso leva 267 ms para percorrer o comprimento a use essas medidas para calcular o comprimento do fio suponha que o peso do fio tenha um efeito desprezível sobre a velocidade das ondas transversais b Discuta a precisão da aproximação feita no item a 1554 Música você está projetando um instrumento de duas cordas com 350 cm de comprimento como mostra a Figura P1554 as duas cordas estão sob a mesma tensão a corda S1 tem massa de 800 g e produz uma nota c média frequência de 262 hz em seu modo fundamental a Qual deverá ser a tensão na corda b Qual deverá ser a massa da corda S2 de modo que ela produza um a frequência de 466 hz em seu modo funda mental c Para estender o al cance do instrumento você inclui um traste localizado logo abaixo das cordas mas normalmente não tocando nelas a que distância da extremidade superior você deverá colocar esse traste de modo que ao pressionar S1 firmemente con tra ele a corda produza um c frequência de 277 hz em seu modo fundamental ou seja qual é o x na figura d se você pres sionar S2 contra o traste que fre quência de som fundamental a corda produzirá 1555 PC um fio de 50 m e 0732 kg é usado para sustentar dois postes uniformes de 235 N de igual comprimento Figura P1555 suponha que o fio esteja praticamente na horizontal e que a veloci dade do som seja 344 ms um vento forte está so prando fazendo com que o fio vibre em seu quinto sobretom Quais são a fre quência e o comprimento de onda do som que esse fio produz 1556 PC você está explorando um planeta recémdes coberto o raio do planeta é de 720 107 m você suspende um peso de chumbo preso à ponta inferior de uma corda leve com 400 m de extensão e massa de 00280 kg você calcula em 00685 s o tempo necessário para que um pulso transversal se desloque da ponta inferior à ponta superior da corda Na terra para a mesma corda e peso de chumbo são necessários 00390 s para que um pulso transversal se desloque pelo comprimento da corda o peso da corda é pequeno o bastante para que seu efeito sobre a tensão na corda possa ser ignorado supondo que a massa do planeta seja distribuída com simetria esférica qual é sua massa 1557 Para uma corda esticada entre dois suportes duas fre quências de onda estacionária sucessivas são 525 hz e 630 hz Existem outras frequências de onda estacionária menores que 525 hz e maiores que 630 hz se a velocidade das ondas transversais na corda for 384 ms qual é o comprimento da corda suponha que a massa do fio seja pequena o suficiente para que seu efeito sobre a tensão no fio seja ignorado 1558 uma corda de 0800 m de extensão com densidade linear m 750 gm é esticada entre dois suportes a corda possui tensão F e um padrão de onda estacionária não a fundamental com frequência de 624 hz com a mesma tensão a próxima frequência de onda estacionária mais alta é 780 hz a Quais são a frequência e o comprimento da onda estacionária fundamental para essa corda b Qual é o valor de F 1559 PC uma barra uniforme de 180 m de extensão pesando 638 N é suspensa em uma posição horizontal por dois fios verticais presos ao teto um fio é de alumínio e o outro é de cobre o fio de alumínio está preso à extremidade esquerda da barra enquanto o fio de cobre está preso 040 m à esquerda da extremidade direita cada fio possui 0600 m de extensão e uma seção transversal circular com raio de 0280 mm Qual é a frequência fundamental das ondas estacionárias transversais para cada fio 1560 uma sucessão contínua de pulsos ondulatórios senoidais é produzida na extremidade de uma corda bastante longa e se propaga por toda sua extensão a onda possui uma frequência de 700 hz amplitude de 50 mm e comprimento de onda de 0600 m a Quanto tempo a onda leva para percorrer uma distância de 800 m na corda b Quanto tempo um ponto na corda leva para percorrer a distância de 800 m uma vez que a sucessão de ondas tenha chegado ao ponto e o colocado em movimento c Nos itens a e b como o tempo varia se a amplitude for dobrada 1561 um fio horizontal é amarrado a suportes em cada ex tremidade e vibra em sua onda estacionária do segundo sobretom a tensão no fio é de 500 N e a distância entre os nós na onda estacionária é de 628 cm a Qual é o comprimento do fio b um ponto em um ventre da onda estacionária no fio se move de seu deslocamento superior máximo até seu deslocamento inferior máximo em 840 ms Qual é a massa do fio 1562 PC um fio de cobre vertical de 120 m de extensão e calibre 18 diâmetro de 1024 mm tem uma esfera de 1000 N pendurada em sua extremidade a Qual é o comprimento de onda do terceiro harmônico do fio b agora uma esfera de 5000 N substitui a esfera original Qual é a variação do compri mento de onda do terceiro harmônico provocada pela substituição da esfera leve pela pesada Dica veja o módulo de Young na tabela 111 1563 uma onda senoidal transversal deslocase em uma corda a corda tem 800 m de comprimento e massa de 600 g a velocidade da onda é 300 ms e o comprimento de onda é 0200 m a se a onda deve ter uma potência média de 500 w qual deve ser a amplitude da onda b Para essa mesma corda se a amplitude e o comprimento de onda forem iguais aos do item a qual é a potência média para a onda se a tensão for aumentada de tal forma que a velocidade da onda dobre Figura P1554 350 cm Traste C A S1 S2 x Figura P1555 570 570 Fio Pivôs BookSEARSVol2indb 150 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 151 1564 uma corda vibrando de 500 cm de comprimento está sob uma tensão de 10 N os resultados de cinco fotografias estroboscópicas sucessivas são mostrados na Figura P1564 a taxa do estroboscópio é fixada em 5000 flashes por minuto e observações revelam que o deslocamento máximo ocorreu nos flashes 1 e 5 sem nenhum outro máximo no intervalo entre eles a calcule o período a frequência e o comprimento de onda para as ondas progressivas nessa corda b Em que modo normal harmônico a corda está vibrando c Qual é a velocidade das ondas progressivas na corda d com que velocidade o ponto P se move quando a corda está na i posição 1 e ii posição 3 e Qual é a massa dessa corda Figura P1564 P 1 1 5 5 2 2 4 4 3 3 15 cm 15 cm 1565 Nós no varal seu primo tobias está outra vez brin cando com o varal do Exemplo 152 seção 153 uma extremi dade do varal está presa a um poste vertical tobias segura a outra extremidade frouxamente de modo que a velocidade das ondas no varal é relativamente baixa 0720 ms Ele encontra várias frequências nas quais pode oscilar sua extremidade do varal de modo que um leve prendedor de roupas a 450 cm do poste não se mova Quais são essas frequências 1566 uma corda forte com massa de 300 g e comprimento de 220 m está presa a suportes em cada extremidade e vibra em seu modo fundamental a velocidade transversal máxima de um ponto no meio da corda é 900 ms a tensão na corda é 330 N a Qual é a amplitude da onda estacionária em seu ventre b Qual é o módulo da aceleração transversal máxima de um ponto no ventre 1567 uma corda fina com 250 m de extensão é esticada entre dois suportes com uma tensão de 900 N entre eles Quando a corda vibra em seu primeiro sobretom um ponto em um ventre da onda estacionária na corda tem amplitude de 350 cm e ve locidade transversal máxima de 280 ms a Qual é a massa da corda b Qual é o módulo da aceleração transversal máxima desse ponto na corda 1568 CALC uma corda de violão está vibrando em seu modo fundamental com nós em ambas as extremidades o comprimento do segmento da corda que está livre para vibrar é 0386 m a aceleração transversal máxima de um ponto no meio de um segmento é 840 103 ms2 e a velocidade trans versal máxima é 380 ms a Qual é a amplitude dessa onda estacionária b Qual é a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda 1569 um fio de aço cilíndrico uniforme de 550 cm de comprimento e 114 mm de diâmetro é preso em ambas as extre midades a que tensão ele deve ser ajustado para que ao vibrar em seu primeiro sobretom produza a nota D com 311 hz de frequência suponha que a deformação do fio seja desprezível Dica use a tabela 141 1570 uma corda cujas extremidades são fixas está vi brando no terceiro harmônico as ondas possuem velocidade igual a 192 ms e frequência igual a 240 hz a amplitude da onda estacionária em um ventre é igual a 0400 cm a calcule a amplitude nos pontos da corda cujas distâncias a partir da extremidade esquerda da corda são i 400 cm ii 200 cm e iii 100 cm b Para cada um dos pontos mencionados no item a calcule quanto tempo a corda leva para ir de seu deslocamento máximo para cima até seu deslocamento má ximo para baixo c ache a velocidade transversal máxima e a aceleração transversal máxima em cada um dos pontos mencionados no item a 1571 PC uma pedra grande pesando 1640 N é suspensa pela extremidade inferior de um fio fino com 300 m de exten são a densidade da pedra é de 3200 kgm3 a massa do fio é pequena o suficiente para que seu efeito sobre a tensão no fio possa ser desprezado a extremidade superior do fio é mantida fixa Quando a pedra está no ar a frequência fundamental para as ondas estacionárias transversais no fio é de 420 hz Quando a pedra é totalmente submersa em um líquido com seu topo logo abaixo da superfície a frequência fundamental para o fio é de 280 hz Qual é a densidade do líquido 1572 Resistir à tensão um fio ou corda se romperá se for submetido a muita tensão Equação 118 cordas mais grossas podem resistir a uma tensão maior sem se romper porque quanto mais grossa a corda maior é a área transversal e menor a tensão um tipo de aço possui densidade igual a 7800 kgm3 e uma tensão de ruptura igual a 70 108 Nm2 você deseja fabri car uma corda de violão usando 40 g desse aço a corda deve poder resistir a uma tensão de 900 N sem se romper sua tarefa é determinar a o comprimento máximo e o raio mínimo que a corda pode ter b a frequência fundamental mais alta possível das ondas estacionárias na corda se toda a extensão da corda estiver livre para vibrar 1573 Afinando um instrumento um músico afina a corda c de seu instrumento para uma frequência fundamental igual a 654 hz o comprimento da seção da corda que vibra é igual a 0600 m e a massa é igual a 144 g a Qual é a ten são com a qual ela deve ser esticada b Qual deve ser o au mento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 654 hz até 734 hz correspondendo a um aumento de altura da nota c para a nota D 1574 dAdos Extensão de escala é o comprimento da parte de uma corda de violão que pode vibrar livremente um valor padrão da extensão de escala é 255 polegadas a frequên cia da onda estacionária fundamental em uma corda é determi nada pela extensão de escala da corda tensão e densidade linear Na tabela a seguir mostramos a frequência padrão f de cada uma das cordas afinadas de um violão de seis cordas Corda E2 a2 D3 G3 B3 E4 f Hz 824 1100 1468 1960 2469 3296 suponha que um valor típico da tensão de uma corda de violão seja 780 N embora a tensão varie um pouco para diferentes cor das a calcule a densidade linear m em gcm para as cordas E2 G3 e E4 b Quando sua banda já está pronta para entrar no palco sua corda G3 se parte a única corda substituta que você tem é uma E2 se as suas cordas possuem as densidades lineares calculadas no item a qual deverá ser a tensão na corda subs tituta para levar sua frequência fundamental ao valor da corda G3 ou seja 1960 hz 1575 dAdos Em seu laboratório de física um oscilador é preso à extremidade de uma corda horizontal a outra extre midade da corda passa por uma polia sem atrito você suspende uma massa M pela extremidade livre da corda produzindo a tensão Mg na corda o oscilador produz ondas transversais de BookSEARSVol2indb 151 021015 150 PM 152 Física II frequência f sobre a corda você não varia essa frequência du rante o experimento mas testa as cordas com três densidades lineares m diferentes você também mantém uma distância fixa entre a extremidade da corda onde o oscilador está preso e o ponto onde ela está em contato com a borda da polia Para pro duzir ondas estacionárias na corda você varia M então você mede a distância d de um nó para outro para cada padrão de onda estacionária e obtém os seguintes dados Corda A A B B C m gcm 00260 00260 00374 00374 00482 M g 559 249 365 207 262 d cm 481 319 320 242 238 a Explique por que você obtém apenas certos valores de d b represente graficamente md2 em kg m em função de M em kg Explique por que os dados desenhados dessa forma devem ficar próximos a uma linha reta c use a inclinação do melhor ajuste dos dados à linha reta para determinar a frequência f das ondas produzidas na corda pelo oscilador considere g 980 ms2 d Para a corda a m 00260 gcm que valor de M em gramas seria necessário para produzir uma onda estacioná ria com uma distância de 240 cm de um nó a outro use o valor de f calculado no item c 1576 dAdos você está medindo a dependência de fre quência da potência média Pméd transmitida pelas ondas que trafegam em um fio Em seu experimento você usa um fio com densidade linear de 35 gm Para uma onda transversal no fio com amplitude de 40 mm você mede Pméd em watts em fun ção da frequência f da onda em hz você escolheu desenhar Pméd em função de f 2 Figura P1576 a Explique por que os valores de Pméd desenhados em função de f2 deverão estar bem ajustados a uma linha reta b use a inclinação da linha reta ajustada aos dados mostrada na figura P1576 para calcular a velocidade das ondas c Que frequência angular v resultaria em Pméd 100 w Figura P1576 4 8 12 16 20 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 Pméd W f 2 Hz2 ProBLEmA dEsAFIAdor 1577 PC CALC um escafandrista está suspenso 100 m abaixo da superfície do Lago Ness por um cabo preso a um barco na superfície Figura P1577 o mergulhador e seus equipamentos possuem massa total de 120 kg e ocupam um volume igual a 00800 m3 o cabo possui diâmetro igual a 200 cm e densidade linear m 110 kgm o mergulhador imagina que viu algo se movendo nas profundezas escuras do lago e sacode a extremidade do cabo produzindo ondas transversais que sobem através dele para sinalizar a seus companheiros que estão no barco a Qual é a tensão no cabo em sua extremidade inferior presa ao mergulhador Não se esqueça de incluir a força de empuxo que a água densidade igual a 1000 kgm3 exerce sobre ele b calcule a tensão no cabo a uma distância x acima do mergulhador Em seu cálculo inclua a força de empuxo que a água exerce sobre o cabo c a velocidade das ondas trans versais no cabo é dada por v Fm Equação 1514 Portanto a velocidade varia ao longo do cabo visto que a tensão não é constante Esta relação despreza a força de amortecimento que a água exerce sobre o cabo que se move integre para achar o tempo que o primeiro sinal leva para atingir a superfície Problemas com contexto BIo Ondas nas cordas vocais Na laringe o som é produzido pela vibração das cordas vocais também chamadas de pregas vocais a figura que acompanha este problema é um corte transversal do trato vocal em um dado instante no tempo o ar flui para cima no sentido positivo de z através do trato vocal fazendo com que uma onda transversal se propague vertical mente para cima ao longo da superfície das cordas vocais Em um adulto típico do sexo masculino a espessura das cor das vocais na direção do fluxo de ar é d 20 mm a fotografia de alta velo cidade mostra que para uma frequência de vibra ção de f 125 hz a onda ao longo da superfície dos tratos vocais sobe a uma velocidade v 375 cms use t para o tempo z para o deslocamento no sen tido positivo do eixo z e l para o comprimento de onda 1578 Qual é o comprimento da onda que atravessa a superfície das cordas vocais quando elas estão vibrando na frequência f a 20 mm b 33 mm c 050 cm d 30 cm 1579 Qual destas é uma descrição matemática possível para a onda no Problema 1578 a A sen2pft zv b A sen2pf t zv c A sen2pftcos2pzl d A sen2pft sen2pzl 1580 a velocidade de onda é medida para diferentes frequên cias de vibração um gráfico da velocidade de onda em função da frequência Figura P1580 indica que quando a frequência aumenta o comprimento de onda a aumenta b diminui c não muda d tornase indefinido Figura P1580 200 400 600 800 1000 1200 0 50 100 150 200 250 300 350 400 v cms f Hz 100 m m 120 kg x Figura P1577 Cordas vocais Fluxo de ar v v d z BookSEARSVol2indb 152 021015 150 PM Capítulo 15 Ondas mecânicas 153 respostas resposta à pergunta inicial do capítulo iii a potência de uma onda mecânica depende de sua amplitude e frequência veja a Equação 1525 respostas às perguntas dos testes de compreensão 151 resposta i a ola se desloca horizontalmente de um espectador ao seguinte ao longo de cada fileira do estádio mas o deslocamento de cada espectador é verticalmente para cima como o deslocamento é perpendicular à direção em que a onda se propaga ela é transversal 152 resposta iv a velocidade de uma onda em uma corda v não depende do comprimento de onda Podemos reescrever a relação v lf como f vl o que nos mostra que como v não varia se o comprimento de onda dobrar a frequência se reduzirá à metade 153 respostas a 2 8T b 4 8T c 5 8T como a onda é senoidal cada ponto na corda oscila em Mhs assim podemos aplicar todas as ideias do capítulo 13 sobre Mhs à onda mostrada na figura 158 a uma partícula em Mhs tem velocidade máxima quando está passando pela posição de equilíbrio y 0 na figura 158 a partícula no ponto A está passando por essa posição em movimento ascendente em t 2 8T b Em Mhs vertical a maior aceleração para cima ocorre quando uma partícula está em seu deslocamento máximo para baixo isso acontece para a partícula no ponto B em t 4 8T c uma partícula em Mhs vertical tem uma aceleração para baixo quando seu deslocamento é para cima ascendente a partícula em C tem um deslocamento ascendente para cima e está se movendo para baixo em t 5 8T 154 resposta ii a relação v Fm Equação 1514 diz que a velocidade da onda é maior na corda que possuir a menor densidade linear Essa é a corda mais fina com a menor quantidade de massa m e portanto a menor densidade linear m mL todas as cordas possuem o mesmo comprimento 155 resposta iii iv ii i a Equação 1525 diz que a potência média em uma onda senoidal é Pméd 1 2mF v2A2 todas as quatro cordas são idênticas então todas possuem a mesma massa o mesmo comprimento e a mesma densidade li near m a frequência f é a mesma para todas as ondas assim como a frequência angular v 2pf assim a potência média da onda em cada corda é proporcional à raiz quadrada da tensão da corda F e ao quadrado da amplitude A comparada à corda i a potência média em cada corda é ii 4 2 vezes maior iii 42 16 vezes maior e iv 2 1 22 2 4 2 vezes maior 156 resposta 157 respostas sim sim Dobrar a frequência faz com que o comprimento de onda passe a ser a metade assim o espaça mento entre os nós igual a l2 também é a metade há nós em todas as posições anteriores mas também há um novo nó entre cada par de nós antigos 158 respostas n 1 3 5 Quando se prende o centro da corda com o dedo está se forçando a criação de um nó no centro assim apenas ondas estacionárias com um nó em x L2 podem ser criadas veja na figura 1526 que os modos normais n 1 3 5 não podem estar presentes Problema em destaque a F1r2 mv2 2L 1L2 r22 b v1r2 vÅ L2 r2 2 c p v2 BookSEARSVol2indb 153 021015 150 PM oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 161 Como descrever uma onda sonora em termos dos deslocamentos de partículas ou das flutuações de pressão 162 Como calcular a velocidade de ondas sonoras em diferentes materiais 163 Como calcular a intensidade de uma onda sonora 164 O que determina as frequências sonoras particulares produzidas por um órgão ou uma flauta 165 Como ocorre a ressonância em instrumentos musicais 166 O que acontece quando ondas sonoras de fontes diferentes se sobrepõem 167 Como descrever o que acontece quando duas ondas sonoras de frequências levemente diferentes se combinam 168 Por que a altura de uma sirene muda enquanto ela passa por você 169 Por que um avião voando mais rápido que o som produz uma onda de choque Revendo conceitos de 64 Potência 81 O teorema do impulsomomento 114 Módulo de compressão e módulo de Young 122 Pressão manométrica e pressão absoluta 148 Oscilações forçadas e ressonância 151158 Ondas mecânicas D e todas as ondas mecânicas da natureza as mais importantes em nosso cotidiano são as ondas longitudinais que se propagam em um meio em geral o ar e que são chamadas de ondas sonoras isso porque o ouvido humano possui uma sensibilidade impressionante sendo capaz de detectar ondas sonoras mesmo de intensidade muito baixa a capacidade de ouvir sons de animais predadores que não são visíveis du rante a noite foi essencial para a sobrevivência de nossos ancestrais então não é exagero afirmar que existimos graças ao nosso sentido da audição altamente desenvolvido No capítulo 15 discutimos as ondas mecânicas principalmente em ter mos de deslocamentos muitas vezes contudo é mais apropriado descre ver ondas sonoras em termos de flutuações de pressão porque o ouvido é muito sensível a elas Estudaremos as relações entre as flutuações de deslocamento de pressão e intensidade bem como o vínculo entre essas grandezas e a percepção do som pelo ouvido humano Quando uma fonte sonora ou um ouvinte se move pelo ar o ouvinte detecta um som com uma frequência diferente do som emitido pela fonte Esse fenômeno é o efeito Doppler que possui importantes aplicações na medicina e na tecnologia 161 oNdAs soNorAs a definição mais geral de som é uma onda longitudinal que se propaga em um meio Nossa principal preocupação neste capítulo é com a propa gação do som no ar porém o som pode se propagar nos meios gasoso líquido ou sólido você já deve ter notado claramente a propagação do som 16 som E AuDiÇÃo O som de uma trombeta deslocase mais lenta mente em um dia frio de in verno no alto das montanhas que em um dia quente de ve rão no nível do mar Isso ocorre porque em altas elevações no inverno o ar possui menor i pressão ii densidade iii umidade iv temperatura v massa por mol BookSEARSVol2indb 154 021015 150 PM em sólidos se o altofalante do aparelho de som do seu vizinho estiver instalado próximo à sua parede As ondas sonoras mais simples são ondas senoidais que possuem valores definidos para a amplitude a frequência e o comprimento de onda O ouvido humano é sensível aos sons com frequências compreendidas entre 20 e 20000 Hz que delimitam o intervalo audível mas também usamos a palavra som no caso de frequências maiores ultrassom ou menores infrassom que os limites do intervalo audível As ondas sonoras geralmente se propagam em todas as direções a partir da fonte com amplitudes que dependem da direção e da distância entre o ouvinte e a fonte Voltaremos a discutir essa questão na próxima seção Por enquanto nos concentraremos no caso ideal de uma onda sonora que se propaga apenas no sentido positivo do eixo x Conforme discutimos na Seção 153 essa onda é descrita por uma função de onda yx t que fornece o deslocamento instantâneo y de uma partícula em um meio para uma posição x no instante t Caso a onda seja senoidal podemos representála usando a Equação 157 yx t A cos kx ωt onda sonora propagandose no sentido x 161 Lembrese de que em uma onda longitudinal os deslocamentos são paralelos à direção da propagação da onda de modo que as distâncias x e y são paralelas e não ortogonais como no caso da propagação de uma onda transversal A amplitude A é o deslocamento máximo da partícula a partir da posição de equilíbrio Figura 161 Portanto A também é chamada de amplitude de deslocamento Ondas sonoras como flutuações de pressão Ondas sonoras também podem ser descritas em termos de variações de pressão em vários pontos Em uma onda sonora senoidal no ar a pressão flutua acima e abaixo da pressão atmosférica Pa em uma variação senoidal com a mesma frequência que os movimentos das partículas do ar O ouvido humano funciona captando essas variações de pressão Uma onda sonora entrando no canal auditivo exerce uma pressão flutuante sobre um lado do tímpano o ar do outro lado expelido pela tuba auditiva está na pressão atmosférica A diferença de pressão dos dois lados do tímpano põe o ar em movimento Microfones e aparelhos similares em geral também captam diferenças de pressão não deslocamentos Seja Px t a flutuação instantânea da pressão em uma onda sonora para cada ponto x e instante t Ou seja Px t fornece a diferença entre a pressão da onda e a pressão atmosférica normal Pa Imagine que Px t seja a pressão manométrica definida na Seção 122 ela pode ser positiva ou negativa A pressão absoluta em cada ponto portanto é igual a Pa Px t Para ver a ligação entre a flutuação de pressão Px t e o deslocamento yx t de uma onda sonora se propagando ao longo do eixo x no sentido positivo considere um cilindro imaginário de um meio ondulatório gasoso líquido ou sólido com seção reta de área S e eixo ao longo da direção de propagação Figura 162 Quando não existe nenhuma onda sonora o comprimento do cilindro é Δx e o volume é V SΔx como indicado pelo volume sombreado na Figura 162 Quando uma onda está presente no instante t a extremidade que estava inicialmente no ponto x é deslocada para y1 yx t e a extremidade que estava inicialmente no ponto x Δx é deslocada para y2 yx Δx t isso pode ser mostrado pelas setas vermelhas Quando y2 y1 como no caso indicado na Figura 162 o volume do cilindro aumenta produzindose uma diminuição de pressão Quando y2 y1 o volume diminui e a pressão aumenta Quando y2 y1 o cilindro é simplesmente deslocado para a esquerda ou para a direita não existe variação de volume nem flutuação de pressão A flutuação de pressão depende da diferença entre os deslocamentos de pontos vizinhos do meio Figura 161 Uma onda senoidal longitudinal deslocandose para a direita em um fluido Compare com a Figura 157 As ondas longitudinais são mostradas com intervalos de 18 T para um período T Duas partículas no meio a um comprimento de onda λ de distância Embolo movendose em MHS As partículas oscilam com amplitude A A onda avança um comprimento de onda λ durante cada período T Figura 162 À medida que uma onda sonora se propaga ao longo do eixo x as extremidades esquerda e direita sofrem diferentes deslocamentos y1 e y2 O cilindro de fluido sem perturbações possui área da seção reta S comprimento Δx e volume SΔx Uma onda sonora desloca a extremidade esquerda do cilindro em y1 yx t e a direita em y2 yx Δx t A variação no volume do cilindro de fluido sem perturbações é Sy2 y1 156 Física II Quantitativamente a variação de volume V do cilindro é V Sy2 y1 Sy x x t y x t No limite x 0 a variação relativa de volume de dVV variação do volume dividida pelo volume original é dV V lim x S 0 S 3y 1x x t2 y 1x t24 S x 0y 1x t2 0x 162 a variação relativa do volume relacionase à flutuação de pressão por meio do módulo de compressão B definido pela Equação 1113 como B Px t dVV ver seção 114 Explicitando Px t obtemos P 1x t2 B 0y 1x t2 0x 163 o sinal negativo surge porque quando yx tx é positivo o deslocamento no ponto x x é maior que no ponto x correspondendo a um aumento de vo lume e a uma diminuição da pressão e uma flutuação negativa da pressão Quando calculamos yx tx para a onda senoidal da Equação 161 encontramos Px t BkA sen kx vt 164 a Figura 163 mostra yx t e Px t para uma onda senoidal quando t 0 Mostra também o quanto as partículas individuais da onda estão deslocadas nesse momento Embora yx t e Px t descrevam a mesma onda essas funções têm uma diferença de fase de um quarto de ciclo em um dado instante o desloca mento é máximo quando a flutuação de pressão é igual a zero e viceversa Em especial note que as compressões pontos de maior pressão e densidade e ex pansões pontos de menor pressão e densidade são pontos de deslocamento zero Figura 163 três formas de descrever uma onda sonora x Quando y 7 0 as partículas são deslocadas para a direita Quando y 6 0 as partículas são deslocadas para a esquerda Expansão as partículas se separam a pressão é a mais negativa Compressão as partículas se juntam a pressão é a mais positiva a Um gráfco do deslocamento y em função da posição x em t 0 b Um esquema mostrando o deslocamento de partículas individuais no fuido em t 0 c Um gráfco da futuação da pressão P em função da posição de x em t 0 Partículas não deslocadas Partículas deslocadas Pmáx P Pmáx A A y y 7 0 y 7 0 y 6 0 y 6 0 x Comprimento de onda l BookSEARSVol2indb 156 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 157 ATENÇÃo Gráfico de uma onda sonora Lembrese de que os gráficos na figura 163 mostram a onda em apenas um instante no tempo como a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x à medida que o tempo passa as configurações de onda nas funções yx t e Px t movemse para a direita na velocidade da onda v vk as partí culas ao contrário apenas oscilam para a frente e para trás em Mhs como se pode ver na figura 161 a Equação 164 mostra que a grandeza BkA representa a flutuação máxima de pressão Essa grandeza é chamada de amplitude da pressão sendo designada por Pmáx Pmáx BkA 165 Módulo de compressão do meio Amplitude de deslocamento Número de onda 2pl Amplitude de pressão onda sonora senoidal Para uma dada amplitude ondas com comprimentos de onda l curtos valores elevados do número de onda k 2pl apresentam variações de pressão maiores porque os máximos e mínimos são comprimidos e se aproximam mais entre si um meio que possui um valor elevado do módulo de compressão B é menos com pressível e portanto uma pressão mais elevada é necessária para produzir uma dada variação de volume ou seja uma dada amplitude de deslocamento Em uma onda sonora senoidal com intensidade moderada a va riação máxima da pressão é da ordem de 30 102 Pa acima e abaixo da pressão atmosférica calcule o deslocamento máximo correspondente em uma frequência de 1000 hz Nas condições normais de pressão atmosférica e densidade a velocidade do som é 344 ms e o módulo de compressão é 142 105 Pa soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a relação entre duas formas diferentes de descrever uma onda sonora em termos de deslocamento e em termos de pressão a variável procurada é a amplitude A do deslocamento são dados a am plitude da pressão Pmáx a velocidade da onda v a frequência f e o módulo de compressão B a variável que queremos achar A está relacionada a Pmáx pela Equação 165 usamos também a relação v vk Equação 156 para encontrar o número de onda k a partir de v e da frequência angular v 2pf EXECUTAR pela Equação 156 k v v 2pf v 12p rad2 11000 Hz2 344 ms 183 radm Logo pela Equação 165 o deslocamento máximo é A Pmáx Bk 30 102 Pa 1142 105 Pa2 1183 radm2 12 108 m AVALIAR essa amplitude de deslocamento é apenas cerca de 1 100 do tamanho de uma célula humana Lembrese de que o ou vido na verdade é sensível a flutuações de pressão ele detecta esses deslocamentos minúsculos apenas indiretamente ExEmPlo 161 AMPLITUDE DE UMA ONDA SONORA Quando uma onda sonora entra no ouvido humano ela produz vibrações do tímpano que por sua vez produzem oscilações nos minúsculos ossos do ouvido médio chamados de ossículos uma cadeia de três pequenos ossos no ouvido médio Figura 164 Essas oscilações são finalmente transmitidas ao ouvido interno cheio de líquido principalmente o movimento desse fluido perturba as células capilares no ouvido interno as quais trans mitem impulsos ao nervo que se liga ao cérebro transportando a informação de que existe um som a parte móvel do tímpano possui uma área aproximadamente igual a 43 mm2 e a área do estribo o menor ossículo onde ele se liga ao ouvido interno é aproximadamente igual a 32 mm2 Para o som mencionado no Exemplo 161 determine a a amplitude da pressão e b a amplitude do deslocamento da onda no fluido que enche o ou vido interno em que a velocidade do som é cerca de 1500 ms soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR embora a onda sonora esteja agora se deslocando em um líquido e não no ar os mesmos princípios e relações entre as propriedades são aplicáveis Podemos despre zar a massa dos ossículos cerca de 58 mg 58 105 kg de modo que a força exercida pelos ossículos sobre o fluido no ouvido interno é a mesma exercida sobre o tímpano e os ossículos pelas ondas sonoras incidentes usamos essa mesma ideia nos capítulos 4 e 5 quando dissemos que a tensão é a mesma em ExEmPlo 162 AMPLITUDE DE UMA ONDA SONORA NO OUVIDO INTERNO Continua BookSEARSVol2indb 157 021015 150 PM 158 Física II Percepções das ondas sonoras as características físicas de uma onda sonora estão diretamente relacionadas à percepção desse som por um ouvinte Para uma dada frequência quanto maior for a amplitude da pressão de uma onda sonora senoidal mais elevada será a inten sidade sonora percebida a relação entre a amplitude da pressão e a intensidade sonora não é muito simples e varia de uma pessoa a outra um fator importante é que o ouvido não possui a mesma sensibilidade para todas as frequências do inter valo audível um som com uma dada frequência pode parecer mais forte que outro com amplitude igual mas frequência diferente Para uma frequência de 1000 hz a amplitude mínima da pressão que pode ser detectada por um ouvido normal é igual a aproximadamente 3 105 Pa para produzir a mesma intensidade sonora a 200 hz ou a 15000 hz o valor é cerca de 3 104 Pa a percepção da intensi dade também depende da saúde do ouvido a idade normalmente causa perda de sensibilidade em frequências mais altas a frequência de uma onda sonora é o fator principal que determina a altura de um som a qualidade que nos permite distinguir um som agudo de um grave Quanto maior for a frequência do som dentro do intervalo audível mais aguda será a altura do som que um ouvinte perceberá a amplitude da pressão também desempenha um papel na determinação da altura do som Quando um ouvinte compara duas ondas sonoras de mesma frequência mas com valores diferentes ambas as extremidades de uma corda sem massa Portanto a amplitude da pressão Pmáx ouvido interno é maior que no ar externo Pmáx ar em razão de a mesma força ser exercida sobre uma área menor a área do estribo em relação à área do tímpano Dada a amplitude da pressão no ouvido interno Pmáx ouvido interno encontramos a amplitude do deslocamento Aouvido interno usando a Equação 165 EXECUTAR a usando a área do tímpano e a amplitude da pressão encontradas no Exemplo 161 a força máxima exer cida pela onda sonora no ar sobre o tímpano é Fmáx Pmáxar Stímpano Logo a amplitude da pressão no fluido do ouvido in terno é Pmáx 1ouvido interno2 Fmáx Sestribo Sestribo Pmáx 1ar2 Stímpano 130 102 Pa2 4 mm2 3 mm2 040 Pa 3 2 b Para calcular o deslocamento máximo Aouvido interno usamos no vamente a relação A PmáxBk como no Exemplo 161 o fluido no ouvido interno é constituído principalmente de água que pos sui um módulo de compressão B muito maior que o ar conforme a tabela 112 a compressibilidade da água infelizmente tam bém simbolizada pela letra k é igual a 458 1011 Pa1 logo Bfluido 1458 1011 Pa1 218 109 Pa a onda no ouvido interno possui a mesma frequência angular v que a onda no ar porque o ar o tímpano os ossículos e o fluido do ouvido interno oscilam juntos veja o Exemplo 158 na seção 158 Porém como a velocidade da onda sonora v na água é maior que no ar 1500 ms contra 344 ms o número de onda k vv é menor usando o valor de v pelo Exemplo 161 kouvido interno v vouvido interno 42 radm 12p rad2 11000 Hz2 1500 ms Juntando tudo o deslocamento máximo do fluido no ouvido interno é Aouvido interno Pmáx 1ouvido interno2 Bfuido kouvido interno 040 Pa 1218 109 Pa2 142 radm2 040 Pa 1218 109 Pa2 142 radm2 44 1011 m AVALIAR o resultado do item a mostra que o efeito dos ossí culos é aumentar a amplitude da pressão no ouvido interno em um fator igual a 43 mm232 mm2 13 Esse fator de ampli ficação contribui para a grande sensibilidade do ouvido humano Essa amplitude do deslocamento no ouvido interno é ainda menor que a obtida para o deslocamento no ar Porém o que realmente importa no ouvido interno é a amplitude da pressão visto que são as variações de pressão no fluido que produzem as forças que impulsionam as células capilares Figura 164 anatomia do ouvido humano o ouvido médio possui tamanho aproximadamente igual ao de uma bola de gude pequena os ossículos martelo bigorna e estribo são os menores ossos existentes no corpo humano Canal auditivo Tímpano Cóclea do ouvido interno Ossículos ossos do ouvido médio Bigorna Martelo Estribo Continuação BookSEARSVol2indb 158 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 159 de amplitude de pressão o som de maior amplitude de pressão é percebido como mais forte porém com uma altura menor parecendo mais grave sons musicais têm funções de onda mais complicadas que uma simples função senoidal a flutuação de pressão de uma onda sonora produzida por uma clarineta é mostrada na Figura 165a o padrão é tão complexo porque a coluna de ar em um instrumento de sopro como a clarineta vibra não apenas na frequência funda mental mas também em muitos outros harmônicos ao mesmo tempo Na seção 158 descrevemos esse mesmo comportamento em uma corda dedilhada tocada com um arco ou percutida Examinaremos a física dos instrumentos de sopro na seção 164 a onda sonora produzida no ar que circunda o instrumento conterá a mesma quantidade de cada harmônico ou seja a mesma composição harmônica a figura 165b mostra a composição harmônica do som de uma clarineta o processo matemático de traduzir um gráfico da pressão em função do tempo como o da figura 165a em um gráfico de composição harmônica como o da figura 165b é chamado de análise de Fourier Dois tons produzidos por instrumentos diferentes podem ter a mesma frequên cia fundamental e portanto a mesma altura porém são percebidos de maneiras diferentes em virtude da presença de quantidades diferentes dos diversos harmô nicos Essa diferença no som é chamada timbre e geralmente é descrita de modo subjetivo mediante o uso de expressões como um som redondo estridente metálico ou melodioso um som rico em harmônicos como o da clarineta representado nas figuras 165a e 165b geralmente soa como fino e agudo enquanto um tom contendo basicamente o harmônico fundamental como o pro duzido por uma flauta doce representado nas figuras 165c e 165d é mais me lodioso e redondo o mesmo princípio se aplica à voz humana que é outro exemplo de instrumento de sopro as vogais a e e soam de modo diferente pelas diferenças em sua composição harmônica outro fator importante para a determinação do timbre é o comportamento no princípio ataque e no final decaimento de um tom o som de um piano começa com uma pancada e a seguir se extingue gradualmente o som de um cravo além de possuir uma composição harmônica diferente começa muito mais rapidamente com um clique e os harmônicos mais elevados começam antes dos mais baixos Quando a tecla é solta o som se extingue muito mais rapidamente que o som do piano Efeitos semelhantes podem ser observados em outros ins trumentos musicais Diferentemente dos sons feitos por instrumentos musicais o ruído é uma com binação de todas as frequências não apenas as harmônicas ou seja frequências múltiplas de uma frequência fundamental um caso extremo é o ruído branco que contém quantidades iguais de todas as frequências ao longo do intervalo audí vel Exemplos de ruídos são o som do vento e o som sibilante produzido quando você pronuncia a consoante s TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 161 você utiliza um gerador de sinal eletrônico para produzir uma onda sonora senoidal no ar a seguir você aumenta a frequência da onda de 100 hz para 400 hz enquanto mantém a amplitude de pressão constante Que efeito isso exerce sobre a amplitude de deslocamento da onda sonora i tornase quatro vezes maior ii tornase duas vezes maior iii não varia iv reduzse à metade v reduzse a um quarto 162 VELoCIdAdE dAs oNdAs soNorAs vimos na seção 154 que a velocidade de uma onda transversal em uma corda depende da tensão F e da densidade linear m v ÈFm Qual poderíamos perguntar é a expressão correspondente para a velocidade das ondas sonoras em um gás ou um líquido De que propriedades do meio a velocidade depende Figura 165 Diferentes representações do som de a b uma clarineta e c d uma flauta doce Gráficos adaptados a partir de r E Berg e D G stork The Physics of Sound Prenticehall 1982 t Flutuação da pressão em função do tempo em uma clarineta com frequência fundamental f1 233 Hz Flutuação da pressão em função do tempo para uma fauta doce com frequência fundamental f1 523 Hz Composição harmônica do som em c Composição harmônica do som em a a O 5f1 b 10f1 20f1 30f1 40f1 f t T 429 ms O P A O 5f1 d 10f1 20f1 30f1 40f1 f A T 191 ms O c P BIo Aplicação Perda de audição decorrente de som amplificado Pela exposição à música altamente amplificada muitos músicos populares jovens sofrem dano permanente no ouvido e apresentam audição típica de pessoas com mais de 65 anos de idade Os fones de ouvido de aparelhos de som usados em volume muito alto também constituem uma ameaça para a audição Tome cuidado BookSEARSVol2indb 159 021015 150 PM Podemos levantar uma hipótese a respeito dessas questões lembrandonos de uma afirmação feita na Seção 154 nas ondas mecânicas em geral a expressão da velocidade da onda tem a forma v raiz Força de restauração que atua durante o retorno ao equilíbrio Força resistiva inercial durante o retorno ao equilíbrio Uma onda sonora no interior de um fluido provoca compressões e expansões nesse fluido logo o termo da força restauradora na expressão anteriormente mostrada precisa ser relacionado com a facilidade ou a dificuldade de comprimir o fluido É precisamente isso o que o módulo de compressão B do meio nos diz Conforme a segunda lei de Newton a inércia é relacionada à massa A quantidade de massa de um fluido comprimido é descrita por sua densidade a massa por unidade de volume ρ Logo esperamos que a velocidade das ondas sonoras seja da forma v raiz Bρ Para verificar nossa hipótese deduziremos a velocidade das ondas sonoras em um fluido dentro de um tubo Essa é uma situação de importância já que todos os instrumentos musicais de sopro são fundamentalmente tubos nos quais uma onda longitudinal som se propaga em um fluido ar Figura 166 A voz humana é produzida com base no mesmo princípio as ondas sonoras se propagam no trato vocal humano que é basicamente um tubo cheio de ar ligado aos pulmões em uma das extremidades a laringe enquanto a outra extremidade a boca está em contato com o ar exterior Nessa dedução seguiremos as etapas usadas na dedução na Seção 154 para achar a velocidade das ondas transversais Velocidade do som em um fluido A Figura 167 mostra um fluido com densidade ρ em um tubo com uma seção reta de área A No estado de equilíbrio Figura 167a o fluido está submetido a uma pressão uniforme P Tomamos o eixo x ao longo do comprimento do tubo Essa é também a direção em que fazemos uma onda longitudinal se propagar de modo que o deslocamento y também é medido ao longo do tubo como na Seção 161 ver Figura 162 No instante t 0 começamos a deslocar o pistão da extremidade esquerda com velocidade constante vy da esquerda para a direita Isso provoca um movimento ondulatório que se propaga da esquerda para a direita ao longo do comprimento do tubo no qual seções sucessivas de fluido começam a se mover e se comprimem em instantes sucessivos A Figura 167b mostra o fluido em um instante t Todas as partes do fluido à esquerda do ponto P se movem com velocidade vy da esquerda para a direita e todas as partes do fluido à direita do ponto P ainda estão em repouso A fronteira entre a parte em repouso e a parte móvel do fluido se desloca da esquerda para a direita com velocidade igual à de propagação da onda v Até o instante t o pistão se moveu uma distância vyt e a fronteira avançou uma distância vt Analogamente ao caso de uma onda transversal em uma corda podemos obter a velocidade de propagação da onda usando o teorema do impulsomomento linear A quantidade de fluido que entra em movimento no instante t é a quantidade que inicialmente ocupava uma seção do cilindro de comprimento vt com área da seção reta A e volume vtA A massa dessa quantidade de fluido é ρvtA e seu momento linear longitudinal ou seja momento linear ao longo da direção do tubo possui módulo Momento linear longitudinal ρvtAvy A seguir determinamos o aumento da pressão ΔP no fluido que se move O volume original do fluido que se move Avt diminuiu por um valor Avyt Pela definição de módulo de compressão B dada pela Equação 1113 na Seção 115 Figura 166 Quando um instrumento de sopro como esta trompa francesa é tocado ondas sonoras se propagam no ar dentro dos tubos do instrumento As propriedades do som que emerge do grande bocal dependem da velocidade dessas ondas Figura 167 Uma onda sonora propagandose em um fluido confinado em um tubo a Fluido em equilíbrio b Um tempo t depois que o pistão começa a se mover para a direita à velocidade vy o fluido entre o pistão e o ponto P está em movimento A velocidade das ondas sonoras é v B Variação da pressão Fração da variação do volume ΔPAvytAvt e ΔP B vyv A pressão no fluido que se move é P ΔP e a força que o pistão exerce sobre o fluido é P ΔPA A força resultante que atua sobre o fluido é ΔPA veja a Figura 167b e o impulso longitudinal é Impulso longitudinal ΔPAt B vyv At Como o fluido estava em repouso no instante t 0 a variação do momento linear até o instante t é igual ao momento linear nesse instante Aplicando o teorema do impulsomomento linear ver Seção 81 achamos B vyv At ρvtAvy 166 Quando explicitamos v obtemos Velocidade de uma onda longitudinal em um fluido υ Bρ Módulo de compressão do fluido Densidade do fluido 167 o que está de acordo com nossa hipótese Embora tenhamos deduzido a Equação 167 para uma onda se propagando em um tubo ela se aplica a toda onda longitudinal se propagando em um fluido comprimido inclusive ondas de som se propagando no ar ou na água Velocidade do som em um sólido Quando uma onda longitudinal se propaga em uma barra sólida a situação é ligeiramente diferente Uma barra pode se deformar lateralmente quando é comprimida longitudinalmente enquanto um fluido no interior de um tubo com seção reta uniforme não pode se deformar lateralmente Usando o mesmo tipo de raciocínio feito na dedução da Equação 167 podemos mostrar que a velocidade de propagação de um pulso longitudinal na barra é dada por Velocidade de uma onda longitudinal em uma barra sólida υ Yρ Módulo de Young do material da barra Densidade do material da barra 168 Definimos o módulo de Young na Seção 114 ATENÇÃO Barras sólidas versus sólidos comprimidos A Equação 168 se aplica somente a barras ou hastes cujas partes laterais possam sofrer pequenas saliências ou reentrâncias à medida que a onda se propaga Ela não se aplica a ondas longitudinais em um sólido comprimido visto que nesses materiais as pequenas variações laterais são impedidas pela presença do material nas vizinhanças laterais A velocidade de propagação das ondas longitudinais em um sólido comprimido depende da densidade do módulo de compressão e do módulo de cisalhamento Observe que as equações 167 e 168 valem para uma onda senoidal bem como para qualquer tipo de onda periódica e não apenas para o caso especial discutido nesta dedução A Tabela 161 lista a velocidade do som se propagando em diversos materiais comprimidos A velocidade de propagação do som no chumbo é menor que a ve TABELA 161 Velocidade do som em diversos materiais em grandes volumes Material Velocidade do som ms Gases Ar 20 C 344 Hélio 20 C 999 Hidrogênio 20 C 1330 Líquidos Hélio líquido 4 K 211 Mercúrio 20 C 1451 Água 0 C 1402 Água 20 C 1482 Água 100 C 1543 Sólidos Alumínio 6420 Chumbo 1960 Aço 5941 162 Física II locidade do som no alumínio ou no aço porque o chumbo possui um módulo de compressão e de cisalhamento menor e uma densidade maior que aqueles metais um navio usa um sistema de sonar para detectar objetos sub mersos Figura 168 Determine a velocidade das ondas so noras na água usando a Equação 167 e ache o comprimento de onda de uma onda com frequência igual a 262 hz soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR as variáveis que desejamos en contrar são a velocidade e o comprimento de onda de uma onda sonora na água Para usar a Equação 167 para a velocidade da onda usamos a densidade da água r 100 103 kgm3 e calculamos o módulo de compressão da água a partir da compressibilidade veja a tabela 112 Dadas a velocidade e a frequência f 262 hz calculamos o comprimento de onda a partir da relação v f l EXECUTAR no Exemplo 162 usamos a tabela 112 para en contrar B 218 109 Pa Então v Ä B r Å 100 103 kgm3 218 109 Pa 1480 ms e l f 262 s1 565 m v 1480 ms AVALIAR o valor calculado de v está de acordo com o valor em pírico encontrado na tabela 161 Embora a água seja bem mais densa que o ar r é maior ela é também muito mais incompres sível B é muito maior logo a velocidade v ÈBr é maior que os 344 ms da velocidade do som no ar em temperaturas nor mais a relação l vf diz então que uma onda de som na água precisa ter um comprimento de onda maior que uma onda da mesma frequência no ar Na verdade descobrimos no Exemplo 151 seção 152 que uma onda de som de 262 hz no ar tem um comprimento de onda de apenas 131 m Figura 168 um dispositivo sonar utiliza ondas sonoras subaquáticas para detectar e localizar objetos submersos v l ExEmPlo 163 COMPRIMENTO DE ONDA DAS ONDAS DE UM SONAR Golfinhos emitem ondas sonoras com frequências elevadas da ordem de 100000 hz e usam o eco para se guiar e caçar o comprimento de onda correspon dente na água é igual a 148 cm com esse sistema de sonar de alta frequência eles conseguem detectar a presença de objetos tão pequenos quanto o comprimento de onda porém não muito menores a imagem de ultrassom ou ultrassonografia é uma técnica médica que utiliza exatamente o mesmo princípio ondas sonoras com frequências muito elevadas e comprimentos de onda muito pequenos chama das de ultrassom percorrem o corpo humano e os ecos oriundos do interior do organismo são usados para criar uma imagem Para um ultrassom com frequência igual a 5 Mhz 5 106 hz o comprimento de onda na água o constituinte prin cipal do corpo humano é igual a 03 mm e características com dimensões até essa ordem de grandeza podem ser discernidas na imagem Figura 169 o ultrassom é mais sensível que os raios X para detectar contrastes entre diversos tipos de teci dos e não apresenta os riscos da radiação associados aos raios X Velocidade do som em um gás a maioria das ondas sonoras que encontramos em nossa vida diária se propaga no ar ao usar a Equação 167 para calcular a velocidade de uma onda sonora no ar não devemos nos esquecer de que o módulo de compressão de um gás depende de sua pressão quanto maior a pressão aplicada a um gás para comprimilo mais ele resiste a uma compressão adicional e portanto maior o módulo de compres são é por isso que não são dados valores específicos do módulo de compressão para gases na tabela 111 a expressão para o módulo de compressão de um gás que se pode usar na Equação 167 é B gP0 169 Figura 169 Esta imagem tridimensional de um feto no útero foi feita por meio de uma sequência de varreduras de ultrassom cada varredura individual revela uma fatia bidimensional do feto muitas dessas fatias são então combinadas digitalmente as imagens de ultrassom também são usadas para estudar a ação da válvula do coração e detectar tumores BookSEARSVol2indb 162 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 163 onde P0 é a pressão de equilíbrio do gás a grandeza g a letra grega gama é de nominada razão das capacidades caloríficas é um número adimensional que ca racteriza as propriedades térmicas do gás aprenderemos mais sobre essa grandeza no capítulo 19 Por exemplo a razão das capacidades caloríficas do ar é g 140 Em condições normais de pressão atmosférica P0 1013 105 Pa Portanto B 1401013 105 Pa 142 105 Pa Esse valor é minúsculo se comparado ao módulo de compressão de um sólido típico ver tabela 111 que está aproxima damente entre 1010 e 1011 Pa isso não é de surpreender pois não é nada mais que uma afirmação de que o ar é muito mais fácil de comprimir que o aço a densidade r de um gás depende também da pressão que por sua vez de pende da temperatura No fim das contas a razão Br para um dado tipo de gás não depende da pressão apenas da temperatura conforme a Equação 167 isso significa que a velocidade do som em um gás é fundamentalmente uma função da temperatura T 1610 Razão das capacidades calorífcas Constante do gás Temperatura absoluta Massa molar Velocidade do som em um gás ideal v M gRT Ä Essa expressão incorpora diversas grandezas que estudaremos nos capítulos 17 18 e 19 a temperatura T é a temperatura absoluta em kelvins K igual à tem peratura em celsius mais 27315 logo 2000 c correspondem a T 29315 K a grandeza M é a massa molar ou massa por mol da substância de que o gás é composto a constante do gás R possui o mesmo valor para todos os gases o valor numérico mais aproximado de R atualmente é R 83144621 75 Jmol K que por razões práticas de cálculo podemos aproximar para 8314 Jmol K Para qualquer gás em particular g R e M são constantes e a velocidade da onda é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta No capítulo 18 ve remos que a Equação 1610 é quase idêntica à expressão para a velocidade média das moléculas de um gás ideal isso mostra que as velocidades sonoras e as mole culares são intimamente relacionadas calcule a velocidade das ondas sonoras no ar na temperatura ambiente T 20 c e encontre o intervalo de comprimentos de onda no ar em que o ouvido humano que consegue escutar fre quências entre 20 hz até cerca de 20000 hz é sensível a massa molar média do ar uma mistura principalmente de nitrogênio e oxigênio é M 288 103 kgmol e a razão das capacidades caloríficas g 140 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR usamos a Equação 1610 para achar a velocidade do som a partir de g T e M e usamos v fl para calcular o comprimento de onda que corresponde aos limites de frequência observe que na Equação 1610 a temperatura T deverá ser expressa em kelvins e não em graus celsius EXECUTAR em T 20 c 293 K encontramos v Å gRT M Å 11402 18314 Jmol k2 1239 K2 288 103 kgmol 344 ms usando esse valor de v em l vf descobrimos que a 20 c a frequência f 20 hz corresponde a um comprimento de onda l 17 m e f 20000 hz corresponde a l 17 cm AVALIAR nosso resultado está de acordo com a velocidade do som medida a uma temperatura T 20 c ExEmPlo 164 VELOCIDADE DO SOM NO AR Na realidade sabemos que um gás é constituído por moléculas que se mo vem aleatoriamente separadas por distâncias grandes em comparação com seus diâmetros as vibrações que constituem as ondas que se propagam em um gás se sobrepõem no movimento térmico aleatório sob a pressão atmosférica uma molécula se desloca a uma distância média da ordem de 107 m entre as colisões BookSEARSVol2indb 163 021015 150 PM 164 Física II enquanto a amplitude do deslocamento de uma onda sonora fraca é de 109 m Podemos imaginar que uma onda sonora se propagando em um gás seja seme lhante ao movimento de um enxame de abelhas o enxame como um todo oscila ligeiramente enquanto cada abelha se move de modo aparentemente aleatório dentro do conjunto TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 162 o mercúrio é 136 vezes mais denso que a água com base na tabela 161 a 20 c qual desses líquidos possui um módulo de com pressão maior i Mercúrio ii água iii os módulos são praticamente iguais iv não há dados suficientes para decidir 163 INTENsIdAdE do som as ondas sonoras como todas as ondas progressivas transferem energia de uma região do espaço para outra Na seção 155 apresentamos a intensidade de onda I que é igual à taxa temporal média com a qual a energia é transportada por unidade de área por meio de uma superfície perpendicular à direção de propaga ção da onda vamos ver agora como expressar a intensidade de uma onda sonora em um fluido em termos da amplitude do deslocamento A ou da amplitude da pressão Pmáx vamos considerar uma onda sonora se propagando no sentido positivo do eixo x de modo a podermos usar as expressões da seção 161 para o deslocamento yx t e a flutuação de pressão Px t Equações 161 e 164 respectivamente Na seção 64 vimos que a potência é igual ao produto da força pela velocidade ver a Equação 618 Portanto a potência por unidade de área nessa onda sonora é igual ao produto da flutuação de pressão Px t força por unidade de área pela velocidade da partícula vyx t que é a velocidade no instante t daquela parte do meio ondulatório na coordenada x usando as equações 161 e 164 encontramos vy 1x t2 0y 1xt2 0t v A sen 1kx vt2 P 1x t2 vy 1x t2 3BkA sen 1kx vt24 3vA sen 1kx vt24 BvkA2 sen2 1kx vt2 ATENÇÃo Velocidade da onda versus velocidade da partícula Lembrese de que a ve locidade da onda como um todo não é igual à velocidade da partícula Embora a onda continue a se mover no sentido da propagação partículas individuais no meio ondulatório meramente se agitam para a frente e para trás como mostra a figura 161 além disso a ve locidade máxima de uma partícula do meio pode ser bem diferente da velocidade da onda a intensidade é o valor temporal médio da potência por unidade de área Px t vyx t Para qualquer valor de x o valor médio da função sen2 kx vt ao longo de um período T 2pv é igual a 1 2 logo I 1 2 BvkA2 1611 usando as relações v vk e v ÈBr podemos transformar a Equação 1611 na forma 1612 Frequência angular 2pf Amplitude de deslocamento Densidade do fuido Módulo de compressão do fuido Intensidade de uma onda sonora senoidal em um fuido I rBv2A2 1 2 BookSEARSVol2indb 164 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 165 Geralmente é mais útil expressar I em termos da amplitude da pressão Pmáx usando as equações 165 e 1612 e a relação v vk obtemos I vPmáx 2 vPmáx 2 2Bk 2B 1613 usando a relação de velocidade da onda v ÈBr também podemos escrever a Equação 1613 nas formas alternativas 1614 Amplitude de pressão Módulo de compressão do fuido Velocidade de onda Densidade do fuido Intensidade de uma onda sonora senoidal em um fuido I 2rv Pmáx 2 2 rB Pmáx 2 convidamos você a verificar essas expressões a comparação entre as equa ções 1612 e 1614 mostra que ondas sonoras senoidais de mesma intensidade porém frequências diferentes possuem amplitudes de deslocamento A diferentes mas a mesma amplitude de pressão Pmáx Essa é uma outra razão pela qual geral mente é mais conveniente descrever uma onda sonora em termos das flutuações de pressão e não em função do deslocamento a potência média total transportada ao longo de uma superfície por uma onda sonora é igual ao valor da intensidade da onda sobre a superfície multiplicado pela área da superfície quando a intensidade é uniforme ao longo da superfície a potência sonora total emitida por uma pessoa falando em um tom de conversa normal é aproximadamente igual a 105 w enquanto um grito forte corresponde a 3 102 w se todas as pessoas de uma cidade com 10 milhões de habitantes conversassem ao mesmo tempo a potência total emitida seria de 100 w equiva lente ao consumo de potência de uma lâmpada de filamento de porte médio Por outro lado a potência necessária para encher um auditório grande ou um estádio com som alto é considerável ver o Exemplo 167 se a fonte sonora emite ondas em todas as direções de maneira uniforme a in tensidade diminui com o aumento da distância r da fonte segundo a lei do inverso do quadrado seção 155 a intensidade é proporcional a 1r2 a intensidade pode ser aumentada confinando as ondas de som para trafegarem apenas na direção desejada Figura 1610 embora a lei 1r2 ainda se aplique a relação do inverso do quadrado também não é aplicável dentro de espaços fechados porque a energia do som pode chegar a um ouvinte por reflexão nas paredes e no teto com efeito parte do trabalho de um arquiteto ao projetar um auditório é ajustar essas reflexões de modo que a intensidade seja tão uniforme quanto possível em todo o auditório ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 161 INTENSIDADE DO SOM iDENTiFiCAr os conceitos relevantes as relações entre a inten sidade e a amplitude de uma onda sonora são bastante simples Entretanto algumas outras grandezas estão envolvidas nessas relações por isso é especialmente importante discernir qual é a variável procurada PrEPArAr o problema usando os seguintes passos 1 organize as diversas grandezas em categorias as proprie dades da onda incluem as amplitudes de deslocamento e pressão A e Pmáx a frequência f pode ser determinada a partir da frequência angular v do número de onda k ou do comprimento de onda l Essas grandezas são relacionadas mediante a velocidade da onda v que por sua vez é determinada pelas propriedades do meio B e r no caso de um líquido g T e M para um gás 2 Determine quais são as grandezas conhecidas e quais as que você deseja encontrar Procure as relações apropriadas que o conduzirão onde quer chegar ExECuTAr a solução use as equações que você escolheu para encontrar as variáveisalvo Expresse a temperatura em kel vins temperatura celsius mais 27315 para calcular a veloci dade do som em um gás AVAliAr sua resposta se possível use uma relação alternativa para verificar seus resultados Figura 1610 colocando as mãos próximas à boca como mostra a fotografia você dirige as ondas sonoras que saem dela de modo a evitar que elas se propaguem para os lados Dessa forma você pode ser ouvido a distâncias mais longas BookSEARSVol2indb 165 021015 150 PM 166 Física II ache a intensidade da onda sonora do Exemplo 161 conside rando Pmáx 30 102 Pa assuma uma temperatura de 20 c para a qual a densidade do ar é dada por r 120 kgm3 e a velocidade do som é v 344 ms soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a variável que queremos encon trar é a intensidade I da onda sonora conhecemos a amplitude da pressão Pmáx da onda e também a densidade r e a veloci dade da onda v no meio Podemos calcular I a partir de Pmáx r e v usando a Equação 1614 EXECUTAR conforme a Equação 1614 11 106 J1s m22 11 106 Wm2 I 2rv 130 102 Pa22 2 1120 kgm32 1344 ms2 Pmáx 2 AVALIAR essa intensidade parece ser muito baixa mas na ver dade está dentro do intervalo de intensidades sonoras encon tradas diariamente uma onda sonora muito forte no limiar da dor possui uma amplitude de pressão aproximadamente igual a 30 Pa e uma intensidade aproximadamente igual a 1 wm2 a amplitude da pressão do som mais fraco que pode ser ouvido é 30 105 Pa e a intensidade correspondente é 1012 wm2 Experimente esses valores de Pmáx na Equação 1614 para veri ficar se essas correspondências realmente são como dissemos ExEmPlo 165 INTENSIDADE DE UMA ONDA SONORA NO AR Quais são as amplitudes de pressão e deslocamento de uma onda sonora de 20 hz com a mesma intensidade da onda sonora de 1000 hz dos exemplos 161 e 165 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR nos exemplos 161 e 165 desco brimos que para uma onda sonora de 1000 hz com Pmáx 30 102 Pa A 12 108 m e I 11 106 wm2 Nossas variáveisalvo são Pmáx e A para uma onda sonora de 20 hz com a mesma intensidade I Podemos encontrar esses valores usando as equações 1614 e 1612 respectivamente EXECUTAR podemos modificar as equações 1614 e 1612 para obter Pmáx 2 2IrB e v2A2 2IrB respectivamente Essas relações nos dizem que para determinada intensidade de som I em determinado meio r e B constantes as grandezas Pmáx e vA ou de modo equivalente fA são constantes que não dependem da frequência a partir do primeiro resultado temos imediatamente Pmáx 30 102 Pa para f 20 hz o mesmo que para f 1000 hz se escrevermos o segundo resultado como f20A20 f1000 A1000 teremos A20 af1000 f20 bA1000 a1000 Hz 20 Hz b112 108m2 60 107 m 060 mm AVALIAR nosso resultado reforça a ideia de que a amplitude da pressão proporciona uma descrição mais conveniente de uma onda sonora que a amplitude do deslocamento ExEmPlo 166 MESMA INTENSIDADE FREQUÊNCIAS DIFERENTES Em um concerto ao ar livre desejamos que a intensidade do som a uma distância de 20 m do conjunto de altofalantes seja igual a 1 wm2 supondo que a intensidade das ondas sonoras seja uniforme em todas as direções qual deve ser a potência acústica do som emitido pelo conjunto de altofalantes soLUÇÃo IDENTIFICAR PREPARAR E EXECUTAR este exemplo usa a de finição da intensidade como potência por unidade de área aqui a potência total é a variável procurada a área em questão é um hemisfério centrado no conjunto de altofalantes Levantamos a hipótese de que os altofalantes estejam no nível do solo e que nenhuma potência acústica seja absorvida pelo solo de modo que a potência acústica se espalha uniformemente sobre um he misfério de raio igual a 20 m a área da superfície do hemisfério é igual a 1 2 4p 20 m2 ou aproximadamente 2500 m2 a potência acústica necessária é o produto dessa área pela intensi dade 1 wm2 2500 m2 2500 w 25 kw AVALIAR a potência elétrica fornecida ao conjunto de altofa lantes deve ser consideravelmente maior que 25 kw porque a eficiência desses dispositivos não é muito elevada em geral entre 1 e 10 para altofalantes comuns e até 25 para altofalantes de corneta ExEmPlo 167 TOQUE MAIS ALTO A escala decibel como o ouvido é sensível a um intervalo de intensidade muito grande geral mente se adota uma escala logarítmica para as intensidades chamada nível da intensidade sonora 1615 Intensidade da onda sonora Intensidade de referência 1012 Wm2 Nível da intensidade sonora b 110 dB2 log I0 I Logaritmo de base 10 BookSEARSVol2indb 166 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 167 a intensidade de referência I0 escolhida na Equação 1615 é aproximadamente o limiar da audição humana de 1000 hz os níveis de intensidade sonora são expressos em decibéis abreviados por dB um decibel é uma fração igual a 1 10 do bel uma unidade criada em homenagem a alexander Graham Bell o inventor do telefone como em muitos casos o bel é inconvenientemente grande o decibel é a unidade usual para o nível da intensidade sonora Quando a intensidade de uma onda sonora for igual a I0 ou 1012 wm2 seu nível de intensidade sonora será b 0 dB uma intensidade de 1 wm2 corres ponde a 120 dB Na Tabela 162 fornecemos os níveis da intensidade sonora de diversos sons familiares em decibéis Podemos usar a Equação 1615 para confe rir o valor de b dado para cada intensidade indicada na tabela como o ouvido não possui a mesma sensibilidade para todas as frequências do intervalo audível alguns medidores do nível da intensidade sonora fornecem pe sos diferentes para as frequências é o que acontece com a chamada escala dBa que dá menos ênfase a frequências muito baixas e muito altas às quais o ouvido é menos sensível TABElA 162 Níveis de intensidade sonora de diversas fontes valores típicos Fonte ou descrição do som Nível de intensidade sonora b dB Intensidade I Wm2 avião a jato militar a 30 m de distância 140 102 Limiar da dor 120 1 Martelete pneumático 95 32 103 trem em um elevado 90 103 tráfego pesado 70 105 conversa comum 65 32 106 automóvel silencioso 50 107 rádio com volume baixo 40 108 sussurro médio 20 1010 ruído de folhas 10 1011 Limiar da audição a 1000 hz 0 1012 uma exposição de dez minutos a um som de 120 dB produz um desvio típico do limiar de audição a 1000 hz de 0 dB até cerca de 28 dB durante alguns segundos uma exposição a um som de 92 dB durante dez anos produz um desvio permanente da sensibilidade de até 28 dB a que intensidades correspondem 28 dB e 92 dB soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o problema fornece dois níveis de intensidade sonora diferentes b queremos encontrar as inten sidades correspondentes Podemos usar a Equação 1615 para calcular a intensidade I que corresponde a cada valor de b EXECUTAR resolvemos a Equação 1615 para I dividindo ambos os membros por 10 dB e a seguir usando a relação 10log x x I I010b10 dB Quando b 28 dB e b 92 dB os expoentes são b10 db 28 e 92 respectivamente de modo que I28 dB 1012 wm21028 63 1010 wm2 I92 dB 1012 wm21092 16 103 wm2 AVALIAR caso tenha obtido uma resposta dez vezes maior você pode ter digitado 10 1012 na calculadora em vez de 1 1012 tome cuidado ExEmPlo 168 PERDA DE AUDIÇÃO TEMPORÁRIA OU PERMANENTE imagine um modelo idealizado no qual um pássaro considerado uma fonte puntiforme esteja emitindo um som com potência constante em uma intensidade que varia com o inverso do qua drado da distância entre o pássaro e o ouvinte Figura 1611 Em quantos decibéis a intensidade do som diminui quando você se afasta até o dobro da distância inicial entre você e o pássaro soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como a escala decibel é loga rítmica a diferença entre dois níveis de intensidade sonora a variável procurada corresponde à razão entre as intensidades correspondentes que é determinada pela lei do inverso do qua drado assinalamos os pontos P1 e P2 na figura 1611 Em cada ExEmPlo 169 UM PÁSSARO CANTA NO CAMPO Continua BookSEARSVol2indb 167 021015 150 PM 168 Física II TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 163 você dobra a intensidade de uma onda sonora no ar ao mesmo tempo que mantém a frequência inalterada a pressão a densidade e a temperatura do ar também permanecem inalteradas Que efeito isso terá sobre a ampli tude do deslocamento a amplitude da pressão o módulo de compressão a velocidade do som e o nível de intensidade sonora 164 oNdAs EsTACIoNárIAs E modos NormAIs Quando ondas longitudinais sonoras se propagam em um fluido no interior de um tubo elas são refletidas nas extremidades do mesmo modo que as ondas transversais em uma corda a superposição das ondas que se propagam em sen tidos opostos também forma uma onda estacionária tal como no caso de uma onda estacionária transversal em uma corda ver seção 157 ondas estacionárias sonoras em um tubo podem ser usadas para criar ondas sonoras no ar circundante Esse é o princípio operacional da voz humana bem como de muitos instrumentos musicais inclusive os de sopro metais e órgãos de tubos as ondas transversais em uma corda inclusive as estacionárias são em geral descritas somente em termos dos deslocamentos da corda Porém como já vi mos as ondas longitudinais em um fluido podem ser descritas em termos tanto de deslocamento do fluido quanto de variação da pressão no fluido Para evitar confusão vamos usar os termos nó de deslocamento e ventre de deslocamento para designar os pontos onde as partículas do fluido possuem deslocamento igual a zero e máximo respectivamente Podemos demonstrar a existência de ondas sonoras estacionárias em uma co luna de gás usando um aparelho chamado tubo de Kundt Figura 1612 um tubo de vidro horizontal da ordem de 10 m de comprimento está fechado em uma de suas extremidades e na outra contém um diafragma flexível que pode trans mitir vibrações um altofalante vizinho é acionado por um oscilador de áudio e um amplificador e força o diafragma a vibrar senoidalmente com uma frequência que podemos variar as ondas sonoras no interior do tubo são refletidas na extre midade fechada do tubo Espalhamos uma pequena quantidade de pó fino pela parte inferior do tubo À medida que variamos a frequência do som passamos por Figura 1612 Demonstração de ondas sonoras estacionárias por meio de um tubo de Kundt as regiões sombreadas representam a densidade do gás no instante em que a pressão do gás nos nós de deslocamento é máxima ou mínima Tubo de entrada de gás O diafragma vibra em resposta ao som do altofalante Altofalante N V V N V V N N N Sons de uma frequência adequada produzem ondas estacionárias com nós de deslocamento N e ventres de deslocamento V O pó se acumula em torno dos nós de deslocamento ponto usamos a Equação 1615 a definição de nível de inten sidade sonora usamos a Equação 1526 ou lei do inverso do quadrado para relacionar as intensidades nesses dois pontos EXECUTAR a diferença b2 b1 entre dois níveis de intensi dade sonora quaisquer está relacionada às intensidades corres pondentes por 110 dB2 31log I2 log I02 1log I1 log I024 110 dB2 log I2 I1 b2 b1 110 dB2 a log I2 I0 log I1 I0 b Para a lei do inverso do quadrado a Equação 1526 resulta em I2I1 r1 2r2 2 1 4 logo b2 b1 110 dB2 log I2 I1 110 dB2 log 1 4 60 dB AVALIAR nosso resultado deu negativo o que indica correta mente que o nível de intensidade sonora é menor em P2 que em P1 a diferença de 6 dB negativos não depende do valor do nível de intensidade sonora em P1 qualquer duplicação da distância a partir de uma fonte regida pela lei do inverso do quadrado reduz o nível de intensidade sonora em 6 dB é interessante notar que a intensidade sonora percebida não é diretamente proporcional à intensidade do som Por exemplo muitas pessoas interpretam um aumento da ordem de 8 a 10 dB no nível da intensidade sonora correspondente a uma intensi dade que aumenta em um fator de 6 a 10 como o dobro da intensidade sonora Figura 1611 Quando você se afasta até o dobro da distância inicial entre você e uma fonte puntiforme qual é a diminuição da intensidade do som que você ouve Fonte puntiforme P2 P1 Continuação BookSEARSVol2indb 168 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 169 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 163 você dobra a intensidade de uma onda sonora no ar ao mesmo tempo que mantém a frequência inalterada a pressão a densidade e a temperatura do ar também permanecem inalteradas Que efeito isso terá sobre a ampli tude do deslocamento a amplitude da pressão o módulo de compressão a velocidade do som e o nível de intensidade sonora 164 oNdAs EsTACIoNárIAs E modos NormAIs Quando ondas longitudinais sonoras se propagam em um fluido no interior de um tubo elas são refletidas nas extremidades do mesmo modo que as ondas transversais em uma corda a superposição das ondas que se propagam em sen tidos opostos também forma uma onda estacionária tal como no caso de uma onda estacionária transversal em uma corda ver seção 157 ondas estacionárias sonoras em um tubo podem ser usadas para criar ondas sonoras no ar circundante Esse é o princípio operacional da voz humana bem como de muitos instrumentos musicais inclusive os de sopro metais e órgãos de tubos as ondas transversais em uma corda inclusive as estacionárias são em geral descritas somente em termos dos deslocamentos da corda Porém como já vi mos as ondas longitudinais em um fluido podem ser descritas em termos tanto de deslocamento do fluido quanto de variação da pressão no fluido Para evitar confusão vamos usar os termos nó de deslocamento e ventre de deslocamento para designar os pontos onde as partículas do fluido possuem deslocamento igual a zero e máximo respectivamente Podemos demonstrar a existência de ondas sonoras estacionárias em uma co luna de gás usando um aparelho chamado tubo de Kundt Figura 1612 um tubo de vidro horizontal da ordem de 10 m de comprimento está fechado em uma de suas extremidades e na outra contém um diafragma flexível que pode trans mitir vibrações um altofalante vizinho é acionado por um oscilador de áudio e um amplificador e força o diafragma a vibrar senoidalmente com uma frequência que podemos variar as ondas sonoras no interior do tubo são refletidas na extre midade fechada do tubo Espalhamos uma pequena quantidade de pó fino pela parte inferior do tubo À medida que variamos a frequência do som passamos por Figura 1612 Demonstração de ondas sonoras estacionárias por meio de um tubo de Kundt as regiões sombreadas representam a densidade do gás no instante em que a pressão do gás nos nós de deslocamento é máxima ou mínima Tubo de entrada de gás O diafragma vibra em resposta ao som do altofalante Altofalante N V V N V V N N N Sons de uma frequência adequada produzem ondas estacionárias com nós de deslocamento N e ventres de deslocamento V O pó se acumula em torno dos nós de deslocamento frequências em que as amplitudes das ondas estacionárias se tornam tão grandes que o pó é varrido ao longo do tubo pelo gás em movimento assim o pó fica em repouso nos locais onde existem nós de deslocamento onde o gás não se move a distância entre dois nós adjacentes é igual a l2 a Figura 1613 mostra os movimentos de nove partículas diferentes dentro de um tubo cheio de gás em que há uma onda sonora estacionária uma partícula em um nó de deslocamento N não se move enquanto uma partícula em um ventre de deslocamento V oscila com amplitude máxima Note que as partículas em lados opostos do nó de deslocamento vibram em fases opostas Quando uma dessas par tículas se aproxima da outra o gás entre elas é comprimido e a pressão aumenta quando elas se afastam ocorre uma expansão do gás e a pressão diminui Logo quando ocorre um nó de deslocamento o gás sofre uma compressão máxima e as variações de pressão e de densidade acima e abaixo do valor médio atingem um máximo Em contraste as partículas dos lados opostos de um ventre vibram em fase as distâncias entre as partículas são aproximadamente constantes e não existe nenhuma variação de pressão ou densidade em um ventre de deslocamento usamos o termo nó de pressão para descrever um ponto da onda longitudinal estacionária no qual a pressão e a densidade não variam e o termo ventre de pressão para descrever um ponto no qual variações da pressão e densidade atin gem valores máximos usando esses termos podemos resumir nossas observações sobre ondas longitudinais estacionárias do seguinte modo Um nó de pressão corresponde sempre a um ventre de deslocamento e um ventre de pressão corresponde sempre a um nó de deslocamento a figura 1612 mostra uma onda sonora estacionária no instante em que a variação da pressão atinge seu valor máximo a região sombreada mostra que a densidade e a pressão do gás atingem valores máximos e mínimos nos nós de deslocamento designados pela letra N Quando ocorre reflexão na extremidade fechada de um tubo uma extremidade com uma barreira rígida ou uma tampa o deslocamento das partículas nessa ex tremidade é sempre igual a zero de modo semelhante a uma extremidade fixa de uma corda Logo a extremidade fechada de um tubo é um nó de deslocamento e um ventre de pressão as partículas não se movem porém a variação da pressão é máxima uma extremidade aberta de um tubo é um nó de pressão porque ela está aberta para a atmosfera onde a pressão permanece constante Portanto uma extremidade aberta é sempre um ventre de deslocamento analogamente ao caso da extremidade livre de uma corda as partículas se deslocam com amplitude má xima mas a pressão não varia Estritamente falando um nó de pressão ocorre 0 1 T 8 2 T 8 3 T 8 4 T 8 5 T 8 6 T 8 T 7 T 8 1 8 Uma onda estacionária mostrada em intervalos de T por um período T N um nó de deslocamento um ventre de pressão V um ventre de deslocamento um nó de pressão V N V N N l Figura 1613 Em uma onda sonora estacionária um nó de deslocamento N é um ventre de pressão um ponto em que a pressão flutua ao máximo e um ventre de deslocamento V é um nó de pressão um ponto em que a pressão não flutua BookSEARSVol2indb 169 021015 150 PM 170 Física II em um ponto um pouco mais além da extremidade livre do tubo Porém quando o diâmetro do tubo for pequeno em comparação ao comprimento de onda o que é verdade para quase todos os instrumentos musicais esse efeito pode ser despre zado Logo as ondas sonoras longitudinais são refletidas nas extremidades fe chadas e abertas de um tubo exatamente como ocorre com as ondas transversais refletidas em extremidades fixas e livres de uma corda respectivamente um altofalante direcional lança uma onda sonora de compri mento de onda l contra a parede Figura 1614 a que distân cia da parede você pode ficar para não ouvir nenhum som soLUÇÃo seu ouvido detecta variações de pressão no ar portanto você não ouve nenhum som quando seu ouvido está em um nó de pressão que corresponde a um ventre de deslocamento a pa rede é um nó de deslocamento a distância entre um nó e o ventre adjacente é igual a l4 e a distância entre dois ventres consecu tivos é igual a l2 figura 1614 assim os ventres de deslo camento nós de pressão nos quais nenhum som será ouvido estão nas distâncias d l4 d l4 l2 3l4 d 3l4 l2 5l4 e assim por diante se o altofalante não fosse alta mente direcional esse efeito seria muito difícil de ser observado porque ocorreriam reflexões das ondas sonoras no solo no teto e em outras paredes Figura 1614 Quando ondas sonoras são emitidas contra uma parede elas interferem nas ondas refletidas pela parede e formam ondas estacionárias as letras N e V indicam respectivamente um nó e um ventre de deslocamento N V N V N V N 5l4 3l4 l4 Altofalante ExEmPlo CoNCEiTuAl 1610 O SOM DO SILÊNCIO órgãos e instrumentos de sopro a aplicação mais importante das ondas longitudinais estacionárias é a pro dução de tons musicais um órgão constitui um dos exemplos mais simples Figura 1615 o ar é fornecido por foles ou ventoinhas na extremidade inferior do tubo Figura 1616 uma corrente de ar emerge da abertura estreita na ex tremidade da superfície horizontal e a seguir é direcionada para a parte superior da abertura chamada de boca do tubo a coluna de ar no tubo começa a vibrar e ocorrem diversos modos normais possíveis tal como no caso de uma corda esti cada a boca sempre funciona como uma extremidade aberta logo ela é um nó de pressão e um ventre de deslocamento a outra extremidade do tubo no topo da figura 1616 pode estar fechada ou aberta Na Figura 1617 as duas extremidades do tubo estão abertas de modo que são nós de pressão e ventres de deslocamento um tubo de órgão que possui as duas extremidades abertas é chamado de tubo aberto a frequência fundamental f1 cor responde a um padrão de onda estacionária com um ventre em cada extremidade e um nó de deslocamento no meio do tubo figura 1617a a distância entre dois ventres adjacentes é sempre igual a meio comprimento de onda e neste caso ele é igual ao comprimento L do tubo l2 L a frequência fundamental correspon dente obtida da relação f vl é dada por f1 v 2L tubo aberto 1616 as figuras 1617b e 1617c mostram o segundo e o terceiro harmônicos o primeiro e o segundo sobretons seus padrões de vibração apresentam dois e três nós de deslocamento respectivamente Para estes meio comprimento de onda é igual a L2 e L3 respectivamente e as frequências são o dobro e o triplo da frequência fundamental respectivamente ou seja f2 2f1 e f3 3f1 Para qual quer modo normal de um tubo aberto de comprimento L deve existir um múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda e os comprimentos de onda ln possíveis são dados por L n ln 2 ou ln 2L n 1n 1 2 3 p2 tubo aberto 1617 Figura 1615 tubos de órgão de tamanhos diferentes produzem sons com frequências diferentes Figura 1617 seção reta de um tubo aberto mostrando os três primeiros modos normais as regiões sombreadas indicam variações de pressão as curvas indicam os gráficos do deslocamento ao longo do tubo em instantes separados entre si pela metade do período as letras N e V indicam respectivamente um nó e um ventre de deslocamento trocando as posições obtemos respectivamente um ventre e um nó de pressão b Segundo harmônico f2 2 2f1 v 2L L 2 l 2 l 2 l 2 V V N V N L 3 l 2 l 2 l 2 l 2 V V N V N N V a Fundamental f1 v 2L L l 2 A extremidade aberta do tubo é sempre um ventre V V N c Terceiro harmônico f3 3 3f1 v 2L BookSEARSVol2indb 170 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 171 em um ponto um pouco mais além da extremidade livre do tubo Porém quando o diâmetro do tubo for pequeno em comparação ao comprimento de onda o que é verdade para quase todos os instrumentos musicais esse efeito pode ser despre zado Logo as ondas sonoras longitudinais são refletidas nas extremidades fe chadas e abertas de um tubo exatamente como ocorre com as ondas transversais refletidas em extremidades fixas e livres de uma corda respectivamente um altofalante direcional lança uma onda sonora de compri mento de onda l contra a parede Figura 1614 a que distân cia da parede você pode ficar para não ouvir nenhum som soLUÇÃo seu ouvido detecta variações de pressão no ar portanto você não ouve nenhum som quando seu ouvido está em um nó de pressão que corresponde a um ventre de deslocamento a pa rede é um nó de deslocamento a distância entre um nó e o ventre adjacente é igual a l4 e a distância entre dois ventres consecu tivos é igual a l2 figura 1614 assim os ventres de deslo camento nós de pressão nos quais nenhum som será ouvido estão nas distâncias d l4 d l4 l2 3l4 d 3l4 l2 5l4 e assim por diante se o altofalante não fosse alta mente direcional esse efeito seria muito difícil de ser observado porque ocorreriam reflexões das ondas sonoras no solo no teto e em outras paredes Figura 1614 Quando ondas sonoras são emitidas contra uma parede elas interferem nas ondas refletidas pela parede e formam ondas estacionárias as letras N e V indicam respectivamente um nó e um ventre de deslocamento N V N V N V N 5l4 3l4 l4 Altofalante ExEmPlo CoNCEiTuAl 1610 O SOM DO SILÊNCIO órgãos e instrumentos de sopro a aplicação mais importante das ondas longitudinais estacionárias é a pro dução de tons musicais um órgão constitui um dos exemplos mais simples Figura 1615 o ar é fornecido por foles ou ventoinhas na extremidade inferior do tubo Figura 1616 uma corrente de ar emerge da abertura estreita na ex tremidade da superfície horizontal e a seguir é direcionada para a parte superior da abertura chamada de boca do tubo a coluna de ar no tubo começa a vibrar e ocorrem diversos modos normais possíveis tal como no caso de uma corda esti cada a boca sempre funciona como uma extremidade aberta logo ela é um nó de pressão e um ventre de deslocamento a outra extremidade do tubo no topo da figura 1616 pode estar fechada ou aberta Na Figura 1617 as duas extremidades do tubo estão abertas de modo que são nós de pressão e ventres de deslocamento um tubo de órgão que possui as duas extremidades abertas é chamado de tubo aberto a frequência fundamental f1 cor responde a um padrão de onda estacionária com um ventre em cada extremidade e um nó de deslocamento no meio do tubo figura 1617a a distância entre dois ventres adjacentes é sempre igual a meio comprimento de onda e neste caso ele é igual ao comprimento L do tubo l2 L a frequência fundamental correspon dente obtida da relação f vl é dada por f1 v 2L tubo aberto 1616 as figuras 1617b e 1617c mostram o segundo e o terceiro harmônicos o primeiro e o segundo sobretons seus padrões de vibração apresentam dois e três nós de deslocamento respectivamente Para estes meio comprimento de onda é igual a L2 e L3 respectivamente e as frequências são o dobro e o triplo da frequência fundamental respectivamente ou seja f2 2f1 e f3 3f1 Para qual quer modo normal de um tubo aberto de comprimento L deve existir um múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda e os comprimentos de onda ln possíveis são dados por L n ln 2 ou ln 2L n 1n 1 2 3 p2 tubo aberto 1617 Figura 1615 tubos de órgão de tamanhos diferentes produzem sons com frequências diferentes Figura 1617 seção reta de um tubo aberto mostrando os três primeiros modos normais as regiões sombreadas indicam variações de pressão as curvas indicam os gráficos do deslocamento ao longo do tubo em instantes separados entre si pela metade do período as letras N e V indicam respectivamente um nó e um ventre de deslocamento trocando as posições obtemos respectivamente um ventre e um nó de pressão b Segundo harmônico f2 2 2f1 v 2L L 2 l 2 l 2 l 2 V V N V N L 3 l 2 l 2 l 2 l 2 V V N V N N V a Fundamental f1 v 2L L l 2 A extremidade aberta do tubo é sempre um ventre V V N c Terceiro harmônico f3 3 3f1 v 2L as frequências correspondentes fn são obtidas por fn vln de modo que to das as frequências dos modos normais para um tubo aberto nas duas extremidades são dadas por 1618 Frequência do harmônico de ordem n n 1 2 3 Ondas estacionárias tubo aberto fn 2L nv Comprimento do tubo Velocidade do som no tubo o valor n 1 corresponde à frequência fundamental n 2 ao segundo harmô nico primeiro sobretom e assim por diante como alternativa podemos escrever fn nf1 n 1 2 3 tubo aberto 1619 onde f1 é dada pela Equação 1616 a Figura 1618 mostra um tubo fechado ele é aberto na extremidade es querda mas fechado na direita a extremidade esquerda aberta é um ventre de deslocamento nó de pressão porém a extremidade da direita fechada corres ponde a um nó de deslocamento ventre de pressão a figura 1618a mostra o modo com frequência mais baixa o comprimento do tubo é a distância entre um nó e o ventre adjacente ou um quarto do comprimento de onda L l14 a fre quência fundamental é f1 vl1 ou f1 v 4L tubo fechado 1620 Esse valor é a metade da frequência fundamental de um tubo aberto de mesmo comprimento Em linguagem de música a altura de um tubo fechado é uma oitava a menos um fator de dois na frequência do que a de um tubo aberto de mesmo comprimento a figura 1618b mostra o modo seguinte em que o comprimento de onda do tubo é três quartos do comprimento de onda correspondendo a uma frequência 3f1 Na figura 1618c L 5l4 e a frequência é igual a 5f1 os com primentos de onda possíveis são Figura 1618 seção reta de um tubo fechado mostrando os três primeiros modos normais assim como os nós e os ventres de deslocamento somente os harmônicos de ordem ímpar podem ocorrer b Terceiro harmônico f3 3 3f1 v 4L L 3 l 4 l 4 l 4 l 4 V N V N c Quinto harmônico f5 5 5f1 v 4L L 5 l 4 l 4 l 4 l 4 l 4 l 4 V N V N N V a Fundamental f1 v 4L L l 4 V N A extremidade fechada do tubo é sempre um nó de deslocamento Figura 1616 seção reta do tubo de um órgão em dois instantes separados por meio período as letras N e V indicam respectivamente um nó e um ventre de deslocamento as partes mais escuras indicam pontos nos quais a variação de pressão é máxima e as partes mais claras indicam pontos nos quais a variação de pressão é igual a zero As vibrações causadas pelo escoamento turbulento do ar produzem ondas estacionárias no tubo Ar vindo de um fole Corpo Boca V N N V V V N N V V BookSEARSVol2indb 171 021015 150 PM 172 Física II L n ln 4 ou ln 4L n 1n 1 3 5 p2 tubo fechado 1621 as frequências dos modos normais são dadas por fn vln ou 1622 Frequência do harmônico de ordem n n 1 3 5 Ondas estacionárias tubo fechado Comprimento do tubo Velocidade do som no tubo fn 4L nv ou fn nf1 n 1 3 5 tubo fechado 1623 onde f1 é dado pela Equação 1620 vemos que o segundo o quarto e todos os harmônicos pares não estão presentes Em um tubo fechado em uma das extremi dades a frequência fundamental é f1 v4L e somente os harmônicos de ordem ímpar na série 3f1 5f1 são possíveis uma possibilidade final seria um tubo fechado em ambas as extremidades contendo nós de deslocamento e ventres de pressão nas duas extremidades Esse caso não tem utilidade prática como instrumento musical pois não há forma de fazer as vibrações saírem do tubo Em um dia no qual a velocidade do som é igual a 345 ms a frequência fundamental de um tubo de órgão fechado é igual a 220 hz a Qual é o comprimento desse tubo fechado b o segundo sobretom desse tubo possui o mesmo comprimento de onda que o terceiro harmônico de um tubo aberto Qual é o comprimento do tubo aberto soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa a relação entre o comprimento de frequências de modo normal de um tubo aberto figura 1617 e de um tubo fechado figura 1618 No item a determinamos o comprimento do tubo fechado pela Equação 1622 No item b precisamos comparar essa situa ção com a de um tubo aberto cujas frequências são dadas pela Equação 1618 EXECUTAR a como em um tubo fechado f1 v4L então Lfechado v 4f1 345 ms 4 1220 s12 0392 m b a frequência do segundo sobretom de um tubo fechado a ter ceira frequência possível é f5 5f1 5220 hz 1100 hz se os comprimentos de onda dos dois tubos são os mesmos as frequências também são iguais de modo que a frequência do ter ceiro harmônico do tubo aberto que é dada por 3f1 3v2L é igual a 1100 hz Logo 1100 Hz 3 a 35 ms 2 Laberto b e Laberto 0470 m AVALIAR o comprimento do tubo fechado é 0392 m e sua fre quência fundamental é 220 hz o tubo aberto mais longo 0470 m tem uma frequência fundamental maior 1100 hz3 367 hz caso isso lhe pareça contraditório você deve comparar novamente as figuras 1617a e 1618a ExEmPlo 1611 UMA HISTÓRIA DE DOIS TUBOS Em um tubo de um órgão em uso diversos modos estão presentes simultanea mente o movimento do ar é uma superposição desses modos Essa situação é aná loga ao caso de uma corda batida ou puxada como na figura 1528 tal como no caso de uma corda vibrante uma onda estacionária complexa se propaga no tubo produzindo uma onda sonora progressiva no ar circundante com uma composição harmônica semelhante à da onda estacionária um tubo muito fino produz uma onda sonora rica em harmônicos superiores um tubo grosso produz basicamente o harmônico fundamental ouvido como um tom suave mais parecido com o tom de uma flauta a composição harmônica também depende da forma da boca do tubo até o momento falamos sobre tubos de órgãos porém essa discussão se aplica a outros instrumentos de sopro a flauta e a flauta doce são diretamente análogas BookSEARSVol2indb 172 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 173 a principal diferença é que esses instrumentos possuem buracos ao longo do tubo usando os dedos podemos abrir ou fechar os buracos alterando o comprimento efetivo L da coluna de ar e portanto fazendo variar a altura do som Em contraste cada tubo individual de um órgão pode tocar apenas uma nota a flauta e a flauta doce funcionam como tubos abertos enquanto uma clarineta funciona como um tubo fechado fechado na extremidade onde se localiza a palheta e aberto na outra extremidade por onde sai o ar as equações 1618 e 1622 mostram que as frequências de qualquer instrumento de sopro são proporcionais à velocidade do som v na coluna de ar no interior do instrumento como mostra a Equação 1610 v depende da temperatura seu valor aumenta quando a temperatura aumenta Portanto a altura de todos os instrumen tos musicais se eleva com o aumento da temperatura se alguns tubos do órgão estiverem em temperaturas diferentes de outros o órgão soará desafinado TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 164 se você conectar uma mangueira à ex tremidade de um tubo de metal e soprar ar comprimido dentro dele o tubo produzirá um tom musical se em vez disso você soprar hélio comprimido para dentro do tubo à mesma pressão e temperatura o tubo produzirá i o mesmo tom ii um tom mais alto ou iii um tom mais baixo 165 rEssoNâNCIA E som Muitos sistemas mecânicos têm modos normais de oscilação como vimos es ses modos incluem colunas de ar como em um órgão de tubos e cordas esticadas como em uma guitarra ver seção 158 Em cada modo cada partícula do sis tema descreve um Mhs com a mesma frequência desse modo colunas de ar e cordas esticadas possuem uma série infinita de modos normais porém o conceito básico está intimamente relacionado com o oscilador harmônico simples discutido no capítulo 13 que possui um único modo normal ou seja uma única frequên cia com a qual ele oscila depois de ser perturbado suponha que você aplique uma força variando periodicamente sobre um sistema que pode oscilar o sistema é então forçado a oscilar com a mesma frequência da força aplicada chamada de força propulsora Esse movimento denominase oscilação forçada falamos sobre as oscilações forçadas de um oscilador harmô nico na seção 138 inclusive descrevendo o fenômeno da ressonância mecânica um exemplo simples de ressonância ocorre quando você empurra seu primo to bias em um balanço o balanço é um pêndulo ele possui apenas um modo normal cuja frequência é determinada pelo comprimento do pêndulo Quando empurra mos periodicamente o balanço com essa frequência podemos fazer a amplitude do movimento aumentar Porém quando empurramos o balanço com uma frequência diferente ele praticamente não se move a ressonância também ocorre quando uma força periodicamente variável é aplicada a um sistema com muitos modos normais Na Figura 1619a um tubo aberto de um órgão é colocado nas proximidades de um altofalante emitindo on das senoidais puras com frequência f que pode variar ajustandose o amplificador o ar no interior do tubo é forçado a oscilar com a mesma frequência f da força propulsora produzida pelo altofalante Em geral a amplitude desse movimento é relativamente pequena e o ar no interior do tubo não se move em nenhum dos pa drões do modo normal mostrados na figura 1617 Entretanto quando a frequên cia f da força propulsora tiver um valor próximo ao de uma das frequências dos modos normais o ar no interior do tubo oscilará com a mesma frequência desse modo normal e a amplitude aumentará consideravelmente a figura 1619b mos tra a amplitude das oscilações do ar no tubo em função da frequência f da força propulsora Essa curva de ressonância do tubo forma picos quando o valor da frequência f é igual a uma das frequências dos modos normais do tubo a forma detalhada da curva de ressonância depende da geometria do tubo Figura 1619 a o ar em um tubo aberto é forçado a oscilar com a mesma frequência que as ondas sonoras senoidais provenientes de um altofalante b a curva de ressonância do tubo aberto mostra a amplitude da onda sonora estacionária no tubo em função da frequência da força propulsora b O f1 5f1 10f1 f A Curva de ressonância gráfco da amplitude A em função da frequência da força propulsora f Os picos de ressonância ocorrem para as frequências dos modos normais do tubo f1 f2 2f1 f3 3f1 a Amplifcador O altofalante emite a frequência f O ar no tubo oscila na mesma frequência f emitida pelo altofalante A amplitude de onda A depende da frequência Tubo aberto de órgão BookSEARSVol2indb 173 021015 150 PM 174 Física II se a frequência da força propulsora for exatamente igual a uma das frequên cias dos modos normais o sistema está em ressonância e a amplitude da oscila ção forçada atingirá seu valor máximo caso não houvesse atrito nem nenhum outro mecanismo de dissipação de energia uma força propulsora com a frequên cia de um modo normal continuaria a adicionar energia ao sistema a amplitude cresceria indefinidamente e os picos da curva de ressonância da figura 1619b seriam infinitamente grandes contudo em sistemas reais sempre existe alguma dissipação de energia ou amortecimento conforme discutimos na seção 138 a amplitude da oscilação na ressonância pode ser muito grande mas não infinita o som das ondas do mar que você ouve quando encosta o ouvido em uma concha é produzido por ressonância o ruído do som do ar do lado de fora da con cha é uma mistura de ondas sonoras com quase todas as frequências audíveis for çando a oscilação do ar em seu interior a concha funciona como se fosse o tubo de um órgão contendo um conjunto de frequências dos modos normais portanto o ar no interior da concha oscila com mais intensidade nessas frequências produ zindo o som característico que você ouve Para ouvir outro fenômeno semelhante tire a tampa de sua bebida favorita e sopre através da extremidade superior aberta o ruído é produzido pelo seu sopro e o tubo do órgão é a coluna de ar acima da superfície livre do líquido ao beber um pouco da bebida e repetir a experiência você ouvirá um tom mais baixo porque o comprimento do tubo aumentou e as frequências dos modos normais são mais baixas a ressonância também ocorre quando uma corda esticada é obrigada a oscilar ver seção 158 suponha que uma das extremidades de uma corda esticada seja mantida fixa enquanto a outra vibra com pequenas amplitudes produzindo ondas estacionárias Quando a frequência do mecanismo propulsor não for igual a uma das frequências dos modos normais da corda a amplitude nos ventres será bas tante pequena contudo quando a frequência for igual a uma das frequências dos modos normais a corda entrará em ressonância e a amplitude dos ventres passará a ser muito maior que aquela na extremidade propulsora Esta não é precisamente um nó porém está mais próxima de um nó que de um ventre quando a corda entra em ressonância as fotografias de ondas estacionárias mostradas na figura 1523 foram feitas desse modo mantendose a extremidade da esquerda fixa e fazendo a extremidade da direita oscilar verticalmente com pequena amplitude é fácil demonstrar a ressonância em um piano Pressione para baixo o pedal do amortecedor ou sustain o pedal do lado direito de modo a eliminar o amorte cimento e permitir que as cordas vibrem livremente e a seguir cante em um tom constante para dentro do piano Quando você para de cantar o piano parece conti nuar cantando a mesma nota as ondas sonoras de sua voz excitam vibrações nas cordas que possuem frequências naturais próximas das frequências a fundamental e os demais harmônicos presentes na nota que você cantou um exemplo mais espetacular é dado por uma cantora que quebra um cálice de cristal quando sua voz é amplificada um cálice de vinho de cristal de boa quali dade possui frequências normais de vibração que você pode ouvir dandolhe uma leve batida com o dedo Quando uma cantora emite uma nota em volume muito alto com uma frequência exatamente igual a uma das frequências desses modos normais as oscilações que ocorrem no cálice podem se superpor dando origem a uma oscilação com uma amplitude tão elevada que será capaz de quebrálo Fi gura 1620 BIo Aplicação ressonância e a sensibilidade do ouvido O canal auditivo do ouvido humano ver Figura 164 é um tubo aberto cheio de ar em uma extremidade e fechado na outra extremidade o tímpano O canal tem cerca de 25 cm 00025 m de extensão de modo que possui uma ressonância em sua frequência fundamental f1 v4L 344 ms 40025 m 3440 Hz A ressonância significa que um som nessa frequência produz uma forte oscilação do tímpano É por isso que seu ouvido é mais sensível a sons próximos de 3440 Hz Figura 1620 a frequência do som deste trompete atinge um valor exatamente igual a uma das frequências dos modos normais da taça de cristal as vibrações da taça produzidas pela ressonância possuem uma amplitude suficientemente elevada para fazêla quebrar um tubo fechado de um órgão emite um som nas vizinhanças de uma guitarra fazendo vibrar uma de suas cordas com grande amplitude fazemos a tensão da corda variar até achar a ampli tude máxima o comprimento da corda é igual a 80 do com primento do tubo fechado sabendo que a corda e o tubo vibram com a mesma frequência fundamental calcule a razão entre a velocidade de propagação da onda na corda e a velocidade de propagação do som no ar soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a grande resposta da vibração ob tida na corda é um exemplo de ressonância Ela ocorre porque ExEmPlo 1612 UM DUETO PARA ÓRGÃO E GUITARRA Continua BookSEARSVol2indb 174 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 175 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 165 um tubo de órgão fechado de compri mento L possui uma frequência fundamental igual a 220 hz Em qual dos seguintes tubos haverá ressonância se um diapasão de frequência igual a 660 hz soar perto dele Pode haver mais de uma resposta correta i um tubo de órgão fechado de comprimento L ii um tubo de órgão fechado de comprimento 2L iii um tubo de órgão aberto de comprimento L iii um tubo de órgão aberto de comprimento 2L 166 INTErFErêNCIA dE oNdAs o termo interferência agrupa os fenômenos ondulatórios que ocorrem quando duas ou mais ondas se superpõem na mesma região do espaço como vimos uma onda estacionária é um exemplo simples de interferência duas ondas se propa gando em sentidos opostos ao longo de um meio se superpõem dando origem a um padrão de onda estacionária que possui nós e ventres que não se movem a Figura 1621 mostra outro exemplo de interferência que envolve ondas que se espalham no espaço Dois altofalantes mantidos em fase pelo mesmo amplifica dor emitem ondas sonoras senoidais idênticas com a mesma frequência constante colocamos um microfone no ponto P da figura equidistante dos dois altofalantes as cristas das ondas emitidas pelos dois altofalantes percorrem distâncias iguais nos mesmos intervalos e chegam simultaneamente ao ponto P Portanto as ondas chegam em fase e ocorre uma interferência construtiva a amplitude total da onda que medimos em P é igual ao dobro da amplitude de cada onda individual Deslocamos agora o microfone para o ponto Q no qual a diferença entre as distâncias até os microfones é igual a meio comprimento de onda Então as duas ondas chegam ao ponto Q com uma diferença de fase equivalente a meio ciclo uma crista positiva da onda proveniente de um altofalante chega ao ponto no mesmo instante em que chega outra onda com uma crista negativa Nesse caso ocorre interferência destrutiva e a amplitude medida no microfone é muito menor que quando um único altofalante está presente Quando as amplitudes das ondas provenientes dos dois altofalantes forem iguais as duas ondas se cancelam com pletamente no ponto Q e a amplitude total da onda resultante é igual a zero ATENÇÃo Interferência e ondas progressivas a onda total resultante na figura 1621 é uma onda progressiva e não uma onda estacionária Em uma onda estacionária não existe nenhum fluxo de energia em nenhuma direção Em contraste na figura 1621 existe um fluxo total de energia do altofalante para o ar circundante típico de uma onda progressiva a interferência entre as ondas dos altofalantes simplesmente faz o fluxo de energia ser canalizado para certas direções por exemplo para o ponto P e ser cancelado em outras direções por exemplo na direção do ponto Q você pode notar outra dife rença entre a figura 1621 e uma onda estacionária considerando um ponto como o ponto Q onde ocorre interferência destrutiva Esse ponto é simultaneamente um nó de desloca mento e um nó de pressão porque não existe nenhuma onda resultante nesse ponto Em uma onda estacionária um nó de pressão é um ventre de deslocamento e viceversa Figura 1621 Dois altofalantes alimentados pelo mesmo amplificador a interferência construtiva ocorre no ponto P e a interferência destrutiva ocorre no ponto Q Os sons chegam ao ponto Q com diferença de fase de meio ciclo porque a diferença entre os dois caminhos é igual a l 2 Os sons chegam ao ponto P em fase porque os dois caminhos têm o mesmo comprimento Dois altofalantes emitem ondas em fase Amplifcador d1 d2 d1 d2 P Q l 2 o tubo do órgão e a corda possuem a mesma frequência funda mental usando o subscrito a para designar grandezas do ar e o subscrito c para designar grandezas da corda temos f1a f1c a Equação 1620 fornece a frequência fundamental de um tubo fechado e a Equação 1532 fornece a frequência fundamental de uma corda de guitarra que é fixada em ambas as extremida des Essas expressões envolvem a velocidade da onda no ar va e na corda vc e os comprimentos do tubo e da corda sabemos que Lc 080 La e que a variável que queremos encontrar é a razão vcva EXECUTAR pela Equação 1620 sabemos que f1a va4La e pela Equação 1532 sabemos também que f1c vc2Lc igualando essas relações encontramos va 4La vc 2Lc substituindo Lc 080La na relação anterior e reagrupando os termos achamos vcva 040 AVALIAR como um exemplo se a velocidade do som no ar fosse igual a 345 ms a velocidade da onda na corda seria 040 345 ms 138 ms Note que embora as ondas estacionárias no tubo e na corda possuam a mesma frequência elas têm com primentos de onda l vf diferentes porque os dois meios têm velocidades v diferentes Qual das ondas estacionárias possui o maior comprimento de onda Continuação BookSEARSVol2indb 175 021015 150 PM 176 Física II a interferência construtiva ocorre quando a diferença entre as distâncias per corridas pelas duas ondas for igual a um número inteiro de comprimentos de onda 0 l 2l 3l em todos esses casos as ondas chegam em fase ao microfone Figura 1622a Quando a diferença das distâncias entre o microfone e cada alto falante for igual a um número semiinteiro de comprimentos de onda l2 3l2 5l2 as ondas chegam ao microfone com fases opostas e ocorrerá interferência destrutiva figura 1622b Nesse caso pouca ou nenhuma energia sonora flui em direção ao microfone que está diretamente em frente aos altofalantes Em vez disso a energia é dirigida para outras direções onde ocorre interferência construtiva Figura 1622 Dois altofalantes alimentados pelo mesmo amplificador emitindo ondas em fase somente as ondas direcionadas aos microfones são indicadas e elas estão separadas para maior clareza a ocorre interferência construtiva quando a diferença entre os dois caminhos for igual a 0 l 2l 3l b ocorre interferência destrutiva quando a diferença entre os dois caminhos for igual a l2 3l2 5l2 a Os comprimentos das trajetórias dos altofalantes ao microfone diferem em l l 2 b Os comprimentos das trajetórias dos altofalantes ao microfone diferem em então há interferência construtiva e o microfone detecta um som forte Altofalante Amplifcador Altofalante l então há interferência destrutiva e o microfone detecta som fraco ou não detecta som Altofalante Amplifcador l2 Altofalante Dois altofalantes pequenos A e B Figura 1623 são alimenta dos por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais puras em fase considere que a velocidade do som é igual a 350 ms a Em que frequências ocorre interferência construtiva no ponto P b Em que frequências ocorre interferência destrutiva soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a natureza da interferência em P depende da diferença d entre os comprimentos das trajetórias dos pontos A e B até P calculamos os comprimentos das trajetó rias pelo teorema de Pitágoras interferências construtivas ocor rem quando d for igual a um número inteiro de comprimentos de onda enquanto a interferência destrutiva ocorre quando d é um número semiinteiro de comprimentos de onda Para encontrar as frequências correspondentes usamos a relação v fl EXECUTAR a distância do altofalante A até o ponto P é 200 m2 400 m212 447 m e a distância entre o altofalante B até P é 100 m2 400 m212 412 m a diferença entre as trajetórias seguidas pelas ondas é d 447 m 412 m 035 m a ocorre interferência construtiva quando d 0 l 2l ou d 0 vf 2vf nvf Logo as frequências possíveis são fn nv d n 350 ms 035 m 1n 1 2 3 p2 1000 Hz 2000 Hz 3000 Hz p b ocorre interferência destrutiva quando d l2 3l2 5l2 ou d v2f 3v2f 5v2f Logo as frequências possíveis são fn nv 2d n 350 ms 2 1035 m2 1n 1 3 5 p2 500 Hz 1500 Hz 2500 Hz p AVALIAR à medida que a frequência aumenta o som no ponto P altera amplitudes grandes e pequenas próximas de zero os máximos e mínimos ocorrem nas frequências que calculamos Esse efeito dificilmente pode ser notado em uma sala comum em razão das reflexões múltiplas que ocorrem nas paredes no piso e no teto Figura 1623 Que tipo de interferência ocorre em P 200 m 100 m A B P 400 m ExEmPlo 1613 INTERFERÊNCIA EM ALTOFALANTES BookSEARSVol2indb 176 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 177 a interferência é o princípio por trás dos fones de ouvido para redução de ruído usados em ambientes com fontes sonoras muito intensas como cabines de aeronave Figura 1624 um microfone no aparelho detecta o ruído externo e os circuitos internos reproduzem o ruído dentro do fone com diferença de fase de meio ciclo Esse som defasado interfere destrutivamente nos sons gerados fora do fone de modo que o usuário experimenta muito pouco ruído indesejado TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 166 suponha que o altofalante A da figura 1623 emita uma onda sonora senoidal com 500 hz de frequência e que o altofalante B emita uma onda sonora senoidal de 1000 hz Que tipo de interferência ocorrerá entre essas duas ondas i interferência construtiva em vários pontos inclusive o ponto P e interferência destrutiva em vários outros pontos ii interferência destrutiva em vários pontos inclusive o ponto P e interferência construtiva em vários pontos iii nenhuma das opções anteriores 167 BATImENTos Na seção 166 comentamos sobre os efeitos de interferência que ocorrem quando duas ondas com amplitudes diferentes e mesma frequência se superpõem na mesma região do espaço vejamos agora o que ocorre quando há superposi ção de duas ondas de mesma amplitude mas frequências ligeiramente diferentes isso ocorre por exemplo quando tocamos simultaneamente dois diapasões com frequências ligeiramente diferentes ou quando dois tubos de um órgão que deve riam ter a mesma frequência ficam ligeiramente desafinados considere um ponto particular do espaço onde as duas ondas se superpõem Na Figura 1625a desenhamos os deslocamentos das ondas individuais nesse ponto em função do tempo o comprimento total do eixo do tempo representa 1 segundo e as frequências são 16 hz senoide azul e 18 hz senoide vermelha aplicando o princípio da superposição adicionamos os deslocamentos em cada instante para achar o deslocamento total no respectivo instante o resultado dessa superposição é o gráfico indicado na figura 1625b Em certos instantes as duas ondas estão em fase seus máximos coincidem e as duas amplitudes se somam Porém em certos instantes como t 050 s na figura 1625 elas estão completamente fora de fase Nesse caso as duas ondas se cancelam e a amplitude total é zero a onda resultante representada na figura 1625b parece uma única onda senoi dal com uma amplitude variável que vai de zero até um valor máximo e depois retorna a zero Neste exemplo a amplitude atinge dois máximos e dois mínimos Figura 1624 Este fone para aviação utiliza interferência destrutiva para minimizar a quantidade de ruído proveniente do vento e das hélices que chega aos ouvidos de quem o utiliza Figura 1625 Batimentos são flutuações na amplitude produzidas pela superposição de duas ondas sonoras que possuem frequências ligeiramente diferentes aqui 16 hz e 18 hz a ondas individuais b onda resultante da superposição das duas ondas a frequência dos batimentos é 18 hz 16 hz 2 hz Duas ondas sonoras com frequências ligeiramente diferentes Ondas em fase uma com a outra As duas ondas apresentam interferência construtiva quando estão em fase e destrutiva quando estão meio ciclo fora de fase A intensidade da onda resultante sobe e desce formando batimentos Ondas fora de fase uma com a outra Deslocamento Tempo Batimento Tempo a b 0 025 s 050 s 075 s 100 s BookSEARSVol2indb 177 021015 150 PM 178 Física II consecutivos em um segundo logo a frequência dessa variação de amplitude é igual a 2 hz a variação da amplitude produz variações de intensidade denomi nadas batimentos e a frequência dessa variação de intensidade denominase fre quência dos batimentos Neste exemplo a frequência do batimento é a diferença entre as duas frequências Quando a frequência dos batimentos for de poucos hertz conseguimos ouvila como uma ondulação ou pulsação no tom Podemos demonstrar que a frequência dos batimentos é sempre dada pela di ferença das duas frequências fa e fb suponha que fa seja maior que fb os períodos correspondentes são Ta e Tb sendo Ta Tb se as ondas começassem em fase no instante t 0 elas voltariam a ficar em fase quando a primeira onda percorresse um ciclo a mais que a segunda isso ocorreria quando o valor de t fosse igual a Tbat o período dos batimentos seja n o número de ciclos da primeira onda no ins tante Tbat então o número de ciclos da segunda onda no mesmo instante é n 1 e portanto obtemos as relações Tbat nTa e Tbat n 1Tb Eliminando n entre essas duas equações achamos Tbat Ta Tb Tb Ta o inverso do período dos batimentos é a frequência dos batimentos fbat 1Tbat portanto fbat Tb Ta Ta Tb 1 Ta 1 Tb e finalmente fbat fa fb 1624 Frequência de onda a Frequência de onda b 1menor que fa2 Frequência dos batimentos para as ondas a e b conforme afirmamos a frequência dos batimentos é a diferença entre as duas frequências uma dedução alternativa da Equação 1624 consiste em listar as funções que descrevem as curvas da figura 1625a e a seguir somálas suponha que em certo ponto as duas ondas sejam dadas por yat A sen 2pfat e ybt A sen 2pfbt usamos a seguinte identidade trigonométrica sen a sen b 2 sen 1 2a b cos 1 2a b Podemos então expressar a onda resultante yt yat ybt do seguinte modo yat ybt 2A sen 1 22pfa fbt cos 1 22pfa fbt o fator da amplitude a grandeza entre colchetes varia lentamente com uma fre quência 1 2fa fb o fator cosseno varia com uma frequência igual à frequência média 1 2fa fb o quadrado da amplitude proporcional à intensidade do som que o ouvido detecta passa por dois máximos e dois mínimos em cada ciclo Logo a frequência dos batimentos que ouvimos fbat é o dobro da grandeza 1 2fa fb ou precisamente fa fb concordando com a Equação 1624 dAdos mosTrAm Batimentos Quando os alunos recebiam um problema sobre batimentos mais de 40 davam uma resposta incorreta Erros comuns Pensar que a frequência dos batimentos informa qual das duas fontes está na frequência mais alta tudo o que ela diz é a diferença entre suas frequências Esquecer que a altura ou tom é determinada principalmente pela frequência da onda enquanto a intensidade do som é determinada principalmente pela amplitude da onda BookSEARSVol2indb 178 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 179 os batimentos entre dois tons podem ser ouvidos até uma frequência de bati mentos da ordem de 6 ou 7 hz Duas cordas de piano ou dois tubos de um órgão que apresentam diferença de frequência da ordem de 2 ou 3 hz possuem um som ondulatório ou desafinado embora alguns registros de órgão contenham dois conjuntos de tubos propositalmente afinados para que as frequências dos bati mentos sejam da ordem de 1 a 2 hz para obter um efeito ondulatório suave Es cutar os batimentos é uma técnica importante para afinar todos os instrumentos musicais Parte da engenharia contida no voo de uma aeronave consiste em evitar batimentos Figura 1626 Quando há diferenças de frequências maiores que cerca de 6 ou 7 hz não es cutamos mais batimentos individuais e a sensação conflui para uma consonância ou uma dissonância dependendo da razão entre as frequências dos dois sons Em alguns casos o ouvido percebe um tom chamado diferença de tom com uma al tura igual à frequência dos batimentos dos dois tons Por exemplo se você escuta um assobio que produz sons de 1800 hz e de 1900 hz quando emitido você ouvirá não somente esses tons mas também um tom muito mais baixo de 100 hz TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 167 um diapasão vibra com uma frequên cia de 440 hz enquanto um segundo diapasão vibra em uma frequência desconhecida Quando se fazem soar ambos os diapasões simultaneamente escutase um tom que cresce e diminui em intensidade três vezes por segundo Qual é a frequência do segundo diapa são i 434 hz ii 437 hz iii 443 hz iv 446 hz v 434 hz ou 446 hz vi 437 hz ou 443 hz 168 o EFEITo doPPLEr você já deve ter notado que quando um carro se aproxima de você buzinando parece que a frequência do som diminui à medida que ele vai passando Esse fe nômeno descrito pela primeira vez no século XiX pelo cientista austríaco chris tian Doppler denominase efeito Doppler Quando existe um movimento relativo entre uma fonte sonora e um ouvinte a frequência do som percebido pelo ouvinte é diferente da frequência do som emitido pela fonte um efeito semelhante ocorre com a luz e com as ondas de rádio voltaremos a esse tema mais adiante Para analisar o efeito Doppler do som vamos estabelecer uma relação entre o desvio da frequência e as velocidades da fonte e do ouvinte em relação ao meio geralmente o ar através do qual a onda sonora se propaga Para simplificar consideraremos somente o caso particular no qual a velocidade da fonte e a do ouvinte possuem direções ao longo da linha reta que os une sejam vs e vo as componentes da velocidade do som e da velocidade do ouvinte respectivamente em relação ao meio vamos considerar positivo o sentido do ouvinte o para a fonte sonora s a velocidade do som v em relação ao meio será sempre conside rada positiva ouvinte em movimento e fonte estacionária vamos inicialmente supor um ouvinte o se movendo com velocidade vo e se aproximando de uma fonte sonora s Figura 1627 a fonte emite uma onda so nora com frequência fs e comprimento de onda l vfs a figura mostra diversas cristas de onda separadas pela mesma distância l as cristas das ondas que se aproximam do ouvinte movemse com uma velocidade de propagação em relação ao ouvinte igual a v vo assim a frequência fo das ondas que chegam ao local onde o ouvinte se situa ou seja a frequência ouvida pelo observador é dada por fO v vO l v vO vfS 1625 Figura 1626 se as duas hélices deste avião não estiverem perfeitamente sincronizadas os pilotos os passageiros e os ouvintes que no solo devem escutar batimentos desagradáveis ouvidos como intensos sons pulsantes Em alguns aviões o sincronismo das hélices é feito eletronicamente em outros o piloto faz isso de ouvido como na afinação de um piano BookSEARSVol2indb 179 021015 150 PM 180 Física II ou fO av vO v b fS a1 vO v b fS ouvinte em movimento fonte estacionária 1626 Portanto quando um ouvinte se aproxima da fonte sonora vo 0 como indi cado na figura 1627 ele ouve um som com uma frequência mais elevada altura mais elevada que a frequência ouvida quando ele está em repouso Quando o ouvinte se afasta da fonte sonora vo 0 ele ouve uma frequência menor altura mais baixa Fonte em movimento e ouvinte em movimento suponha agora que além do ouvinte a fonte também se mova com velocidade vs Figura 1628 a velocidade da onda em relação ao meio no qual ela se propaga o ar ainda é igual a v pois essa velocidade só depende das propriedades do meio e não se altera quando a fonte se move Porém o comprimento de onda não é mais vfs vejamos por quê o tempo para a emissão de um ciclo da onda é o período T 1fs Durante esse tempo a onda se deslocou uma distância vT vfs e a fonte se mo veu uma distância vsT vsfs o comprimento de onda é a distância entre duas cristas sucessivas distância determinada pelo deslocamento relativo entre a fonte e o ouvinte como podemos ver na figura 1628 isso é diferente para um ouvinte Figura 1627 um ouvinte que se aproxima de uma fonte ouve um som com uma frequência maior que a frequência da fonte porque a velocidade relativa entre o ouvinte e a onda é maior que a velocidade da onda v v O para S vO v v v v v v l O S Velocidade do ouvinte O vO Velocidade da fonte S 0 em repouso Velocidade da onda sonora v Direção positiva do ouvinte para a fonte Figura 1628 as cristas das ondas emitidas por uma fonte em movimento de a para b ficam comprimidas na frente da fonte do lado direito no desenho e se dilatam atrás dela do lado esquerdo no desenho Velocidade do ouvinte O vO Velocidade da fonte S vS Velocidade da onda sonora v Direção positiva do ouvinte para a fonte v O para S vO v v v v v v vS vS a b S S O lfrente latrás BookSEARSVol2indb 180 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 181 que está na frente da fonte e para outro que está atrás da fonte Na região à direita da fonte na figura 1628 ou seja na frente da fonte o comprimento de onda é lfrente v fS vS fS v vS fS comprimento de onda na frente de uma fonte que se move 1627 Na região à esquerda da fonte ou seja atrás da fonte o comprimento de onda é latrás v vS fS comprimento de onda atrás de uma fonte que se move 1628 as ondas se comprimem na frente da fonte e se distendem atrás dela em razão de seu movimento Para encontrar a frequência percebida pelo ouvinte atrás da fonte substituímos a Equação 1628 na primeira forma da Equação 1625 fO v vO latrás v vO 1v vS2fS 1629 Frequência detectada pelo ouvinte Frequência emitida pela fonte Velocidade do som Velocidade do ouvinte se de O para S se ao contrário Velocidade da fonte se de O para S se ao contrário Efeito Doppler para ouvinte O e fonte S em movimento fO fS v vS v vO Embora tenhamos deduzido a Equação 1629 para a situação particular mostrada na figura 1628 essa equação inclui todas as possibilidades do movimento da fonte e do ouvinte em relação ao meio ao longo da reta que os une Quando o ouvinte está em repouso vo é igual a zero Quando o ouvinte e a fonte estão em repouso ou quando se deslocam com a mesma velocidade em relação ao meio então vo vs e fo fs Quando o sentido da velocidade da fonte ou da velocidade do ouvinte for contrário ao sentido que vai do ouvinte para a fonte que definimos como positivo a velocidade correspondente a ser usada na Equação 1629 é negativa como exemplo a frequência percebida por um ouvinte em repouso vo 0 é fo vv vs fs se a fonte estiver se movendo na direção do ouvinte no sentido negativo então vs 0 fo fs e o ouvinte escuta uma frequência mais alta que a emitida pela fonte se em vez disso a fonte estiver se afastando do ouvinte deslocandose no sentido positivo então vs 0 fo fs e o ouvinte percebe uma frequência mais baixa isso explica a mudança de altura que você nota quando a sirene de uma ambulância passa por você Figura 1629 Figura 1629 o efeito Doppler explica por que a frequência da sirene de uma ambulância ou de um carro de bombeiro apresenta uma altura mais elevada fo fs quando a fonte se aproxima de você vs 0 e uma altura mais baixa fo fs quando a fonte se afasta de você vs 0 ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 162 EFEITO DOPPLER iDENTiFiCAr os conceitos relevantes o efeito Doppler é re levante sempre que a fonte das ondas o detector das ondas ouvinte ou ambos estão em movimento PrEPArAr o problema por meio dos seguintes passos 1 Estabeleça um sistema de coordenadas Defina como posi tivo o sentido que vai do ouvinte para a fonte e certifique se de que você conhece os sinais de todas as velocidades relevantes uma velocidade no sentido do ouvinte para a fonte é positiva com sentido contrário a ela é negativa também devemos medir todas as velocidades em relação ao ar no qual o som se propaga 2 use subscritos consistentes para identificar as diversas grandezas s para a fonte de som e o para o ouvinte 3 identifique quais das grandezas desconhecidas são as variáveisalvo ExECuTAr a solução da seguinte forma 1 use a Equação 1629 para relacionar as frequências na fonte e junto ao ouvinte a velocidade do som e as veloci dades da fonte e do ouvinte de acordo com a convenção de sinal definida no item 1 anterior se a fonte estiver em mo vimento você pode calcular o comprimento de onda me dido pelo ouvinte usando as equações 1627 ou 1628 Continua BookSEARSVol2indb 181 021015 150 PM 182 Física II uma sirene da polícia emite uma onda senoidal com frequência fs 300 hz a velocidade do som é 340 ms e o ar está parado a calcule o comprimento de onda das ondas sonoras quando a sirene está em repouso em relação ao ar b Determine o com primento de onda das ondas situadas na frente e atrás da sirene quando a sirene se move a 30 ms soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o efeito Doppler não está en volvido na parte a pois nem a fonte nem o ouvinte estão se movendo em relação ao ar v lf resulta no comprimento de onda a Figura 1630 mostra a situação na parte b quando a sirene está em movimento calculamos o comprimento de onda de ambos os lados da sirene por meio das equações 1627 e 1628 para indicar o efeito Doppler EXECUTAR a quando a fonte está em repouso l v fS 340 ms 300 Hz 113 m b Pela Equação 1627 na frente da sirene lfrente v vS fS 340 ms 30 ms 300 Hz 103 m Pela Equação 1628 atrás da sirene latrás v vS fS 340 ms 30 ms 300 Hz 123 m AVALIAR o comprimento de onda é menor na frente da sirene e maior atrás como era de se esperar Figura 1630 Esboço do problema Carro de polícia S vS 30 ms lfrente latrás ExEmPlo 1614 EFEITO DOPPLER I COMPRIMENTOS DE ONDA se o ouvinte o está em repouso e a sirene do Exemplo 1614 se afasta de o com velocidade de 30 ms que frequência o ouvinte escuta soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a variável que precisamos en contrar é a frequência fo percebida pelo ouvinte que está atrás da fonte em movimento a Figura 1631 mostra a situação sabemos que vo 0 e vs 30 ms positiva porque a veloci dade da fonte se move no mesmo sentido que aponta do ouvinte para a fonte EXECUTAR pela Equação 1629 fO v v vS fS 340 ms 340 ms 30 ms 1300 Hz2 276 Hz AVALIAR a fonte e o ouvinte se afastam de modo que fo fs vejamos como verificar nosso resultado numérico Do Exemplo 1614 sabemos que o comprimento de onda atrás da fonte onde o ouvinte da figura 1631 está localizado é 123 m a veloci dade da onda em relação ao ouvinte em repouso é v 340 ms embora a fonte esteja se movendo portanto fO v l 340 ms 123 m 276 Hz Figura 1631 Esboço do problema Carro de polícia Ouvinte em repouso O para S vS 30 ms vO 0 fO S O ExEmPlo 1615 EFEITO DOPPLER II FREQUÊNCIAS 2 Quando uma onda é refletida por uma superfície em re pouso ou em movimento a análise deve ser feita em duas etapas Na primeira a superfície desempenha o papel do ouvinte a frequência com a qual as cristas das ondas chegam à superfície é fo Na segunda imagine que a super fície seja uma nova fonte emitindo ondas com a mesma frequência fo finalmente determine a frequência detec tada pelo ouvinte que escuta essa nova onda AVAliAr sua resposta o sentido do deslocamento de fre quência é razoável Quando ocorre uma aproximação entre a fonte e o ouvinte fo fs quando eles se afastam fo fs Quando não existe movimento relativo entre a fonte e o ouvinte fo fs Continuação BookSEARSVol2indb 182 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 183 se a sirene estiver em repouso e o ouvinte se afastando da si rene a 30 ms que frequência o ouvinte escuta soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR mais uma vez a variável que que remos encontrar é fo mas agora o ouvinte está em movimento e a fonte está em repouso a Figura 1632 mostra a situação a velocidade do ouvinte vo 30 ms negativa pois o movi mento está na direção da fonte para o ouvinte EXECUTAR pela Equação 1629 fO v vO v fS 340 ms 130 ms2 340 ms 1300 Hz2 274 Hz AVALIAR novamente a fonte e o ouvinte estão se afastando de modo que fo fs Note que a velocidade relativa entre o ouvinte e a fonte é a mesma do Exemplo 1615 porém o desvio da frequência produzido pelo efeito Doppler é diferente porque vs e vL são diferentes Figura 1632 Esboço do problema Ouvinte Carro de polícia em repouso vS 0 O para S fO vO 30 ms S O ExEmPlo 1616 EFEITO DOPPLER III OUVINTE EM MOVIMENTO se a sirene se afasta do ouvinte com velocidade de 45 ms em relação ao ar e o ouvinte se aproxima da sirene com velocidade de 15 ms em relação ao ar que frequência o ouvinte escuta soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR agora tanto o quanto s estão em movimento Figura 1633 Mais uma vez a variável que quere mos encontrar é fo a frequência percebida pelo ouvinte tanto a velocidade da fonte vs 45 ms quanto a do ouvinte vo 15 ms são positivas porque os dois vetores apontam no sen tido do ouvinte para a fonte EXECUTAR pela Equação 1629 encontramos fO v vO v vS fS 340 ms 15 ms 340 ms 45 ms 1300 Hz2 277 Hz AVALIAR como nos exemplos 1615 e 1616 a fonte e o ouvinte se afastam novamente um do outro a 30 ms de modo que no vamente fo fs Porém fo é diferente em todos os três casos porque o efeito Doppler para o som depende de como a fonte e o ouvinte estão se movendo em relação ao ar e não simples mente um em relação ao outro Figura 1633 Esboço do problema Ouvinte Carro de polícia em repouso fO vO 15 ms O para S vS 45 ms S O ExEmPlo 1617 EFEITO DOPPLER IV FONTE E OUVINTE EM MOVIMENTO um carro de polícia movese a 30 ms no sentido de um arma zém Qual é a frequência do som refletido pela porta do arma zém que o motorista do carro de polícia ouve soLUÇÃo IDENTIFICAR nesta situação existem dois desvios Doppler Figura 1634 No primeiro o armazém funciona como um ou vinte em repouso a frequência do som que atinge o armazém que chamamos de fa é maior que 300 hz porque a fonte está se aproximando No segundo desvio o armazém funciona como uma fonte de som com frequência fa e o ouvinte é o motorista do carro de polícia ele ouve uma frequência maior que fa por que se aproxima da fonte PREPARAR para determinar fa usamos a Equação 1629 subs tituindo fo por fa o armazém está em repouso logo vo vA 0 o armazém está em repouso e vs 30 ms a sirene está se movendo no sentido negativo da fonte ao ouvinte Para determinar a frequência ouvida pelo motorista nossa va riávelalvo usamos novamente a Equação 1629 porém agora substituindo fs por fa Para esta segunda parte do problema vs 0 porque o armazém em repouso é a fonte e a velocidade do ou vinte o motorista é vo 30 ms a velocidade do ouvinte é positiva porque ela possui sentido do ouvinte para a fonte EXECUTAR a frequência que chega ao armazém é fA v v vS fS 340 ms 340 ms 1 30 ms2 1300 Hz2 329 Hz Portanto a frequência ouvida pelo motorista é fO v vO v fA 340 ms 30 ms 340 ms 1329 Hz2 358 Hz ExEmPlo 1618 EFEITO DOPPLER V DUPLO DESVIO DOPPLER Continua BookSEARSVol2indb 183 021015 150 PM 184 Física II Efeito doppler em ondas eletromagnéticas No efeito Doppler do som as velocidades vo e vs são sempre medidas em re lação ao ar ou a qualquer meio de propagação também ocorre efeito Doppler em ondas eletromagnéticas que se propagam no vácuo como no caso das ondas de rádio ou de ondas luminosas Nesse caso não há um meio que possamos usar como referência para medirmos as velocidades e o único fator relevante é a velocidade relativa entre a fonte e o observador Em contraste o efeito Doppler do som não depende somente dessa velocidade relativa conforme vimos no Exemplo 1617 Para deduzir a expressão do efeito Doppler do desvio da frequência para a luz é necessário usar a teoria da relatividade especial Discutiremos esse assunto no capítulo 37 por enquanto mencionaremos o resultado sem demonstração a ve locidade de propagação da onda é a velocidade da luz geralmente designada pela letra c que é a mesma tanto para o receptor quanto para a fonte No sistema de referência no qual o receptor está em repouso a fonte se afasta dele com veloci dade v Quando a fonte se aproxima do receptor a velocidade v é negativa a frequência da fonte é novamente fs a frequência fr medida pelo receptor R a frequência com a qual as ondas chegam ao receptor é então dada por Ä c v c v fS Doppler effect for light fR efeito Doppler para a luz 1630 Quando v é positiva a fonte se afasta diretamente do receptor e fr é sempre menor que fs quando v é negativa a fonte se aproxima diretamente do receptor e fr é maior que fs o efeito qualitativo é semelhante ao que ocorre com as ondas sonoras porém a relação quantitativa é diferente uma aplicação conhecida do efeito Doppler em ondas de rádio é o equipamento de radar montado na janela lateral de carros de polícia para medir a velocidade de outros carros a onda eletromagnética emitida pelo equipamento é refletida por um carro em movimento que funciona como uma fonte móvel e a onda refle tida que volta para o equipamento da polícia sofre um desvio de frequência em decorrência do efeito Doppler os sinais transmitido e refletido se combinam e formam batimentos e a velocidade pode ser calculada pela frequência deles téc nicas semelhantes radar Doppler são usadas para medir a velocidade do vento na atmosfera o efeito Doppler também é usado para rastrear satélites e outros veículos es paciais Na Figura 1635 um satélite emite um sinal de rádio com frequência constante fs À medida que o satélite percorre sua órbita ele primeiro se aproxima e depois se afasta do receptor a frequência fr do sinal recebido na terra varia de um valor maior que fs para um valor menor que fs depois que ele passa exatamente sobre o local da estação Figura 1635 variação do componente da velocidade do satélite ao longo da linha de visão de um satélite passando por uma estação rastreadora a frequência do sinal recebido pela estação rastreadora varia de um valor maior para um menor à medida que ele passa sobre o local da estação Estação rastreadora 1 3 2 Terra AVALIAR como há dois desvios Doppler o som refletido ou vido pelo motorista tem uma frequência ainda mais alta que o som percebido por um ouvinte estacionário no armazém Continuação Figura 1634 Duas etapas do movimento da onda sonora desde o carro de polícia até o armazém e de volta ao carro a O som se desloca da sirene do carro de polícia fonte S até o armazém ouvinte O b O som refetido se desloca do armazém fonte S para o carro de polícia ouvinte O S O O para S vO 0 vO 30 ms O O para S vS 30 ms vO 0 O BookSEARSVol2indb 184 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 185 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 168 você está em um concerto ao ar livre com o vento soprando a 10 ms dos músicos até você o som que você escuta sofre desvio pelo efeito Doppler Em caso afirmativo as frequências que você escuta são menores ou maiores 169 oNdAs dE ChoQUE você provavelmente já ouviu um estrondo sônico provocado por um avião voando com velocidade maior que a do som Podemos entender qualitativamente por que isso ocorre examinando a Figura 1636 seja vs o módulo da velocidade do avião em relação ao ar de modo que ele é sempre positivo o movimento do avião no ar produz som quando vs é menor que a velocidade do som v as ondas na parte frontal do avião são comprimidas com um comprimento de onda dado pela Equação 1627 lfrente v vS fS À medida que a velocidade do avião vs se aproxima da velocidade do som v o comprimento de onda tende a zero e as cristas das ondas se agrupam figura 1636a o avião precisa exercer uma grande força para comprimir o ar que encon tra pela frente pela terceira lei de Newton o ar exerce uma força igual e contrária igualmente grande sobre o avião assim ocorre um grande aumento do arraste aerodinâmico resistência do ar à medida que a velocidade do avião se aproxima da velocidade do som um fenômeno conhecido como barreira do som Quando o módulo de vs é maior que o de v a fonte do som se desloca com velocidade supersônica e as equações 1627 e 1629 do efeito Doppler não po dem mais ser usadas para a velocidade do som na parte frontal da fonte a figura 1636b mostra o que ocorre em uma seção reta À medida que o avião se move ele desloca o ar das vizinhanças e produz som Diversas cristas de onda são emi tidas a partir do nariz do avião cada crista se espalha ao longo de círculos cujos centros coincidem com a posição do avião no momento em que ele emite a crista Depois de um tempo t a crista emitida no ponto s1 se espalhou circularmente até um raio vt e o avião se deslocou uma distância maior vst atingindo o ponto s2 você pode notar que existe interferência construtiva das ondas ao longo da reta As cristas das ondas se acumulam na frente da fonte a Fonte sonora S avião movendose próxima à velocidade do som b Fonte sonora movendose mais rápido que a velocidade do som c Onda de choque em torno de um avião supersônico vS S S1 vSt vS S2 vt Onda de choque a a Figura 1636 cristas de onda em torno de uma fonte sonora s movendose a ligeiramente mais devagar que a velocidade do som v e b mais rápido que a velocidade do som v c fotografia de um avião a jato t38 que se desloca com velocidade 11 vez a velocidade do som ondas de choque distintas são produzidas pelo nariz pelas asas e pela traseira do avião os ângulos dessas ondas variam porque ao se mover em torno dele o ar é acelerado e retardado de modo que a velocidade relativa do avião em relação ao ar vs é diferente em diferentes pontos BookSEARSVol2indb 185 021015 150 PM 186 Física II envoltória que faz um ângulo a com a direção da velocidade do avião produzindo uma crista de onda de amplitude muito grande ao longo dessa reta Essa crista com amplitude grande denominase onda de choque figura 1636c observando o triângulo retângulo mostrado na figura 1636b podemos ver que sen a vtvst ou 1631 Ângulo da onda de choque Velocidade do som Velocidade da fonte sonora Onda de choque produzida pela fonte sonora movendose mais rápido que o som sena vS v a razão vsv denominase número de Mach Ele é maior que um para todas as velocidades supersônicas e o valor de sen a na Equação 1631 é igual ao inverso do número de Mach a primeira pessoa a quebrar a barreira do som foi o capitão chuck Yeager da força aérea dos Estados unidos pilotando o Bell X1 com ve locidade igual a 106 Mach no dia 14 de outubro de 1947 Figura 1637 Na verdade as ondas de choque ocorrem em três dimensões uma onda de cho que forma um cone em torno da direção do movimento da fonte se esta possivel mente um avião a jato supersônico ou a bala de um rifle se move com velocidade constante o ângulo a é constante e a onda de choque se move acompanhando a fonte é a chegada ao solo dessa onda de choque que produz o estrondo sô nico que você ouve depois que um avião supersônico passa pela vertical acima do ponto onde você se encontra Na parte dianteira do cone da onda de choque não existe nenhum som No interior do cone um ouvinte em repouso ouve o som com frequência deslocada pelo efeito Doppler do avião que se afasta ATENÇÃo Ondas de choque Enfatizamos que a onda de choque é produzida continua mente por qualquer objeto que se mova no ar com velocidade supersônica e não somente no instante em que ele quebra a barreira do som as ondas sonoras que se superpõem para formar a onda de choque como na figura 1636b são criadas pelo movimento do pró prio objeto e não por qualquer fonte sonora que o objeto possa transportar os estampidos provocados por uma bala e pelo chicote em um circo decorrem do movimento supersônico desses objetos os motores de um avião a jato podem emitir sons muito intensos porém que não produzem ondas de choque se o piloto desligasse os motores o avião continuaria a produzir uma onda de choque enquanto sua velocidade permanecesse supersônica as ondas de choque têm aplicações fora do âmbito da aviação Elas são usadas para quebrar cálculos nos rins e na vesícula sem a necessidade de cirurgias inva sivas mediante o emprego de uma técnica que recebeu o extravagante nome de litotripsia extracorpórea por ondas de choque uma onda de choque produzida fora do corpo é focalizada por um refletor ou uma lente acústica que faz com que ela incida o mais próximo possível do cálculo Quando as tensões resultantes sobre o cálculo superam seu limite de tensão de ruptura ele se quebra em diver sos fragmentos que podem ser eliminados Essa técnica requer uma determinação precisa do local onde se encontra o cálculo o que pode ser feito por meio de téc nicas de imagem com ultrassom ver figura 169 Figura 1637 o primeiro avião supersônico Bell X1 foi projetado de forma parecida a uma bala de metralhadora calibre 50 sabiase que essa bala era capaz de se deslocar com velocidade supersônica um avião está voando a Mach 175 a uma altura de 8000 m onde a velocidade do som é igual a 320 ms Quanto tempo de pois de o avião passar verticalmente sobre sua cabeça você ou virá o estrondo sônico soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a onda de choque forma um cone se afastando da parte traseira do avião então na verdade o problema está perguntando quanto tempo transcorre desde o momento em que o avião passa sobre sua cabeça até o momento em que o choque da onda chega até você no ponto o Figura 1638 Durante o tempo t a variável procurada transcorrido desde que o avião passou bem em cima de sua cabeça com ve locidade vs ele percorreu uma distância vst a Equação 1631 fornece o ângulo do cone da onda de choque a usamos trigo nometria para calcular t ExEmPlo 1619 ESTRONDO SÔNICO DE UM AVIÃO SUPERSÔNICO Continua BookSEARSVol2indb 186 021015 150 PM Capítulo 16 Som e audição 187 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 169 o que você ouviria se estivesse direta mente atrás à esquerda do avião supersônico da figura 1638 i um estrondo sônico ii o som do avião com desvio de Doppler nas frequências mais altas iii o som do avião com desvio de Doppler nas frequências baixas iv nada EXECUTAR pela Equação 1631 o ângulo a é dado por a arcsen 1 175 348 a velocidade do avião é a velocidade do som multiplicada pelo número de Mach vs 175 320 ms 560 ms Pela figura 1638 temos tan a 8000 m vSt t 8000 m 1560 ms2 1tan 3482 205 s AVALIAR você ouve o estrondo sônico 205 s depois que o avião passa verticalmente sobre sua cabeça e nesse intervalo ele se deslocou 560 ms 205 s 115 km além do ponto situado verticalmente sobre sua cabeça Nos cálculos anterio res consideramos a mesma velocidade do som em todas as altitudes logo a arcsen vvs é constante e a onda de cho que forma um cone perfeito Na verdade a velocidade do som diminui com o aumento da altitude como você acha que isso afeta o resultado Figura 1638 você ouve o estrondo sônico quando a onda de choque atinge você no ponto o e não no momento em que o avião quebra a barreira do som um ouvinte situado à direita do ponto o ainda não ouviu o estrondo sônico porém o ouvirá logo a seguir um ouvinte à esquerda do ponto o já ouviu o estrondo sônico vS Onda de choque Ouvinte 8000 m vS Mach 175 vSt O a a Continuação Ondas sonoras o som consiste em ondas longi tudinais que se propagam em um meio uma onda sonora senoidal é caracterizada por uma frequência f um comprimento de onda l ou frequência angular v e número de onda k e uma amplitude de desloca mento A a amplitude da pressão Pmáx é diretamente proporcional à amplitude do deslocamento ao nú mero de onda e ao módulo de compressão B do meio ondulatório ver exemplos 161 e 162 a velocidade da onda sonora em um fluido depende do módulo de compressão B e da densidade r se o fluido é um gás ideal a velocidade pode ser expressa em função da temperatura T da massa molar M e da razão das capacidades caloríficas g do gás a velo cidade de ondas longitudinais em uma barra sólida depende da densidade e do módulo de Young Y ver exemplos 163 e 164 Pmáx BkA 165 onda sonora senoidal v B r 167 onda longitudinal em um fluido v gRT M 1610 onda sonora em um gás ideal v Y r 168 onda longitudinal em uma barra sólida Expansão Compressão Pmáx P Pmáx A A y y 7 0 y 7 0 y 6 0 y 6 0 x Comprimento de onda l x Intensidade e nível de intensidade sonora a in tensidade I de uma onda sonora é a taxa temporal média com a qual a energia é transferida pela onda por unidade de área Em uma onda senoidal a inten sidade pode ser expressa em função da amplitude A ou amplitude da pressão pmáx ver exemplos 165 a 167 I 1 2rB v2A2 Pmáx 2 2rv Pmáx 2 2 rB 16121614 intensidade de uma onda sonora senoidal em um fluido Fonte puntiforme P2 P1 capítulo 16 resumo BookSEARSVol2indb 187 021015 150 PM 188 Física II o nível da intensidade sonora b de uma onda sonora é a medida logarítmica de sua intensidade medida em relação a I0 uma intensidade arbitrária definida como igual a 1012 wm2 os níveis da intensidade sonora são expressos em decibéis dB ver exem plos 168 e 169 I I0 b 110 dB2 log 1615 definição do nível da intensidade sonora Ondas sonoras estacionárias ondas sonoras es tacionárias podem percorrer um cano ou um tubo uma extremidade fechada é um nó de deslocamento e um ventre de pressão uma extremidade aberta é um ventre de deslocamento e um nó de pressão Em um tubo aberto nas duas extremidades com com primento L as frequências dos modos normais são múltiplos inteiros da velocidade do som divididos por 2L Em um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra as frequências dos modos normais são múltiplos ímpares da velocidade do som dividi dos por 4L ver exemplos 1610 e 1611 um tubo ou outro sistema com frequências em modos normais pode ser estimulado a oscilar em qualquer frequência uma resposta máxima ou ressonância ocorre quando a frequência da força propulsora se aproxima de uma das frequências de modo normal do sistema ver Exemplo 1612 fn nv 2L n 1 2 3 1618 tubo aberto fn nv 4L n 1 3 5 1622 tubo fechado l 2 l 4 Tubo aberto Tubo fechado V V N V N V N V N N V N V V v 2L f1 v 4L f1 v f2 22L 2f1 v f3 34L 3f1 Interferência quando duas ou mais ondas se superpõem na mesma região do espaço os efeitos resultantes constituem o fenômeno da interferência a amplitude resultante pode ser maior ou menor que a amplitude da onda individual dependendo se as ondas estão em fase interferência construtiva ou fora de fase interferência destrutiva ver Exemplo 1613 Q As ondas chegam ciclo fora de fase d2 d1 d1 P As ondas chegam em fase d2 l 2 1 2 Batimentos ouvimos batimentos quando dois tons com frequências ligeiramente diferentes fa e fb são emitidos simultaneamente a frequência dos bati mentos fbat é a diferença entre fa e fb fbat fa fb 1624 frequência dos batimentos Deslocamento Batimento t t Efeito Doppler o efeito Doppler do som é o des locamento da frequência que ocorre quando uma fonte sonora um ouvinte ou ambos se movem em relação ao meio a frequência da fonte do som fs e a frequência do ouvinte fo estão relacionadas à velocidade da fonte vs e à velocidade do ouvinte vo em relação a um meio e à velocidade do som v ver exemplos 1614 a 1618 fO v vO v vS fS 1629 efeito Doppler fonte em movimento e ouvinte em movimento v O para S vO v v v v v v vS vS a b l l S S O Ondas de choque uma fonte sonora que se move com velocidade vs maior que a velocidade do som v cria uma onda de choque a frente da onda forma um cone de ângulo a ver Exemplo 1619 sen a v vS 1631 onda de choque Onda de choque vS v a BookSEARSVol2indb 188 021015 151 PM Capítulo 16 Som e audição 189 Problema em destaque Interferência do altofalante os altofalantes A e B estão afastados 700 m um do outro e vibram em fase a 172 hz o som é propagado por eles unifor memente em todas as direções suas potências de saída acús tica são 800 104 w e 600 105 w respectivamente a temperatura do ar é de 20 c a Determine a diferença de fase dos dois sinais em um ponto C ao longo da reta que une A e B 300 m de B e 400 m de A Figura 1639 b Determine a intensidade e o nível de intensidade sonora em C somente a partir do altofalante A B desligado e a somente a partir do altofalante B A desligado c Determine a intensidade e o nível de intensidade sonora em C a partir dos dois alto falantes juntos gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 Escolha as equações que relacionam potência distância da fonte intensidade amplitude de pressão e nível de intensi dade sonora 2 Decida como você determinará a diferença de fase no item a Quando tiver determinado a diferença de fase como poderá usála para achar a amplitude da onda combinada em C devida às duas fontes 3 Liste as grandezas desconhecidas para cada parte do pro blema e identifique suas variáveisalvo EXECUTAr 4 Determine a diferença de fase no ponto C 5 ache a intensidade o nível de intensidade sonora e a am plitude de pressão em C devido a cada altofalante separado 6 use seus resultados dos itens 4 e 5 para achar a amplitude de pressão em C devida aos dois altofalantes juntos 7 use seu resultado do item 6 para achar a intensidade e o nível de intensidade sonora em C devido aos dois altofa lantes juntos AVALIAr 8 Qual é a relação entre seus resultados do item c para in tensidade e nível de intensidade sonora em C e aqueles do item b isso faz sentido 9 Que resultado você teria obtido no item c se tivesse in corretamente combinado as intensidades de A e B direta mente em vez de corretamente combinar as amplitudes de pressão como fez no item 6 Figura 1639 situação para este problema 700 m Altofalante A Ponto C Altofalante B 400 m 300 m problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q161 Quando o som sai do ar e penetra na água sua frequên cia se altera E sua velocidade E seu comprimento de onda Explique seu raciocínio Q162 o herói de um filme de aventura escuta a aproximação de um trem colocando seu ouvido no trilho Por que esse método funciona melhor para perceber a aproximação do trem do que simplesmente escutar pelo modo normal Q163 a altura ou frequência do tubo de um órgão aumenta ou diminui quando a temperatura aumenta Explique Q164 Em grande parte dos instrumentos de sopro modernos a altura de um som pode ser mudada por meio de teclas ou chaves que alteram o comprimento da coluna vibratória de ar contudo um clarim não possui teclas nem chaves e ainda assim pode emi tir muitas notas como isso é possível Existe alguma restrição em relação às notas que um clarim pode emitir Q165 Músicos que tocam instrumentos de sopro em uma or questra sinfônica aquecem seus instrumentos soprandoos antes da apresentação Para que serve isso Q166 Em uma demonstração científica bastante popular e di vertida uma pessoa inala hélio e sua voz se torna aguda e estri dente Por que isso acontece Atenção inalar hélio demais pode levar à perda de consciência e até à morte Q167 Em algumas estradas as pistas são divididas por peque nas saliências ou ondulações regularmente espaçadas Quando os pneus de um carro passam sobre essas divisórias pode ocorrer a produção de uma nota musical Por quê Mostre como esse fenômeno pode ser usado para medir a velocidade do carro Q168 a um nível sonoro de 0 dB significa que não há som b Existe algum significado físico para um som ter um nível de intensidade negativo se houver qual c uma intensidade sonora nula significa que não há som d Existe algum signifi cado físico para um som ter uma intensidade negativa Por quê Q169 Qual dos dois fatores influi mais diretamente na inten sidade sonora de uma onda sua amplitude de deslocamento ou sua amplitude da pressão Explique sua resposta Q1610 Quando a amplitude da pressão de uma onda sonora se reduz à metade de seu valor qual é o fator de diminuição da intensidade da onda Qual deve ser o fator de aumento da am plitude da pressão de uma onda sonora para que sua intensidade cresça por um fator igual a 16 Explique Q1611 o nível de intensidade sonora b obedece à lei do inverso do quadrado Por quê Q1612 uma pequena fração da energia de uma onda sonora é absorvida pelo ar através do qual a onda se propaga como esse efeito modifica a relação do inverso do quadrado entre a intensi dade e a distância da fonte Explique seu raciocínio Q1613 uma pequena tira de metal é introduzida em um dos dentes de um diapasão À medida que essa tira é movida na di reção da extremidade do dente que efeito isso exerce sobre o BookSEARSVol2indb 189 021015 151 PM 190 Física II comprimento de onda e a frequência do som que o dente produz Por quê Q1614 um organista em uma catedral toca um acorde forte e a seguir solta as teclas o som persiste durante alguns segundos e se extingue gradualmente Por que ele persiste o que ocorre com a energia sonora quando o som se extingue Q1615 Dois altofalantes A e B são alimentados pelo mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase a frequência das ondas emitidas por cada altofalante é de 860 hz o ponto P está a 120 m de A e a 134 m de B a interferência em P é construtiva ou destrutiva Explique como você chegou a essa conclusão Q1616 Dois diapasões vibram com frequências idênticas porém um está fixo e o outro está montado na beirada de uma plataforma giratória o que um ouvinte escutará Explique Q1617 uma grande igreja possui parte de um órgão na frente e a outra parte em seu final uma pessoa andando rapidamente ao longo da reta que une as duas partes do órgão enquanto elas estão tocando simultaneamente afirma que as duas partes estão desafinadas entre si Por quê Q1618 uma fonte sonora e um ouvinte estão em repouso sobre a terra porém um vento forte sopra no sentido da fonte para o ouvinte Existe efeito Doppler Justifique sua resposta Q1619 você é capaz de imaginar situações em que o efeito Doppler pudesse ser observado em ondas que se propagam na superfície da água E em ondas elásticas que se propagam em grandes profundidades Em caso afirmativo descreva as circuns tâncias imaginadas e explique seu raciocínio Em caso negativo explique por que não Q1620 Estrelas que não são o nosso sol normalmente parecem inertes quando vistas com telescópios Entretanto os astrônomos podem facilmente usar a luz dessas estrelas para verificar que elas estão girando e até mesmo medir a velocidade de sua super fície como eles conseguem fazer isso Q1621 se você espera um trem se aproximar e passar em um cruzamento da ferrovia você ouve o som do trem com um desvio Doppler Mas se você escutar com atenção ouvirá que a mu dança na frequência é contínua não existe uma súbita passagem de frequência elevada para frequência baixa a frequência passa suavemente mas rapidamente de alta para baixa à medida que o trem passa Por que ocorre essa variação suave Q1622 No caso 1 uma fonte sonora se aproxima de um obser vador parado com velocidade u No caso 2 o observador se move na direção da fonte estacionária com a mesma velocidade u se a fonte está sempre produzindo um som de mesma frequência o observador escutará a mesma frequência em ambos os casos uma vez que a velocidade relativa é a mesma em ambas as vezes Justifique sua resposta Q1623 um avião produz estrondo sônico apenas no instante em que sua velocidade supera o valor Mach 1 Explique seu raciocínio Q1624 caso você esteja pilotando um avião supersônico o que você ouve Explique seu raciocínio Em particular você ouve um estrondo sônico contínuo Justifique sua resposta Q1625 um avião a jato está voando a uma altitude constante com uma velocidade uniforme vs maior que a velocidade do som Descreva o que está sendo ouvido por observadores situa dos nos pontos A B e C no instante indicado na Figura Q1625 quando a onda de choque acabou de chegar ao ponto B Explique seu raciocínio Figura Q1625 vS A B C EXErCÍCIos a menos que haja alguma indicação em contrário suponha que a velocidade do som no ar possua módulo v 344 ms seção 161 ondas sonoras 161 o Exemplo 161 seção 161 mostrou que em ondas sonoras deslocandose no ar com frequência de 1000 hz uma amplitude de deslocamento igual a 12 108 m produz uma amplitude de pressão igual a 30 102 Pa a Qual é o com primento de onda dessas ondas b Para uma onda de 1000 hz no ar qual é a amplitude de deslocamento necessária para que a amplitude da pressão esteja no limiar da dor que corresponde a 30 Pa c Em qual comprimento de onda e frequência uma onda com amplitude de deslocamento igual a 12 108 m produziria uma amplitude de pressão igual a 15 103 Pa 162 o Exemplo 161 seção 161 mostrou que em ondas sonoras deslocandose no ar com frequência de 1000 hz uma amplitude de deslocamento igual a 12 108 m produz uma amplitude de pressão igual a 30 102 Pa o módulo de com pressão da água a 20 c é 22 109 Pa e a velocidade do som na água nessa temperatura é igual a 1480 ms Em ondas sonoras de 1000 hz na água a 20 c que amplitude de deslocamento é produzida quando a amplitude da pressão é igual a 30 102 Pa Explique por que sua resposta é um valor muito menor que 12 108 m 163 considere uma onda sonora no ar com amplitude de deslocamento igual a 00200 mm calcule a amplitude da pressão para as frequências a 150 hz b 1500 hz c 15000 hz Em cada caso compare os resultados com a pressão do limiar da dor que é igual a 30 Pa 164 uma máquina em uma fábrica produz um som de am plitude de deslocamento igual a 100 mm mas a frequência desse som pode ser ajustada a fim de prevenir danos aos ouvidos dos trabalhadores a amplitude de pressão máxima das ondas sonoras é limitada a 100 Pa Nas condições dessa fábrica o módulo de compressão do ar é 142 105 Pa Qual é o som de frequência mais alta para o qual essa máquina pode ser ajustada sem exceder o limite recomendado Essa frequência é audível para os trabalhadores 165 BIo Ultrassom e infrassom a Comunicação com baleias as baleias azuis aparentemente se comunicam entre si usando sons na frequência de 17 hz que podem ser ouvidos a cerca de 1000 km de distância no oceano Qual é o compri mento de onda desse som na água do mar onde a velocidade do som é de 1531 ms b Cliques do golfinho um tipo de som que os golfinhos emitem é um clique agudo com compri mento de onda de 15 cm no oceano Qual é a frequência desses cliques c Apitos para cães uma marca de apitos para cães informa uma frequência de 25 khz para seus produtos Qual é o comprimento de onda desse som d Morcegos Embora os BookSEARSVol2indb 190 021015 151 PM Capítulo 16 Som e audição 191 morcegos emitam uma grande variedade de sons um tipo emite pulsos de som com uma frequência entre 39 khz e 78 khz Qual é o intervalo de comprimentos de onda desse som e Sonogramas o ultrassom é usado para visualizar o interior do corpo semelhante ao modo como os raios X são usados Para obter uma imagem nítida o comprimento de onda do som deverá ser em torno de um quarto ou menos do tamanho dos objetos a serem vistos aproximadamente que frequência de som é necessária para produzir uma imagem clara de um tumor com 10 mm de extensão se a velocidade do som no tecido humano é de 1550 ms seção 162 Velocidade das ondas sonoras 166 a Em um líquido com densidade igual a 1300 kgm3 propagase uma onda longitudinal com frequência igual a 400 hz e comprimento de onda igual a 800 m calcule o módulo de compressão do líquido b uma barra metálica com 150 m de comprimento possui densidade igual a 6400 kgm3 uma onda sonora longitudinal leva um tempo de 390 104 s para ir de uma extremidade até a outra da barra Qual é o módulo de Young do metal 167 uma mergulhadora escuta um som proveniente da buzina de um barco que está direta mente sobre ela na superfí cie de um lago No mesmo instante um amigo que está nas margens do lago a uma distância de 220 m da buzina também ouve o som da buzina Figura E167 a buzina está 12 m acima da superfície da água calcule a distância in dicada pelo na figura entre a buzina e a mergulha dora a temperatura do ar e da água é de 20 c 168 Para uma temperatura de 27 c qual é a velocidade de uma onda longitudinal a no hidrogênio massa molecular igual a 202 gmol b no hélio massa molecular igual a 40 gmol c no argônio massa molecular igual a 399 gmol Encontre os va lores de g na tabela 191 d compare as respostas dos itens a b e c com a velocidade do som no ar na mesma temperatura 169 um oscilador vibrando a 1250 hz produz uma onda sonora que se desloca em um gás ideal a 325 ms quando a tem peratura do gás é 22 c Em um certo experimento você precisa que o mesmo oscilador produza um som de comprimento de onda igual a 285 cm nesse gás Qual deveria ser a temperatura do gás para obter esse comprimento de onda 1610 CALC a Mostre que a variação relativa na velo cidade do som dvv decorrente de uma pequena variação de temperatura dT é dada por dvv 1 2 dTT Dica comece com a Equação 1610 b a velocidade do som no ar a 20 c é 344 ms use o resultado da parte a para descobrir a variação na velocidade do som em razão de uma variação de 10 c na temperatura do ar 1611 uma barra de latão com 600 m de comprimento é golpeada em uma extremidade Na outra extremidade uma pes soa ouve dois sons vindos de duas ondas longitudinais uma se deslocando na barra metálica e a outra no ar Qual é o intervalo entre os dois sons a velocidade do som no ar é igual a 344 ms informações relevantes sobre o latão podem ser encontradas nas tabelas 111 e 141 1612 Qual deve ser a tensão FA em um fio esticado de um material cujo módulo de Young é Y para que a velocidade de propagação de uma onda longitudinal seja 30 vezes maior que a velocidade de propagação de uma onda transversal seção 163 Intensidade do som 1613 BIo Energia fornecida ao ouvido o som é detec tado quando uma onda de som faz com que o tímpano vibre Normalmente o diâmetro dessa membrana tem cerca de 84 mm nos humanos a Quanta energia é fornecida ao tímpano a cada segundo quando alguém sussurra 20 dB um segredo ao seu ouvido b Para compreender como o ouvido é sensível a quan tidades de energia muito pequenas calcule com que velocidade um mosquito comum de 20 mg teria de voar em mms para ter essa quantidade de energia cinética 1614 a Por qual fator a intensidade do som deve ser aumen tada para que o nível da intensidade sonora aumente em 130 dB b Explique por que você não precisa conhecer a intensidade do som original 1615 Bisbilhotagem você está tentando escutar uma conversa particular porém da sua distância de 150 m ela se parece com um sussurro médio de 200 dB a que distância dos tagarelas você precisa se aproximar para que o nível do som seja de 600 dB 1616 BIo Audição humana uma fã em um concerto de rock está a 30 m do palco e nesse ponto o nível da intensidade de som é de 110 dB a Quanta energia é transferida aos seus tímpanos a cada segundo b com que velocidade um mosquito de 20 mg teria de voar em mms para ter essa energia cinética compare a velocidade do mosquito com a encontrada para o sussurro no item a do Exercício 1613 1617 uma onda sonora no ar a 20 c tem uma frequência igual a 320 hz e uma amplitude de deslocamento igual a 50 103 mm Para essa onda sonora calcule a a amplitude da pressão em Pa b a intensidade em wm2 c o nível da intensidade sonora em decibéis 1618 você mora em uma rua movimentada Porém como amante da música você deseja reduzir o ruído do trânsito a se você instalar janelas especiais que refletem o som e reduzem o nível da intensidade sonora em dB em 30 dB por qual fração você terá reduzido a intensidade do som em wm2 b se em vez disso você reduzisse a intensidade pela metade que variação em dB você causaria no nível da intensidade sonora 1619 BIo Para uma pessoa com audição normal o som mais fraco que pode ser ouvido a uma frequência de 400 hz possui uma amplitude de pressão aproximadamente igual a 60 105 Pa calcule a a intensidade correspondente b o nível da intensi dade sonora c a amplitude de deslocamento dessa onda sonora a 20 c 1620 a intensidade decorrente de diversas fontes sonoras independentes é igual à soma das intensidades individuais a Quando quatro bebês choram simultaneamente com a mesma intensidade em quantos decibéis o nível da intensidade sonora é maior que o nível da intensidade quando apenas um bebê chora b Quantos bebês chorando são necessários para aumentar no vamente o nível da intensidade sonora no mesmo número de decibéis calculado no item a 1621 PC a boca de um bebê está a 30 cm de distância do ouvido do pai e a 150 m de distância do ouvido da mãe Qual é a diferença entre o nível da intensidade do som ouvido pelo pai e o nível da intensidade do som ouvido pela mãe 1622 a câmara da cidade de sacramento recentemente aprovou uma lei para reduzir o nível de intensidade sonora permitido dos barulhentos aspiradores de folhas de seu nível atual de 95 dB para 70 dB com a nova lei qual é a razão Figura E167 220 m BookSEARSVol2indb 191 021015 151 PM 192 Física II entre a intensidade permitida agora e a intensidade permitida anteriormente 1623 PC No ponto A a 30 m de uma pequena fonte sonora que está emitindo uniformemente em todas as direções o nível da intensidade sonora é 53 dB a Qual é a intensidade do som em A b a que distância da fonte você deverá ir para que a inten sidade seja um quarto da existente em A c a que distância da fonte você deverá ir para que o nível da intensidade sonora seja um quarto da existente em A d a intensidade obedece à lei do inverso do quadrado E o nível da intensidade sonora 1624 a se dois sons diferem em 500 dB determine a razão entre a intensidade do som mais alto e a do som mais baixo b se um som é 100 vezes mais intenso que outro por quanto eles diferem no nível da intensidade sonora em decibéis c se você aumentar o volume de seu aparelho de som de modo que a intensidade seja dobrada em quanto aumentará o nível da intensidade sonora seção 164 ondas estacionárias e modos normais 1625 ondas sonoras estacionárias são produzidas em um tubo de comprimento igual a 120 m Para o modo fundamental e os dois primeiros sobretons determine a posição ao longo do tubo medida a partir da extremidade esquerda dos nós de des locamento e dos nós de pressão supondo que a o tubo possui as duas extremidades abertas b a extremidade esquerda do tubo está fechada e a direita está aberta 1626 a frequência fundamental de um tubo aberto em ambas as extremidades é 524 hz a Qual é o comprimento desse tubo se agora fechamos uma extremidade calcule b o comprimento de onda e c a nova frequência fundamental 1627 BIo A voz humana o trato vocal humano é um tubo cujo comprimento é igual a 17 cm e se estende desde os lábios até as pregas vocais situadas no meio da garganta as pregas vo cais são parecidas com as palhetas de uma clarineta e o trato vocal humano atua como um tubo fechado em uma das extremidades faça uma estimativa das três primeiras frequências das ondas esta cionárias que se formam no trato vocal use o valor v 344 ms a resposta é apenas uma estimativa porque a posição dos lábios e da língua altera o movimento do ar no trato vocal 1628 BIo O trato vocal Muitos cantores de ópera e al guns cantores populares possuem uma faixa de cerca de 21 2 oi tavas ou ainda maior suponha que a faixa de uma soprano se estenda desde a abaixo do c médio frequência de 220 hz até o E bemol acima do c alto frequência de 1244 hz Embora o trato vocal seja bastante complicado podemos modelálo como uma coluna de ar ressonante semelhante a um tubo de órgão aberta no alto e fechada na parte inferior a coluna se estende da boca até o diafragma na cavidade peitoral e também po demos considerar que a nota musical mais baixa seja a funda mental Qual é a extensão dessa coluna de ar se v 354 ms seu resultado parece ser razoável com base nas observações do seu próprio corpo 1629 o tubo mais longo encontrado na maioria dos órgãos de tubos de tamanho médio é 488 m Qual é a frequência da nota correspondente ao modo fundamental se o tubo for a aberto nas duas extremidades b aberto em uma extremidade e fechado na outra 1630 Cantando no chuveiro um tubo fechado em ambas as extremidades pode ter ondas estacionárias dentro dele só que você normalmente não as ouve porque muito pouco do som pode sair do tubo Entretanto você pode ouvir esse som se estiver dentro do tubo como alguém cantando no chuveiro a Mostre que os comprimentos de onda das ondas estacionárias em um tubo de comprimento L fechado em ambas as extremidades são ln 2Ln e as frequências são dadas por fn nv2L nf1 onde n 1 2 3 b imaginando que essa pessoa tomando banho estivesse dentro de um tubo encontre a frequência fundamental e a frequência dos dois primeiros sobretons de um chuveiro a 250 m de altura Essas frequências são audíveis seção 165 ressonância e som 1631 você sopra na extremidade aberta de um tubo de ensaio e produz uma onda sonora estacionária fundamental na coluna de ar no interior do tubo a velocidade do som no ar é igual a 344 ms e o tubo de ensaio funciona como um tubo fechado a sabendo que o comprimento da coluna de ar no tubo de ensaio é igual a 140 cm qual é a frequência dessa onda estacionária b Qual seria a frequência da onda estacionária supondo que o tubo de ensaio esteja completamente cheio de água 1632 PC você aproxima um tubo fechado de comprimento ajustável de um fio esticado de 620 cm de comprimento e massa igual a 725 g sob uma tensão de 4110 N você quer ajustar o comprimento do tubo de modo que quando ele produzir som em sua frequência fundamental esse som faça o fio vibrar em seu segundo sobretom com uma amplitude bastante grande Que comprimento o tubo deve ter 1633 um fio com 750 cm de comprimento e massa de 5625 g está preso nas duas pontas e ajustado a uma tensão de 350 N Quando ele vibra em seu segundo sobretom determine a a frequência e o comprimento de onda em que ele está vi brando e b a frequência e o comprimento de onda das ondas de som que ele está produzindo seção 166 Interferência de ondas 1634 Dois pequenos altofalantes A e B são alimentados a 725 hz em fase pelo mesmo oscilador de áudio os dois alto falantes começam a 450 m do ouvinte mas o altofalante A é lentamente afastado Figura E1634 a a que distância d o som dos altofalantes inicialmente produzirá uma interferência destrutiva no local do ouvinte b se A for afastado ainda mais que no item a a que distância d os altofalantes em seguida produzirão uma interferência destrutiva no local do ouvinte c Depois que A começar a se afastar de seu ponto original a que distância d os altofalantes inicialmente produzirão uma interfe rência construtiva no local do ouvinte Figura E1634 d A B 450 m 1635 Dois altofalantes A e B Figura E1635 são alimen tados por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase o altofalante B está a uma distância de 200 m à direita do altofalante A considere um ponto Q ao longo da extensão da linha reta que une os dois altofalantes situado a uma distância de 100 m à direita do altofalante B os dois altofalantes emitem ondas sonoras que se propagam diretamente dos altofalantes até o ponto Q Qual é a menor frequência capaz de produzir a interferência construtiva no ponto Q b interferência destrutiva no ponto Q BookSEARSVol2indb 192 021015 151 PM Capítulo 16 Som e audição 193 Figura E1635 A B P Q x 100 m 200 m 1636 Dois altofalantes A e B figura E1635 são alimen tados por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase o altofalante B está a uma distância de 200 m à direita do altofalante A os dois altofalantes emitem ondas sonoras com uma frequência igual a 206 hz considere um ponto P ao longo da linha reta que une os dois altofalantes e situado entre eles a uma distância x à direita do altofalante A os dois alto falantes emitem ondas sonoras que se propagam diretamente dos altofalantes até o ponto P Para quais valores de x ocorrerá a interferência destrutiva no ponto P b interferência cons trutiva no ponto P c os efeitos de interferência como os que você encontrou nos itens a e b quase nunca são ouvidos no equipamento de som estereofônico de sua casa Por que não 1637 Dois altofalantes A e B são alimentados por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase o alto falante B está a uma distância de 120 m à direita do altofalante A a frequência das ondas emitidas por cada um dos altofalantes é 688 hz você está em pé entre os dois altofalantes sobre a linha reta que os une em um ponto onde há interferência constru tiva a que distância você precisa andar na direção do altofalante B para atingir um ponto de interferência destrutiva 1638 Dois altofalantes A e B são alimentados por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase a frequência das ondas emitidas por cada um dos altofalantes é 172 hz você está a 800 m de A Qual é a menor distância de B que você deve ficar para estar em um ponto de interferência destrutiva 1639 Dois pequenos altofalantes estéreos são alimenta dos em degrau pelo mesmo oscilador de frequência variável seu som é captado por um mi crofone localizado conforme a Figura E1639 Para quais fre quências seu som nos altofa lantes produz a interferência construtiva e b interferência destrutiva seção 167 Batimentos 1640 Dois violonistas tentam tocar a mesma nota de com primento de onda igual a 648 cm ao mesmo tempo mas um dos instrumentos está levemente desafinado e toca uma nota de comprimento de onda igual a 652 cm Qual é a frequência dos batimentos que esses músicos ouvem quando tocam juntos 1641 Afinando um violino uma violinista está afinando seu instrumento com a nota a 440 hz Ela toca a nota enquanto escuta um som gerado eletronicamente exatamente com essa frequência e escuta uma frequência de batimento de 3 hz que aumenta para 4 hz quando ela pressiona a corda de seu violino firmemente a Qual foi a frequência da nota tocada por seu violino quando ela ouviu os batimentos de 3 hz b Para afinar seu violino perfeitamente em a a violinista deverá apertar ou afrouxar sua corda a partir de como ela se encontrava quando ouviu os batimentos de 3 hz 1642 Ajustando motores de avião os motores que impul sionam as hélices de um avião são em alguns casos ajustados usando batimentos o motor zumbindo produz uma onda de som com a mesma frequência da hélice a se uma hélice de única lâmina estiver girando a 575 rpm e você ouvir batimentos de 20 hz quando ligar a segunda hélice quais são as duas fre quências possíveis em rpm da segunda hélice b suponha que você aumente ligeiramente a velocidade da segunda hélice e descubra que a frequência do batimento muda para 21 hz No item a qual das duas respostas foi a correta para a frequência da segunda hélice de única lâmina como você sabe disso 1643 Dois tubos de órgão abertos em uma extremidade e fechados em outra medem cada um 114 m de comprimento um desses tubos é alongado em 200 cm calcule a frequência do batimento que eles produzem quando tocam juntos em sua frequência fundamental seção 168 o efeito doppler 1644 No Exemplo 1618 seção 168 suponha que o carro de polícia se afaste do armazém a 20 ms Que frequência do som refletido pelo armazém é ouvida pelo motorista do carro de polícia 1645 No planeta ornitus um pássaro macho voa em direção à fêmea com velocidade de 250 ms enquanto canta com uma frequência de 1200 hz a fêmea está em repouso e ouve um som com frequência de 1240 hz qual é a velocidade do som na atmosfera do planeta ornitus 1646 um trem se desloca com velocidade de 250 ms com o ar calmo a frequência da nota emitida pelo apito da locomotiva é igual a 400 hz Qual é o comprimento de onda das ondas sonoras a na parte frontal da locomotiva b atrás da locomotiva Qual é a frequência do som que um ouvinte em repouso escuta quando está c na frente da locomotiva d atrás dela 1647 Dois trens A e B apitam simultaneamente com a mesma frequência de 392 hz o trem A está em repouso e o trem B se desloca para a direita se afastando de A com velocidade igual a 350 ms um ouvinte está entre os dois apitos e se desloca para a direita com velocidade de 150 ms Figura E1647 Não existe vento a Qual é a frequência que o ouvinte escuta do apito de A b Qual é a frequência que ele escuta de B c Qual é a frequência dos batimentos que o ouvinte escuta vA 0 vO 150 ms vB 350 ms A B Figura E1647 1648 Fonte em movimento versus ouvinte em movimento a uma fonte sonora que produz ondas de 100 khz se desloca na direção de um ouvinte estacionário em uma velocidade igual à metade da velocidade do som Que frequência o ouvinte escu tará b suponha que em vez disso a fonte esteja parada e o ouvinte esteja se movendo na direção da fonte com uma velo cidade igual à metade da velocidade do som Que frequência o ouvinte escutará Qual é a relação entre sua resposta e a do item a Explique fisicamente por que as duas respostas diferem 1649 um pato nadando agita os pés uma vez a cada 16 s produzindo ondas superficiais com esse período o pato está se movendo com velocidade constante em um lago no qual a ve locidade das ondas superficiais é 032 ms e a distância entre as cristas das ondas em frente ao pato é 012 m a Qual é a velocidade do pato b Qual é a distância entre as cristas das ondas atrás do pato Figura E1639 450 m Microfone 200 m BookSEARSVol2indb 193 021015 151 PM 194 Física II 1650 um trem se desloca com velocidade igual a 300 ms em um ar calmo a frequência da nota emitida pelo apito do trem é igual a 352 hz Qual é a frequência ouvida por um passageiro no interior de um trem que se move em sentido contrário ao do primeiro trem a 180 ms supondo que a os trens se aproxi mam b os trens se afastam 1651 o alarme de um carro está emitindo ondas sonoras de frequência igual a 520 hz você está dirigindo uma motocicleta afastandose do carro em linha reta com que velocidade você está andando se escuta uma frequência de 490 hz 1652 Enquanto você está sentado no seu carro ao lado de uma estrada no campo um amigo seu se aproxima em um carro idêntico você aciona a buzina do carro que possui uma frequên cia de 260 hz seu amigo também aciona a buzina que é idêntica à sua e você escuta uma frequência de batimento de 60 hz com que velocidade seu amigo está se aproximando de você 1653 Dois canários voam um em direção ao outro cada um deles movendose a 150 ms em relação ao solo e emitindo uma nota com frequência de 1750 hz a Que frequência cada pássaro ouve um do outro b Que comprimento de onda cada canário medirá para a nota emitida pelo outro 1654 a sirene de um carro de bombeiro dirigindose para o norte a 300 ms emite um som com frequência de 2000 hz um caminhão à frente desse carro está se deslocando para o norte a 200 ms a Qual é a frequência do som da sirene que o motorista do carro escuta refletida da traseira do caminhão b Que comprimento de onda esse motorista mediria para essas ondas sonoras refletidas 1655 um carro de polícia parado emite um som de 1200 hz de frequência que bate em um carro na rodovia e retorna com uma frequência de 1250 hz o carro de polícia está bem ao lado da rodovia de modo que o outro carro está trafegando direta mente em direção a ele ou afastandose dele a com que velo cidade o carro estava se movendo Ele estava se aproximando ou se afastando do carro de polícia b Que frequência o carro de polícia teria recebido se estivesse trafegando em direção ao outro carro a 200 ms 1656 com que velocidade em termos de porcentagem da velocidade da luz uma estrela teria de se mover para que a fre quência da luz que recebemos dela fosse 100 maior que a frequência da luz que ela emite Ela estaria se afastando ou se aproximando de nós suponha que a estrela esteja se afastando ou se aproximando em linha reta seção 169 ondas de choque 1657 um avião a jato voa passando verticalmente sobre sua cabeça a Mach 170 e permanece a uma altura constante de 1250 m a Qual é o ângulo a do cone das ondas de choque b Quanto tempo depois de o avião passar sobre a vertical acima de sua cabeça você ouvirá o estrondo sônico Despreze a variação da velocidade do som com a altura 1658 o cone das ondas de choque criado pelo ônibus espa cial em um instante durante sua reentrada na atmosfera forma um ângulo de 580 com a direção de seu movimento a velocidade do som nessa altitude é 331 ms a Qual é o número de Mach do ônibus espacial nesse instante e b com que velocidade em ms ele está se deslocando em relação à atmosfera c Quais seriam seu número de Mach e o ângulo do cone das ondas de choque se ele viajasse na mesma velocidade mas em altitudes baixas onde a velocidade do som é 344 ms ProBLEmAs 1659 uma soprano e um baixo estão cantando um dueto Enquanto a soprano canta um lá sustenido a 932 hz o baixo canta um lá sustenido três oitavas mais baixo Nessa sala de concertos a densidade do ar é 120 kgm3 e o módulo de compressão é 142 105 Pa Para que suas notas tenham o mesmo nível de intensidade sonora quais devem ser a a razão entre a amplitude de pressão do baixo e a amplitude de pressão da soprano e b a razão entre a amplitude de deslocamento do baixo e a amplitude de deslocamento da soprano c Que amplitude de deslocamento em m e nm a soprano produz ao cantar seu lá sustenido com 720 dB 1660 PC o som de um trompete se propaga uniforme mente no ar em todas as direções a 20 c a uma distância de 50 m do trompete o nível da intensidade sonora é 520 dB a frequência é 587 hz a Qual é a amplitude da pressão a essa distância b Qual é a amplitude do deslocamento c a que distância o nível da intensidade sonora é igual a 300 dB 1661 PC uma pessoa está tocando uma pequena flauta de 1075 cm de comprimento aberta em uma das extremidades e fechada na outra perto de uma corda esticada que possui uma frequência fundamental de 6000 hz se a velocidade do som for 344 ms com que harmônicos da flauta a corda entrará em ressonância Em cada caso que harmônico da corda está em ressonância 1662 PC uma barra uniforme de 165 N é sustentada hori zontalmente por dois fios idênticos A e B Figura P1662 um pequeno cubo de chumbo de 185 N é colocado a 3 4 do caminho entre A e B os fios medem cada um 750 cm de comprimento e pos suem massa de 550 g se ambos os fios são puxados simultaneamente em seu centro qual é a frequência dos batimentos que eles produzirão ao vibrar em sua frequência fundamental 1663 um tubo de um órgão possui dois harmônicos sucessi vos com frequências iguais a 1372 hz e 1764 hz a Esse tubo é aberto ou fechado Explique b Que harmônicos são esses c Qual é o comprimento do tubo 1664 a frequência da nota f4 é 349 hz a se um tubo de um órgão está aberto em uma extremidade e fechado na outra qual deve ser o comprimento no modo fundamental para pro duzir essa nota a 20 c b Qual seria a temperatura do ar para que a frequência fosse de 370 hz correspondendo a um aumento da altura de f para f de fá para fá sustenido Despreze a variação do comprimento do tubo produzida pela variação da temperatura 1665 Dois altofalantes idênticos A e B estão separados por uma distância de 200 m os altofalantes são alimentados por um mesmo amplificador e produzem ondas sonoras com frequência igual a 784 hz considere a velocidade do som no ar igual a 344 ms um pequeno microfone se afasta do ponto B ao longo de uma linha perpendicular à reta que une o ponto B com o ponto A reta BC indicada na Figura P1665 a a que distâncias do ponto B haverá interferência destrutiva b a que distâncias do ponto B haverá interferência construtiva c Quando a fre quência é suficientemente baixa não existe nenhum ponto da reta BC com interferência destrutiva Qual é a frequência mais baixa para que isso ocorra Figura P1662 A B Barra Cubo BookSEARSVol2indb 194 021015 151 PM Capítulo 16 Som e audição 195 Figura P1665 A B C x 200 m 1666 um morcego voa na direção de uma parede emitindo um som constante de frequência igual a 170 khz o morcego ouve seu próprio som e também o som refletido pela parede com que velocidade ele deve voar para escutar uma frequência de batimento igual a 800 hz 1667 a fonte sonora do sistema de sonar de um navio opera com uma frequência igual a 180 khz a velocidade do som na água supostamente uniforme a 20 c é igual a 1482 ms a Qual é o comprimento de onda das ondas emitidas pela fonte b Qual é a diferença entre a frequência das ondas irradiadas di retamente e a frequência das ondas refletidas por uma baleia que se aproxima do navio em linha reta com velocidade de 495 ms o navio está em repouso na água 1668 BIo Medicina com ultrassom uma onda sonora de 20 Mhz se propaga ao longo do ventre de uma mulher grá vida sendo refletida pela parede do coração do feto a parede do coração se move no sentido do receptor do som quando o coração bate o som refletido é a seguir misturado com o som transmitido e 72 batimentos por segundo são detectados a ve locidade do som nos tecidos do corpo é de 1500 ms calcule a velocidade da parede do coração do feto no instante em que essa medida é realizada 1669 BIo Morcegosferradura do gênero Rhinolophus emitem sons através de suas narinas e depois escutam a frequên cia do som refletido pela sua presa para determinar a velocidade dela o termo ferradura dado a esse morcego decorre de uma reentrância em forma de ferradura existente em torno de suas narinas que desempenha o papel de um espelho que focaliza o som de modo que o morcego emite um feixe muito estreito de ondas sonoras semelhante ao feixe luminoso de uma lanterna um Rhinolophus se deslocando com uma velocidade vmor emite um som com frequência fmor ele ouve o som refletido por um inseto que se aproxima dele com uma frequência mais elevada igual a fref a Mostre que a velocidade do inseto é dada por vinseto v c fref 1v vmor2 fmor 1v vmor2 fref 1v vmor2 fmor 1v vmor2d onde v é a velocidade do som b se fmor 807 khz fref 835 khz e vmor 39 ms calcule a velocidade do inseto 1670 PC uma sirene de polícia com frequência fsir está fixa em uma plataforma em vibração a plataforma e a sirene oscilam para cima e para baixo com um movimento harmônico simples de amplitude AP e frequência fP a calcule a frequência má xima e a frequência mínima do som que você ouve em um ponto diretamente acima da sirene b Em que ponto do movimento da plataforma a frequência máxima é ouvida E a frequência mínima Explique 1671 PC uma plataforma rotativa com 150 m de diâmetro gira a 75 rpm Dois altofalantes cada um emitindo som com comprimento de onda de 313 cm estão presos à borda da mesa em extremidades opostas de um diâmetro um ouvinte para à frente da plataforma a Qual é a maior frequência de batimento que o ouvinte receberá desse sistema b o ouvinte poderá dis tinguir os batimentos individuais 1672 dAdos um tanque cilíndrico longo e fechado con tém um gás diatômico que é mantido a uma temperatura uni forme que pode ser variada Quando você mede a velocidade do som v no gás em função da temperatura T do gás obtém estes resultados T C 2000 00 200 400 600 800 v ms 324 337 349 361 372 383 a Explique como você pode representar esses resultados em um gráfico de modo que ele se ajuste a uma linha reta construa esse gráfico e verifique se os pontos plotados estão próximos de uma linha reta b como o gás é diatômico g 140 use a inclinação da reta no item a para calcular M a massa molecular do gás Expresse M em gramasmol Que tipo de gás se encontra no tanque 1673 dAdos um tubo longo contém ar sob pressão de 100 atm à temperatura de 77 c uma das extremidades do tubo é aberta enquanto a outra está fechada por um pistão móvel um diapasão nas vizinhanças da extremidade aberta vibra com uma frequência igual a 500 hz ocorre ressonância quando a distância entre o pistão e a extremidade aberta do tubo é igual a 180 cm 555 cm e 930 cm a com esses dados qual é a velocidade do som no ar a 77 c b Pelo resultado do item a qual é o valor de g c Esses dados mostram que o nó de deslocamento está situado ligeiramente fora da extremidade aberta do tubo a que distância dessa extremidade ele se encontra 1674 dAdos Supernova a a Equação 1630 pode ser escrita como fR fS a1 v c b a1 v c b 12 12 onde c é a velocidade da luz no vácuo 300 108 ms a maio ria dos objetos se move muito mais lentamente que isso vc é muito pequeno de modo que os cálculos usando a Equação 1630 deverão ser feitos cuidadosamente para evitar erros de arredondamento use o teorema binomial para mostrar que se v c a Equação 1630 se reduz aproximadamente a fr fs1 vc b a nuvem de gás conhecida como Nebulosa do caranguejo pode ser observada até mesmo com um pequeno telescópio Ela é formada pelos resíduos de uma supernova uma estrela que explode violentamente a explosão foi vista na terra no dia 4 de julho de 1054 o brilho emitido pela Nebulosa tem a característica cor vermelha do gás hidrogênio aquecido Em um laboratório na terra o hidrogênio aquecido produz uma luz vermelha com frequência igual a 4568 1014 hz a luz verme lha detectada na periferia da Nebulosa do caranguejo chegou à terra com uma frequência igual a 4586 1014 hz Estime a velocidade da expansão da periferia da Nebulosa do caranguejo suponha que a velocidade do centro da nebulosa em relação à terra seja desprezível c supondo que a velocidade da expan são tenha permanecido constante desde o instante em que a ex plosão ocorreu estime o diâmetro da Nebulosa do caranguejo forneça sua resposta em metros e em anosluz d o diâmetro angular da Nebulosa do caranguejo observado na terra é igual a um arco de 5 minutos o arco de 1 minuto equivale a 1 60 do arco de um grau Estime a distância em anosluz entre a terra e a Nebulosa do caranguejo e estime o ano em que a explosão da supernova ocorreu de fato BookSEARSVol2indb 195 021015 151 PM 196 Física II ProBLEmAs dEsAFIAdorEs 1675 CALC a Figura P1675 mostra a flutuação de pres são P de uma onda sonora não senoidal em função de x para t 0 a onda se propaga no sentido x a faça o gráfico da flutuação de pressão P em função de t para x 0 Mostre pelo menos dois ciclos de oscilações b faça um gráfico do deslocamento y nessa onda sonora em fun ção de x para t 0 No ponto x 0 o deslocamento para t 0 é igual a zero Mostre pelo menos dois comprimentos de onda c faça um gráfico do deslocamento y em função de t para x 0 Mostre pelo menos dois ciclos de oscilações d calcule a velocidade e a aceleração máximas de um elemento de ar através do qual esta onda se propaga e Descreva como o cone de um altofalante deve se mover em função do tempo para produzir a onda sonora desse problema 1676 PC Ondas longitudinais em uma mola uma mola longa como uma slinky é frequentemente utilizada para de monstrar ondas longitudinais a Mostre que se uma mola que obedece à lei de hooke possui massa m comprimento L e cons tante de força k a velocidade das ondas longitudinais na mola é v L km ver seção 162 b calcule v para uma mola com m 0250 kg L 200 m e k 150 Nm Figura P1675 0 p Pa x m 0100 0200 0300 0400 400 400 Problemas com contexto BIo Imagens de ultrassom um transdutor típico de ultras som para diagnóstico médico produz um feixe de ultrassom com uma frequência de 10 Mhz o feixe parte do transdutor atravessa o tecido e é parcialmente refletido quando encontra estruturas diferentes no tecido o mesmo transdutor que pro duz o ultrassom também detecta as reflexões o transdutor emite um pulso curto de ultrassom e espera receber os ecos refletidos antes de emitir o próximo pulso Medindo o tempo entre o pulso inicial e a chegada do sinal refletido podemos usar a velocidade do ultrassom no tecido 1540 ms para de terminar a distância entre o transdutor e a estrutura que produ zir a reflexão À medida que o ultrassom passa pelo tecido o feixe é atenuado pela absorção assim estruturas mais profundas retornam ecos mais fracos uma atenuação típica no tecido é 100 dBm Mhz no osso ela é 500 dBm Mhz ao determinar a atenua ção tomamos a intensidade de referência como sendo a intensi dade produzida pelo transdutor 1677 se a estrutura mais profunda que você deseja visualizar está a 100 cm do transdutor qual é o número máximo de pulsos por segundo que podem ser emitidos a 3850 b 7700 c 15400 d 1000000 1678 Depois que um feixe passa por 10 cm de tecido qual é a intensidade desse feixe como uma fração de sua intensidade inicial no transdutor a 1 1011 b 0001 c 001 d 01 1679 como a velocidade do ultrassom no osso é cerca do dobro da velocidade no tecido mole a distância até uma estrutura que se encontra além de um osso pode ser medida incorretamente se um feixe passa por 4 cm de tecido depois 2 cm de ossos e depois outro 1 cm de tecido antes de ecoar em um cisto e retornar ao transdutor qual é a diferença entre a distância verdadeira até o cisto e a distância medida considerando que a velocidade é sempre 1540 ms Em comparação com a distância medida a estrutura está na verdade a 1 cm mais distante b 2 cm mais distante c 1 cm mais próxima d 2 cm mais próxima 1680 Em algumas aplicações de ultrassom como em seu uso em tecidos cranianos grandes reflexões dos ossos que o cercam podem produzir ondas estacionárias isso é um problema porque a grande amplitude de pressão em um ventre pode danificar os tecidos Para uma frequência de 10 Mhz qual é a distância entre os ventres no tecido a 038 mm b 075 mm c 15 mm d 30 mm 1681 Para um ultrassom craniano por que é vantajoso usar frequências na faixa de khz em vez da faixa de Mhz a os ventres das ondas estacionárias estarão mais próximos nas fre quências mais baixas que nas mais altas b não haverá ondas estacionárias nas frequências mais baixas c os ossos cranianos atenuarão mais o ultrassom nas frequências mais baixas que nas mais altas d os ossos cranianos atenuarão menos o ultrassom nas frequências mais baixas que nas mais altas respostas resposta à pergunta inicial do capítulo iv a Equação 1610 na seção 162 diz que a velocidade do som em um gás depende da temperatura e do tipo de gás atra vés da razão entre capacidades de calor e massa molar o ar no inverno nas montanhas possui uma temperatura mais baixa que o ar no verão no nível do mar mas eles têm basicamente a mesma composição Logo apenas a temperatura mais baixa explica a menor velocidade do som no inverno nas montanhas respostas às perguntas dos testes de compreensão 161 resposta v Pela Equação 165 a amplitude de deslo camento é A Pmáx Bk a amplitude da pressão Pmáx e o módulo de compressão B não se alteram mas a frequência f aumenta por um fator igual a 4 assim o número de onda k vv 2pfv também aumenta por um fator 4 como A é inversamente proporcional a k a amplitude de deslocamento se reduz a 1 4 Em outras palavras em frequências mais altas um menor desloca mento máximo é necessário para produzir a mesma flutuação máxima de pressão 162 resposta i Pela Equação 167 a velocidade das ondas longitudinais som em um fluido é dada por v ÈBr Podemos reagrupar essa expressão para obter uma expressão para o módulo de compressão B em função da densidade do fluido r e da velocidade do som v B rv2 a 20 c a velocidade do som no mercúrio é ligeiramente menor que na água 1451 ms contra 1482 ms mas a densidade do mercúrio é maior que a da água por um grande fator 136 Logo o módulo de compres são do mercúrio é maior que o da água por um fator de 136 145114822 130 163 resposta A e Pmáx aumentam por um fator igual a 2 B e v não se alteram b aumenta em 30 dB as equa ções 169 e 1610 mostram que o módulo de compressão B e BookSEARSVol2indb 196 021015 151 PM Capítulo 16 Som e audição 197 a velocidade do som v permanecem constantes porque as pro priedades físicas do ar não se alteraram Pelas equações 1612 e 1614 a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude do deslocamento ou o quadrado da amplitude da pressão assim dobrar a intensidade significa que tanto A quanto Pmáx aumentam por um fator igual a 2 o Exemplo 169 mostra que multi plicar a intensidade por um fator de 2I2I1 2 corresponde a somar 10 dB log I2I1 10 db log 2 30 dB ao nível de intensidade sonora 164 resposta ii o hélio é menos denso e possui massa molar menor que o ar portanto o som se desloca mais rápido no hélio que no ar as frequências de modo normal em um tubo são proporcionais à velocidade do som v logo a frequência e portanto a altura elevamse quando o ar no tubo é substituído pelo hélio 165 resposta i e iv haverá ressonância se 660 hz for uma das frequências de modo normal do tubo um tubo fe chado de órgão possui frequências de modo normal que são múl tiplos ímpares de sua frequência fundamental ver Equação 1622 e figura 1618 Portanto o tubo i que tem frequência funda mental de 220 hz também tem uma frequência de modo normal de 3220 hz 660 hz o tubo ii possui o dobro do compri mento do tubo i pela Equação 1620 a frequência fundamental de um tubo fechado é inversamente proporcional ao comprimento então o tubo ii tem uma frequência fundamental de 1 2 220 hz 110 hz suas outras frequências de modo normal são 330 hz 550 hz 770 hz portanto um diapasão de 660 hz não provo cará ressonância o tubo iii é aberto e do mesmo comprimento que o tubo i logo sua frequência fundamental é o dobro da frequência fundamental do tubo i compare as equações 1616 e 1620 ou 2220 hz 440 hz suas outras frequências de modo normal são múltiplos inteiros da frequência fundamental ver Equação 1619 ou 880 hz 1320 hz nenhuma delas igual à frequência de 660 hz do diapasão o tubo iv também é aberto mas possui o dobro do comprimento do tubo iii ver Equação 1618 portanto suas frequências de modo normal são a metade das frequências do tubo iii 220 hz 440 hz 660 hz de modo que o terceiro harmônico ressoará com o diapasão 166 resposta iii interferências construtivas e destrutivas entre duas ondas ocorrem apenas se ambas possuem a mesma frequência Neste caso as frequências são diferentes então não há pontos em que as duas ondas sempre reforcem uma à outra interferência construtiva ou sempre anulem uma à outra inter ferência destrutiva 167 resposta vi a frequência de batimento é 3 hz por tanto a diferença entre as frequências dos dois diapasões também é 3 hz assim o segundo diapasão vibra em uma frequência de 443 hz ou de 437 hz você pode verificar as duas possibilida des comparando as alturas dos dois diapasões quando eles soam juntos a frequência é 437 hz se o segundo diapasão possuir uma altura menor e de 443 hz se possuir uma altura maior 168 resposta não o ar o meio em que as ondas sonoras se propagam está se movendo da fonte para o ouvinte assim relativamente ao ar tanto a fonte quanto o ouvinte estão se mo vendo no sentido do ouvinte para a fonte Logo ambas as ve locidades são positivas e vs vo 10 ms o fato de essas duas velocidades serem iguais significa que o numerador e o denominador na Equação 1629 são iguais e assim fo fs e não há efeito Doppler 169 resposta iii a figura 1638 mostra que não há ondas sonoras dentro do cone da onda de choque atrás do avião as cristas de onda estão espalhadas assim como atrás da fonte em movimento na figura 1628 Logo as ondas que chegam até você possuem um comprimento de onda maior e uma frequên cia menor Problema em destaque a 180 p rad b somente de A I 398 106 wm2 b 660 dB somente de B I 531 107 wm2 b 572 dB c I 160 106 wm2 b 621 dB BookSEARSVol2indb 197 021015 151 PM 17 Em fundições o ferro fun dido é aquecido a 1500 Celsius para remover impure zas É mais preciso dizer que o ferro fundido contém uma grande quantidade de i tem peratura ii calor iii energia iv dois desses v todos esses TEmPErATurA E CAlor oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 171 O significado de equilíbrio térmico e o que os termômetros medem realmente 172 Como funcionam diversos tipos de termômetros 173 A física por trás da escala de temperatura absoluta ou Kelvin 174 Como as dimensões de um objeto variam em resultado de uma variação de temperatura 175 O significado do calor e em que ele difere da temperatura 176 Como fazer cálculos envolvendo transferências de calor variações de temperatura e transições de fase 177 Como o calor se transfere por condução convecção e radiação Revendo conceitos de 114 Tensão e deformação 122 Medição de pressão em um fluido 144 Forças e oscilações interatômicas T anto em um dia escaldante de verão quanto em uma noite fria de inverno seu corpo precisa manter uma temperatura aproximadamente constante Ele pos sui mecanismos de controle de temperatura eficientes mas algumas vezes precisa de ajuda Em um dia quente você usa menos roupa para melhorar a troca de calor entre seu corpo e o ar ambiente e para melhorar o resfriamento produzido pela evaporação do suor Em um dia frio você pode se sentar próximo a uma lareira para absorver a energia produzida por ela os conceitos deste capítulo auxiliarão você a entender os processos físicos básicos para preservar o calor ou o frio os termos temperatura e calor costumam ser usados como sinônimos na lin guagem cotidiana Em física contudo esses dois termos têm significados bastante diferentes Neste capítulo definiremos temperatura em termos de sua medição e veremos como sua variação afeta as dimensões dos objetos veremos que calor se refere à transferência de energia provocada apenas pelas diferenças de temperatura e aprenderemos a calcular e controlar essas transferências de energia também daremos ênfase aos conceitos de temperatura e de calor em suas rela ções com objetos macroscópicos como cilindros de gás cubos de gelo e o corpo humano No capítulo 18 estudaremos esses mesmos conceitos sob o ponto de vista microscópico referente ao comportamento dos átomos e das moléculas individu ais Esses dois capítulos fornecerão os conceitos básicos para a termodinâmica o estudo das transformações de energia envolvendo calor trabalho mecânico e outros tipos de energia e de como essas transformações se relacionam com as propriedades da matéria a termodinâmica constitui uma parte indispensável dos fundamentos da física da química e da biologia e encontra aplicação em áreas como motores de automóveis refrigeradores processos bioquímicos e a estrutura das estrelas vamos analisar os conceitos básicos da termodinâmica nos capítulos 19 e 20 BookSEARSVol2indb 198 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 199 171 TEmPErATUrA E EQUILÍBrIo TérmICo o conceito de temperatura tem origem nas ideias qualitativas baseadas em nosso sentido de tato um corpo que parece estar quente normalmente está em uma temperatura mais elevada que um corpo análogo que parece estar frio isso é um pouco vago e os sentidos podem ser enganosos contudo muitas propriedades da matéria que podemos medir inclusive o comprimento de uma barra metálica a pressão de vapor em uma caldeira a intensidade da corrente elétrica transpor tada por um fio e a cor de um objeto incandescente muito quente dependem da temperatura a temperatura também está relacionada à energia cinética das moléculas de um material Em geral essa relação é bastante complexa e por isso não é uma boa ideia começar com uma definição de temperatura No capítulo 18 vamos estudar a relação entre a temperatura e a energia do movimento das moléculas de um gás ideal Entretanto podemos definir temperatura e calor independentemente de qual quer imagem molecular detalhada Nesta seção vamos desenvolver uma definição macroscópica de temperatura antes de usar a temperatura como uma medida para saber se um corpo está quente ou frio precisamos construir uma escala de temperatura Para isso podemos usar qualquer propriedade do sistema que dependa do fato de o corpo estar quente ou frio a Figura 171a mostra um conhecido sistema para medir temperatura Quando o sistema se torna mais quente o líquido colorido geralmente etanol ou mercúrio se expande e sobe no tubo e o valor de L cresce outro sistema simples é um gás no interior de um recipiente mantido a volume constante figura 171b a pressão p medida com o manômetro aumenta ou diminui à medida que o gás se aquece ou esfria um terceiro exemplo é a resistência elétrica R de um fio condutor a qual varia quando o fio se aquece ou esfria cada uma dessas propriedades nos fornece um número L p ou R que varia quando o corpo se aquece ou esfria de modo que a respectiva propriedade pode ser usada para fazer um termômetro Para medir a temperatura de um corpo você coloca o termômetro em contato com o corpo se você deseja saber a temperatura de uma xícara com café quente coloca o bulbo do termômetro no café quando ele interage com o líquido o ter mômetro se aquece e o café esfria ligeiramente Quando o estado estacionário é atingido você pode ler a temperatura Dizemos que o sistema atingiu o equilíbrio um estado em que a interação entre o termômetro e o café faz com que não exista mais nenhuma variação de temperatura no sistema chamamos esse estado de equi líbrio térmico Quando dois sistemas estão separados por um material isolante como madeira plástico isopor ou fibra de vidro um sistema influencia o outro muito lentamente as caixas térmicas usadas na praia são feitas com materiais isolantes para impedir que o gelo e os alimentos gelados se aqueçam e atinjam o equilíbrio térmico com o ar quente do verão fora da caixa um isolante ideal é um material que impede qual quer tipo de interação entre os dois sistemas Ele impede que o equilíbrio térmico seja atingido quando os dois sistemas não estão em equilíbrio no início isolantes reais como os usados nas caixas térmicas não são ideais de modo que o conteúdo da caixa térmica acabará esquentando Porém apesar disso um isolante ideal é uma idealização prática assim como uma corda sem massa ou uma inclinação sem atrito A lei zero da termodinâmica Podemos descobrir uma propriedade importante do equilíbrio térmico consi derando três sistemas A B e C que inicialmente não estão em equilíbrio térmico Figura 172 colocamos os sistemas no interior de uma caixa isolante ideal para que não possam interagir com nada a não ser um com o outro separamos A e B por meio de uma parede isolante ideal figura 172a porém deixamos C intera gir com A e com B Mostramos a interação na figura por meio de uma placa clara Figura 171 Dois dispositivos para medir temperatura Parede espessa de vidro Capilar com volume pequeno Líquido mercúrio ou etanol Parede fna de vidro Nível zero a Variações na temperatura provocam variações no volume do líquido L b Variações na temperatura provocam variações na pressão do gás p Recipiente contendo um gás a volume constante BookSEARSVol2indb 199 021015 151 PM 200 Física II representando um condutor térmico um material que permite a interação térmica através dele Esperamos até que o equilíbrio térmico seja atingido então A e B estão em equilíbrio térmico com C Porém será que o sistema A está em equilíbrio térmico com o sistema B Para responder a essa pergunta separamos o sistema C de A e de B por meio de uma parede isolante ideal figura 172b e a seguir trocamos a parede isolante que existia entre eles por uma parede condutora que permite a interação entre A e B o que ocorrerá a experiência mostra que não ocorrerá nada não haverá nenhuma alteração adicional em A ou B Esse resultado é chamado de lei zero da termodinâmica Quando C está inicialmente em equilíbrio térmico com A e com B então A e B também estão em equilíbrio térmico entre si a importância dessa lei só foi reconhecida depois que a primeira a segunda e a terceira leis da termodinâmica foram enunciadas como essa lei é o fundamento das demais o nome lei zero parece apropriado suponha agora que o sistema C seja um termômetro como o de bulbo com líquido da figura 171a Na figura 172a o termômetro C está em contato com A e com B No equilíbrio térmico quando a leitura do termômetro atingir um valor estável ele estará medindo a temperatura tanto de A quanto de B logo A e B possuem a mesma temperatura a experiência mostra que o equilíbrio térmico não é alterado quando se introduz ou se remove um isolante logo a leitura do termôme tro C não se alteraria se ele estivesse em contato separadamente com A ou com B concluímos assim que Dois sistemas estão em equilíbrio térmico se e somente se eles possuírem a mesma temperatura é isso que torna o termômetro útil na realidade um termômetro mede sua própria temperatura mas quando está em equilíbrio térmico com outro corpo as temperaturas devem ser iguais Quando as temperaturas de dois sistemas são diferentes eles não podem estar em equilíbrio térmico TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 171 você introduz um termômetro em uma panela de água quente e registra a leitura Que temperatura você registrou i a tempe ratura da água ii a temperatura do termômetro iii uma média aritmética das tempe raturas da água e do termômetro iv uma média ponderada das temperaturas da água e do termômetro com o peso maior sendo sobre a temperatura da água v uma média ponderada das temperaturas da água e do termômetro com o peso maior sendo sobre a temperatura do termômetro Figura 172 a lei zero da termodinâmica C Sistema A Sistema B Sistema Isolante Condutor Condutor a Se os sistemas A e B estão em equilíbrio térmico com o sistema C então b os sistemas A e B estão em equilíbrio térmico entre si Sistema A Sistema B Sistema C Condutor Isolante BookSEARSVol2indb 200 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 201 172 TErmômETros E EsCALAs dE TEmPErATUrA Para que o dispositivo com líquido no bulbo mostrado na figura 171a se trans forme em um termômetro útil é necessário marcar uma escala numérica sobre o vidro suponha que o zero da escala corresponda ao ponto de congelamento da água pura e o número 100 corresponda ao ponto de ebulição e a distância en tre essas duas marcações seja subdividida em 100 intervalos iguais chamados de graus isso corresponde à escala Celsius de temperatura também chamada de escala centígrada a temperatura celsius é um número negativo quando se refere a um estado cuja temperatura é menor que a do ponto de congelamento da água a escala celsius é usada na vida cotidiana na ciência e na indústria em quase todos os países do mundo outro tipo comum de termômetro utiliza uma lâmina bimetálica obtida com a junção de dois metais diferentes Figura 173a Quando a temperatura desse sistema aumenta um dos metais se dilata mais que o outro e a lâmina composta se encurva figura 173b Essa lâmina costuma ser enrolada em espiral com a extremidade externa fixa na caixa do termômetro e a extremidade interna ligada a um ponteiro figura 173c o ponteiro gira em reação à variação de temperatura Em um termômetro de resistência a variação de temperatura pode ser medida pela variação do valor da resistência elétrica de um fio fino de um cilindro de carbono ou de um cristal de germânio os termômetros de resistência em geral são mais precisos que os outros tipos de termômetro alguns termômetros funcionam detectando a quantidade de radiações infra vermelhas emitidas por um objeto veremos na seção 177 que todos os objetos emitem radiação eletromagnética inclusive infravermelha como consequência de sua temperatura um exemplo moderno é o termômetro de artéria temporal Fi gura 174 o enfermeiro passa um desses termômetros sobre a testa do paciente nas proximidades da artéria temporal e um sensor de radiações infravermelhas no termômetro mede a radiação que vem da pele Esse aparelho fornece valores mais precisos da temperatura corporal que os termômetros orais ou timpânicos Na escala Fahrenheit de temperatura ainda usada em países como os Esta dos unidos a temperatura de congelamento da água é 32 f trinta e dois graus fahrenheit e a temperatura de ebulição é 212 f ambas em condições normais de pressão atmosférica há 180 graus entre a temperatura de congelamento e a de ebulição em vez dos 100 graus da escala celsius portanto um grau fahrenheit corresponde a apenas 100 180 ou 5 9 de um grau na escala celsius Para converter graus celsius em graus fahrenheit note que Tc a temperatura na escala celsius é o número de graus celsius acima da temperatura de conge lamento o número de graus fahrenheit acima da temperatura de congelamento é 9 5desse valor Entretanto o congelamento na escala fahrenheit ocorre aos 32 f assim para obter Tf a verdadeira temperatura na escala fahrenheit multiplique o valor em celsius por 9 5 e acrescente 32 Em símbolos 171 Temperatura em Fahrenheit Temperatura em Celsius TF TC 32 9 5 Para converter temperaturas da escala fahrenheit para a escala celsius basta usar a fórmula 172 Temperatura em Celsius Temperatura em Fahrenheit TC 1TF 322 5 9 Em palavras subtraia 32 para obter o número de graus em fahrenheit acima da temperatura de congelamento e depois multiplique por 5 9 para obter o número de graus celsius acima do congelamento ou seja a temperatura em celsius Figura 173 Lâmina bimetálica funcionando como termômetro a Uma lâmina bimetálica b A lâmina se curva quando sua temperatura é elevada c Uma lâmina bimetálica usada em um termômetro Quando aquecido o metal 2 se expande mais que o metal 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 C Metal 1 Metal 2 Figura 174 um termômetro de artéria temporal mede a radiação infravermelha da pele que recobre uma das mais importantes artérias da cabeça Embora o revestimento do termômetro toque a pele o detector de infravermelho dentro do termômetro não a toca BookSEARSVol2indb 201 021015 151 PM 202 Física II recomendamos que você não memorize as equações 171 e 172 Em vez disso tente entender o raciocínio usado e deduza novamente essas relações quando você precisar delas conferindo seu raciocínio com a relação 100 c 212 f alguns livros norteamericanos usam o símbolo c para a temperatura e o sím bolo c para um intervalo de temperatura contudo no Brasil o último símbolo não é adotado e nesta obra não faremos a distinção entre esses dois símbolos ou seja usaremos o símbolo c tanto para uma temperatura quanto para um intervalo de temperatura TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 172 Quais dos seguintes tipos de termôme tro precisam estar em equilíbrio térmico com o objeto a ser medido a fim de fornecerem leituras precisas i uma lâmina bimetálica ii um termômetro de resistência iii um termômetro de artéria temporal iv as alternativas i e ii estão corretas v as alternati vas i ii e iii estão corretas 173 TErmômETro dE gás E EsCALA KELVIN Quando calibramos dois termômetros por exemplo um termômetro com lí quido no interior de um bulbo e um termômetro de resistência fazendo as duas leituras coincidirem em 0 c e em 100 c as leituras podem não coincidir preci samente nas temperaturas intermediárias Qualquer escala de temperatura definida desse modo sempre depende em parte das propriedades específicas dos materiais usados idealmente seria preciso definir uma escala de temperaturas que não de pendesse das propriedades de um material específico Para isso são necessários alguns princípios da termodinâmica voltaremos a essa questão fundamental no capítulo 20 aqui discutiremos o termômetro de gás a volume constante um tipo de termômetro que apresenta comportamento próximo do ideal o termômetro de gás se baseia no fato de que a pressão de um gás mantido a vo lume constante aumenta com a elevação da temperatura um gás é colocado no in terior de um recipiente mantido a volume constante Figura 175a e sua pressão é medida por meio de um dos dispositivos descritos na seção 142 Para calibrar esse termômetro medimos as pressões em duas temperaturas diferentes digamos 0 c e 100 c assinalamos esses pontos sobre um gráfico e desenhamos uma linha reta ligandoos Podemos então usar esse gráfico para ler a temperatura correspondente BIo Aplicação Temperaturas corporais em mamíferos A maioria dos mamíferos mantém temperaturas corporais na faixa de 36 C a 40 C Uma alta taxa metabólica aquece o animal no interior e o isolamento como pele e gordura corporal atrasa a perda de calor dAdos mosTrAm Escalas de temperatura Quando os alunos recebiam um problema sobre conversão entre escalas de temperatura celsius fahrenheit e Kelvin mais de 46 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que as equações 171 e 172 se aplicam a temperaturas e não a diferenças de temperatura Para converter uma diferença de temperatura em f para c multiplique por 5 9 para converter uma diferença de temperatura em c para f multiplique por 9 5 Esquecer que as diferenças de temperatura são as mesmas nas escalas celsius e Kelvin aumentar a temperatura em 5 c é o mesmo que aumentála em 5 K Figura 175 a um termômetro de gás a volume constante usado para medir temperatura b Quanto maior a quantidade de gás no termômetro mais alto é o gráfico da pressão P em função da temperatura T Todos os gráfcos extrapolados atingem a pressão zero à mesma temperatura 27315 C As linhas tracejadas mostram a extrapolação do gráfco para a pressão igual a zero Gráfcos da pressão em função da temperatura para termômetros de gás contendo diferentes tipos e quantidades gás 200 500 400 300 200 100 0 100 0 100 200 27315 P T C T K b Gráfcos de pressão versus temperatura a volume constante para três tipos e quantidades diferentes de gás a Um termômetro de gás a volume constante BookSEARSVol2indb 202 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 203 a qualquer outra pressão a figura 175b mostra os resultados de três experiências desse tipo cada uma usando um tipo e uma quantidade diferente de gás Extrapolando esse gráfico vemos que deve existir uma temperatura hipotética igual a 27315 c em que a pressão absoluta do gás deveria ser igual a zero verificase que essa temperatura é sempre a mesma para qualquer tipo de gás pelo menos no limite de densidades muito pequenas Na verdade é impossível observar esse ponto de pressão igual a zero os gases se liquefazem e depois se solidificam à medida que a temperatura atinge valores muito pequenos e a propor cionalidade entre pressão e temperatura deixa de ser válida usamos essa temperatura extrapolada para uma pressão nula como a base para definir uma escala cujo zero corresponde a essa temperatura Essa escala deno minase escala Kelvin de temperatura assim chamada em homenagem ao físico inglês Lord Kelvin 18241907 as unidades dessa escala são as mesmas que as da escala celsius porém o zero é deslocado de tal modo que 0 K 27315 c e 27315 K 0 c ou seja 173 Temperatura Kelvin Temperatura Celsius TK TC 27315 Para uma temperatura ambiente de 20 c obtemos 20 27315 ou cerca de 293 K ATENÇÃo Nunca diga graus kelvin Na nomenclatura do si não se usa o termo grau na escala Kelvin a temperatura acima é lida 293 kelvins e não graus kelvin Figura 176 Devemos usar a inicial maiúscula para Kelvin quando nos referimos à escala de temperatura contudo a unidade de temperatura é o kelvin com inicial minúscula no entanto a abreviação K deve ser escrita com letra maiúscula Figura 176 uso correto e incorreto da escala Kelvin ERRADO CERTO Temperaturas Kelvin são medidas em kelvins não em graus kelvin Gelo e água 000 C T 27315 K T 27315 K você coloca um pedaço de gelo na boca o gelo à temperatura T1 3200 f acaba sendo todo convertido em água à tempe ratura do corpo T2 986 f Expresse essas temperaturas em graus celsius e kelvins e calcule T T2 T1 nas duas escalas soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR as variáveis procuradas são as tem peraturas T1 e T2 expressas em graus celsius e em kelvins assim como a diferença entre essas duas temperaturas convertemos as temperaturas de fahrenheit em celsius com a Equação 172 e de celsius em Kelvin usando a Equação 173 EXECUTAR pela Equação 172 T1 000 c e T2 3700 c Logo T T2 T1 3700 c Para obter a temperatura na escala Kelvin basta somar 27315 K ao valor de cada temperatura em graus celsius T1 27315 K e T2 31015 K a diferença de temperatura é dada por T T2 T1 3700 K AVALIAR as escalas Kelvin e celsius têm o zero em pontos dife rentes porém o intervalo de um grau é o mesmo nas duas escalas Portanto qualquer diferença entre as temperaturas é a mesma nas duas escalas Porém T não é o mesmo na escala fahrenheit aqui por exemplo T 6660 f ExEmPlo 171 TEMPERATURA DO CORPO HUMANO A escala Kelvin e a temperatura absoluta a escala celsius tem dois pontos fixos o ponto de congelamento normal da água e o ponto de ebulição Podemos no entanto definir a escala Kelvin usando um termômetro de gás com apenas um ponto de referência para a temperatura a pressão P é diretamente proporcional à temperatura na escala Kelvin conforme mostra a figura 175b assim podemos definir a razão entre duas temperaturas T1 e T2 na escala Kelvin como a razão entre as pressões P1 e P2 medidas pelo termômetro de gás 174 é igual à razão das pressões correspondentes no termômetro de gás Defnição da escala Kelvin a razão de duas temperaturas em kelvins T1 T2 P1 P2 BookSEARSVol2indb 203 021015 151 PM 204 Física II Para completar a definição de T basta especificar a temperatura Kelvin de um único estado específico Por razões de precisão e facilidade de reprodução das condições o ponto escolhido é o ponto triplo da água o único ponto em que a água sólida gelo a água líquida e o vapor dágua podem coexistir em equilíbrio isso ocorre a uma temperatura de 001 c e uma pressão de vapor igual a 610 Pa cerca de 0006 atm Essa pressão é da água e não do gás do termômetro a tempera tura do ponto triplo da água é definida pelo valor Ttriplo 27316 K correspon dente a 001 c Pela Equação 174 se Ptriplo for a pressão em um termômetro de gás para uma temperatura Ttriplo e P for a pressão para uma outra temperatura T então T é dada na escala Kelvin por T Ttriplo P Ptriplo 1 27316 K2 P Ptriplo 175 os termômetros de gás não são práticos para o uso cotidiano Eles ocupam volumes muito grandes e levam muito tempo para atingir o equilíbrio térmico Eles são usados principalmente para estabelecer padrões com elevada precisão e calibrar outros termômetros as relações entre as três escalas de temperatura que discutimos são apresenta das graficamente na Figura 177 a escala Kelvin denominase escala absoluta de temperatura e seu ponto zero T 0 K 27315 c a temperatura que na Equação 175 corresponde a P 0 denominase zero absoluto No zero abso luto um sistema molecular como uma porção de um gás de um líquido ou de um sólido possui um valor mínimo para a energia total energia cinética mais energia potencial contudo por causa de efeitos quânticos não é correto dizer que todo movimento molecular cessa no zero absoluto No capítulo 20 definiremos de modo mais preciso o que significa o zero absoluto por meio dos princípios termo dinâmicos que serão desenvolvidos nos capítulos seguintes TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 173 ordene as seguintes temperaturas do maior para o menor valor i 000 c ii 000 f iii 26000 K iv 7700 K v 18000 c Figura 177 relações entre as escalas Kelvin K celsius c e fahrenheit f as frações dos graus das temperaturas foram aproximadas para os graus inteiros mais próximos Ebulição da água Solidifcação da água Solidifcação do CO2 Liquefação do oxigênio Zero absoluto 373 273 195 90 0 100 0 78 183 273 212 32 109 298 460 K C F 180 F 100 C 100 K 174 EXPANsÃo TérmICA a maioria dos materiais sofre expansão ou dilatação térmica quando suas tem peraturas aumentam temperaturas em elevação fazem o líquido se expandir em um termômetro formado por um líquido dentro de um tubo figura 171a e curvam lâminas bimetálicas figura 173b uma garrafa cheia de água e tampada muito firmemente pode quebrar quando aquecida no entanto você pode afrouxar a tampa metálica de um recipiente jogando água quente sobre ela todas essas situações exemplificam a dilatação térmica dilatação linear suponha que uma barra possua comprimento L0 em uma dada temperatura T0 Quando a temperatura varia por T o comprimento varia por L a experiência BookSEARSVol2indb 204 021015 151 PM mostra que quando ΔT não é muito grande digamos menor que cerca de 100 C ΔL é diretamente proporcional a ΔT Figura 178a Quando duas barras feitas com o mesmo material sofrem a mesma variação de temperatura mas uma possui o dobro do comprimento da outra então a variação do comprimento também é duas vezes maior Portanto ΔL também deve ser proporcional a L0 Figura 178b Podemos expressar essas relações em uma equação Dilatação térmica linear ΔL α L0 ΔT variação no comprimento Comprimento original Variação de temperatura Coeficiente de dilatação linear 176 A constante α que descreve as propriedades de expansão térmica de um dado material denominase coeficiente de dilatação linear As unidades de α são K1 ou C1 Lembrese de que o intervalo de um grau é o mesmo na escala Kelvin e na escala Celsius Se o comprimento de um corpo a uma temperatura T0 é L0 então seu comprimento L a uma temperatura T T0 ΔT é L L0 ΔL L0 αL0 ΔT L01 αΔT 177 Em muitos materiais as dimensões lineares sofrem variações de acordo com a Equação 176 ou com a 177 Logo L pode ser a espessura de uma barra o comprimento do lado de uma lâmina quadrada ou o diâmetro de um buraco Alguns materiais como madeira ou cristal dilatamse de modo diferente em diferentes direções Não vamos levar em conta esse efeito Podemos entender a dilatação térmica qualitativamente em termos das moléculas do material Imagine as forças interatômicas de um sólido sendo molas como na Figura 179a Já exploramos a analogia entre uma força interatômica e a de uma mola na Seção 134 Cada átomo vibra em torno de uma posição de equilíbrio Quando a temperatura aumenta a energia e a amplitude das vibrações também aumentam As forças das molas interatômicas não são simétricas em relação à posição de equilíbrio em geral elas se comportam como molas que se dilatam com mais facilidade do que se comprimem Consequentemente quando a amplitude das vibrações aumenta a distância média entre os átomos também aumenta Figura 179b À medida que os átomos se afastam todas as dimensões aumentam Figura 179 a Podemos modelar os átomos em um sólido imaginandoos interligados por molas que se dilatam com mais facilidade do que se comprimem b Um gráfico da energia potencial da mola Ux pela distância x entre átomos vizinhos não é simétrico Compare com a Figura 1420b À medida que a energia aumenta e os átomos oscilam com maior amplitude a distância média aumenta a Um modelo das forças entre átomos vizinhos em um sólido Distância média entre os átomos b Gráfico da energia potencial da mola Ux x distância entre os átomos distância média entre os átomos Para cada energia E a distância entre os átomos varia entre os dois valores em que E U ver Figura 1315a A distância média entre os átomos está na metade do percurso entre dois limites À medida que a energia aumenta de E1 a E2 e depois a E3 a distância média aumenta Figura 178 Como o comprimento de uma barra se comporta com uma variação na temperatura As variações de comprimento são exageradas para maior visibilidade a Para variações moderadas na temperatura ΔL é diretamente proporcional a ΔT b ΔL também é diretamente proporcional a L0 T0 ΔT L0 ΔL T0 T0 2ΔT 2ΔL T0 ΔT L0 ΔL T0 T0 ΔT 2L0 2ΔL T0 ΔT Figura 1710 Quando um objeto passa por dilatação térmica quaisquer buracos existentes no objeto também se dilatam A dilatação foi exagerada na gravura ATENÇÃO Aquecendo um objeto com um buraco Quando um objeto sólido contém um buraco em seu interior o que ocorre com o tamanho do buraco quando a temperatura do objeto aumenta Um erro muito comum é pensar que quando o objeto se expande o buraco se contrai porque o objeto se expande para dentro do buraco Na verdade quando o objeto se dilata o mesmo ocorre com o buraco Figura 1710 todas as dimensões lineares do objeto se dilatam do mesmo modo quando a temperatura varia Pense nos átomos da Figura 179a como se fossem o contorno de um buraco cúbico Quando o objeto se expande os átomos se separam e o buraco aumenta de tamanho A única situação em que um buraco será preenchido em decorrência da dilatação térmica é quando dois objetos distintos se dilatam e fecham a brecha existente entre eles Figura 1711 Uma chapa se dilata quando aquecida então um buraco recortado na chapa também deve se dilatar Figura 1711 Este trilho de linha férrea possui uma lacuna entre os segmentos para permitir a dilatação térmica Os sons de estalos que são familiares aos passageiros de trens vêm das rodas passando sobre essas lacunas Em dias quentes os segmentos se expandem e preenchem a lacuna Se houvesse menos lacunas o trilho poderia se deformar sob condições muito quentes Lacuna A proporcionalidade direta expressa na Equação 176 não é exata ela é aproximadamente correta apenas quando ocorrem variações de temperatura muito pequenas Em um dado material α varia ligeiramente com a temperatura inicial T0 e com a amplitude do intervalo de temperatura Porém vamos desprezar esse efeito aqui Valores médios de α para diversos materiais são listados na Tabela 171 Dentro da margem de precisão desses valores não precisamos nos preocupar se T0 é 0 C ou 20 C ou alguma outra temperatura Note que os valores típicos de α são muito pequenos mesmo considerando uma variação de temperatura de 100 C a variação relativa do comprimento ΔLL0 é da ordem de apenas 11000 para os metais listados na tabela TABELA 171 Coeficientes de dilatação linear Material α K1 ou C1 Alumínio 24 105 Latão 20 105 Cobre 17 105 Vidro 04 09 105 Invar liga de ferroníquel 009 105 Quartzo fundido 004 105 Aço 12 105 Dilatação volumétrica O aumento da temperatura geralmente produz aumento de volume tanto em líquidos quanto em sólidos Analogamente ao caso da dilatação linear a experiência mostra que quando a variação de temperatura ΔT for menor do que cerca de 100 C o aumento de volume ΔV é aproximadamente proporcional à variação de temperatura ΔT e ao volume inicial V0 Dilatação térmica volumétrica ΔV β V0 ΔT variação no volume Volume original Variação de temperatura Coeficiente de expansão volumétrica 178 A constante β caracteriza as propriedades da dilatação volumétrica de um dado material ela é chamada coeficiente de dilatação volumétrica As unidades de β são K1 ou C1 Analogamente ao caso da dilatação linear β varia ligeiramente com a temperatura e a Equação 178 é uma relação aproximada que só vale para pequenas variações de temperatura Em muitas substâncias diminui em temperaturas baixas Diversos valores de β nas vizinhanças da temperatura ambiente são listados na Tabela 172 Note que os valores para líquidos são geralmente maiores que os valores para sólidos TABELA 172 Coeficientes de dilatação volumétrica Sólidos β K¹ ou C¹ Líquidos β K¹ ou C¹ Alumínio 72 10⁵ Etanol 75 10⁵ Latão 60 10⁵ Dissulfeto de carbono 115 10⁵ Cobre 51 10⁵ Glicerina 49 10⁵ Vidro 1227 10⁵ Mercúrio 18 10⁵ Invar liga de ferroníquel 027 10⁵ Quartzo fundido 012 10⁵ Aço 36 10⁵ Em materiais sólidos existe uma relação simples entre o coeficiente de dilatação volumétrica β e o coeficiente de dilatação linear α Para deduzir essa relação consideremos um cubo de um material com lado L e volume V L³ Na temperatura inicial os valores são L₀ e V₀ Quando a temperatura aumenta de dT a aresta aumenta de dL e o volume aumenta de uma quantidade dV dada por dV dVdL dL 3L² dL Agora substituímos L e V pelos valores iniciais L₀ e V₀ Conforme a Equação 176 dL é dado por dL αL₀ dT Como V₀ L₀³ podemos expressar dV do seguinte modo dV 3L₀² αL₀ dT 3αV₀ dT Esse resultado está de acordo com a forma infinitesimal da Equação 178 dV βV₀ dT somente quando β 3α 179 Confira essa relação para alguns materiais listados nas tabelas 171 e 172 ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 171 DILATAÇÃO TÉRMICA IDENTIFICAR os conceitos relevantes verifique se o problema envolve variações em comprimento dilatação térmica linear ou em volume dilatação térmica volumétrica PREPARAR o problema por meio dos seguintes passos 1 Relacione as grandezas conhecidas e desconhecidas identificando as variáveisalvo 2 Escolha a Equação 176 para a dilatação linear e a Equação 178 para a dilatação volumétrica EXECUTAR a solução da seguinte forma 1 Resolva as equações para obter as variáveisalvo Se uma temperatura inicial T₀ é fornecida e você deve calcular a temperatura final T correspondente a uma dada variação de comprimento ou de volume calcule ΔT primeiro e a temperatura final será T T₀ ΔT Lembrese de que as dimensões de um buraco em um material se expandem com o aumento da temperatura do mesmo modo que qualquer outra dimensão linear e o volume de um buraco como o volume de um recipiente se dilata do mesmo modo que a dilatação da forma sólida correspondente 2 Mantenha a coerência das unidades Neste caso em particular L₀ e ΔL ou V₀ e ΔV devem possuir as mesmas unidades Se você usar um valor de α ou de β em K¹ ou C¹ então ΔT deve ser dado em kelvins ou em graus Celsius pelo Exemplo 171 as duas escalas são equivalentes para diferenças de temperatura AVALIAR sua resposta verifique se os resultados fazem sentido EXEMPLO 172 VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO CAUSADA POR UMA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA Uma agrimensora usa uma trena de aço de 50000 m de comprimento a uma temperatura de 20 C As marcações na trena são calibradas para essa temperatura a Qual é o comprimento da trena quando a temperatura é 35 C b Quando a temperatura é igual a 35 C ela usa a trena para medir uma distância O valor lido na trena é igual a 35794 m Qual é a distância real SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este é um problema de dilatação linear de uma trena de medição O problema nos fornece o comprimento inicial da trena L₀ 50000 m em T₀ 20 C No item a usamos a Equação 176 para encontrar a variação ΔL no comprimento da trena t 35 C e a Equação 177 para encontrar L O valor de α para o aço pode ser encontrado na Tabela 171 Como a trena se dilata a 35 C a distância entre duas marcas de metro sucessivas é maior que 1 m Logo a distância real no item b é maior que a distância lida na trena por um fator igual à razão entre o comprimento da trena L a 35 C e seu comprimento L₀ a 20 C EXECUTAR a a variação de temperatura é ΔT T T₀ 15 C pelas equações 176 e 177 ΔL αL₀ ΔT 12 10⁵ K¹ 50 m 15 K 90 10³ m 90 mm L L₀ ΔL 50000 m 0009 m 50009 m b Nosso resultado do item a mostra que a 35 C a trena ligeiramente dilatada lê uma distância de 50000 m quando a distância verdadeira é 50009 m Podemos reescrever a álgebra do item a como L L₀1 α ΔT a 35 C qualquer distância verdadeira será maior que a leitura por um fator de 5000950000 1 αΔT 1 18 10⁴ A distância verdadeira é portanto 1 18 10⁴ 35794 m 35800 m AVALIAR no item a note que L₀ foi dado com cinco algarismos significativos mas precisamos usar somente dois deles para calcular ΔL Nosso resultado mostra que os metais se dilatam muito pouco sob variações moderadas de temperatura No entanto apesar da pequena diferença de 0009 m 9 mm encontrada no item b entre a leitura da escala e a verdadeira distância ela pode ser importante em um trabalho de precisão EXEMPLO 173 VARIAÇÃO DO VOLUME CAUSADA POR UMA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA Um frasco de vidro com volume igual a 200 cm³ a 20 C está cheio de mercúrio até a borda Qual é a quantidade de mercúrio que derrama quando a temperatura do sistema se eleva até 100 C O coeficiente de dilatação linear do vidro é igual a 040 10⁵ K¹ SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a dilatação volumétrica do vidro e do mercúrio A quantidade que transborda depende da diferença entre os valores de ΔV desses dois materiais ambos dados pela Equação 178 Para o mercúrio transbordar seu coeficiente de dilatação volumétrica β ver Tabela 172 deve ser maior que o do vidro que encontramos a partir da Equação 179 usando o valor indicado de α EXECUTAR pela Tabela 172 βHg 18 10⁵ K¹ Este é realmente maior que βvidro 3αvidro 3040 10⁵ K¹ 12 10⁵ K¹ pela Equação 179 O aumento do volume é então ΔVHg ΔVvidro βHg V₀ ΔT βvidro V₀ ΔT V₀ ΔT βHg βvidro 200 cm³ 80 C 18 10⁵ 12 10⁵ 27 cm³ AVALIAR isso é basicamente o que ocorre em um termômetro de vidro com mercúrio a coluna dentro de um tubo lacrado aumenta à medida que T aumenta pois o mercúrio se expande mais rapidamente que o vidro Como pode ser visto nas tabelas 171 e 172 o vidro possui coeficientes de dilatação α e β menores que os coeficientes de dilatação dos metais Isso explica por que você pode afrouxar a tampa metálica de um recipiente de vidro jogando água quente sobre ela o metal se dilata mais que o vidro Dilatação térmica da água A água no intervalo de temperaturas entre 0 C e 4 C diminui de volume quando a temperatura aumenta Nesse intervalo o coeficiente de dilatação volumétrica da água é negativo Acima de 4 C a água se expande quando aquecida Figura 1712 Portanto a densidade da água apresenta seu valor mais elevado a 4 C A água também se expande quando congela sendo essa a razão pela qual ela se curva para cima no meio dos compartimentos cúbicos de formas para fazer gelo Em contraste quase todos os materiais se contraem quando congelam Esse comportamento anômalo da água tem um efeito importante na vida de animais e plantas em lagos Um lago se congela da superfície para baixo acima de 4 C a água fria flui para a parte inferior por causa de sua maior densidade Porém quando a temperatura da superfície se torna menor que 4 C a água próxima da superfície é menos densa que a água abaixo dela Logo o movimento para baixo termina e a água nas proximidades da superfície permanece mais fria que a água embaixo dela À medida que a superfície se congela o gelo flutua porque possui densidade menor que a da água A água no fundo permanece com uma temperatura de cerca de 4 C até que ocorra o congelamento total do lago Caso a água se contraísse ao esfriar como a maior parte das substâncias lagos começariam a se congelar do fundo para a superfície A circulação por diferença de densidade faria com que a água quente fosse transportada para a superfície e os lagos ficariam totalmente congelados mais facilmente Isso provocaria a destruição de todas as plantas e animais que não suportam o congelamento Caso a água não tivesse essa propriedade especial a evolução da vida provavelmente teria seguido um curso muito diferente Tensão térmica Caso você prenda rigidamente as extremidades de uma barra para impedir sua dilatação ou compressão e a seguir produza uma variação de temperatura surgem tensões de dilatação ou de compressão chamadas de tensões térmicas A barra tenderia a se dilatar ou a se comprimir mas os dispositivos que seguram suas extremidades impedem que isso ocorra As tensões resultantes podem se tornar suficientemente elevadas a ponto de deformar a barra de modo irreversível ou até mesmo quebrála Talvez você queira rever a discussão a respeito de tensão e deformação na Seção 114 Os engenheiros precisam levar em conta as tensões térmicas quando projetam estruturas veja a Figura 1711 Blocos de concreto em estradas e estruturas das pontes geralmente contêm um espaço vazio entre as seções preenchido com um material flexível ou são ligadas por meio de juntas em forma de dentes Figura 1713 para permitir a dilatação e a contração do concreto Os tubos longos que transportam vapor apresentam juntas de dilatação ou seções em forma de U para impedir contrações ou alongamentos com as variações de temperatura Se uma das extremidades de uma ponte de aço está rigidamente presa e seu suporte a outra extremidade fica apoiada sobre rolamentos Para calcular a tensão térmica em uma barra presa calculamos a dilatação ou contração que ocorreria caso ela não estivesse presa e a seguir achamos a tensão necessária para comprimila ou esticála até que ela atinja seu comprimento original Suponha que uma barra de comprimento L₀ e seção reta com área A seja mantida com o comprimento constante enquanto sua temperatura se reduz ΔT negativa produzindo uma tensão na barra Pela Equação 176 a variação relativa do comprimento caso a barra estivesse livre e pudesse se contrair seria dada por ΔLL₀ térmica α ΔT 1710 As variações ΔT e ΔL são negativas A tensão deve aumentar de um valor F precisamente suficiente para produzir uma variação relativa de comprimento igual e contrária ΔLL₀ tensão De acordo com a definição do módulo de Young Equação 1110 temos Y FA ΔLL₀ logo ΔLL₀ tensão F A Y 1711 Se o comprimento tiver de permanecer constante a variação relativa total do comprimento deverá ser igual a zero Pelas equações 1710 e 1711 isso significa que ΔLL₀ térmica ΔLL₀ tensão α ΔT F AY 0 Explicitando a tensão necessária FA para manter o comprimento da barra constante achamos Figura 1712 O volume de um grama de água no intervalo de 0 C até 100 C A 100 C o volume aumentou para 1043 cm³ Se o coeficiente de dilatação volumétrica fosse constante a curva seria uma linha reta Embora a água geralmente se expanda com o aumento da temperatura entre 0 C e 4 C o volume diminui com o aumento da temperatura A água é mais densa a 4 C Figura 1713 Juntas de expansão em pontes são projetadas para acomodar as variações de comprimento oriundas da dilatação térmica Tensão térmica Força necessária para manter o comprimento da barra constante FA Yα ΔT Módulo de Young Variação de temperatura Coeficiente de dilatação linear Área da seção reta da barra 1712 Em uma diminuição de temperatura ΔT é negativa e portanto F e FA são positivas isso significa que uma força de tração e uma tensão são necessárias para manter o comprimento constante Se ΔT é positiva F e FA são grandezas negativas e a força de tração e a tensão necessárias são de compressão Se existem diferenças de temperatura no interior de um corpo dilatações ou contrações não uniformes são produzidas e tensões térmicas podem ser induzidas Você pode quebrar um recipiente de vidro se despejar água muito quente nele as tensões térmicas entre as partes quentes e frias do recipiente excedem a tensão de ruptura do vidro produzindo fraturas O mesmo fenômeno produz fraturas em cubos de gelo despejados em um recipiente com água quente EXEMPLO 174 TENSÕES TÉRMICAS Um cilindro de alumínio com 10 cm de comprimento e seção reta com área igual a 20 cm² deve ser usado para separar duas paredes de aço A 172 C ele escorrega livremente entre as duas paredes Calcule a tensão no cilindro e a força total que ele exerce sobre cada parede quando aquecido até 223 C supondo que as paredes sejam completamente rígidas e a distância entre elas permaneça constante SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR veja a Figura 1714 As variáveis que desejamos encontrar são a tensão térmica FA no cilindro cuja seção reta de área A é dada e a força F que ela exerce sobre as paredes Usamos a Equação 1712 para relacionar FA à variação de temperatura ΔT e daí calculamos F O comprimento do cilindro é irrelevante Encontramos para o alumínio o módulo de Young YAl e o coeficiente de dilatação linear αAl nas tabelas 111 e 171 respectivamente EXECUTAR temos YAl 70 10¹⁰ Pa e αAl 24 10⁵ K¹ e ΔT 223 C 172 C 51 C 51 K Da Equação 1712 a tensão é FA YAlαAlΔT 70 10¹⁰ Pa24 10⁵ K¹51 K 86 10⁶ Pa 1200 lbpol² A força total F é dada pelo produto da área da seção reta vezes a tensão F AFA 20 10⁴ m²86 10⁶ Pa 17 10⁴ N 19 tons AVALIAR a tensão sobre o cilindro e a força exercida sobre as paredes são imensas Isso mostra a importância de levar em conta as tensões térmicas na engenharia Figura 1714 Nosso esboço para este problema TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 174 Na lâmina bimetálica mostrada na Figura 173a o metal 1 é o cobre Quais dos seguintes materiais podem ser usados como metal 2 Pode haver mais de uma resposta correta i Aço ii latão iii alumínio Capítulo 17 Temperatura e calor 211 por uma diferença de temperatura denominase transferência de calor ou fluxo de calor e a energia transferida desse modo denominase calor o estudo da relação entre calor e outras formas de energia evoluiu gradual mente durante os séculos Xviii e XiX sir James Joule 18181889 estudou como a água pode ser aquecida ao ser vigorosamente mexida com um agitador Figura 1715a as pás do agitador transferem energia para a água realizando um trabalho sobre ela e Joule verificou que o aumento de temperatura é dire tamente proporcional ao trabalho realizado a mesma variação de temperatura também pode ser obtida colocandose a água em contato com algum corpo mais quente figura 1715b logo essa interação também deve envolver uma troca de energia Nos capítulos 19 e 20 discutiremos a relação entre calor e energia mecânica mais detalhadamente ATENÇÃo Temperatura calor é extremamente importante que você entenda a dife rença entre calor e temperatura a temperatura depende do estado físico de um material indicando por meio de uma descrição quantitativa se o material está quente ou frio Na física o termo calor sempre se refere a uma transferência de energia de um corpo ou sis tema para outro em virtude de uma diferença de temperatura entre eles nunca a quantidade de energia contida em um sistema particular Podemos alterar a temperatura de um corpo fornecendo ou retirando calor dele ou retirando ou fornecendo outras formas de energia como a mecânica figura 1715a Quando dividimos um corpo em duas metades cada metade possui a mesma temperatura do corpo inteiro porém para aumentar a temperatura de cada metade até um mesmo valor final devemos fornecer a metade da energia que seria fornecida ao corpo inteiro Podemos definir uma unidade de quantidade de calor com base na variação de temperatura de materiais específicos a caloria abreviada como cal é definida como a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um grama de água de 145 C a 155 C a caloria usada para alimentos é na realidade uma quilocaloria kcal igual a 1000 cal uma unidade de calor correspondente que usa graus fahrenheit e unidades britânicas é a British thermal unit ou Btu um Btu é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma libra peso de água de 1 f de 63 f até 64 f como o calor é uma energia em trânsito deve existir uma relação entre essas unidades e as unidades de energia mecânica que conhecemos como o joule Fi gura 1716 Experiências semelhantes às realizadas por Joule mostraram que 1 cal 4186 J 1 kcal 1000 cal 4186 J 1 Btu 778 pés lb 252 cal 1055 J a caloria não é uma unidade si fundamental o comitê internacional de Pesos e Medidas recomenda o uso do joule como a unidade básica de todas as formas de energia inclusive o calor Neste livro seguiremos essa recomendação Calor específico usamos o símbolo Q para a quantidade de calor Quando associada a uma varia ção infinitesimal de temperatura dT chamamos essa quantidade de dQ verificase que a quantidade de calor Q necessária para elevar a temperatura da massa m de um material de T1 até T2 é aproximadamente proporcional à variação de temperatura T T2 T1 Ela também é proporcional à massa m do material Quando você aquece água para fazer chá precisa do dobro da quantidade de calor para fazer duas xícaras em vez de uma se a variação de temperatura for a mesma a quantidade de calor também depende da natureza do material para elevar em 1 c a temperatura Figura 1715 a mesma variação de temperatura produzida em um mesmo sistema pode ser obtida a realizandose um trabalho sobre o sistema e b transferindose calor para o sistema A água se aquece à medida que as pás realizam trabalho sobre ela a temperatura se eleva em um valor proporcional à quantidade de trabalho realizada O aquecimento direto pode produzir a mesma variação de temperatura que o trabalho realizado sobre a água a Elevando a temperatura da água por meio do trabalho realizado sobre ela b Elevando a temperatura da água por aquecimento direto Figura 1716 a palavra energia tem origem grega Este rótulo em uma lata de café grego mostra que 100 ml de café preparado tem um conteúdo de energia Erga de 96 quilojoules ou 23 quilocalorias BookSEARSVol2indb 211 021015 151 PM de um quilograma de água é necessário transferir uma quantidade de calor igual a 4190 J enquanto basta transferir 910 J de calor para elevar a temperatura de um quilograma de alumínio de 1 C Reunindo todas as relações mencionadas podemos escrever Calor necessário para variação de temperatura de uma certa massa Q mc ΔT Massa do material Variação de temperatura Calor específico do material 1713 O calor específico c possui valores diferentes para cada tipo de material Para uma variação de temperatura infinitesimal dT e uma correspondente quantidade de calor dQ temos dQ mc dT 1714 c 1m dQdT calor específico 1715 Nas equações 1713 1714 e 1715 quando Q ou dQ e ΔT ou dT são positivos o calor é transferido para o corpo e sua temperatura aumenta quando são negativos o calor é liberado pelo corpo e sua temperatura diminui Figura 1717 Calor específico da água em função da temperatura O valor de c varia menos que 1 entre 0 C e 100 C c Jkg K 4220 4210 4200 4190 4180 4170 T C 0 20 40 60 80 100 ATENÇÃO A definição de calor Lembrese de que dQ não representa nenhuma variação ou quantidade de calor contida em um corpo O calor é sempre uma energia em trânsito em virtude de uma diferença de temperatura Não existe nenhuma quantidade de calor em um corpo O calor específico da água é aproximadamente igual a 4190 Jkg K ou 1 calg C ou 1 Btulb F O calor específico de um material depende até certo ponto da temperatura inicial e do intervalo de temperatura A Figura 1717 mostra essa dependência no caso da água Nos problemas e exemplos deste capítulo desprezaremos essa pequena variação EXEMPLO 175 CONSUMO DE ENERGIA DURANTE UMA FEBRE Em um episódio de gripe um homem de 80 kg tem 39 C de febre em vez da temperatura normal de 37 C do corpo Considerando que o corpo humano é constituído essencialmente de água qual seria o calor necessário para produzir essa variação de temperatura SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa a relação entre o calor a variávelalvo a massa o calor específico e a variação de temperatura Usamos a Equação 1713 para calcular o calor necessário Q partindo dos valores fornecidos m 80 kg c 4190 Jkg K para a água e ΔT 390 C 370 C 20 C 20 K EXECUTAR de acordo com a Equação 1713 obtemos Q mc ΔT 80 kg 4190 Jkg K 20 K 67 10⁵ J AVALIAR isso corresponde a 160 kcal Na realidade o calor específico do corpo humano é aproximadamente igual a 3480 Jkg K ou 83 do calor específico da água A diferença decorre da presença de proteínas gorduras e minerais que possuem um calor específico menor que o da água Logo uma resposta mais precisa é Q 56 10⁵ J 133 kcal Esses dois resultados mostram que se não fosse pelos sistemas de regulação da temperatura corporal o processo de extração de energia a partir de alimentos produziria variações mensuráveis nessa temperatura No caso de uma pessoa gripada a temperatura elevada é decorrência da atividade extra do corpo no combate à infecção EXEMPLO 176 SUPERAQUECIMENTO ELETRÔNICO Você está projetando um elemento para um circuito eletrônico constituído por 23 mg de silício A corrente elétrica transfere energia para o elemento a uma taxa igual a 74 mW 74 10³ Js Se o seu projeto não permite nenhuma transferência de calor a partir do elemento qual é a taxa de aumento da temperatura do elemento O calor específico do silício é igual a 705 Jkg K SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a energia adicionada ao elemento do circuito provoca um aumento de temperatura exatamente como se o calor estivesse sendo transmitido para o elemento à taxa de dQdt 74 10³ Js Nossa variávelalvo é a taxa de variação da temperatura dTdt Podemos usar a Equação 1714 que relaciona as variações de temperatura infinitesimais dT ao calor correspondente dQ para obter uma expressão para dQdt em termos de dTdt EXECUTAR dividindo os dois lados da Equação 1714 por dt e reagrupando obtemos dTdt dQdt mc 74 10³ Js 23 10⁶ kg705 Jkg K 046 Ks AVALIAR com essa taxa de aumento de temperatura 27 Kmin o elemento do circuito seria autodestruído em pouco tempo A transferência de calor é um fator importante no projeto dos elementos usados em circuitos eletrônicos Calor específico molar Algumas vezes é mais conveniente descrever a quantidade de uma substância em termos de moles n em vez da massa m do material Lembrando dos seus estudos de química você sabe que um mol de qualquer substância pura sempre contém o mesmo número de moléculas Discutiremos esse ponto com mais detalhes no Capítulo 18 A letra M indica o mol ou massa molar de qualquer substância A grandeza M algumas vezes é chamada de peso molecular porém a expressão massa molar é mais apropriada essa grandeza depende da massa da molécula e não do seu peso Por exemplo a massa molar da água é igual a 180 gmol 180 10³ kgmol um mol de água possui massa igual a 180 g 00180 kg A massa total m de um material é igual à massa molecular M vezes o número de moles n m nM 1716 Substituindo a massa m na Equação 1713 pelo produto nM achamos Q nMc ΔT 1717 O produto Mc denominase calor específico molar ou simplesmente calor molar e será designado pela letra C maiúscula Usando essa notação podemos reescrever a Equação 1717 na forma Calor necessário para variar a temperatura de um certo número de moles Q nC ΔT Número de moles do material Mudança de temperatura Calor específico molar do material 1718 Comparando com a Equação 1715 podemos expressar o calor específico molar C calor por mol por variação da temperatura em termos do calor específico c calor por massa por variação da temperatura e da massa molar M massa por mol C 1n dQdT Mc calor específico molar 1719 Por exemplo o calor específico molar da água é C Mc 00180 kgmol 4190 Jkg K 754 Jmol K 214 Física II Na Tabela 173 encontramos os valores do calor específico e do calor espe cífico molar de diversas substâncias Note o valor especialmente alto do calor específico da água Figura 1718 ATENÇÃo O significado de calor específico o termo calor específico não é muito apropriado porque pode sugerir a ideia errada de que um corpo contém certa quantidade de calor Lembrese de que calor é energia em trânsito entre corpos não a energia contida em um corpo Medidas do calor específico e do calor específico molar nos materiais sólidos normalmente são realizadas mantendose a pressão atmosférica constante os va lores correspondentes são denominados calores específicos à pressão constante simbolizados por cP ou CP Quando a substância é um gás em geral é mais fácil mantêla dentro de um recipiente a volume constante os valores correspondentes denominamse calores específicos a volume constante designados por cv ou CV Para uma dada substância CV é diferente de CP se o sistema pode se expandir à medida que o calor é transferido existe uma troca de energia adicional porque o sistema realiza um trabalho sobre seus arredores se o volume permanece constante o sistema não realiza trabalho algum Nos gases a diferença entre CP e CV é signi ficativa Na seção 197 estudaremos em detalhes os calores específicos dos gases a última coluna da tabela 173 mostra algo interessante os calores especí ficos molares de quase todos os sólidos elementares possuem aproximadamente o mesmo valor cerca de 25 Jmol K Essa correlação denominada regra de Dulong e Petit em homenagem aos seus descobridores é a base de uma ideia muito importante o número de átomos contidos em um mol de qualquer substân cia elementar é sempre o mesmo isso significa que considerando uma base por átomo a mesma quantidade de calor é necessária para elevar em um determinado número de graus a temperatura de todos esses elementos embora as massas dos átomos sejam muito diferentes o calor necessário para produzir um dado aumento de temperatura depende somente da quantidade de átomos que a amostra contém e não da massa de cada átomo No capítulo 18 ao estudarmos os detalhes do calor específico do ponto de vista molecular veremos por que a regra de Dulong e Petit funciona tão bem TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 175 coloque em ordem as seguintes substân cias em termos de quantidade de calor necessária para elevar sua temperatura de 20 c a 21 c do maior ao menor valor i um quilograma de mercúrio ii um quilograma de etanol iii um mol de mercúrio iv um mol de etanol TABElA 173 Calor específico e calor específico molar pressão constante Substância Calor específico c Jkg K Massa molar M kgmol Calor específico molar C Jmol K alumínio 910 00270 246 Berílio 1970 000901 177 cobre 390 00635 248 Etanol 2428 00461 1119 Etilenoglicol 2386 00620 1480 Gelo 0 c 2100 00180 378 ferro 470 00559 263 chumbo 130 0207 269 Mármore caco3 879 0100 879 Mercúrio 138 0201 277 sal Nacl 879 00585 514 Prata 234 0108 253 Água líquida 4190 00180 754 Figura 1718 a água possui um calor específico muito maior que o do vidro ou de metais usados em utensílios de cozinha isso explica por que a água leva vários minutos para ferver enquanto a chaleira ou a panela atingem uma temperatura elevada rapidamente BookSEARSVol2indb 214 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 215 176 CALorImETrIA E TrANsIÇõEs dE FAsE calorimetria significa medida de calor Já discutimos a transferência de ener gia calor envolvida nas variações de temperatura ocorre também transferência de calor nas transições de fase como a liquefação do gelo ou a ebulição da água compreendendo essas relações de calor adicionais podemos analisar diversos pro blemas envolvendo quantidade de calor Transições de fase utilizamos a palavra fase para designar qualquer estado específico da matéria como o de um sólido um líquido ou um gás o composto h2o existe na fase só lida como gelo na fase líquida como água e na fase gasosa como vapor dágua a transição de uma fase para a outra é chamada de transição de fase ou mudança de fase Em uma dada pressão a transição de fase ocorre em uma temperatura definida sendo geralmente acompanhada por uma emissão ou absorção de calor e por uma variação de volume e de densidade um exemplo conhecido da transição de fase é a liquefação do gelo Quando fornecemos calor ao gelo a 0 c na pressão atmosférica normal a temperatura do gelo não aumenta o que ocorre é que uma parte do gelo derrete e se transforma em água líquida adicionandose calor lentamente de modo que a temperatura do sistema seja mantida muito próxima do equilíbrio térmico a temperatura do sistema permanece igual a 0 c até que todo o gelo seja fundido Figura 1719 o calor fornecido a esse sistema não é usado para fazer sua temperatura aumentar mas sim para produzir uma transição de fase de sólido para líquido são necessários 334 105 J de calor para converter 1 kg de gelo a 0 c em 1 kg de água líquida a 0 c em condições normais de pressão atmosférica o calor necessário por unidade de massa denominase calor de fusão algumas vezes cha mado de calor latente de fusão designado por Lf Para a água submetida a uma pressão atmosférica normal o calor de fusão é dado por Lf 334 105 Jkg 796 calg 143 Btu1b Generalizando para liquefazer a massa m de um sólido cujo calor de fusão é Lf é necessário fornecer ao material uma quantidade de calor Q dada por Q mLf Esse processo é reversível Para congelar água líquida a 0 c devemos retirar calor dela o módulo do calor é o mesmo mas nesse caso Q é negativo porque estamos retirando calor e não adicionando Para englobar essas duas possibilidades e incluir outras transições de fase podemos escrever Q mL 1720 Massa do material que muda de fase Calor latente para essa transição de fase se o calor entra no material se sai dele Transferência de calor em uma transição de fase o sinal positivo mais calor no sistema é usado quando o sólido se funde o sinal negativo menos calor no sistema é usado quando o líquido se solidifica o calor de fusão depende do material e também varia ligeiramente com a pressão Para qualquer material a uma dada pressão a temperatura de fusão é sempre igual à temperatura de liquefação Nessa temperatura única as fases líquida e só lida podem coexistir em uma condição chamada equilíbrio de fase Podemos repetir o raciocínio anterior para o caso da ebulição ou vaporização uma transição da fase líquida para a fase gasosa o calor correspondente por uni Figura 1719 o ar circundante está à temperatura ambiente mas essa mistura de água e gelo permanece a 0 c até que todo o gelo tenha se derretido e que a mudança de fase se complete BookSEARSVol2indb 215 021015 151 PM 216 Física II dade de massa denominase calor de vaporização Lv sob pressão atmosférica normal o calor de vaporização Lv da água é Lv 2256 106 Jkg 539 calg 970 Btu1b ou seja é necessário fornecer 2256 106 J para fazer 1 kg de água líquida se transformar em 1 kg de vapor dágua a 100 c Em comparação o calor necessário para aquecer 1 kg de água de 0 c até 100 c é dado por Q mc T 10 kg 4190 Jkg c 100 c 419 105 J menos que um quinto do calor neces sário para a vaporização da água a 100 c Esse resultado está de acordo com nossa experiência cotidiana na cozinha uma panela com água pode atingir a temperatura de ebulição em alguns minutos porém é necessário um tempo muito maior para fazer a água vaporizar completamente como a fusão a ebulição é uma transição de fase reversível Quando retiramos calor de um gás na temperatura de ebulição o gás retorna para a fase líquida ou se condensa cedendo ao ambiente a mesma quantidade de calor calor de vapori zação que foi necessária para vaporizálo a uma dada pressão a temperatura de ebulição coincide com a temperatura de condensação nessa temperatura existe um equilíbrio de fase no qual a fase líquida coexiste com a gasosa tanto Lv quanto a temperatura de ebulição de um dado material dependem da pressão a água ferve a uma temperatura menor cerca de 95 c em itatiaia do que no rio de Janeiro por exemplo pois itatiaia está em um local mais elevado e a pressão atmosférica média é mais baixa o calor de vaporização é ligeiramente maior nessa pressão mais baixa aproximadamente igual a 227 106 Jkg a Figura 1720 resume essas ideias sobre transições de fase Na Tabela 174 fornecemos o calor de fusão e de vaporização de diversas substâncias e as respec tivas temperaturas de fusão e ebulição sob pressão atmosférica normal Pouquís simos elementos possuem temperaturas de fusão nas vizinhanças da temperatura ambiente um deles é o gálio metálico que você pode ver na Figura 1721 Em certas circunstâncias uma substância pode passar diretamente da fase sólida para a fase gasosa Esse processo denominase sublimação e dizemos que o sólido sublima o calor de transição correspondente denominase calor de sublimação Ls o dióxido de carbono líquido não pode existir a uma pressão menor que cerca de 5 105 Pa cerca de 5 atm e o gelo seco dióxido de carbono sólido sublima na pressão atmosférica a sublimação da água em um alimento congelado produz Figura 1720 Gráfico da temperatura em função do tempo de uma amostra de água inicialmente na fase sólida gelo o calor é fornecido à amostra a taxa constante a temperatura permanece constante durante todas as mudanças de fase desde que a pressão permaneça constante 25 0 25 50 75 100 125 T C a b c d e f Ponto de ebulição Ponto de fusão O gelo é aquecido A água líquida é aquecida A água líquida se transforma em vapor dágua a 100 C O gelo se funde transformandose em água líquida a 0 C Transições de fase da água Durante esses períodos a temperatura permanece constante e a transição de fase ocorre à medida que o calor é fornecido Q mL a S b gelo inicialmente a 25 C é aquecido a 0 ºC b S c a temperatura permanece a 0 C até que o gelo derreta c S d a água é aquecida de 0 C a 100 C d S e a temperatura permanece a 100 C até que a água vaporize e S f o vapor é aquecido para temperaturas acima de 100 C A temperatura da água varia Durante esses períodos a temperatura sobe à medida que o calor é fornecido Q mc T O vapor dágua é aquecido Tempo TABElA 174 Calor de fusão e calor de vaporização Ponto de fusão normal Calor de fusão Lf Jkg Ponto de ebulição normal Calor de vaporização Lv Jkg Substância K C K C hélio 4216 26893 209 103 hidrogênio 1384 25931 586 103 2026 25289 452 103 Nitrogênio 6318 20997 255 103 7734 1958 201 103 oxigênio 5436 21879 138 103 9018 1830 213 103 Etanol 159 114 1042 103 351 78 854 103 Mercúrio 234 39 118 103 630 357 272 103 Água 27315 00 334 103 37315 1000 2256 103 Enxofre 392 119 381 103 71775 44460 326 103 chumbo 6005 3273 245 103 2023 1750 871 103 antimônio 90365 63050 165 103 1713 1440 561 103 Prata 123395 96080 883 103 2466 2193 2336 103 ouro 133615 10630 645 103 2933 2660 1578 103 cobre 1356 1083 134 103 1460 1187 5069 103 é necessário aplicar uma pressão maior que 25 atm para fazer o hélio solidificar a 1 atm de pressão o hélio permanece líquido até o zero absoluto Figura 1721 o gálio metálico aqui mostrado liquefazendose na mão de uma pessoa é um dos poucos elementos que se fundem próximo à temperatura ambiente sua temperatura de fusão é 298 c e seu calor de fusão é igual a 804 104 Jkg BookSEARSVol2indb 216 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 217 dade de massa denominase calor de vaporização Lv sob pressão atmosférica normal o calor de vaporização Lv da água é Lv 2256 106 Jkg 539 calg 970 Btu1b ou seja é necessário fornecer 2256 106 J para fazer 1 kg de água líquida se transformar em 1 kg de vapor dágua a 100 c Em comparação o calor necessário para aquecer 1 kg de água de 0 c até 100 c é dado por Q mc T 10 kg 4190 Jkg c 100 c 419 105 J menos que um quinto do calor neces sário para a vaporização da água a 100 c Esse resultado está de acordo com nossa experiência cotidiana na cozinha uma panela com água pode atingir a temperatura de ebulição em alguns minutos porém é necessário um tempo muito maior para fazer a água vaporizar completamente como a fusão a ebulição é uma transição de fase reversível Quando retiramos calor de um gás na temperatura de ebulição o gás retorna para a fase líquida ou se condensa cedendo ao ambiente a mesma quantidade de calor calor de vapori zação que foi necessária para vaporizálo a uma dada pressão a temperatura de ebulição coincide com a temperatura de condensação nessa temperatura existe um equilíbrio de fase no qual a fase líquida coexiste com a gasosa tanto Lv quanto a temperatura de ebulição de um dado material dependem da pressão a água ferve a uma temperatura menor cerca de 95 c em itatiaia do que no rio de Janeiro por exemplo pois itatiaia está em um local mais elevado e a pressão atmosférica média é mais baixa o calor de vaporização é ligeiramente maior nessa pressão mais baixa aproximadamente igual a 227 106 Jkg a Figura 1720 resume essas ideias sobre transições de fase Na Tabela 174 fornecemos o calor de fusão e de vaporização de diversas substâncias e as respec tivas temperaturas de fusão e ebulição sob pressão atmosférica normal Pouquís simos elementos possuem temperaturas de fusão nas vizinhanças da temperatura ambiente um deles é o gálio metálico que você pode ver na Figura 1721 Em certas circunstâncias uma substância pode passar diretamente da fase sólida para a fase gasosa Esse processo denominase sublimação e dizemos que o sólido sublima o calor de transição correspondente denominase calor de sublimação Ls o dióxido de carbono líquido não pode existir a uma pressão menor que cerca de 5 105 Pa cerca de 5 atm e o gelo seco dióxido de carbono sólido sublima na pressão atmosférica a sublimação da água em um alimento congelado produz Figura 1720 Gráfico da temperatura em função do tempo de uma amostra de água inicialmente na fase sólida gelo o calor é fornecido à amostra a taxa constante a temperatura permanece constante durante todas as mudanças de fase desde que a pressão permaneça constante 25 0 25 50 75 100 125 T C a b c d e f Ponto de ebulição Ponto de fusão O gelo é aquecido A água líquida é aquecida A água líquida se transforma em vapor dágua a 100 C O gelo se funde transformandose em água líquida a 0 C Transições de fase da água Durante esses períodos a temperatura permanece constante e a transição de fase ocorre à medida que o calor é fornecido Q mL a S b gelo inicialmente a 25 C é aquecido a 0 ºC b S c a temperatura permanece a 0 C até que o gelo derreta c S d a água é aquecida de 0 C a 100 C d S e a temperatura permanece a 100 C até que a água vaporize e S f o vapor é aquecido para temperaturas acima de 100 C A temperatura da água varia Durante esses períodos a temperatura sobe à medida que o calor é fornecido Q mc T O vapor dágua é aquecido Tempo TABElA 174 Calor de fusão e calor de vaporização Ponto de fusão normal Calor de fusão Lf Jkg Ponto de ebulição normal Calor de vaporização Lv Jkg Substância K C K C hélio 4216 26893 209 103 hidrogênio 1384 25931 586 103 2026 25289 452 103 Nitrogênio 6318 20997 255 103 7734 1958 201 103 oxigênio 5436 21879 138 103 9018 1830 213 103 Etanol 159 114 1042 103 351 78 854 103 Mercúrio 234 39 118 103 630 357 272 103 Água 27315 00 334 103 37315 1000 2256 103 Enxofre 392 119 381 103 71775 44460 326 103 chumbo 6005 3273 245 103 2023 1750 871 103 antimônio 90365 63050 165 103 1713 1440 561 103 Prata 123395 96080 883 103 2466 2193 2336 103 ouro 133615 10630 645 103 2933 2660 1578 103 cobre 1356 1083 134 103 1460 1187 5069 103 é necessário aplicar uma pressão maior que 25 atm para fazer o hélio solidificar a 1 atm de pressão o hélio permanece líquido até o zero absoluto Figura 1721 o gálio metálico aqui mostrado liquefazendose na mão de uma pessoa é um dos poucos elementos que se fundem próximo à temperatura ambiente sua temperatura de fusão é 298 c e seu calor de fusão é igual a 804 104 Jkg fumaça em uma geladeira o processo inverso uma transição da fase vapor para a fase sólida ocorre quando gelo se forma sobre a superfície de um corpo frio como no caso da serpentina de um refrigerador a água muito pura pode ser resfriada até diversos graus abaixo do ponto de con gelamento sem se solidificar o estado de equilíbrio instável resultante denomina se superresfriado Quando jogamos um pequeno cristal de gelo nessa água ou quando a agitamos ela se cristaliza em um segundo ou em uma fração de segundo Figura 1722 o vapor dágua superresfriado condensa rapidamente formando gotículas de névoa na presença de alguma perturbação como partículas de poeira ou radiações ionizantes Esse princípio é usado na chamada semeadura de nu vens bombardeio de nuvens com nitrato de prata que geralmente possuem vapor dágua superresfriado provocando a condensação e a chuva algumas vezes um líquido pode ser superaquecido acima de sua temperatura de ebulição normal Qualquer perturbação pequena como a agitação do líquido produz ebulição local com formação de bolhas os sistemas de aquecimento a vapor de edifícios utilizam processos de vapori zação e condensação para transferir calor do aquecedor para os radiadores cada quilograma de água que se transforma em vapor no boiler aquecedor absorve cerca de 2 106 J o calor de vaporização Lv da água do boiler e libera essa mesma quantidade quando se condensa nos radiadores os processos de vaporiza ção e condensação também são usados em refrigeradores condicionadores de ar e em bombas de calor Esses sistemas serão discutidos no capítulo 20 os mecanismos de controle de temperatura de muitos animais de sangue quente são baseados no calor de vaporização removendo calor do corpo ao usálo na vaporização da água da língua respiração arquejante ou da pele transpiração o esfriamento produzido pela vaporização possibilita a manutenção da temperatura constante do corpo humano em um deserto seco e quente onde a temperatura pode atingir até 55 c a temperatura da pele pode permanecer até cerca de 30 c mais fria que a do ar ambiente Nessas circunstâncias uma pessoa normal perde vários litros de água por dia por meio da transpiração e essa água precisa ser reposta o resfriamento produzido pela vaporização explica também por que você sente frio ao sair de uma piscina Figura 1723 Figura 1722 Quando este avião entrou em uma nuvem a uma temperatura pouco abaixo do congelamento ele atingiu gotículas de água superresfriada na nuvem que rapidamente se cristalizaram e formaram gelo no nariz do avião mostrado aqui e nas asas Esse congelamento em pleno voo pode ser extremamente perigoso motivo pelo qual os aviões comerciais são equipados com dispositivos para remover o gelo BookSEARSVol2indb 217 021015 151 PM 218 Física II o resfriamento produzido pela vaporização também é usado para resfriar edifí cios em climas secos e quentes e para fazer condensar e reciclar o vapor usado em usinas termelétricas ou nucleares para geração de energia é isso que ocorre naquelas enormes torres de concreto que você vê nas vizinhanças dessas usinas reações químicas como uma combustão são análogas a uma transição de fase no que diz respeito ao envolvimento de quantidades de calor definidas a com bustão completa de um grama de gasolina produz cerca de 46000 J ou cerca de 11000 cal de modo que o calor de combustão Lc da gasolina é dado por Lc 46000 Jg 46 107 Jkg os valores associados à energia dos alimentos podem ser definidos de modo semelhante Quando dizemos que um grama de manteiga de amendoim contém 6 calorias queremos dizer que ela libera 6 kcal de calor 6000 cal ou 25000 J quando ocorre uma reação entre o oxigênio e os átomos de carbono e de hidrogênio da manteiga com o auxílio de enzimas e os produtos da reação são co2 e h2o Nem toda essa energia é utilizada diretamente para produzir trabalho mecânico útil Estudaremos a eficiência da utilização da energia no capítulo 20 Cálculos envolvendo calor vamos analisar alguns exemplos de calorimetria cálculos envolvendo calor o princípio básico é muito simples quando ocorre um fluxo de calor entre dois corpos isolados do meio ambiente o calor perdido por um dos corpos deve ser igual ao calor ganho pelo outro corpo o calor é uma energia em trânsito portanto esse princípio nada mais é que uma consequência do princípio da conservação da energia Por se tratar de uma grandeza que se conserva a calorimetria é em muitos aspectos a mais simples das teorias físicas ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 172 PROBLEMAS DE CALORIMETRIA iDENTiFiCAr os conceitos relevantes quando ocorre fluxo de calor entre dois corpos isolados do seu ambiente a soma algé brica da quantidade de calor transferida para todos os corpos deve ser igual a zero consideramos toda quantidade de calor que entra em um corpo como positiva e toda quantidade que sai de um corpo como negativa PrEPArAr o problema por meio dos seguintes passos 1 identifique quais objetos estão trocando calor 2 cada objeto pode passar por uma variação de temperatura sem transição de fase por uma transição de fase a tempe ratura constante ou por ambos os processos use a Equação 1713 para lidar com as variações de temperatura e a Equação 1720 para lidar com as transições de fase 3 consulte a tabela 173 quando precisar do calor específico ou do calor específico molar e a tabela 174 quando pre cisar dos calores de fusão ou vaporização 4 Liste as grandezas conhecidas e desconhecidas e identifique as variáveisalvo do problema ExECuTAr a solução da seguinte forma 1 use a Equação 1713 eou a Equação 1720 e a relação da conservação de energia gQ 0 para encontrar as variá veisalvo Não se esqueça de usar os sinais algébricos corretos para os termos Q e T escrevendo corretamente T Tfinal Tinicial não o contrário 2 Em problemas nos quais ocorre uma transição de fase como no caso da fusão do gelo talvez você não saiba pre viamente se todo o material sofre uma transição de fase ou se somente uma parte muda de fase Escolha uma hipótese ou outra se o cálculo resultante levar a um resultado ab surdo como uma temperatura final maior ou menor que todas as temperaturas iniciais a hipótese inicial estava errada refaça os cálculos e tente novamente AVAliAr sua resposta confira seus cálculos e tenha certeza de que os resultados finais são fisicamente coerentes Figura 1723 Mesmo que água tenha sido aquecida e seja um dia quente estas crianças sentirão frio quando saírem da piscina isso acontece porque a água evapora da pele removendo o calor de vaporização do corpo Para não sentir frio a criança precisa secar a pele imediatamente uma geóloga trabalhando no campo toma seu café da manhã em uma xícara de alumínio a xícara possui uma massa igual a 0120 kg e estava inicialmente a 20 c quando a geóloga a encheu com 0300 kg de um café que estava inicialmente a uma temperatura de 70 c Qual é a temperatura final depois que o café e a xícara atingem o equilíbrio térmico suponha que o calor específico do café seja igual ao da água e que não exista nenhuma troca de calor com o meio ambiente ExEmPlo 177 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA SEM TRANSIÇÃO DE FASE Continua BookSEARSVol2indb 218 021015 151 PM Continuação SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a variávelalvo é a temperatura final comum T da xícara e do café Não ocorre nenhuma transição de fase nessa situação de modo que só precisamos usar a Equação 1713 Temos T0café 700º e T0Al 200º a Tabela 173 indica que cágua 4190 Jkg K e cAl 910 Jkg K EXECUTAR o calor ganho negativo pelo café é Qcafé mcafé cágua ΔTcafé O calor ganho positivo pela xícara de alumínio é dado por QAl mAl cAl ΔTAl Definimos Qcafé QAl 0 veja a Estratégia para a solução de problemas 172 e substitua ΔTcafé T T0café e ΔTAl T T0Al QC QAL mcafé cágua ΔTcafé mAlcAl ΔTAl 0 mcafé cáguaT T0café mAlcAlT T0Al 0 Depois resolvemos essa expressão para a temperatura final T Um pouco de álgebra resulta em T mcafé cágua T0café mAlcAlT0Al mcafé cágua mAlcAl 660 ºC AVALIAR a temperatura final é muito mais próxima da temperatura inicial do café que da xícara a água possui um calor específico muito maior que o calor específico do alumínio além disso a massa do café é mais que o dobro da massa da xícara Podemos também calcular as quantidades de calor substituindo o valor T 66 ºC nas equações originais Encontramos Qcafé 50 x 103 J e QAl 50 x 103 J Como era de esperar Qcafé é negativo o café perde calor para a xícara EXEMPLO 178 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA COM TRANSIÇÃO DE FASE Um copo de vidro contém 025 kg de refrigerante constituído em sua maior parte por água inicialmente a uma temperatura de 25 ºC Quanto gelo inicialmente a 20 ºC deve ser adicionado para que a temperatura final seja igual a 0 ºC com todo o gelo derretido Despreze o calor específico do copo SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR o gelo e o refrigerante são objetos que trocam calor O refrigerante sofre apenas uma variação de temperatura enquanto o gelo passa tanto por uma variação de temperatura quanto por uma transição de fase de sólido para líquido Usamos os subscritos R para refrigerante G para gelo e A para água A variávelalvo é a massa do gelo mG Usamos a Equação 1713 para calcular a quantidade de calor envolvida no resfriamento da bebida até T 0 ºC e no aquecimento do gelo até T 0 ºC Além disso precisamos da Equação 1720 para calcular o calor necessário para fundir o gelo a 0 ºC Temos T0R 25 ºC e T0G 20 ºC a Tabela 173 indica cA 4190 Jkg K e cG 2100 Jkg K e a Tabela 174 indica Lf 334 x 105 Jkg EXECUTAR pela Equação 1713 o calor negativo ganho pelo refrigerante é QR mRcA ΔTR O calor positivo ganho pelo gelo no aquecimento é QG mGcG ΔTG O calor positivo exigido para fundir o gelo é Q2 mGLf Definimos QR QG Q2 0 inserimos ΔTR T T0R e ΔTG T T0G explicitando mG mRcA ΔTR mGcG ΔTG mGLf 0 mRcAT T0R mGcGT T0G mGLf 0 mGcG T T0G Lf mRcA T T0R mG mRcA T0R T cG T T0G Lf Substituindo os valores numéricos descobrimos que mG 0070 kg 70 g AVALIAR três ou quatro cubinhos de gelo de tamanho médio dariam cerca de 70 g o que parece razoável para os 250 g de refrigerante a serem resfriados EXEMPLO 179 O QUE TEREMOS PARA O JANTAR Uma panela de cobre pesada com massa igual a 20 kg incluindo a tampa de cobre está a uma temperatura de 150 ºC Você despeja 010 kg de água fria a 25 ºC no interior dessa panela a seguir coloca rapidamente a tampa de modo que não ocorra nenhuma perda de vapor Calcule a temperatura final da panela e de seu conteúdo e determine a fase da água líquida gasosa ou ambas Suponha que não haja nenhuma perda de calor para o ambiente Continuação T mA cA T0A mCu cCu T0Cu mA cA mCu cCu 106 ºC Porém esse valor é maior que o da temperatura de ebulição da água o que contradiz a hipótese de que nenhuma parte da água vaporiza Logo pelo menos uma parte da água deve se tornar vapor Portanto considere o caso 2 segundo o qual a temperatura final T 100 ºC devemos achar a fração x da água que é convertida na fase gasosa onde se este caso estiver correto x é maior que zero e menor ou igual a 1 A quantidade de calor positiva necessária para vaporizar essa água é xmALV A condição de conservação de energia QA QCu 0 é então mA cA 100 ºC T0A xmALV mCu cCu 100 ºC T0Cu 0 Explicitamos a variávelalvo x x mCu cCu100 ºC T0Cu mA cA 100 ºC T0A mA LV Com LV 2256 x 106 J pela Tabela 174 isso resulta em x 0034 Concluímos que a temperatura final da água e do cobre é igual a 100 ºC e que 0034010 kg 00034 kg 34 g de água foram convertidos em vapor a 100 ºC AVALIAR se o valor encontrado para x fosse maior que 1 o caso 3 seria a opção correta toda a água teria sido vaporizada e a temperatura final seria maior que 100 ºC Você é capaz de mostrar que isso ocorreria se a quantidade de água colocada na panela a 25 ºC fosse menor que 15 g EXEMPLO 1710 COMBUSTÃO VARIAÇÃO DE TEMPERATURA E TRANSIÇÃO DE FASE Em um fogareiro a gasolina para acampamentos apenas 30 da energia liberada na queima do combustível é usada para aquecer a água na panela Para aquecermos 100 L 100 kg de água de 20 ºC até 100 ºC e fazer a vaporização de 025 kg que quantidade de gasolina é necessária queimar SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR toda a água passa por uma variação de temperatura e parte dela também passa por uma transição de fase de líquido para gás Determinamos o calor necessário para causar essas duas mudanças e depois usamos a eficiência da combustão de 30 para determinar a quantidade de gasolina que precisa ser queimada nossa variávelalvo Usamos as equações 1713 e 1720 além da ideia do calor de combustão EXECUTAR o calor necessário para elevar a temperatura da água de 20 ºC a 100 ºC é dado por Q1 mc ΔT 100 kg4190 Jkg K80 K 335 x 105 J O calor necessário para vaporizar 025 kg de água a 100 ºC é dado por Q2 mLV 025 kg2256 x 106 Jkg 564 x 105 J A energia total necessária é a soma das duas quantidades anteriores ou seja Q1 Q2 899 x 105 J Isso é apenas 30 030 do calor total da combustão de modo que a energia é 899 x 105 J030 300 x 106 J Como mencionamos anteriormente cada grama de gasolina libera 46000 J então a massa de gasolina necessária é 300 x 106 J46000 Jg 65 g ou cerca de 009 L de gasolina AVALIAR esse resultado demonstra a enorme quantidade de energia que pode ser liberada pela queima de gasolina mesmo que em uma quantidade pequena Você conseguiria mostrar que seriam necessários mais 123 g de gasolina para vaporizar a água restante TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 176 Um bloco de gelo inicialmente a 0 ºC é aquecido a uma taxa constante Um tempo t é necessário para transformar completamente o bloco em vapor dágua a 100 ºC O que temos após o tempo t2 i Apenas gelo a 0 ºC ii uma mistura de gelo e água a 0 ºC iii água a uma temperatura entre 0 ºC e 100 ºC iv uma mistura de água e vapor a 100 ºC Capítulo 17 Temperatura e calor 221 os três mecanismos de transferência de calor são a condução a convecção e a radiação a condução ocorre no interior de um corpo ou entre dois corpos em contato a convecção depende do movimento da massa de uma região para outra a radiação é a transferência de calor que ocorre pela radiação eletromagnética como a luz solar sem que seja necessária a presença de matéria no espaço entre os corpos Condução Quando você segura uma das extremidades de uma barra de cobre e coloca a outra sobre uma chama a extremidade que você está segurando fica cada vez mais quente embora não esteja em contato direto com a chama o calor é transferido por condução através do material até atingir a extremidade mais fria Em nível atômico verificamos que os átomos de uma região quente possuem em média uma energia cinética maior que a energia cinética dos átomos de uma região vizinha as colisões desses átomos com os átomos vizinhos fazem com que eles lhes transmi tam parte da energia os átomos vizinhos colidem com outros átomos vizinhos e assim por diante ao longo do material os átomos em si não se deslocam de uma região a outra do material mas sua energia se desloca Quase todos os metais utilizam outro mecanismo mais eficiente para conduzir calor No interior do metal alguns elétrons se libertam de seus átomos originais e ficam vagando pelo metal Esses elétrons livres podem transferir energia ra pidamente da região mais quente para a região mais fria do metal de modo que os metais geralmente são bons condutores de calor uma barra de metal a 20 c parece estar mais fria que um pedaço de madeira a 20 c porque o calor pode fluir mais facilmente entre sua mão e o metal a presença de elétrons livres também faz com que os metais sejam bons condutores de eletricidade Na condução o sentido de transferência de calor é sempre da temperatura maior para a menor a Figura 1724a mostra uma barra de um material condutor de comprimento L com uma seção reta de área A a extremidade esquerda da barra é mantida a uma temperatura Th e a extremidade direita é mantida a uma tempe ratura mais baixa Tc isso faz com que o calor flua da esquerda para a direita os lados da barra são cobertos por um isolante ideal de modo que o calor não possa fluir por eles Quando uma quantidade de calor dQ é transferida através da barra em um tempo dt a taxa de transferência de calor é dada por dQdt chamamos essa grandeza de taxa de transferência de calor ou corrente de calor e a designamos por H ou seja H dQdt a experiência mostra que a taxa de transferência de calor é proporcional à área A da seção reta da barra figura 1724b e a diferença de temperatura Th Tc e inversamente proporcional ao comprimento da barra L figura 1724c 1721 Taxa de transferência de calor Temperaturas das extremidades quente e fria da barra Comprimento da barra Área da seção reta da barra Condutividade térmica do material da barra Transferência de calor na condução H kA L TH TC dt dQ a quantidade Th TcL é a diferença de temperatura por unidade de compri mento é denominada módulo do gradiente de temperatura o valor numérico da condutividade térmica k depende do material da barra os materiais com valores elevados de k são bons condutores de calor os materiais com valores pequenos de k conduzem pouco calor ou são isolantes a Equação 1721 também fornece a taxa de transferência de calor através de uma placa ou de qualquer corpo homogêneo que possua uma seção reta A ortogonal à direção do fluxo de calor L é o compri mento da trajetória do fluxo de calor Figura 1724 transferência de calor constante produzida pela condução do calor em uma barra uniforme TH A L a Taxa de transferência de calor H b Dobrar a área da seção reta do condutor faz com que a taxa de transferência de calor dobre H é proporcional a A c Dobrar o comprimento do condutor faz com que a taxa de transferência de calor se reduza à metade H é inversamente proporcional a L TC TH A 2L TC TH A A L TC BookSEARSVol2indb 221 021015 151 PM 222 Física II as unidades de taxa de transferência de calor H são as unidades de energia por tempo ou potência a unidade si para a taxa de transferência de calor é o watt 1 w 1 Js Podemos achar as unidades de k explicitando k na Equação 1721 con vidamos você a verificar que as unidades si de k são wm K alguns valores de k são apresentados na Tabela 175 a condutividade térmica do ar morto ou seja em repouso é muito pequena um agasalho de lã mantém você quente porque aprisiona o ar entre suas fibras De fato muitos materiais isolantes como o isopor ou a fibra de vidro contêm grande quantidade de ar morto se a temperatura varia de modo não uniforme ao longo do comprimento da barra não condutora introduzimos uma coordenada x ao longo do comprimento e escrevemos o gradiente de temperatura na forma geral dTdx a generalização correspondente da Equação 1721 é dada por H dQ dt kA dT dx 1722 o sinal negativo mostra que o fluxo de calor ocorre sempre no sentido da dimi nuição da temperatura se a temperatura aumentar com o aumento de x então dT dx 0 e H 0 o valor negativo de H neste caso significa que o calor é transfe rido na direção x negativa da temperatura alta para a baixa No isolamento térmico de edifícios os engenheiros usam o conceito de resis tência térmica designado por R a resistência térmica R de uma placa com área A é definida de modo que a taxa de transferência de calor H seja dada por H A1 TH TC2 R 1723 onde Th e Tc são as temperaturas das duas faces da placa comparando essa rela ção com a Equação 1721 vemos que R é dado por R L k 1724 onde L é a espessura da placa a unidade si de R é 1 m2 Kw Nas unidades usadas para materiais comerciais nos Estados unidos H é expresso em Btuh A está em pé2 e Th Tc em f 1 Btuh 0293 w as unidades de R são então pé2 f hBtu embora os valores de R normalmente sejam indicados sem unida des uma camada de fibra de vidro com 6 polegadas de espessura tem um valor de R igual a 19 ou seja R 19 pés2 f hBtu uma placa de 2 polegadas de es puma de poliuretano tem um valor de R igual a 12 e assim por diante Dobrandose a espessura da placa o valor de R também dobra uma prática comum nas novas construções em climas muito frios do hemisfério norte é empregar valores de R em torno de 30 para paredes externas e tetos Quando o material isolante é disposto em camadas como no caso de paredes duplas isolamento com fibra de vidro e parte externa com madeira os valores de R são somados você saberia dizer por quê TABElA 175 Condutividades térmicas Substância k Wm K Metais alumínio 2050 Latão 1090 cobre 3850 chumbo 347 Mercúrio 83 Prata 4060 aço 502 Diversos sólidos valores típicos tijolo isolante 015 tijolo vermelho 06 concreto 08 cortiça 004 feltro 004 fibra de vidro 004 vidro 08 Gelo 16 Lã mineral 004 isopor 0027 Madeira 012004 Gases ar 0024 argônio 0016 hélio 014 hidrogênio 014 oxigênio 0023 BIo Aplicação Pele de animal versus gordura animal A pele de uma raposa do ártico é um bom isolante térmico pois aprisiona o ar que tem uma baixa condutividade térmica k O valor k 004 Wm K para a pele é mais alto que para o ar k 0024 Wm K pois a pele também inclui pelos sólidos A camada de gordura abaixo da pele da baleia possui seis vezes a condutividade térmica da pele k 024 Wm K Logo uma camada de 6 cm de gordura L 6 cm é necessária para dar o mesmo isolamento de 1 cm de pele BookSEARSVol2indb 222 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 223 ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 173 CONDUÇÃO DE CALOR iDENTiFiCAr os conceitos relevantes o conceito de condução de calor está envolvido sempre que dois objetos de tempera turas diferentes são postos em contato PrEPArAr o problema seguindo estes passos 1 identifique a direção e o sentido do fluxo de calor no pro blema do quente para o frio Na Equação 1721 L é sem pre medido ao longo dessa direção e sentido e A é sempre perpendicular a essa direção Geralmente quando uma caixa ou outro recipiente possui forma irregular mas a es pessura da parede é uniforme você pode considerála apro ximadamente uma placa plana com área igual à área total da parede e a mesma espessura 2 relacione as grandezas conhecidas e desconhecidas iden tificando a variávelalvo ExECuTAr a solução do seguinte modo 1 se o calor flui ao longo de um mesmo objeto use a Equação 1721 para calcular o valor da variávelalvo 2 se o calor flui através de dois materiais alinhados em série a temperatura T na interface entre eles possui então um valor intermediário entre Th e Tc de modo que as diferenças de temperatura entre os dois materiais serão dadas por Th T e T Tc No fluxo de calor estacionário a mesma quanti dade de calor deve passar através dos materiais sucessiva mente de modo que a taxa de transferência de calor H deve ser a mesma nos dois materiais 3 se existirem dois ou mais fluxos de calor paralelos de forma que exista um fluxo de calor através de cada parte então a taxa de transferência de calor total H será a soma de H1 H2 nas partes separadas como exemplo consi dere o fluxo de calor do interior para o exterior de uma casa parte fluindo através do vidro da janela e outra parte através da parede ao redor da janela Nesse caso a diferença de temperatura é a mesma entre os dois percursos porém L A e k podem ser diferentes para cada percurso 4 é necessário usar um conjunto de unidades coerente se k for expresso em wm K use distâncias em metros calor em joules e T em kelvins AVAliAr sua resposta os resultados obtidos são razoáveis em termos físicos uma caixa de isopor Figura 1725a possui área total incluindo a tampa igual a 080 m2 e a espessura de sua parede mede 20 cm a caixa está cheia de água gelo e latas de refrigerante a 0 c Qual é a taxa de fluxo de calor para o interior da caixa se a temperatura da parede externa for 30 c Qual é a quantidade de gelo que se liquefaz em 3 horas soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR as variáveisalvo são a taxa de transferência H e a massa m do gelo derretido usamos a Equação 1721 para calcular a taxa de transferência de calor e a Equação 1720 para encontrar a massa m EXECUTAR supomos que o fluxo de calor seja aproximadamente o mesmo que ocorreria através de uma placa com área igual a 080 m2 e espessura igual a 20 cm 0020 m figura 1725b achamos o valor de k na tabela 175 Pela Equação 1721 H kA TH TC L 1 0027 Wm K2 1 080 m22 30 C 0 C 0020 m 324 W 324 Js o fluxo total de calor Q é dado por Q Ht com t 3 h 10800 s Pela tabela 174 o calor de fusão do gelo é Lf 334 105 Jkg de modo que pela Equação 1720 a massa do gelo que se derrete é m Q Lf 1324 Js2 110800 s2 334 105 Jkg 10 kg AVALIAR a baixa taxa de transferência de calor decorre da baixa condutividade térmica do isopor Figura 1725 condução de calor através das paredes de uma caixa de isopor a Uma caixa de isopor na praia b Nosso esboço para este problema TH 30 C TC 0 C A 080 m2 20 cm Gelo ExEmPlo 1711 CONDUÇÃO EM UMA CAIXA DE ISOPOR uma barra de aço de 100 cm de comprimento é soldada pela ex tremidade a uma barra de cobre de 200 cm de comprimento a seção reta das duas barras é um quadrado de lado igual a 200 cm a extremidade livre da barra de aço é mantida a 100 c pelo con tato com o vapor dágua obtido por ebulição e a extremidade livre da barra de cobre é mantida a 0 c por estar em contato com gelo as duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais calcule a temperatura estacionária na junção entre as duas barras e a taxa total da transferência de calor entre as barras ExEmPlo 1712 CONDUÇÃO ATRAVÉS DE DUAS BARRAS I Continua BookSEARSVol2indb 223 021015 151 PM 224 Física II soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 1726 mostra a situação a taxa de transferência de calor através das barras deve ser a mesma veja a Estratégia para a solução de problemas 173 temos as temperaturas quente Th 100 c e fria Tc 0 c usamos a Equação 1721 duas vezes uma para cada barra e igua lamos as duas equações de transferência de calor Haço e Hcobre EXECUTAR definindo Haço e Hcobre pela Equação 1721 obtemos Haço kaço A TH T Laço Hcobre kcobre A T TC Lcobre cancelamos a área A por ser a mesma nos dois termos e isola mos T T kaço Laço TH kcobre Lcobre TC a kaço Laço kcobre Lcobre b substituindo Laço 100 cm e Lcobre 200 cm os valores de Th e Tc e usando os valores de kaço e kcobre da tabela 175 achamos T 207 c Podemos calcular a taxa total de transferência de calor substi tuindo esse valor de T em qualquer uma das expressões para Haço ou para Hcobre Haço 1502 Wm K2 1 2 1 00200 m22 100 C 207 C 0100 m 159 W Hcobre 1385 Wm K 00200 m22 207 C 0200 m 159 W AVALIAR embora a barra de aço seja mais curta a queda de tem peratura ao longo de sua extensão é muito maior que na barra de cobre uma variação de 100 c a 207 c no aço comparada a uma variação de 207 c a 0 c no cobre Essa diferença ocorre porque o aço possui uma condutividade térmica muito menor que a do cobre Figura 1726 Nosso esboço para este problema Aço Cobre 100 cm 200 cm 20 cm TH 100 C TC 0 C Continuação suponha que as duas barras do Exemplo 1712 estejam sepa radas uma extremidade de cada barra é mantida a 100 c e a outra a 0 c Qual é a taxa total de transferência de calor nas duas barras soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 1727 mostra a situação Em cada barra Th Tc 100 c 0 c 100 K a taxa total de transferência é a soma das transferências nas duas barras Haço Hcobre EXECUTAR escrevemos as taxas de transferência de calor de cada uma das barras individualmente e depois as somamos para obter a taxa de transferência total H Haço Hcobre kaço A TH TC Laço kcobre A TH TC Lcobre 1502 Wm K2 100200 m2 2 100 K 0100 m 1385 Wm K2 100200 m2 2 100 K 0200 m 201 W 770 W 971 W AVALIAR o fluxo de calor na barra de cobre é muito maior que o fluxo de calor na barra de aço embora a barra de cobre seja mais longa porque a condutividade térmica do cobre é bem maior que a do aço o fluxo total de calor é muito maior que o encontrado no Exemplo 1712 em parte porque a seção reta total para a trans ferência de calor é maior e em parte porque entre as duas barras existe uma diferença de temperatura total de 100 K Figura 1727 Nosso esboço para este problema Cobre Aço TC 0 C TC 0 C TH 100 C TH 100 C 20 cm 20 cm 200 cm 100 cm ExEmPlo 1713 CONDUÇÃO ATRAVÉS DE DUAS BARRAS II Convecção a convecção é a transferência de calor ocorrida pelo movimento da massa de um fluido de uma região do espaço para outra Exemplos familiares incluem os sis temas de aquecimento de água em residências o sistema de refrigeração do motor BookSEARSVol2indb 224 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 225 de um automóvel e o fluxo do sangue pelo corpo Quando o fluido é impulsionado pela ação de um ventilador ou de uma bomba o processo denominase convecção forçada quando o escoamento é produzido pela existência de uma diferença de densidade provocada por uma expansão térmica como a ascensão do ar quente o processo denominase convecção natural ou convecção livre Figura 1728 a convecção natural na atmosfera desempenha um papel dominante na deter minação das condições climáticas ao longo do dia e a convecção nos oceanos é um importante mecanismo de transferência de calor no globo terrestre Em uma escala menor pilotos de planadores e águias utilizam as correntes de ar ascen dentes oriundas do aquecimento da terra o mecanismo mais importante para a transferência de calor no corpo humano utilizado para manter a temperatura do corpo constante em diferentes ambientes é a convecção forçada do sangue na qual o coração desempenha o papel de uma bomba a transferência de calor por convecção é um processo muito complexo e não existe nenhuma equação simples para descrevêlo a seguir assinalamos alguns fatos experimentais 1 a taxa de transferência de calor por convecção é diretamente proporcional à área da superfície é por essa razão que se usa uma área superficial grande em radiadores e aletas de refrigeração 2 a viscosidade do fluido retarda o movimento da convecção natural nas vizi nhanças de superfícies estacionárias dando origem a uma película ao longo da superfície que quando vertical costuma ter aproximadamente o mesmo valor isolante que 13 cm de madeira compensada R 07 a convecção forçada provoca uma diminuição da espessura dessa película fazendo aumentar a taxa de transferência de calor isso explica por que você sente mais frio quando há um vento frio do que quando o ar está em repouso com a mesma temperatura 3 verificase que a taxa de transferência de calor na convecção é aproximada mente proporcional à potência de 5 4 da diferença de temperatura entre a superfí cie e um ponto no corpo principal do fluido radiação Radiação é a transferência de calor por meio de ondas eletromagnéticas como a luz visível a radiação infravermelha e a radiação ultravioleta todo mundo já sentiu o calor da radiação solar e o intenso calor proveniente das brasas de carvão de uma churrasqueira ou uma lareira a maior parte do calor proveniente desses corpos quentes atinge você por radiação e não por condução ou convecção do ar o calor seria transferido a você mesmo que entre você e a fonte de calor existisse apenas vácuo Qualquer corpo mesmo a uma temperatura normal emite energia sob a forma de radiação eletromagnética a uma temperatura normal digamos a 20 c quase toda a energia é transportada por ondas infravermelhas com comprimentos de onda muito maiores que os da luz visível ver figuras 174 e 1729 À medida que a temperatura aumenta os comprimentos de onda passam a ter valores menores a 800 c um corpo emite radiação visível em quantidade suficiente para adquirir luminosidade própria e parecer vermelho quente embora mesmo nessa tem peratura a maior parte da energia seja transportada por ondas infravermelhas a 3000 c a temperatura característica do filamento de uma lâmpada incandescente a radiação contém luz visível suficiente para que o corpo pareça branco quente a taxa de radiação de energia de uma superfície é proporcional à área A da su perfície e à quarta potência da temperatura absoluta Kelvin T Essa taxa também depende da natureza da superfície essa dependência é descrita por uma grandeza e denominada emissividade sendo um número sem dimensões compreendido entre 0 e 1 e representa a razão entre a taxa de radiação de uma superfície particular e a taxa de radiação de uma superfície de um corpo ideal com as mesmas área e temperatura a emissividade também depende ligeiramente da temperatura Logo podemos expressar a taxa de transferência de calor H dQdt devida à radiação de uma superfície pela relação Figura 1728 um dispositivo de aquecimento na ponta deste tubo submerso aquece a água circundante produzindo um padrão complexo de convecção livre Figura 1729 Esta imagem em infravermelho com falsa cor revela a radiação emitida por várias partes do corpo humano a emissão mais forte partes avermelhadas do rosto vem das áreas mais quentes ao passo que por outro lado há muito poucas emissões vindas da garrafa de bebida gelada BookSEARSVol2indb 225 021015 151 PM 226 Física II H AesT4 1725 Área da superfície emissora Constante de StefanBoltzmann Emissividade da superfície Temperatura absoluta da superfície Taxa de transferência de calor na radiação Esta relação é denominada lei de StefanBoltzmann em homenagem a seus descobridores que viveram no final do século XiX a constante de StefanBoltz mann s letra grega sigma é uma constante fundamental seu melhor valor numé rico atualmente conhecido é s 56703731 212 108 Wm2 K4 convidamos você a conferir a compatibilidade das unidades da Equação 1725 a emissividade e de uma superfície escura é geralmente maior que a de uma superfície clara a emissividade de uma superfície lisa de cobre é igual a aproxi madamente 03 porém o valor de e para uma superfície negra pode se aproximar de um uma placa de aço quadrada e fina com lado igual a 10 cm é aquecida em uma forja até uma temperatura de 800 c sabendo que a emissividade é igual a 060 qual é a taxa total de energia transmitida por radiação da placa soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a incógnita aqui é H a taxa de emissão de energia das duas superfícies da placa usamos a Equação 1725 para calcular H a partir dos valores dados EXECUTAR a área total da superfície incluindo os dois lados da placa é 2010 m2 0020 m2 e T 800 c 1073 K Então a Equação 1725 fornece H AesT4 10020 m22 10602 1567 108 Wm2 K42 11073 K24 900 W AVALIAR um ferreiro nas proximidades sentiria facilmente o calor irradiado por essa placa ExEmPlo 1714 TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO radiação e absorção Enquanto um corpo com temperatura absoluta T está irradiando o ambiente que está a uma temperatura Ts também está irradiando e o corpo absorve parte dessa radiação caso ele esteja em equilíbrio térmico com o meio ambiente T Ts e a taxa de emissão da radiação é igual à taxa de absorção Para que isso seja verdade a taxa de absorção deve ser dada em geral por H AesTs 4 Então a taxa de radiação resultante de um corpo a uma temperatura T imerso em um ambiente que está a uma temperatura Ts é dada por AesT4 AesTs 4 ou Htotal Aes1T4 Ts 42 1726 Área da superfície emissora Emissividade da superfície Constante de StefanBoltzmann Taxa de transferência de calor total na radiação Temperaturas absolutas da superfície T e dos arredores Ts Na Equação 1726 um valor positivo de H significa que o fluxo de calor resul tante ocorre para fora do corpo isso acontecerá se T Ts sabendo que a área total de um corpo humano é 120 m2 e que a temperatura da superfície é 30 c 303 K calcule a taxa total de transferência de calor do corpo por radiação se o meio am biente está a uma temperatura de 20 c qual é a taxa resultante do calor perdido pelo corpo por radiação a emissividade do corpo é muito próxima da unidade independentemente da pig mentação da pele ExEmPlo 1715 RADIAÇÃO DO CORPO HUMANO Continua BookSEARSVol2indb 226 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 227 Aplicações da radiação a transferência de calor por radiação é importante em alguns cenários surpre endentes um bebê prematuro em uma incubadora pode esfriar perigosamente se as paredes da incubadora estiverem frias mesmo que o ar em seu interior esteja quente algumas incubadoras regulam a temperatura do ar medindo a temperatura da pele do bebê um corpo que absorve bem o calor também o emite bem um irradiador ideal com emissividade e 1 também é um absorvedor ideal absorvendo toda a ra diação que incide sobre ele tal superfície ideal chamase corpo negro ideal ou simplesmente corpo negro reciprocamente um refletor ideal que não absorve nenhuma radiação também é um irradiador bastante ineficaz Essa é a razão do uso de uma película prateada no interior de garrafas com vácuo entre as paredes externas garrafas térmicas inventadas por sir James Dewar 18421923 uma garrafa térmica possui uma parede dupla de vidro o ar é bombeado para fora do espaço entre essas paredes isso elimina quase todo o calor transmitido por condução e por convecção a película prateada nas paredes internas provoca a reflexão da maior parte da radiação proveniente do interior da garrafa fazendo a radiação voltar para seu interior e a própria parede é um emissor muito pobre Portanto uma garrafa térmica pode manter o café ou a sopa aquecida durante horas a garrafa de Dewar usada para armazenar gases liquefeitos muito frios funciona com base nesse mesmo princípio radiação clima e mudança de clima Nosso planeta absorve constantemente radiação vinda do sol No equilíbrio térmico a taxa na qual nosso planeta absorve radiação solar precisa ser igual à taxa na qual ele emite radiação no espaço a presença de uma atmosfera em nosso planeta tem um efeito significativo sobre esse equilíbrio a maior parte da radiação emitida pelo sol que possui uma temperatura de 5800 K na superfície está na parte visível do espectro para a qual nossa atmos fera é transparente Porém a temperatura média na superfície da terra é de apenas 287 K 14 c Logo a maior parte da radiação que nosso planeta emite para o espaço é radiação infravermelha assim como a radiação da pessoa mostrada na figura 1729 Porém nossa atmosfera não é completamente transparente à radia ção infravermelha isso porque ela contém dióxido de carbono co2 que é seu quarto constituinte mais abundante depois de nitrogênio oxigênio e argônio as moléculas de co2 na atmosfera absorvem parte da radiação infravermelha que sobe da superfície Então elas reirradiam a energia absorvida mas parte dessa energia reirradiada é direcionada de volta para a superfície em vez de escapar para o espaço Para manter o equilíbrio térmico a superfície da terra precisa compensar esse aumento de sua temperatura T e por conseguinte sua taxa total de energia radiante que é proporcional a T4 Esse fenômeno chamado de efeito estufa faz com que a temperatura da superfície do nosso planeta seja aproxima soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR precisamos levar em conta tanto a radiação que o corpo emite quanto a que o corpo absorve de seu ambiente a taxa de radiação da energia que o corpo emite é dada pela Equação 1725 e a taxa total de perda de calor é dada pela Equação 1726 EXECUTAR fazendo e 1 na Equação 1725 descobrimos que o corpo irradia a uma taxa H AesT 4 1120 m22 112 1567 108 Wm2 K42 1303 K24 574 W Essa perda é parcialmente compensada pela absorção da radia ção que depende da temperatura ambiente a taxa resultante da transferência de energia é dada pela Equação 1726 Htotal Aes 1T 4 T 4 s 2 1120 m22 112 1567 108 Wm2 K42 3 1303 K2 1293 K244 72 W AVALIAR esse valor de Htotal é positivo porque o corpo perde calor para o ambiente que está mais frio Continuação BookSEARSVol2indb 227 021015 151 PM 228 Física II damente 33 c maior do que seria se não houvesse co2 atmosférico se o co2 não estivesse presente a temperatura média da superfície da terra estaria abaixo do ponto de congelamento da água e a vida como a conhecemos seria impossível Embora o co2 atmosférico tenha benefícios grande parte dele pode ter conse quências extremamente negativas as medições do ar aprisionado no gelo antigo da antártica mostram que pelos últimos 650000 anos o co2 tem constituído menos de 300 partes por milhão de nossa atmosfera Porém desde o início da era industrial a queima de combustíveis fósseis como carvão e petróleo tem elevado a concentração de co2 atmosférico para níveis sem precedentes Figura 1730a Em decorrência disso desde a década de 1950 a temperatura média da superfície global aumentou em 06 c e a terra tem experimentado os anos mais quentes já registrados figura 1730b se continuarmos a consumir combustíveis fósseis na mesma proporção por volta de 2050 a concentração atmosférica de co2 atingirá 600 partes por milhão muito além da escala da figura 1730a o aumento de temperatura resultante teria efeitos dramáticos sobre o clima global Nas regiões polares quantidades enormes de gelo se derreteriam e correriam para o mar au mentando assim os níveis dos oceanos em todo o globo ameaçando as casas e as vidas de centenas de milhões de pessoas que vivem próximas da costa um dos maiores desafios enfrentados pela civilização no século XXi é prevenirse contra essas ameaças TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 177 uma das paredes de uma sala é de con creto outra de cobre e uma terceira é feita de aço todas as paredes têm o mesmo tamanho e estão à mesma temperatura de 20 c Qual das paredes parece mais fria ao tato i a parede de concreto ii a parede de cobre iii a parede de aço iv as três paredes parecem igualmente frias ao tato Figura 1730 a como consequência da queima de combustíveis fósseis pelos humanos a concentração de dióxido de carbono na atmosfera agora é mais que 33 maior do que na era préindustrial b Em decorrência da maior concentração de co2 durante os últimos 50 anos a temperatura média do globo terrestre aumentou em uma taxa média de aproximadamente 013 c a cada década Média anual Média móvel por 5 anos Por mais de 400000 anos antes da era industrial a concentração de CO2 nunca passou de 300 ppm Em decorrência da queima de combustíveis fósseis o valor atual é aproximadamente 400 ppm e está subindo A maior concentração de CO2 na atmosfera pela queima de combustíveis fósseis é a causa desse aumento contínuo nas temperaturas médias globais a b Concentração de CO2 na atmosfera partes por milhão 400 300 325 350 375 200 225 250 275 175 400000 300000 200000 100000 0 Anos atrás Diferença na temperatura média global de 1951 a 1980 C 06 04 02 0 02 04 1940 1920 1900 1960 1980 2000 Ano 1880 BookSEARSVol2indb 228 021015 151 PM CAPÍTULO 17 RESUMO Temperatura e escalas de temperatura dois corpos em equilíbrio térmico devem possuir a mesma temperatura Um material condutor entre dois corpos permite a interação térmica conduzindo o sistema até o equilíbrio térmico um material isolante impede essa interação As escalas Celsius e Fahrenheit de temperatura baseiamse na temperatura de congelamento 0 ºC 32 ºF e de ebulição 100 ºC 212 ºF Um grau Celsius corresponde a 95 de um grau Fahrenheit Ver Exemplo 171 O zero da escala Kelvin é obtido por extrapolação do valor da pressão nula de um termômetro de gás a volume constante 27315 ºC 0 K Na escala de um termômetro de gás a razão entre duas temperaturas T1 e T2 é definida como igual à razão entre as pressões correspondentes do termômetro de gás P1 e P2 Expansão e tensão térmicas uma variação de temperatura ΔT provoca uma variação em qualquer dimensão linear L0 de um corpo sólido A variação ΔL é aproximadamente proporcional a L0 e a ΔT De forma semelhante uma variação de temperatura provoca uma variação de volume ΔV no volume V0 de qualquer material líquido ou sólido ΔV é aproximadamente proporcional a V0 e ΔT As grandezas α e β são o coeficiente de dilatação linear e o coeficiente de dilatação volumétrica respectivamente Em sólidos β 3α Ver exemplos 172 e 173 Quando um material é resfriado ou aquecido e mantido de modo que sua contração ou dilatação seja impedida ele está sob uma tensão térmica FA Ver Exemplo 174 Calor transição de fase e calorimetria o calor é uma energia em trânsito de um corpo para outro como resultado da diferença de temperatura entre esses corpos As equações 1713 e 1718 indicam a quantidade de calor Q necessária para causar uma variação de temperatura ΔT em uma quantidade de material com massa m e calor específico c ou em termos do número de moles n e do calor específico molar C Mc onde M é a massa molar m nM Quando calor é adicionado a um corpo Q é positivo quando ele é removido Q é negativo Ver exemplos 175 e 176 Para fazer a massa m de um material mudar para uma fase diferente a uma temperatura constante como a vaporização de um líquido é necessário fornecer ou retirar uma quantidade dada pela Equação 1720 Aqui L é o calor de fusão vaporização ou sublimação Em um sistema isolado cujas partes interagem mediante troca de calor a soma algébrica de todos os valores de Q entre todas as partes do sistema deve ser igual a zero Ver exemplos 177 a 1710 TF 59 TC 32º 171 TC 59 TF 32º 172 TK TC 27315 173 T2T1 P2P1 174 ΔL α L0 ΔT 176 ΔV β V0 ΔT 178 FA Ya ΔT 1712 Q mc ΔT 1713 Q mc ΔT 1718 Q mL 1720 L L0 ΔL L L0 1 α ΔT T0 ΔT L0 ΔL Fase varia temperatura constante Q mL TºC 100 Ponto de ebulição Ponto de fusão 0 t Temperatura aumenta fase não varia Q mc ΔT Se os sistemas A e B estão em equilíbrio térmico com o sistema C então os sistemas A e B estão em equilíbrio térmico entre si 230 Física II Condução convecção e radiação a condução é a transferência de calor produzida pelo movimento molecular no interior de um material sem que ocorra transferência de massa a taxa de transferência de calor H depende da área A através da qual o calor flui do comprimento L do percurso da diferença de temperatura Th Tc e da condutividade térmica k do material ver exemplos 1711 a 1713 a convecção é um processo complexo que envolve a transferência de massa de uma região para outra do material a radiação é a transferência de energia por ondas eletromagnéticas a taxa de transferência de calor H produzida pela radiação depende da área da su perfície A da emissividade e da superfície um nú mero puro entre 0 e 1 e da temperatura Kelvin T Envolve também uma constante fundamental s conhecida como constante de stefanBoltzmann a taxa de transferência de calor Htotal por radiação de um corpo na temperatura T para o ambiente na tem peratura Ts depende tanto de T quanto de Ts ver exemplos 1714 e 1715 H dQ dt kA TH TC L 1721 H AesT4 1725 Htotal Aes 1T4 Ts 42 1726 TH A L Taxa de transferência H TC TH TC L Taxa de transferência H kA Problema em destaque Transferência de calor estacionária radiação e condução uma extremidade de uma barra de cobre sólida e cilíndrica com 0200 m de extensão e 00250 m de raio é inserida em um grande bloco de hidrogênio sólido em sua temperatura de fusão 1384 K a outra extremidade é um corpo negro e está exposta à radiação térmica das paredes ao redor a 5000 K alguns telescópios no espaço empregam uma montagem se melhante a essa um refrigerador sólido mantém o telescópio bastante frio exigido para a operação correta embora ele esteja exposto diretamente à luz solar os lados da barra são isolados de modo que nenhuma energia se perde ou ganha exceto nas extremidades da barra a Quando o equilíbrio é al cançado qual é a temperatura da extremidade do corpo negro a condutividade térmica do cobre em temperaturas próximas de 20 K é 1670 wm K b Em que taxa em kgh o hidro gênio sólido se funde gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 Desenhe um esboço da situação mostrando todas as dimen sões relevantes 2 Liste as grandezas conhecidas e desconhecidas identifi cando as variáveisalvo 3 Para que a barra esteja em equilíbrio como a taxa de trans ferência por radiação das paredes para a extremidade de corpo negro da barra se relaciona à taxa de transferência por condução dessa extremidade para a outra e para o hidrogê nio sólido use suas respostas para selecionar as equações apropriadas para o item a 4 como a transferência de calor da barra para o hidrogênio determina a taxa em que o hidrogênio se funde Dica veja a tabela 174 use suas respostas para selecionar as equa ções apropriadas para o item b EXECUTAr 5 Determine a temperatura da extremidade de corpo negro da barra Dica como o cobre é um excelente condutor de calor a baixas temperaturas você pode considerar que a temperatura da extremidade de corpo negro é apenas ligei ramente maior que 1384 K 6 use o resultado do item 5 para determinar a taxa em que o hidrogênio se funde AVALIAr 7 o resultado do item 5 é consistente com a sugestão dada nesse item 8 como seus resultados dos itens 5 e 6 seriam afetados se a barra tivesse o dobro do raio BookSEARSVol2indb 230 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 231 problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q171 Explique por que não faria sentido usar um termômetro de vidro de tamanho normal para medir a temperatura de uma gota de água quente Q172 se você aquece o ar dentro de um recipiente rígido e selado até que sua temperatura na escala Kelvin dobre a pressão do ar no recipiente também dobrará será que o mesmo acontece se você dobrar a temperatura em celsius do ar no recipiente Explique Q173 Muitos motores de automóveis possuem cilindros de ferro fundido e pistões de alumínio Que problemas podem sur gir caso o motor se aqueça em demasia o coeficiente de di latação volumétrica do ferro fundido é aproximadamente igual ao do aço Q174 Por que um tubo contendo água se rompe quando a água congela um termômetro de mercúrio se romperia se a tempe ratura fosse menor que a temperatura de solidificação do mer cúrio Por quê Q175 Dois corpos feitos com o mesmo material possuem as mesmas dimensões externas e a mesma aparência porém um é sólido e o outro é oco Quando a temperatura dos dois corpos aumentar a dilatação volumétrica dos corpos será a mesma ou será diferente Por quê Q176 Por que às vezes é possível afrouxar tampas de garrafas com rosca mergulhando a garrafa em água quente rapidamente Q177 a parte interna de um forno está a uma temperatura de 200 c você pode colocar suas mãos no interior do forno sem se queimar desde que não toque em nada considerando que o ar do interior do forno também está a 200 c por que você não queima as mãos Q178 um artigo de jornal sobre o clima afirma que a tempe ratura de um corpo indica a quantidade de calor que ele contém Esta afirmação está correta Por quê Q179 uma aluna afirma que 1 m2s2 c é uma unidade de calor específico apropriada Ela está correta Por quê Q1710 Nos condicionadores de ar domésticos usados em cli mas secos o ar é esfriado forçandose a sua circulação através de um filtro embebido em água ocorrendo vaporização de parte da água como o ar esfria Esse dispositivo funcionaria em um local de clima muito úmido Por quê Q1711 as unidades de calor específico c são Jkg K mas as unidades de calor de fusão Lf ou calor de vaporização Lv são simplesmente Jkg Por que as unidades de Lf e Lv não incluem o fator K1 para levar em conta uma variação de temperatura Q1712 Por que um dia quente e úmido nos trópicos costuma ser mais desconfortável para os seres humanos que um dia quente e seco no deserto Q1713 um pedaço de folha de alumínio que enrola uma ba tata assada pode em geral ser manuseado sem riscos alguns segundos depois que a batata é retirada do forno contudo o mesmo não é verdade a respeito da batata Dê duas razões para essa diferença Q1714 alguns viajantes no deserto transportam água em um recipiente de lona uma parte da água se infiltra e evapora da parte externa do recipiente como isso faz a água de dentro do recipiente esfriar Q1715 assim que sai do chuveiro você sente frio Quando você se enxuga contudo deixa de sentir frio embora a tempe ratura externa não sofra nenhuma variação Por quê Q1716 o clima de uma região próxima a grandes massas de água como a costa do Pacífico ou o oceano atlântico geral mente é mais moderado que o clima em uma região muito afas tada dessas massas de água como em prados Por quê Q1717 Quando você coloca água na bandeja de cubos de gelo em um freezer por que a água não congela totalmente de uma só vez ao atingir 0 c Na realidade o congelamento começa nas áreas adjacentes aos lados da bandeja Por quê Q1718 antes de aplicar uma injeção o médico esfrega seu braço com algodão embebido em álcool isopropílico à tempera tura ambiente Por que isso faz você sentir seu braço frio Dica a razão não é o medo da injeção a temperatura de ebulição do álcool isopropílico é igual a 824 c Q1719 um bloco de metal frio parece estar mais frio que um bloco de madeira à mesma temperatura Por quê um bloco de metal quente parece estar mais quente que um bloco de madeira à mesma temperatura Novamente por quê Existiria alguma temperatura na qual os blocos aparentariam estar igualmente quentes ou frios Que temperatura seria essa Q1720 uma pessoa enche uma xícara com café quente com a intenção de tomálo cinco minutos depois Para manter o café o mais quente possível ela deveria cobrilo com creme no mo mento em que enche a xícara ou seria melhor colocar o creme no momento em que fosse beber o café Explique Q1721 Quando você retira uma torta de maçã do forno a massa e o recheio estão na mesma temperatura contudo ao cortar a torta o recheio queima sua língua mas a massa não Por que existe essa diferença Dica o recheio está úmido enquanto a massa está seca Q1722 um velho provérbio culinário diz que os alimentos cozinham melhor mais uniformemente e sem queimar em pa nelas pesadas de ferro fundido Que características tornam essas panelas preferíveis Q1723 Nas regiões litorâneas no inverno a temperatura sobre a terra costuma ser mais fria que a temperatura sobre o oceano próximo no verão ocorre o contrário Explique Dica o calor específico do solo tem um valor entre 02 e 08 vez o valor do calor específico da água Q1724 sabemos que uma batata cozinha mais rapidamente quando um espeto grande a atravessa Por quê um espeto de alumínio é mais eficiente que um espeto de aço Por quê Dica não tente fazer essa experiência em um forno de micro ondas Existe também um dispositivo comercial para acelerar o processo de assar carne constituído por um tubo metálico oco contendo um pavio e um pouco de água afirmase que esse es peto é mais eficiente que um espeto metálico sólido como esse dispositivo funciona Q1725 os pilotos de planadores sabem que na região centro oeste dos Estados unidos as correntes térmicas ascendentes têm maior probabilidade de ocorrer nas vizinhanças dos campos recentemente arados Por quê Q1726 algumas pessoas dizem que cubos de gelo congelam mais rapidamente quando se enchem as bandejas de gelo com BookSEARSVol2indb 231 021015 151 PM 232 Física II água quente porque ela esfria mais rapidamente que a água fria o que você pensa sobre essa afirmação Q1727 Nós temos sorte de a terra não estar em equilíbrio tér mico com o sol visto que a temperatura na superfície do sol é 5800 K Mas por que a terra e o sol não estão em equilíbrio térmico Q1728 Quando há escassez de energia em países frios muitos artigos de revistas recomendam às pessoas que mantenham suas casas a uma temperatura constante durante o dia e à noite para poupar combustível Esses artigos afirmam que quando se des liga o aquecimento à noite as paredes o teto e outras áreas se resfriam e precisam ser reaquecidos de manhã assim mantendo a temperatura constante essas partes da casa não se resfriarão e não terão de ser reaquecidas Esse argumento faz sentido as pessoas realmente poupariam energia seguindo esse conselho EXErCÍCIos seção 172 Termômetros e escalas de temperatura 171 converta as seguintes temperaturas de graus celsius em graus fahrenheit a 628 c a temperatura mais baixa já registrada na américa do Norte 3 de fevereiro de 1947 snag Yukon b 567 c a temperatura mais alta já regis trada nos Estados unidos 10 de julho de 1913 vale da Morte califórnia c 311 c a temperatura média anual mais alta do mundo Lugh ferrandi somália 172 BIo Temperaturas na biomedicina a Temperatura do corpo normal a temperatura média do corpo normal me dida na boca é 310 K Qual seria a leitura em termômetros celsius e fahrenheit para essa temperatura b Temperatura do corpo elevada Durante um exercício físico muito intenso a temperatura do corpo pode chegar a até 40 c Qual seria a leitura em termômetros celsius e fahrenheit para essa tempera tura c Diferença de temperatura no corpo a temperatura da superfície do corpo normalmente é cerca de 7 c menor que a temperatura interna Expresse essa diferença em kelvins e em graus fahrenheit d Estoque de sangue o sangue guardado a 40 c dura com segurança cerca de 3 semanas enquanto o sangue guardado a 160 c dura 5 anos Expresse as duas tem peraturas nas escalas fahrenheit e Kelvin e Hipertermia se a temperatura do corpo ficar acima de 105 f por um período prolongado isso pode ocasionar hipertermia Expresse essa tem peratura nas escalas celsius e Kelvin 173 a Em 22 de janeiro de 1943 a temperatura em spearfish Dakota do sul subiu de 40 f para 450 f em apenas 2 minu tos Qual foi a variação de temperatura em graus celsius b a temperatura em Browning Montana era 440 f em 23 de janeiro de 1916 No dia seguinte a temperatura caiu para 56 f Qual foi a variação de temperatura em graus celsius seção 173 Termômetro de gás e escala Kelvin 174 a calcule a única temperatura em que as escalas fahrenheit e celsius coincidem b calcule a única temperatura em que as escalas fahrenheit e Kelvin coincidem 175 você coloca uma garrafa de refrigerante na geladeira e a deixa lá até que a temperatura tenha baixado 100 K Qual é a variação de temperatura a em f e b em c 176 converta as seguintes temperaturas da escala Kelvin para a escala celsius e a fahrenheit a a temperatura ao meio dia na superfície da Lua 400 K b a temperatura no topo das nuvens na atmosfera de saturno 95 K c a temperatura no centro do sol 155 107 K 177 a pressão de um gás no ponto triplo da água é 135 atm se o seu volume permanecer inalterado qual será a sua pressão à temperatura em que o co2 se solidifica 178 um termômetro de gás com volume constante registra uma pressão absoluta que corresponde a 325 mm de mercúrio quando em contato com a água no ponto triplo Qual seria a pressão lida no termômetro se estivesse em contato com água no ponto de ebulição normal 179 Termômetro de gás a volume constante usando um termômetro de gás um pesquisador verificou que a pressão do ponto triplo da água 001 c era igual a 480 104 Pa e a pressão do ponto de ebulição normal da água 100 c era igual a 650 104 Pa a supondo que a pressão varie linearmente com a temperatura use esses dados para calcular a temperatura celsius na qual a pressão do gás seria igual a zero isto é ache a temperatura celsius do zero absoluto b o gás nesse termôme tro obedece à Equação 174 de modo exato caso essa equação fosse obedecida rigorosamente e a pressão a 100 c fosse igual a 650 104 Pa qual seria a pressão medida a 001 c como você estudará na seção 181 a Equação 174 é precisa apenas para gases de baixa densidade 1710 como a escala Kelvin a Rankine é uma escala de tem peratura absoluta o zero absoluto é zero graus rankine 0 r Entretanto as unidades dessa escala são do mesmo tamanho que as da escala fahrenheit e não da escala celsius Qual é o valor numérico da temperatura de ponto triplo da água na escala rankine seção 174 Expansão térmica 1711 a ponte humber na inglaterra cujo comprimento é de 1410 m é uma das pontes de maior vão no mundo calcule a variação do comprimento da base de aço do vão quando a tempe ratura aumenta de 5 c para 180 c 1712 um dos edifícios mais altos do mundo é o taipei 101 em taiwan com 50932 m de altura suponha que essa altura tenha sido medida em um dia fresco de primavera quando a tem peratura era 155 c você pode usar o edifício como uma espécie de termômetro gigante em um dia quente de verão medindo sua altura cuidadosamente suponha que você faça isso e descubra que o taipei 101 está 0144 m mais alto que sua altura oficial Qual é a temperatura supondo que o edifício esteja em equilíbrio térmico com o ar e que toda a sua estrutura seja feita de aço 1713 o diâmetro da moeda de um centavo de dólar ameri cano é 19000 cm a 200 c a moeda é feita com uma liga me tálica quase toda de zinco cujo coeficiente de dilatação linear é igual a 26 105K1 Qual seria seu diâmetro a em um dia quente no vale da Morte 480 c b em uma noite fria nas montanhas da Groenlândia 53 c 1714 Garantia de uma junta firme os rebites de alumí nio usados na construção de aviões são feitos com um diâmetro ligeiramente maior que o do buraco e resfriados com gelo seco co2 sólido antes de serem colocados nos respectivos buracos sabendo que o diâmetro de um buraco é 4500 mm qual deve ser o diâmetro de um rebite a 230 c para que seu diâmetro fique igual ao do buraco quando o rebite for esfriado até 780 c a temperatura do gelo seco que será usado suponha que o coeficiente de dilatação permaneça constante no valor dado na tabela 171 1715 um cilindro de cobre está inicialmente a 200 c Em que temperatura seu volume tornase 0150 maior do que a 200 c BookSEARSVol2indb 232 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 233 1716 um domo geodésico construído com estrutura de alu mínio é um hemisfério quase perfeito seu diâmetro mede 550 m em um dia de inverno a uma temperatura de 15 c Qual é o aumento do espaço interior do domo no verão quando a tempe ratura é 35 c 1717 um frasco de vidro com volume igual a 100000 cm3 a 00 c está completamente cheio de mercúrio a essa mesma tem peratura Quando esse sistema é aquecido até 550 c um volume de 895 cm3 de mercúrio transborda sabendo que o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é igual a 180 105 K1 calcule o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro 1718 um tanque de aço é completamente cheio com 190 m3 de etanol quando tanto o tanque quanto o etanol estão à tempera tura de 320 c Quando o tanque e seu conteúdo tiverem esfriado até 180 c que volume adicional de etanol pode ser colocado 1719 um torneiro mecânico faz um furo de diâmetro igual a 135 cm em uma placa de aço a uma temperatura de 250 c Qual é a área da seção reta do orifício a a 250 c b quando a temperatura da placa aumenta para 175 c suponha que o co eficiente de dilatação linear permaneça constante nesse intervalo de temperatura 1720 você é o novo engenheiro mecânico da Motores inc e foi incumbido de projetar pistões de latão para deslizarem den tro de cilindros de aço os motores em que esses pistões serão usados funcionarão entre 200 c e 1500 c suponha que os coeficientes de dilatação se mantenham constantes nesse inter valo de temperatura a se o pistão se encaixa perfeitamente no cilindro a 200 c os motores funcionarão em temperaturas mais altas Explique b se os pistões cilíndricos têm 25000 cm de diâmetro a 200 c qual deveria ser o diâmetro mínimo dos cilindros nessa temperatura para que os pistões funcionassem a 1500 c 1721 os trilhos de aço de uma estrada de ferro estão dis postos em segmentos de 120 m de comprimento ligados pelas extremidades os trilhos são instalados em um dia de inverno com temperatura igual a 90 c a Qual o espaço que deve ser mantido entre dois segmentos de trilho adjacentes de modo que eles se toquem em um dia de verão com uma temperatura de 330 c b caso os trilhos estivessem em contato inicial mente qual seria a tensão sobre eles em um dia de verão a uma temperatura de 330 c 1722 uma barra de latão possui comprimento igual a 185 cm e diâmetro igual a 160 cm Qual é a força que deve ser aplicada a cada extremidade da barra para impedir que ela se contraia quando for esfriada de 1200 c para 100 c seção 175 Quantidade de calor 1723 uma chaleira de alumínio com massa igual a 110 kg e contendo 180 kg de água é colocada para esquentar em um fogão supondo que não haja nenhuma perda de calor para o am biente qual é a quantidade de calor a ser adicionada para elevar a temperatura de 200 c a 850 c 1724 Para se manter acordado em seus estudos durante uma noite inteira um estudante prepara uma xícara de café inicial mente colocando um aquecedor elétrico de 200 w em 0320 kg de água a Qual é o calor transferido para a água para elevar sua temperatura de 200 c a 800 c b Quanto tempo é ne cessário suponha que toda a potência do aquecedor seja trans formada em calor para aquecer a água 1725 BIo Durante uma corrida um estudante de 70 kg gera uma energia térmica a uma taxa de 1200 w Para manter a temperatura do corpo constante e igual a 37 c essa energia deve ser removida pela transpiração ou por outros mecanismos caso esses mecanismos falhem e o calor não possa ser removido do corpo do estudante durante quanto tempo ele poderia correr antes que ocorresse um dano irreversível a seu corpo Nota as estruturas das proteínas no corpo são irreversivelmente danifi cadas quando a temperatura do corpo passa de 44 c o calor específico de um corpo humano típico é igual a 3480 Jkg K ligeiramente menor que o da água a diferença é produzida pela presença de proteínas gorduras e minerais que possuem calores específicos menores 1726 BIo Perda de calor durante a respiração Em cli mas muito frios um mecanismo importante na perda de calor pelo corpo humano é a energia gasta para aquecer o ar nos pul mões a cada respiração a Em um dia de inverno muito frio quando a temperatura é 20 c qual é a quantidade de calor necessária para aquecer 050 L de ar trocado na respiração até atingir a temperatura do corpo humano 37 c suponha que o calor específico do ar seja igual a 1020 Jkg K e que a massa de 10 L de ar seja 13 103 kg b Qual o calor perdido por hora considerando 20 respirações por minuto 1727 você precisa descobrir o calor específico de uma amostra de metal você pesa a amostra e descobre que seu peso é 284 N Então acrescenta cuidadosamente 125 104 J à amos tra e descobre que sua temperatura sobe 180 c Qual é o calor específico da amostra 1728 Aquecedores de água por demanda os aquecedo res de água quente convencionais consistem em um tanque de água mantido a uma temperatura fixa a água quente será usada quando necessário as desvantagens são que a energia é des perdiçada pois o tanque perde calor quando não está em uso e que você pode ficar sem água quente se utilizála em demasia algumas empresas de energia elétrica estão encorajando o uso de aquecedores de água por demanda também conhecidos como aquecedores flash que consistem em unidades de aquecimento para aquecer a água à medida que você a utiliza Não existe re servatório de água e portanto nenhum calor é desperdiçado a taxa de uso de água em um chuveiro doméstico é de 946 Lmin com a água sendo aquecida de 10 c para 49 c pelo aquecedor por demanda Que taxa de entrada de calor por eletricidade ou por gás é necessária para operar essa unidade supondo que todo o calor vá para a água 1729 PC um trabalhador pintando o topo de uma antena a uma altura de 225 m deixa cair acidentalmente da sua mo chila uma garrafa com 10 L de água a garrafa é amortecida por arbustos e atinge o solo sem se quebrar supondo que a água absorva uma quantidade de calor igual ao módulo da variação da energia potencial qual é o aumento da temperatura da água 1730 PC um trem do metrô com massa igual a 25000 kg viajando inicialmente a 155 ms diminui sua velocidade e para em uma estação permanecendo lá por tempo suficiente para que seus freios esfriem as dimensões da estação são 650 m de compri mento por 200 m de largura e 120 m de altura supondo que todo o trabalho realizado pelos freios para parar o trem seja transferido como calor uniformemente para todo o ar na estação quanto au menta a temperatura do ar na estação considere a densidade do ar 120 kgm3 e seu calor específico como 1020 Jkg K 1731 PC a temperatura de um prego aumenta quando é cravado em uma placa supondo que 60 da energia cinética fornecida por um martelo de 180 kg com velocidade de 780 ms seja transformada em calor para aquecer o prego e que não exista fluxo de calor para fora dele qual seria o aumento da temperatura de um prego de 800 g de alumínio depois que ele recebesse dez marteladas BookSEARSVol2indb 233 021015 151 PM 234 Física II 1732 um técnico mede o calor específico de um líquido não identificado introduzindo um resistor elétrico nesse líquido a energia elétrica é convertida no calor transferido ao líquido du rante 120 s a uma taxa constante de 650 w a massa do líquido é 0780 kg e sua temperatura cresce de 1855 c a 2254 c a calcule o calor específico médio do líquido nesse intervalo de temperatura suponha que não haja perda de calor nem para o ambiente nem para o recipiente que contém o líquido b suponha agora que o calor transferido ao ambiente e ao reci piente não seja desprezível o resultado calculado na parte a seria uma estimativa superestimada ou subestimada do calor específico médio Explique 1733 PC uma bala de 150 g viajando horizontalmente a 865 ms atravessa um tanque contendo 135 kg de água e emerge com uma velocidade de 534 ms Qual é o aumento de temperatura máximo que a água poderia ter em consequência desse evento seção 176 Calorimetria e transições de fase 1734 você tem 750 g de água a 100 c em um grande re cipiente isolado Quanta água fervendo a 1000 c você precisa acrescentar a esse recipiente para que a temperatura final da mis tura seja 75 c 1735 um bloco de 5000 g de um metal desconhecido que esteve na água fervente por vários minutos é rapidamente co locado dentro de um copo de isopor isolante contendo 100 kg de água à temperatura ambiente 200 c Depois de esperar e mexer delicadamente por 500 minutos você observa que a temperatura da água alcançou o valor constante de 220 c a supondo que o isopor absorva uma quantidade desprezível de calor e que nenhum calor seja perdido para o ambiente qual é o calor específico do metal b Que material é mais útil para armazenar energia térmica esse metal ou uma quantidade igual de água Explique c suponha agora que o calor absorvido pelo isopor não seja desprezível o calor específico calculado na parte a seria alto demais baixo demais ou continuaria sendo correto Explique 1736 BIo Tratamento para um acidente vascular cere bral um tratamento sugerido para pessoas que sofreram um acidente vascular cerebral é a imersão em uma banheira de água gelada a 0 c para reduzir a temperatura do corpo impedindo danos ao cérebro Em um conjunto de testes os pacientes foram resfriados até que sua temperatura interna alcançasse 320 c Para tratar de um paciente com 700 kg qual é a quantidade mí nima de gelo a 0 c que você precisa ter na banheira para que a temperatura permaneça a 0 c o calor específico do corpo humano é 3480 Jkg c e lembrese de que a temperatura normal do corpo é 370 c 1737 um ferreiro resfria um pedaço de ferro de 120 kg inicialmente a 6500 c derramando água a 150 c sobre ele toda a água ferve e o ferro acaba ficando com 1200 c Quanta água o ferreiro precisou derramar sobre o ferro 1738 um calorímetro de cobre com massa igual a 0100 kg contém 0160 kg de água e 00180 kg de gelo em equilíbrio térmico na pressão atmosférica se um bloco de chumbo de 0750 kg a uma temperatura de 255 c for colocado no recipiente qual será a temperatura final de equilíbrio suponha que não ocorra nenhuma perda de calor para o ambiente 1739 uma panela de cobre com massa de 0500 kg contém 0170 kg de água e ambos estão a 200 c um bloco de ferro de 0250 kg a 850 c é jogado na panela Determine a tempera tura final do sistema supondo que não ocorra nenhuma perda de calor para o ambiente 1740 Em um recipiente com massa desprezível misturam se 0200 kg de gelo a uma temperatura inicial de 400 c a uma massa m de água que possui temperatura inicial de 800 c Não há perda de calor para o ambiente se a temperatura final do sistema for 280 c qual é a massa m da água que estava inicialmente a 800 c 1741 um pedaço de cobre sólido com 600 kg a uma tempe ratura inicial T é colocado junto a 200 kg de gelo inicialmente a 200 c o gelo está em um recipiente isolado com massa des prezível e nenhum calor é trocado com o ambiente Depois que o equilíbrio térmico for atingido há 120 kg de gelo e 080 kg de água líquida Qual era a temperatura inicial do pedaço de cobre 1742 BIo antes de ir fazer seu exame médico anual um homem de 700 kg cuja temperatura é 370 c consome uma lata inteira de 0355 L de refrigerante quase todo composto de água a 120 c a Qual deve ser a temperatura do corpo dele quando o equilíbrio for atingido Despreze qualquer efeito de aquecimento provocado pelo metabolismo do homem o calor específico do corpo do homem é igual a 3480 Jkg K b a va riação de temperatura do corpo dele é suficiente para que possa ser lida por um termômetro médico comum 1743 BIo Taxa de metabolismo basal Na situação des crita no Exercício 1742 o metabolismo do homem acabará fa zendo com que sua temperatura final de equilíbrio e a da bebida ingerida volte a 370 c supondo que o corpo libere energia a uma taxa de 700 103 kJdia conhecida pela sigla BMr que significa taxa metabólica basal quanto tempo o processo leva ria suponha que toda a energia liberada seja usada para elevar a temperatura 1744 uma bandeja de cubos de gelo com massa desprezível contém 0290 kg de água a 180 c Qual é a quantidade de calor necessária para esfriar a água até 00 c e solidificála Dê a resposta em joules calorias e Btu 1745 Qual é o calor total necessário para converter 180 g de gelo a 100 c em vapor dágua a 1000 c Dê a resposta em joules calorias e Btu 1746 um recipiente aberto contém 0550 kg de gelo a 150 c a massa do recipiente pode ser desprezada fornecemos calor ao recipiente a uma taxa de 8000 Jmin du rante 5000 min a Depois de quantos minutos o gelo começa a derreter b Depois de quantos minutos a partir do momento em que o aquecimento começou a temperatura começará a se tornar maior que 00 c c faça um gráfico mostrando a tem peratura em função do tempo decorrido 1747 PC Qual deve ser a velocidade inicial de uma bala de chumbo a uma temperatura de 250 c para que o calor produ zido quando ela atinge o repouso seja exatamente suficiente para fundila suponha que toda a energia mecânica inicial da bala seja convertida em calor e que não haja nenhum fluxo de calor da bala para suas vizinhanças a bala sai do cano de um rifle típico com uma velocidade maior que a velocidade do som no ar que é igual a 347 ms a 250 c 1748 BIo Queimadura de água versus queimadura de vapor dágua Qual é o calor transferido para sua pele quando ela recebe calor liberado a por 250 g de vapor dágua inicial mente a 1000 c quando ele esfria até atingir a temperatura da pele 340 c b Por 250 g de água inicialmente a 1000 c quando ela esfria até atingir 340 c c o que você pode con cluir acerca da intensidade relativa de queimadura causada por água quente e de queimadura causada por vapor dágua 1749 BIo O navio do deserto os camelos necessitam de pouca água porque seus corpos podem tolerar variações de BookSEARSVol2indb 234 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 235 temperatura relativamente grandes Enquanto um homem man tém a temperatura do corpo constante com uma flutuação de um até dois graus celsius um camelo desidratado pode suportar uma queda da temperatura em seu corpo para até 340 c durante a noite e um aumento da temperatura para até 400 c durante o dia Para verificar a eficácia desse mecanismo de retenção de água calcule quantos litros de água um camelo de 400 kg teria de beber caso fosse necessário manter a temperatura do seu corpo constante e igual a 34 c pela vaporização do suor durante o dia 12h em vez de deixar sua temperatura aumentar até 40 c Nota o calor específico de um camelo ou de qual quer outro mamífero é aproximadamente igual ao de um homem típico 3480 Jkg K o calor de vaporização da água a 34 c é igual a 242 106 Jkg 1750 BIo a vaporização do suor é um mecanismo de con trole da temperatura de animais de sangue quente a Qual é a massa de água que deve evaporar da pele de um homem de 700 kg para que a temperatura do seu corpo diminua 100 c o calor de vaporização da água na temperatura do corpo 37 c é igual a 242 106 Jkg o calor específico típico do corpo humano é 3480 Jkg K veja o Exercício 1725 b Qual é o volume de água que o homem deve beber para repor a água vaporizada compare o resultado com o volume de uma lata de refrigerante 355 cm3 1751 PC um asteroide com diâmetro de 10 km e massa de 260 1015 kg cai sobre a terra à velocidade de 320 kms aterrissando no oceano Pacífico se 10 da energia cinética do asteroide é utilizada na vaporização da água do oceano suponha uma temperatura inicial da água de 100 c qual a massa de água que será vaporizada pela colisão a título de comparação a massa de água contida no Lago superior é cerca de 2 1015 kg 1752 um técnico de laboratório coloca em um caloríme tro uma amostra de 00850 kg de um material desconhecido a uma temperatura de 1000 c o recipiente do calorímetro inicialmente a 190 c é feito com 0150 kg de cobre e contém 0200 kg de água a temperatura final do calorímetro e seu conteúdo é 261 c calcule o calor específico da amostra 1753 um recipiente isolado de massa desprezível contém 0250 kg de água a uma temperatura de 750 c Quantos qui logramas de gelo a uma temperatura de 200 c devem ser colocados na água para que a temperatura final do sistema seja igual a 400 c 1754 um lingote de prata de 400 kg é retirado de um forno com temperatura igual a 7500 c e colocado sobre um grande bloco de gelo a 00 c supondo que todo o calor liberado pelo lingote seja usado para fundir o gelo qual é a quantidade de gelo que deve ser fundida 1755 um vaso cujas paredes são termicamente isoladas contém 240 kg de água e 0450 kg de gelo tudo a 00 c um tubo proveniente de um aquecedor que produz vapor de água em ebulição na pressão atmosférica é colocado no interior da água Quantos gramas de vapor dágua devem condensar no interior do vaso também na pressão atmosférica para fazer a temperatura do sistema chegar a 280 c Despreze o calor transferido para o recipiente seção 177 mecanismos de transferência de calor 1756 Duas barras uma composta de latão e outra de cobre são unidas ponta a ponta o comprimento da seção de latão é 0300 m e o da seção de cobre é 0800 m cada segmento possui uma área de seção reta de 000500 m2 a ponta livre do seg mento de latão está em uma mistura de água e gelo nos dois casos sob pressão atmosférica normal os lados das barras são isolados de modo que não há perda de calor para o ambiente a Qual é a temperatura do ponto onde os segmentos de latão e cobre são unidos b Que massa de gelo é derretida em 500 minutos pelo calor conduzido pela barra composta 1757 suponha que a barra da figura 1724a seja feita de cobre tenha 450 cm de comprimento e área da seção reta igual a 125 cm2 seja Th 1000 c e Tc 00 c a Qual é o gradiente de temperatura no estado estacionário final ao longo da barra b Qual é a taxa de transferência de calor na barra no estado estacionário final c Qual é a temperatura final do estado estacionário em um ponto da barra situado a 120 cm da extremidade esquerda da barra 1758 uma das extremidades de uma barra metálica isolada é mantida a 1000 c e a outra extremidade é mantida a 00 c por uma mistura de gelo e água a barra tem 600 cm de comprimento e uma seção reta com área igual a 125 cm2 o calor conduzido pela barra produz a fusão de 850 g de gelo em 100 min ache a condutividade térmica k do metal 1759 um carpinteiro constrói a parede externa de uma casa usando uma camada de madeira com 30 cm de espessura e uma camada de isopor com espessura de 22 cm na superfície interna da parede a madeira possui k 0080 wm K e o isopor pos sui k 0027 wm K a temperatura da superfície interna da parede é igual a 190 c e a temperatura da superfície externa é igual a 100 c a Qual é a temperatura na superfície da jun ção entre a madeira e o isopor b Qual é a taxa de transferência de calor por metro quadrado através dessa parede 1760 um fogão de cozinha elétrico tem paredes com área total igual a 140 m2 e um isolante com uma camada de fibra de vidro de espessura igual a 400 cm a superfície interna da fibra de vidro possui temperatura igual a 175 c e a superfície externa está a 350 c a condutividade térmica da fibra de vidro é 0040 wm K a Qual é a taxa de transferência de calor através do isolante supondo que ele possa ser tratado como uma placa de área total igual a 140 m2 b Que potência elétrica deve ser fornecida ao elemento aquecedor para manter a temperatura necessária 1761 BIo Condução através da pele o sangue desempe nha um papel importante na remoção de calor do corpo trazendo essa energia diretamente para a superfície onde pode ser irra diada apesar disso o calor ainda precisa atravessar a pele antes que possa ser eliminado suponha que o sangue seja trazido até a camada interna da pele a 370 c e que a superfície externa da pele esteja a 300 c a pele varia de espessura de 050 até al guns milímetros nas palmas e solas portanto vamos considerar uma espessura média de 075 mm um adulto normal possui uma área de superfície com cerca de 20 m2 e perde calor a uma taxa total de 75 w enquanto está em repouso com base em nossas suposições qual a condutividade térmica da pele dessa pessoa 1762 uma das extremidades de uma barra longa isolada na superfície lateral para impedir a perda de calor para o ambiente está em contato térmico perfeito com água em ebulição na pres são atmosférica e a outra extremidade está em contato com uma mistura de água e gelo Figura E1762 a barra é composta por uma seção de 100 m de cobre com uma extremidade no vapor dágua e ligada pela outra extremidade a uma seção de aço de comprimento L2 com extremidade imersa na mistura de água e gelo as duas seções da barra possuem uma seção reta com a mesma área de 400 cm2 a temperatura da junção entre o cobre e o aço é igual a 650 c depois de ser atingido o estado estacionário a Qual é a quantidade de calor por segundo que flui do lado em contato com o vapor para a extremidade imersa BookSEARSVol2indb 235 021015 151 PM 236 Física II na mistura de água e gelo b Qual é o comprimento L2 da seção de aço Figura E1762 Gelo e água Água em ebulição 100 m L2 650 C Isolamento COBRE AÇO 1763 uma panela com fundo de aço de espessura igual a 850 mm está em repouso sobre um fogão quente a área da base da panela é 0150 m2 a água no interior da panela está a 1000 c e são vaporizados 0390 kg de água a cada 300 min calcule a temperatura da superfície inferior da panela que está em contato com o fogão 1764 você foi encarregado de projetar uma barra de aço cilíndrica de 500 cm de comprimento com uma seção reta cir cular que conduzirá 1900 Js de um forno a 4000 c a um recipiente de água fervente à pressão de uma atmosfera Qual deve ser o diâmetro da barra 1765 uma janela panorâmica tem dimensões de 140 m 250 m e é feita de vidro com 520 mm de espessura Em um dia de inverno a temperatura exterior é 200 c enquanto a temperatura interior é confortável 195 c a Qual a taxa de perda de calor por condução pela janela b Qual seria a taxa de perda de calor se você cobrisse a janela com uma camada de papel de 0750 mm de espessura condutividade térmica de 00500 wm K 1766 Qual é a taxa de irradiação da energia por unidade de área de um corpo negro que está a uma temperatura de a 273 K b 2730 K 1767 uma panela esférica contém 075 L de café quente basicamente água a uma temperatura inicial de 95 c a pa nela tem uma emissividade de 060 e o ambiente está a 200 c calcule a taxa de perda de calor por radiação do café 1768 a emissividade do tungstênio é igual a 0350 uma esfera de tungstênio com raio de 150 cm está suspensa no interior de um grande recipiente a vácuo cujas paredes estão a 2900 K Que potência deve ser fornecida à esfera para manter sua tem peratura em 30000 K desprezandose a condução de calor ao longo do suporte da esfera 1769 Área do filamento de uma lâmpada incandescente a temperatura de operação do filamento de tungstênio de uma lâmpada incandescente é 2450 K e sua emissividade é igual a 0350 calcule a área da superfície do filamento de uma lâmpada de 150 w supondo que toda energia elétrica consumida pela lâmpada seja convertida em ondas eletromagnéticas pelo fila mento somente uma fração do espectro irradiado corresponde à luz visível 1770 Raios das estrelas a superfície quente e brilhante de uma estrela emite energia sob forma de radiação eletromagné tica é uma boa aproximação considerar e 1 para essas super fícies calcule os raios das seguintes estrelas supondo que elas sejam esféricas a rigel a estrela azul brilhante da constelação de órion que irradia energia com uma taxa de 27 1032 w e tem uma temperatura de superfície igual a 11000 K b Procyon B visível somente com um telescópio que irradia energia com uma taxa de 21 1023 w e tem uma temperatura de superfície igual a 10000 K c compare suas respostas com o raio da terra com o raio do sol e com a distância entre a terra e o sol rigel é um exemplo de estrela supergigante e Procyon B é uma estrela anã branca ProBLEmAs 1771 PC um pêndulo de foucault consiste em uma esfera de latão com um diâmetro de 350 cm suspensa por um cabo de aço de 105 m de comprimento ambas as medições efetuadas a 200 c Em decorrência de um descuido no projeto a esfera oscilante passa rente ao chão a apenas 20 mm de distância quando a temperatura é 200 c Em que temperatura a esfera começa a tocar o chão 1772 suponha que fosse possível a construção de um aro de aço que se encaixasse com precisão no equador da terra a uma temperatura de 200 c Qual seria o espaço entre o aro e a super fície terrestre caso a temperatura do aro aumentasse 0500 c 1773 você propõe uma nova escala de temperaturas com valores dados em M você define 00 M como o ponto de fusão do mercúrio e 1000 M como o ponto normal de ebulição do mercúrio a Qual é o ponto normal de ebulição da água em M b uma variação de temperatura de 100 M corresponde a quantos graus celsius 1774 PC CALC um peso de 250 kg é pendurado no teto com um fio de cobre fino Em seu modo fundamental esse fio vibra na frequência de um a lá com afinação de concerto 440 hz a seguir você aumenta a temperatura do fio em 40 c a Por qual valor a frequência fundamental varia Ela aumentará ou diminuirá b Por qual porcentagem a velocidade da onda no fio varia c Por qual porcentagem o comprimento de onda da onda estacionária fundamental varia Ele aumentará ou diminuirá 1775 você está fazendo um molho pesto para seu ma carrão e usa uma xícara cilíndrica de medição com 100 cm de altura feita de vidro comum b 27 105 c1 cheia de azeite de oliva b 68 104 c1 até uma altura 300 mm abaixo do topo da xícara inicialmente a xícara e o azeite estão à temperatura ambiente 220 c você recebe um telefonema e se esquece do azeite deixandoo sobre o fogão quente a xícara e o azeite se aquecem devagar e atingem uma temperatura comum Em que temperatura o azeite começará a transbordar da xícara 1776 a trena de aço de 300 m de um agrimensor está cor reta a 200 c a distância entre dois pontos medida por essa fita em um dia com temperatura de 500 c é 25970 m Qual é a distância verdadeira entre os pontos 1777 uma barra metálica com 300 cm de comprimento se expande de 00650 cm quando sua temperatura aumenta de 00 c até 1000 c uma barra de outro metal com o mesmo comprimento dilatase 00350 cm com a mesma variação de temperatura uma terceira barra também com 300 cm de comprimento feita pela junção de dois pedaços dos materiais mencionados conectados pelas suas extremidades dilatase de 00580 cm entre 00 c e 1000 c calcule o comprimento de cada pedaço da barra composta 1778 Em uma fria manhã de sábado 40 c uma piloto enche de combustível o seu Pitts s2c um avião acrobático com dois assentos até completar sua capacidade máxima de 1060 L antes de voar no domingo pela manhã quando a temperatura é novamente igual a 40 c ela verifica o nível do combustível e nota que existem somente 1034 L de gasolina nos tanques de BookSEARSVol2indb 236 021015 151 PM alumínio Ela conclui que a temperatura no sábado à tarde se elevou e que a expansão térmica da gasolina fez com que o combustível que faltava transbordasse por uma saída dos tanques a Qual foi a temperatura máxima em C atingida pelo combustível na tarde de sábado O coeficiente de dilatação volumétrica da gasolina é igual a 95 104 K1 b Para que ela pudesse dispor de maior quantidade de combustível para o voo quando deveria ter enchido o tanque 1779 a A Equação 1712 fornece a tensão necessária para manter constante o comprimento da barra à medida que a temperatura varia Mostre que se o comprimento pudesse variar de ΔL quando sua temperatura varia por ΔT a tensão seria dada por FA Y ΔL L0 α ΔT onde F é a tensão na barra L0 é o comprimento original da barra A é a área da seção reta α é seu coeficiente de dilatação linear e Y é o módulo de Young b Uma pesada barra de latão possui duas projeções ligadas em suas extremidades como mostra a Figura P1779 Dois fios finos de aço amarrados entre as projeções estão apenas levemente esticados sem nenhuma tensão quando o sistema está a 20 C Qual é a tensão de dilatação nos fios de aço quando a temperatura do sistema se eleva até 140 C Faça as hipóteses simplificadoras que julgar necessárias porém enuncie e explique o que elas significam 1780 PC Um fio de metal com densidade ρ e módulo de Young Y é esticado entre suportes rígidos À temperatura T verificase que a velocidade da onda transversal é v1 Quando a temperatura é elevada para T ΔT a velocidade diminui para v2 v1 Determine o coeficiente de expansão linear do fio 1781 Um anel de aço cujo diâmetro interno a 200 C é 63500 cm deve ser aquecido para se encaixar em um eixo de latão com diâmetro externo igual a 63551 cm a 200 C a Até que temperatura o anel deve ser aquecido b Se o anel e o eixo forem resfriados simultaneamente por algum meio como o ar líquido em que temperatura o anel começa a deslizar para fora do eixo 1782 BIO Donuts café da manhã dos campeões Um donut típico contém 20 g de proteína 170 g de carboidratos e 70 g de gordura Os valores médios de energia do alimento são 40 kcalg para proteína e carboidratos e 90 kcalg para a gordura a Durante um exercício intenso uma pessoa normal utiliza energia a uma taxa de 510 kcalh Quanto tempo você teria de se exercitar para gastar um donut b Se a energia no donut pudesse de alguma maneira ser convertida em energia cinética de seu corpo como um todo com que velocidade você poderia se mover depois de comer o donut Considere que sua massa é 60 kg e expresse sua resposta em ms e em kmh 1783 BIO Calafrios Sentir calafrios é a forma de seu corpo gerar calor para restaurar sua temperatura interna aos 37 C normais e ele produz aproximadamente 290 W de potência de calor por metro quadrado de área do corpo Uma mulher de 68 kg e 178 m de altura tem aproximadamente 18 m2 de área na superfície Quanto tempo essa mulher teria de tremer para elevar sua temperatura corporal em 10 C supondo que o corpo não perca nada desse calor O calor específi co do corpo humano é cerca de 3500 Jkg K 1784 Você resfria um pedaço de ferro candente temperatura igual a 745 C de massa igual a 1000 g mergulhandoo em um recipiente isolado de massa desprezível contendo 850 g de água a 200 C Supondo que não haja nenhuma troca de calor com o meio ambiente a qual é a temperatura fi nal da água e b qual é a massa fi nal do ferro e da água restante 1785 CALC Lei T3 de Debye Em temperaturas muito baixas o calor específi co molar do sal de rocha varia com a temperatura de acordo com a lei T3 de Debye C k T3 θ3 onde k 1940 Jmol K e θ 281 K a Qual é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 150 mol de sal de rocha de 100 K até 400 K Dica use a Equação 1718 na forma dQ nC dT e integre b Qual é o calor específi co molar médio nessa faixa c Qual é o calor específi co molar verdadeiro a 400 K 1786 PC Um homem com 700 kg de massa está em uma banheira Esta possui 1900 cm de comprimento e 800 cm de largura antes de a pessoa entrar a profundidade da água era de 240 cm A água está a uma temperatura de 370 C Suponha que a água esfr iasse espontaneamente e formasse gelo a 00 C e que toda a energia liberada fosse usada para lançar o inafeliz banhista verticalmente para cima Qual seria a altura atingida pelo banhista Como você verá no Capítulo 20 esse evento é permitido pela conservação da energia porém é proibido pela segunda lei da termodinâmica 1787 Ar quente em uma aula de física a Um estudante típico assistindo a uma aula de física atentamente produz um calor de 100 W Qual é a quantidade de calor produzida por uma turma de 140 alunos de física em um anfiteatro ao longo de 50 minutos de aula b Suponha que todo o calor calculado na parte a seja transferido para 3200 m3 de ar do anfiteatro O calor específi co do ar é igual a 1020 Jkg K e sua densidade é 120 kgm3 Sabendo que não ocorre nenhuma perda de calor e o arcondicionado está desligado qual é o aumento da temperatura do ar do anfiteatro durante os 50 minutos de aula c Quando os alunos estão fazendo uma prova o calor produzido por aluno aumenta para 280 W Qual seria o aumento de temperatura do ar do anfiteatro durante 50 minutos nesse caso 1788 CALC O calor específi co molar de certa substância varia com a temperatura de acordo com a seguinte equação empírica C 295 Jmol K 820 103 Jmol K2 T Qual é o calor necessário para fazer a temperatura de 300 mol dessa substância variar de 27 C até 227 C Dica use a Equação 1718 na forma dQ nC dT e integre 1789 BIO Pedalando em um dia quente Se a temperatura do ar é igual à da sua pele cerca de 30 C seu corpo não consegue se livrar do calor transferindoo para o ar Nesse caso ele se livra do calor evaporando água suor Durante um percurso de bicicleta o corpo de uma pessoa de 70 kg produz energia a uma taxa de aproximadamente 500 W em decorrência do metabolismo 80 dos quais são convertidos em calor a Quantos quilos de água o corpo dessa pessoa deverá evaporar em uma 238 Física II hora para livrarse desse calor o calor de vaporização da água na temperatura do corpo é 242 106 Jkg b a água evapo rada naturalmente precisa ser reposta ou a pessoa desidratará Quantas garrafas de água de 750 ml o ciclista deverá beber a cada hora para repor a água perdida Lembrese de que a massa de um litro de água é 10 kg 1790 BIo Superaquecimento a De quanto a temperatura do corpo do ciclista do Problema 1789 aumentaria em uma hora se ele não pudesse se livrar do calor excessivo b Esse aumento de temperatura é grande o suficiente para ser relevante Para des cobrir qual seria a temperatura equivalente a uma febre em f Lembrese de que a temperatura interna do corpo é 986 f e o calor específico do corpo é 3480 Jkg c 1791 BIo Processo termodinâmico em um inseto o be souro bombardeiro africano Stenaptinus insignis pode emi tir um jato de spray de defesa a partir da ponta móvel de seu abdome Figura P1791 o corpo desse inseto possui reser vatórios contendo dois produtos químicos quando o besouro é perturbado esses produtos se combinam em uma câmara de reação produzindo um composto aquecido de 20 c a 100 c pelo calor da reação a alta pressão produzida permite que o composto seja espirrado em velocidades de até 19 ms 68 kmh assustando pre dadores de todos os tipos o besouro mostrado na figura P1791 possui 2 cm de comprimento calcule o calor da reação dos dois pro dutos químicos em Jkg suponha que o calor especí fico dos produtos químicos e do spray seja o mesmo que o da água 419 103 Jkg K e que a temperatura inicial dos produtos químicos seja 20 c 1792 Água quente versus aquecimento a vapor Em um sistema de aquecimento domiciliar a água é enviada aos radiadores a 700 c e sai deles a 280 c o sistema deve ser substituído por outro no qual o vapor dágua a uma pressão de 1 atm se condensa nos radiadores e o vapor condensado deixa os radiadores a 350 c Quantos quilogramas de vapor fornecerão o mesmo calor que foi fornecido por 100 kg de água quente no primeiro sistema 1793 você tem 150 kg de água a 280 c em um recipiente isolado e com massa desprezível são adicionados 0600 kg de gelo inicialmente a 220 c suponha que nenhum calor seja trocado com o ambiente a após o equilíbrio térmico todo o gelo terá sido derretido b se todo o gelo estiver derretido qual é a temperatura final da água no recipiente se restar algum gelo qual é a temperatura final da água no recipiente e quanto resta de gelo 1794 uma enfermeira com sede resfria uma garrafa de 200 L de um refrigerante água em sua maior parte derramando o em uma grande caneca de alumínio com massa de 0257 kg e acrescentando 0120 kg de gelo inicialmente a 150 c se o refrigerante e a caneca estiverem inicialmente a 200 c qual é a temperatura final do sistema supondo que nenhum calor seja perdido 1795 um calorímetro de cobre com 0446 kg de massa con tém 00950 kg de gelo o sistema está inicialmente a 00 c a adicionandose 00350 kg de vapor dágua a 1000 c e 100 atm de pressão à água do recipiente do calorímetro qual será a tempe ratura final do calorímetro e de seu conteúdo b Na temperatura final quantos quilogramas de gelo quanto vapor dágua e quan tos litros de água existem no calorímetro 1796 um balde de isopor de massa desprezível contém 175 kg de água e 0450 kg de gelo Mais gelo de um refrige rador a 15 c é acrescentado à mistura no balde e quando o equilíbrio térmico é atingido a massa total de gelo no balde é 0884 kg supondo que não haja troca de calor com o meio ambiente que massa de gelo foi acrescentada 1797 Em um recipiente de massa desprezível misturamos 00400 kg de vapor dágua a 100 c e adicionase pressão atmos férica a 0200 kg de água a 500 c a se nenhum calor é per dido para as vizinhanças qual é a temperatura final do sistema b Quantos quilogramas de vapor dágua e de água líquida per manecem em equilíbrio na temperatura final 1798 BIo Isolamento em mamíferos animais em climas frios geralmente dependem de duas camadas de isolamento uma camada de gordura do corpo condutividade térmica igual a 020 wm K cercada por uma camada de ar envolvida dentro da pele ou mais abaixo Podemos modelar um urso negro Ursus americanus como uma esfera com 15 m de diâmetro tendo uma camada de gordura de 40 cm de espessura Na realidade a espes sura varia com a estação mas estamos interessados na hibernação quando a camada de gordura é mais grossa Nos estudos sobre hibernação de ursos descobriuse que a camada da superfície externa da pele está a 27 c durante a hibernação enquanto a superfície interna da camada de gordura está a 310 c a Qual é a temperatura no limite entre gordura e interior da pele para que o urso perca calor a uma taxa de 500 w b Qual deverá ser a espessura da camada de ar contida dentro da pele 1799 Efeito de uma janela em uma porta um carpin teiro constrói uma porta de madeira maciça com dimensões de 200 m 095 m 50 cm sua condutividade térmica é k 0120 wm K a película de ar sobre a superfície interna e a película sobre a superfície externa da porta produzem uma resis tência térmica conjunta equivalente a uma camada de madeira adicional com espessura igual a 18 cm a temperatura do ar no interior é igual a 200 c e a temperatura do ar exterior é igual a 80 c a Qual é a taxa de transferência de calor através da porta b Qual é o fator de aumento da transferência de calor se uma janela quadrada de 0500 m de lado for aberta na porta o vidro possui espessura de 0450 cm e sua condutividade térmica é igual a 080 wm K a película de ar sobre a face interna e a película sobre a face externa do vidro produzem uma resistência térmica conjunta equivalente a uma camada de vidro adicional com espessura de 120 cm 17100 um método experimental para medir a condutivi dade térmica de um material isolante consiste em construir uma caixa com esse material e medir a potência fornecida por um aquecedor elétrico no interior da caixa Esse aquecedor mantém o interior da caixa a uma temperatura acima daquela da superfí cie externa suponha que esse dispositivo precise de uma potên cia de 180 w para manter a superfície interna da caixa a 650 c acima da temperatura da superfície externa a área total da caixa é igual a 218 m2 e a parede possui espessura de 390 cm calcule a condutividade térmica do material em unidades si 17101 calcule a razão entre a perda de calor de uma janela simples com área de 015 m2 e a perda de calor de uma janela dupla com a mesma área a espessura do vidro de uma janela simples é 42 mm e o espaço de ar entre os vidros de uma janela dupla tem espessura de 70 mm a condutividade térmica do vidro é igual a 080 wm K a película de ar sobre a superfície interna da sala e a película sobre a superfície externa produzem uma resistência térmica conjunta de 015 m2 Kw Figura P1791 BookSEARSVol2indb 238 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 239 17102 três barras uma de cobre uma de latão e outra de aço cada qual com uma área da seção reta igual a 200 cm2 são soldadas juntas em uma armação em forma de Y a extremidade livre da barra de cobre é mantida a 1000 c e as extremidades li vres das barras de latão e de aço são mantidas a 0 c suponha que não exista perda de calor na superfície lateral de nenhuma barra os comprimentos das barras são cobre 130 cm latão 180 cm aço 240 cm a Qual é a temperatura no ponto da junção entre as barras b Qual a taxa de transferência de calor através de cada barra 17103 três barras uma de latão 120 cm de compri mento uma de cobre 180 cm e outra de alumínio 240 cm cada qual com uma área da seção reta igual a 230 cm3 são soldadas juntas para formar uma barra com 540 cm com o cobre na seção do meio a extremidade livre da seção de latão é mantida a 1000 c e a extremidade livre da seção de alumínio é mantida a 00 c suponha que não exista perda de calor nas su perfícies curvas e que a transferência de calor estacionária tenha sido estabelecida Qual é a a temperatura T1 no ponto da junção entre as seções de latão e cobre b a temperatura T2 no ponto da junção entre as seções de cobre e alumínio c a transferência de calor na seção de alumínio 17104 BIo Taxa metabólica basal a taxa metabólica basal é a taxa em que a energia é produzida no corpo quando uma pessoa está em repouso uma pessoa de 75 kg com 183 m de altura possui uma área de superfície de aproximadamente 20 m2 a Qual é a quantidade resultante de calor que essa pessoa po deria irradiar por segundo em uma sala a 18 c se a temperatura na superfície de sua pele for 30 c Nessas temperaturas quase todo o calor é radiação infravermelha para a qual a emissividade do corpo é 10 independentemente da quantidade de pigmento b Normalmente 80 da energia produzida pelo metabolismo se transforma em calor enquanto o restante é convertido em coisas como bombear sangue e reparar células Normalmente também uma pessoa em repouso pode se livrar desse calor em excesso simplesmente pela radiação use a resposta do item a para des cobrir a taxa metabólica basal dessa pessoa 17105 CALC Tempo necessário para um lago congelar a Quando a temperatura do ar é 0 c a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo Por que o gelo não se forma no volume total do lago b Mostre que a espes sura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional à raiz quadrada do tempo se o calor de fusão da água que congela abaixo da camada de gelo sofrer condução através dessa camada c supondo que a superfície exterior da camada de gelo esteja a uma temperatura de 10 c e a superfície inferior esteja a 0 c calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de 25 cm d caso o lago no item c tenha uma profundidade de 40 m quanto tempo seria necessário para que ocorresse o congelamento do volume total do lago seria prová vel que isso ocorresse 17106 a energia irradiada pelo sol atinge o topo da atmosfera terrestre com uma taxa aproximadamente igual a 150 kwm2 a distância entre a terra e o sol é 150 1011 m e o raio do sol é 696 108 m a Qual é a taxa de irradiação de energia por unidade de área da superfície do sol b supondo que o sol irradie como um corpo negro ideal qual é a temperatura de sua superfície 17107 Uma garrafa térmica para o hélio líquido um físico usa um recipiente cilíndrico metálico com diâmetro de 0090 m e altura de 0250 m para armazenar hélio líquido a 422 K nessa temperatura o calor de vaporização do hélio é igual a 209 104 Jkg Envolvendo completamente o cilindro metálico estão paredes externas conservadas a uma temperatura do nitrogênio líquido 773 K havendo vácuo entre o cilindro interno e a parede externa Qual é a quantidade de hélio perdida por hora a emissividade do cilindro metálico é 0200 a única transferência de calor entre o cilindro metálico e as paredes ex ternas ocorre por radiação 17108 uma esfera metálica com raio de 320 cm é suspensa em uma grande caixa metálica com paredes internas mantidas a 300 c um pequeno aquecedor elétrico está embutido na esfera a energia calorífera precisa ser fornecida à espera a uma taxa de 0660 Js para manter a esfera a uma temperatura constante de 410 c a Qual é a emissividade da esfera metálica b Que entrada de potência para a esfera é necessária para mantêla a 820 c Qual é a razão entre a potência exigida para 820 c e para 410 c Qual é a relação entre essa razão e 24 Explique 17109 BIo Correndo no calor do dia você provavel mente já deve ter visto pessoas caminhando com um clima ex tremamente quente há bons motivos para não fazer isso ao caminhar consistentemente um corredor normal com massa de 68 kg e área na superfície de 185 m2 produz energia a uma taxa de até 1300 w 80 da qual é convertida em calor o corredor irradia calor mas na realidade absorve mais do ar quente do que pode irradiar Nesses altos níveis de atividade a temperatura da pele pode ser elevada para algo em torno de 33 c em vez dos 30 c normais ignore a condução que levaria ainda mais calor para o seu corpo a única maneira de o corpo livrarse desse calor extra é evaporando água suando a Quanto calor por se gundo é produzido simplesmente pelo ato de correr b Quanto calor resultante por segundo o corredor ganha simplesmente pela irradiação se a temperatura do ar for 400 c Lembrese de que ele irradia mas o ambiente também irradia de volta c Qual é a quantidade total de calor em excesso que o corpo desse corredor deve expelir por segundo d Quanta água esse corpo deverá evaporar a cada minuto em virtude dessa atividade o calor da vaporização da água na temperatura do corpo é 242 106 Jkg e Quantas garrafas de 750 ml de água ele deveria beber depois ou de preferência antes de correr por meia hora Lembrese de que um litro de água tem massa de 10 kg 17110 as calotas de gelo da Groenlândia e da antártida contêm cerca de 175 de toda a água em massa da superfície da terra os oceanos contêm cerca de 975 e o 075 restante é composto principalmente pelos lençóis freáticos suponha que as calotas de gelo atualmente a uma temperatura média de cerca de 30 c deslizassem para dentro dos oceanos e derretessem Qual seria a resultante diminuição na temperatura do oceano suponha que a temperatura média da água do oceano seja atual mente 500 c 17111 dAdos você um cientista fornece calor a uma amostra sólida de 5000 g à taxa de 100 kJ min ao mesmo tempo que registra a temperatura em função do tempo com esses dados você faz um gráfico igual ao mostrado na Figura P17111 a Qual é o calor latente de fusão desse sólido b Quais são os calores es pecíficos dos estados líquido e sólido desse material Figura P17111 4 3 2 1 O t min T C 10 20 30 40 50 BookSEARSVol2indb 239 021015 151 PM 240 Física II 17112 dAdos Em uma indústria química onde você é engenheiro um tanque contém um líquido desconhecido você deverá determinar o calor específico desse líquido você coloca 0500 kg do líquido em um recipiente de metal isolado com massa de 0200 kg inicialmente o líquido e o recipiente estão a 200 c você adiciona 0500 kg de água com uma temperatura de 800 c Depois que o equilíbrio térmico for alcançado a tem peratura final dos dois líquidos e do recipiente é 581 c Então você esvazia o recipiente e repete a experiência com as mesmas temperaturas iniciais mas dessa vez com 100 kg do líquido desconhecido a temperatura final é de 493 c suponha que as capacidades de calor específico sejam constantes pela faixa de temperatura da experiência e que nenhum calor seja perdido para o ambiente calcule o calor específico do líquido e do metal do qual o recipiente é feito 17113 dAdos Durante seu estágio em engenharia me cânica você recebe duas barras de metal uniformes A e B que são fabricadas com diferentes metais para determinar suas con dutividades térmicas Medindo as barras você determina que as duas têm um comprimento de 400 cm e uma área de seção reta uniforme igual a 250 cm2 você coloca uma extremidade da barra A em contato térmico com um tonel muito grande de água fervente a 1000 c e a outra extremidade em contato térmico com uma mistura de água e gelo a 00 c Para preservar a perda de calor nas laterais da barra você utiliza um isolador em torno da barra você pesa a quantidade de gelo inicialmente existente e verifica que é igual a 300 g após 450 min você pesa o gelo novamente e verifica que restam 191 g a mistura de gelo e água está em um recipiente isolado de modo que o único calor que entra ou sai dele é o conduzido pela barra de metal você acredita que seus dados lhe permitirão calcular a condutivi dade térmica kA da barra A Porém essa medição foi cansativa você não deseja repetila para a barra B Em vez disso você cola as duas barras em suas extremidades com um adesivo que possui uma condutividade térmica muito alta fazendo com que a barra composta tenha 800 cm você coloca a extremidade livre de A em contato térmico com a água fervente e a extremidade livre de B em contato térmico com a mistura de gelo e água como na pri meira medição a barra composta é isolada termicamente você sai para almoçar quando retorna observa que o gelo permanece na mistura de gelo e água Medindo a temperatura na junção das duas barras você descobre que é 624 c Depois de 10 minutos você repete essa medição e obtém a mesma temperatura com o gelo restante na mistura de gelo e água a partir dos seus dados calcule as condutividades térmicas das barras A e B ProBLEmAs dEsAFIAdorEs 17114 BIo Uma caminhada ao Sol considere um pobre viajante perdido no deserto caminhando a 5 kmh em um dia quente vestindo somente roupa de banho a temperatura da pele dessa pessoa tende a aumentar por quatro mecanismos i a energia é liberada por reações metabólicas do corpo a uma taxa de 280 w e essa energia é quase toda convertida em calor que flui para a pele ii ocorre transferência de calor por convecção do ar para a pele a uma taxa dada por k Apele Tar Tpele onde k é 54 Jh c m2 a área da pele exposta Apele é 15 m2 a temperatura do ar Tar é 47 c e a temperatura da pele Tpele é 36 c iii a pele absorve a energia irradiada pelo sol a uma taxa de 1400 wm2 iv a pele absorve a energia irradiada pelo am biente que está a uma temperatura de 47 c a calcule a taxa total em watts do aquecimento da pele produzido por esses quatro mecanismos suponha que a emissividade da pele seja e 1 e que a temperatura inicial da pele seja 36 c Qual desses mecanismos é o mais importante b Qual deve ser a taxa em Lh de vaporização do suor da pele dessa pessoa para manter a temperatura da pele constante o calor de vaporização da água a 36 c é igual a 242 106 Jkg c suponha agora que a pessoa esteja protegida por uma roupa de cor clara e 0 de modo que a área da pele exposta seja reduzida a 045 m2 Qual é a taxa de transpiração necessária agora Discuta a utilidade das roupas tradicionalmente usadas pelos habitantes do deserto 17115 um cilindro oco possui comprimento L raio in terno a e raio externo b e as temperaturas nas superfícies interna e externa são T2 e T1 o cilindro poderia representar por exem plo um tubo isolado que conduz água quente a condutividade térmica do material do cilindro é k Deduza uma expressão para a a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro b a variação de temperatura no interior das paredes c Mostre que a equação da taxa de transferência de calor se reduz à Equação 1721 para a transferência de calor linear quando a parede do cilindro for muito fina d uma tubulação de vapor com raio de 200 cm transportando vapor a 140 c é envolvida por uma camada cilíndrica com raios interno e externo de 200 cm e 400 cm e composta de um tipo de cortiça com condutividade térmica de 400 102 wm K Esta por sua vez é envolvida por uma camada cilíndrica composta de um tipo de isopor com condutividade térmica de 270 102 wm K e com raios in terno e externo de 400 cm e 600 cm Figura P17115 a superfície externa do iso por possui uma temperatura de 15 c Qual é a tempera tura a um raio de 400 cm onde as duas camadas iso lantes se encontram e Qual é a taxa total de trans ferência de calor resultante de uma extensão de 200 m da tubulação Figura P17115 600 400 cm cm r 200 cm Tubulação de vapor Cortiça Isopor Problemas com contexto BIo Preservando células em baixas temperaturas Na crio preservação materiais biológicos são resfriados a uma tempera tura muito baixa para atrasar as reações químicas que poderiam danificar células ou tecidos é importante impedir que os mate riais formem cristais de gelo durante o resfriamento um método para impedir a formação de gelo é colocar o material em uma so lução protetora chamada crioprotetor os valores indicados para as propriedades térmicas de um crioprotetor são listados a seguir Ponto de derretimento 20 c calor latente de fusão 280 105 Jkg calor específico líquido 45 103 Jkg K calor específico sólido 20 103 Jkg K condutividade térmica líquido 12 wm K condutividade térmica sólido 25 wm K BookSEARSVol2indb 240 021015 151 PM Capítulo 17 Temperatura e calor 241 17116 você coloca 35 g desse crioprotetor a 22 c em contato com uma placa fria mantida a uma temperatura de ebulição do nitrogênio líquido 77 K o crioprotetor é termicamente isolado de tudo menos da placa fria use os valores da tabela para de terminar quanto calor será transferido do crioprotetor quando ele alcançar o equilíbrio térmico com a placa fria a 15 104 J b 29 104 J c 34 104 J d 44 104 J 17117 Medições cuidadosas mostram que o calor especí fico da fase sólida depende da temperatura Figura P17117 compare o tempo real necessário para esse crioprotetor chegar a um equilíbrio com a placa e o tempo previsto usando os valores na tabela suponha que todos os valores fora o calor específico sólido estejam corretos o tempo real a será mais curto b será mais longo c será o mesmo d depende da densidade do crioprotetor Figura P17117 1000 2000 3000 4000 5000 0 200 150 100 50 0 50 c Jkg K T C 17118 Em outra experiência você coloca uma camada desse crioprotetor entre uma placa fria de 10 cm 10 cm mantida a 40 c e uma segunda placa fria com o mesmo tamanho mantida à temperatura de ebulição do nitrogênio líquido 77 K Depois você mede a taxa de transferência de calor outro labo ratório deseja repetir a experiência mas utiliza placas frias com 20 cm 20 cm uma a 40 c e outra a 77 K Qual deverá ser a espessura da camada de crioprotetor para que a taxa de transferência de calor por condução seja a mesma de quando você utiliza as placas menores a um quarto da espessura b metade da espessura c o dobro da espessura d quatro vezes a espessura 17119 Para medir o calor específico na fase líquida do crio protetor recémdesenvolvido você coloca uma amostra do novo crioprotetor em contato com uma placa fria até que a temperatura da solução caia da temperatura ambiente até seu ponto de conge lamento Depois você mede o calor transferido para a placa fria se o sistema não estiver suficientemente isolado da temperatura ambiente ao seu redor qual será o efeito sobre a medição do calor específico a o calor específico medido será maior que o calor específico real b o calor específico medido será menor que o calor específico real c não haverá efeito algum pois a condutividade térmica do crioprotetor é muito baixa d não haverá efeito algum sobre o calor específico mas a temperatura do ponto de congelamento mudará respostas resposta à pergunta inicial do capítulo iii o ferro fundido contém uma grande quantidade de energia um corpo possui uma temperatura mas não contém tempera tura Quando falamos em calor queremos dizer energia em trânsito de um corpo para outro como resultado da diferença de temperatura entre os corpos corpos não contêm calor respostas às perguntas dos testes de compreensão 171 resposta ii um termômetro composto por um lí quido em um tubo na verdade mede sua própria temperatura se o termômetro permanecer na água quente por um tempo longo o bastante ele entrará em equilíbrio térmico com ela e sua tempe ratura será a mesma da água 172 resposta iv tanto a lâmina bimetálica quanto o ter mômetro de resistência medem sua própria temperatura Para que esta seja igual à temperatura do objeto que está sendo me dido o termômetro e o objeto precisam estar em equilíbrio tér mico um termômetro de artéria temporal detecta a radiação infravermelha emitida pela pele de uma pessoa e por isso não é preciso que o detector e a pele estejam à mesma temperatura 173 resposta i iii ii v iv Para comparar essas temperaturas convertaas à escala Kelvin Para i a temperatura Kelvin é TK Tc 27315 00 27315 27315 K para ii Tc 5 9 Tf 32 5 9 000 32 1778 c e TK Tc 27315 1778 27315 25537 K para iii TK 26000 K para iv TK 7700 K e para v TK Tc 27315 1800 27315 9315 K 174 resposta ii e iii o metal 2 precisa se dilatar mais que o metal 1 quando aquecido portanto deve ter um maior co eficiente de dilatação linear a conforme a tabela 171 o latão e o alumínio possuem valores de a maiores que o cobre mas o mesmo não acontece com o aço 175 resposta ii i iv iii Para i e ii a grandeza re levante é o calor específico c da substância que é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 quilograma dessa substância em 1 K 1 c conforme a tabela 173 esses valores são i 138 J para o mercúrio e ii 2428 J para o etanol Para iii e iv precisamos do calor específico molar C que é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 mol dessa substância em 1 c Mais uma vez conforme a tabela 173 esses valores são iii 277 J para o mercúrio e iv 1119 J para o etanol a razão dos calores específicos molares é diferente dos calores específicos porque um mol de mercúrio e um mol de etanol possuem massas diferentes 176 resposta iv No tempo t o sistema vai do ponto b para o ponto e na figura 1720 conforme a figura no tempo t2 no meio do caminho ao longo do eixo horizontal de b a e o sistema está a 100 c e ainda está em ebulição ou seja é uma mistura de líquido e gás isso quer dizer que a maior parte do calor fornecido é usado na vaporização da água 177 resposta ii Quando você toca em uma dessas pare des o calor flui da sua mão para a parede de menor tempera tura Quanto mais rápido o calor flui da sua mão mais frio você sentirá a Equação 1721 mostra que a taxa de transferência de calor é proporcional à condutividade térmica k segundo a tabela 175 o cobre possui uma condutividade térmica 3850 wm K muito maior que o aço 502 wm K ou o concreto 08 wm K portanto a parede de cobre é a que parece mais fria ao toque Problema em destaque a 1426 K b 0427 kgh BookSEARSVol2indb 241 021015 151 PM 18 ProPriEDADEs TérmiCAs DA mATériA oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 181 Como relacionar pressão volume e temperatura de um gás 182 De que forma as interações entre as moléculas de uma substância determinam suas propriedades 183 Como a pressão e a temperatura de um gás estão relacionadas à energia cinética de suas moléculas 184 De que maneira o calor específico de um gás revela se suas moléculas estão em movimento rotacional ou vibratório 185 Como as velocidades das moléculas são distribuídas em um gás 186 O que determina se uma substância é um gás um líquido ou um sólido Revendo conceitos de 74 Energia potencial e força 114 Compressão 122 Fluidos em equilíbrio 133 Velocidade de escape 144 Forças e oscilações interatômicas 17117 6 Temperatura calor dilatação térmica calor específico calor específico molar mudanças de fase Quanto mais alta a tempe ratura de um gás maior a energia cinética média de suas moléculas Quantas vezes mais rápido se movem as molécu las no ar sobre uma frigideira 100 C em relação às que se movem no ar circundante da cozinha 25 C i 4 vezes ii 2 vezes iii 125 vez iv 112 vez v 106 vez A cozinha é um excelente local para aprender como as propriedades da ma téria dependem da temperatura Quando você ferve água em uma chaleira o aumento da temperatura produz um vapor que assobia ao passar pelo seu bico a uma pressão elevada se você esquece de fazer pequenos furos na batata antes de assála o vapor dágua produz uma pressão elevada em seu interior e ela pode explodir o vapor dágua existente no ar pode se condensar formando gotas na parte externa de um copo com água gelada se um copo acaba de ser retirado do congelador formase gelo em volta dele porque o vapor dágua se solidifica todos esses exemplos mostram as relações entre fenômenos de grande escala ou propriedades macroscópicas da substância como a pressão o volume a tempe ratura e a massa Porém também podemos descrever uma substância usando suas propriedades microscópicas isso significa investigar grandezas em pequena escala como a massa a velocidade a energia cinética e o momento linear das moléculas individuais que constituem a substância as descrições macroscópicas e microscópicas estão intimamente relacionadas Por exemplo a força da colisão microscópica que ocorre quando moléculas de ar batem em uma superfície sólida como sua pele produz a pressão atmosférica macroscópica Para produzir a pressão atmosférica normal de 101 105 Pa 1032 moléculas colidem com sua pele todos os dias a uma velocidade da ordem de 1700 kmh Neste capítulo começaremos a estudar as propriedades térmicas da matéria analisando alguns aspectos macroscópicos da matéria em geral Daremos atenção especial ao gás ideal um dos tipos mais simples de matéria para se entender re lacionaremos as propriedades macroscópicas de um gás ideal ao comportamento microscópico de suas moléculas individuais usaremos também ideias microscópi cas para entender o calor específico tanto de gases quanto de sólidos finalmente analisaremos as diversas fases da matéria gasosa líquida e sólida e as con dições que determinam a ocorrência dessas fases BookSEARSVol2indb 242 021015 151 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 243 181 EQUAÇõEs dE EsTAdo Grandezas físicas como a pressão o volume a temperatura e a quantidade de substância descrevem as condições ou o estado no qual existe um material em particular Por exemplo um tanque de oxigênio usado em hospitais possui um manômetro que mostra a pressão e uma indicação de volume dentro do tanque Poderíamos também usar um termômetro e colocar o tanque sobre uma balança para determinar sua massa Essas grandezas são chamadas de variáveis de estado o volume V de uma substância geralmente é determinado por sua pressão P temperatura T e pela quantidade de substância descrita pela massa mtot ou pelo número de moles n Estamos atribuindo o símbolo mtot à massa total de uma subs tância porque usaremos o símbolo m para a massa de uma molécula Em geral não podemos variar uma dessas grandezas sem produzir variações nas outras Quando o tanque de oxigênio fica mais quente a pressão aumenta caso o tanque fique muito quente ele explode Em alguns casos a relação entre P V T e mtot ou n é tão simples que podemos expressála na forma de uma equação denominada equação de estado Quando a relação for complicada demais para isso podemos usar gráficos ou tabelas numé ricas contudo a relação entre essas variáveis ainda existe nós a chamamos de equação de estado mesmo quando não conhecemos sua forma explícita a seguir mostramos uma equação de estado simples embora aproximada para um material sólido o coeficiente de expansão volumétrica b ver seção 174 é a variação de volume VV0 por unidade de variação de temperatura e a compressi bilidade k ver seção 114 é a variação relativa de volume VV0 por unidade de pressão com sinal negativo se uma certa quantidade de material possui volume V0 quando sua pressão é P0 e sua temperatura é T0 o volume V quando a pressão P e a temperatura T são ligeiramente diferentes é dado aproximadamente por V V01 bT T0 kP P0 181 Existe um sinal negativo antes de kP P0 porque um aumento de pressão produz uma diminuição do volume Equação do gás ideal a equação do gás ideal é outro tipo simples de equação de estado Na Figura 181 apresentamos um dispositivo experimental para estudar o comportamento de um gás o cilindro possui um pistão móvel para fazer o volume variar a variação da temperatura é obtida pelo aquecimento e podemos bombear qualquer quanti dade de gás para o interior do cilindro a seguir medimos a pressão o volume a temperatura e a quantidade de gás Note que a pressão se refere à força por unidade de área exercida pelo cilindro sobre o gás e à força por unidade de área exercida pelo gás sobre o cilindro de acordo com a terceira lei de Newton essas pressões devem ser iguais Em geral é mais fácil descrever a quantidade de gás pelo número de moles n que pela massa Já fizemos isso quando definimos o calor específico molar na se ção 175 a massa molar M de um composto algumas vezes chamada de modo confuso de peso molecular é a massa por mol mtot nM 182 Número de moles da substância Massa total da substância Massa molar da substância assim quando sabemos o número de moles de um gás no cilindro podemos calcular a massa do gás por meio da Equação 182 Figura 181 um dispositivo hipotético para estudar o comportamento de gases aquecendo o gás variando o volume com um pistão móvel e acrescentando mais gás podemos controlar a pressão P o volume V a temperatura T e o número de moles n Fonte para alterar a quantidade de gás Pistão para alterar o volume da câmara Chama para aquecer o gás Gás Volume V Quantidade mtotal ou n Pressão P Temperatura T BookSEARSVol2indb 243 021015 151 PM 244 Física II as medidas do comportamento de muitos gases conduzem a três conclusões 1 o volume V é proporcional ao número de moles n Quando dobramos n man tendo a temperatura e a pressão constantes o volume duplica 2 o volume é inversamente proporcional à pressão absoluta P Quando dobramos a pressão mantendo a temperatura T e o número de moles n constante o gás se comprime à metade do volume inicial Em outras palavras PV constante quando n e T permanecem constantes 3 a pressão é proporcional à temperatura absoluta T Quando dobramos T man tendo o volume e o número de moles constantes a pressão dobra Em outras palavras P constante T quando n e V são constantes as três proporcionalidades anteriores podem ser combinadas em uma única equação denominada equação do gás ideal PV nRT 183 Número de moles do gás Temperatura absoluta do gás Pressão do gás Volume de gás Equação do gás ideal Constante do gás um gás ideal é aquele cujo comportamento pode ser descrito com precisão pela Equação 183 em todas as pressões e temperaturas tratase de um modelo idea lizado que funciona melhor com pressões muito pequenas e temperaturas muito elevadas quando as distâncias entre as moléculas são muito grandes e se deslocam com velocidades elevadas Esse modelo funciona razoavelmente bem com erro percentual pequeno para pressões moderadas até algumas atmosferas e para tem peraturas muito acima daquela na qual o gás se liquefaz Figura 182 Poderíamos esperar que a constante de proporcionalidade R da equação do gás ideal apresentasse diferentes valores para gases diferentes porém verificamos que ela tem o mesmo valor para todos os gases pelo menos em pressões suficientemente baixas e temperaturas suficientemente elevadas Ela é chamada de constante dos gases ideais ou simplesmente constante dos gases usando unidades do sistema si no qual a unidade da pressão P é Pa 1 Pa 1 Nm2 e a unidade de volume V é m3 o valor atual mais aproximado de R é R 8314462175 Jmol K ou com quatro algarismos significativos R 8314 Jmol K Note que a unidade de pressão multiplicada pela unidade de volume fornece uma unidade de energia ou de trabalho por exemplo Nm2 vezes m3 é por isso que a unidade de R é a energia por mol por unidade de temperatura absoluta Em cálculos de química os volumes em geral são expressos em litros L e as pressões em atmosferas atm Nesse sistema com quatro algarismos significativos temos R 008206 L atm mol K Podemos escrever a equação dos gases ideais Equação 183 em termos da massa total mtot do gás usando mtot nM da Equação 182 PV mtot M RT 184 a partir dessa relação podemos obter uma expressão para a densidade r mtotV do gás r PM RT 185 Figura 182 a equação do gás ideal PV nRT fornece uma boa descrição do ar dentro do pneu cheio de um carro em que a pressão é de cerca de 3 atm e a temperatura é alta demais para que o nitrogênio ou o oxigênio se liquefaçam Quando o pneu se aquece T aumenta o volume V varia apenas levemente mas a pressão P aumenta BIo Aplicação respiração e a equação do gás ideal Para respirar você conta com a equação do gás ideal PV nRT A contração do músculo do diafragma aumenta o volume V da caixa torácica que contém os pulmões diminuindo sua pressão P A menor pressão faz com que os pulmões se expandam e se encham de ar A temperatura T se mantém constante Quando você expira o diafragma relaxa para que os pulmões possam se contrair e expelir o ar Diafragma Inspiração O diafragma se contrai os pulmões se expandem Expiração O diafragma se relaxa os pulmões se contraem BookSEARSVol2indb 244 021015 151 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 245 ATENÇÃo Densidade versus pressão ao usar a Equação 185 não confunda a letra grega r rô que indica a densidade com a letra P usada para pressão Para uma massa constante ou número de moles constante o produto nR de um gás ideal é constante de modo que PVT também é constante Designando dois estados da mesma massa de um gás pelos subscritos 1 e 2 podemos escrever P1 V1 T1 P2 V2 T2 constante gás ideal massa constante 186 Note que você não precisa do valor de R para resolver essa equação usamos a proporcionalidade entre a pressão e a temperatura absoluta no capítulo 17 para definir uma escala de temperatura em termos de pressão em um termômetro de gás a volume constante Pode parecer então que a relação entre a pressão e a temperatura em um gás ideal indicada na Equação 183 seja apenas uma conse quência da definição de temperatura que utilizamos contudo a equação também nos mostra o que ocorre quando fazemos o volume ou a massa da substância variar além disso veremos no capítulo 20 que a escala de temperatura definida por esse termômetro corresponde à escala de temperatura que não depende das proprieda des de nenhum material particular Por enquanto considere que a Equação 186 é baseada nessa escala de temperatura realmente independente do material ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 181 GASES IDEAIS iDENTiFiCAr os conceitos relevantes a não ser que o problema diga algo em contrário você pode usar a equação do gás ideal em qualquer situação na qual precise encontrar grandezas re lacionadas ao estado de um gás como pressão P volume V temperatura T eou número de moles n PrEPArAr o problema por meio dos seguintes passos 1 Liste as grandezas conhecidas e desconhecidas identifique as variáveisalvo do problema 2 se o problema se refere a apenas um dos estados do sistema use a Equação 183 PV nRT ou a Equação 185 r PMRT se o problema envolver a densidade r em vez de n ou V 3 Em problemas que se referem a dois estados chameos de 1 e 2 da mesma quantidade de gás se todas menos uma das seis grandezas P1 P2 V1 V2 T1 e T2 forem conhecidas use a Equação 186 P1V1T1 P2V2T2 constante caso con trário use a Equação 183 ou a Equação 185 ExECuTAr a solução da seguinte forma 1 use unidades coerentes unidades si são totalmente coe rentes Às vezes o enunciado do problema mostrará que um determinado sistema de unidades é mais conveniente que outros sistemas faça as conversões de unidade apro priadas como de atm para pascal ou de litros para metros cúbicos 2 algumas vezes você terá de converter a massa total mtot em número de moles n usando a relação mtot Mn onde M é a massa molar se você usar a Equação 184 deverá usar as mesmas unidades de massa para mtot e para M Então quando M é dado em gramas por mol a unidade usual de massa molar mtot também deve estar em gramas se você quiser usar mtot em kg deve converter M em kg mol Por exemplo a massa molar do oxigênio é 32 gmol ou 32 103 kgmol 3 Lembrese de que nas equações do gás ideal T é sempre uma temperatura absoluta Kelvin e P é sempre uma pres são absoluta não manométrica 4 calcule as variáveisalvo AVAliAr sua resposta seus resultados fazem sentido na fí sica use um raciocínio semelhante ao usado no resultado do Exemplo 181 a seguir lembrese de que um mol de um gás ideal a uma pressão de uma atmosfera ocupa um volume de 224 litros Qual é o volume de um recipiente que contém exatamente um mol de um gás ideal nas chamadas condições normais de tempe ratura e pressão cNtP que correspondem a um estado com uma temperatura de 0 c 27315 K e uma pressão p 1 atm 1013 105 Pa soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve as proprie dades de um gás ideal então usamos a Equação 183 o problema fornece a pressão P a temperatura T e o número de moles n nossa variávelalvo é o volume correspondente V EXECUTAR pela Equação 183 usando R em Jmol K V nRT P 11 mol2 18314 Jmol K2 127315 K2 1013 105 Pa 00224 m3 224 L AVALIAR nas cNtP 1 mol de um gás ideal ocupa 224 L Esse é o volume de um cubo de 0282 m de lado ou de uma esfera com 0350 m de diâmetro ExEmPlo 181 VOLUME DE UM GÁS IDEAL NAS CNTP dAdos mosTrAm A equação do gás ideal Quando os alunos recebiam um problema usando a Equação 183 mais de 47 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que na Equação 183 a pressão P é absoluta e não manométrica seção 142 e a temperatura T é absoluta Kelvin e não em celsius Não interpretar corretamente a Equação 183 para representar graficamente P versus V para T constante P versus T para V constante ou V versus T para P constante BookSEARSVol2indb 245 021015 151 PM 246 Física II No motor de um automóvel uma mistura de ar e gasolina é com primida no interior do cilindro antes da ignição um motor típico possui razão de compressão de 900 para 1 isso significa que o gás no cilindro é comprimido até 1900 de seu volume original Figura 183 as válvulas de admissão e exaustão estão fecha das durante a compressão de modo que a quantidade de gás é constante Qual é a temperatura final do gás comprimido se sua temperatura inicial é 27 c e as pressões inicial e final são 100 atm e 217 atm respectivamente soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR devemos comparar dois estados da mesma quantidade de gás ideal e por isso usamos a Equação 186 No estado não comprimido 1 P1 100 atm e T1 27 c 300 K No estado comprimido 2 P2 217 atm os volumes de cilindro não são dados mas sabemos que V1 900V2 a temperatura T2 do gás comprimido é a variávelalvo EXECUTAR aplicando a Equação 186 para determinar T2 T2 T1 P2V2 P1V1 1300 K2 1217 atm2 V2 1100 atm2 1900V22 723 K 450 C AVALIAR T2 é a temperatura da mistura argasolina antes da ignição quando ocorre a explosão a temperatura se torna ainda mais elevada Figura 183 corte do motor de um automóvel Enquanto a mistura de ar e gasolina está sendo comprimida antes da ignição as válvulas de admissão e exaustão permanecem fechadas posição para cima Válvula de exaustão Injetor de combustível Câmara de combustão Bomba de combustível Válvula de admissão ExEmPlo 182 COMPRESSÃO DE UM GÁS NO MOTOR DE UM AUTOMÓVEL um tanque vazio típico usado na prática do mergulho tem um volume de 110 L de ar a 21 c e 1 atm Quando o tanque é cheio por meio de um compressor a temperatura é 42 c e a pressão manométrica é igual a 210 107 Pa Qual foi a massa de ar adicionada ao tanque o ar é uma mistura de gases com cerca de 78 de nitrogênio 21 de oxigênio e 1 de outros gases sua massa molar é aproximadamente 288 gmol 288 103 kgmol soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR nossa variávelalvo é a diferença m1 m2 entre a massa presente no fim estado 2 e no início estado 1 a massa molar M do ar foi dada então podemos usar a Equação 182 para encontrar a incógnita se soubermos o nú mero de moles nos estados 1 e 2 calculamos n1 e n2 aplicando a Equação 183 a cada estado individualmente EXECUTAR devemos nos lembrar de converter as tempera turas na escala Kelvin somando 273 e de converter a pressão manométrica em pressão absoluta adicionando 1013 105 Pa o volume do tanque dificilmente é afetado pela temperatura e pressão aumentadas de modo que V2 V1 Pela Equação 183 os números de moles no tanque vazio n1 e no tanque cheio n2 são n1 P1V1 RT1 11013 105 Pa2 1110 103 m32 18314 Jmol K2 1294 K2 046 mol n2 P2V2 RT2 1211 107 Pa2 1110 103 m32 18314 Jmol K2 1315 K2 886 mol adicionamos n2 n1 886 mol 046 mol 881 mol ao tanque conforme a Equação 182 a massa adicionada é dada por Mn2 n1 288 103 kgmol 881 mol 254 kg AVALIAR a massa adicionada não é significativa você poderia usar uma balança para verificar se o tanque estava vazio ou cheio ExEmPlo 183 MASSA DE AR EM UM TANQUE DE OXIGÊNIO PARA MERGULHO calcule a variação de pressão atmosférica com a altura na at mosfera terrestre supondo que a temperatura permaneça igual a 0 c e g 980 ms2 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR à medida que a altura y aumenta tanto a pressão atmosférica quanto a densidade r diminuem Portanto temos duas funções de elevação y desconhecidas para resolvêlas precisamos de duas relações independentes uma delas é a equação do gás ideal a Equação 185 que podemos escrever em termos da pressão P e da densidade r a outra é a Equação 144 a relação entre a pressão P a densidade r e y em um fluido em equilíbrio dPdy rg Devemos considerar que g e T são os mesmos em todas as elevações também considera mos que a atmosfera tem a mesma composição química e logo a mesma massa molar M em todas as alturas combinamos as duas equações e resolvemos para achar Py EXECUTAR substituímos r PMRT em dPdy rg separa mos variáveis e integramos permitindo que P1 seja a pressão na elevação y1 e P2 seja a pressão em y2 ExEmPlo 184 VARIAÇÃO DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA COM A ALTURA Continua BookSEARSVol2indb 246 021015 151 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 247 Equação de van der Waals Na seção 183 obteremos a equação do gás ideal Equação 183 a partir de um modelo molecular simples que despreza os volumes das moléculas e a força de atração entre elas Figura 185a outra equação de estado a equação de van der Waals faz pequenas correções nas duas aproximações mencionadas figura 185b Essa equação foi deduzida no século XiX pelo físico alemão J D van der waals em sua homenagem as interações entre átomos mencionadas na seção 134 passaram a ser chamadas de interações de van der Waals a equação de van der waals é ap an2 V 2 b 1V nb2 nRT 187 as constantes a e b assumem valores diferentes para cada gás Podemos dizer que grosso modo b representa o volume de um mol de moléculas o volume total das moléculas é nb e o volume resultante disponível para o movimento das molé culas é V nb a constante a depende da força de atração entre as moléculas que reduz a pressão do gás puxando as moléculas para perto umas das outras enquanto elas empurram as paredes do recipiente a diminuição da pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume em uma camada próxima da parede que está exercendo a pressão sobre a parede e também é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume da camada que se segue à primeira que está exercendo a atração Portanto a diminuição da pressão decorrente das forças mo leculares é proporcional a n2V2 Quando nV é pequeno ou seja quando o gás é diluído a distância média entre as moléculas é grande as correções da equação de van der waals tornamse insig nificantes e a Equação 187 se reduz à equação do gás ideal como exemplo para o gás dióxido de carbono co2 as constantes da equação de van der waals são Figura 185 um gás como representado a na equação do gás ideal e b na equação de van der waals F F F F F F As moléculas de gás são infnitamente pequenas Elas exercem forças sobre as paredes do recipiente mas não umas sobre as outras a Modelo de um gás ideal As moléculas de gás possuem volume o que reduz o volume em que elas podem se mover Elas exercem forças de atração umas sobre as outras o que reduz a pressão e exercem forças sobre as paredes do recipiente b Modelo mais realista de um gás dP dy PM RT g P2 P1 dP P Mg RT y2 y1 dy ln P2 P1 Mg RT 1y2 y12 P2 P1 eMg 1y2y12 RT agora seja y1 0 a altura ao nível do mar e considere que a pressão nesse ponto seja P0 1013 105 Pa Então a pressão P em qualquer altura y é P P0eMgyRT AVALIAR segundo nossos cálculos a pressão diminui exponen cialmente com a altitude o gráfico da Figura 184 mostra que a inclinação dPdy se torna menos negativa quanto maior for a altitude Esse resultado faz sentido pois dPdy rg e a densidade também diminui com a altitude No pico do Monte Evereste onde y 8848 m Mgy RT 1288 103 kgmol2 1980 ms22 18848 m2 18314 Jmol K2 1273 K2 110 P 11013 105 Pa2 e110 0337 105 Pa 033 atm a hipótese da temperatura constante não é realista e g diminui ligeiramente com o aumento da elevação ver o Problema de safiador 1884 ainda assim esse exemplo mostra por que os montanhistas que escalam o Everest precisam levar um supri mento de oxigênio Mostra também por que os aviões a jato que costumam voar em altitudes de 8000 m a 12000 m precisam ter cabines pressurizadas para o conforto e a saúde dos passageiros Figura 184 a variação da pressão atmosférica P com a elevação y considerando uma temperatura constante T P y P0 075P0 050P0 025P0 O RTMg 2RTMg 3RTMg P P0eMgyRT Continuação BookSEARSVol2indb 247 021015 151 PM 248 Física II a 0364 J m3mol2 e b 427 105 m3mol verificamos no Exemplo 181 que um mol de um gás ideal quando T 0 c 27315 K e P 1 atm 1013 105 Pa ocupa um volume V 00224 m3 de acordo com a Equação 187 um mol de co2 ocupando esse volume nessa temperatura estaria sob uma pressão de 532 Pa abaixo de 1 atm uma diferença de apenas 05 em relação ao valor obtido com a equação do gás ideal diagramas PV Poderíamos em princípio representar as relações PVT graficamente como uma superfície em um espaço de três dimensões com as coordenadas P V e T Essa representação é útil ver seção 186 porém os gráficos com duas dimensões geralmente são mais convenientes um dos mais úteis é um conjunto de gráficos da pressão em função do volume cada um deles para uma dada temperatura tal gráfico denominase diagrama PV cada curva que representa o comportamento do gás a uma temperatura específica é chamada de isoterma ou isoterma PV a Figura 186 mostra algumas isotermas PV de uma quantidade constante de gás ideal como P nRTV pela Equação 183 ao longo de uma isoterma T constante a pressão P é inversamente proporcional ao volume V e as isotermas são curvas hiperbólicas a Figura 187 mostra um diagrama PV de um material que não obedece à equação do gás ideal Para temperaturas menores que Tc as isotermas ficam paralelas ao eixo do volume indicando que o material se comprime ou seja reduz o volume V sem que ocorra aumento de pressão P a observação mostra que o gás está se conden sando da fase vapor gasosa para a fase líquida as curvas achatadas das isotermas na parte sombreada da figura 187 representam condições de equilíbrio da fase líquidovapor À medida que o volume diminui uma quantidade cada vez maior do material passa da fase vapor para a fase líquida porém a pressão permanece constante Para que a temperatura permaneça constante durante a condensação é preciso que haja remoção do calor de vaporização discutida na seção 176 Quando comprimimos um gás como o da figura 187 mantendo a temperatura constante T2 ele permanece na fase vapor até que o ponto a seja atingido a seguir ele começa a se liquefazer à medida que seu volume diminui maior quantidade do material se liquefaz e tanto a temperatura quanto a pressão permanecem constan tes No ponto b o material está todo na fase líquida Depois desse ponto posterior compressão do material resulta em um elevado aumento da pressão porque os líquidos geralmente são muito menos compressíveis que os gases Em uma tem peratura constante mais baixa T1 ocorre um comportamento semelhante porém a condensação começa a uma pressão mais baixa e com um volume maior que no caso de uma temperatura constante T2 Nas temperaturas superiores a Tc nenhuma transição de fase ocorre quando o material é comprimido em temperaturas mais elevadas como T4 as curvas se parecem com as de um gás ideal apresentadas na figura 186 a temperatura Tc denominase temperatura crítica do material Na se ção 186 discutiremos o que ocorre com a fase gasosa acima da temperatura crítica usaremos diagramas PV frequentemente nos próximos capítulos Mostraremos que a área embaixo da curva PV sendo isotérmica ou não representa o trabalho realizado sobre o sistema durante a variação do volume Esse trabalho por sua vez está diretamente relacionado ao calor transferido do sistema e às variações da energia interna do sistema TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 181 coloque os seguintes gases ideais em ordem do maior para o menor número de moles i pressão 1 atm volume 1 L e tempera tura 300 K ii pressão 2 atm volume 1 L e temperatura 300 K iii pressão 1 atm volume 2 L e temperatura 300 K iv pressão 1 atm volume 1 L e temperatura 600 K v pressão 2 atm volume 1 L e temperatura 600 K Figura 186 isotermas ou curvas a temperaturas constantes para uma quantidade constante de um gás ideal a maior temperatura é T4 a mais baixa é T1 Esta é uma representação gráfica da equação de estado do gás ideal Cada curva representa a pressão em função do volume para um gás ideal a uma temperatura constante Em cada curva PV é constante e diretamente proporcional a T lei de Boyle O T4 7 T3 7 T2 7 T1 V T4 P T3 T2 T1 Figura 187 Diagrama PV para um gás não ideal mostrando isotermas para temperaturas acima e abaixo da temperatura crítica Tc a região sombreada indica o equilíbrio entre o líquido e o vapor Em temperaturas ainda menores o material poderia sofrer transições da fase líquida para a fase sólida e da fase gasosa para a fase sólida essas transições não aparecem neste diagrama Acima da temperatura crítica Tc não há transição de fase líquidovapor Abaixo de Tc o material passa para a fase líquida à medida que é comprimido O T4 7 T3 7 Tc 7 T2 7 T1 P V T4 T2 T3 T1 Tc Vapor Líquido b a Região de equilíbrio da fase líquidovapor BookSEARSVol2indb 248 021015 151 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 249 182 ProPrIEdAdEs moLECULArEs dA mATérIA Estudamos diversas propriedades macroscópicas da matéria inclusive a elas ticidade a densidade a tensão superficial os calores específicos e as equações de estado agora examinaremos detalhadamente a relação entre o comportamento macroscópico e a estrutura molecular começaremos com uma discussão geral acerca da estrutura da matéria a seguir nas duas seções posteriores desenvolvere mos um modelo cinético para as moléculas de um gás ideal obtendo a partir desse modelo molecular a equação de estado e uma expressão para o calor específico moléculas e forças moleculares Qualquer composto químico específico é constituído por moléculas idênticas as menores moléculas contêm apenas um átomo e possuem diâmetro da ordem de 1010 m as maiores possuem diâmetros pelo menos 10000 vezes maiores que aquelas Nos gases as moléculas movemse quase de modo independente nos líquidos e nos sólidos elas são mantidas ligadas por forças intermoleculares as forças gravitacionais entre as moléculas são desprezíveis em comparação com as forças elétricas a interação entre duas cargas elétricas puntiformes é descrita por uma força repulsiva entre cargas de mesmo sinal e atrativa quando as cargas possuem sinais contrários cujo módulo é proporcional a 1r2 onde r é a distância entre as cargas Essa relação é chamada lei de Coulomb e será estudada no capítulo 21 as molé culas não são cargas puntiformes mas sim estruturas complexas contendo cargas positivas e negativas e as interações envolvidas são mais complexas a força entre duas moléculas em um gás varia com a distância r entre as moléculas aproximada mente conforme mostra a Figura 188 onde uma força Fr positiva corresponde a uma força de repulsão e uma força Fr negativa é uma força de atração Quando a distância entre duas moléculas é muito grande a força molecular é muito pequena e geralmente atrativa Quando um gás é comprimido e suas moléculas se apro ximam as forças de atração aumentam a força intermolecular se anula quando a distância entre duas moléculas é igual a r0 que corresponde aproximadamente ao espaço existente entre as moléculas no estado sólido ou no estado líquido Nos líquidos e nos sólidos para que a substância seja comprimida de modo apreciável precisamos aplicar pressões relativamente elevadas isso mostra que se a distância entre as moléculas for ligeiramente menor que r0 as forças tornamse repulsivas e relativamente grandes a figura 188 também mostra a energia potencial em função de r Essa função apresenta um valor mínimo em r0 onde a força é igual a zero as duas curvas são relacionadas por Frr dUdr conforme mostramos na seção 74 Essa função energia potencial geralmente é chamada de poço de potencial Para uma distância r0 entre duas moléculas seria necessário fornecer uma energia U0 a profun didade do poço de potencial para que a molécula escape até uma distância r infinitamente grande as moléculas estão sempre em movimento e sua energia cinética geralmente cresce quando a temperatura aumenta Em temperaturas muito baixas a energia cinética média de uma molécula pode ser muito menor que a profundidade do poço de potencial assim as moléculas se condensam na fase líquida ou na fase sólida mantendo uma distância intermolecular média aproximadamente igual a r0 Porém em temperaturas mais elevadas a energia cinética tornase maior que a profundidade U0 do poço de potencial assim as moléculas podem escapar da força de atração intermolecular e livres passam a se mover de modo independente como na fase gasosa da matéria Em um sólido as moléculas vibram em torno de pontos mais ou menos fixos ver seção 174 Em um sólido cristalino esses pontos são agrupados em conjuntos que se repetem formando uma rede cristalina a Figura 189 mostra a estrutura de um cristal cúbico de cloreto de sódio e a Figura 1810 mostra uma imagem de Figura 188 como a força entre as moléculas e sua energia potencial de interação depende de sua distância r r U Fr U0 Força Energia potencial r0 Quando r 6 r0 Fr 7 0 a força entre as moléculas é repulsiva Quando r 7 r0 Fr 6 0 a força entre as moléculas é atrativa Em uma distância r r0 a energia potencial das duas moléculas é mínima e a força entre as moléculas é zero r distância entre as moléculas Moléculas Figura 189 representação esquemática da estrutura de um cristal cúbico de cloreto de sódio sal de cozinha Íons de cloro Íons de sódio BookSEARSVol2indb 249 021015 151 PM 250 Física II átomos individuais sobre a superfície de um cristal de silício obtida com o auxílio de um microscópio de varredura de tunelamento Em um líquido as distâncias intermoleculares são ligeiramente maiores que as distâncias na fase sólida da mesma substância mas as moléculas apresentam mais liberdade de movimento que na fase sólida os líquidos exibem regularidade de estrutura somente nas vizinhanças imediatas de algumas moléculas as moléculas de um gás em geral são bastante separadas e assim as forças de atração entre elas são muito pequenas a molécula de um gás movese em linha reta até colidir com outra molécula ou com a parede do recipiente Em termos moleculares um gás ideal é aquele cujas moléculas não interagem entre si ver figura 185a e portanto não possuem energia potencial Em temperaturas baixas quase todas as substâncias estão na fase sólida À medida que a temperatura aumenta a substância se liquefaz e depois se vaporiza Do ponto de vista molecular essas transições ocorrem no sentido do aumento de energia cinética Logo a temperatura absoluta e a energia cinética estão intima mente relacionadas mol e número de Avogadro usamos o mol como medida da quantidade de uma substância um mol de qual quer elemento ou composto puro contém um número fixo de moléculas o mesmo número para todos os elementos e compostos a definição oficial da unidade si afirma que Um mol é a quantidade de substância que contém um número de entidades elementares igual ao número de átomos existentes em 0012 kg de carbono 12 Em nosso estudo as entidades elementares são moléculas Em uma subs tância monoatômica como o carbono ou o hélio cada molécula é constituída por um único átomo os átomos de um dado elemento podem ocorrer na forma de diversos isótopos que são quimicamente idênticos mas possuem massas atômicas diferentes o carbono 12 referese a um isótopo específico do carbono o número de moléculas em um mol denominase número de Avogadro desig nado por Na o valor numérico de Na atual com maior aproximação é Na 60221412927 1023 moléculasmol número de avogadro a massa molar M de um composto é a massa de um mol Esse valor é dado pela massa m de uma única molécula multiplicada pelo número de avogadro M NAm 188 Número de Avogadro Massa de uma molécula da substância Massa molar de uma substância Quando a molécula é constituída por um único átomo costumase usar a expres são massa atômica em vez de massa molar Figura 1810 imagem da superfície de um cristal de silício obtida por um microscópio de varredura de tunelamento a área mostrada possui comprimento de apenas 90 nm 90 109 m cada conta representa um átomo de silício você pode ver nitidamente como esses átomos são agrupados formando uma rede quase perfeita de hexágonos ache a massa de um átomo de hidrogênio isolado e a massa de uma molécula de oxigênio soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a relação entre a massa de uma molécula ou átomo nossa variávelalvo e sua massa molar correspondente M usaremos a Equação 188 na forma m MNa e obteremos os valores das massas molares na tabela periódica dos elementos ver apêndice D EXECUTAR a massa por mol do hidrogênio atômico ou seja sua massa atômica é igual a Mh 1008 gmol Logo a massa mh de um átomo de hidrogênio isolado é ExEmPlo 185 MASSA ATÔMICA E MASSA MOLECULAR Continua BookSEARSVol2indb 250 021015 151 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 251 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 182 suponha que você possa ajustar o valor de r0 das moléculas de certo composto químico figura 188 girando um botão se você dobrasse o valor de r0 a densidade da forma sólida desse composto se tornaria i duas vezes maior ii quatro vezes maior iii oito vezes maior iv a metade da inicial v 1 4 da inicial vi 1 8 da inicial 183 modELo CINéTIComoLECULAr dE Um gás IdEAL o objetivo de qualquer teoria molecular da matéria é explicar as propriedades macroscópicas da matéria em termos de sua estrutura e comportamento atômico ou molecular Depois de compreendêlas podemos projetar materiais com as pro priedades específicas desejadas tal análise conduziu ao desenvolvimento de aços com resistências elevadas materiais semicondutores para dispositivos eletrônicos e um grande número de materiais essenciais para a tecnologia moderna vamos estudar um modelo molecular simples para o gás ideal Esse modelo cinéticomolecular considera o gás como um grande número de partículas vagando no interior de um recipiente fechado Nesta seção usamos o modelo cinético molecular para entender como a equação de estado de um gás ideal a Equação 183 está relacionada às leis de Newton Na próxima seção usaremos o modelo cinéticomolecular para prever o calor específico molar de um gás ideal vamos elaborar o modelo para que inclua partículas que não são pontos mas possuem um volume finito a discussão seguinte sobre o modelo cinéticomolecular de um gás se estenderá por várias etapas e você talvez precise relêlas diversas vezes Não desanime as hipóteses do modelo são 1 um recipiente com volume V contém um número N muito grande de partículas idênticas com a mesma massa m 2 as moléculas se comportam como partículas puntiformes muito pequenas em comparação às dimensões do recipiente e à distância média entre as moléculas 3 as moléculas estão em movimento constante cada molécula colide ocasional mente com a parede do recipiente Essas colisões são perfeitamente elásticas 4 as paredes do recipiente são rígidas e possuem massa infinita elas não se movem ATENÇÃo Moléculas versus mol Não confunda N o número total de moléculas do gás com n o número de moles do gás o número de moléculas é igual ao número de moles multiplicado pelo número de avogadro N nNa Colisões e pressão do gás Nas colisões as moléculas exercem forças sobre as paredes do recipiente essa é a origem da pressão que o gás exerce Em uma colisão típica Figura 1811 o mH 1008 gmol 6022 1023 átomos mol 1674 1024 gátomo Para o oxigênio a massa atômica é igual a 160 gmol logo a massa molar do oxigênio que é diatômico com dois átomos é igual a 320 gmol Portanto a massa de uma molécula de o2 é mO2 320 gmol 6022 1023 moléculasmol 531 1024 gmoléculas AVALIAR observe que os valores do apêndice D correspondem a massas atômicas médias da amostra natural de cada elemento tal amostra pode conter diversos isótopos diferentes do elemento cada um dos quais possuindo massa atômica diferente as amos tras naturais de oxigênio e de hidrogênio são quase totalmente constituídas por apenas um isótopo Continuação BookSEARSVol2indb 251 021015 151 PM 252 Física II componente da velocidade paralelo à parede não varia enquanto o componente da velocidade perpendicular à parede muda de sentido mas seu módulo permanece constante inicialmente vamos determinar o número de colisões por unidade de tempo que ocorrem em certa área A da parede a seguir acharemos a variação do momento total associado a essas colisões e as forças necessárias para produzir essa variação Depois determinaremos a pressão força por unidade de área e compararemos o resultado com a equação do gás ideal Encontraremos uma relação direta entre a temperatura do gás e a energia cinética de suas moléculas Para começar vamos supor que todas as moléculas no gás possuem o mesmo módulo da velocidade x vx Mais adiante mostraremos que nossos resultados não dependem dessa hipótese simplista conforme mostra a figura 1811 para cada colisão o componente x da veloci dade varia desde vx até vx Logo o componente x do momento linear Px varia de mvx até mvx e a variação do componente x do momento linear Px é dada por mvx mvx 2mvx se a molécula está na iminência de colidir com uma dada área A da parede du rante um pequeno intervalo dt então no início desse intervalo ela deve estar a uma distância vxdt da parede Figura 1812 e deve se dirigir frontalmente contra ela Logo o número de moléculas que colidem com A durante o intervalo dt é igual ao número de moléculas no interior de um cilindro com base de área A e comprimento vxdt e que tenha sua velocidade x direcionada para a parede o volume desse cilindro é Avx dt supondo que o número de moléculas por unidade de volume NV seja uniforme o número de moléculas nesse cilindro é NV Avx dt Na média metade dessas moléculas se aproximam da parede e as demais se afastam dela Logo o número de colisões na área A durante dt é 1 2 a N V b1 A0 vx0 dt2 Para o sistema constituído por todas as moléculas do gás a variação total do mo mento linear dpx durante dt é igual ao número de colisões multiplicado por 2mvx dpx 1 2 a N V b1 A0 vx0 dt2 1 2m0 vx0 2 NAmvx 2 dt V 189 Estamos usando a letra minúscula p para o momento linear total e a letra maiús cula P para a pressão tome cuidado Escrevemos vx 2 em vez de vx2 na expressão final porque o quadrado do valor absoluto de um número é igual ao quadrado desse número a taxa de variação do componente px do momento linear é dpx dt NAmvx 2 V 1810 De acordo com a segunda lei de Newton essa taxa de variação do momento linear é a força que a área A da parede exerce sobre as moléculas de gás Pela ter ceira lei de Newton essa força é igual e contrária à exercida pelas moléculas sobre a parede a pressão P é o módulo da força exercida sobre a parede por unidade de área portanto P F A Nmvx 2 V 1811 a pressão exercida pelo gás depende do número de moléculas por unidade de volume NV da massa m por molécula e da velocidade das moléculas Figura 1811 colisão elástica de uma molécula com a parede idealizada de um recipiente O componente da velocidade paralelo à parede y não varia O componente da velocidade perpendicular à parede x inverte o sentido do movimento O módulo da velocidade v não varia v1y vy v1x 0 vx0 v v2x 00 vx0 v y x v2y vy Molécula após a colisão Molécula antes da colisão Figura 1812 Para uma molécula se chocar contra a parede com área A durante o intervalo dt ela precisa estar voltada para a parede e dentro do cilindro sombreado com comprimento vx dt no início do intervalo Parede 0vx0dt A vx Volume do cilindro A0 vx0dt Supõese que todas as moléculas tenham o mesmo módulo 0 vx0 do componente x da velocidade BookSEARSVol2indb 252 021015 151 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 253 Pressão e energias cinéticas moleculares Já dissemos que na realidade vx não é igual para todas as moléculas Podería mos contudo ter dividido as moléculas em grupos e colocado no mesmo grupo as moléculas de mesmo vx e a seguir somado às contribuições resultantes da pressão o efeito é precisamente a substituição de vx 2 na Equação 1811 pelo valor médio de vx 2 que será designado por vx 2méd além disso vx 2méd pode ser relacionada de modo simples ao módulo da velocidade de cada molécula o módulo da velocidade v de uma molécula é relacionado aos componentes vx vy e vz por v2 vx 2 vy 2 vz 2 tomamos a média dessa relação para todas as moléculas 1v22méd 1vx 22méd 1vy 22méd 1vz 22méd todavia em nosso modelo não existe nenhuma diferença real entre as direções x y e z as velocidades moleculares são muito elevadas em um gás típico de modo que os efeitos da gravidade são tão pequenos que são desprezíveis De onde se conclui que vx 2méd vy 2méd e vz 2méd devem ser iguais assim v2méd é igual a 3vx 2méd e 1vx 22méd 1 3 1v22méd logo a Equação 1811 pode ser escrita na forma PV 1 3 Nm1v22méd 2 3 N 3 1 2 m1v22méd4 1812 Notamos que 1 2mv2méd é a energia cinética média de translação de uma única molécula o produto desse valor pelo número total de moléculas N é igual à energia cinética aleatória Ktr do movimento de translação de todas as moléculas a notação Ktr nos lembra de que essa energia é associada ao movimento de translação Podem existir outras energias associadas ao movimento de rotação e de vibração das mo léculas o produto PV é igual a dois terços da energia cinética translacional total PV 2 3 Kt r 1813 vamos agora comparar a Equação 1813 com a equação do gás ideal PV nRT Equação 183 pautada em estudos experimentais do comportamento do gás Para que as duas equações sejam iguais devemos ter 1814 Energia cinética translacional média de um gás ideal Ktr nRT 3 2 Número de moles do gás Temperatura absoluta do gás Constante do gás assim esse resultado mostra que Ktr é diretamente proporcional à temperatura absoluta T Figura 1813 a energia cinética translacional média de uma única molécula é a energia cinética translacional total Ktr de todas as moléculas dividida pelo número de moléculas N Kt r N 1 2 m1v22méd 3nRT 2N além disso o número total de moléculas N é o número de moles n multiplicado pelo número de avogadro Na logo N nNa e nN 1Na assim a equação acima tornase BookSEARSVol2indb 253 021015 151 PM 254 Física II Kt r N 1 2 m1v22méd 3 2 a R NA bT 1815 a razão RNa é chamada de constante de Boltzmann k k 1381 1023 Jmolécula K R NA 8314 Jmol K 6022 1023moléculasmol o valor de k com melhor aproximação atualmente é 1380648813 1023 J molécula K Podemos reescrever a Equação 1815 em termos de k do seguinte modo 1816 Massa de uma molécula Temperatura absoluta do gás Constante de Boltzmann Valor médio do quadrado das velocidades moleculares Energia cinética translacional média da molécula de um gás 1m1v22méd kT 2 3 2 Esse resultado mostra que a energia cinética translacional média por molécula depende somente da temperatura e não da pressão do volume nem do tipo de molécula Podemos obter a energia cinética translacional média por mol multipli cando a Equação 1816 pelo número de avogadro e usando a relação M Nam NA 1 2 m1v22méd 1 2 M energia cinética translacional média por mol do gás 1v22méd 3 2 RT 1817 a energia cinética translacional de um mol das moléculas de um gás ideal de pende somente de T finalmente é conveniente reescrever a equação do gás ideal em uma base mo lecular usamos N Nan e R Nak para obter esta forma alternativa da equação do gás ideal PV NkT 1818 Esse resultado mostra que a constante de Boltzmann k é uma constante de gases em base por molécula em vez da usual base por mol relacionada à constante R Velocidades moleculares usando as equações 1816 e 1817 podemos obter expressões para a raiz qua drada de v2méd a chamada velocidade quadrática média vrmq 1819 Valor médio do quadrado das velocidades moleculares Temperatura absoluta do gás Velocidade quadrática média de uma molécula de gás Constante de Boltzmann Massa de uma molécula Constante do gás Massa molar vrmq 21v22méd m 3kT A M 3RT A Poderia parecer mais natural caracterizar a velocidade molecular pelo valor da velocidade média em vez de achar a vrmq Notamos contudo que o valor de vrmq decorre diretamente das equações 1816 e 1817 Para calcular o valor da velocidade Figura 1813 o ar do verão acima é mais quente que o ar do inverno abaixo isto é a energia cinética translacional média das moléculas do ar é maior no verão BookSEARSVol2indb 254 021015 151 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 255 quadrática média elevamos ao quadrado a velocidade de cada molécula somamos os resultados dividimos pelo número de moléculas e extraímos a raiz quadrada vrmq é a raiz quadrada do valor médio dos quadrados das velocidades as equações 1816 e 1819 mostram que em uma dada temperatura T do gás moléculas com massas m diferentes possuem a mesma energia cinética média porém velocidades quadráticas médias diferentes Na média as moléculas de nitro gênio M 28 gmol do ar que você respira se movem com velocidades maiores que as moléculas de oxigênio M 32 gmol Moléculas de hidrogênio M 2 gmol são as que se movem com a maior velocidade entre todos os gases essa é a razão pela qual não existe praticamente nenhum hidrogênio na atmosfera terrestre embora esse gás seja formado pelo elemento mais abundante em todo o universo Figura 1814 uma parcela significativa das moléculas de h2 da atmosfera ter restre teria velocidades superiores à velocidade de escape de 112 104 ms calculada no Exemplo 125 seção 123 e escapariam da atmosfera para o espaço os gases mais pesados e mais lentos não podem escapar com muita facilidade sendo essa a razão do predomínio desses gases em nossa atmosfera a hipótese de que as moléculas individuais sofrem colisões perfeitamente elás ticas com a parede do recipiente é na realidade simplista demais investigações mais aprofundadas revelaram que na maioria dos casos as moléculas aderem à superfície da parede por um curto intervalo e a seguir afastamse da parede com velocidades características da temperatura da parede contudo o gás e a parede geralmente estão em equilíbrio térmico tendo a mesma temperatura Logo não existe nenhuma transferência líquida de energia entre a parede e o gás e nossos cálculos continuam sendo válidos ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 182 MODELO CINÉTICO MOLECULAR iDENTiFiCAr os conceitos relevantes use os resultados do mo delo cinéticomolecular sempre que o problema pedir para você relacionar as propriedades macroscópicas de um gás como a temperatura e a pressão com as propriedades micros cópicas como as velocidades das moléculas PrEPArAr o problema por meio dos seguintes passos 1 identifique quais são as variáveis conhecidas e quais são as variáveisalvo 2 Escolha a equação a ser usada entre as equações 1814 1816 e 1819 ExECuTAr a solução da seguinte forma mantenha a coerência entre as unidades 1 a unidade usual da massa molar M é gramas por mol essas unidades geralmente são omitidas nas tabelas Em equações como a 1819 quando você usar unidades si deve expressar M em quilogramas por mol Por exemplo para o oxigênio Mo2 32 gmol 32 103 kgmol 2 você está usando uma base por molécula com m N e k ou uma base por mol com M n e R Pense em N como tendo unidades de moléculas então m possui unidades de massa por molécula e k possui unidades de joules por mo lécula por kelvin De modo semelhante n possui unidades de moles então M possui unidades de massa por mol e R possui unidades de joules por mol por kelvin 3 Lembrese de que T é sempre uma temperatura absoluta em Kelvin AVAliAr sua resposta suas respostas fazem sentido Lembrese de que as velocidades moleculares à temperatura ambiente cos tumam ser de várias centenas de metros por segundo Figura 1814 Embora o hidrogênio seja um combustível interessante para veículos ele existe em nossa atmosfera apenas em quantidades infinitesimais 000005 em volume assim o combustível de hidrogênio precisa ser gerado por eletrólise da água um processo que por sua vez requer grande quantidade de energia a Qual é a energia cinética translacional média de uma molécula de gás ideal a uma temperatura de 27 c b Qual é a energia cinética translacional aleatória das moléculas em 1 mol desse gás c Qual é a velocidade quadrática média das moléculas de oxigênio nessa temperatura soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a energia ci nética translacional de um gás ideal em uma base por molécula e em uma base por mol assim como a velocidade quadrática média das moléculas do gás vrmq o problema fornece T 27 c 300 K e n 1 mol a massa molecular m é a do oxigênio usamos a Equação 1816 para encontrar a energia cinética média de uma molécula a Equação 1814 para encontrar a energia ci nética molecular total e a Equação 1819 para encontrar vrmq EXECUTAR a pela Equação 1816 1 2 m1v22 méd 3 2 kT 3 2 1138 1023 JK2 1300 K2 621 1021 J b Pela Equação 1814 a energia cinética de um mol é Kt r 3 2 nRT 3 2 11 mol2 18314 Jmol K2 1300 K2 3740 J ExEmPlo 186 CÁLCULO DA ENERGIA CINÉTICA MOLECULAR E vrmq Continua BookSEARSVol2indb 255 021015 151 PM 256 Física II verificase que cinco moléculas escolhidas ao acaso possuem velocidades de 500 600 700 800 e 900 ms ache a velocidade quadrática média Qual é a velocidade média soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR para resolver este problema preci samos usar as definições de média quadrática e média aritmética de diversos valores Para encontrar vrmq elevamos ao quadrado cada velocidade calculamos a média dos quadrados e extraímos a raiz quadrada do resultado Encontramos vméd pelo modo normal EXECUTAR o valor médio de v2 e a vrmq resultante para as cinco moléculas são 1v22méd 5002 6002 7002 8002 9002 5 m2s2 510 105 m2s2 vrmq 1v22 méd 714 ms 1v22méd 5002 6002 7002 8002 9002 5 m2s2 510 105 m2s2 vrmq 1v22 méd 714 ms a velocidade média vméd é vméd 500 600 700 800 900 5 ms 700 ms AVALIAR vemos que geralmente os valores de vméd e vrmq não são iguais falando de modo aproximado vrmq atribui um peso maior às velocidades mais elevadas o que não acontece com vméd ExEmPlo 187 CÁLCULO DE VELOCIDADES RMQ E MÉDIA Colisões entre moléculas Não consideramos a possibilidade de colisão entre duas moléculas do gás Quando consideramos as moléculas como pontos elas nunca podem colidir con tudo vamos considerar um modelo mais realista no qual cada molécula é uma esfera de raio r Qual seria a frequência das colisões moleculares Qual seria na média a distância percorrida por uma molécula antes de ela colidir com outra Podemos obter respostas aproximadas a partir do modelo bastante primitivo apre sentado a seguir considere N moléculas esféricas com raio r e volume V suponha que somente uma molécula esteja se movendo Quando ela colide com outra molécula a distân cia entre os centros das moléculas é igual a 2r suponha que você trace um cilindro de raio 2r com seu eixo paralelo à direção da velocidade da molécula Figura 1815 a molécula que se move colidirá com qualquer outra cujo centro esteja no interior desse cilindro Durante um breve intervalo dt a molécula se desloca uma distância v dt durante esse intervalo ela colide com qualquer molécula que esteja no interior do volume cilíndrico de raio 2r e comprimento v dt o volume desse cilindro é 4p r2v dt Existem NV moléculas por unidade de volume logo o número dN de moléculas com centros no interior desse cilindro é dN 4pr2v dt NV Figura 1815 Em um intervalo dt uma molécula de raio r colide com outra no interior do volume de um cilindro de raio 2r e comprimento v dt r r r r v dt v r 2r c No Exemplo 185 encontramos a massa por molécula m e a massa molar M do oxigênio molecular usando a Equação 1819 podemos calcular vrmq de duas maneiras vrmq Å 3kT m Å 31138 1023 JK2 1300 K2 531 1026 kg 484 ms 1740 kmh 1080 mih vrmq Å 3RT M Å 318314 Jmol K2 1300 K2 320 103 kgmol 484 ms AVALIAR a resposta no item a não depende da massa da mo lécula você pode conferir o resultado obtido no item b obser vando que a energia cinética translacional por mol precisa ser igual à energia cinética translacional média por molécula do item a multiplicada pelo número de avogadro Na Ktr 621 1021 Jmolécula 6022 1023 moléculas 3740 J Continuação BookSEARSVol2indb 256 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 257 Portanto o número de colisões por unidade de tempo é dado por dN dt 4pr2vN V Esse resultado pressupõe o movimento de uma única molécula a análise se torna mais realista considerando o movimento simultâneo de todas as moléculas verificase nesse caso que as colisões se tornam mais frequentes e a equação anterior deve ser multiplicada por 2 dN dt 4p 2 r2vN V o tempo médio tméd entre as colisões denominado tempo livre médio é o inverso desse resultado tméd V 4p 2 r2vN 1820 a distância média percorrida entre duas colisões sucessivas é chamada de livre caminho médio Em nosso modelo ele é precisamente igual à velocidade v da molécula multiplicada por tméd 1821 Livre caminho Velocidade da molécula Volume do gás médio de uma molécula de gás Tempo livre médio entre as colisões Raio de uma molécula Número de moléculas no gás l vtméd V 4p12r2N o livre caminho médio l a letra grega lambda é inversamente proporcional ao número de moléculas por unidade de volume NV e inversamente proporcional à área da seção reta pr2 de uma molécula quanto maior o número de moléculas e maior o tamanho da molécula menor será a distância entre duas colisões sucessi vas Figura 1816 Note que o livre caminho médio não depende da velocidade da molécula Podemos escrever a Equação 1821 em termos das propriedades macroscópicas do gás usando a equação do gás ideal na forma dada pela Equação 1818 PV NkT achamos l kT 4p 2 r2P 1822 se aumentamos a temperatura mantendo a pressão constante o gás se expande a distância média entre as moléculas aumenta e o valor de l cresce se aumenta mos a pressão mantendo a temperatura constante o gás se comprime e l diminui Figura 1816 Quando você caminha no meio de uma multidão seu livre caminho médio a distância que você percorre sem esbarrar em outra pessoa depende da quantidade de pessoas e da aproximação entre elas a Estime o livre caminho médio de uma molécula de ar a 27 c e 1 atm considere as moléculas como esferas com raio r 20 1010 m b Estime o tempo livre médio de uma molécula de oxigênio com velocidade v vrmq a 27 c e 1 atm soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema utiliza os con ceitos de livre caminho médio e tempo livre médio nossas variáveisalvo usamos a Equação 1822 para calcular o livre caminho médio l Depois usamos l vtméd na Equação 1821 com v vrmq para achar o tempo livre médio tméd EXECUTAR a pela Equação 1822 l kT 4p2r2P 1138 1023 JK2 1300 K2 4p2120 1010 m22 1101 105 Pa2 58 108 m ExEmPlo 188 CÁLCULO DO LIVRE CAMINHO MÉDIO Continua BookSEARSVol2indb 257 021015 152 PM 258 Física II TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 183 coloque os seguintes gases em ordem a da maior para a menor velocidade rmq das moléculas e b da maior para a menor energia cinética translacional média de uma molécula i oxigênio M 320 gmol a 300 K ii nitrogênio M 280 gmol a 300 K iii oxigênio a 330 K iv nitrogênio a 330 K 184 CALor EsPECÍFICo Quando introduzimos o conceito de calor específico na seção 175 menciona mos dois modos para medir o calor específico ou o calor específico molar de um dado material veremos agora como essas grandezas podem ser previstas com base na teoria Calor específico de um gás a base de nossa análise é de que o calor é energia em trânsito Quando forne cemos calor a uma substância estamos aumentando sua energia molecular Neste ponto do estudo manteremos o volume do gás constante se o gás se expandisse ele realizaria trabalho ao empurrar as paredes do recipiente e essa transferência de energia adicional teria de ser incluída em nossos cálculos retornaremos a esse caso mais geral no capítulo 19 Por enquanto analisaremos CV o calor específico molar a volume constante No modelo cinéticomolecular simples da seção 183 a energia molecular con sistia apenas na energia cinética translacional Ktr das moléculas puntiformes Essa energia é diretamente proporcional à temperatura absoluta T como indicado na Equação 1814 Ktr 3 2nRT Quando a temperatura varia por uma pequena quanti dade dT a variação correspondente da energia cinética é dKt r 3 2 nR dT 1823 Pela definição de calor específico molar a volume constante CV seção 175 temos também dQ nCV dT 1824 onde dQ é o calor fornecido necessário para produzir uma variação de tem peratura dT se Ktr representa a energia molecular total como havíamos suposto então dQ deve ser igual a dKtr Figura 1817 igualando as expressões dadas pelas equações 1823 e 1824 obtemos nCV dT 3 2 nR dT 1825 Calor específco molar a volume constante gás ideal de partículas puntiformes Constante do gás CV R 3 2 Esse resultado surpreendentemente simples afirma que o calor específico molar a volume constante é igual a 3R2 para qualquer gás cujas moléculas podem ser representadas como pontos Figura 1817 a um volume fixo V de um gás ideal monoatômico b Quando uma quantidade de calor dQ for fornecida ao gás a energia cinética translacional total cresce por dKtr dQ e a temperatura aumenta por dT dQnCV Ktr V T a Ktr dKtr V T dT b dQ b De acordo com o Exemplo 186 para o oxigênio a 27 c a velocidade quadrática média é vrmq 484 ms então o tempo livre médio de uma molécula com essa velocidade é tméd l v 58 108 m 484 ms 12 1010 s Essa molécula sofre cerca de 1010 colisões por segundo AVALIAR observe que pelas equações 1821 e 1822 o livre caminho médio não depende da velocidade da molécula porém o tempo livre médio sim as moléculas mais lentas apresentam um intervalo mais longo tméd entre as colisões que as moléculas mais velozes porém a distância média l entre as colisões é a mesma independentemente do valor da velocidade da molécula Nossa resposta do item a indica que a molécula não vai muito longe entre as colisões mas o livre caminho médio ainda é várias centenas de vezes o raio molecular r Continuação BookSEARSVol2indb 258 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 259 a Equação 1825 concorda com valores medidos do calor específico molar usando unidades si na Equação 1825 obtemos CV 3 2 1 8314 Jmol K2 1247 Jmol K compare com os valores medidos de CV para diversos gases na Tabela 181 vemos que para um gás monoatômico a previsão é muito boa mas para gases diatômicos e poliatômicos nossa previsão está bem distante da realidade Essa comparação nos informa que nosso modelo de moléculas puntiformes é su ficientemente bom para gases monoatômicos mas para moléculas monoatômicas e poliatômicas precisamos de um modelo mais sofisticado Por exemplo podemos representar uma molécula diatômica como duas massas puntiformes semelhante a um pequeno haltere elástico Figura 1818 com uma força de interação entre os átomos do tipo indicado na figura 188 tal molécula pode ter uma energia ciné tica adicional associada à rotação em torno dos eixos que passam por seu centro de massa os átomos também podem apresentar um movimento vibratório para a frente e para trás ao longo da linha que os une com energias cinéticas e energias potenciais adicionais Quando o calor flui para o interior de um gás monoatômico a volume constante toda a energia adicionada é usada para aumentar a energia cinética molecular trans lacional aleatória a Equação 1823 mostra que isso dá origem a um aumento de temperatura Porém quando a temperatura aumenta pelo mesmo valor em um gás dia tômico ou poliatômico é necessário calor adicional para suprir o aumento da energia rotacional e da energia do movimento vibratório Logo um gás poliatômico tem um calor específico molar maior que um gás monoatômico como mostra a tabela 181 Entretanto como podemos saber qual é a quantidade de energia associada a cada espécie de movimento de uma molécula complexa em comparação com a energia cinética translacional o novo princípio de que precisamos denominase princípio da equipartição da energia Ele pode ser deduzido a partir de considerações sofis ticadas de mecânica estatística essa dedução está fora do nosso objetivo e vamos considerar esse princípio um axioma o princípio da equipartição da energia afirma que cada componente da veloci dade linear ou angular possui em média uma energia cinética associada a cada molécula igual a 1 2kT ou seja metade da constante de Boltzmann multiplicada pela temperatura absoluta o número dos componentes da velocidade necessários para descrever completamente o movimento de uma molécula constitui o número de graus de liberdade Para um gás monoatômico existem três graus de liberdade para os componentes das velocidades vx vy e vz isso resulta em um total da ener gia cinética média por molécula igual a 3 1 2kT consistente com a Equação 1816 TABElA 181 Calores específicos molares de gases Tipo de gás Gás CV Jmol K Monoatômico he 1247 ar 1247 Diatômico h2 2042 N2 2076 o2 2085 co 2085 Poliatômico co2 2846 so2 3139 h2s 2595 Figura 1818 Movimentos de uma molécula diatômica x y z m1 m2 k c Movimento vibratório A molécula oscila como se os núcleos estivessem ligados por uma mola x y z m1 m2 Eixos independentes de rotação b Movimento rotacional A molécula gira ao redor de seu centro de massa Essa molécula tem dois eixos de rotação independentes cm x y z vy vx vz m1 m2 a Movimento translacional A molécula se move como um todo sua velocidade pode ser descrita como os componentes x y e z de seu centro de massa Podemos tratar a massa de cada átomo como localizada em seu núcleo x y z m1 m2 k c Movimento vibratório A molécula oscila como se os núcleos estivessem ligados por uma mola x y z m1 m2 Eixos independentes de rotação b Movimento rotacional A molécula gira ao redor de seu centro de massa Essa molécula tem dois eixos de rotação independentes cm x y z vy vx vz m1 m2 a Movimento translacional A molécula se move como um todo sua velocidade pode ser descrita como os componentes x y e z de seu centro de massa Podemos tratar a massa de cada átomo como localizada em seu núcleo x y z m1 m2 k c Movimento vibratório A molécula oscila como se os núcleos estivessem ligados por uma mola x y z m1 m2 Eixos independentes de rotação b Movimento rotacional A molécula gira ao redor de seu centro de massa Essa molécula tem dois eixos de rotação independentes cm x y z vy vx vz m1 m2 a Movimento translacional A molécula se move como um todo sua velocidade pode ser descrita como os componentes x y e z de seu centro de massa Podemos tratar a massa de cada átomo como localizada em seu núcleo BookSEARSVol2indb 259 021015 152 PM 260 Física II Para uma molécula diatômica existem dois eixos possíveis de rotação perpen diculares um ao outro e ao eixo molecular Não incluímos a rotação em torno do eixo molecular porque em colisões comuns não existe nenhuma possibilidade de que haja variação do movimento de rotação em torno desse eixo se somarmos dois graus de liberdade de rotação a uma molécula diatômica a energia cinética total mé dia por molécula é 5 2kT em vez de 3 2kT a energia cinética total de n moles é Ktotal nNa 5 2kT 5 2nkNaT 5 2nRT e o calor específico molar a volume constante é 1826 Calor específco molar a volume constante gás diatômico ideal CV R 5 2 Constante do gás Em unidades si CV 5 28314 Jmol K 2079 Jmol K Esse valor está próximo dos valores medidos para os gases diatômicos forneci dos na tabela 181 o movimento vibratório também pode contribuir para o calor específico dos ga ses as ligações moleculares não são rígidas elas podem se esticar e encurvar e as vibrações resultantes produzem graus de liberdade e energias adicionais contudo para a maior parte dos gases diatômicos o movimento vibratório não contribui de modo significativo para o calor específico a razão para isso é sutil e envolve alguns conceitos de mecânica quântica resumidamente podemos dizer que a ener gia da vibração só pode variar por meio de saltos finitos se a variação de energia no primeiro salto for muito maior que a energia contida em muitas moléculas então quase todas as moléculas permanecem no estado mínimo de energia Nessas circunstâncias as variações de temperatura não produzem variações apreciáveis na energia de vibração das moléculas e dizemos que os graus de liberdade das vibrações são congelados Em moléculas mais complexas os intervalos entre os níveis de energia de cada estado permitido são muito menores e as vibrações contribuem para o calor específico as energias de rotação das moléculas também variam por meio de saltos finitos porém eles geralmente são muito pequenos o congelamento de um grau de liberdade da rotação ocorre somente em casos raros Na tabela 181 os valores elevados de CV para as moléculas poliatômicas in dicam contribuições da energia de vibração além disso as moléculas com três ou mais átomos não alinhados possuem três e não dois graus de liberdade de rotação Pelo que acabamos de estudar concluímos que o calor específico depende da temperatura geralmente aumentando quando ela aumenta a Figura 1819 mostra um gráfico da dependência de CV em relação à temperatura no gás hidrogênio h2 mostrando as temperaturas em que as energias de rotação e de vibração começam a contribuir para o calor específico Figura 1819 valores experimentais de CV o calor específico molar a volume constante para o gás hidrogênio h2 a temperatura é representada em escala logarítmica Vibração Abaixo de 50 K as moléculas de H2 passam por translação mas não sofrem rotação nem vibração Um movimento rotacional apreciável começa a ocorrer acima de 50 K Um movimento vibratório apreciável começa a ocorrer acima de 600 K Translação Rotação 7R2 5R2 3R2 R2 4R 3R 2R R 25 50 100 250 500 1000 2500 5000 10000 CV T K O 7R2 5R2 3R2 BookSEARSVol2indb 260 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 261 Calor específico de um sólido Podemos desenvolver uma análise semelhante para estudar o calor específico de um sólido considere um cristal formado por N átomos idênticos um sólido monoatômico cada átomo está ligado a uma posição de equilíbrio pela ação de forças interatômicas a elasticidade de um material sólido nos mostra que essas forças podem esticar e encurvar as ligações Podemos modelar o cristal como um conjunto de átomos interligados por pequenas molas Figura 1820 cada átomo vibra em torno de sua posição de equilíbrio e apresenta três graus de liberdade que correspondem aos três componentes da velocidade De acordo com o princípio da equipartição cada átomo tem uma energia cinética de 1 2kT para cada grau de liberdade além disso cada átomo possui uma energia potencial associada à deformação elástica Para um oscilador harmônico simples discutido no capítulo 13 é fácil mostrar que a energia cinética média de um átomo é igual à sua energia potencial média Em nosso modelo de cristal cada átomo é essencialmente um oscilador harmônico simples podemos mostrar que a igualdade entre as energias cinética e potencial continua válida nesse caso desde que as forças das molas obedeçam à lei de hooke Logo devemos esperar que cada átomo apresente uma energia cinética média igual a 3 2kT e uma energia potencial média igual a 3 2kT ou uma energia total média igual a 3kT por átomo Quando o cristal possui N átomos ou n moles sua energia total é Etot 3NkT 3nRT 1827 assim concluímos que o calor específico molar do cristal deve ser dado por 1828 Calor específco de um sólido monoatômico ideal regra de Dulong e Petit CV 3R Constante do gás Em unidades si CV 3 8314 Jmol K 249 Jmol K Deduzimos a regra de Dulong e Petit que encontramos como uma conclusão empírica na seção 175 todos os sólidos constituídos por um único elemento pos suem um calor específico molar igual a aproximadamente 25 Jmol K a concor dância com os dados é apenas aproximada mas considerando a natureza simples do modelo ela é bastante significativa sob baixas temperaturas o calor específico da maioria dos sólidos diminui com a redução da temperatura Figura 1821 pela mesma razão os graus de liberdade das vibrações das moléculas são congelados em baixas temperaturas Em temperaturas muito baixas a grandeza kT é muito menor que o menor salto de energia das vibrações dos átomos Portanto quase todos os átomos permane cem nos estados de energia mais baixos porque as energias das vibrações não são suficientes para atingir o nível de energia seguinte mais elevado a energia média de vibração por átomo é então menor que 3kT e o calor específico por molécula é menor que 3k Em temperaturas mais elevadas quando kT é maior que o menor salto de energia o princípio da equipartição se aplica e o calor específico total é igual a 3k por molécula ou 3R por mol conforme previsto pela regra de Dulong e Petit a explicação quantitativa da variação do calor específico em função da temperatura foi um dos triunfos da mecânica quântica durante seu desenvolvimento inicial na década de 1920 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 184 um cilindro com volume fixo contém gás hidrogênio h2 a 25 K você fornece calor ao gás a uma taxa constante até que sua temperatura chegue a 500 K a temperatura do gás aumenta em uma taxa constante sim ou não e por quê Em caso negativo o aumento de temperatura é mais rápido no início ou no final desse processo Figura 1820 Para visualizar as forças entre átomos vizinhos em um cristal imagine que cada átomo está ligado aos átomos vizinhos por molas Figura 1821 valores experimentais de CV para o chumbo o alumínio o silício e o diamante Em temperaturas elevadas o CV de cada sólido tende ao valor aproximado de 3R concordando com a regra de Dulong e Petit Em baixas temperaturas CV é muito menor que 3R 7R2 5R2 3R2 R2 3R 2R R 200 400 600 1000 800 CV T K O Silício Diamante Alumínio Chumbo Previsão de Dulong e Petit BookSEARSVol2indb 261 021015 152 PM 262 Física II 185 VELoCIdAdEs moLECULArEs como dissemos na seção 183 nem todas as moléculas de um gás têm a mesma velocidade a Figura 1822 mostra um esquema experimental para medir velocida des moleculares uma substância é vaporizada em um forno quente as moléculas do vapor passam por uma fenda na parede do forno e atingem uma câmara a vá cuo uma série de fendas bloqueia todas as moléculas exceto as que se deslocam paralelamente a um feixe estreito que é dirigido para um par de discos giratórios a molécula que passa por uma fenda no primeiro disco é bloqueada pelo segundo a menos que atinja o segundo disco no momento em que a fenda esteja alinhada com a direção do feixe os discos funcionam como seletores de velocidade que deixam passar somente moléculas com velocidades dentro de um certo intervalo de velocidade muito pequeno Esse intervalo pode ser alterado fazendose variar a velocidade de rotação dos discos de modo que possamos medir o número de moléculas cujas velocidades estejam dentro do limite determinado pelos intervalos selecionados Para descrever os resultados de tais medidas definimos uma função fv de nominada função de distribuição se estamos medindo um total de N moléculas o número dN de moléculas cujas velocidades estão no intervalo entre v e v dv é dado por dN Nfv dv 1829 Podemos dizer também que a probabilidade de que uma molécula escolhida ao acaso tenha velocidade no intervalo entre v e v dv é dada por fvdv Logo fv é a probabilidade por unidade de intervalo de velocidade ela não é igual à proba bilidade de que uma molécula tenha velocidade exatamente igual a v como a pro babilidade é um número puro fv possui unidades de inverso de velocidade sm a Figura 1823a mostra a função de distribuição para cada temperatura especifi cada Em cada temperatura a altura da curva para qualquer valor de v é proporcio nal ao número de moléculas com velocidades nas vizinhanças de v o pico da curva indica o valor da velocidade mais provável vmp para a temperatura correspondente À medida que a temperatura aumenta a energia cinética molecular média aumenta e portanto o pico de fv é deslocado para velocidades cada vez mais elevadas a figura 1823b mostra que a área embaixo da curva entre dois valores de v representa a fração de todas as moléculas cujas velocidades se encontram nesse intervalo toda molécula deve ter algum valor de v de modo que a integral de fv sobre todos os valores de v deve ser igual a um para qualquer valor de T conhecendose fv podemos calcular a velocidade vmp mais provável a velo cidade média vméd e a velocidade quadrática média vrmq Para calcular a vmp basta achar o ponto onde dfdv 0 que fornece o valor da velocidade na qual a curva atinge seu pico Para calcular vméd tomamos o número Nfvdv de moléculas que possuem velocidades em cada intervalo dv multiplicamos cada um desses números pelas respectivas velocidades v e somamos todos esses produtos integrandose sobre todos os valores de v desde zero até o infinito e finalmente dividimos o resultado por N ou seja Discos giratórios Câmara de vácuo Detector Motor Molécula Moléculas com altas velocidades saem do forno Fendas fxas criam um feixe estreito de moléculas x vt v u vt Figura 1822 uma molécula com velocidade v está passando pela fenda do primeiro disco giratório Quando ela atinge o segundo disco ambos giraram de um ângulo de seleção u se v vxu a molécula passa pela fenda do segundo disco e atinge o detector Figura 1823 a curvas da função de distribuição de Maxwell Boltzmann fv para três temperaturas b as áreas sombreadas sob a curva representam a fração de moléculas cujas velocidades se encontram em determinado intervalo a velocidade mais provável vmp em uma dada temperatura é o pico da curva b v1 v2 vA T3 vmp f v O v Fração de moléculas com velocidades entre v1 e v2 Fração de moléculas com velocidades maiores que vA O a f v T1 T2 T3 T3 7 T2 7 T1 v Quando a temperatura aumenta a curva é achatada o pico é deslocado para velocidades maiores BookSEARSVol2indb 262 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 263 185 VELoCIdAdEs moLECULArEs como dissemos na seção 183 nem todas as moléculas de um gás têm a mesma velocidade a Figura 1822 mostra um esquema experimental para medir velocida des moleculares uma substância é vaporizada em um forno quente as moléculas do vapor passam por uma fenda na parede do forno e atingem uma câmara a vá cuo uma série de fendas bloqueia todas as moléculas exceto as que se deslocam paralelamente a um feixe estreito que é dirigido para um par de discos giratórios a molécula que passa por uma fenda no primeiro disco é bloqueada pelo segundo a menos que atinja o segundo disco no momento em que a fenda esteja alinhada com a direção do feixe os discos funcionam como seletores de velocidade que deixam passar somente moléculas com velocidades dentro de um certo intervalo de velocidade muito pequeno Esse intervalo pode ser alterado fazendose variar a velocidade de rotação dos discos de modo que possamos medir o número de moléculas cujas velocidades estejam dentro do limite determinado pelos intervalos selecionados Para descrever os resultados de tais medidas definimos uma função fv de nominada função de distribuição se estamos medindo um total de N moléculas o número dN de moléculas cujas velocidades estão no intervalo entre v e v dv é dado por dN Nfv dv 1829 Podemos dizer também que a probabilidade de que uma molécula escolhida ao acaso tenha velocidade no intervalo entre v e v dv é dada por fvdv Logo fv é a probabilidade por unidade de intervalo de velocidade ela não é igual à proba bilidade de que uma molécula tenha velocidade exatamente igual a v como a pro babilidade é um número puro fv possui unidades de inverso de velocidade sm a Figura 1823a mostra a função de distribuição para cada temperatura especifi cada Em cada temperatura a altura da curva para qualquer valor de v é proporcio nal ao número de moléculas com velocidades nas vizinhanças de v o pico da curva indica o valor da velocidade mais provável vmp para a temperatura correspondente À medida que a temperatura aumenta a energia cinética molecular média aumenta e portanto o pico de fv é deslocado para velocidades cada vez mais elevadas a figura 1823b mostra que a área embaixo da curva entre dois valores de v representa a fração de todas as moléculas cujas velocidades se encontram nesse intervalo toda molécula deve ter algum valor de v de modo que a integral de fv sobre todos os valores de v deve ser igual a um para qualquer valor de T conhecendose fv podemos calcular a velocidade vmp mais provável a velo cidade média vméd e a velocidade quadrática média vrmq Para calcular a vmp basta achar o ponto onde dfdv 0 que fornece o valor da velocidade na qual a curva atinge seu pico Para calcular vméd tomamos o número Nfvdv de moléculas que possuem velocidades em cada intervalo dv multiplicamos cada um desses números pelas respectivas velocidades v e somamos todos esses produtos integrandose sobre todos os valores de v desde zero até o infinito e finalmente dividimos o resultado por N ou seja Discos giratórios Câmara de vácuo Detector Motor Molécula Moléculas com altas velocidades saem do forno Fendas fxas criam um feixe estreito de moléculas x vt v u vt Figura 1822 uma molécula com velocidade v está passando pela fenda do primeiro disco giratório Quando ela atinge o segundo disco ambos giraram de um ângulo de seleção u se v vxu a molécula passa pela fenda do segundo disco e atinge o detector Figura 1823 a curvas da função de distribuição de Maxwell Boltzmann fv para três temperaturas b as áreas sombreadas sob a curva representam a fração de moléculas cujas velocidades se encontram em determinado intervalo a velocidade mais provável vmp em uma dada temperatura é o pico da curva b v1 v2 vA T3 vmp f v O v Fração de moléculas com velocidades entre v1 e v2 Fração de moléculas com velocidades maiores que vA O a f v T1 T2 T3 T3 7 T2 7 T1 v Quando a temperatura aumenta a curva é achatada o pico é deslocado para velocidades maiores vméd q 0 vf 1v2 dv 1830 a velocidade quadrática média é determinada de modo semelhante a média de v2 é dada por 1v22méd q 0 v2f 1v2 dv 1831 e o valor da vrmq é a raiz quadrada do resultado anterior distribuição de maxwellBoltzmann a função fv que descreve a distribuição real das velocidades moleculares de nominase distribuição de MaxwellBoltzmann Ela pode ser deduzida a partir de considerações de mecânica estatística Porém essa dedução está fora dos nossos objetivos Eis aqui o resultado 1832 Velocidade molecular Massa de uma molécula de gás Massa de uma molécula de gás Velocidade molecular Função da distribuição de Maxwell Boltzmann f1v2 4pa b 32 v2emv22kT 2pkT m Constante de Boltzmann Constante de Boltzmann Temperatura absoluta do gás também podemos expressar essa função em termos da energia cinética transla cional de uma molécula que será designada por ou seja P 1 2 mv2 convidamos você a verificar que ao substituir essa expressão na Equação 1832 o resultado é f 1 P2 8p m a m 2pkT b 32 PePkT 1833 Essa expressão mostra que o expoente da função de distribuição de Maxwell Boltzmann é igual a kT e a forma da curva é determinada pelos valores de e kT em cada ponto Deixamos a você como um exercício provar que o pico de cada curva ocorre quando kT correspondendo à velocidade mais provável vmp dada por vmp Ä 2kT m 1834 Para determinar a velocidade média substituímos a Equação 1832 na Equação 1830 calculamos a integral fazendo a mudança de variável v2 x e integrando por partes a seguir o resultado é vméd Ä 8kT pm 1835 finalmente para calcular a velocidade quadrática média substituímos a Equa ção 1832 na Equação 1831 o cálculo da integral resultante exigiria uma série de acrobacias matemáticas porém você pode achála em uma tabela de integrais o resultado é vrmq Ä 3kT m 1836 Esse resultado concorda com a Equação 1819 ele deve concordar para que a distribuição de MaxwellBoltzmann seja consistente com o princípio da equiparti ção da energia e com outros cálculos da teoria cinética BookSEARSVol2indb 263 021015 152 PM 264 Física II a Tabela 182 mostra a fração de todas as moléculas de um gás ideal que possuem velocidades menores que vários múltiplos de vrmq Esses números foram obtidos por integração numérica eles são os mesmos para todos os gases ideais a distribuição das velocidades das moléculas de um líquido é semelhante à distribuição das velocidades das moléculas nos gases embora não seja idêntica Esse modelo ajuda a entender a questão da pressão de vapor de um líquido e o fenômeno da ebulição suponha que quando uma molécula tem velocidade no mínimo igual a va na figura 1823b ela possa escapar da superfície do líquido e passar para a fase vapor o número dessas moléculas representado pela área em baixo da extremidade de cada curva do lado direito da velocidade va cresce rapidamente com a temperatura Logo a taxa com a qual as moléculas podem escapar depende muito da temperatura Esse processo compete com outro no qual as moléculas da fase vapor colidem inelasticamente com a superfície e ficam presas na fase líquida o número de moléculas que sofrem essa colisão é proporcional à pressão da fase vapor o equilíbrio de fase entre o líquido e o vapor ocorre quando esses dois processos competitivos apresentam uma taxa exatamente igual Portanto quando as distribuições das velocidades moleculares forem conhecidas em diversas temperaturas podemos fazer uma previsão teórica da pressão de vapor em função da temperatura Quando um líquido evapora são as moléculas com velocidades mais elevadas que escapam da superfície as que permanecem na fase líquida são as que têm em média uma energia menor essa é uma abordagem molecular do resfriamento produzido pela vaporização as taxas das reações químicas costumam depender bastante da temperatura e a reação está contida na distribuição de MaxwellBoltzmann Quando duas molé culas reativas colidem a reação só pode ocorrer quando as moléculas estiverem suficientemente próximas para que haja interação entre os elétrons de suas distri buições de carga elétrica isso exige uma energia mínima chamada de energia de ativação e portanto é necessário que haja uma certa velocidade molecular mínima a figura 1823a mostra que o número de moléculas existentes na extremidade da curva cresce rapidamente com a temperatura assim a taxa de qualquer reação que dependa de uma energia de ativação deve crescer rapidamente com a temperatura TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 185 uma quantidade de gás contendo N molé culas tem uma função de distribuição da velocidade fv Quantas moléculas têm velocida des entre v1 e v2 v1 i 1 v2 0 f 1v2dv 1 v1 0 f 1v2 dv ii N 31 v2 0 f 1v2 dv 1 v1 0 f 1v2 dv4 iv N 31 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv4 iii 1 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv i 1 v2 0 f 1v2dv 1 v1 0 f 1v2 dv ii N 31 v2 0 f 1v2 dv 1 v1 0 f 1v2 dv4 iv N 31 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv4 iii 1 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv i 1 v2 0 f 1v2dv 1 v1 0 f 1v2 dv ii N 31 v2 0 f 1v2 dv 1 v1 0 f 1v2 dv4 iv N 31 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv4 iii 1 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv i 1 v2 0 f 1v2dv 1 v1 0 f 1v2 dv ii N 31 v2 0 f 1v2 dv 1 v1 0 f 1v2 dv4 iv N 31 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv4 iii 1 v1 0 f 1v2 dv 1 v2 0 f 1v2 dv v nenhuma das an teriores 186 FAsEs dA mATérIA um gás ideal é o sistema mais fácil de ser analisado do ponto de vista mole cular porque desprezamos as interações entre as moléculas Porém essas intera ções são as responsáveis pela condensação da matéria nas fases sólida e líquida em determinadas condições Por isso não é surpresa verificar que a estrutura e o comportamento de um líquido ou de um sólido são muito mais complicados que dos gases Não entraremos em detalhes sobre a estrutura microscópica mas falaremos genericamente sobre as fases da matéria o equilíbrio de fases e as transições de fase Na seção 176 aprendemos que cada fase só é estável em certos intervalos de temperatura e pressão a transição de uma fase para outra geralmente ocorre quando existem condições de equilíbrio de fase entre as duas fases e para uma dada pressão isso ocorre somente em uma temperatura específica Podemos repre sentar essas condições em um gráfico de P em função de T chamado diagrama de fase a Figura 1824 mostra um exemplo cada ponto do diagrama representa um par de valores P e T Existe apenas uma única fase em cada ponto da figura 1824 exceto nos pontos sobre linhas contínuas em que duas fases coexistem em equilíbrio de fase a curva de fusão separa a área da fase líquida da região da fase sólida e representa as possí veis condições de existência do equilíbrio de fase sólidolíquido analogamente a TABElA 182 Frações de moléculas de um gás ideal com velocidades menores que os múltiplos de vvrmq vvrmq Fração 020 0011 040 0077 060 0218 080 0411 100 0608 120 0771 140 0882 160 0947 180 0979 200 0993 BIo Aplicação Energia de ativação e atividade de uma mariposa Esta mariposa do gênero Manduca não consegue voar se a temperatura de seus músculos estiver abaixo de 29 C O motivo é que as reações de catalisação de enzimas que impulsionam o metabolismo aeróbico e permitem a ação dos músculos exigem uma energia molecular mínima energia de ativação Assim como as moléculas em um gás ideal muito poucas moléculas envolvidas nessas reações possuem alta energia em baixas temperaturas Quando a temperatura aumenta mais moléculas possuem a energia mínima exigida e as reações ocorrem em uma velocidade maior Acima de 29 C é gerada potência suficiente para permitir que a mariposa voe BookSEARSVol2indb 264 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 265 curva de vaporização separa a área da fase líquida da região da fase vapor e a curva de sublimação separa a área da fase sólida da região da fase vapor as três curvas se encontram em um ponto denominado ponto triplo o único ponto do diagrama onde as três fases podem coexistir Figura 1825 Na seção 173 usamos a temperatura do ponto triplo da água para definir a escala de temperatura Kelvin Na Tabela 183 fornecemos o ponto triplo de diversas substâncias se fornecermos calor a certa substância a uma pressão constante Pa representada pela reta horizontal a na figura 1824 ela passará por diversas fases Nessa pres são a temperatura de fusão é dada pela interseção dessa reta com a curva de fusão e a temperatura de ebulição é dada pela interseção com a curva de vaporização Quando a pressão é Ps o aquecimento à pressão constante transforma a fase sólida diretamente na fase vapor Esse processo denominase sublimação a interseção da linha s com a curva de sublimação fornece a temperatura Ts para a qual ela ocorre a uma dada pressão Ps Para qualquer pressão menor que a do ponto triplo a ocorrência da fase líquida não é possível a pressão do ponto triplo do dióxido de carbono co2 é igual a 51 atm Na pressão atmosférica normal o co2 sólido gelo seco sofre sublimação não existe a fase líquida nessa pressão a linha b na figura 1824 representa uma compressão a uma temperatura constante Tb o material passa da fase sólida para a fase líquida e finalmente para a fase vapor quando a linha b cruza com a curva de vaporização e com a curva de fusão respectivamente a linha d indica uma compressão a essa temperatura constante Td o material passa da fase vapor para a fase sólida no ponto onde a linha reta d cruza com a curva de sublimação verificamos no diagrama PV da figura 187 que a transição de fase líquido vapor ocorre somente quando a temperatura e a pressão forem menores que os valores do pico da curva que delimita a área sombreada indicada como região de equilíbrio da fase líquidovapor Esse ponto corresponde ao ponto final no topo da curva de vaporização indicada na figura 1824 tratase do chamado ponto crítico e os valores de P e T correspondentes a ele denominamse pressão crítica Pc e temperatura crítica Tc um gás submetido a uma pressão maior que a do ponto crítico não se separa em duas fases quando é resfriado à pressão constante ao longo de uma reta horizontal acima do ponto crítico na figura 1824 Em vez disso suas propriedades variam continuamente e se afastam do comportamento normalmente associado a um gás baixa densidade alta compressibilidade até chegar gradual mente ao comportamento de um líquido alta densidade baixa compressibilidade sem que ocorra uma transição de fase Para entender melhor pense em uma transição da fase líquida para a fase vapor em pontos sucessivamente mais elevados da curva de vaporização conforme nos aproximamos do ponto crítico as diferenças entre as propriedades físicas como a densidade e a compressibilidade da fase líquida e da fase vapor vão se tornando cada vez menores Exatamente no ponto crítico todas as diferenças se anulam e desaparece a distinção entre líquido e vapor o calor de vaporização também cresce mais lentamente à medida que nos aproximamos do ponto crítico e também é igual a zero no ponto crítico Figura 1825 a pressão atmosférica na terra é maior que a pressão do ponto triplo da água ver linha a na figura 1824 Dependendo da temperatura a água pode existir como vapor na atmosfera como líquido nos oceanos e como sólido como no caso deste iceberg TABElA 183 Ponto triplo de algumas substâncias Substância Temperatura K Pressão Pa hidrogênio 1380 00704 105 Deutério 1863 0171 105 Neônio 2456 0432 105 Nitrogênio 6318 0125 105 oxigênio 5436 000152 105 amônia 19540 00607 105 Dióxido de carbono 21655 517 105 Dióxido de enxofre 19768 000167 105 Água 27316 000610 105 Figura 1824 um típico diagrama de fase PT mostrando as regiões de temperatura e pressão em que as várias fases ocorrem e também as linhas que caracterizam as transições entre as fases Em T e P valores acima do ponto crítico as propriedades do material mudam lentamente com a variação de P ou T em vez de passarem por uma transição de fase No ponto triplo sólido líquido e vapor coexistem Curva de fusão sólido líquido Ponto crítico P d b a s Pa Ps O T Tb Td Material todo sólido Material todo líquido Material todo vapor Ponto triplo Tc Pc C ur va de sub lim açã o s óli do v apo r Cu rva de vap oriza ção lí qui do va por BookSEARSVol2indb 265 021015 152 PM 266 Física II Em quase todos os materiais conhecidos as pressões críticas são muito maiores que a pressão atmosférica de modo que não podemos observar esse comportamento em nossa vida cotidiana Por exemplo a pressão crítica da água ocorre a uma tem peratura de 6474 K e a uma pressão igual a 2212 105 Pa cerca de 218 atm ou 3210 psi Entretanto as caldeiras que aquecem o vapor em usinas termelétricas em geral operam mantendo o gás em temperaturas e pressões muito maiores que os respectivos valores no ponto triplo Muitas substâncias podem apresentar mais de uma fase no estado sólido um exemplo familiar é o carbono que pode existir na forma não cristalina como carvão e na forma cristalina como grafite e diamante a água é outro exemplo foram iden tificados mais de 12 tipos de gelo com propriedades físicas e estruturas cristalinas diferentes quando o gelo é submetido a pressões muito elevadas superfícies PVT afirmamos na seção 181 que a equação de estado de qualquer material pode ser representada graficamente como uma superfície em um espaço de três dimen sões com coordenadas P V e T a Figura 1826 mostra uma superfície PVT típica as linhas finas representam isotermas no plano PV projetandoas sobre o plano PV obteríamos um diagrama semelhante ao mostrado na figura 187 as isotermas PV representam linhas de contorno sobre a superfície PVT exatamente como as curvas de nível em um mapa topográfico representam a altitude a terceira dimensão em cada ponto as projeções das arestas da superfície sobre o plano PT produzem o diagrama de fase PT mostrado na figura 1824 a linha abcdef na figura 1826 representa um aquecimento à pressão constante a fusão ocorre ao longo da linha bc e a vaporização ao longo da linha de observe as variações de volume que ocorrem ao longo dessa linha quando T aumenta a linha ghjklm corresponde a uma compressão isotérmica temperatura constante ocorrendo liquefação ao longo da linha hj e solidificação ao longo da linha kl Entre os pontos g e k os segmentos gh e jk representam uma compressão isotérmica com aumento de pressão este é muito maior na região líquida jk e na região sólida lm que na fase vapor gh finalmente a linha nopq representa solidificação isotérmica diretamente a partir da fase vapor como na formação da neve ou do granizo Figura 1826 uma superfície PVT para uma substância que se dilata quando fundida as projeções das fronteiras da superfície sobre os planos PT e PV também são mostradas SólidoLíquido f Gás Ponto crítico Líquido Sólido P V e Líquido Vapor SólidoVapor Sólido Líquido SólidoLíquido SólidoVapor Vapor Gás q m l k a b P c d h o T1 T2 T3Tc T4 P T f g a Ponto crítico m O O TEMPERATURA VOLUME P R E S S Ã O j Sólido Ponto crítico g n Vapor Líquido Vapor Linha tripla L í q u i d o BookSEARSVol2indb 266 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 267 a Figura 1827 mostra a superfície PVT mais simples de uma substância que obedece à equação de estado do gás ideal sob todas as condições as projeções das curvas de temperatura constante sobre o plano PV correspondem às curvas isotérmicas da figura 186 e as projeções das curvas com volume constante sobre o plano PT mostram que nesse caso a pressão é diretamente proporcional à tem peratura a figura 1827 também mostra as curvas isobáricas pressão constante e isocóricas volume constante para um gás ideal TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 186 a pressão atmosférica média em Marte é 60 102 Pa Poderia haver lagos ou rios em Marte hoje em dia E no passado quando se acredita que a pressão atmosférica fosse significativamente maior do que é hoje Figura 1827 uma superfície PVT para um gás ideal No lado esquerdo cada curva corresponde a certo volume constante no lado direito cada curva corresponde a uma certa temperatura constante P R E S S Ã O VOLUME TEMPERATURA p V1 6 V2 6 V3 T1 6 T2 6 T3 6 T4 V1 V2 V3 T O O Volume constante curvas isocóricas Temperatura constante curvas isotérmicas Pressão constante curvas isobáricas T1T2T3T4 P V Equações de estado a pressão P o volume V e a temperatura T de uma dada quantidade de substância são relacionadas por uma equação de estado Essa relação é aplicável apenas em estados de equilíbrio em que P e T são uniformes em todo o sistema a equação de estado do gás ideal Equação 183 envolve o número de moles n por meio de uma constante R que é igual para todos os gases ver exemplos 181 a 184 PV nRT 183 O T4 7 T3 7 T2 7 T1 V T4 P T3T2 T1 Propriedades moleculares da matéria a massa molar M de uma substância pura é a massa por mol a massa total mtot é igual a M multiplicada pelo número de moles n o número de avogadro Na é o número de moléculas em um mol a massa m de uma molécula individual é M dividida por Na ver Exemplo 185 mtot nM 182 M Nam 188 Íons de cloro Íons de sódio capítulo 18 resumo BookSEARSVol2indb 267 021015 152 PM 268 Física II Modelo cinéticomolecular de um gás ideal em um gás ideal a energia cinética translacional total do gás como um todo Ktr e a energia cinética trans lacional média por molécula 1 2mv2méd são pro porcionais à temperatura absoluta T a velocidade quadrática média das moléculas de um gás ideal é proporcional à raiz quadrada de T Essas expressões envolvem a constante de Boltzmann k RNa ver exemplos 186 e 187 o livre caminho médio l das moléculas de um gás ideal depende do número de moléculas por volume NV e do raio molecular r ver Exemplo 188 Ktr 3 2nRT 1814 1 2mv2méd 3 2kT 1816 Kt r 3 2 nRT 1 2 m1v22méd 3 2 kT vrmq 1v22 méd Ä 3kT m l vtméd V 4p2 r2N 1819 Kt r 3 2 nRT 1 2 m1v22méd 3 2 kT vrmq 1v22 méd Ä 3kT m l vtméd V 4p2 r2N 1821 v2y vy v1x 0 vx0 v v2x 0 vx0 v y x v1y vy Molécula após a colisão Molécula antes da colisão Calores específicos o calor específico molar a volume constante CV pode ser expresso como um simples múltiplo da constante do gás R em certos casos ideais um gás monoatômico ideal Equação 1825 um gás diatômico ideal incluindo a energia de rotação Equação 1826 e um sólido monoa tômico ideal Equação 1828 Essas idealizações funcionam como uma boa aproximação para muitos sistemas reais CV 3 2R 1825 gás monoatômico CV 5 2R gás diatômico 1826 CV 3R 1828 sólido monoatômico Translação Rotação Vibração 7R2 5R2 3R2 R2 4R 3R 2R R 25 50 100 250 500 1000 2500 5000 10000 CV T K O 7R2 5R2 3R2 Velocidades moleculares as velocidades das mo léculas em um gás ideal comportamse de acordo com a distribuição de MaxwellBoltzmann fv a grandeza fvdv descreve que fração das moléculas tem velocidades entre v e v dv f 1v2 4pa m 2pkTb 32 v2emv22kT 1832 v1 v2 T vmp f v O v Fração de moléculas com velocidades entre v1 e v2 Fases da matéria a matéria comum pode existir nas fases sólida líquida e gasosa um diagrama de fases mostra as curvas ao longo das quais duas fases podem coexistir em equilíbrio de fase todas as três fases podem coexistir no ponto triplo a curva de vaporização termina no ponto crítico acima do qual desaparece a distinção entre fase líquida e fase gasosa Fusão Ponto crítico SÓLIDO LÍQUIDO VAPOR P O T Ponto triplo S ub li ma çã o Va po riz açã o Problema em destaque gás na lua Europa de Júpiter um astronauta visitando o satélite Europa de Júpiter deixa um frasco de 120 mol de nitrogênio em gás 280 gmol a 250 c na superfície do satélite Europa não possui atmosfera signi ficativa e a aceleração da gravidade em sua superfície é de 130 ms2 o frasco possui um vazamento permitindo que as moléculas escapem por um pequeno furo a Qual é a altura máxima em km acima da superfície de Europa alcançada por uma molécula de nitrogênio cuja velocidade é igual à velocidade rmq suponha que a molécula seja atirada dire tamente para cima pelo furo no frasco e ignore a variação em g com a altitude b a velocidade de escape de Europa é 2025 ms algumas moléculas de nitrogênio podem escapar de Europa e sair pelo espaço gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 Esboce a situação mostrando todas as dimensões relevantes 2 relacione as grandezas desconhecidas e decida quais são as variáveisalvo 3 como você encontrará a velocidade rmq das moléculas de nitrogênio Que princípio você usará para determinar a al tura máxima que uma molécula com essa velocidade pode alcançar 4 a velocidade molecular rmq no gás representa a velocidade molecular máxima se não qual é a velocidade máxima Continua BookSEARSVol2indb 268 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 269 EXECUTAr 5 calcule a velocidade rmq usea para calcular a altura má xima que uma molécula com essa velocidade poderá alcançar 6 use o resultado do item 5 para responder à pergunta no item b AVALIAr 7 seus resultados dependem da quantidade de gás no reci piente Por quê 8 como os resultados dos itens 5 e 6 seriam afetados se o cilindro de gás fosse deixado no satélite Ganímedes de Júpiter que possui gravidade maior na superfície e veloci dade de escape mais alta do que em Europa assim como Europa Ganímedes não possui atmosfera significativa Continuação problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q181 Na seção 181 afirmamos que geralmente a pressão o volume e a temperatura não podem variar individualmente sem afetar os valores das outras grandezas contudo quando um líquido evapora seu volume varia embora a pressão e a temperatura permaneçam constantes isso é coerente com o que dissemos Justifique sua resposta Q182 Na equação do gás ideal você poderia usar a escala celsius de temperatura em vez de usar a escala Kelvin se uti lizasse um valor numérico apropriado para cada constante R Explique por quê Q183 Quando um carro percorre uma certa distância a pressão do ar nos pneus aumenta Por quê Para reduzir a pressão você deveria retirar um pouco de ar do pneu Justifique sua resposta Q184 o líquido refrigerante no radiador de um automóvel é mantido sob pressão maior que a atmosférica Por que isso é desejável a tampa do radiador libera um pouco do líquido refrigerante quando a pressão manométrica supera certo valor aproximadamente igual a 102 atm Por que não se veda o sistema completamente Q185 Quando um alimento é colocado em um freezer sem nenhuma proteção ele sofre desidratação fenômeno conhecido como queima no freezer Explique por quê Q186 um grupo de estudantes viajou de sua universidade pró xima do nível do mar até o alto de uma montanha para praticar esqui no fim de semana ao chegar ao topo da montanha eles verificaram que os pacotes de batatas fritas que haviam levado para o lanche se romperam Por que isso aconteceu Q187 a dedução da equação do gás ideal incluía a hipótese de o número de moléculas ser muito grande de modo que pudésse mos calcular a força média criada por muitas colisões contudo a equação do gás ideal só é válida com precisão quando a pres são é pequena ou seja quando existem poucas moléculas e as distâncias entre elas são grandes Existe incompatibilidade entre essas duas afirmações Explique sua resposta Q188 um recipiente rígido perfeitamente isolado tem seu volume dividido ao meio por uma membrana um lado contém um gás em temperatura absoluta T0 e pressão P0 enquanto o outro lado está completamente vazio De repente um pequeno buraco surge na membrana permitindo que o gás escape para o outro lado até ocupar duas vezes seu volume original Em termos de T0 e P0 quais serão as novas temperatura e pressão do gás quando ele estiver distribuído igualmente pelas duas metades do recipiente Explique seu raciocínio Q189 a Qual amostra possui maior número de átomos um quilograma de hidrogênio ou um quilograma de chumbo E a maior massa b Qual amostra possui maior número de átomos um mol de hidrogênio ou um mol de chumbo E a maior massa Explique Q1810 use os conceitos do modelo cinéticomolecular para explicar a por que a pressão de um gás em um recipiente rígido aumenta à medida que se fornece calor ao gás e b por que a pressão de um gás aumenta quando o comprimimos mesmo que sua temperatura não varie Q1811 a proporção dos diversos gases na atmosfera terrestre varia ligeiramente com a altitude você esperaria que a proporção de oxigênio fosse maior ou menor que a proporção de nitrogênio em altitudes muito elevadas Por quê Q1812 comente a seguinte afirmação quando dois gases são misturados eles devem possuir a mesma velocidade molecular média para que permaneçam em equilíbrio térmico Essa afir mação está correta Justifique sua resposta Q1813 o modelo cinéticomolecular contém uma hipótese im plícita acerca da temperatura das paredes do recipiente Qual é essa hipótese o que ocorreria se essa hipótese não fosse válida Q1814 a temperatura de um gás ideal é diretamente proporcio nal à energia cinética média de suas moléculas se o recipiente de um gás ideal estivesse passando por você a 2000 ms a tempera tura do gás seria maior que no caso do mesmo gás em repouso Explique seu raciocínio Q1815 se a pressão de um gás monoatômico ideal é aumentada enquanto o número de moles é mantido constante o que acontece com a energia cinética translacional média de um átomo do gás é possível variar o volume e a pressão de um gás ideal ao mesmo tempo e manter constante a energia cinética translacional média dos átomos Explique Q1816 ao deduzirmos a equação do gás ideal a partir do mo delo cinéticomolecular desprezamos a energia potencial decor rente da gravidade terrestre Essa omissão se justifica Por quê Q1817 imagine um filtro de ar especial colocado na janela de uma casa os pequenos furos do filtro permitem que somente moléculas de ar que se movem com velocidades acima de certo valor saiam da casa ao mesmo tempo que permite moléculas com velocidades abaixo desse limite entrarem na casa Qual seria BookSEARSVol2indb 269 021015 152 PM 270 Física II o efeito desse filtro para a temperatura no interior da casa De acordo com a segunda lei da termodinâmica que discutiremos no capítulo 20 um filtro de ar maravilhoso como esse não pode ser fabricado Q1818 Existe um pequeno vazamento em um tanque de ar mazenamento de gás a pressão do interior do tanque diminui mais rapidamente quando o gás é o hidrogênio ou o hélio do que quando o gás é o oxigênio Por quê Q1819 considere dois gases ideais na mesma temperatura o gás a possui a mesma massa total que o gás B porém a massa molar do gás a é maior que a massa molar do gás B Qual dos dois gases possui a maior energia cinética total sua resposta depende da estrutura molecular dos gases Explique sua resposta Q1820 a temperatura de um gás monoatômico ideal é aumen tada de 25 c para 50 c a energia cinética translacional média de cada átomo do gás dobra Explique se a sua resposta for não qual seria a temperatura final se a energia cinética trans lacional média fosse dobrada Q1821 Por qual fator a temperatura na escala Kelvin do gás deveria ser aumentada para dobrar a velocidade quadrática média dos átomos de um gás ideal Explique Q1822 a se você fornece a mesma quantidade de calor a 100 mol de um gás monoatômico ideal e a 100 mol de um gás diatômico ideal em qual deles a temperatura aumentará mais se é que a temperatura de algum deles aumenta b fisicamente por que os gases diatômicos têm um calor espe cífico molar maior que os gases monoatômicos Q1823 Na seção 184 concluímos que todos os gases diatô micos ideais têm o mesmo calor específico CV isso significa que a mesma quantidade de calor é necessária para elevar a tem peratura de 10 grama de todos esses gases em 10 K Explique seu raciocínio Q1824 Para um gás que contém N moléculas seria correto dizer que o número de moléculas com velocidade v é igual a fv ou seria correto dizer que esse número é Nfv Explique suas respostas Q1825 a atmosfera do planeta Marte é constituída por 953 de dióxido de carbono co2 e cerca de 003 de vapor dágua a pressão atmosférica é de apenas 600 Pa e a temperatura da superfície do planeta varia de 30 c até 100 c as calotas de gelo polares contêm gelo de co2 e gelo de água Poderia existir co2 líquido sobre a superfície de Marte Poderia existir água líquida Justifique sua resposta Q1826 um frasco de água em temperatura ambiente é colocado em um recipiente fechado e a pressão do ar desse recipiente é re duzida aos poucos Quando a pressão do ar está suficientemente reduzida a água começa a entrar em ebulição Enquanto ocorre a vaporização a temperatura da água permanece constante na ver dade a temperatura cai ligeiramente Explique esses fenômenos Q1827 Escorregamos quando caminhamos sobre o gelo es pecialmente quando usamos patins o que isso informa sobre a dependência da temperatura de fusão em relação à pressão Explique Q1828 chaminés hidrotérmicas são fraturas no fundo do oceano que expelem água muito quente a água que emerge de uma dessas fraturas na costa do oregon a uma profundidade de 2400 m apresenta uma temperatura de 279 c apesar dessa temperatura elevada a água não entra em ebulição Por quê Q1829 as áreas escuras da superfície lunar denominamse mares a palavra latina da qual deriva mar em português e anti gamente pensavase que cada mare contivesse grande quantidade de água Na realidade um mare não é absolutamente um mar mas sim uma planície tomada por lava solidificada sabendo que a Lua não possui atmosfera como você explica a ausência de água em estado líquido em sua superfície Q1830 além das instruções normais para cozinhar arroz con tidas no verso de uma embalagem existem também instruções para altitudes elevadas a única diferença é que essas instruções para altitudes elevadas sugerem usar mais tempo e um maior vo lume de água Por que as instruções variam conforme a altitude EXErCÍCIos seção 181 Equações de estado 181 um tanque de 200 L contém 486 104 kg de hélio a 180 c a massa molar do hélio é 400 gmol a Quantos moles de hélio existem no tanque b calcule a pressão no tanque em pascals e em atmosferas 182 um volume de 320 L de gás hélio submetido a uma pressão de 0180 atm e uma temperatura de 410 c é aquecido até que o volume e a temperatura fiquem iguais ao dobro dos va lores iniciais a Qual é a temperatura final b Quantos gramas de hélio existem a massa molar do hélio é 400 gmol 183 um tanque cilíndrico possui um pistão bem ajustado que permite alterar o volume do cilindro o tanque inicialmente contém 0110 m3 de ar a uma pressão de 0355 atm o pistão é lentamente puxado para fora até que o volume do gás aumenta para 0390 m3 sabendo que a temperatura permaneceu cons tante qual é a pressão final 184 um tanque de 300 L contém ar a uma pressão de 300 atm e 200 c o tanque é fechado e resfriado até atingir uma pressão igual a 100 atm a Qual é a temperatura final em graus celsius suponha que o volume do tanque permaneça constante b se a temperatura for mantida constante com o valor calculado na parte a e o gás for comprimido qual seria seu volume quando a pressão voltasse para 300 atm 185 Atmosferas planetárias a calcule a densidade da atmosfera na superfície de Marte onde a pressão é 650 Pa e a temperatura normalmente é 253 K com atmosfera de co2 de vênus com temperatura média de 730 K e pressão de 92 atm com atmosfera de co2 e da lua titã de saturno onde a pressão é 15 atm e a temperatura é 178 c com atmosfera de N2 b compare cada uma dessas densidades com a da atmosfera da terra que é 120 kgm3 consulte o apêndice D para determinar as massas molares 186 você tem vários balões idênticos Empiricamente você descobre que um balão estourará se o seu volume exceder 0900 L a pressão do gás dentro do balão é igual à pressão do ar 100 atm a se o ar dentro do balão está à temperatura cons tante de 22 c e se comporta como um gás ideal qual a massa de ar que você pode soprar para dentro de um desses balões antes que ele estoure b repita o item a considerando que o gás é o hélio em vez de ar 187 um automóvel Jaguar XK8 possui motor com oito cilindros No início do tempo da compressão um dos cilindros contém 499 cm3 de ar sob pressão atmosférica 101 105 Pa e temperatura igual a 270 c No final do tempo de compressão o ar foi reduzido até um volume igual a 462 cm3 e a pressão mano métrica cresceu para 272 106 Pa calcule a temperatura final 188 um soldador enche de oxigênio massa molar 320 gmol um tanque com volume de 00750 m3 submetido a uma pressão de 30 105 Pa e temperatura igual a 370 c há um pequeno vazamento no tanque e após certo tempo uma parte do oxigênio escapa Em um dia em que a temperatura é BookSEARSVol2indb 270 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 271 220 c a pressão manométrica do oxigênio no tanque é 180 105 Pa calcule a a massa inicial do oxigênio b a massa do oxigênio que escapou 189 um grande tanque cilíndrico contém 0750 m3 de gás nitrogênio a 27 c e uma pressão de 750 103 Pa pressão absoluta o tanque possui um pistão bem ajustado que pode fazer o volume variar Qual é o valor da pressão quando o volume diminui para 0410 m3 e a temperatura aumenta para 157 c 1810 um recipiente cilíndrico vazio de 150 m de compri mento e 900 cm de diâmetro deve ser cheio com oxigênio puro a 220 c para abastecer uma estação espacial Para armazenar a máxima quantidade possível de gás a pressão absoluta do oxigê nio deve ser 210 atm a massa molar do oxigênio é 320 gmol a Quantos moles de oxigênio cabem nesse recipiente b se alguém for erguer esse recipiente em quantos quilogramas esse gás aumenta a massa a ser erguida 1811 o gás no interior de um balão deve sempre permanecer com uma pressão aproximadamente igual à atmosférica porque essa é a pressão aplicada sobre o balão pelo ar do ambiente você enche o balão com hélio um gás aproximadamente ideal até um volume de 0600 L a uma temperatura de 190 c Qual é o volume do balão quando você o resfria até o ponto de ebulição do nitrogênio 773 K 1812 um gás ideal tem uma densidade de 133 106 gcm3 a 100 103 atm e 200 c identifique o gás 1813 se uma certa quantidade de gás ideal ocupa um volume V nas cNtP na terra qual seria seu volume em termos de V em vênus onde a temperatura é igual a 1003 c e a pressão é igual a 92 atm 1814 um mergulhador observa uma bolha de ar ascendendo do fundo de um lago onde a pressão absoluta é igual a 350 atm até a superfície onde a pressão é 100 atm a temperatura no fundo do lago é 40 c e a temperatura na superfície é 230 c a Qual é a razão entre o volume da bolha quando ela atinge a superfície e o volume da bolha no fundo do lago b seria seguro para o mergulhador reter a respiração enquanto ascende do fundo do lago até a superfície Justifique sua resposta 1815 um tanque metálico com volume de 310 L deve es tourar quando a pressão absoluta do ar em seu interior superar 100 atm a se 110 moles de um gás ideal forem colocados no tanque a uma temperatura de 230 c até que temperatura o tanque pode ser aquecido antes que ele se rompa Despreze a dilatação térmica do tanque b com base na resposta do item a verifique se é razoável desprezar a dilatação térmica do tan que Explique 1816 três moles de um gás ideal estão em uma caixa cúbica e rígida com lados medindo 0300 m a Qual é a força que o gás exerce sobre cada um dos seis lados da caixa quando a tempera tura do gás é 200 c b Qual é a força quando a temperatura do gás sobe para 1000 c 1817 sob as hipóteses do Exemplo 184 seção 181 em que altitude acima do nível do mar a pressão do ar é 90 da pressão ao nível do mar 1818 supondo que a temperatura do ar seja uniforme e igual a 00 c qual é a densidade do ar a uma altitude de 100 km forneça a resposta como uma porcentagem em relação à densi dade na superfície 1819 a calcule a massa de nitrogênio presente em um vo lume de 3000 cm3 se o gás estiver a 220 c e a pressão absoluta de 200 1013 atm for um vácuo parcial facilmente obtido em laboratórios b Qual é a densidade em kgm3 do N2 1820 a uma altitude de 11000 m uma altitude de cruzeiro típica para as viagens de aviões a jato a temperatura do ar é 565 c e a densidade do ar é 0364 kgm3 Qual é a pressão da atmosfera nessa altitude Note que a temperatura nessa altitude não é a mesma que a da superfície da terra de modo que os cál culos indicados no Exemplo 184 na seção 181 não se aplicam seção 182 Propriedades moleculares da matéria 1821 Quantos moles existem em 100 kg de água Quantas moléculas a massa molar da água é igual a 180 gmol 1822 uma grande molécula orgânica tem uma massa de 141 1021 kg Qual é a massa molar desse composto 1823 uma bomba de vácuo moderna permite obter facil mente pressões da ordem de 1013 atm no laboratório considere um volume de ar e trateo como um gás ideal a a uma pressão de 90 1014 atm e uma temperatura comum de 300 K quan tas moléculas existem em um volume de 10 cm3 b Quantas moléculas haveria à mesma temperatura mas a uma pressão de 10 atm 1824 a Nebulosa da Lagoa Figura E1824 é uma nuvem de gás hidrogênio situada a uma distância de 3900 anosluz da terra o diâmetro dessa nuvem é de aproximadamente 45 anos luz e ela brilha por causa de sua temperatura de 7500 K o gás é elevado a essa temperatura pela ação das estrelas que existem no interior da Nebulosa a nuvem também é muito fina existem apenas 80 moléculas por centímetro cúbico a calcule a pressão do gás em atmosferas na Nebulosa da Lagoa compare com a pressão de laboratório mencionada no Exercício 1823 b os filmes de ficção científica algumas vezes mostram naves espa ciais sofrendo turbulências quando voam através de nuvens de gases como a Nebulosa da Lagoa uma cena desse tipo poderia acontecer realmente Justifique sua resposta Figura E1824 1825 Em um gás mantido nas cNtP qual é o comprimento da aresta de um cubo que contém um número de moléculas igual ao número de habitantes da terra aproximadamente 7 109 pessoas 1826 Quão próximas umas das outras estão as molé culas de um gás considere um gás ideal a 27 c e 100 atm de pressão imagine que as moléculas sejam em média uni formemente espaçadas cada molécula ocupando o centro de um pequeno cubo a Qual é o comprimento da aresta desse cubo supondo que os cubos adjacentes se toquem mas não se superponham b como essa distância se compara ao diâmetro de uma molécula típica c como essa separação se compara BookSEARSVol2indb 271 021015 152 PM 272 Física II ao espaçamento dos átomos em sólidos que costumam estar a 03 nm de distância uns dos outros seção 183 modelo cinéticomolecular de um gás ideal 1827 a Qual é a energia cinética de translação total do ar em uma sala vazia com dimensões de 800 m 1200 m 400 m se o ar for tratado como um gás ideal a 100 atm b Qual é a velocidade de um automóvel de 2000 kg se sua energia cinética for igual à energia cinética de translação calculada no item a 1828 um frasco contém uma mistura dos gases neônio Ne criptônio Kr e radônio rn compare a as energias cinéticas desses três tipos de átomos e b as velocidades quadráticas mé dias Dica a tabela periódica no apêndice D mostra as massas molares em gmol de cada elemento embaixo do símbolo quí mico de cada um deles 1829 temos duas caixas de mesmo tamanho A e B cada caixa contém um gás que se comporta como um gás ideal inserimos um termômetro em cada uma das caixas e descobrimos que o gás na caixa A está a uma temperatura de 50 c enquanto o gás na caixa B está a 10 c isso é tudo o que sabemos sobre os gases nas caixas Quais das seguintes afirmativas precisam ser verdadeiras Quais delas podem ser verdadeiras Explique a a pressão em A é maior que em B b há mais moléculas em A que em B c A e B não contêm o mesmo tipo de gás d as moléculas em A possuem maior energia cinética média por molécula que as de B e as moléculas em A estão se movendo mais rápido que as de B 1830 um recipiente com volume de 164 L é inicialmente evacuado Depois ele é completado com 0226 g de N2 suponha que a pressão do gás seja baixa o suficiente para que obedeça à lei do gás ideal até um alto grau de precisão se a velocidade quadrática média das moléculas de gás for 182 ms qual é a pressão do gás 1831 a um deutério 2 1h é o núcleo de um isótopo do hidrogênio e consiste em um próton e um nêutron o plasma de deutérios em um reator de fusão nuclear precisa ser aquecido a cerca de 300 milhões de K Qual é a velocidade quadrática média dos deutérios Esse valor é uma fração significativa da velocidade da luz no vácuo c 30 108 ms b Qual seria a temperatura do plasma se os deutérios tivessem uma velocidade quadrática média igual a 010c 1832 Clima em Marte a atmosfera de Marte é formada principalmente por co2 massa molar igual a 440 gmol a uma pressão de 650 Pa que suporemos constante Em muitos lugares a temperatura varia de 0 c no verão a 100 c no inverno ao longo do ano marciano quais são os intervalos a das veloci dades quadráticas médias das moléculas e b da densidade em molm3 da atmosfera 1833 a massa molar do oxigênio o2 é 320 gmol a Qual é a energia cinética translacional média de uma molécula de oxigênio a uma temperatura de 300 K b Qual é o valor médio do quadrado de sua velocidade c Qual é sua velocidade quadrática média d Qual é o momento linear de uma molécula de oxigênio deslocandose com essa velocidade e suponha que a molécula de oxigênio deslocandose com essa velocidade choquese de um lado para o outro entre as paredes opostas de um recipiente cúbico com aresta de 010 m Qual é a força média exercida pelo gás sobre uma das paredes do recipiente suponha que a velocidade da molécula seja ortogonal aos lados com os quais ela colide f Qual é a força média por unidade de área g Quantas moléculas de oxigênio deslocandose com essa velocidade seriam necessárias para produzir uma pressão média de 1 atm h calcule o número de moléculas de oxigênio que realmente estão contidas em um recipiente desse tamanho a 300 K e à pressão atmosférica i sua resposta do item h deve ser três vezes maior que sua resposta do item g Qual é a origem dessa discrepância 1834 calcule o livre caminho médio das moléculas de ar para uma pressão de 350 1013 atm e temperatura de 300 K Essa pressão pode ser obtida facilmente no laboratório veja o Exercício 1823 como no Exemplo 188 considere as molécu las de ar como esferas com raio de 20 1010 m 1835 Em que temperatura a velocidade quadrática média das moléculas do nitrogênio é igual à velocidade quadrática média das moléculas de hidrogênio a 20 c Dica a tabela peri ódica do apêndice D fornece a massa molar em gmol embaixo do símbolo químico do respectivo elemento a massa molar de h2 é o dobro da massa molar do átomo de hidrogênio Para o N2 o cálculo é semelhante 1836 as partículas de fumaça existentes no ar costumam ter massas da ordem de 1016 kg o movimento browniano um movimento rápido e irregular dessas partículas que decorre de colisões com moléculas de ar pode ser observado com um microscópio a calcule a velocidade quadrática média do mo vimento browniano de uma partícula com massa igual a 30 1016 kg no ar a uma temperatura de 300 K b a velocidade quadrática média seria diferente se a partícula fosse uma molé cula do gás hidrogênio com a mesma temperatura Explique seção 184 Calor específico 1837 Qual é o calor necessário para fazer a temperatura de 180 mol de um gás ideal aumentar 50 K nas vizinhanças da tem peratura ambiente se o gás for mantido com um volume constante e for a diatômico b monoatômico 1838 recipientes totalmente rígidos contêm n moles de gás ideal sendo um o hidrogênio h2 e outro o neônio Ne se são necessários 300 J de calor para aumentar a temperatura do hi drogênio em 250 c em quantos graus essa mesma quantidade de calor elevará a temperatura do neônio 1839 a calcule o calor específico a volume constante do gás nitrogênio N2 e compare com o calor específico da água líquida a massa molar do N2 é 280 gmol b você aquece 100 kg de água a volume constante de 100 L de 200 c até 300 c em uma chaleira usando a mesma quantidade de calor quantos quilogramas de ar a 200 c você poderia aquecer de 200 c até 300 c Que volume em litros esse ar ocuparia a 20 c e a uma pressão de 10 atm suponha de modo simpli ficado que o ar seja 100 constituído por N2 1840 a calcule o calor específico a volume constante do vapor dágua supondo uma molécula triatômica linear com três graus de liberdade de translação e três graus de liberdade de rotação e que o movimento de vibração não contribua a massa molar da água é 180 gmol b o calor específico real do vapor dágua em pressões baixas é 2000 Jkg K compare esse valor com sua resposta e comente a respeito do papel real desempe nhado pelo movimento vibratório seção 185 Velocidades moleculares 1841 a massa molar do gás diatômico dióxido de carbono co2 é 440 gmol quando a temperatura T 300 K calcule a a velocidade mais provável vmp b a velocidade média vméd e c a velocidade quadrática média vrmq desse gás 1842 Para um gás de moléculas de nitrogênio N2 qual deve ser a temperatura se 947 de todas as moléculas possuem BookSEARSVol2indb 272 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 273 velocidades moleculares menores que a 1500 ms b 1000 ms c 500 ms use a tabela 182 a massa molar do N2 é 280 gmol seção 186 Fases da matéria 1843 a água sólida gelo é lentamente aquecida a partir de uma temperatura muito baixa a Qual é a pressão externa mí nima P1 que deve ser aplicada para se observar uma transição de fase de liquefação Descreva a sequência das transições de fase que ocorrem se a pressão aplicada P for tal que P P1 b acima de certa pressão máxima P2 não se observa nenhuma transição com ebulição Qual é essa pressão Descreva a sequência das transições de fase que ocorrem para P1 P P2 1844 Meteorologia a pressão de vapor é a pressão da fase vapor de uma substância que está em equilíbrio com a fase sólida ou líquida da substância a umidade relativa é a pressão parcial do vapor dágua no ar dividida pela pressão de vapor da água na mesma temperatura expressa como uma porcentagem Dizemos que o ar está saturado quando a umidade relativa é 100 a a pressão de vapor da água a 20 c é 234 103 Pa se a tempe ratura do ar for 20 c e a umidade relativa for 60 qual será a pressão parcial do vapor dágua na atmosfera ou seja a pressão que seria exercida pelo vapor dágua caso ele estivesse sozinho b Nas condições do item a qual é a massa da água em 100 m3 de ar a massa molar da água é 180 gmol suponha que o vapor dágua possa ser considerado um gás ideal 1845 calcule o volume de 100 mol de água líquida a 20 c em que sua densidade é igual a 998 kgm3 e compare isso com o volume ocupado por 100 mol de água no ponto crítico que é 56 106 m3 a água tem uma massa molar de 180 gmol ProBLEmAs 1846 uma sala de leitura de física a 100 atm e 270 c possui um volume de 216 m3 a use a lei do gás ideal para estimar o número de moléculas de ar na sala suponha que todo o ar na sala seja N2 calcule b a densidade da partícula o seja o número de moléculas de N2 por centímetro cúbico e c a massa do ar na sala 1847 PC BIo O efeito da altitude sobre os pulmões a calcule a variação na pressão do ar que você experimenta se subir em uma montanha de 1000 m supondo que a temperatura e a densidade do ar não mudam a essa distância e que elas sejam 22 c e 12 kgm3 respectivamente na base da montanha Nota o resultado do Exemplo 184 não se aplica pois a expressão deduzida naquele exemplo considera a variação da densidade do ar com a altitude e isso está sendo ignorado aqui b se você respirasse 05 L de ar na base da montanha e o segurasse até alcançar o topo qual seria o volume desse ar quando você o exalasse no alto da montanha 1848 PC BIo A doença descompressiva Quando um mergulhador de águas profundas sobe para a superfície muito rapidamente surgem bolhas de nitrogênio em seu sangue que se expandem e podem ser fatais Esse fenômeno é chamado de doença descompressiva supondo que um mergulhador sobe para a superfície muito rapidamente a partir de uma profundi dade de 25 m no Lago Michigan que possui água doce qual seria o volume de uma bolha de N2 que ocupava um volume de 100 mm3 no seu sangue no ponto inferior da sua profundidade você acha que essa diferença é suficientemente grande para causar um problema suponha que a diferença de pressão seja produzida apenas pela variação da pressão da água e não por qualquer tipo de variação de temperatura Essa última hipótese é precária porque somos criaturas com sangue quente 1849 PC um balão de ar quente permanece flutuando por que o ar quente na pressão atmosférica é menos denso que o ar mais frio na mesma pressão se o volume do balão for igual a 5000 m3 e o ar nas vizinhanças estiver a 150 c qual deverá ser a temperatura do ar no balão para que ele levante uma carga total de 290 kg além da massa do ar quente a densidade do ar a 150 c e a pressão atmosférica é igual a 123 kgm3 1850 Em um recipiente vazio um tanque cilíndrico vertical com diâme tro D é selado por um disco circular de 300 kg que pode subir e descer sem atrito abaixo do disco está uma quantidade de gás ideal na tempera tura T do cilindro Figura P1850 inicialmente o disco está em repouso a uma distância h 400 m acima da base do tanque Quando um pedaço de chumbo com massa de 900 kg é colo cado suavemente sobre o disco ele se move para baixo se a temperatura do gás permanecer constante e nenhum gás escapar do tanque a que distância do fundo do tanque o disco estará quando chegar novamente ao repouso 1851 um cilindro com 10 m de altura e diâmetro interno de 0120 m armazena gás propano massa molar igual a 441 gmol para ser usado em um churrasco o cilindro é inicialmente cheio de gás até que a pressão manométrica seja 130 106 Pa e a temperatura seja igual a 22 c a temperatura do gás permanece constante à medida que ele é parcialmente retirado do tanque até que a pressão manométrica final seja igual a 340 105 Pa calcule a massa do propano que foi consumido 1852 PC Durante a realização de um teste em 1939 antes de ser aceito pela Marinha dos Estados unidos o submarino Squalus afundou onde a profundidade das águas era 730 m a temperatura na superfície era 270 c e no fundo era 70 c a densidade da água do mar é 1030 kgm3 a um sino de mergulho foi usado para o resgate dos 33 tripulantes presos no interior do Squalus o sino de mergulho possuía a forma de um cilindro com 230 m de altura aberto em sua extremidade inferior e fechado no topo Quando o sino chegou ao fundo do mar até que altura a água do mar subiu em seu interior Dica você pode desprezar a relativamente pequena variação de pressão da água entre o fundo do mar e a superfície da água no interior do sino b Qual foi a pressão manométrica do ar comprimido fornecido ao sino para expelir completamente a água de seu interior 1853 Atmosfera de Titã titã o maior satélite de saturno possui uma atmosfera densa de nitrogênio Em sua superfície a pressão é igual a 15 atmosfera terrestre e a temperatura é 94 K a Qual é a temperatura na superfície em c b calcule a den sidade da superfície na atmosfera de titã em moléculas por metro cúbico c compare a densidade na atmosfera da superfície de titã com a densidade da atmosfera terrestre a 22 c Qual dos planetas possui uma atmosfera mais densa 1854 Pressão em Vênus Na superfície de vênus a tempe ratura média é 460 c em razão do efeito estufa aquecimento global a pressão é 92 atmosferas terrestres e a aceleração da gravidade é 0894gterra a atmosfera é quase toda formada por co2 massa molar igual a 440 gmol e a temperatura perma nece notavelmente constante vamos supor que a temperatura não mude com a altitude a Qual é a pressão atmosférica a 100 km acima da superfície de vênus Expresse sua resposta em atmosferas venusianas e atmosferas terrestres b Qual é a Figura P1850 Gás ideal T Disco D h BookSEARSVol2indb 273 021015 152 PM 274 Física II velocidade quadrática média das moléculas de co2 na superfície de vênus e a uma altitude de 100 km 1855 o volume do pneu de um automóvel é 00150 m3 em um dia frio quando a temperatura do ar no interior do pneu é 5 c e a pressão atmosférica é 102 atm Nessas condições verificase que a pressão manométrica do pneu é 170 atm Depois de o carro andar por uma estrada durante 30 min a temperatura do ar nos pneus sobe para 45 c e o volume passa a ser 00159 m3 Qual passa a ser a pressão manométrica do pneu 1856 um frasco com volume de 150 L equipado com uma válvula contém o gás etano c2h6 a 300 K e à pressão atmosfé rica 1013 105 Pa a massa molar do etano é 301 gmol o sistema é aquecido até uma temperatura de 550 K mantendose a válvula aberta para a atmosfera a seguir a válvula é fechada e o frasco é resfriado até atingir a temperatura inicial a Qual é a pressão final do etano no frasco b Qual é a quantidade de etano em gramas que permanece no frasco 1857 PC um balão cujo volume é 750 m3 deve ser cheio com hidrogênio na pressão atmosférica 101 105 Pa a sabendo que o hidrogênio é armazenado em cilindros com vo lumes de 190 m3 e sob pressão manométrica de 120 106 Pa quantos cilindros são necessários suponha que a temperatura do hidrogênio permaneça constante b Qual é o peso total além do peso do gás que o balão pode suportar se o ar circundante e o gás do balão estão à mesma temperatura de 15 c a massa molar do hidrogênio h2 é 202 gmol a densidade do ar para uma atmosfera a 15 c é igual a 123 kgm3 veja a definição de força de empuxo no capítulo 14 c Qual seria o peso que o balão poderia suportar se fosse cheio com hélio cuja massa molar é 400 gmol em vez de hidrogênio ainda considerando a temperatura de 15 c 1858 um tanque cilíndrico vertical contém 180 mol de um gás ideal a uma pressão de 0300 atm a 20 c a parte redonda do tanque tem um raio de 100 cm e o gás está sustentando um pistão que pode se deslocar para cima e para baixo no cilindro sem atrito a Qual é a massa desse pistão b Qual é a altura da coluna de gás que sustenta o pistão 1859 PC um tubo está conectado a um grande tanque de água conforme mostra a Figura P1859 o topo do tanque é vedado e existe ar compri mido entre o topo e a su perfície da água Quando a altura da água h é 350 m a pressão absoluta P do ar comprimido é 420 105 Pa suponha que o ar sobre a água se expanda com tempe ratura constante e considere a pressão atmosférica igual a 100 105 Pa a com que velocidade a água sai do tubo quando h 350 m b À medida que a água escoa do tanque h diminui calcule a velocidade de escoamento para h 300 m e h 200 m c Em que altura h o escoamento termina 1860 PC uma esfera plástica leve com massa m 900 g e densidade r 400 kgm3 é suspensa no ar por um fio com massa desprezível a Qual é a tensão T no fio se o ar estiver a 500 c e P 100 atm a massa molar do ar é 288 gmol b o quanto a tensão no fio mudaria se a temperatura do gás fosse aumentada para 350 c ignore a variação no volume da esfera plástica quando a temperatura muda 1861 BIo Quantos átomos há em seu corpo Estime o número de átomos existentes no corpo de um aluno de física com 50 kg Note que o corpo humano é quase todo constituído por água cuja massa molar é 180 gmol e que cada molécula de água contém três átomos 1862 BIo Durante uma hora uma pessoa comum em re pouso inala 050 L de oxigênio a cada respiração a uma pressão de 100 atm e uma temperatura de 200 c o gás aspirado pos sui 210 de oxigênio a Quantas moléculas de oxigênio essa pessoa inala cada vez que respira b suponha agora que essa pessoa esteja em repouso a uma altitude de 2000 m mas que a temperatura continue igual a 200 c supondo que as porcen tagens e os volumes de oxigênio durante a inalação possuam os mesmos valores que os indicados na parte a quantas moléculas de oxigênio essa pessoa inala agora a cada respiração c Dado que para manter suas funções o corpo ainda necessita do mesmo número de moléculas de oxigênio por segundo que o necessário ao nível do mar explique por que algumas pessoas têm dificul dade para respirar em tais altitudes 1863 Dentre dois recipientes idênticos um contém o gás A e o outro o gás B as massas das moléculas desses gases são ma 334 1027 kg e mB 534 1026 kg ambos os gases estão à mesma pressão e a 100 c a as moléculas de que gás A ou B têm maior energia cinética translacional por molécula e maior velocidade quadrática média b agora você deseja elevar a temperatura de apenas um desses recipientes de modo que ambos os gases tenham a mesma velocidade quadrática média De que gás você deve elevar a temperatura c Em que tempe ratura você atingirá seu objetivo d uma vez que você tenha atingido seu objetivo que moléculas A ou B têm agora maior energia cinética translacional média por molécula 1864 o diâmetro de uma molécula de oxigênio é cerca de 20 1010 m Estime qual deveria ser a pressão em que o volume finito de moléculas produziria desvios mensuráveis do compor tamento ideal na temperatura ambiente T 300 K 1865 uma caixa lacrada contém um gás ideal monoatô mico o número de átomos do gás por volume unitário é 500 1020 átomoscm3 e a energia cinética translacional média de cada átomo é 180 1023 J a Qual é a pressão do gás b se o gás é o neônio massa molar igual a 2018 gmol qual é a vrmq para os átomos do gás 1866 um cilindro com paredes rígidas contém gás hélio se a pressão do gás for igual a 200 atm a velocidade quadrática média dos átomos de hélio é vrmq 176 ms De quanto em atmosferas a pressão deverá ser aumentada para elevar a vrmq dos átomos de he em 100 ms ignore qualquer variação no volume do cilindro 1867 você enche um balão esférico até que ele tenha um diâmetro de 500 cm a pressão absoluta dentro dele seja igual a 125 atm e a temperatura seja 220 c considere que todo o gás seja N2 com massa molar igual a 280 gmol a Encontre a massa de uma única molécula de N2 b Quanta energia cinética translacional uma molécula comum de N2 possui c Quantas moléculas de N2 há nesse balão d Qual é a energia cinética translacional total de todas as moléculas no balão 1868 PC a calcule o aumento da energia potencial gra vitacional em uma molécula de nitrogênio massa molar igual a 280 gmol para um aumento de altitude de 400 m próximo da superfície terrestre b Em que temperatura esse aumento é igual à energia cinética média das moléculas de nitrogênio c uma mo lécula de nitrogênio próxima do nível do mar onde T 150 c Figura P1859 100 m h 400 m P BookSEARSVol2indb 274 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 275 poderia ascender até uma altitude de 400 m é provável que ela faça isso sem colidir com nenhuma outra molécula ao longo da trajetória Explique 1869 PC CALC O potencial de LennardJones uma função da energia potencial geralmente usada para descrever a interação entre duas moléculas figura 188 é o potencial de LennardJones com expoentes 6 e 12 U1r2 U0c aR0 r b 12 2aR0 r b 6 d onde r é a distância entre os centros das moléculas e U0 e R0 são constantes positivas a força correspondente Fr é dada pela Equação 1326 a faça gráficos de Ur e Fr por r b seja r1 o valor de r para o qual Ur 0 e r2 o valor de r para o qual Fr 0 Localize os pontos r1 e r2 em seus gráficos de Ur e Fr Qual desses valores representa a posição de equilíbrio entre as moléculas c calcule os valores de r1 e r2 em termos de R0 e obtenha a razão r1r2 d se a distância entre as moléculas for igual a r2 calculada no item c qual seria o trabalho realizado para separálas até uma distância r 1870 a calcule a energia cinética translacional aleatória total de 500 L de hidrogênio gasoso massa molar igual a 2016 gmol com uma pressão de 101 105 Pa e uma temperatura de 300 K Dica use o processo do Problema 1867 como modelo b se o tanque que contém o gás é colocado em um avião viajando a uma velocidade de 3000 ms qual é a porcentagem de aumento da energia cinética total do gás c o fato de que a energia cinética das moléculas do gás é maior quando ele está no avião significa que a temperatura aumentou Explique 1871 é possível fazer um sólido cristalino que tenha uma espessura de apenas uma camada de átomos Esse cristal bidi mensional pode ser criado depositandose átomos sobre uma superfície extremamente plana a caso os átomos desse cristal bidimensional pudessem se mover apenas ao longo do plano do cristal qual deveria ser o calor específico molar nas vizinhan ças da temperatura ambiente forneça sua resposta como um múltiplo de R e em Jmol K b Em temperaturas muito bai xas o calor específico molar de um cristal bidimensional seria maior que o resultado obtido na parte a menor ou igual a ele Explique o motivo 1872 Hidrogênio no Sol a superfície do sol possui tempe ratura aproximada de 5800 K sendo quase toda constituída por átomos de hidrogênio a calcule a velocidade quadrática média de um átomo de hidrogênio a essa temperatura a massa de um único átomo de hidrogênio é 167 1027 kg b a velocidade de escape para que uma partícula saia da zona de influência gra vitacional do sol é dada por 2GMR12 onde M é a massa do sol R é seu raio e G é a constante gravitacional ver o Exemplo 125 da seção 123 use os dados do apêndice f para calcular essa velocidade de escape c uma quantidade apreciável de hidrogênio pode escapar da superfície do sol Algum hidrogênio pode escapar Explique 1873 PC a Mostre que um projétil de massa m pode escapar da superfície de um planeta quando for lançado ver ticalmente com uma energia cinética maior que mgRp onde g é a gravidade na superfície do planeta e Rp é o raio do pla neta Despreze a resistência do ar ver o Problema 1872 b caso o planeta considerado seja a terra em que temperatura a energia cinética translacional média da molécula de nitrogênio massa molar 280 gmol se torna igual à energia cinética necessária para escapar E a molécula de hidrogênio massa molar 202 gmol c repita o item b para a Lua onde g 163 ms2 e Rp 1740 km d Enquanto a terra e a Lua possuem temperaturas médias na superfície aproximadamente iguais a Lua não possui atmosfera use os resultados dos itens b e c para explicar o motivo 1874 Atmosferas planetárias a a temperatura nas vizi nhanças do topo da camada multicolorida da atmosfera de Júpiter é igual a aproximadamente 140 K a temperatura no topo da tro posfera da terra a uma altitude aproximada de 20 km é cerca de 220 K calcule a velocidade quadrática média das moléculas de hidrogênio nesses dois ambientes forneça suas respostas em ms e como uma fração da velocidade de escape do respectivo planeta ver o Problema 1872 b o gás hidrogênio h2 é um elemento raro na atmosfera terrestre Na atmosfera de Júpiter em contraste 89 de todas as moléculas são de h2 Explique o motivo usando o resultado do item a c suponha que um astrônomo afirme ter descoberto uma atmosfera de oxigênio o2 no asteroide ceres Qual é a probabilidade de isso acontecer ceres possui massa igual a 0014 vez a massa da Lua uma densidade de 2400 kgm3 e uma temperatura na superfície de aproximadamente 200 K 1875 CALC calcule a integral da Equação 1831 1 q 0 v2 f 1v2 dv 1 q 0 v2 f 1v2 dv dv e compare o resultado com v2méd como dada pela Equação 1816 Dica você pode usar a integral fornecida em tabelas q 0 x2neax2dx 1 3 5 1 2n 12 2n1an Ä p a onde n é um número inteiro positivo e a é uma constante positiva 1876 a calcule a energia cinética rotacional total das moléculas de 100 mol de um gás diatômico a 300 K b calcule o momento de inércia de uma molécula de oxigênio o2 para a rotação em torno do eixo Oy ou do eixo Oz indicados na figura 1818b considere as moléculas dois pontos com massa repre sentando os átomos de oxigênio separados por uma distância igual a 121 1010 m a massa molar dos átomos de oxigênio é 160 gmol c ache a velocidade angular quadrática média da molécula de oxigênio em torno do eixo Oy ou do eixo Oz indicados na figura 1818b como sua resposta pode ser com parada com a velocidade angular de um motor rápido típico 10000 rotmin 1877 CALC a Explique por que em um gás com N moléculas o número de moléculas que possuem velocidades no intervalo finito entre v e v v é N N1 vv v f 1v2 dv b se v for pequeno então fv é aproximadamente constante ao longo do intervalo e N Nfvv Para o gás oxigênio o2 massa molar 320 gmol a T 300 K use essa aproxima ção para calcular o número de moléculas com velocidades no intervalo v 20 ms em torno de vmp Expresse sua resposta como um múltiplo de N c repita o item b considerando um intervalo em torno de 7vmp com v 20 ms d repita os itens b e c para uma temperatura igual a 600 K e repita os itens b e c para uma temperatura igual a 150 K f o que seus resultados informam sobre a forma da distribuição em função da temperatura suas conclusões estão de acordo com o que é mostrado na figura 1823 1878 CALC calcule a integral da Equação 1830 1 q 0 vf 1 v2 dv e compare o resultado com vméd como dado na Equação 1835 Dica faça a mudança de variáveis v2 x e use a integral em tabelas BookSEARSVol2indb 275 021015 152 PM 276 Física II q 0 xneaxdx n an1 onde n é um número inteiro positivo e a é uma constante positiva 1879 PC Oscilações de um pistão um cilindro vertical de raio r contém um gás ideal e recebe em seu interior um pis tão com massa m livre para se movimentar Figura P1879 o pistão e as paredes do cilindro não têm atrito e o cilindro inteiro é colocado em uma solução com temperatura constante a pressão do ar externo é P0 No equilíbrio o pis tão se situa a uma altura h acima da base do cilindro a Determine a pressão ab soluta do gás preso abaixo do pistão quando este se en contra em equilíbrio b o pistão é puxado para cima por uma pequena distân cia e liberado Determine a força resultante que atua sobre o pistão quando sua base está a uma distância h y acima da base do cilindro onde y h c após o pistão ser deslocado do equilíbrio e liberado ele oscila para cima e para baixo ache a frequência dessas pequenas oscilações se o deslocamento não for pequeno as oscilações são harmônicas simples como você pode saber 1880 dAdos um cilindro de aço com paredes rígidas é evacuado até um alto grau de vácuo depois você coloca uma pequena quantidade de hélio no cilindro Este possui um ma nômetro de pressão que mede a pressão do gás em seu interior você coloca o cilindro em ambientes com diversas temperaturas espera que o equilíbrio térmico seja estabelecido e depois mede a pressão do gás os resultados são os seguintes T C PPa Ponto de ebulição normal do nitrogênio 1958 254 Mistura de gelo e água 00 890 ar livre em um dia quente 333 999 Ponto de ebulição normal da água 1000 1214 forno quente 232 1635 a Lembrese capítulo 17 de que o zero absoluto é a tempe ratura em que a pressão de um gás ideal tornase zero use os dados na tabela para calcular o valor do zero absoluto em c suponha que a pressão do gás seja baixa o suficiente para que ele seja tratado como um gás ideal e ignore a variação no volume do cilindro quando a temperatura é alterada b use o coeficiente da expansão volumétrica para o aço na tabela 172 para calcular a variação percentual no volume do cilindro entre as temperatu ras mais baixa e mais alta na tabela é correto ignorar a variação de volume do cilindro quando a temperatura varia Justifique sua resposta 1881 dAdos O ponto de orvalho e nuvens a pressão de vapor da água ver Exercício 1844 diminui à medida que a temperatura se reduz a tabela seguinte fornece uma lista da pressão de vapor de água em diversas temperaturas Temperatura C Pressão de vapor Pa 100 123 103 120 140 103 140 160 103 160 181 103 180 206 103 200 234 103 220 265 103 240 299 103 260 336 103 280 378 103 300 425 103 caso o teor de vapor dágua no ar seja mantido constante à me dida que o ar se resfria atingese uma temperatura chamada de temperatura do ponto de orvalho em que a pressão parcial se torna igual à pressão de vapor e o vapor fica saturado caso o ar seja ainda mais resfriado o vapor se condensa em líquido até que a nova pressão fique novamente igual à pressão de vapor naquela temperatura a temperatura em uma sala é 300 c a um me teorologista resfria uma lata metálica enchendoa gradualmente com água fria Quando a temperatura da lata atinge 160 c pequenas gotas de água se formam em sua superfície externa Qual é a umidade relativa do ar dessa sala com temperatura de 300 c Em um dia de primavera no centrooeste dos Estados unidos a temperatura do ar nas vizinhanças do solo é 28 c cúmulos são nuvens que parecem flocos de algodão formando se em altitudes nas quais a temperatura do ar é igual à do ponto de orvalho se a temperatura do ar diminui com a altitude a uma taxa de 06 c100 m em que altura aproximada acima do solo os cúmulos se formam quando a umidade relativa no solo for b 35 c 80 1882 dAdos as grandezas estatísticas da média e do valor quadrático médio podem ser aplicadas a qualquer distri buição a Figura P1882 mostra as notas para uma turma com 150 alunos em uma prova valendo 100 pontos a calcule o valor médio das notas da turma b calcule o valor quadrático médio das notas da turma c Qual é maior a nota média ou a nota rmq Por quê Figura P1882 5 10 15 20 25 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Número de alunos Nota ProBLEmAs dEsAFIAdorEs 1883 PC Nebulosas escuras e o espaço interestelar a área escura na Figura P1883 aparentemente desprovida de es trelas denominase nebulosa escura uma nuvem de gás frio no espaço interestelar que contém matéria suficiente para bloquear a luz proveniente de estrelas que estão atrás dessa região uma ne bulosa escura típica possui um diâmetro da ordem de 20 anosluz Figura P1879 Pistão massa m h r Abertura para o ar externo P0 Gás ideal BookSEARSVol2indb 276 021015 152 PM Capítulo 18 Propriedades térmicas da matéria 277 e contém cerca de 50 átomos de hidrogênio por centímetro cúbico hidrogênio monoatômico e não h2 a uma temperatura aproxi madamente igual a 20 K um anoluz é a distância percorrida pela luz em um ano sendo igual a 946 1015 m a Estime o livre caminho médio de um átomo de hidrogênio em uma ne bulosa escura o raio de um átomo de hidrogênio é da ordem de 50 1011 m b Estime a velocidade quadrática média de um átomo de hidrogênio e o tempo livre médio o tempo médio entre duas colisões sucessivas de um dado átomo com base nesse resultado você acha que as colisões atômicas como aquelas que dão origem à formação da molécula h2 são muito importantes para a determinação da composição da nebulosa c Estime a pressão no interior de uma nebulosa escura d compare a ve locidade quadrática média de um átomo de hidrogênio com a velocidade de escape da superfície da nebulosa supondo que ela seja esférica se houvesse vácuo em torno da nebulosa ela seria estável ou teria uma tendência a se vaporizar e a estabi lidade de uma nebulosa escura é explicada pela presença de um meio interestelar isM um gás ainda mais rarefeito que permeia o espaço interestelar no qual uma nebulosa escura está imersa Mostre que uma nebulosa escura está em equilíbrio com o isM quando o número de átomos por volume NV e a temperatura T da nebulosa escura estão relacionados por 1NV2nebulosa 1NV2ISM TISM Tnebulosa f Nas vizinhanças do sol o isM contém cerca de 1 átomo de hidrogênio por 200 cm3 Estime a temperatura do isM nas vizinhanças do sol compare o resultado com a temperatura na superfície do sol igual a aproximadamente 5800 K uma espaçonave viajando através do espaço interestelar poderia se queimar Justifique sua resposta Figura P1883 1884 CALC Atmosfera terrestre Na troposfera a parte superior da atmosfera compreendida entre a superfície ter restre e uma altitude de 11 km a temperatura não é uniforme mas diminui com o aumento da altitude a Mostre que se a variação de temperatura for aproximada pela expressão linear T T0 ay onde T0 é a temperatura na superfície da terra e T é a tempe ratura a uma altitude y a pressão P a uma altitude y é dada por ln a P P0 b Mg Ra ln aT0 ay T0 b onde P0 é a pressão na superfície terrestre e M é a massa molar do ar o coeficiente a é chamado de taxa de diminuição da tem peratura Essa taxa varia com as condições atmosféricas mas um valor médio para ela seria de aproximadamente 06 c100 m b Mostre que o resultado anterior se reduz ao obtido no Exemplo 184 seção 181 no limite quando a 0 c supondo a 06 c100 m calcule P para y 8863 m e compare sua res posta com o resultado do Exemplo 184 considere T0 288 K e P0 10 atm Problemas com contexto ISOLANDO JANELAS uma forma de melhorar o isolamento nas janelas é encher um espaço lacrado entre dois painéis de vidro com um gás que possui condutividade térmica mais baixa que a do ar a condutividade térmica k de um gás depende de seu calor específico molar CV massa molar M e raio molecular r a dependência dessas grandezas em determinada temperatura é aproximada por k r CV r2M os gases nobres possuem pro priedades que os tornam escolhas particularmente boas como gases isolantes os gases nobres variam desde o hélio massa molar 40 gmol raio molecular 013 nm ao xenônio massa molar 131 gmol raio molecular 022 nm o gás nobre radônio é mais pesado que o xenônio mas o radônio é radioativo e por tanto não é adequado para essa finalidade 1885 Qual é o motivo para os gases nobres serem preferíveis ao ar que é principalmente nitrogênio e oxigênio como um mate rial isolante a os gases nobres são monoatômicos e portanto nenhum modo rotacional contribui para o calor específico molar b os gases nobres são monoatômicos e portanto possuem me nores massas moleculares que o nitrogênio e o oxigênio c os raios moleculares nos gases nobres são muito maiores que os dos gases que consistem em moléculas diatômicas d como os gases nobres são monoatômicos eles possuem muito mais graus de liberdade que as moléculas diatômicas e seu calor específico molar é reduzido pelo número de graus de liberdade 1886 Estime a razão entre a condutividade térmica do Xe e a do he a 0015 b 0061 c 010 d 017 1887 a taxa de efusão ou seja o vazamento de um gás por pequenas fendas é proporcional a vrmq se houver pequenas fendas no material usado para lacrar o espaço entre dois painéis de vidro quantas vezes a taxa de vazamento do espaço entre os painéis é maior para o he que para o Xe na mesma temperatura a 370 vezes b 19 vezes c 6 vezes d não é maior a taxa de vazamento do he é a mesma que para o Xe respostas resposta à pergunta inicial do capítulo iv segundo a Equação 1819 a velocidade quadrática média de uma molécula de gás é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta T o intervalo de temperatura que estamos considerando é de 25 27315 K 298 K até 100 27315 K 373 K Logo as velocidades aumentam por um fator de BookSEARSVol2indb 277 021015 152 PM 278 Física II 1 373 K2 1 298 K2 112 isto é 12 Embora 100 c pareça bem mais quente que 25 c a diferença nas velocidades molecu lares é relativamente pequena respostas às perguntas dos testes de compreensão 181 resposta ii e iii empate i e v empate iv Podemos reescrever a equação do gás ideal a Equação 183 como n PVRT isso nos diz que o número de moles n é pro porcional à pressão e ao volume e inversamente proporcional à temperatura absoluta Logo comparandose a i o número de moles em cada caso é ii 211 duas vezes maior iii 121 duas vezes maior iv 112 1 2 a metade do valor e v 212 uma vez maior ou seja igual 182 resposta vi o valor de r0 determina a posição de equilíbrio das moléculas na fase sólida portanto dobrando r0 a separação também dobra assim um cubo sólido desse composto pode crescer de 1 cm de aresta a 2 cm de aresta o volume ficaria então 23 8 vezes maior e a densidade massa dividida pelo volume passaria a ser 1 8 da inicial 183 respostas a iv ii iii i b iii e iv em pate i e ii empate a a Equação 1819 indica que vrmq 3RTM então a velocidade quadrática média é pro porcional à raiz quadrada da razão da temperatura absoluta T e da massa molar M comparada a i oxigênio a 300 K vrmq nos outros casos é ii 1320 gmol21280 gmol 2 107 vez maior iii 1330 K21300 K2 105 vez maior e iv 330 K2 1 1 320 gmol2 1 300 K2 1280 gmol2 112 330 K2 1 1 320 gmol2 1 300 K2 1280 gmol2 112 vez maior b con forme a Equação 1816 a energia cinética translacional média por molécula é 1 2mv2méd 3 2 kT que é diretamente proporcio nal a T e independe de M temos T 300 K nos casos i e ii e T 330 K nos casos iii e iv então 1 2mv2méd apresenta valores iguais nos casos iii e iv e valores iguais mas menores nos casos i e ii 184 respostas não perto do início fornecendose uma pequena quantidade de calor dQ ao gás ocorre uma variação de temperatura dT onde dQ nCVdT conforme a Equação 1824 a figura 1819 mostra que CV varia em h2 a temperaturas entre 25 K e 500 K portanto uma dada quantidade de calor provoca diferentes valores de variação de temperatura durante o processo Logo a temperatura não aumentará em uma taxa constante a variação de temperatura dT dQnCV é inversamente propor cional a CV então a temperatura aumenta mais rapidamente no início do processo quando a temperatura é mais baixa e CV é menor ver figura 1819 185 resposta ii a figura 1823b mostra que a fração de moléculas com velocidades entre v1 e v2 é igual à área sob a curva de fv por v de v v1 até v v2 isso é igual à integral 1 v2 v1 f 1v2 dv que por sua vez é igual à diferença entre as inte grais 1 v2 0 f 1v2 dv a fração de moléculas com velocidades entre 0 e v2 e 1 v2 0 f 1v2 dv a fração de moléculas com velocidades entre 0 e a velocidade mais baixa v1 o número de moléculas com velocidades entre v1 e v2 é igual à fração de moléculas nesse intervalo de velocidades multiplicado por N o número total de moléculas 186 respostas não sim a pressão da água no ponto triplo fornecida na tabela 183 é 610 102 Pa a pressão atual em Marte é só um pouco menor que esse valor correspondendo à linha designada como Ps na figura 1824 Logo não pode existir água líquida na superfície marciana atual e não há rios ou lagos por lá os cientistas especializados concluem que água líquida pode ter existido em Marte e provavelmente existiu no passado quando a atmosfera era mais densa Problema em destaque a 102 km b sim BookSEARSVol2indb 278 021015 152 PM A primeira lei da termodi nâmica explica o funcio namento de uma locomotiva a vapor A água é aquecida e ferve e o vapor em expansão realiza o trabalho que im pulsiona a locomotiva para a frente Seria possível o vapor impulsionar a locomotiva rea lizando trabalho ao condensar i Sim ii não iii a resposta depende dos detalhes de como o vapor é condensado oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 191 O significado de sistemas e processos termodinâmicos 192 Como calcular o trabalho realizado por um sistema termodinâmico quando seu volume varia 193 O que significa processo entre estados termodinâmicos 194 Como interpretar e usar a primeira lei da termodinâmica 195 Quatro tipos importantes de processos termodinâmicos 196 Por que a energia interna de um gás ideal depende somente de sua temperatura 197 A diferença entre calor específico a volume e calor específico à pressão constante 198 Como analisar processos adiabáticos em um gás ideal Revendo conceitos de 63 Trabalho realizado por uma força 73 Energia interna 175 1 84 Quantidade de calor e calor específico molar 181 Diagramas PV T oda vez que você dirige um carro liga o arcondicionado ou usa um ele trodoméstico está usufruindo dos benefícios práticos da termodinâmica o estudo das relações envolvendo calor trabalho mecânico e outros aspectos da energia e da transferência de energia Por exemplo no motor de um carro o calor é gerado pela reação química do oxigênio e da gasolina vaporizada nos ci lindros do motor o gás aquecido pressiona os pistões para dentro dos cilindros realizando trabalho mecânico que é usado para impulsionar o carro Essa trans formação exemplifica um processo termodinâmico a primeira lei da termodinâmica fundamental para entender tais processos é uma extensão do princípio da conservação da energia Ela amplia esse princípio para incluir trocas de energia tanto por transferência de calor quanto por realização de trabalho e introduz o conceito de energia interna de um sistema a conservação da energia desempenha um papel vital em todas as áreas das ciências físicas e a utilidade da primeira lei da termodinâmica é bastante vasta Para formular relações envolvendo energia com precisão é necessário introduzir o conceito de sistema termodinâmico e definir calor e trabalho como dois modos de transferir energia para o interior ou para o exterior desse sistema 191 sIsTEmAs TErmodINâmICos Já estudamos transferências de energia envolvendo trabalho mecânico capí tulo 6 e transferência de calor capítulos 17 e 18 agora estamos preparados para combinar e generalizar esses princípios sempre falamos a respeito de uma energia transferida para dentro ou para fora de um sistema específico o sistema pode ser um dispositivo mecânico um or ganismo biológico ou uma dada quantidade de material como o refrigerante em 19 A PrimEirA lEi DA TErmoDiNÂmiCA BookSEARSVol2indb 279 021015 152 PM 280 Física II um arcondicionado ou o vapor que se expande em uma turbina um sistema ter modinâmico é qualquer coleção de objetos que é conveniente encarar como uma unidade e que tem o potencial de trocar energia com o ambiente um exemplo bem conhecido é quando se faz pipoca em uma panela com tampa Quando a panela é colocada sobre a chama do fogão ocorre transferência de calor por condução para o milho À medida que ele começa a estalar e se expandir realiza um trabalho sobre a tampa da panela que sofre um deslocamento Figura 191 o estado do milho mudou nesse processo uma vez que o volume a temperatura e a pressão do milho variaram quando ele começou a estalar um processo como esse no qual ocorrem variações no estado do sistema termodinâmico denominase processo termodinâmico Em mecânica normalmente usamos o conceito de sistema associado a diagra mas de corpo livre e à conservação da energia e momento linear Para os sistemas termodinâmicos e para todos os outros é essencial definir exatamente no início o que pode e o que não pode ser incluído no sistema somente depois podemos descrever sem ambiguidade as transferências de energia para o interior ou para o exterior do sistema Por exemplo no processo de estourar a pipoca definimos o sistema incluindo apenas o milho mas não a panela a tampa ou o fogão a termodinâmica está ligada a muitos problemas práticos além do estouro de pipocas Figura 192 o motor a gasolina de um automóvel e o motor a jato de um avião usam o calor de combustão dos respectivos combustíveis para realizar o trabalho mecânico usado para impulsionar o veículo o tecido muscular de um or ganismo vivo metaboliza a energia química proveniente de alimentos para realizar um trabalho mecânico sobre suas vizinhanças um motor e uma turbina a vapor usam o calor de combustão do carvão ou de outro combustível para realizar um trabalho mecânico como acionar um gerador elétrico ou impulsionar um trem sinais para o calor e o trabalho na termodinâmica Descrevemos relações de energia em muitos processos termodinâmicos em ter mos da quantidade de calor Q fornecida para o sistema e o trabalho W realizado pelo sistema os valores de Q e de W podem ser positivos negativos ou nulos Fi gura 193 um valor de Q positivo significa uma transferência de calor para dentro do sistema com um fluxo de energia correspondente para o interior do sistema Q negativo significa uma transferência de calor para fora do sistema um valor de W positivo significa um trabalho realizado pelo sistema sobre suas vizinhanças como o trabalho realizado por um gás que se expande e portanto corresponde a uma transferência de energia para fora do sistema um valor de W negativo como o trabalho realizado durante a compressão de um gás significa um trabalho realizado Figura 191 a pipoca na panela é um sistema termodinâmico No processo termodinâmico mostrado aqui o calor é fornecido ao sistema e a tampa da panela se desloca em virtude do trabalho realizado pelo sistema sobre suas vizinhanças Figura 192 a o motor de um foguete usa o calor da combustão de seu combustível para realizar trabalho impulsionando o veículo de lançamento b seres humanos e outros organismos biológicos são sistemas mais complicados que os que podemos analisar detalhadamente neste livro mas os mesmos princípios básicos da termodinâmica se aplicam a eles a b Vizinhanças ambiente Q 7 0 W 7 0 Sistema Vizinhanças ambiente Q 6 0 W 6 0 Sistema O calor é positivo quando entra no sistema e negativo quando sai do sistema O trabalho é positivo quando é feito pelo sistema e negativo quando é feito sobre o sistema Figura 193 um sistema termodinâmico pode trocar energia sob forma de calor de trabalho ou de ambos com suas vizinhanças ambiente observe as convenções de sinais para Q e W BookSEARSVol2indb 280 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 281 sobre o gás pelas suas vizinhanças e portanto corresponde a uma transferência de energia para dentro do sistema usaremos consistentemente essas convenções neste capítulo e no seguinte ATENÇÃo Cuidado com o sinal do trabalho W observe que a convenção de sinais para o trabalho realizado é oposta à adotada na mecânica quando sempre falávamos de um trabalho realizado pela força que atua sobre um corpo Na termodinâmica geralmente é mais conveniente chamar de W o trabalho realizado pelo sistema de modo que quando um sistema se expande a pressão a variação de volume e o trabalho realizado são gran dezas sempre positivas Preste atenção e use a convenção de sinais do calor e do trabalho de forma coerente TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 191 No Exemplo 177 seção 176 qual é o sinal de Q para o café E para a xícara de alumínio se um bloco desliza ao longo de uma superfície horizontal com atrito qual é o sinal de W para o bloco 192 TrABALho rEALIzAdo dUrANTE VArIAÇõEs dE VoLUmE um gás no interior de um cilindro com um pistão móvel é um exemplo simples de sistema termodinâmico um motor de combustão interna um motor a vapor e os compressores em condicionadores de ar e refrigeradores usam alguma versão desse sistema Nas próximas seções usaremos o sistema do gás no interior de um cilindro para estudar diversos tipos de processos termodinâmicos utilizaremos um ponto de vista microscópico com base nas energias cinética e potencial de cada molécula individual do sistema para desenvolver intuição sobre as grandezas termodinâmicas contudo é importante entender que os princípios básicos da termodinâmica podem ser estudados de modo inteiramente macroscó pico sem fazer referência a nenhum modelo microscópico Na realidade o grande poder e o caráter geral da termodinâmica decorrem em parte do fato de que ela não depende dos detalhes da estrutura da matéria inicialmente vamos considerar o trabalho realizado pelo sistema durante uma variação de volume Quando um gás se expande ele força suas fronteiras a se deslocarem para fora Portanto um gás que se expande sempre realiza trabalho positivo o mesmo resultado se aplica a qualquer material líquido ou sólido que se expande sob pressão como a pipoca mostrada na figura 191 Podemos entender o trabalho realizado por um gás durante uma variação de volume considerando as moléculas que compõem o gás Quando uma dessas mo léculas colide com uma superfície fixa momentaneamente ela exerce uma força sobre a superfície mas não realiza trabalho porque ela não se move Porém quando a superfície se move como no caso do pistão de um motor a gasolina a molécula realiza um trabalho sobre a superfície durante a colisão se o pistão da Figura 194a se move para a direita fazendo o volume total do gás aumentar as moléculas que colidem com o pistão exercem uma força ao longo de uma certa distância e realizam um trabalho positivo sobre o pistão se o pistão da figura 194b se move para a esquerda então um trabalho positivo é realizado sobre as moléculas durante a colisão Logo as moléculas do gás realizam um trabalho negativo sobre o pistão a Figura 195 mostra um sistema cujo volume pode mudar um gás líquido ou sólido em um cilindro com pistão móvel suponha que a seção reta do cilindro possua área A e que a pressão exercida pelo sistema sobre a face do pistão seja igual a P a força total F exercida pelo sistema sobre o pistão é dada por F PA Quando o pistão se move por uma distância infinitesimal dx o trabalho dW reali zado por essa força é dW F dx PA dx Figura 194 Quando uma molécula colide com um pistão ela a realiza trabalho positivo se o pistão estiver se afastando da molécula e b realiza trabalho negativo se o pistão estiver se movendo na direção da molécula Logo um gás realiza trabalho positivo quando se expande como em a e negativo quando se comprime como em b Movimento do pistão A molécula se afasta do pistão A molécula perde energia cinética realiza trabalho positivo sobre o pistão O pistão se afasta da molécula durante a colisão a O pistão se desloca em sentido contrário ao da molécula durante a colisão b vdepois vantes Movimento do pistão A molécula ganha energia cinética realiza trabalho negativo sobre o pistão vdepois vantes BookSEARSVol2indb 281 021015 152 PM 282 Física II Porém A dx dV onde dV é uma variação infinitesimal do volume do sistema Logo o trabalho rea lizado pelo sistema durante essa variação infinitesimal de volume é dW P dV 191 Para uma variação finita de volume desde V1 até V2 temos 192 Trabalho realizado em uma variação de volume Limite superior volume fnal Integral da pressão em relação ao volume Limite inferior volume inicial 2V1 V2 W P dV Em geral a pressão do sistema pode variar durante a variação do volume Esse é o caso por exemplo dos cilindros de um motor de automóvel quando os pistões se movem para a frente e para trás Para calcular a integral na Equação 192 devemos saber como a pressão do sistema varia em função do volume Podemos representar essa função por um gráfico de P em função de V um diagrama PV descrito no final da seção 181 a Figura 196 mostra um exemplo simples Nessa figura a Equação 192 é representada graficamente pela área sob a curva de P em função de V entre os limites V1 e V2 Na seção 63 usamos uma interpretação semelhante para representar o trabalho realizado por uma força F como a área sob a curva de F em função de x entre os limites x1 e x2 De acordo com a regra estipulada na seção 191 o trabalho é positivo quando o sistema se expande Em uma expansão do estado 1 até o estado 2 na figura 196a a área sob a curva e o trabalho são positivos uma compressão de 1 até 2 na figura 196b fornece uma área negativa quando um sistema é comprimido seu volume diminui e ele realiza um trabalho negativo sobre as vizinhanças ver também a figura 194b ATENÇÃo Cuidado com os índices 1 e 2 ao usar a Equação 192 lembrese sempre de que V1 é o volume inicial e V2 o volume final é por isso que as legendas 1 e 2 estão invertidas na figura 196b em comparação com a figura 196a mesmo que ambos os processos ocorram entre os mesmos dois estados termodinâmicos se a pressão P permanece constante enquanto o volume varia entre os limites V1 e V2 figura 196c o trabalho realizado pelo sistema é Figura 195 o trabalho infinitesimal realizado pelo sistema durante a pequena expansão dx é dW PA dx dx Sistema Força que o sistema exerce sobre o pistão PA A Figura 196 o trabalho realizado é dado pela área sob a curva em um diagrama PV V Trabalho Área 1 2 P1 P2 V1 V2 O P a Diagrama PV de um sistema passando por uma expansão a pressão variável 2 1 P2 P1 V2 V1 V O P Trabalho Área As linhas diagonais indicam trabalho negativo b Diagrama PV de um sistema passando por uma compressão à pressão variável Trabalho Área P 1V2 V12 7 0 V1 V2 V O 1 2 P P c Diagrama PV de um sistema passando por uma expansão sob pressão constante P dV 7 0 2 V2 P dV 6 0 2 V2 V1 V1 BookSEARSVol2indb 282 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 283 W P1V2 V12 193 Pressão Volume fnal Trabalho realizado em uma variação de volume à pressão constante Volume inicial Em qualquer processo no qual o volume permanece constante o sistema não realiza trabalho porque não existe nenhum deslocamento um gás ideal sofre uma expansão isotérmica temperatura cons tante para uma temperatura T enquanto o volume varia entre os limites V1 e V2 Qual é o trabalho realizado pelo gás soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a equação do gás ideal Equação 183 diz que se a temperatura T de n moles de um gás ideal permanece constante a grandeza PV nRT também permanece constante se o volume V varia a pressão P também deve variar e portanto não podemos usar a Equação 193 para calcular o trabalho realizado Em vez disso precisamos avaliar a integral na Equação 192 assim precisamos conhecer P em função de V para isso usamos a Equação 183 EXECUTAR conforme a Equação 183 P nRT V substituímos isso na integral da Equação 192 retiramos o fator constante nRT e avaliamos a integral W 2 V2 V1 P dV nRT 2 V2 V1 dV V nRT ln V2 V1 gás ideal processo isotérmico Podemos reescrever essa expressão para W em termos de P1 e P2 como PV nRT é constante P1V1 P2V2 ou V2 V1 P1 P2 Logo W nRT ln P1 P2 gás ideal processo isotérmico AVALIAR conferimos nosso resultado notando que em uma ex pansão V2 V1 e a razão V2V1 é maior que 1 o logaritmo de um número maior que 1 é positivo então W 0 como deveria ser como uma verificação adicional olhe para nossa segunda expressão para W em uma expansão isotérmica o volume au menta e a pressão diminui logo P2 P1 e a razão P1P2 1 e W nRT ln P1P2 é novamente positiva Esses resultados se aplicam também a uma compressão isotér mica de um gás em que V2 V1 e P2 P1 ExEmPlo 191 EXPANSÃO ISOTÉRMICA DE UM GÁS IDEAL TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 192 uma quantidade de gás ideal passa por uma expansão que dobra seu volume o gás realiza mais trabalho sobre seu meio ambiente se a expansão ocorre a uma pressão constante ou a uma temperatura constante i Pressão constante ii temperatura constante iii a mesma quantidade de trabalho é realizada em ambos os casos iv não há informações suficientes para decidir 193 CAmINhos ENTrE EsTAdos TErmodINâmICos vimos que quando um processo termodinâmico envolve uma variação de vo lume o sistema realiza trabalho sobre as vizinhanças com um sinal que pode ser positivo ou negativo No processo também pode ocorrer transferência de ca lor quando existe uma diferença de temperatura entre o sistema e as vizinhanças agora vamos examinar como o trabalho realizado e o calor trocado com o sistema durante um processo termodinâmico dependem dos detalhes da realização do re ferido processo Trabalho realizado em um processo termodinâmico Quando um sistema termodinâmico varia de um estado inicial até um estado final ele passa por uma série de estados intermediários chamamos essa série BookSEARSVol2indb 283 021015 152 PM 284 Física II de estados de caminho sempre existe uma infinidade de estados intermediários possíveis Quando todos eles forem estados de equilíbrio o caminho pode ser representado com um diagrama PV Figura 197a o ponto 1 representa um es tado inicial com pressão inicial P1 e volume V1 e o ponto 2 representa um estado final com pressão final P2 e volume V2 Para passar do estado 1 para o estado 2 poderíamos manter a pressão constante em P1 enquanto o sistema se expande até o volume V2 ponto 3 na figura 197b e a seguir reduzir a pressão até P2 prova velmente fazendo a temperatura diminuir mantendo o volume constante e igual a V2 ponto 2 no diagrama o trabalho realizado pelo sistema durante esse processo é a área embaixo da linha 1 3 nenhum trabalho é realizado durante o processo a volume constante 3 2 ou o sistema poderia seguir o caminho 1 4 2 figura 197c nesse caso o trabalho realizado é a área sob a linha 4 2 visto que nenhum trabalho é realizado durante o processo a volume constante 1 4 a linha contínua ligando o ponto 1 com o ponto 2 fornece outra possibilidade figura 197d e o trabalho realizado nesse caminho é diferente dos trabalhos realizados nos caminhos anteriores concluímos que o trabalho realizado pelo sistema depende não somente dos estados inicial e final mas também dos estados intermediários ou seja depende do caminho além do mais o sistema pode sofrer diversas transformações seguindo um ciclo fechado como no caminho 1 3 2 4 1 Nesse caso o estado final é idêntico ao inicial porém o trabalho total realizado nesse caminho fechado não é igual a zero Na realidade esse trabalho realizado é dado pela área embaixo da curva fechada veja o Exercício 197 assim não faz sentido falar em trabalho contido em um sistema Em um estado particular um sistema pode ter valores definidos para as coordenadas de estado P V e T porém não se pode dizer que ele tem um valor definido para o trabalho W Calor fornecido em um processo termodinâmico analogamente ao caso do trabalho o calor fornecido a um sistema termodinâ mico quando ele passa de um estado a outro depende do caminho seguido para ir do estado inicial ao final vejamos um exemplo suponha que você deseje alterar o volume de um gás ideal de 20 L para 50 L mantendo a temperatura T 300 K constante a Figura 198 mostra dois modos diferentes de realizar essa alteração de volume Na figura 198a o gás está contido em um cilindro com pistão e tem um volume inicial igual a 20 L Deixamos o gás se expandir lentamente recebendo calor do aquecedor elétrico para manter a temperatura em 300 K até que o gás alcance seu volume final de 50 L ele absorve uma quantidade definida de calor nesse processo isotérmico Figura 197 o trabalho realizado por um sistema durante uma transição entre dois estados depende do caminho escolhido Esses caminhos constituem três opções para ir do estado 1 ao estado 2 Primeiro aumente o volume de V1 a V2 sob pressão constante P1 Primeiro diminua a pressão de P1 a P2 a volume constante V1 Aumente o volume de V1 a V2 enquanto diminui a pressão de P1 a P2 depois diminua o volume de V1 a V2 sob pressão constante P2 depois diminua a pressão de P1 a P2 a volume constante V2 O V1 V2 V P2 P1 1 2 3 4 a P O V1 V2 V 1 2 3 b W Área P2 P1 P c O V1 V2 V 1 2 4 W Área P2 P1 P O V1 V2 V P 1 2 d W Área P2 P1 Figura 198 a Expansão lenta e controlada de um gás desde um estado inicial 1 até um estado final 2 à mesma temperatura mas a uma pressão menor b Expansão rápida e sem controle do mesmo gás começando no mesmo estado 1 e terminando no mesmo estado 2 a O sistema realiza trabalho sobre o pistão a placa aquecida fornece calor ao sistema W 0 e Q 0 50 L Estado 2 300 K 20 L Estado 1 300 K Gás a 300 K b O sistema não realiza trabalho nenhum calor entra ou sai do sistema W 0 e Q 0 Divisória frágil 50 L Estado 2 Vácuo 20 L Estado 1 Gás a 300 K Isolante a O sistema realiza trabalho sobre o pistão a placa aquecida fornece calor ao sistema W 0 e Q 0 50 L Estado 2 300 K 20 L Estado 1 300 K Gás a 300 K b O sistema não realiza trabalho nenhum calor entra ou sai do sistema W 0 e Q 0 Divisória frágil 50 L Estado 2 Vácuo 20 L Estado 1 Gás a 300 K Isolante BookSEARSVol2indb 284 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 285 a figura 198b mostra um processo diferente que conduz ao mesmo estado final o recipiente é circundado por paredes isolantes e dividido em compartimentos por uma divisória frágil que pode ser quebrada o volume do compartimento inferior é 20 L e o do compartimento superior é 30 L No compartimento inferior colo camos a mesma quantidade do mesmo gás da figura 198a novamente com a tem peratura T 300 K o estado inicial é o mesmo do caso anterior agora rompemos a divisória e o gás sofre uma expansão rápida e sem controle mas nenhum calor é transferido através das paredes isolantes o volume final é 50 L o mesmo que o indicado na figura 198a o trabalho realizado pelo gás nessa expansão é igual a zero porque ele não empurra nenhuma fronteira móvel Essa expansão sem controle denominase expansão livre vamos discutila com mais detalhes na seção 196 as experiências mostram que quando um gás ideal sofre uma expansão livre não ocorre nenhuma variação de temperatura Portanto o estado final do gás é o mesmo que o indicado na figura 198a os estados intermediários pressões e volu mes durante a transição do estado 1 para o estado 2 são inteiramente diferentes nos dois casos as figuras 198a e 198b mostram dois caminhos diferentes conectando os mesmos estados 1 e 2 No caminho apresentado na figura 198b nenhum calor é transferido para o interior do sistema e este não realiza trabalho analogamente ao caso do trabalho o calor depende não somente dos estados inicial e final mas também do caminho Em virtude dessa dependência do caminho não devemos falar em calor con tido em um sistema Para entender isso vamos atribuir um valor arbitrário ao calor contido em um corpo em um dado estado de referência Então o calor contido no corpo em outro estado deveria ser igual ao valor considerado no es tado de referência acrescido do calor fornecido ao sistema quando ele passa para o segundo estado isso levaria a uma ambiguidade pois acabamos de mostrar que o calor transferido depende do caminho do estado de referência até o segundo estado somos forçados a concluir que a ideia de um calor contido no corpo não é consistente esse conceito não tem utilidade Embora não tenha sentido falar em trabalho contido em um corpo ou calor contido em um corpo faz sentido falar de uma energia interna contida em um corpo Esse importante conceito será examinado na próxima seção TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 193 o sistema descrito na figura 197a passa por quatro processos termodinâmicos diferentes cada processo é representado em um diagrama PV como uma linha reta partindo do estado inicial e indo até o estado final Esses processos são diferentes dos mostrados nos diagramas PV da figura 197 coloque os processos na ordem da quantidade de trabalho realizado pelo sistema do mais positivo ao mais negativo i 1 2 ii 2 1 iii 3 4 iv 4 3 194 ENErgIA INTErNA E A PrImEIrA LEI dA TErmodINâmICA a energia interna é um dos conceitos mais importantes da termodinâmica Na seção 73 quando discutimos as variações de energia de um corpo deslizando com atrito afirmamos que o aquecimento fazia aumentar sua energia interna e que o resfriamento do corpo a fazia diminuir Porém o que é energia interna Podemos encarála de diversos modos vamos começar discutindo uma ideia da mecânica a matéria é constituída de átomos e moléculas que são partículas que possuem energias cinética e potencial uma tentativa de definir a energia interna é sim plesmente dizer que ela é a soma das energias cinéticas de todas as suas partículas constituintes acrescida da soma de todas as energias potenciais decorrentes das interações entre as partículas do sistema BookSEARSVol2indb 285 021015 152 PM 286 Física II ATENÇÃo É interna Note que a energia interna não inclui a energia potencial decor rente das interações entre o sistema e suas vizinhanças se o sistema for um copo com água quando o colocarmos no alto de uma prateleira sua energia potencial oriunda da interação com a terra aumentará Porém isso não possui efeito algum sobre as interações entre as moléculas da água de modo que a energia interna da água não varia usaremos o símbolo U para a energia interna usamos esse mesmo símbolo no estudo da mecânica para representar a energia potencial No entanto U tem um significado diferente na termodinâmica Durante a mudança de estado de um sistema a energia interna pode variar de um valor inicial U1 até um valor final U2 a variação da energia interna é simbolizada por U U2 U1 Quando fornecemos um calor Q a um sistema e ele não realiza nenhum trabalho durante o processo logo W 0 a energia interna aumenta por um valor igual a Q isto é U Q Quando um sistema realiza um trabalho W de expansão contra suas vizinhanças e nenhum calor é fornecido ao sistema nesse processo a energia deixa o sistema e sua energia interna diminui ou seja quando W é positivo Q é zero e U W Quando ocorre transferência de calor com uma realização de trabalho a variação total da energia interna é dada por U Q W 194 Variação de energia interna do sistema termodinâmico Calor adicionado ao sistema Primeira lei da termodinâmica Trabalho realizado pelo sistema Podemos reagrupar a equação anterior na forma Q U W 195 a Equação 195 mostra que em geral quando um calor Q é fornecido a um sistema uma parte da energia adicionada permanece dentro dele fazendo sua ener gia interna variar por U a parte restante deixa o sistema novamente quando ele realiza um trabalho W de expansão contra suas vizinhanças uma vez que W e Q são grandezas positivas negativas ou nulas a variação de energia interna U pode ser positiva negativa ou nula em processos diferentes Figura 199 a primeira lei da termodinâmica é descrita pela Equação 194 ou pela Equa ção 195 Ela é uma generalização do princípio da conservação da energia para incluir a transferência de energia sob forma de calor assim como a realização de trabalho mecânico como você verá em capítulos posteriores esse princípio pode ser estendido a cada vez mais classes de fenômenos identificandose novas formas de energia e de transferência de energia Em todas as novas situações nas quais se pensou que a energia total não se conservava foi possível identificar outra forma de energia e mostrar que ao incluir essa nova forma a energia total é conservada Entendendo a primeira lei da termodinâmica No início desta discussão tentamos definir a energia interna descrevendoa em termos de energias microscópicas cinéticas e potenciais contudo na verdade o cálculo da energia interna usando esse método para qualquer sistema real seria complicado e impraticável além disso essa definição não é operacional pois não descreve como determinar a energia interna a partir de grandezas físicas que podemos medir diretamente sendo assim é conveniente encarar a energia interna de outra maneira Para começar definiremos a variação da energia interna U durante qualquer mudança de um sistema como a grandeza dada pela Equação 194 U Q W Esta é uma definição operacional porque podemos obter a energia interna a partir de grandezas Figura 199 Em um processo termodinâmico a energia interna U de um sistema pode a aumentar U 0 b diminuir U 0 ou c permanecer constante U 0 c O calor fornecido ao sistema é igual ao trabalho realizado a energia interna do sistema não se altera Vizinhanças ambiente Q 150 J a O calor fornecido ao sistema é maior que o trabalho realizado a energia interna do sistema aumenta W 100 J Sistema U Q W 50 J Q 150 J W 100 J U Q W 50 J Vizinhanças ambiente b O calor transferido para fora do sistema é maior que o trabalho realizado a energia interna do sistema diminui Sistema Q 150 J W 150 J U Q W 0 Vizinhanças ambiente Sistema BIo Aplicação A primeira lei da termodinâmica do exercício físico Seu corpo é um sistema termodinâmico Quando você realiza exercícios físicos seu corpo realiza trabalho como o realizado para levantar seu corpo como um todo em uma flexão Logo W 0 Seu corpo também se aquece durante os exercícios pela perspiração e outros meios o corpo se livra desse calor de modo que Q 0 Como Q é negativo e W é positivo U Q W 0 e a energia interna do corpo diminui É por isso que os exercícios ajudam na perda de peso isso consome parte da energia interna armazenada em seu corpo na forma de gordura BookSEARSVol2indb 286 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 287 físicas que podemos medir diretamente Q e W Esse procedimento não serve para determinar o valor próprio de U apenas a variação de energia interna U isso não é um impedimento porque podemos definir um valor específico da energia interna para um dado estado de referência e a seguir usar a Equação 194 para definir a energia interna em qualquer outro estado Esse procedimento é análogo ao descrito no capítulo 7 no qual definimos a energia potencial de um sistema mecânico igual a zero em certo ponto contudo essa nova definição traz outra dificuldade se definirmos U pela Equação 194 quando o sistema sofresse uma variação do estado 1 até o estado 2 seguindo dois caminhos diferentes como poderíamos saber se U é o mesmo para os dois caminhos Já vimos que Q e W em geral não são os mesmos para caminhos diferentes se U que é igual a Q W também dependesse do caminho então o valor de U seria ambíguo Nesse caso o conceito de energia interna de um sistema levaria ao mesmo conceito errado de calor de um sistema conforme discutimos no final da seção 193 a única maneira de responder a essa pergunta é por meio da experiência Para diversos materiais medimos Q e W em várias mudanças de estado e ao longo de diversos caminhos para verificar se U depende ou não do caminho o resultado de tais investigações é claro e sem ambiguidades embora Q e W dependam do ca minho U Q W é independente do caminho A variação da energia interna de um sistema durante qualquer processo termodinâmico depende somente dos estados inicial e final do sistema e não do caminho que conduz um estado ao outro Dessa forma é a experiência que justifica a nossa crença de que um sistema termodinâmico em um dado estado possui um único valor de energia interna que depende somente desse estado um enunciado equivalente consiste em dizer que a energia interna U de um sistema é uma função das coordenadas de estado P V e T basta dizer que é função de duas dessas variáveis visto que estão relacionadas pela equação de estado a afirmativa de que a primeira lei da termodinâmica dada pela Equação 194 ou pela Equação 195 representa a conservação da energia em um sistema termodinâ mico é correta Porém um aspecto adicional da primeira lei da termodinâmica é a conclusão de que a energia interna depende somente do estado do sistema Figura 1910 Nas mudanças de estado de um sistema a variação da energia interna não depende do caminho todas essas questões podem parecer um pouco abstratas se você encarar a ener gia interna como a energia mecânica microscópica Não existe nada de errado com esse ponto de vista e o usaremos em diversas ocasiões durante nossas discussões contudo objetivando uma definição operacional precisa assim como o calor a energia interna deve ser definida de modo independente dos detalhes microscópicos da estrutura do material Processos cíclicos e sistemas isolados vale a pena mencionarmos dois casos especiais da primeira lei da termodinâ mica uma sucessão de etapas que finalmente fazem o sistema retornar ao seu estado inicial denominase processo cíclico Em tal processo o estado inicial é idêntico ao final e a variação total da energia interna deve ser igual a zero Logo U2 U1 e Q W se um trabalho total W for realizado pelo sistema durante esse processo uma quantidade de energia igual deve ser transferida para o interior do sistema sob forma de calor Q Porém não há motivo para que nem Q nem W sejam individualmente iguais a zero Figura 1911 Figura 1910 a energia interna de uma xícara de café depende apenas de seu estado termodinâmico quais são as quantidades de água e de pó de café existentes no sistema e qual é sua temperatura Ela não depende da história do modo como ele foi preparado ou seja do caminho termodinâmico que conduziu o sistema até o estado em que ele se encontra BookSEARSVol2indb 287 021015 152 PM 288 Física II outro caso especial da primeira lei ocorre em um sistema isolado aquele que não troca nem calor nem trabalho com suas vizinhanças Em qualquer processo termodinâmico que ocorre em um sistema isolado W Q 0 e portanto U2 U1 U 0 Em outras palavras a energia interna de um sistema isolado permanece constante Figura 1911 todos os dias seu corpo um sistema termodinâmico sofre um processo termodinâmico cíclico como o mostrado aqui o calor Q é fornecido pela metabolização dos alimentos e seu corpo realiza trabalho W quando você respira caminha ou realiza outras atividades caso você retorne a seu estado inicial no final do dia Q W e a variação total da sua energia interna é igual a zero Q 165 106 J W 165 106 J U Q W 0 Totais Q 50 106 J Q 65 106 J Q 50 106 J W 07 106 J W 07 106 J W 20 106 J W 07 106 J W 21 106 J W 17 106 J W 43 106 J W 43 106 J Almoço 1 hora Sono 8 horas Café da manhã 1 hora Trabalho matutino 4 horas Exercício 1 hora Estudo assistir à TV 4 horas Jantar 1 hora Trabalho vespertino 4 horas ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 191 PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA iDENTiFiCAr os conceitos relevantes a primeira lei da termo dinâmica é a afirmação da lei da conservação da energia em sua forma mais geral você pode aplicála a qualquer pro cesso termodinâmico em que a energia interna de um sistema varia o calor entra ou sai do sistema eou algum trabalho é realizado por um sistema ou sobre ele PrEPArAr o problema por meio dos seguintes passos 1 Defina o sistema termodinâmico a ser considerado 2 se o processo termodinâmico tiver mais de uma etapa iden tifique os estados inicial e final de cada uma 3 identifique as grandezas conhecidas e as variáveisalvo 4 veja se você tem equações suficientes a primeira lei U Q W só pode ser aplicada uma vez a cada etapa em um processo termodinâmico portanto muitas vezes você precisará de outras equações Dentre elas destacamse a Equação 192 W 1 V2 V1 P dV para o trabalho W realizado em uma variação de volume e a equação do estado do ma terial que compõe o sistema termodinâmico para um gás ideal PV nRT ExECuTAr a solução da seguinte forma 1 é essencial utilizar unidades compatíveis Quando P é dado em Pa e V em m3 então W é expresso em joules Quando o calor específico for dado em calorias convertaas em jou les Quando você usa a expressão n mtotM para converter massa total em número de moles lembrese de que quando mtot é dada em quilogramas M deve ser dada em quilogra mas por mol a unidade usual de M é gramas por mol 2 a variação da energia interna U em qualquer processo termodinâmico ou em uma série de processos não depende do caminho tanto para um gás ideal quanto para qualquer outro sistema se você pode calcular U para qualquer ca minho entre os estados inicial e final conhecerá U para todo caminho possível entre esses estados então poderá relacionar as diversas grandezas energéticas relativas a ou tros caminhos 3 Quando um processo termodinâmico consiste em uma série de etapas distintas em geral é útil fazer um diagrama mos trando Q W e U em cada etapa use uma linha para cada etapa e coloque os valores de Q W e U em colunas veja Continua BookSEARSVol2indb 288 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 289 você deseja tomar um sundae com calda quente cujo valor ali mentício é 900 calorias e a seguir subir correndo vários lances de escada para transformar em energia a sobremesa ingerida até que altura você terá de subir suponha que sua massa seja 60 kg soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o sistema termodinâmico é for mado pelo seu corpo o objetivo de subir correndo as escadas é garantir que o estado final do sistema seja o mesmo que o inicial nem mais gordo nem mais magro então não há variação resul tante na energia interna U 0 tomar um sundae com calda quente corresponde a uma transferência de calor para dentro do seu corpo e subir escadas correndo implica a realização de tra balho Podemos relacionar essas grandezas usando a primeira lei da termodinâmica o problema informa que Q 900 calorias alimentares 900 kcal de calor são transferidas para dentro do seu corpo o trabalho que você precisa realizar para elevar a sua massa m a uma altura h é W mgh nossa variávelalvo é h EXECUTAR usando a primeira lei da termodinâmica U 0 Q W logo W mgh Q assim a altura a que você precisa subir é h Qmg antes de substituir os valores na equação converta as unidades Q 900 kcal4186 J1 kcal 377 106 J Portanto h Q mg 377 106 J 1600 kg2 1980 ms22 6410 m AVALIAR na solução deste exemplo imaginamos uma eficiên cia de 100 na conversão da energia proveniente do alimento em trabalho mecânico essa aproximação não é realista a efi ciência real é aproximadamente 25 de modo que o trabalho W que você realiza ao queimar o sundae é de apenas 025 900 kcal 225 kcal os 75 restantes ou 675 kcal são transferidos para o meio ambiente em forma de calor Logo a verdadeira distância que você teria de subir é cerca de 025 6410 m 1600 m ou um quilômetro e meio você realmente deseja esse sundae ExEmPlo 192 QUEIMANDO SUA SOBREMESA a Figura 1912 mostra um diagrama PV de um processo cíclico em que o estado inicial de algum sistema termodinâmico é idên tico ao estado final o processo tem início no ponto a do plano PV e percorre o ciclo no sentido antihorário até o ponto b a seguir retornando ao ponto a o trabalho realizado é W 500 J a Por que o trabalho realizado é negativo b calcule a variação da energia interna e o calor adicionado durante esse processo soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema nos pede para rela cionar a variação na energia interna o calor fornecido e o traba lho realizado em um processo termodinâmico Logo podemos aplicar a primeira lei da termodinâmica o processo é cíclico e apresenta duas etapas a b pela curva inferior na figura 1912 e b a pela curva superior Note contudo que as perguntas se referem ao processo cíclico inteiro a b a EXECUTAR a o trabalho realizado é igual à área sob a curva no diagrama PV considerando a área positiva quando o volume au menta V2 V1 e negativa quando o volume diminui V2 V1 essa regra gera os sinais que resultam das integrações reais na Equação 192 W 1 V2 V1 P dV a área sob a curva inferior de a b é posi tiva porém é menor que o módulo da área negativa sob a curva superior de b a Portanto a área total a área indicada com hachuras no interior da curva fechada é negativa e o trabalho W é negativo Em outras palavras o trabalho realizado sobre o sistema é 500 J maior que o trabalho realizado pelo sistema no processo completo b Em qualquer processo cíclico U 0 logo Q W aqui isso significa que Q 500 J ou seja 500 J de calor são trans feridos para fora do sistema AVALIAR nos processos cíclicos o trabalho total é positivo se o processo percorre o ciclo representado pelo diagrama PV no sentido horário e negativo se o processo percorre o ciclo no sentido antihorário como neste exemplo Figura 1912 o trabalho total realizado pelo sistema no processo a b a é igual a 500 J Qual seria o trabalho caso o processo termodinâmico fosse realizado no sentido horário neste diagrama PV Área delimitada pelo caminho trabalho total W realizado pelo sistema no processo a S b S a Neste caso W 0 P Pa Pb V Va Vb b a O ExEmPlo 193 UM PROCESSO CÍCLICO o Exemplo 194 a seguir você pode aplicar a primeira lei da termodinâmica a cada linha além disso pode somar cada coluna e aplicar a primeira lei da termodinâmica às somas você saberia dizer por quê 4 usando as etapas de 1 a 3 ache o valor das variáveisalvo AVAliAr sua resposta verifique se os seus resultados fazem sentido assegurese de que todas as suas respostas tenham o sinal algébrico adequado Lembrese de que o Q positivo sig nifica que o calor flui para dentro do sistema e o Q negativo significa que o calor flui para fora do sistema W positivo significa que foi realizado trabalho pelo sistema sobre seu meio ambiente enquanto W negativo significa que o trabalho foi realizado sobre o sistema pelo meio ambiente Continuação BookSEARSVol2indb 289 021015 152 PM 290 Física II o diagrama PV da Figura 1913 mostra uma série de processos termodinâmicos No processo ab 150 J de calor são fornecidos ao sistema e no processo bd 600 J de calor são fornecidos ao sistema calcule a a variação da energia interna no processo ab b a variação da energia interna no processo abd c a variação da energia interna no processo acd soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR em cada processo usamos U Q W para calcular a grandeza pedida sabemos que Qab 150 J e Qbd 600 J ambos os valores são positivos porque o calor é fornecido ao sistema Nossas variáveisalvo são a Uab b Uabd e c Qacd EXECUTAR a não ocorre nenhuma variação de volume durante o processo ab logo o sistema não realiza trabalho Wab 0 e Uab Qab 150 J b o processo bd é uma expansão sob pressão constante logo pela Equação 193 Wbd PV2 V1 80 104 Pa50 103 m3 20 103 m3 240 J o trabalho total para o processo abd é então Wabd Wab Wbd 0 240 J 240 J e o calor total é Qabd Qab Qbd 150 J 600 J 750 J aplicando a Equação 194 ao processo abd encontramos Uabd Qabd Wabd 750 J 240 J 510 J c como U não depende do caminho de a até d a variação da energia interna no processo acd é a mesma do processo abd ou seja Uacd Uabd 510 J o trabalho total para o processo acd é Wacd Wac Wcd PV2 V1 0 30 104 Pa50 103 m3 20 103 m3 90 J aplicando agora a Equação 195 ao processo acd Qacd Uacd Wacd 510 J 90 J 600 J a seguir apresentamos os resultados em uma tabela Etapa Q W U Q W Etapa Q W U Q W ab 150 J 0 J 150 J ac 90 J bd 600 J 240 J 360 J cd 0 J abd 750 J 240 J 510 J acd 600 J 90 J 510 J AVALIAR entenda bem como foi determinada cada entrada na ta bela acima Embora U seja a mesma 510 J tanto no processo abd quanto no processo acd W 240 J contra 90 J e Q 750 J contra 600 J apresentam valores diferentes nos dois processos Embora não tenhamos informações suficientes para obter Q ou U para os processos ac e cd fomos capazes de analisar o processo com posto acd comparandoo com o processo abd que apresenta os mesmos estados inicial e final e sobre os quais temos informa ções mais completas Figura 1913 um diagrama PV mostrando os diversos processos termodinâmicos d c a b P 80 104 Pa 30 104 Pa 20 103 m3 50 103 m3 O V ExEmPlo 194 COMPARANDO PROCESSOS TERMODINÂMICOS um grama de água 1 cm3 se transforma em 1671 cm3 quando ocorre o processo de ebulição a uma pressão constante de 1 atm 1013 105 Pa o calor de vaporização para essa pressão é Lv 2256 106 Jkg calcule a o trabalho realizado pela água quando ela se transforma em vapor b o aumento da sua energia interna soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o calor fornecido faz com que o sistema água mude de fase de líquido a vapor Não obstante podemos aplicar a primeira lei da termodinâmica a água é fer vida a uma pressão constante portanto podemos usar a Equação 193 para calcular o trabalho W realizado pela vaporização da água à medida que ela se expande sabemos a massa da água e o calor de vaporização portanto podemos usar a Equação 1720 Q mLv para calcular o calor Q fornecido à água Podemos então encontrar a variação da energia interna usando a Equação 194 U Q W EXECUTAR a conforme a Equação 193 o trabalho realizado pela água é W PV2 V1 1013 105 Pa1671 106 m3 1 106 m3 169 J b Pela Equação 1720 o calor fornecido para a água se vapo rizar é ExEmPlo 195 TERMODINÂMICA DA EBULIÇÃO DA ÁGUA Continua BookSEARSVol2indb 290 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 291 Q mLv 103 kg2256 106 Jkg 2256 J Pela Equação 194 U Q W 2256 J 169 J 2087 J AVALIAR para vaporizar 1 grama de água devemos adicionar 2256 J de calor a maior parte desse calor 2087 J perma nece retida no sistema fazendo aumentar sua energia interna a energia restante de 169 J deixa novamente o sistema ao realizar um trabalho sobre as vizinhanças quando o líquido se expande produzindo o vapor o aumento da energia interna é associado principalmente às forças de atração intermoleculares as energias potenciais associadas aumentam depois que um trabalho foi reali zado para separar as moléculas no líquido formandose o estado vapor é como aumentar a energia potencial gravitacional usando um elevador para subir a uma distância maior do centro da terra Continuação mudanças de estado infinitesimais Nos exemplos anteriores os estados inicial e final do sistema diferiam por uma quantidade finita Mais adiante trataremos de variações de estado infinitesimais em que uma pequena quantidade de calor dQ é fornecida ao sistema um pequeno trabalho dW é realizado pelo sistema e sua energia interna sofre variação de uma quantidade dU Para tal processo dU dQ dW 196 Variação da energia interna infnitesimal Calor infnitesimal fornecido Trabalho infnitesimal realizado Primeira lei da termodinâmica processo infnitesimal Para os sistemas que discutiremos o trabalho dW é dado por dW P dV de modo que podemos enunciar a primeira lei da termodinâmica na forma dU dQ P dV 197 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 194 coloque os seguintes processos termodi nâmicos relativos à variação de energia interna em ordem do mais positivo ao mais nega tivo i Enquanto você realiza 250 J de trabalho sobre um sistema ele transfere 250 J de calor para o meio ambiente ii enquanto você realiza 250 J de trabalho sobre um sistema ele absorve 250 J de calor do meio ambiente iii enquanto um sistema realiza 250 J de trabalho sobre você ele transfere 250 J de calor para o meio ambiente iv enquanto um sistema realiza 250 J de trabalho sobre você ele absorve 250 J de calor do meio ambiente 195 TIPos dE ProCEssos TErmodINâmICos Nesta seção descreveremos quatro tipos específicos de processos termodinâmi cos muito frequentes em situações práticas resumidamente podemos dizer que essas transformações são o processo adiabático que não envolve troca de calor o processo isocórico que mantém o volume constante o processo isobárico que mantém a pressão constante e o processo isotérmico que mantém a temperatura constante Em alguns desses processos podemos usar uma forma simplificada da primeira lei da termodinâmica Processo adiabático um processo adiabático é aquele no qual não ocorre transferência de calor nem para dentro nem para fora do sistema Q 0 Podemos impedir a transferência de calor fechando o sistema com um material isolante ou realizando o processo tão rapidamente que não haja tempo suficiente para ocorrer um fluxo de calor apreciável Pela primeira lei da termodinâmica verificamos que em qualquer processo adiabático BookSEARSVol2indb 291 021015 152 PM 292 Física II U2 U1 U W processo adiabático 198 Quando um sistema se expande adiabaticamente W é positivo o sistema realiza trabalho sobre as vizinhanças logo U é negativa e a energia interna diminui Quando um sistema é comprimido adiabaticamente W é negativo o trabalho é realizado sobre o sistema pelas vizinhanças logo U aumenta Em muitos sistemas mas não todos um aumento de energia interna é acompanhado de um aumento na temperatura e uma diminuição na energia interna é acompanhada de uma queda na temperatura Figura 1914 a fase de compressão em um motor de combustão interna é aproximadamente um processo adiabático a temperatura da mistura de ar e combustível sobe à medida que ela é comprimida no cilindro a expansão do combustível queimado durante a fase da produção de trabalho também é aproximadamente um processo adiabático com uma diminuição da temperatura Na seção 198 estudaremos os processos adiabáticos em um gás ideal Processo isocórico um processo isocórico é um processo a volume constante Quando o volume de um sistema termodinâmico permanece constante ele não realiza trabalho sobre as vizinhanças Logo W 0 e U2 U1 U Q processo isocórico 199 Em um processo isocórico toda energia adicionada sob forma de calor perma nece no interior do sistema contribuindo para o aumento da energia interna o aquecimento de certo gás em um recipiente cujo volume é mantido constante é um exemplo de processo isocórico os processos ab e cd no Exemplo 194 também são exemplos de processos isocóricos Note que existem alguns tipos de trabalho que não envolvem variação de volume Por exemplo podemos realizar trabalho sobre um fluido agitandoo Em alguns livros o termo isocórico é usado para designar um processo em que nenhum tipo de trabalho foi realizado Processo isobárico um processo isobárico é um processo à pressão constante Em geral nenhuma das três grandezas U Q e W é igual a zero em um processo isobárico entretanto o cálculo do trabalho W é fácil Pela Equação 193 W PV2 V1 processo isobárico 1910 Na Figura 1915 podemos ver um processo isobárico a ebulição da água à pressão constante Processo isotérmico um processo isotérmico é um processo à temperatura constante Para um pro cesso ser isotérmico é necessário que a transferência de calor para dentro ou para fora do sistema seja suficientemente lenta possibilitando que o sistema permaneça em equilíbrio térmico Em geral nenhuma das três grandezas U Q e W é igual a zero em um processo isotérmico Em alguns casos especiais a energia interna do sistema depende apenas de sua temperatura e não do volume ou da pressão o sistema mais conhecido que goza dessa propriedade especial é um gás ideal conforme discutiremos na próxima se ção Em tais sistemas quando a temperatura é constante a energia interna também Figura 1914 Quando a rolha estoura em uma garrafa de champanhe os gases pressurizados dentro da garrafa se expandem rapidamente e realizam um trabalho sobre o ar no exterior W 0 Não há tempo para que os gases troquem calor com o meio ambiente de modo que a expansão é quase adiabática Q 0 Logo a energia interna dos gases em expansão diminui U W 0 e a temperatura dos gases cai isso faz com que o vapor dágua se condense e forme uma nuvem em miniatura Figura 1915 Grande parte da arte de cozinhar envolve processos isobáricos é por isso que a pressão do ar permanece essencialmente constante acima de uma panela ou no interior de um forno de microondas enquanto a comida é aquecida BookSEARSVol2indb 292 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 293 é constante U 0 e Q W ou seja qualquer energia que entra no sistema sob a forma de calor Q sai novamente dele em virtude do trabalho W realizado por ele No Exemplo 191 envolvendo um gás ideal exemplificamos um processo isotérmico no qual U também permanece constante Em muitos sistemas que não podem ser considerados gases ideais a energia interna depende do volume e da pressão logo U pode variar mesmo quando T permanece constante a Figura 1916 apresenta um diagrama PV de quatro processos diferentes para uma quantidade constante de um gás ideal o caminho referente ao processo adia bático de a até 1 é uma curva adiabática a reta vertical volume constante é uma isócora a reta horizontal pressão constante é uma isóbara e a curva com temperatura constante é uma isoterma TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 195 Qual dos processos na figura 197 é iso córico Qual é isobárico é possível saber se algum dos processos é isotérmico ou adia bático 196 ENErgIA INTErNA dE Um gás IdEAL agora vamos mostrar que a energia interna U de um gás ideal depende somente de sua temperatura e não do volume ou da pressão vamos considerar novamente a expansão livre de um gás ideal descrita na seção 193 um recipiente é circundado por paredes isolantes e separado em compartimentos por uma divisória Figura 1917 um compartimento contém certa quantidade de gás ideal no outro produz se vácuo Quando a divisória é quebrada ou removida ocorre uma expansão livre do gás ideal para preencher os dois compartimentos Não existe fluxo de calor através do isolamento e o gás não realiza trabalho sobre as vizinhanças pois as paredes do recipiente não se movem Logo Q e W são iguais a zero e a energia interna U é constante será que a temperatura T varia durante uma expansão livre suponha que ela varie enquanto a energia interna permanece constante Nesse caso concluiríamos que a energia interna seria uma função da temperatura T e do volume V ou uma função da temperatura T e da pressão P mas certamente não dependeria somente da temperatura T Porém supondo que T seja constante durante uma expansão livre na qual provamos que U é constante mesmo com a variação simultânea de P e de V podemos concluir que U depende somente de T e não de P ou de V Muitas experiências mostraram que quando um gás com densidade pequena sofre uma expansão livre sua temperatura não varia concluímos que A energia interna U de um gás ideal depende somente de sua temperatura T e não do volume ou da pressão Essa propriedade combinada com a equação de estado do gás ideal faz parte do modelo do gás ideal usaremos essa propriedade com frequência No caso de um gás não ideal embora a energia interna permaneça constante ocorre alguma variação da temperatura durante uma expansão livre isso mostra que a energia interna não depende somente da temperatura mas também da pressão Do ponto de vista microscópico segundo o qual a energia interna U é encarada como a soma da energia cinética com a energia potencial das partículas do sistema isso não seria surpresa Em gases não ideais em geral existem forças de atração entre as moléculas e quando a distância entre elas aumenta a energia potencial asso ciada também aumenta como a energia interna permanece constante as energias cinéticas das moléculas devem diminuir a temperatura é diretamente relacionada à energia cinética e nesse tipo de gás a temperatura deve diminuir durante uma expansão livre Figura 1916 Quatro processos diferentes para uma quantidade constante de um gás ideal todos iniciando no estado a No processo adiabático Q 0 no processo isocórico W 0 e no processo isotérmico U 0 a temperatura aumenta somente no caso da expansão isobárica O P 3 2 1 4 a Isocórico T2 6 Ta Adiabático T1 6 Ta Pa Va Isobárico T3 7 Ta Isotérmico T4 Ta V Figura 1917 a divisória é quebrada ou removida para permitir a expansão livre do gás ideal para o compartimento onde existe vácuo Vácuo Isolamento Gás na temperatura T Divisória frágil BookSEARSVol2indb 293 021015 152 PM DADOS MOSTRAM Energia interna de um gás ideal Quando os alunos recebiam um problema envolvendo a energia interna de um gás ideal mais de 27 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que para determinada quantidade de gás ideal se PV permanecer constante então a temperatura T permanece a mesma pois PV nRT Nesse caso a energia interna U também permanece a mesma Esquecer de usar a primeira lei da termodinâmica ΔU Q W Por exemplo se um gás ideal se expande e empurra um pistão de modo que Q 0 então ΔU 0 W 0 Como U diminui T também diminui TESTE SUA COMPREENSAO DA SEÇÃO 196 É provável que a energia interna de um sólido seja independente de seu volume como no caso de um gás ideal Explique seu raciocínio Dica ver Figura 1820 197 CALOR ESPECÍFICO DE UM GÁS IDEAL Definimos o calor específi co e o calor específi co molar na Seção 175 Começamos também ao fi nal daquela seção que o calor específi co de uma substância depende do processo de fornecimento de calor para a substância Geralmente é mais fácil medir o calor específi co de um gás mantendoo em um recipiente fechado com volume constante O calor específi co correspondente denominase calor específi co molar a volume constante designado por CV As medidas dos calores específi cos de sólidos e de líquidos geralmente são feitas mantendose a pressão atmosférica constante e o calor específi co correspondente denominase calor específi co molar à pressão constante designado por CP Vamos considerar CP e CV em um gás ideal Para medir CV fazemos aumentar a temperatura de um gás ideal mantendoo em um recipiente a volume constante desprezando a dilatação térmica do recipiente Figura 1918a Para medir CP fazemos o gás expandir apenas o suficiente para manter a pressão constante enquanto sua temperatura aumenta Figura 1918b Por que esses dois calores específi cos deveriam ser diferentes A resposta é dada pela primeira lei da termodinâmica Quando a temperatura aumenta em um processo isocórico volume constante o sistema não realiza trabalho e a variação da energia interna ΔU é igual ao calor fornecido Q Contudo quando a temperatura aumenta em um processo isobárico pressão constante o volume deve aumentar caso contrário a pressão dada pela equação do gás ideal P nRTV não permaneceria constante Quando o sistema se expande ele realiza um trabalho W De acordo com a primeira lei da termodinâmica temos Q ΔU W 1911 Para um dado aumento de temperatura a variação da energia interna ΔU de um gás ideal apresenta sempre o mesmo valor independentemente do processo lembrese de que a energia interna de um gás ideal depende somente de sua temperatura e não do volume ou da pressão A Equação 1911 mostra então que o calor que entra no sistema em um processo isobárico deve ser maior que o calor que entra no sistema em um processo isocórico porque é necessário fornecer uma energia adicional para compensar o trabalho W realizado durante a expansão Portanto em um gás ideal CP é maior que CV O diagrama PV na Figura 1919 ilustra essa relação Para o ar CP é 40 maior que CV Figura 1918 Medindo o calor específi co molar de um gás ideal a a volume constante e b à pressão constante a Volume constante dQ nCV dT b Pressão constante dQ nCP dT Figura 1919 Aumento da temperatura de um gás ideal de T1 até T2 em um processo isobárico ou em um processo isocórico Em um gás ideal U depende somente de T logo ΔU possui o mesmo valor em ambos os processos Entretanto no processo isobárico mais calor Q deve ser adicionado para aumentar U e para realizar trabalho W Logo CP CV Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 295 Em um número muito pequeno de substâncias uma das quais a água entre 0 c e 4 c o volume diminui quando a temperatura aumenta Nesse caso W é negativo e a variação da energia interna U é maior que a entrada de calor Q relação entre CP e CV para um gás ideal Podemos deduzir uma relação simples entre CP e CV para o caso de um gás ideal inicialmente vamos considerar um processo isocórico colocamos n moles de um gás ideal em um recipiente com volume constante Mantemos o sistema em contato térmico com um corpo mais quente um calor infinitesimal dQ flui para o interior do gás e sua temperatura aumenta por um valor infinitesimal dT Pela definição de calor específico molar a volume constante CV temos dQ nCV dT 1912 a pressão cresce nesse processo mas o gás não realiza nenhum trabalho dW 0 porque o volume permanece constante a forma diferencial da primeira lei Equação 196 é dQ dU dW como dW 0 dQ dU e a Equação 1912 também pode ser escrita na forma dU nCV dT 1913 considere agora um processo isobárico com a mesma variação de temperatura dT colocamos o mesmo gás em um recipiente cilíndrico com um pistão que se move apenas o suficiente para manter a pressão constante figura 1918b No vamente mantemos o sistema em contato térmico com um corpo mais quente À medida que o calor flui para dentro do sistema ele se expande à pressão constante e realiza trabalho Pela definição de calor específico molar à pressão constante CP o calor dQ que entra no gás é dQ nCP dT 1914 o trabalho dW realizado pelo gás no processo isobárico é dW P dV também podemos expressar dW em termos da variação de temperatura dT usando a equação de estado do gás ideal PV nRT como a pressão P é constante a variação de volume V é proporcional à variação de T dW P dV nR dT 1915 substituímos agora as equações 1914 e 1915 na primeira lei dQ dU dW nCP dT dU nR dT 1916 agora chegamos ao ponto crucial da dedução a variação da energia interna dU no processo isobárico é novamente dada pela Equação 1913 dU nCV dT embora agora o volume não seja constante como explicar isso Lembrese da discussão na seção 196 uma das principais características de um gás ideal é que sua energia interna depende somente da temperatura Portanto a variação da energia interna em qualquer tipo de processo depende apenas da variação da temperatura se a Equação 1913 for válida para um gás ideal em um dado processo ela será válida para um gás ideal em qualquer outro tipo de processo com o mesmo dT Portanto podemos substituir dU na Equação 1916 por nCV dT BookSEARSVol2indb 295 021015 152 PM 296 Física II nCP dT nCV dT nR dT Quando dividimos ambos os membros pelo fator comum n dT obtemos CP CV R 1917 Calor específco molar à pressão constante Para um gás ideal Calor específco molar a volume constante Constante do gás como havíamos previsto o calor específico molar à pressão constante de um gás ideal é maior que o calor específico molar a volume constante a diferença é dada pela constante dos gases R usamos o modelo do gás ideal para deduzir a Equação 1917 porém verifica se que ela é obedecida com um pequeno erro percentual por muitos gases reais a pressões moderadas Na Tabela 191 fornecemos alguns valores medidos de CP e de CV para diversos gases reais em baixas pressões em quase todos esses gases a diferença entre os valores indicados é aproximadamente R 8314 Jmol K a tabela também mostra que os calores específicos molares de um gás estão relacionados à sua estrutura molecular conforme discutimos na seção 184 De fato as duas primeiras colunas da tabela 191 são as mesmas da tabela 181 TABElA 191 calores específicos molares de gases a baixas pressões CV CP CP CV Tipo de Gás Gás Jmol K Jmol K Jmol K g CP CV Monoatômico he 1247 2078 831 167 ar 1247 2078 831 167 Diatômico h2 2042 2874 832 141 N2 2076 2907 831 140 o2 2085 2917 832 140 co 2085 2916 831 140 Poliatômico co2 2846 3694 848 130 so2 3139 4037 898 129 h2s 2595 3460 865 133 razão entre os calores específicos a última coluna da tabela 191 indica os valores sem dimensões da razão entre os calores específicos CPCV representada por g letra grega gama 1918 Calor específco molar à pressão constante Calor específco molar a volume constante Razão entre os calores específcos g CV CP Essa relação também é chamada de razão das capacidades caloríficas Nos gases CP é sempre maior que CV e g é sempre maior que um Na próxima seção veremos que essa grandeza g desempenha um papel importante no processo adia bático de um gás ideal Podemos usar nossa discussão sobre o modelo cinético teórico do calor especí fico molar de um gás ideal seção 184 para fazer previsões sobre os valores de g como exemplo em um gás monoatômico CV 3 2 R Pela Equação 1917 CP CV R 3 2R R 5 2R BookSEARSVol2indb 296 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 297 logo g CP CV 5 2 R 3 2 R 5 3 167 conforme indicado na tabela 191 esse resultado concorda com os valores de g obtidos nas medidas dos calores específicos molares Em quase todos os gases diatômicos nas vizinhanças da temperatura ambiente CV 5 2R e portanto CP CV R 7 2R e g CP CV 7 2 R 5 2 R 7 5 140 que também concorda com os valores medidos um último lembrete para um gás ideal a variação da energia interna em qual quer tipo de processo é dada por U nCV T independentemente de o volume ser ou não constante Essa relação vale para outras substâncias somente em processos isocóricos quando o volume é constante um quarto ou dormitório típico contém cerca de 2500 moles de ar calcule a variação da energia interna para essa quantidade de ar quando ele é resfriado de 350 c até 260 c mantendo uma pressão constante igual a 100 atm considere o ar um gás ideal com g 1400 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR nossa variávelalvo é a variação da energia interna U de um gás ideal em um processo isobárico o problema informa o número de moles a variação da temperatura e o valor de g para o ar usamos a Equação 1913 U nCV T que oferece a variação de energia interna para um gás ideal em todos os processos independentemente de o volume ser constante ou não veja a discussão após a Equação 1916 usamos as equações 1917 e 1918 para encontrar CV EXECUTAR pelas equações 1917 e 1918 g CP CV CV R CV 1 R CV CV R g 1 8314 Jmol K 1400 1 2079 Jmol K Então pela Equação 1913 U nCV T 2500 mol2079 Jmol K260 c 350 c 468 105 J AVALIAR para resfriar 2500 moles de ar de 350 ºc até 260 ºc um aparelho de arcondicionado precisa extrair essa grande quan tidade de energia interna do ar de seu quarto e transferila para o ar do lado de fora da casa No capítulo 20 discutiremos como isso é feito ExEmPlo 196 RESFRIANDO O SEU QUARTO TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 197 você deseja resfriar um cilindro de ar mazenamento contendo 10 moles de gás comprimido de 30 c a 20 c com que tipo de gás isso será mais fácil i um gás monoatômico ii um gás diatômico iii um gás poliatômico iv seria igualmente fácil com todos esses gases 198 ProCEsso AdIABáTICo dE Um gás IdEAL um processo adiabático definido na seção 195 é aquele em que não ocorre nenhuma transferência de calor entre o sistema e suas vizinhanças uma transfe rência de calor igual a zero é uma idealização mas um processo é aproximada mente adiabático quando ocorre em um sistema muito bem isolado ou quando é realizado tão rapidamente que não existe tempo suficiente para que ocorra um fluxo de calor apreciável Em um processo adiabático Q 0 Logo pela primeira lei U W um pro cesso adiabático de um gás ideal é apresentado no diagrama PV da Figura 1920 À BookSEARSVol2indb 297 021015 152 PM 298 Física II medida que o gás se expande de um volume Va até Vb ele realiza trabalho de modo que sua energia interna diminui e sua temperatura cai se o ponto a representando o estado inicial está sobre uma isoterma a uma temperatura T dT então o ponto b representando o estado final estará sobre uma isoterma com uma temperatura mais baixa T Para uma compressão adiabática do ponto Vb até o ponto Va o processo se inverte e a temperatura do gás aumenta o ar nos tubos de saída de compressores usados para calibrar pneus e encher tanques de gás usados em mergulhos sempre sai mais quente que o ar que entra no compressor porque a compressão é rápida e aproximadamente adiabática um resfriamento adiabático ocorre quando você abre uma garrafa de sua bebida car bonatada preferida o gás sob pressão acima da superfície da bebida se expande rapidamente em um processo quase adiabático a temperatura do gás diminui tanto que o vapor dágua se condensa formando uma nuvem em miniatura ver figura 1914 ATENÇÃo Aquecer e resfriar sem calor Lembrese de que quando você menciona um aquecimento adiabático ou um resfriamento adiabático você está querendo dizer na realidade que ocorre um aumento de temperatura ou um resfriamento de tempe ratura respectivamente Em um processo adiabático não existe absolutamente nenhuma troca de calor e a variação da temperatura ocorre em razão do trabalho realizado pelo sistema ou sobre o sistema gás ideal adiabático relacionando V T e P Podemos deduzir uma relação entre as variações de temperatura e de volume em um processo adiabático infinitesimal de um gás ideal a Equação 1913 fornece a variação da energia interna dU para qualquer processo de um gás ideal adiabático ou não logo dU nCV dT além disso o trabalho realizado pelo gás é dado por dW P dV Então como dU dW temos nCV dT P dV 1919 Para obter uma relação contendo somente a temperatura T e o volume V eli minamos P usando a equação do gás ideal na forma P nRTV substituindo na Equação 1919 e reagrupando encontramos nCV dT nRT V dV dT T R CV dV V 0 o coeficiente RCV pode ser expresso em termos de g CPCV obtemos R CV CP CV CV CP CV 1 g 1 dT T 1g 12 dV V 0 1920 como em um gás g é sempre maior que um g 1 é sempre positivo isso significa que na Equação 1920 dV e dT sempre têm sinais opostos Na expansão adiabática de um gás ideal dV 0 sempre ocorre uma diminuição de temperatura dT 0 e na compressão adiabática de um gás ideal dV 0 sempre ocorre um aumento de temperatura dT 0 isso confirma nossa previsão anterior Para uma variação finita da temperatura e do volume podemos integrar a Equa ção 1920 e obtemos Figura 1920 Diagrama PV de um processo adiabático Q 0 de um gás ideal À medida que o gás se expande de um volume Va até Vb ele realiza trabalho positivo W sobre seu ambiente sua energia interna diminui U W 0 e sua temperatura cai de T dT até T um processo adiabático também é mostrado na figura 1916 Para um gás ideal uma curva adiabática é sempre mais inclinada em qualquer ponto que a isoterma que passa pelo mesmo ponto P b a Pa Va O V Pb Vb T T dT W Processo adiabático a S b Q 0 U W BookSEARSVol2indb 298 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 299 ln T g 1 ln V constante ln T ln V g1 constante lnTVg1 constante e finalmente TV g 1 constante 1921 Portanto para um estado inicial T1 V1 e um estado final T2 V2 T1V1 g 1 T2V2 g 1 processo adiabático gás ideal 1922 como usamos a equação do gás ideal na dedução das equações 1921 e 1922 o valor de T só pode ser expresso na temperatura absoluta em Kelvin também podemos converter a Equação 1921 em outra relação entre a pressão e o volume eliminando T mediante a equação do gás ideal na forma T PVnR substituindo essa expressão na Equação 1921 encontramos PV nR V g 1 constante ou como n e R são constantes PVg constante 1923 Para um estado inicial P1 V1 e um estado final P2 V2 a Equação 1923 fornece P1V1 g P2V2 g processo adiabático gás ideal 1924 também podemos calcular o trabalho realizado por um gás ideal durante um processo adiabático sabemos que em qualquer processo adiabático Q 0 e W U Em um gás ideal U nCVT2 T1 se conhecemos o número de moles n a temperatura inicial T1 e a temperatura final T2 teremos simplesmente W nCV 1T1 T22 1925 Número de moles Temperatura inicial Temperatura fnal Calor específco molar a volume constante Trabalho realizado por um gás ideal processo adiabático também podemos usar a relação PV nRT na equação anterior para obter 1926 Calor específco molar a volume constante Pressão inicial volume Razão entre os calores específcos Pressão fnal volume Constante do gás Trabalho realizado por um gás ideal processo adiabático W 1P1V1 P2V22 1P1V1 P2V22 R CV g 1 1 usamos o resultado CV Rg 1 do Exemplo 196 se o processo adiabático é uma expansão a temperatura diminui T1 é maior que T2 P1V1 é maior que P2V2 e o trabalho realizado é positivo se o processo adiabático é uma compressão o trabalho é negativo Na análise precedente do processo adiabático usamos a equação de estado do gás ideal que vale somente para estados de equilíbrio Estritamente falando nos BIo Aplicação Exalando adiabaticamente Coloque sua mão alguns centímetros à frente da sua boca abra bem a boca e exale Sua respiração parecerá quente em sua mão pois os gases exalados surgem aproximadamente na temperatura do interior do seu corpo Agora junte seus lábios como se fosse apitar e novamente sopre sua mão Os gases exalados parecerão muito mais frios Nesse caso os gases sofrem uma expansão basicamente adiabática enquanto passam por entre os lábios de modo que sua temperatura diminui BookSEARSVol2indb 299 021015 152 PM 300 Física II sos resultados são válidos quando o processo é realizado de modo suficientemente rápido para que não ocorra um fluxo de calor apreciável entre o sistema e as vizi nhanças de modo que Q 0 e o processo seja adiabático embora ele também seja suficientemente lento para que não ocorra uma ruptura dos equilíbrios térmico e mecânico Mesmo quando essas condições não são estritamente obedecidas as equações 1922 1924 e 1926 fornecem resultados aproximadamente úteis a razão de compressão de um motor a diesel é 150 para 1 isso significa que o ar é comprimido no interior do cilindro até um volume igual a 1 11502 de seu volume inicial Figura 1921 a sabendo que a pressão inicial é 101 105 Pa e que a temperatura inicial é 27 c 300 K calcule a temperatura e a pressão finais depois da compressão adiabática b Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a compressão sabendo que o volume inicial do cilindro é 100 L 10 103 m3 considere o CV do ar igual a 208 Jmol K e g 1400 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR como este problema envolve a compressão adiabática de um gás ideal podemos usar as ideias desta seção No item a temos a pressão inicial P1 101 105 Pa a temperatura inicial T1 300 K a razão entre os volu mes inicial e final é V1V2 150 Podemos achar a temperatura final T2 usando a Equação 1922 e a pressão final P2 usando a Equação 1924 No item b nossa variávelalvo é W o trabalho realizado pelo gás durante a compressão adiabática usamos a Equação 1926 para calcular W EXECUTAR a pelas equações 1922 e 1924 obtemos T2 T1 aV1 V2 b g1 1300 K2 11502040 886 K 613 C P2 P1 aV1 V2 b g 1101 105 Pa2 11502140 448 105 Pa 44 atm b Pela Equação 1926 o trabalho realizado é W 1 g 11P1V1 P2V22 usando V1V2 150 obtemos W 1 1400 1 1101 105 Pa2 1100 103 m32 1448 105 Pa2 a100 103 m3 150 b 494 J AVALIAR se a compressão fosse isotérmica a pressão final seria igual a 150 atm mas como a temperatura também aumenta durante um processo adiabático a pressão final é muito maior Quando o combustível é injetado nos cilindros perto do final do processo de compressão a alta temperatura do ar alcançada du rante a compressão faz o combustível explodir espontaneamente sem necessidade da centelha produzida por uma vela de ignição Podemos verificar nosso resultado do item b usando a Equação 1925 o número de moles do gás no cilindro é n P1V1 RT1 1101 105 Pa2 1100 103 m32 18314 Jmol K2 1300 K2 00405 mol Então a Equação 1925 fornece W nCVT1 T2 00405 mol208 Jmol K300 K 886 K 494 J o trabalho é negativo porque o gás é comprimido Figura 1921 compressão adiabática do ar no cilindro de um motor a diesel V1 Volume inicial Compressão máxima V2 V1 1 150 ExEmPlo 197 COMPRESSÃO ADIABÁTICA EM UM MOTOR DIESEL TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 198 você tem quatro amostras de gás ideal cada uma delas contendo o mesmo número de moles de gás na mesma temperatura volume e pressão iniciais você comprime cada amostra à metade de seu volume inicial coloque as quatro amostras em ordem do maior ao menor valor da pressão final i um gás mo noatômico comprimido isotermicamente ii um gás monoatômico comprimido adiaba ticamente iii um gás diatômico comprimido isotermicamente iv um gás diatômico comprimido adiabaticamente BookSEARSVol2indb 300 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 301 Calor e trabalho em processos termodinâmi cos um sistema termodinâmico pode trocar ener gia com suas vizinhanças mediante transferência de calor ou pelo trabalho mecânico realizado Quando um sistema com pressão P se expande de um vo lume V1 até um volume V2 ele realiza um trabalho W dado pela integral de P em relação ao volume se a pressão permanece constante o trabalho rea lizado é igual a P vezes a variação de volume um valor negativo de W significa que o trabalho é reali zado sobre o sistema ver Exemplo 191 Em qualquer processo termodinâmico o calor forne cido para o sistema e o trabalho realizado pelo sistema além de dependerem dos estados inicial e final de pendem também do caminho o conjunto de estados intermediários por meio dos quais o sistema evolui W 2 V2 V1 P dV W P1V2 V12 somente para pressão constante 192 193 Trabalho Área 1 2 P1 P2 V1 V2 V O P 1V1 P dV 7 0 V2 Volume aumenta V2 7 V1 trabalho e área são positivos A primeira lei da termodinâmica a primeira lei da termodinâmica afirma que quando se fornece um calor Q ao sistema enquanto ele realiza um traba lho W a energia interna U varia de uma quantidade igual a Q W Essa lei pode ser expressa de modo a ser aplicada em um processo infinitesimal ver exemplos 192 193 e 195 a energia interna de qualquer sistema termodinâ mico depende somente de seu estado a variação da energia interna em qualquer processo termodi nâmico depende somente dos estados inicial e final e não do caminho a energia interna de um sistema isolado permanece constante ver Exemplo 194 U Q W 194 dU dQ dW 196 processo infinitesimal Q 150 J W 100 J U Q W 50 J Vizinhanças ambiente Sistema Tipos importantes de processos termodinâmicos Processo adiabático o calor não flui nem para dentro nem para fora do sistema Q 0 Processo isocórico volume constante W 0 Processo isobárico pressão constante W PV2 V1 Processo isotérmico temperatura constante O P 3 2 1 4 a Isocórico T2 6 Ta Adiabático T1 6 Ta Pa Va Isobárico T3 7 Ta Isotérmico T4 Ta V Termodinâmica de gases ideais a energia interna de um gás ideal depende somente da temperatura não do volume ou da pressão Em outras substân cias a energia interna geralmente depende da tem peratura e da pressão os calores específicos molares CV e CP de um gás ideal diferem por R a constante dos gases ideais a razão entre os calores específicos CPCV é adi mensional e designada por g ver Exemplo 196 CP CV R g CP CV 1917 1918 P1 P V1 O V Q U Q U W T1 U1 T2 U2 V2 P2 W Processos adiabáticos em gases ideais em um processo adiabático de um gás ideal as grandezas TVg1 e PVg são constantes o trabalho realizado por um gás ideal durante uma expansão adiabática pode ser expresso em função dos valores inicial e final da temperatura ou em função dos valores inicial e final da pressão e do volume ver Exemplo 197 W nCV 1T1 T22 CV R 1P1 V1 P2 V22 1 g 1 1P1 V1 P2 V22 1925 1926 P b a Pa Va O V Pb Vb T T dT W Processo adiabático a S b Q 0 U W capítulo 19 resumo BookSEARSVol2indb 301 021015 152 PM 302 Física II Problema em destaque Trabalho realizado por um gás de van der Waals a equação de estado de van der waals uma representação aproximada do comportamento dos gases a alta pressão é dada pela Equação 187 p an2V2V nb nRT onde a e b são constantes possuindo diferentes valores para diferentes gases No caso especial de a b 0 essa é uma equação do gás ideal a calcule o trabalho realizado por um gás com essa equação de estado em uma expansão isotérmica de V1 até V2 b Para o gás etano c2h6 a 0554 J m3mol2 e b 638 105 m3mol calcule o trabalho W realizado por 180 mol de etano quando ele se expande de 200 103 m3 até 400 103 m3 a uma temperatura constante de 300 K faça o cálculo usando i a equação do estado de van der waals e ii a equação do estado do gás ideal c Para qual equação de estado W é maior Por que isso acontece gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 reveja a discussão sobre a equação de estado de van der waals na seção 181 Qual é o significado das grandezas a e b 2 Decida como descobrir o trabalho realizado por um gás em expansão cuja pressão P não depende de V da mesma forma que para um gás ideal Dica ver seção 192 3 como você determina o trabalho realizado por um gás ideal em expansão EXECUTAr 4 Descubra a expressão geral para o trabalho realizado por um gás de van der waals quando ele se expande do volume V1 até o volume V2 Figura 1922 Dica se você definir a b 0 em seu resultado ele deverá ser reduzido para a expressão do trabalho realizado por um gás ideal em expansão 5 use o resultado da etapa 4 para resolver o item b para o etano tratado como um gás de van der waals 6 use a fórmula que você escolheu na etapa 3 para resolver o item b para o etano tratado como um gás ideal AVALIAr 7 a diferença entre o trabalho W para as duas equações de estado é grande o suficiente para ser significativa 8 o termo com a na equação de estado de van der waals aumenta ou diminui a quantidade de trabalho realizado E o termo com b Neste problema qual é mais importante para o etano Figura 1922 um gás sofre uma expansão isotérmica Pressão P1 Volume V1 Aquecedor mantém a temperatura T constante Pressão P2 Volume V2 Aquecedor mantém a temperatura T constante problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q191 Nos seguintes processos o trabalho feito pelo sistema definido como um gás em expansão ou em contração sobre o ambiente é positivo ou negativo a Expansão da mistura ar gasolina queimada no cilindro do motor de um automóvel b abertura de uma garrafa de champanhe c encher um tanque de mergulho com ar comprimido d enrugamento parcial de uma garrafa de água vazia e fechada quando você viaja de carro das montanhas para o nível do mar Q192 Não é correto dizer que um corpo contém uma certa quantidade de calor embora ocorra transferência de calor de um corpo para outro como um corpo pode fornecer algo que ele inicialmente não possuía Q193 Em que situação você precisa realizar mais trabalho inflar um balão ao nível do mar ou inflar o mesmo balão até o mesmo volume no alto do Pico da Bandeira Explique em termos de variação de pressão e volume Q194 caso você conheça as energias internas inicial e final e a variação da energia interna associada você pode saber se a variação da energia interna foi devida ao trabalho realizado ou ao calor transferido Explique Q195 Discuta a aplicação da primeira lei da termodinâmica para uma montanhista que ingere alimentos se aquece e transpira muito durante uma escalada e que realiza muito trabalho mecâ nico para subir até o topo da montanha a montanhista também se aquece durante a descida a fonte de energia na descida é a mesma da subida Q196 Quando o gelo se funde a 0 c seu volume diminui a variação de sua energia interna é maior menor ou igual ao calor fornecido ao gelo como você sabe disso Q197 você segura um balão inflável sobre uma saída de ar quente em sua casa e o observa expandirse lentamente a se guir você o tira dali e o deixa esfriar à temperatura ambiente Durante a expansão o que foi maior o calor fornecido ao balão ou o trabalho realizado pelo ar dentro dele Explique suponha que o ar seja um gás ideal uma vez que o balão tenha retornado à temperatura ambiente como o calor total recebido ou perdido pelo ar dentro dele se compara ao trabalho total realizado sobre ou pelo ar circundante Q198 você faz biscoitos de chocolate no forno e os coloca ainda quentes em um recipiente com uma tampa não muito aper tada Que tipo de processo acontece com o ar dentro do recipiente BookSEARSVol2indb 302 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 303 à medida que os biscoitos se resfriam gradualmente até a tempe ratura ambiente isotérmico isocórico adiabático isobárico ou alguma combinação desses processos Justifique sua resposta Q199 imagine um gás inteiramente constituído por elétrons com cargas negativas cargas de mesmo sinal se repelem de modo que os elétrons exerceriam forças de repulsão entre si Em uma expansão livre desse gás a temperatura aumenta diminui ou permanece constante Por quê Q1910 Em um processo adiabático para um gás ideal a pressão diminui Nesse processo a energia interna do gás aumenta ou diminui Explique Q1911 Quando você sopra sua mão com a boca completamente aberta você sente o ar quente Porém quando você deixa a boca parcialmente fechada formando um orifício em forma de o e sopra a mão você sente o ar frio Por quê Q1912 um gás ideal se expande enquanto a pressão se mantém constante Durante esse processo o calor é transferido para o gás ou para fora dele Justifique sua resposta Q1913 um líquido é agitado irregularmente em um recipiente bem isolado e portanto sua temperatura aumenta considere o líquido o sistema ocorre transferência de calor como você pode garantir Existe trabalho realizado como você pode ga rantir Por que é importante que a agitação seja irregular Qual é o sinal de U como você pode garantir Q1914 Quando você usa uma bomba de ar manual para encher os pneus da sua bicicleta a bomba logo esquenta Por quê o que ocorre com a temperatura do ar na bomba quando você o com prime Por que isso ocorre Quando você suspende a alavanca da bomba para fazer o ar externo entrar nela o que ocorre com a temperatura do ar que entra Novamente por que isso ocorre Q1915 No carburador de um avião ou no motor de um auto móvel o ar flui através de uma abertura relativamente pequena e a seguir se expande Em um clima frio com nevoeiro algumas vezes se forma gelo nessas aberturas embora a temperatura externa do ar seja maior que a temperatura de solidificação Por quê Q1916 Em um dia de sol grandes bolhas de ar se formam no solo aquecido pelo sol expandemse gradualmente e finalmente se soltam e sobem pela atmosfera Pássaros que voam a grandes altitudes e pilotos de aeroplanos utilizam essas correntes quentes ascendentes para ganhar altitude Explique por que essa expansão é em essência um processo adiabático Q1917 os ventos que sopram na ilha havaiana de Kauai são provenientes do nordeste os ventos se resfriam à medida que sobem ao longo da inclinação do monte waialeale 1523 m de altitude produzindo chuva em virtude da condensação do vapor dágua as chuvas nas proximidades do cume são muito mais intensas que na base da montanha De fato o monte waialeale é o local da terra com a maior quantidade de chuvas em média de 117 m durante o ano Porém o que causa o resfriamento dos ventos Q1918 usando as mesmas considerações da Questão 1917 explique por que a ilha de Niihau a alguns quilômetros a sudo este de Kauai é quase um deserto e as fazendas necessitam de um sistema de irrigação Q1919 Em um processo isocórico dU nCV dT Mas em um processo isobárico não é verdade que dU nCP dT Explique por quê Q1920 Quando um gás é comprimido adiabaticamente no ar circundante sua temperatura aumenta mesmo que não exista ne nhum fluxo de calor para o interior do sistema De onde provém a energia que faz sua temperatura aumentar Q1921 Quando um gás se expande adiabaticamente ele realiza trabalho sobre suas vizinhanças Porém como não existe nenhum fluxo de calor para o sistema de onde provém a energia para realizar o trabalho Q1922 o gás usado para separar os dois isótopos do urânio 235u e 238u tem a fórmula uf6 se você fornecer calor a taxas iguais a um mol do gás uf6 e a um mol do gás h2 a temperatura de qual deles você espera que aumente mais rápido Explique Q1923 um sistema evolui do estado a até o estado b ao longo dos três caminhos mostrados na Figura Q1923 a ao longo de qual caminho o trabalho re alizado é maior Em qual caminho é menor b sabendo que Ub Ua ao longo de qual caminho o valor absoluto do calor Q trocado com as vizinhanças é maior Nesse caminho o calor é liberado ou absorvido pelo sistema Explique Q1924 um sistema ter modinâmico realiza o pro cesso cíclico indicado na Figura Q1924 o ciclo é constituído por duas cur vas fechadas a malha i e a malha ii a Durante um ciclo completo o sistema realiza trabalho positivo ou negativo b o sistema realiza trabalho positivo ou negativo para cada malha separada i e ii c Durante um ciclo completo o sis tema absorve ou libera calor d Em cada malha separada i e ii o sistema absorve ou libera calor EXErCÍCIos seção 192 Trabalho realizado durante variações de volume seção 193 Caminhos entre estados termodinâmicos 191 Dois moles de um gás ideal são aquecidos sob pressão constante de T 27 c até 107 c a Desenhe um diagrama PV para esse processo b calcule o trabalho realizado pelo gás 192 seis moles de um gás ideal estão em um cilindro com um pistão móvel em uma de suas extremidades a temperatura inicial do gás é 270 c e a pressão é constante como parte do projeto da máquina calcule a temperatura final do gás depois que ele houver realizado 240 103 J de trabalho 193 CALC Dois moles de um gás ideal são comprimidos em um cilindro a uma temperatura constante de 650 c até que a pressão original tenha triplicado a Desenhe um diagrama PV para esse processo b calcule o trabalho realizado pelo gás 194 BIo Trabalho realizado pelos pulmões o gráfico da Figura E194 mostra um diagrama PV do ar em um pulmão humano quando uma pessoa está inalando e depois exalando ao respirar profundamente Esses gráficos obtidos em clínicas Figura Q1923 O V 1 2 3 b a P Figura Q1924 O V I P II BookSEARSVol2indb 303 021015 152 PM 304 Física II normalmente são um tanto curvos mas modelamos um deles como um conjunto de linhas retas com a mesma forma geral Importante a pressão mostrada é a pressão manométrica e não a absoluta a Quantos joules de trabalho total o pulmão dessa pessoa realiza durante uma respiração completa b o processo ilustrado aqui é um pouco diferente dos que estudamos pois a variação de pressão devese a variações na quantidade de gás no pulmão e não a variações de temperatura Pense na sua própria respiração seus pulmões não se expandem porque ficaram quentes se a temperatura do ar no pulmão permanecer a razoáveis 20 ºc qual é o número máximo de moles no pulmão dessa pessoa durante uma respiração 195 CALC Enquanto 0305 mol de um gás ideal passam por uma compressão isotérmica a 220 c 392 J de trabalho é realizado sobre ele pelo meio ambiente a se a pressão final é 176 atm qual é a pressão inicial b Desenhe um diagrama PV do processo 196 um gás passa por dois processos No primeiro o vo lume permanece constante a 0200 m3 e a pressão cresce de 20 105 Pa até 50 105 Pa o segundo processo é uma compressão até o volume de 0120 m3 sob pressão constante de 50 105 Pa a Desenhe um diagrama PV mostrando esses dois processos b calcule o trabalho total realizado pelo gás nos dois processos 197 Trabalho realizado em um processo cíclico a Na figura 197a considere a malha 1 3 2 4 1 Esse processo é cíclico porque o estado final coincide com o inicial calcule o trabalho total realizado pelo sistema nesse processo cí clico e mostre que ele é igual à área no interior da malha fechada b como o trabalho realizado no item a se relaciona com o tra balho realizado quando o ciclo for percorrido em sentido inverso 1 4 2 3 1 Explique seção 194 Energia interna e a primeira lei da termodinâmica 198 a Figura E198 mostra um diagrama PV para um gás ideal no qual sua temperatura absoluta em b é um quarto de sua temperatura absoluta em a a Que volume esse gás ocupa no ponto b b Nesse processo quantos joules de trabalho foram realizados pelo gás ou sobre ele d a energia interna do gás aumentou ou diminuiu de a para b como você pode saber d o calor entra ou sai do gás de a para b como você pode saber 199 um gás no interior de um cilindro se expande de um volume igual a 0110 m3 até um volume igual a 0320 m3 o calor flui para dentro do sistema com uma taxa suficiente para manter a pressão constante e igual a 165 105 Pa durante a expansão o calor total fornecido ao sistema é igual a 115 105 J a calcule o trabalho realizado pelo gás b calcule a variação da energia interna do gás c o resultado depende ou não de o gás ser ideal Justifique sua resposta 1910 cinco moles de um gás ideal monoatômico com uma temperatura inicial de 127 c se expandem e nesse processo absorvem 1500 J de calor e realizam 2100 J de trabalho Qual é a temperatura final do gás 1911 o processo abc mostrado no diagrama PV da Figura E1911 envolve 00175 mol de um gás ideal a Qual foi a tempe ratura mais baixa que o gás alcançou nesse processo onde ele ocorreu b Quanto trabalho foi reali zado pelo gás ou sobre o gás de a para b E de b para c c se 215 J de calor fos sem colocados no gás durante abc quantos desses joules entra ram na energia interna 1912 um gás no interior de um cilindro é mantido sob pres são constante de 180 105 Pa sendo resfriado e comprimido de 170 m3 até um volume de 120 m3 a energia interna do gás diminui por 140 105 J a calcule o trabalho realizado pelo gás b calcule o valor absoluto do calor Q trocado com as vizi nhanças e determine o sentido do fluxo do calor c o resultado depende ou não de o gás ser ideal Justifique sua resposta 1913 o diagrama PV na Figura E1913 mostra um pro cesso abc envolvendo 0450 mol de um gás ideal a Qual era a temperatura desse gás nos pontos a b e c b Quanto trabalho foi rea lizado pelo gás ou sobre ele nesse processo c Quanto calor teve de ser adicionado durante o processo para aumentar a energia interna do gás em 15000 J 1914 Ebulição da água sob pressão elevada Quando a água entra em ebulição sob pressão de 200 atm o calor de vaporização é 220 106 Jkg e o ponto de ebulição é 120 c a essa pressão 100 kg de água possui volume igual a 100 103 m3 e 100 kg de vapor dágua possui volume igual a 0824 m3 a calcule o trabalho reali zado quando se forma 100 kg de vapor dágua nessa tempe ratura b calcule a variação da energia interna da água 1915 um gás ideal evolui do estado a para o estado b no diagrama PV mostrado na Figura E1915 Durante esse pro cesso 700 J de calor são fornecidos e a pressão dobra a Quanto traba lho é realizado pelo gás ou sobre ele Explique b compare a tempera tura do gás em a com sua Figura E198 P atm O 150 0500 a b V L Figura E1911 020 040 060 O 20 a b c 40 60 P atm V L Figura E1913 20 40 60 80 O 0020 0040 a b c 0060 0080 P Pa 105 V m3 Figura E1915 O V m3 b 300 0050 P kPa a Figura E194 20 40 60 80 100 120 O 05 10 15 P mm de Hg V L Ina l a ndo Exa l a n do BookSEARSVol2indb 304 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 305 temperatura em b seja específico c compare a energia in terna do gás em a com a energia interna em b seja específico e explique seção 195 Tipos de processos termodinâmicos seção 196 Energia interna de um gás ideal seção 197 Calor específico de um gás ideal 1916 Durante a compressão isotérmica de um gás ideal é ne cessário remover 410 J de calor do gás para manter a temperatura constante Qual é o trabalho realizado pelo gás nesse processo 1917 um cilindro contém 0250 mol do gás dióxido de car bono co2 à temperatura de 270 c o cilindro possui um pistão sem atrito que mantém uma pressão constante igual a 10 atm sobre o gás o gás é aquecido e sua temperatura aumenta para 1270 c suponha que o co2 possa ser considerado um gás ideal a Desenhe um diagrama PV para esse processo b Qual é o trabalho realizado pelo gás nesse processo c sobre o que esse trabalho é realizado d Qual é a variação da energia interna do gás e Qual é o calor fornecido ao gás f Qual seria o trabalho realizado se a pressão fosse igual a 050 atm 1918 um cilindro contém 00100 mol de hélio a uma tempe ratura T 270 c a Qual é o calor necessário para aumentar a temperatura para 670 c enquanto o volume permanece cons tante faça um desenho do diagrama PV para esse processo b se em vez de manter o volume constante a pressão do hélio fosse mantida constante qual seria o calor necessário para au mentar a temperatura de 270 c para 670 c faça um desenho do diagrama PV para esse processo c Qual é o fator responsável pela diferença obtida nos itens a e b Em qual dos dois casos o calor necessário é maior o que ocorre com o calor adicional d caso o sistema fosse um gás ideal qual seria a variação da energia interna do item a E do item b como você compara as duas respostas Por quê 1919 Em uma experiência para simular as condições no in terior do motor de automóvel 0185 mol de ar a 780 K e 300 106 Pa está contido no interior de um cilindro com volume igual a 400 cm3 Então 645 J de calor são transferidos para o cilindro a se o volume do cilindro é mantido constante enquanto se adiciona calor qual é a temperatura final do ar suponha que o ar seja constituído essencialmente de nitrogênio em gás e use os dados da tabela 191 mesmo que a pressão não seja baixa faça um desenho do diagrama PV para esse processo b repita o item a considerando que o volume do cilindro possa aumentar enquanto a pressão permanece constante 1920 Quando uma quantidade de gás monoatômico ideal se expande a uma pressão constante de 40 104 Pa seu volume aumenta de 20 103 m3 para 80 103 m3 Qual é a variação da energia interna do gás 1921 o calor Q flui para dentro de um gás monoatômico ideal e o volume aumenta enquanto a pressão é mantida cons tante Que fração da energia calorífica é usada para realizar o trabalho de expansão do gás 1922 três moles de um gás monoatômico ideal se expandem a uma pressão constante de 250 atm o volume do gás varia de 320 102 m3 a 450 102 m3 a calcule as temperaturas inicial e final do gás b calcule a quantidade de trabalho que o gás realiza ao se expandir c calcule a quantidade de calor fornecida ao gás d calcule a variação da energia interna do gás 1923 um cientista adiciona 970 J de calor a 175 mol de um gás ideal para aquecêlo de 100 c a 250 c sob pressão constante o gás realiza 223 J de trabalho durante a expansão a calcule a variação de energia interna do gás b calcule g para o gás 1924 o gás propano c3h8 se comporta como um gás ideal com g 1127 Determine o calor específico molar a volume constante e o calor específico molar à pressão constante 1925 CALC a temperatura de 0150 mol de um gás ideal é mantida constante em 770 c enquanto seu volume é reduzido para 250 de seu volume inicial a pressão inicial do gás é 125 atm a calcule o trabalho realizado pelo gás b Qual é a variação de sua energia interna c o gás troca calor com suas vizinhanças se sim qual é o valor absoluto desse calor o gás absorve ou libera calor seção 198 Processo adiabático de um gás ideal 1926 cinco moles de gás ideal monoatômico possuem pres são inicial de 250 103 Pa e um volume inicial de 210 m3 Enquanto sobre uma expansão adiabática o gás realiza 1480 J de trabalho Qual é a pressão final do gás após a expansão 1927 um gás ideal monoatômico com uma pressão inicial de 150 105 Pa e um volume inicial de 00800 m3 sofre uma compressão adiabática até um volume igual a 00400 m3 a Qual é a pressão final b Qual é o trabalho realizado pelo gás nesse processo c Qual é a razão entre as temperaturas final e inicial do gás o gás é aquecido ou resfriado nesse processo de compressão 1928 o motor do carro esportivo ferrari f355 f1 injeta o ar a 200 c e 100 atm e comprimeo adiabaticamente até atingir 00900 de seu volume inicial o ar pode ser considerado um gás ideal com g 140 a Desenhe um diagrama PV para esse processo b calcule a temperatura e a pressão no estado final 1929 Durante uma expansão adiabática a temperatura de 0450 mol de argônio ar cai de 660 c para 100 c o argônio pode ser tratado como um gás ideal a Desenhe um diagrama PV para esse processo b calcule o trabalho realizado pelo gás c Qual é a variação da energia interna do gás 1930 um jogador de basquete faz a bola bater no chão comprimindoa a 800 de seu volume original o ar suponha que seja essencialmente um gás N2 dentro da bola está original mente à temperatura de 200 c e a uma pressão de 200 atm o diâmetro interno da bola é 239 cm a a que temperatura o ar chega na bola em sua compressão máxima suponha que a com pressão seja adiabática e trate o gás como ideal b De quanto é a variação da energia interna do ar entre o estado original da bola e sua compressão máxima 1931 Em um dia quente de verão uma grande massa de ar pressão atmosférica igual a 101 105 Pa é aquecida pelo solo até uma temperatura de 260 c e então começa a subir através do ar mais frio circundante Esse processo pode ser conside rado aproximadamente adiabático você sabe explicar por quê calcule a temperatura da massa de ar quando houver subido a um nível em que a pressão atmosférica for apenas 0850 105 Pa suponha que o ar seja um gás ideal com g 140 Essa taxa de resfriamento do ar seco em ascensão que corresponde a cerca de 1 c a cada 100 m de altitude chamase gradiente adiabático seco 1932 um cilindro contém 0100 mol de um gás ideal mo noatômico No estado inicial o gás está sob pressão de 100 105 Pa e ocupa um volume igual a 250 103 m3 a calcule a temperatura inicial do gás em kelvins b o gás sofre uma expan são atingindo o dobro de seu volume inicial ache a temperatura final em kelvins e a pressão do gás sabendo que a expansão é i isotérmica ii isobárica iii adiabática BookSEARSVol2indb 305 021015 152 PM 306 Física II ProBLEmAs 1933 uma quantidade de ar vai do estado a até o estado b ao longo de uma linha reta no diagrama PV Figura P1933 a Nesse processo a temperatura do gás aumenta diminui ou permanece constante Explique b se Va 00700 m3 Vb 01100 m3 Pa 10 105 Pa e Pb 140 105 Pa qual é o tra balho W realizado pelo gás nesse processo suponha que o gás possa ser tratado como um gás ideal 1934 Meio mol de um gás ideal vai do estado a ao estado c como mostra a Figura P1934 a calcule a temperatura final do gás b calcule o trabalho realizado pelo gás ou sobre ele enquanto ele passa do estado a para o estado c c Durante esse processo o calor sai ou entra no sistema Qual é a quantidade desse calor Explique Figura P1934 P Pa a b c O 0001 0002 0003 0004V m3 40 105 20 105 1935 a Figura P1935 mostra o diagrama PV para um pro cesso no qual a temperatura do gás ideal permanece constante em 85 ºc a Quantos moles de gás estão envolvidos b Que volume esse gás ocupa em a c Quanto trabalho foi realizado pelo gás ou sobre ele de a até b d o quanto a energia interna do gás mudou durante esse processo Figura P1935 P atm O 0600 0200 0100 a b V m3 1936 o gráfico da Figura P1936 mostra um diagrama PV para 325 moles de gás hélio he ideal a parte ca desse pro cesso é isotérmica a calcule a pressão do he no ponto a b calcule a tem peratura do he nos pontos a b e c c Quanto calor entrou ou saiu do he du rante os segmentos ab bc e ca Em cada segmento o calor entrou ou saiu d o quanto a energia interna do he variou de a para b de b para c e de c para a indique se essa energia aumentou ou diminuiu 1937 Quando um sis tema vai do estado a até o es tado b Figura P1937 pelo caminho acb um calor igual a 900 J flui para o interior do sis tema e um trabalho de 600 J é realizado pelo sistema a Quanto calor flui para o inte rior do sistema pelo caminho adb sabendo que o trabalho realizado pelo sistema é igual a 150 J b Quando o sistema retorna de b para a pelo cami nho encurvado o valor absoluto do trabalho realizado pelo sis tema é igual a 350 J o sistema absorve ou libera calor Qual é a quantidade desse calor c sabendo que Ua 0 e Ud 80 J calcule os calores absorvidos nos processos ad e db 1938 um sistema termodinâmico vai do estado a até o es tado c mostrado na Figura P1938 pelo caminho abc ou pelo caminho adc Pelo ca minho abc o trabalho W rea lizado pelo sistema é igual a 450 J Pelo caminho adc W é igual a 120 J as energias in ternas de cada um dos quatro estados mostrados na figura são Ua 150 J Ub 240 J Uc 680 J e Ud 330 J Determine o calor trocado em cada um dos quatro processos ab bc ad e dc e verifique em todos se o sistema absorve ou libera calor 1939 um volume de ar considerado um gás ideal primeiro é resfriado sem variação de volume e depois expandido sem va riação de pressão como mostra o caminho abc na Figura P1939 a compare a temperatura final do gás com a sua temperatura inicial b Quanto calor o ar troca com seu meio ambiente durante o pro cesso abc o ar absorve ou libera calor durante esse processo Explique c se em vez disso o ar se expandisse do estado a ao estado c pelo caminho mostrado em linha reta quanto calor ele trocaria com seu meio ambiente 1940 três moles de gás argônio considerado um gás ideal originalmente a uma pressão de 150 104 Pa e a um volume de 00280 m3 são aquecidos e expandidos sob pressão constante até um volume de 00435 m3 depois aquecidos a volume constante até que a pressão atinja 350 104 Pa a seguir resfriados e compri midos à pressão constante até que o volume volte a ser 00280 m3 e finalmente resfriados a volume constante até que a pressão volte ao valor original de 150 104 Pa a Desenhe o diagrama PV desse ciclo b calcule o trabalho total realizado pelo gás ou sobre ele durante o ciclo c calcule o calor total trocado com o meio ambiente o gás ganha ou perde calor no fim das contas Figura P1933 P O V a b Pb Pa Va Vb Figura P1936 P Pa 105 O 20 0010 0040 a c b V m3 Figura P1937 a b c d P O V Figura P1938 P O V a b c d Figura P1939 P Pa O 002 a b c 004 006 V m3 30 105 20 105 10 105 BookSEARSVol2indb 306 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 307 1941 Dois moles de um gás monoatômico ideal passam pelo ciclo abc No ciclo completo 800 J de calor fluem a partir do gás o processo ab ocorre à pressão constante e o processo bc a volume constante os estados a e b apresentam temperaturas Ta 200 K e Tb 300 K a Desenhe o diagrama PV do ciclo b Qual é o trabalho W do processo ca 1942 três moles de um gás ideal passam pelo ciclo abc mostrado na Figura P1942 o CP desse gás é 291 Jmol K o processo ac ocorre sob pressão constante o processo ba a volume constante e o processo cb é adiabático as temperaturas do gás nos estados a c e b são Ta 300 K Tc 492 K e Tb 600 K calcule o trabalho total W do ciclo 1943 a Figura P1943 mostra um diagrama PV para 00040 mol do gás ideal h2 a temperatura do gás não varia du rante o segmento bc a Que volume esse gás ocupa no ponto c b calcule a temperatura do gás nos pontos a b e c c Quanto calor entrou ou saiu do gás durante os segmentos ab ca e bc indique se o calor entrou ou saiu d calcule a variação na energia in terna desse hidrogênio durante os segmentos ab bc e ca indique se a energia interna aumentou ou diminuiu durante cada segmento 1944 a um terço de um mol de gás he percorre o caminho abc mostrado na Figura P1944 suponha que o gás possa ser tratado como ideal Quanto calor é transferido para dentro ou para fora do gás b se em vez disso o gás fosse diretamente do estado a para o estado c pela linha tracejada horizontal na figura P1944 quanto calor seria transferido para dentro ou para fora do gás c compare Q no item b com Q no item a Explique Figura P1944 3 105 2 105 P Pa 4 105 1 105 b a c 0002 O 0004 0006 0008 0010 V m3 1945 começando com 250 moles de gás N2 suposta mente ideal em um cilindro a 100 atm e a 200 c um químico aquece o gás primeiro a volume constante fornecendo 136 104 J de calor depois continua aquecendo e permite que o gás se expanda sob pressão constante até o dobro de seu volume original a calcule a temperatura final do gás b calcule a quantidade de trabalho realizado pelo gás c calcule a quan tidade de calor fornecida ao gás enquanto ele se expandia d calcule a variação de energia interna do gás em todo o processo 1946 o gás nitrogênio no interior de um recipiente que pode se expandir é resfriado de 500 c até 100 c mantendose a pressão constante e igual a 300 105 Pa o calor total liberado pelo gás é igual a 250 104 J suponha que o gás possa ser tratado como um gás ideal a calcule o número de moles do gás b calcule a variação da energia interna do gás c calcule o trabalho realizado pelo gás d Qual seria o calor liberado pelo gás para a mesma variação de temperatura caso o volume permanecesse constante 1947 CALC um cilindro com um pistão móvel sem atrito como o mostrado na figura 195 contém uma quantidade do gás hélio inicialmente o gás está a uma pressão igual a 10 105 Pa possui uma temperatura de 300 K e ocupa um volume de 150 L a seguir o gás passa por dois processos No primeiro o gás é aquecido e o pistão se move para manter a temperatura constante e igual a 300 K Esse processo continua até que a pressão atinja o valor 250 104 Pa No segundo processo o gás é comprimido sob pressão constante até retornar a seu volume inicial de 150 L suponha que o gás possa ser tratado como um gás ideal a Em um diagrama PV mostre os dois processos b calcule o volume do gás no final do primeiro processo calcule a temperatura e a pressão no final do segundo processo c calcule o trabalho total realizado pelo gás nos dois processos d o que você faria para o gás voltar à pressão e à temperatura originais 1948 PC Um processo termodinâmico em um sólido um cubo de cobre com aresta igual a 200 cm é suspenso por um fio as propriedades físicas do cobre são fornecidas nas tabelas 131 172 e 173 o cubo é aquecido com um bico de gás de 200 c até 900 c o ar nas vizinhanças do cubo está na pressão atmosférica 101 105 Pa calcule a o aumento de volume do cubo b o trabalho mecânico realizado pelo cubo contra a pressão do ar circundante c o calor fornecido ao cubo d a variação da energia interna do cubo e com base em seus re sultados verifique se existe alguma diferença substancial entre o calor específico cP à pressão constante e o calor específico cV a volume constante do cobre nessas condições 1949 Chinook Durante certas estações ventos for tes chamados chinooks sopram do oeste e atingem o leste das Montanhas rochosas descendo as montanhas até Denver e áreas adjacentes Embora as montanhas sejam frias o vento em Denver é muito quente depois de alguns minutos da chegada dos ventos chinooks a temperatura pode aumentar até 20 c a palavra chi nook deriva de uma tribo de índios norteamericanos homônima e significa comedor de neve ventos semelhantes ocorrem nos alpes chamados de foehns e no sul da califórnia chamados de Santa Anas a Explique por que a temperatura do vento chinook aumenta à medida que ele desce a montanha Por que é importante que a velocidade do vento seja grande b suponha que um vento forte esteja se dirigindo para Denver altitude igual a 1630 m proveniente de Grays Peak 80 km a oeste de Denver a uma altitude igual a 4350 m onde a pressão do ar é de 560 104 Pa e a temperatura é igual a 150 c Em Denver antes da chegada do vento a pressão do ar é de 812 104 Pa e a temperatura é 20 c Qual deve ser a elevação da temperatura em Denver quando o chinook chegar 1950 Pesquisas em altitudes elevadas um grande balão de pesquisa contendo 200 103 m3 de gás hélio a 100 atm e a uma temperatura de 150 c sobe rapidamente a partir do nível Figura P1942 P O V a c b Figura P1943 P atm O 050 20 020 a c b V L BookSEARSVol2indb 307 021015 152 PM 308 Física II do solo a uma altitude em que a pressão atmosférica é de apenas 0900 atm Figura P1950 suponha que o hélio se comporte como um gás ideal e que a subida do balão seja tão rápida que não per mita trocas de calor signifi cativas com o ar circundante a calcule o volume do gás na altitude mais elevada b calcule a temperatura do gás na altitude mais elevada c Qual é a variação da energia interna do hélio à medida que o balão sobe para a altitude mais elevada 1951 uma bomba de ar é composta por um cilindro de 0250 m de comprimento com um pistão móvel a bomba é usada para comprimir o ar a uma pressão absoluta igual a 101 105 Pa no interior de um tanque muito grande que está a uma pressão manométrica de 380 105 Pa Para o ar cV 208 Jmol K a o pistão começa a compressão na extremidade superior aberta do cilindro Qual é a distância entre esse ponto e o ponto do cilindro no qual o ar começa a fluir para o interior do tanque suponha que a com pressão seja adiabática b se o ar entra na bomba com uma temperatura de 27 c qual é a temperatura do ar comprimido c Qual é o trabalho realizado pela bomba para fazer 200 moles de ar entrarem no tanque 1952 um certo gás ideal possui calor específico molar a volume constante CV uma amostra desse gás inicialmente ocupa um volume V0 a uma pressão P0 e temperatura absoluta T0 o gás se expande isobaricamente até um volume 2V0 e a seguir sofre uma expansão adiabática até um volume final igual a 4V0 a Desenhe um diagrama PV dessa sequência de processos b calcule o trabalho total realizado pelo gás nessa sequência de processos c calcule a temperatura final do gás d calcule o valor absoluto do calor Q trocado com as vizinhanças nessa sequência de processos e determine o sentido do fluxo do calor 1953 um gás ideal monoatômico se expande lentamente até ocupar um volume igual ao dobro do inicial realizando um tra balho de 450 J nesse processo calcule o calor fornecido ao gás e a variação da energia interna do gás sabendo que o processo é a isotérmico b adiabático c isobárico 1954 CALC um cilindro com um pistão contém 0250 mol de oxigênio a uma pressão de 240 105 Pa e temperatura de 355 K suponha que o oxigênio possa ser tratado como um gás ideal o gás inicialmente se expande isobaricamente até ocupar um volume igual ao dobro do inicial a seguir ele é comprimido isotermicamente de volta a seu volume inicial e finalmente é resfriado isocoricamente até atingir sua pressão inicial a Mostre a sequência de processos em um diagrama PV b calcule a temperatura durante a compressão isotérmica c calcule a pressão máxima d calcule o trabalho total realizado pelo pistão sobre o gás nessa sequência de processos 1955 use as condições e os processos mencionados no Problema 1954 para calcular a o trabalho realizado pelo gás o calor fornecido ao gás e a variação da energia interna durante a expansão inicial b o trabalho realizado pelo gás o calor forne cido ao gás e a variação da energia interna durante o resfriamento final c a variação da energia interna durante a compressão isotérmica 1956 CALC um cilindro com um pistão contém 0150 mol de nitrogênio a uma pressão de 180 105 Pa e à temperatura de 300 K suponha que o nitrogênio possa ser tratado como um gás ideal o gás inicialmente é comprimido isobaricamente até ocupar a metade de seu volume inicial a seguir expandese adiabaticamente de volta a seu volume inicial e finalmente é aquecido isocoricamente até atingir sua pressão inicial a Desenhe um diagrama PV para essa sequência de processos b calcule a temperatura no início e no fim da expansão adiabática c calcule a pressão mínima 1957 use as condições e os processos mencionados no Problema 1956 para calcular a o trabalho realizado pelo gás o calor fornecido a ele e a variação da energia interna durante a compressão inicial b o trabalho realizado pelo gás o calor fornecido a ele e a variação da energia interna durante a expansão adiabática c o trabalho realizado pelo gás o calor fornecido a ele e a variação da energia interna durante o aquecimento final 1958 Comparação entre processos termodinâmicos Em um cilindro 120 mol de gás ideal monoatômico inicialmente a uma pressão de 360 105 Pa e à temperatura de 300 K se ex pande até o triplo de seu volume inicial calcule o trabalho rea lizado pelo gás quando a expansão é a isotérmica b adiabática c isobárica d usando um diagrama PV ilustre cada um desses processos Em qual deles o trabalho realizado pelo gás possui o maior valor absoluto E o menor valor absoluto e Em qual desses processos o calor trocado possui o maior valor absoluto E o menor valor absoluto f Em qual desses processos a varia ção da energia interna possui o maior valor absoluto E o menor valor absoluto 1959 dAdos você registrou medições de transferência de calor Q para 0300 mol de um gás começando em T1 200 ºc e terminando em uma temperatura T2 você mediu Q para três processos um isobárico um isocórico e um adiabático Em cada caso T2 foi o mesmo a Figura P1959 resume seus resultados Mas você perdeu uma página de seu caderno de notas do labo ratório e não tem um registro do valor de T2 você também não sabe qual processo foi isobárico isocórico ou adiabático cada processo foi realizado a uma pressão sufi cientemente baixa para o gás ser tratado como ideal a identifique cada processo a b ou c como isobárico isocó rico ou adiabático b Qual é o valor de T2 c Quanto trabalho foi feito pelo gás em cada processo d Para qual processo o módulo do volume varia mais e Para cada processo o volume do gás aumenta diminui ou permanece igual 1960 dAdos você comprime um gás em um cilindro iso lado nenhum fluxo de calor entra ou sai do gás a pressão do gás é muito baixa de modo que uma boa aproximação é tratálo como ideal Quando você mede a pressão em função do volume do gás encontra estes resultados V L 250 202 148 101 050 P atm 0101 0139 0202 0361 0952 Figura P1959 a b c 0 10 20 30 40 50 60 Q J Processo Figura P1950 BookSEARSVol2indb 308 021015 152 PM Capítulo 19 A primeira lei da termodinâmica 309 a represente graficamente log P versus log V com P em Pa e V em m3 Explique por que os pontos de dados ficam próximos a uma linha reta b use seu gráfico para calcular g para o gás o gás é monoatômico diatômico ou poliatômico c Quando P 0101 atm e V 250 L a temperatura é 220 ºc aplique a equação do gás ideal e calcule a temperatura para cada um dos outros pares de valores de P e V Nesta compressão a temperatura do gás aumenta diminui ou permanece constante 1961 dAdos você coloca uma quantidade de gás em um cilindro metálico que possui um pistão móvel em uma extremi dade Nenhum gás vaza do cilindro enquanto o pistão se move a força externa aplicada ao pistão pode ser variada para alterar a pressão do gás enquanto você move o pistão para alterar seu volume um manômetro de pressão preso à parede interior do cilindro mede a pressão do gás e você pode calcular o volume por uma medição da posição do pistão no cilindro você começa com uma pressão de 10 atm e um volume de gás de 30 L Mantendo a pressão constante você aumenta o volume para 50 L Depois mantendo o volume constante em 50 L você aumenta a pressão para 30 atm Em seguida diminui a pressão linearmente em função do volume até que o volume seja 30 L e a pressão seja 20 atm Por fim você mantém o volume constante a 30 L e diminui a pressão para 10 atm retornando o gás à sua pressão e volume iniciais as paredes do cilindro são bons con dutores de calor e você fornece as fontes de calor exigidas e os destinos de calor de modo que possam ocorrer as transferências de calor necessárias Nessas pressões relativamente altas você suspeita que a equação do gás ideal não se aplique com muita precisão você não sabe qual gás se encontra no cilindro ou se ele é monoatômico diatômico ou poliatômico a Desenhe o ciclo no plano PV b Qual é a transferência de calor resultante para o gás durante esse ciclo Existe transferência de calor para dentro ou para fora do gás ProBLEmAs dEsAFIAdorEs 1962 Motor com turbocompressor e interresfriador a potência do motor de um automóvel é diretamente proporcio nal à massa de ar empurrada para dentro dos cilindros do motor para produzir uma reação química com a gasolina Muitos carros possuem um turbocompressor que produz a compressão do ar antes de ele entrar no motor fornecendo maior quantidade de massa por unidade de volume Essa compressão rápida essen cialmente adiabática também aquece o ar Para aumentar ainda mais a compressão o ar passa através de um interresfriador onde troca calor com suas vizinhanças à pressão constante a seguir o ar é injetado nos cilindros Em um mecanismo típico o ar é conduzido ao turbocompressor sob pressão atmosférica 101 105 Pa com densidade r 123 kgm3 e temperatura igual a 150 c Ele é comprimido adiabaticamente até 145 105 Pa No interresfriador ele é resfriado até sua temperatura original de 150 c a uma pressão constante de 145 105 Pa a Desenhe um diagrama PV para essa sequência de processos b se o volume de um dos cilindros for igual a 575 cm3 qual será a massa de ar proveniente do interresfriador que encherá um cilindro à pressão de 145 105 Pa Em comparação com a potência de um motor que recebe ar a uma pressão de 101 105 Pa à temperatura de 150 c qual é a porcentagem de aumento de potência obtida usandose um turbocompressor e um interresfriador c caso o interresfriador não seja usado qual a massa de ar proveniente do turbocompressor que encherá um cilindro à pressão de 145 105 Pa Em comparação com a potência de um motor que recebe ar a uma pressão de 101 105 Pa e à temperatura de 150 c qual é a porcentagem de aumento de potência obtida usandose apenas o turbocompressor Problemas com contexto BIo GASES ANESTÉSICOS um tipo de mistura de gás usado na anestesiologia é uma mistura 5050 por volume de óxido nitroso N2o e oxigênio o2 que pode ser prémisturada e mantida em um cilindro para uso posterior como esses dois gases não reagem quimicamente a 2000 psi ou abaixo disso nas temperaturas ambientes típicas eles formam uma única fase gasosa homogênea que pode ser considerada um gás ideal No entanto se a temperatura cair para menos de 6 ºc o N2o pode começar a se condensar da fase gasosa Então qualquer gás re movido do cilindro inicialmente será quase o2 puro à medida que o cilindro se esvazia a proporção de o2 diminui até que o gás vindo do cilindro seja quase N2o puro 1963 Em um teste dos efeitos de baixas temperaturas sobre a mistura de gás um cilindro cheio a 200 ºc e 2000 psi pressão manométrica é resfriado lentamente e a pressão é monitorada Qual é a pressão esperada a 500 ºc se o gás continuar sendo uma mistura homogênea a 500 psi b 1500 psi c 1830 psi d 1920 psi 1964 Em outro teste a válvula de um cilindro de 500 L cheio da mistura de gás a 2000 psi pressão manométrica é totalmente aberta para que o gás saia do cilindro muito rapidamente Por que algum N2o se condensa durante esse processo a Este é um processo isocórico em que a pressão diminui de modo que a temperatura também diminui b Por causa da rápida expansão o calor é removido do sistema de modo que a energia interna e a temperatura do gás diminuem c Este é um processo isobárico de modo que quando o volume aumenta a temperatura diminui proporcionalmente d com a rápida expansão o gás em expan são realiza trabalho sem entrada de calor de modo que a energia interna e a temperatura do gás diminuem 1965 você tem um cilindro que contém 500 L da mistura de gás pressurizada a 2000 psi pressão manométrica um regulador define o fluxo de gás para entregar 82 Lmin na pressão atmos férica suponha que esse fluxo seja lento o suficiente para que a expansão seja isotérmica e os gases permaneçam misturados Quanto tempo levará para que o cilindro seja esvaziado a 1 hora b 33 horas c 57 horas d 140 horas 1966 Em um hospital o oxigênio puro pode ser entregue a 50 psi pressão manométrica e depois misturado com N2o Que volume de oxigênio a 20 ºc e 50 psi pressão manométrica deve ser misturado com 17 kg de N2o para obter uma mistura de 5050 por volume a 20 ºc a 021 m3 b 027 m3 c 19 m3 d 100 m3 BookSEARSVol2indb 309 021015 153 PM 310 Física II respostas resposta à pergunta inicial do capítulo ii o trabalho realizado por um gás enquanto seu volume varia de V1 a V2 é igual à integral P dV entre esses dois limites de vo lume se o volume do gás se contrai o volume final V2 é menor que o volume inicial V1 e o gás realiza um trabalho negativo impulsionar a locomotiva exige que o gás realize um trabalho positivo então o gás não contribui para a propulsão enquanto se contrai respostas às perguntas dos testes de compreensão 191 respostas negativo positivo positivo o calor flui para fora do café logo Qcafé 0 o calor flui para dentro da xí cara de alumínio logo Qalumínio 0 Em mecânica diríamos que o trabalho negativo é realizado sobre o bloco já que a superfície exerce uma força sobre o bloco que se opõe ao movimento dele Mas em termodinâmica usamos a convenção oposta e dizemos que W 0 o que significa que trabalho positivo é feito pelo bloco sobre a superfície 192 resposta ii o trabalho realizado em uma expansão é representado pela área sob a curva da pressão P pelo volume V Em uma expansão isotérmica a pressão diminui enquanto o volume aumenta logo o diagrama PV se parece com a figura 196a e o trabalho realizado é igual à área sombreada sob a curva do ponto 1 ao ponto 2 se entretanto a expansão for sob pres são constante a curva de P por V seria igual à linha horizontal tracejada da pressão P2 na figura 196a a área sob essa curva tracejada é menor que a área sob a curva em linha cheia em uma expansão isotérmica portanto menos trabalho é realizado na expressão isobárica que na expansão isotérmica 193 resposta i e iv empate ii e iii empate a figura mostra os diagramas PV de cada um dos quatro processos a área trapezoidal está sob a curva e portanto o valor absoluto do trabalho é o mesmo nos quatro casos Nos casos i e iv o volume aumenta então o sistema realiza trabalho positivo à medida que se expande contra o meio ambiente Nos casos ii e iii o volume diminui então o sistema realiza trabalho negativo mostrado pelas áreas tracejadas na diagonal à medida que o meio ambiente se expande para dentro dele V 1 4 2 O P 3 V 1 4 2 O P 3 V 1 4 2 O P 3 V 1 4 2 O P 3 i ii iii iv 194 resposta ii i e iv empate iii Na expressão U Q W Q é o calor fornecido ao sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema se calor é transferido do sistema para seu meio ambiente Q é negativo se o trabalho é realizado sobre o sistema W é negativo assim temos i Q 250 J W 250 J U 250 J 250 J 0 ii Q 250 J W 250 J U 250 J 250 J 500 J iii Q 250 J W 250 J U 250 J 250 J 500 J e iv Q 250 J W 250 J U 250 J 250 J 0 195 respostas 1 4 e 3 2 são isocóricas 1 3 e 4 2 são isobáricas não Em um diagrama PV como os da figura 197 os processos isocóricos são representados por retas verticais volume constante e os processos isobáricos são repre sentados por retas horizontais pressão constante o processo 1 2 na figura 197 é mostrado como uma linha curva que lembra superficialmente os processos adiabático e isotérmico de um gás ideal da figura 1916 sem mais informações não temos como saber se o processo 1 2 é isotérmico adiabático ou nenhum dos dois 196 resposta não usando o modelo de um sólido na figura 1820 vemos que a energia interna de um sólido depende real mente de seu volume comprimir o sólido significa comprimir as molas entre os átomos aumentando assim sua energia potencial armazenada e consequentemente a energia interna do sólido 197 resposta i Para um dado número de moles n e uma dada variação de temperatura T a quantidade de calor que deve ser transferida a partir de um volume fixo de ar é Q nCVT assim a quantidade de calor necessária é a menor para o gás com o menor valor de CV conforme a tabela 191 o valor de CV é menor para os gases monoatômicos 198 resposta ii iv i e iii empate as amostras i e iii são comprimidas isotermicamente portanto PV cons tante o volume de cada amostra diminui à metade de seu valor inicial portanto a pressão final é o dobro da inicial as amos tras ii e iv são comprimidas adiabaticamente então PVg constante e a pressão aumenta de um fator de 2g a amostra ii é um gás monoatômico em que g 5 3 logo sua pressão final é 253 317 vezes maior que a inicial a amostra iv é um gás diatômico em que g 7 5 então sua pressão final é maior que a pressão inicial por um fator de 275 264 Problema em destaque a W nRT ln c V2 nb V1 nb d an2 c 1 V2 1 V1 d b i W 280 103 J ii W 311 103 J c Gás ideal para o qual não existe atração entre as moléculas BookSEARSVol2indb 310 021015 153 PM A segunda lei da termo dinâmica diz que o calor flui naturalmente de um corpo quente como uma lava der retida aqui mostrada fluindo para o oceano no Havaí para um corpo frio como a água do oceano que é aquecida e gera vapor Será que existe al guma possibilidade de o calor passar de um corpo frio para um corpo quente i Sim não importa qual seja a diferença de temperatura ii sim mas somente para certas diferenças de temperatura iii não iv a resposta depende da composi ção dos dois corpos oBJETiVos DE APrENDiZAGEm Ao estudar este capítulo você aprenderá 201 A diferença entre processos reversíveis e irreversíveis 202 O que é máquina térmica e como calcular sua eficiência 203 A física das máquinas de combustão interna 204 Como os refrigeradores e as máquinas térmicas se relacionam e como analisar o desempenho de um refrigerador 205 Como a segunda lei da termodinâmica estabelece limites à eficiência das máquinas e ao desempenho dos refrigeradores 206 Como fazer cálculos envolvendo o ciclo ideal de Carnot para máquinas e refrigeradores 207 O que significa a entropia e como usar esse conceito para analisar processos termodinâmicos 208 Como usar o conceito de estados microscópicos para entender a entropia Revendo conceitos de 173 A escala Kelvin 183 A constante de Boltzmann 1911 98 Processos termodinâmicos primeira lei da termodinâmica expansão livre de um gás M uitos processos termodinâmicos ocorrem naturalmente em um dado sentido mas não em sentido oposto Por exemplo o calor sempre flui de um corpo quente para um corpo frio nunca em sentido contrário o fluxo de calor de um corpo frio para um corpo quente não violaria a primeira lei da termodinâmica a energia seria conservada Porém isso não ocorre na natureza Por que não como outro exemplo note que é fácil converter completamente energia mecânica em calor isso ocorre sempre que usamos o freio para parar um carro indo no sentido inverso existem muitos dispositivos que convertem parcialmente o calor em energia mecânica o motor de um automóvel é um exemplo Porém nem o mais inteli gente inventor conseguiu construir uma máquina capaz de converter completamente uma quantidade de calor em energia mecânica Novamente por que não a resposta para essas duas perguntas diz respeito aos sentidos dos processos termodinâmicos e é dada pela segunda lei da termodinâmica Essa lei determina limites fundamentais para a eficiência de uma máquina ou de uma usina elétrica Ela também estipula limites para a energia mínima que deve ser fornecida a um refrigerador Logo a segunda lei é diretamente relevante para muitos problemas práticos importantes Podemos também enunciar a segunda lei em termos do conceito de entropia uma grandeza que mede o grau de aleatoriedade de um sistema a ideia de en tropia ajuda a entender por que a tinta que se mistura com água não pode jamais ser separada espontaneamente e qual é a razão pela qual uma grande quantidade de processos aparentemente possíveis nunca ocorre na natureza 201 sENTIdo dE Um ProCEsso TErmodINâmICo os processos termodinâmicos que ocorrem na natureza são todos processos irreversíveis Esses processos são aqueles que ocorrem em um determinado 20 A sEGuNDA lEi DA TErmoDiNÂmiCA BookSEARSVol2indb 311 021015 153 PM 312 Física II sentido porém não no sentido contrário Figura 201a o fluxo de calor de um corpo quente para um corpo mais frio ocorre irreversivelmente como no caso da expansão livre de um gás estudada nas seções 193 e 196 Quando um livro desliza sobre uma mesa sua energia mecânica é convertida em calor pelo atrito esse processo é irreversível pois ninguém jamais observou o processo inverso no qual um livro em repouso sobre a mesa começasse a se mover espontaneamente e a temperatura do livro e da mesa começasse a diminuir o principal tópico deste capítulo é a segunda lei da termodinâmica que determina qual é o sentido preferencial desses processos apesar desse sentido preferencial de todo processo natural podemos imaginar uma classe de processos idealizados que poderiam ser reversíveis um sistema que realiza esse processo reversível ideal está sempre próximo do equilíbrio termo dinâmico com as vizinhanças e no interior do próprio sistema Qualquer mudança de estado que ocorra pode ser invertida forçada a realizarse no sentido contrário produzindose variações infinitesimais nas condições do sistema Por exemplo o fluxo de calor entre dois corpos com uma diferença de temperatura infinitesimal entre si pode ser invertido variando apenas levemente uma ou outra temperatura figura 201b Processos reversíveis são portanto processos de equilíbrio nos quais o sis tema está sempre em equilíbrio termodinâmico obviamente se um sistema está realmente em equilíbrio termodinâmico não pode ocorrer nenhuma mudança no estado do sistema o calor não poderia fluir nem para dentro nem para fora de um sistema que tivesse uma temperatura rigorosamente constante em todos os seus pontos e um sistema que estivesse realmente em equilíbrio mecânico não poderia realizar nenhum trabalho sobre suas vizinhanças um processo reversível é uma idealização que não pode ser realizada com precisão no mundo real Entretanto fazendo o gradiente de pressão e o gradiente de temperatura muito pequenos po demos manter o sistema muito próximo de seu estado de equilíbrio e o processo pode se tornar aproximadamente reversível Em contraste o fluxo de calor com diferença de temperatura finita a expansão livre de um gás e a conversão de trabalho em calor pelo atrito são todos processos irreversíveis nenhuma pequena variação seria capaz de fazer esses sistemas so frerem um processo inverso todos eles também são processos de não equilíbrio nos quais o sistema não está em equilíbrio termodinâmico em nenhuma etapa do processo e somente atinge o equilíbrio no final do processo Figura 201 Processos reversíveis e irreversíveis Água líquida a 40 C Caixa de metal a 40 C a Um bloco de gelo derrete irreversivelmente quando o colocamos em uma caixa de metal quente 70 C O calor fui da caixa para o gelo e para a água nunca o inverso Elevando ou reduzindo infnitesimalmente a temperatura da caixa podemos fazer o calor fuir para o gelo a fm de derretêlo ou retirar o calor da água para congelála novamente b Um bloco de gelo a 0 C pode ser derretido de modo reversível se o colocarmos em uma caixa de metal a 0 C Caixa de metal a 70 C Gelo a 0 C Água líquida a 0 C Caixa de metal a 0 C Caixa de metal a 0 C Gelo a 0 C desordem e processos termodinâmicos o estado aleatório ou o grau de desordem do estado final de um sistema pode ser relacionado ao sentido da realização de um processo Por exemplo imagine uma tarefa de organização monótona como colocar em ordem alfabética milhares de nomes impressos em cartões de arquivos Jogue para o ar o conjunto todo dos BookSEARSVol2indb 312 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 313 cartões que estavam em ordem alfabética e eles provavelmente chegarão ao solo em um estado aleatório ou desordenado Na expansão livre de um gás discutida nas seções 193 e 196 o ar está mais desordenado depois que se expande para o reci piente inteiro do que quando estava contido somente em um dos lados do recipiente do mesmo modo suas roupas ficam mais desordenadas quando estão espalhadas no chão de seu quarto do que quando estavam arrumadas no interior do armário analogamente a energia cinética macroscópica é a energia associada ao mo vimento organizado e coordenado de muitas moléculas porém a transferência de calor envolve variações de energia do estado aleatório ou movimento molecular desordenado Logo a conversão de energia mecânica em calor envolve aumento de desordem ou aleatoriedade do sistema Nas seções seguintes apresentaremos a segunda lei da termodinâmica conside rando duas grandes classes de dispositivo as máquinas térmicas que convertem trabalho em calor com êxito parcial e os refrigeradores que transportam o calor de um corpo frio para um corpo mais quente com êxito parcial TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 201 a sua mão direita e a sua mão esquerda normalmente estão à mesma temperatura exatamente como a caixa de metal e o gelo na figura 201b Esfregar as mãos uma na outra para aquecêlas é i um processo reversível ou ii um processo irreversível 202 máQUINAs TérmICAs a essência de nossa sociedade tecnológica é a capacidade de utilizar fontes de energia além da mera força muscular algumas vezes a energia mecânica está dis ponível diretamente a força da água e do vento são exemplos disso Mas a maior parte de nossa energia vem da queima de combustíveis fósseis carvão petróleo e gás e de reações nucleares Elas fornecem a energia que é transferida como calor usado diretamente no aquecimento de edifícios para cozinhar e em processos químicos contudo para impulsionar um veículo ou para fazer qualquer máquina funcionar necessitamos de energia mecânica assim é importante saber como obter calor de uma fonte e converter a maior parcela possível desse calor em energia mecânica ou trabalho isso é o que ocorre nos motores a gasolina de automóveis em um motor a jato de um avião na turbina a vapor de uma usina termelétrica e em muitos outros sistemas Processos relacio nados a esses ocorrem no reino animal a energia do alimento é queimada ou seja os carboidratos se combinam com o oxigênio e a reação produz água dióxido de carbono e energia e parcialmente convertida em energia mecânica quando o músculo de um animal realiza trabalho sobre o ambiente Qualquer dispositivo que transforma calor parcialmente em trabalho ou em energia mecânica denominase máquina térmica Figura 202 Geralmente uma quantidade de matéria no interior da máquina recebe ou rejeita calor se expande e se comprime e algumas vezes sofre transições de fase Essa matéria é chamada de substância de trabalho da máquina Em máquinas de combustão interna como as usadas em automóveis a substância de trabalho é a mistura de combustível com ar na turbina a vapor a substância de trabalho é a água o tipo mais simples de máquina que vamos analisar é aquela cuja substância de trabalho sofre um processo cíclico uma sequência de processos que ao final reconduzem a substância a seu estado inicial Em uma turbina a vapor a água é reciclada e usada indefinidamente a máquina de combustão interna não usa sempre o mesmo ar ainda assim podemos analisar esse tipo de máquina em termos do processo cíclico aproximadamente igual à operação real reservatório quente e reservatório frio todas as máquinas térmicas absorvem calor de uma fonte a temperaturas relati vamente altas realizam algum trabalho mecânico e descartam ou rejeitam algum Figura 202 todos os veículos motorizados que não sejam puramente elétricos utilizam máquinas térmicas para a propulsão veículos híbridos usam seu motor de combustão interna para ajudar a carregar as baterias para o motor elétrico BookSEARSVol2indb 313 021015 153 PM 314 Física II calor a uma temperatura mais baixa Do ponto de vista da máquina o calor rejeitado é desperdiçado No motor de combustão interna o calor desperdiçado é o liberado nos gases quentes de exaustão e no sistema de resfriamento em uma turbina a vapor é o calor que precisa ser transferido a partir do vapor usado para condensar e reciclar a água Quando um sistema executa um processo cíclico sua energia interna inicial é igual à energia interna final de modo que a primeira lei da termodinâmica exige que U2 U1 0 Q W logo Q W ou seja o calor total que flui para o interior da máquina durante o ciclo é igual ao trabalho líquido realizado pela máquina Quando analisamos máquinas térmicas é útil pensar em dois corpos que podem interagir com a substância de trabalho um deles denominado reservatório quente representa a fonte de calor ele pode fornecer à substância de trabalho grandes quan tidades de calor a uma temperatura constante Th sem alterar significativamente sua própria temperatura o outro corpo chamado de reservatório frio pode absorver grandes quantidades do calor rejeitado pela máquina a uma temperatura constante Tc Em uma turbina a vapor as chamas e os gases quentes na caldeira constituem o reservatório quente e a água fria e o ar empregados para condensar e resfriar o vapor usado constituem o reservatório frio vamos designar por Qh o calor transferido para o reservatório quente e por Qc o calor transferido para o reservatório frio o calor Q é positivo quando transferido para o interior da substância de trabalho e negativo quando deixa a substância de trabalho Logo em uma máquina térmica Qh é positivo mas Qc é negativo porque representa um calor que sai da substância de trabalho Essa convenção de sinais é coerente com as regras que formulamos na seção 191 continuaremos a usar aquelas regras aqui Geralmente as relações tornamse mais claras quando as escrevemos em termos dos valores absolutos de Q e W pois valores absolutos são sempre positivos diagramas do fluxo de energia e da eficiência Podemos representar as transformações de energia em uma máquina térmica usando um diagrama do fluxo de energia como mostra a Figura 203 a máquina é indicada pelo círculo a quantidade de calor Qh fornecida para a máquina pela fonte quente é proporcional à largura do tubo que entra na máquina na parte superior do diagrama a largura do tubo na saída da máquina na parte inferior é proporcional ao módulo Qc do calor rejeitado na etapa de exaustão o ramo que sai da máquina pelo lado direito representa a parcela do calor fornecido que a máquina converte em trabalho mecânico W Quando uma máquina térmica repete indefinidamente o mesmo ciclo Qh e Qc representam respectivamente o calor absorvido e o calor rejeitado pela máquina durante um ciclo Qh é positivo e Qc é negativo o calor total Q absorvido por ciclo é Q Qh Qc Qh Qc 201 a saída útil da máquina é o trabalho líquido W realizado pela substância de trabalho De acordo com a primeira lei W Q Qh Qc Qh Qc 202 idealmente gostaríamos que todo o calor Qh fosse convertido em trabalho nesse caso teríamos Qh W e Qc 0 a experiência mostra que isso é impossí Figura 203 Diagrama esquemático do fluxo de energia de uma máquina térmica Reservatório frio à temperatura TC W QH QC 0QH0 0QC0 0QC0 Reservatório quente à temperatura TH Máquina W QH BookSEARSVol2indb 314 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 315 vel sempre existe um calor desperdiçado e Qc nunca é igual a zero a definição de eficiência térmica de uma máquina designada pela letra e é dada pela razão e W QH 203 a eficiência térmica e representa a fração do calor Qh que é convertida em trabalho Em outras palavras e é o que você recebe dividido pelo que você pagou Esse valor é sempre menor que um como costuma acontecer Em termos do dia grama de fluxo apresentado na figura 203 a máquina mais eficiente é aquela na qual o tubo que representa o trabalho realizado é o mais largo possível e o tubo da exaustão que representa o calor rejeitado é o mais estreito possível Quando substituímos as duas expressões de W fornecidas pela Equação 202 na Equação 203 obtemos as seguintes expressões equivalentes para a eficiência e 204 Trabalho realizado pela máquina Calor rejeitado pela máquina Calor absorvido pela máquina Efciência térmica de uma máquina e 1 1 QH W QH QC QH QC Note que e é o quociente entre duas energias e portanto é um número puro sem unidades Naturalmente sempre é necessário usar as mesmas unidades para W Qh e Qc ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 201 MÁQUINAS TÉRMICAS Problemas envolvendo máquinas térmicas são acima de tudo problemas sobre a primeira lei da termodinâmica assim suge rimos que você releia a Estratégia para a solução de problemas 191 seção 194 iDENTiFiCAr os conceitos relevantes uma máquina térmica é qualquer dispositivo que converta calor parcialmente em tra balho como mostra o esquema da figura 203 veremos na seção 204 que um refrigerador é essencialmente uma má quina térmica funcionando ao contrário então muitas das mesmas ideias aqui discutidas aplicamse a ele também PrEPArAr o problema como sugerido na Estratégia para a solução de problemas 191 use a Equação 204 se a eficiên cia térmica da máquina for relevante Desenhe um diagrama do fluxo de energia como o da figura 203 ExECuTAr a solução da seguinte forma 1 tome muito cuidado com a convenção de sinais de W e Q W é positivo quando o sistema se expande e realiza trabalho e negativo quando o sistema é comprimido e o trabalho é realizado sobre ele o valor de Q é positivo quando o calor entra no sistema e negativo quando representa o calor que sai do sistema Quando você verifica que uma grandeza é negativa como Qc na discussão anterior algumas vezes é conveniente escrevêla como Qc Qc 2 a potência é o trabalho por unidade de tempo P Wt e a taxa de transferência de calor fluxo de calor H é o calor transferido por unidade de tempo H Qt algumas vezes ajuda perguntar Qual é o valor de W ou de Q em um se gundo ou em uma hora 3 seguindo os passos 1 e 2 anteriores identifique as variá veisalvo do problema AVAliAr sua resposta use a primeira lei da termodinâmica para verificar seus resultados prestando especial atenção aos sinais algébricos BIo Aplicação Eficiência biológica Embora um organismo biológico não seja uma máquina térmica o conceito de eficiência ainda pode ser aplicado Aqui e é a razão do trabalho realizado pela energia usada para realizar esse trabalho Para se exercitar em uma bicicleta ergométrica primeiro seu corpo precisa converter a energia da cadeia química da glicose em energia da cadeia química da ATP adenosina trifosfato depois converter a energia das ATP em movimento dos músculos da perna e finalmente converter o movimento muscular em movimento dos pedais A eficiência geral desse processo inteiro é de apenas cerca de 25 Os 75 restantes da energia liberada da glicose vão para o aquecimento do seu corpo o motor a gasolina de um caminhão grande consome 10000 J de calor e realiza 2000 J de trabalho mecânico em cada ciclo o calor é obtido pela queima de gasolina com calor de combustão Lc 50 104 Jg a Qual é a eficiência térmica dessa má quina b Qual é a quantidade de calor rejeitada em cada ciclo c se o motor completa 25 ciclos por segundo qual é a potência fornecida em watts E em hp d Qual a quantidade de gasolina queimada em cada ciclo e Qual a quantidade de gasolina quei mada por segundo E por hora soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este é um problema sobre uma máquina térmica então podemos usar as ideias discutidas nesta seção a Figura 204 é nosso esboço do diagrama de fluxo de energia em um ciclo da máquina o problema informa a quanti dade de trabalho realizada pela máquina por ciclo W 2000 J e a quantidade de calor recebida pela máquina por ciclo Qh 10000 J usamos então a Equação 204 na forma e WQh para encontrar a eficiência térmica usamos a Equação 202 para ExEmPlo 201 ANALISANDO UMA MÁQUINA TÉRMICA Continua BookSEARSVol2indb 315 021015 153 PM 316 Física II TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 202 coloque as seguintes máquinas térmicas em ordem da mais alta à mais baixa eficiência térmica i uma máquina que absorve 5000 J de calor e rejeita 4500 J de calor em um ciclo ii uma máquina que absorve 25000 J de calor e realiza 2000 J de trabalho em um ciclo iii uma máquina que realiza 400 J de trabalho e rejeita 2800 J de calor em um ciclo 203 máQUINAs dE ComBUsTÃo INTErNA o motor a gasolina usado em automóveis e em muitas outras máquinas é um exemplo familiar de máquina térmica vamos analisar sua eficiência térmica a Figura 205 mostra a operação de um tipo de motor a gasolina inicialmente uma mistura de ar e vapor de gasolina flui para o interior de um cilindro através da abertura de uma válvula de admissão enquanto o pistão desce fazendo o vo lume do cilindro aumentar de um valor mínimo V quando o pistão está em seu curso superior até um volume máximo rV quando o pistão está em seu curso inferior a quantidade r denominase razão de compressão nos automóveis modernos essa razão apresenta valores da ordem de 8 a 10 No final desse tempo de admissão a válvula de admissão se fecha e a mistura passa a ser comprimida de modo aproximadamente adiabático até atingir o volume V durante o tempo de compressão a seguir a mistura sofre ignição causada por uma centelha e o gás se expande de modo aproximadamente adiabático voltando ao volume rV empurrando o pistão e realizando trabalho essa etapa é o tempo motor ou tempo de potência finalmente a válvula de exaustão se abre e os produtos da combustão são empurrados para fora durante o tempo de exaustão deixando o cilindro livre para o próximo tempo de admissão Figura 205 ciclo de um motor de combustão interna com quatro tempos Ambas as válvulas fechadas Válvula de exaustão fechada Válvula de admissão aberta Válvula de exaustão aberta Válvula de admissão fechada Pistão Biela Cilindro Centelha da vela Eixo de manivela Tempo de admissão o pistão movese para baixo produzindo um vácuo parcial no cilindro a mistura de ar e gasolina entra através da válvula de admissão 1 Tempo motor a mistura quente empurra o pistão para baixo 4 Tempo de exaustão a válvula de exaustão abrese e o pistão se move para cima empurrando a mistura queimada para fora do cilindro depois o ciclo se repete 5 Tempo de compressão a válvula de admissão se fecha e a mistura é comprimida à medida que o pistão sobe 2 Ignição a centelha da vela produz ignição da mistura 3 descobrir a quantidade de calor Qc rejeitada por ciclo o calor de combustão nos diz quanta gasolina é preciso queimar por ciclo e portanto por unidade de tempo a potência de saída é a taxa do tempo em que o trabalho W é realizado EXECUTAR a pela primeira expressão na Equação 204 a efi ciência térmica é e W QH 2000 J 10000 J 020 20 b Pela Equação 202 W Qh Qc portanto Qc W Qh 2000 J 10000 J 8000 J ou seja 8000 J de calor deixam a máquina durante cada ciclo c a potência P é igual ao trabalho por ciclo multiplicado pelo número de ciclos por segundo P 12000 Jciclo2 125 cicloss2 50000 W 50 kW 150000 W2 1 hp 746 W 67 hp d seja m a massa da gasolina queimada durante cada ciclo Então Qh mLc e m QH Lc 10000 J 50 104 Jg 020 g e a massa de gasolina queimada por segundo é a massa por ciclo multiplicada pelo número de ciclos por segundo 020 gciclo 25 cicloss 50 gs a massa queimada por hora é 150 gs2 3600 s 1h 18000 gh 18 kgh AVALIAR uma eficiência de 20 é bastante comum para auto móveis e caminhões se W incluir somente o trabalho entregue às rodas Podemos verificar a massa queimada por hora expres sandoa em uma grandeza mais familiar como quilômetros por litro a densidade da gasolina é aproximadamente 070 gcm3 o que equivale a 25700 cm3 ou 257 L de gasolina por hora caso o caminhão esteja se deslocando a 88 kmh isso representa um consumo de combustível da ordem de 34 kmL Esse consumo é substancialmente maior que o de um carro de passeio mas normal para grandes caminhões Figura 204 Esboço deste problema QH 10000 J QC W 2000 J TH TC Continuação BookSEARSVol2indb 316 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 317 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 202 coloque as seguintes máquinas térmicas em ordem da mais alta à mais baixa eficiência térmica i uma máquina que absorve 5000 J de calor e rejeita 4500 J de calor em um ciclo ii uma máquina que absorve 25000 J de calor e realiza 2000 J de trabalho em um ciclo iii uma máquina que realiza 400 J de trabalho e rejeita 2800 J de calor em um ciclo 203 máQUINAs dE ComBUsTÃo INTErNA o motor a gasolina usado em automóveis e em muitas outras máquinas é um exemplo familiar de máquina térmica vamos analisar sua eficiência térmica a Figura 205 mostra a operação de um tipo de motor a gasolina inicialmente uma mistura de ar e vapor de gasolina flui para o interior de um cilindro através da abertura de uma válvula de admissão enquanto o pistão desce fazendo o vo lume do cilindro aumentar de um valor mínimo V quando o pistão está em seu curso superior até um volume máximo rV quando o pistão está em seu curso inferior a quantidade r denominase razão de compressão nos automóveis modernos essa razão apresenta valores da ordem de 8 a 10 No final desse tempo de admissão a válvula de admissão se fecha e a mistura passa a ser comprimida de modo aproximadamente adiabático até atingir o volume V durante o tempo de compressão a seguir a mistura sofre ignição causada por uma centelha e o gás se expande de modo aproximadamente adiabático voltando ao volume rV empurrando o pistão e realizando trabalho essa etapa é o tempo motor ou tempo de potência finalmente a válvula de exaustão se abre e os produtos da combustão são empurrados para fora durante o tempo de exaustão deixando o cilindro livre para o próximo tempo de admissão Figura 205 ciclo de um motor de combustão interna com quatro tempos Ambas as válvulas fechadas Válvula de exaustão fechada Válvula de admissão aberta Válvula de exaustão aberta Válvula de admissão fechada Pistão Biela Cilindro Centelha da vela Eixo de manivela Tempo de admissão o pistão movese para baixo produzindo um vácuo parcial no cilindro a mistura de ar e gasolina entra através da válvula de admissão 1 Tempo motor a mistura quente empurra o pistão para baixo 4 Tempo de exaustão a válvula de exaustão abrese e o pistão se move para cima empurrando a mistura queimada para fora do cilindro depois o ciclo se repete 5 Tempo de compressão a válvula de admissão se fecha e a mistura é comprimida à medida que o pistão sobe 2 Ignição a centelha da vela produz ignição da mistura 3 Ciclo de otto a Figura 206 é um diagrama PV de um modelo idealizado dos processos ter modinâmicos que ocorrem em um motor a gasolina Esse modelo é chamado de ciclo de Otto a mistura de ar e gasolina entra no ciclo no ponto a a mistura é comprimida adiabaticamente até o ponto b e a seguir sofre ignição o calor Qh é fornecido ao sistema pela queima de gasolina ao longo da linha bc e o tempo no qual o trabalho é realizado é a expansão adiabática até o ponto d o gás é resfriado até a temperatura do ar externo ao longo da linha da durante esse processo o ca lor Qc é rejeitado Esse gás deixa a máquina como gás de exaustão e não retorna para o sistema Porém como uma quantidade equivalente de ar e gasolina entra no sistema podemos considerar o processo cíclico Podemos calcular a eficiência desse ciclo ideal os processos bc e da ocorrem a volume constante de modo que os calores Qh e Qc relacionamse de modo simples com as temperaturas nos pontos a b c e d Qh nCVTc Tb 0 Qc nCVTa Td 0 a eficiência térmica é dada pela Equação 204 substituindo a expressão anterior e cancelando o fator comum nCV obtemos e QH QC QH Tc Tb Ta Td Tc Tb 205 Para simplificar ainda mais essa expressão podemos usar a relação entre a tem peratura e o volume para um processo adiabático de um gás ideal Equação 1922 Para os dois processos adiabáticos ab e cd achamos TarVg1 TbV g1 e TdrVg1 TcVg1 onde g é a razão dos calores específicos para o gás no motor ver seção 197 Di vidimos cada uma das expressões anteriores pelo fator comum Vg1 e substituímos as relações obtidas para Tb e Tc na Equação 205 o resultado é Figura 206 Diagrama PV de um ciclo de otto modelo do ciclo idealizado dos processos termodinâmicos em um motor a gasolina 1 Compressão adiabática tempo de compressão 4 Resfriamento a volume constante resfriamento dos gases de exaustão 2 Aquecimento a volume constante combustão 3 Expansão adiabática tempo motor P V O QH c b d 0QC0 V rV W a Ciclo de Otto BookSEARSVol2indb 317 021015 153 PM 318 Física II e Td rg 1 Ta rg 1 Ta Td Td rg 1 Ta rg 1 1Td Ta2 1rg 1 12 1Td Ta2 rg 1 Eliminando o fator comum Td Ta encontramos 206 Razão de compressão Razão dos calores específcos Efciência térmica no ciclo de Otto e 1 rg 1 1 a eficiência térmica dada pela Equação 206 é sempre menor que a unidade mesmo no caso de um modelo idealizado considerando r 8 e g 14 o valor para o ar a eficiência teórica é e 056 ou 56 a eficiência pode aumentar elevandose o valor de r contudo isso também faz aumentar a temperatura no final do processo adiabático da compressão da mistura arcombustível Quando a temperatura é muito elevada a mistura pode explodir espontaneamente durante a compressão em vez de quando a centelha da vela produz a ignição Esse fenô meno que se chama préignição ou detonação produz um forte som de pancada e pode danificar o motor a taxa de octanagem da gasolina mede suas qualidades antidetonantes a razão de compressão prática máxima da gasolina de octanagem elevada ou premium é de aproximadamente 10 a 13 o ciclo de otto que acabamos de descrever é um modelo altamente idealizado Ele supõe que a mistura se comporte como um gás ideal despreza o atrito a tur bulência a perda de calor para as paredes do cilindro e muitos outros efeitos que se combinam para reduzir a eficiência da máquina real as eficiências dos motores de gasolina reais são tipicamente da ordem de 35 Ciclo diesel o ciclo do motor a diesel é semelhante ao do motor a gasolina a diferença mais importante é que não existe combustível no cilindro no início do tempo de compres são um pouco antes do início do tempo de potência os injetores começam a injetar o combustível diretamente no cilindro com velocidade suficiente para manter a pressão constante durante a primeira parte do tempo de potência Em virtude da elevada temperatura resultante da compressão adiabática o combustível explode espontaneamente ao ser injetado não é necessário usar nenhuma vela de ignição o ciclo diesel idealizado é representado na Figura 207 começando no ponto a o ar é comprimido adiabaticamente até o ponto b aquecido à pressão constante até o ponto c expandido adiabaticamente até o ponto d e resfriado a volume constante até o ponto a como não existe nenhum combustível no cilindro durante a maior parte do tempo de compressão não pode ocorrer préignição logo a razão de com pressão r pode ser muito maior que a de um motor a gasolina isso faz a eficiência aumentar e garante uma ignição confiável quando o combustível é injetado por causa da temperatura elevada atingida durante a compressão adiabática valores de r em torno de 15 a 20 são normais com esses valores e com g 14 a eficiência teórica de um ciclo diesel idealizado é cerca de 065 até 070 Do mesmo modo que no ciclo de otto a eficiência real é bem menor que essa Embora os motores a diesel sejam bastante eficientes eles precisam ser construídos com uma precisão muito maior que os motores a gasolina e seu sistema de injeção de combustível exige manutenção rigorosa TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 203 Em um motor de ciclo de otto com ci lindros de um tamanho fixo e uma razão de compressão fixa quais dos seguintes aspectos do diagrama PV da figura 206 mudariam se você dobrasse a quantidade de combustível queimada por ciclo Pode haver mais de uma resposta correta i a distância vertical entre os pontos b e c ii a distância vertical entre os pontos a e d iii a distância horizon tal entre os pontos b e a Figura 207 Diagrama PV de um ciclo diesel ideal 1 Compressão adiabática tempo de compressão 4 Resfriamento a volume constante resfriamento dos gases de exaustão 2 Ignição do combustível aquecimento a pressão constante combustão Essa é uma diferença importante entre os ciclos diesel e de Otto 3 Expansão adiabática tempo motor c P QH b d a V O V rV W 0QC0 Ciclo diesel BookSEARSVol2indb 318 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 319 204 rEFrIgErAdorEs Podemos dizer que um refrigerador é uma máquina térmica funcionando com um ciclo invertido uma máquina térmica recebe calor de uma fonte quente e o rejeita para um local mais frio um refrigerador faz exatamente o contrário recebe calor de uma fonte fria a parte interna do refrigerador e o transfere para uma fonte quente geralmente o ar externo no local onde o refrigerador se en contra a máquina térmica fornece um trabalho mecânico líquido o refrigerador precisa receber um trabalho mecânico líquido usando as convenções de sinais da seção 202 Qc é positivo para um refrigerador porém W e Qh são negativos logo W W e Qh Qh a Figura 208 mostra um diagrama do fluxo de energia de um refrigerador De acordo com a primeira lei da termodinâmica em um processo cíclico Qh Qc W 0 ou Qh Qc W porém como Qh e W são negativos Qh Qc W 207 Logo como o diagrama mostra o calor Qh que deixa a substância de trabalho e se transfere para o reservatório quente é sempre maior que o calor Qc retirado do reservatório frio observe que a seguinte relação envolvendo os valores absolutos Qh Qc W 208 é válida tanto no caso da máquina térmica quanto no do refrigerador De um ponto de vista econômico o melhor ciclo de refrigeração é aquele que remove a maior quantidade de calor Qc do interior do refrigerador para o menor trabalho realizado W a razão relevante é portanto QcW quanto maior for essa razão melhor será o refrigerador Essa razão é chamada de coeficiente de desempenho designado por K De acordo com a Equação 208 W Qh Qc obtemos 209 Entrada de trabalho do refrigerador Calor rejeitado para o ar externo Calor removido de dentro do refrigerador Coefciente de desempenho de um refrigerador K 0W0 0QC0 0QH0 0QC0 0QC0 como sempre medimos Qh Qc e W com as mesmas unidades de energia logo K é um número puro sem dimensões refrigeradores comuns os princípios envolvidos em um ciclo de refrigeração típico são indicados esque maticamente na Figura 209a o circuito do fluido contém um fluido refrigerante a substância de trabalho o lado esquerdo do circuito inclusive as serpentinas de resfriamento no interior do refrigerador está a uma baixa temperatura e a uma baixa pressão o lado direito inclusive as serpentinas do condensador fora do refrigerador está a temperatura e pressão elevadas Geralmente os dois lados contêm líquido e vapor em equilíbrio térmico Em cada ciclo o fluido absorve calor Qc do interior do refrigerador no lado esquerdo e libera calor Qh para o ar nas vizinhanças do lado direito o compressor geralmente acionado por um Figura 208 Diagrama esquemático do fluxo de energia de um refrigerador Interior do refrigerador à temperatura TC Ar externo à temperatura TH Refrigerador 0QH0 0W0 QC BookSEARSVol2indb 319 021015 153 PM 320 Física II motor elétrico figura 209b realiza um trabalho W sobre o fluido em cada ciclo assim o compressor requer entrada de energia motivo pelo qual os refrigeradores precisam estar ligados na tomada um aparelho de arcondicionado opera exatamente com base no mesmo prin cípio Nesse caso a caixa do refrigerador é uma sala ou um edifício inteiro as serpentinas do evaporador estão no interior da sala o condensador está fora da casa e os ventiladores fazem o ar circular Figura 2010 Em instalações grandes as serpentinas do condensador geralmente são resfriadas com água as grandezas de maior importância prática em um aparelho de arcondicionado são a taxa de remo ção do calor a taxa de transferência de calor H da região que está sendo resfriada e a potência de entrada P Wt fornecida ao compressor se uma quantidade de calor Qc for removida no tempo t então H Qct Podemos então expressar o coeficiente de desempenho do seguinte modo K 0 QC0 0 W0 Ht Pt H P Figura 2010 um aparelho de arcondicionado funciona conforme os mesmos princípios de um refrigerador Ar quente Condensador Válvula de expansão Ar quente do lado externo Compressor Evaporador Ar quente e úmido Ventoinha Ar frio Ventilador Figura 209 a Diagrama do princípio de funcionamento do ciclo de um refrigerador b como os elementoschave são dispostos em um refrigerador comum Evaporador Válvula de expansão Condensador Compressor Baixa pressão b a Alta pressão FRIO QUENTE Válvula de expansão Compressor Evaporador Condensador Interior do refrigerador O compressor toma o fuido refrigerante realiza trabalho W sobre o fuido para comprimilo adiabaticamente e entrega o fuido à serpentina do condensador 1 1 O fuido expandese adiabaticamente através da válvula de expansão 3 3 Após a expansão o fuido no evaporador está com uma temperatura menor que o interior do refrigerador Assim o fuido absorve calor QC resfriando o conteúdo do refrigerador O fuido evaporase parcialmente em vapor 4 4 O fuido retorna do compressor e outro ciclo se inicia 5 5 O fuido comprimido no condensador está em temperatura mais alta que o ar externo de modo que gera calor QH para o ar O fuido condensase parcialmente para líquido 2 2 BookSEARSVol2indb 320 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 321 aparelhos de arcondicionado normais costumam ter taxas de remoção de calor H da ordem de 1500 até 3000 w e requerem potência elétrica fornecida na entrada entre cerca de 600 até 1200 w um coeficiente de desempenho médio é da ordem de 3 os valores reais dependem dos valores das temperaturas interna e externa uma variação do tema anterior é a chamada bomba de calor usada para aquecer um edifício resfriando o ar de seu exterior Ela funciona como se fosse um aparelho de arcondicionado montado de fora para dentro as serpentinas do evaporador estão do lado de fora do edifício de onde retiram calor do ar frio e as serpentinas do condensador estão no interior do edifício onde fornecem calor para aquecer o ar com o projeto apropriado o calor Qh fornecido ao interior por ciclo pode ser consideravelmente maior que o trabalho W necessário para fazêlo fluir ao interior Sempre é preciso realizar um trabalho para transferir calor de um corpo frio para um corpo quente o calor flui espontaneamente de um corpo quente para um corpo mais frio e o fluxo inverso necessita de um trabalho externo a experiência mostra que é impossível fazer um refrigerador que transporte calor de um corpo frio para um corpo quente sem realização de trabalho caso nenhum trabalho fosse necessário o coeficiente de desempenho seria infinito tal dispositivo poderia ser chamado de refrigerador sem trabalho tratase de um mito como o unicórnio ou a máquina de movimento perpétuo motocontínuo TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 204 você consegue resfriar sua casa dei xando a porta do refrigerador aberta 205 sEgUNdA LEI dA TErmodINâmICA Evidências experimentais sugerem fortemente que é impossível construir uma máquina térmica que converta completamente calor em trabalho ou seja uma máquina que possua eficiência térmica de 100 Essa impossibilidade é a base para a seguinte formulação da segunda lei da termodinâmica É impossível para qualquer sistema passar por um processo no qual absorve calor de um reservatório a uma dada temperatura e o converte completa mente em trabalho mecânico de modo que o sistema termine em um estado idêntico ao inicial tratase do chamado enunciado da máquina térmica da segunda lei também conhecido pelos físicos como o enunciado de KelvinPlanck para essa lei a base da segunda lei da termodinâmica repousa na diferença entre a natureza da energia interna e a energia mecânica macroscópica Em um corpo que se move as moléculas apresentam movimentos aleatórios porém superposto ao movimento aleatório existe um movimento coordenado de cada molécula no sentido da velo cidade do corpo a energia cinética associada ao movimento macroscópico coor denado é o que chamamos de energia cinética do corpo que se move as energias cinéticas e potenciais associadas ao movimento aleatório das moléculas são res ponsáveis pela energia interna Quando um corpo deslizando sobre uma superfície atinge o repouso em decor rência do atrito o movimento organizado do corpo é convertido em movimento aleatório das moléculas do corpo e da superfície como não podemos controlar o movimento individual de cada molécula é impossível converter completamente esse movimento aleatório outra vez em movimento organizado Podemos apenas converter uma parte do movimento aleatório e isso é justamente o que a máquina térmica faz se a segunda lei da termodinâmica não fosse verdadeira poderíamos fazer um automóvel se deslocar ou colocar uma usina termoelétrica em funcionamento ape nas resfriando o ar ambiente Nenhuma dessas duas possibilidades viola a primeira BookSEARSVol2indb 321 021015 153 PM 322 Física II lei da termodinâmica a segunda lei portanto não é deduzida a partir da primeira sustentase por si própria como uma lei independente na natureza a primeira lei nega a possibilidade de criação ou destruição da energia a segunda limita a dispo nibilidade da energia e seus modos de uso e conversão Um novo enunciado para a segunda lei Nossa análise dos refrigeradores na seção 204 constitui a base para uma formu lação alternativa da segunda lei da termodinâmica o calor flui espontaneamente de um corpo quente para corpos mais frios mas o inverso jamais ocorre um refrigerador retira calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente porém sua operação necessita do fornecimento de trabalho ou de energia mecânica Ge neralizando essas observações dizemos que É impossível a realização de qualquer processo que tenha como única etapa a transferência de calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente tratase do chamado enunciado do refrigerador da segunda lei da termodi nâmica também conhecido como enunciado de Clausius Pode parecer que esse enunciado não tem muita relação com o enunciado da máquina térmica contudo os dois enunciados são completamente equivalentes Por exemplo se pudéssemos construir um refrigerador sem usar trabalho violando o enunciado do refrigerador da segunda lei poderíamos usálo em conjunto com uma máquina térmica bom beando o calor rejeitado pela máquina e fazendoo retornar ao reservatório quente para ser reutilizado Essa máquina composta Figura 2011a violaria o enunciado da máquina térmica da segunda lei porque seu efeito resultante seria retirar uma quantidade líquida de calor Qh Qc do reservatório quente e convertêla completamente em trabalho W alternativamente se pudéssemos fazer uma máquina com uma eficiência tér mica de 100 violando o primeiro enunciado poderíamos operar a máquina usando calor de um reservatório quente e aproveitar o trabalho obtido na saída da máquina para fazer funcionar um refrigerador que bombeasse calor de um reserva tório frio para um reservatório quente figura 2011b Esse dispositivo composto violaria o enunciado do refrigerador porque seu efeito resultante seria retirar calor Qc de um reservatório frio e transferilo para um reservatório quente sem que fosse necessário algum consumo de trabalho Portanto qualquer dispositivo que viole um enunciado da segunda lei pode ser usado para construir um dispositivo que viola o outro se a violação do primeiro enunciado for impossível também será impossível a violação do segundo a conversão de trabalho em calor e o fluxo de calor de um corpo quente para um corpo frio por meio um gradiente de temperatura finito são processos irreversíveis os enunciados da máquina e do refrigerador da segunda lei da termodinâmica afirmam que esses processos só podem ser parcialmente reversíveis Podemos citar outros exemplos os gases fluem naturalmente de uma região com alta pressão até outra com baixa pressão os gases e os líquidos miscíveis sempre se misturam espontaneamente e nunca se separam a segunda lei da termodinâmica é uma expressão da existência de um sentido único intrínseco para esses e muitos outros processos irreversíveis a conversão da energia é um aspecto essencial de toda a vida animal e vegetal e da tecnologia humana logo a segunda lei da termodinâmica é de importância fundamental no mundo em que vivemos TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 205 uma máquina com eficiência de 100 figura 2011a violaria a primeira lei da termodinâmica E um refrigerador que funcio nasse sem trabalho figura 2011b Figura 2011 Diagrama esquemático do fluxo de energia para enunciados equivalentes da segunda lei da termodinâmica Refrigerador sem trabalho Máquina a O enunciado da máquina da segunda lei da termodinâmica QC TC QH TH 0QC0 W Impossível Máquina com efciência de 100 TC QH 0QC0 TH W Impossível é equivalente a Refrigerador Q Máquina com 100 de efciência b O enunciado do refrigerador da segunda lei da termodinâmica Refrigerador sem trabalho QC TH TC Impossível Impossível é equivalente a Se existisse um refrigerador que não precisasse de trabalho ele poderia ser usado com uma máquina comum para formar um dispositivo com 100 de efciência convertendo o calor QH QC completamente em trabalho Se uma máquina com efciência de 100 fosse possível ela poderia ser usada com um refrigerador comum para formar um refrigerador que não precisa de trabalho transferindo o calor QC de um reservatório frio para um reservatório quente sem precisar de nenhum trabalho realizado sobre o sistema TH 0W0 TC QC 0QC0 0QC0 0QH0 BookSEARSVol2indb 322 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 323 lei da termodinâmica a segunda lei portanto não é deduzida a partir da primeira sustentase por si própria como uma lei independente na natureza a primeira lei nega a possibilidade de criação ou destruição da energia a segunda limita a dispo nibilidade da energia e seus modos de uso e conversão Um novo enunciado para a segunda lei Nossa análise dos refrigeradores na seção 204 constitui a base para uma formu lação alternativa da segunda lei da termodinâmica o calor flui espontaneamente de um corpo quente para corpos mais frios mas o inverso jamais ocorre um refrigerador retira calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente porém sua operação necessita do fornecimento de trabalho ou de energia mecânica Ge neralizando essas observações dizemos que É impossível a realização de qualquer processo que tenha como única etapa a transferência de calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente tratase do chamado enunciado do refrigerador da segunda lei da termodi nâmica também conhecido como enunciado de Clausius Pode parecer que esse enunciado não tem muita relação com o enunciado da máquina térmica contudo os dois enunciados são completamente equivalentes Por exemplo se pudéssemos construir um refrigerador sem usar trabalho violando o enunciado do refrigerador da segunda lei poderíamos usálo em conjunto com uma máquina térmica bom beando o calor rejeitado pela máquina e fazendoo retornar ao reservatório quente para ser reutilizado Essa máquina composta Figura 2011a violaria o enunciado da máquina térmica da segunda lei porque seu efeito resultante seria retirar uma quantidade líquida de calor Qh Qc do reservatório quente e convertêla completamente em trabalho W alternativamente se pudéssemos fazer uma máquina com uma eficiência tér mica de 100 violando o primeiro enunciado poderíamos operar a máquina usando calor de um reservatório quente e aproveitar o trabalho obtido na saída da máquina para fazer funcionar um refrigerador que bombeasse calor de um reserva tório frio para um reservatório quente figura 2011b Esse dispositivo composto violaria o enunciado do refrigerador porque seu efeito resultante seria retirar calor Qc de um reservatório frio e transferilo para um reservatório quente sem que fosse necessário algum consumo de trabalho Portanto qualquer dispositivo que viole um enunciado da segunda lei pode ser usado para construir um dispositivo que viola o outro se a violação do primeiro enunciado for impossível também será impossível a violação do segundo a conversão de trabalho em calor e o fluxo de calor de um corpo quente para um corpo frio por meio um gradiente de temperatura finito são processos irreversíveis os enunciados da máquina e do refrigerador da segunda lei da termodinâmica afirmam que esses processos só podem ser parcialmente reversíveis Podemos citar outros exemplos os gases fluem naturalmente de uma região com alta pressão até outra com baixa pressão os gases e os líquidos miscíveis sempre se misturam espontaneamente e nunca se separam a segunda lei da termodinâmica é uma expressão da existência de um sentido único intrínseco para esses e muitos outros processos irreversíveis a conversão da energia é um aspecto essencial de toda a vida animal e vegetal e da tecnologia humana logo a segunda lei da termodinâmica é de importância fundamental no mundo em que vivemos TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 205 uma máquina com eficiência de 100 figura 2011a violaria a primeira lei da termodinâmica E um refrigerador que funcio nasse sem trabalho figura 2011b Figura 2011 Diagrama esquemático do fluxo de energia para enunciados equivalentes da segunda lei da termodinâmica Refrigerador sem trabalho Máquina a O enunciado da máquina da segunda lei da termodinâmica QC TC QH TH 0QC0 W Impossível Máquina com efciência de 100 TC QH 0QC0 TH W Impossível é equivalente a Refrigerador Q Máquina com 100 de efciência b O enunciado do refrigerador da segunda lei da termodinâmica Refrigerador sem trabalho QC TH TC Impossível Impossível é equivalente a Se existisse um refrigerador que não precisasse de trabalho ele poderia ser usado com uma máquina comum para formar um dispositivo com 100 de efciência convertendo o calor QH QC completamente em trabalho Se uma máquina com efciência de 100 fosse possível ela poderia ser usada com um refrigerador comum para formar um refrigerador que não precisa de trabalho transferindo o calor QC de um reservatório frio para um reservatório quente sem precisar de nenhum trabalho realizado sobre o sistema TH 0W0 TC QC 0QC0 0QC0 0QH0 206 o CICLo dE CArNoT De acordo com a segunda lei nenhuma máquina térmica pode ter 100 de eficiência Qual é a eficiência máxima que uma dada máquina pode ter a partir de dois reservatórios de calor a temperaturas Th e Tc Essa pergunta foi respondida em 1824 pelo engenheiro francês sadi carnot 17961832 que desenvolveu uma máquina hipotética ideal que fornece a eficiência máxima permitida pela segunda lei o ciclo dessa máquina é conhecido como ciclo de Carnot Para compreender o ciclo de carnot voltemos ao tema básico deste capítulo a irreversibilidade e sua relação com o sentido de um processo termodinâmico a conversão de trabalho em calor é um processo irreversível o objetivo da máquina térmica é obter uma reversão parcial desse processo ou seja a conversão de calor em trabalho com a maior eficiência possível Para a eficiência máxima de uma má quina térmica portanto devemos evitar todo processo irreversível Figura 2012 o fluxo de calor em uma queda de temperatura finita é um processo irreversí vel Portanto durante a transferência de calor no ciclo de carnot não deve existir nenhuma diferença de temperatura finita Quando a máquina retira calor da fonte quente a uma temperatura Th a substância de trabalho da máquina também deve estar a uma temperatura Th caso contrário ocorreria fluxo de calor irreversível De modo semelhante quando a máquina descarta calor para o reservatório frio a uma temperatura Tc a máquina também deve estar a uma temperatura Tc ou Figura 2012 a temperatura da fornalha de uma máquina a vapor é muito mais alta que a da água na caldeira por isso o calor flui irreversivelmente da fornalha para a água o esforço de carnot para entender a eficiência das máquinas a vapor conduziuo à ideia de que uma máquina ideal envolveria apenas processos reversíveis BookSEARSVol2indb 323 021015 153 PM 324 Física II seja todo processo envolvendo troca de calor a uma temperatura Th ou Tc deve ser isotérmico reciprocamente em qualquer processo no qual a temperatura da substância de trabalho da máquina está entre Th e Tc não pode ocorrer nenhuma transferência de calor entre a máquina e qualquer reservatório porque essa transferência de calor não poderia ser reversível Portanto qualquer processo no qual a temperatura T da substância de trabalho varia deve ser adiabático a conclusão é que todo processo em nosso ciclo idealizado deve ser isotérmico ou adiabático além disso o equilíbrio térmico e mecânico deve ser sempre man tido para que cada processo seja completamente reversível Passos do ciclo de Carnot o ciclo de carnot é constituído por dois processos isotérmicos reversíveis e dois processos adiabáticos reversíveis a Figura 2013 mostra um ciclo de carnot usando como substância de trabalho um gás ideal dentro de um cilindro com um pistão o ciclo consiste nas seguintes etapas 1 o gás se expande isotermicamente na temperatura Th absorvendo um calor Qh ab 2 o gás se expande adiabaticamente até que sua temperatura cai para Tc bc 3 Ele é comprimido isotermicamente na temperatura Tc rejeitando o calor Qc cd 4 Ele é comprimido adiabaticamente retornando a seu estado inicial na tempe ratura Th da Podemos calcular a eficiência térmica e da máquina de carnot no caso especial mostrado na figura 2013 em que a substância de trabalho é um gás ideal Para efetuar esse cálculo inicialmente encontraremos a razão QcQh entre as quantida des de calor transferidas durante os dois processos isotérmicos e a seguir usaremos a Equação 204 para achar e Em um gás ideal a energia interna U depende somente da temperatura e por tanto permanece constante em um processo isotérmico Na expansão isotérmica ab Uab 0 e Qh é igual ao trabalho Wab realizado pelo gás durante sua expan são isotérmica a uma temperatura Th calculamos esse trabalho no Exemplo 191 seção 192 usando aquele resultado obtemos Figura 2013 ciclo de carnot para um gás ideal No diagrama PV as linhas finas azuis são isotermas curvas com temperatura constante e as linhas grossas azuis são curvas adiabáticas curvas com transferência de calor igual a zero V 0QC0 0QC0 P d b W O TH TC QH a QH d S a Compressão adiabática Q 0 W 6 0 a S b Expansão isotérmica Q QH 7 0 W 7 0 b S c Expansão adiabática Q 0 W 7 0 c S d Compressão isotérmica Q QC 6 0 W 6 0 Ciclo de Carnot c 1 2 4 3 BookSEARSVol2indb 324 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 325 QH Wab nRTH ln Vb Va 2010 analogamente QC Wcd nRTC ln Vd Vc nRTC ln Vc Vd 2011 como Vd é menor que Vc Qc é negativo Qc Qc há transferência de calor para fora do gás durante a compressão isotérmica à temperatura Tc a razão entre as duas quantidades de calor é portanto QC QH a TC TH b ln 1VcVd2 ln 1VbVa2 2012 Podemos simplificar o resultado anterior usando a relação entre o volume e a temperatura em um processo adiabático Equação 1922 Para os dois processos adiabáticos encontramos ThVb g1 TcVc g1 e thVa g1 TcVd g1 Dividindo membro a membro as duas equações anteriores achamos Vb g1 Va g1 Vc g1 Vd g1 e Vb Va Vc Vd assim os dois logaritmos na Equação 2012 são iguais e essa equação se reduz a QC QH TC TH ou 0 QC0 0 QH0 TC TH 2013 transferência de calor na máquina de carnot a razão entre o calor rejeitado a uma temperatura Tc e o calor absorvido a uma temperatura Th é precisamente igual a TcTh Logo pela Equação 204 a eficiên cia térmica da máquina de carnot é 2014 Temperatura do reservatório frio Temperatura do reservatório quente Efciência da máquina de Carnot eCarnot 1 TH TC TH TH TC Esse resultado simples afirma que a eficiência de uma máquina de carnot depende apenas das temperaturas dos dois reservatórios a eficiência é grande quando a diferença de temperatura é grande tornandose muito pequena quando as duas temperaturas forem aproximadamente iguais a eficiência nunca pode ser exatamente igual a um a menos que Tc 0 adiante mostraremos que isso também é impossível ATENÇÃo Use a escala Kelvin em todos os cálculos de Carnot Em todos os cálculos envolvendo o ciclo de carnot você deve tomar cuidado e usar sempre temperaturas abso lutas escala Kelvin a razão é que o conjunto formado pelas equações 2010 até 2014 foi deduzido a partir da equação do gás ideal PV nRT em que T é a temperatura absoluta BookSEARSVol2indb 325 021015 153 PM 326 Física II uma certa máquina de carnot absorve 2000 J de calor de um reservatório a 500 K realiza trabalho e descarta calor para um reservatório a 350 K Qual foi o trabalho realizado qual a quan tidade de calor rejeitada e qual a eficiência dessa máquina soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve uma má quina de carnot portanto podemos usar as ideias desta seção assim como os conceitos da seção 202 que se aplicam a má quinas térmicas de todos os tipos a Figura 2014 mostra o diagrama do fluxo de energia para este problema sobre essa máquina de carnot conhecemos a quantidade de calor absorvida Qh 2000 J e as temperaturas Th 500 K e Tc 350 K usamos a Equação 2013 para achar Qc e depois usamos a pri meira lei da termodinâmica dada pela Equação 202 para achar W Encontramos a eficiência e a partir de Tc e Th na Equação 2014 EXECUTAR pela Equação 2013 QC QH TC TH 12000 J2 350 K 500 K 1400 J Então pela Equação 202 o trabalho realizado é W Qh Qc 2000 J 1400 J 600 J Pela Equação 2014 a eficiência térmica é e 1 TC TH 1 350 K 500 K 030 30 AVALIAR o sinal negativo de Qc está correto ele mostra que 1400 J de calor estão saindo da máquina e entrando no reserva tório frio Podemos verificar nosso resultado usando a definição básica de eficiência térmica Equação 203 e W QH 600 J 2000 J 030 30 Figura 2014 Nosso esboço para este problema TH 500 K QH 2000 J TC 350 K W e QC ExEmPlo 202 ANALISANDO UMA MÁQUINA DE CARNOT I suponha que 0200 mol de um gás ideal diatômico g 140 passe por um ciclo de carnot com temperaturas entre 227 c e 27 c começando na pressão inicial Pa 100 105 Pa no ponto a no diagrama PV da figura 2013 o volume dobra du rante a etapa de expansão isotérmica a b a ache a pressão e o volume em cada um dos pontos a b c e d b calcule Q W e U para cada etapa e para o ciclo inteiro c Determine a eficiência diretamente a partir dos resultados da parte b e comparea com o resultado obtido a partir da Equação 2014 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve as proprie dades do ciclo de carnot assim como as propriedades dos gases ideais o problema informa o número de moles n a pressão e a temperatura no ponto a que é a maior entre as temperaturas dos dois reservatórios portanto podemos encontrar o volume em a usando a equação do gás ideal PV nRT Depois calculamos a pressão e o volume nos pontos b c e d a partir da duplicação do volume na etapa a b usando as equações vistas nesta seção e a partir de PV nRT a cada etapa do ciclo usamos as equações 2010 e 2011 para encontrar a transferência de calor e o trabalho realizado e a Equação 1913 para calcular a variação da energia interna EXECUTAR a com Th 227 27315 K 500 K e Tc 27 27315 K 300 K PV nRT resulta em Va nRTH pa 10200 mol2 18314 Jmol K2 1500 K2 100 105 Pa 831 104 m3 o volume dobra durante a expansão isotérmica a b Vb 2Va 2831 104 m3 166 104 m3 além disso durante a expansão isotérmica a b PaVa PbVb portanto Pb PaVa Vb 500 105 Pa Na expansão adiabática b c usamos a equação ThVb g 1 TcVc g1 que segue a Equação 2012 bem como a equação do gás ideal Vc Vb aTH TC b 11 g12 1166 104 m32 a500 K 300 K b 25 596 104 m3 Pc nRTC Vc 10200 mol2 18314 Jmol K2 1300 K2 596 104 m3 0837 105 Pa ExEmPlo 203 ANALISANDO UMA MÁQUINA DE CARNOT II Continua BookSEARSVol2indb 326 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 327 o refrigerador de Carnot como cada etapa do ciclo de carnot é reversível o ciclo inteiro pode ser in vertido convertendo a máquina térmica em um refrigerador o coeficiente de de sempenho do refrigerador de carnot pode ser obtido combinandose a definição geral de K Equação 209 com a Equação 2013 do ciclo de carnot inicialmente reescrevemos a Equação 209 na forma K 0 QC0 0 QH0 0 QC0 0 QC0 0 QH0 1 0 QC0 0 QH0 a seguir substituímos a Equação 2013 0 QC0 0 QH TC QH 0 na expressão an terior 2015 Temperatura do reservatório frio Temperatura do reservatório quente Coefciente de desempenho do refrigerador de Carnot KCarnot TH TC TC Na compressão adiabática d a TcVd g1 Thva g 1 e Vd Va aTH TC b 11 g12 1831 104 m32 a500 K 300 Kb 25 298 104 m3 Pd nRTC Vd 10200 mol2 18314 Jmol K2 1300 K2 298 104 m3 167 105 Pa b Na expansão isotérmica a b Uab 0 Pela Equação 2010 Wab QH nRTH ln Vb Va 10200 mol2 18314 Jmol K2 1500 K2 1ln 22 576 J Na expansão adiabática b c Qbc 0 Pela primeira lei da ter modinâmica Ubc Qbc Wbc Wbc logo o trabalho Wbc realizado pelo gás nesse processo é igual à variação de energia interna com o sinal contrário usando a Equação 1913 temos U nCVT onde T Tc Th usando CV 208 Jmol K para um gás ideal diatômico achamos Wbc Ubc nCVTc Th nCVTh Tc 0200 mol 208 Jmol K 500 K 300 K 832 J Na compressão isotérmica c d Ucd 0 a Equação 2011 fornece Wcd QC nRTC ln Vd Vc 10200 mol2 18314 Jmol K2 1300 K2 aln 298 104 m3 596 104 m3 b 346 J Na compressão adiabática d a Qda 0 e Wda Uda nCVTh Tc nCVTc Th 0200 mol 208 Jmol K 300 K 500 K 832 J Podemos organizar os resultados na seguinte tabela Processo Q W U a b 576 J 576 J 0 b c 0 832 J 832 J c d 346 J 346 J 0 d a 0 832 J 832 J total 230 J 230 J 0 c Pela tabela acima Qh 576 J e o trabalho total é igual a 230 J Logo e W QH 230 J 576 J 040 40 Podemos comparar este resultado com o resultado obtido com a Equação 2014 e TH TC TH 500 K 300 K 500 K 040 40 AVALIAR a tabela de resultados do item b mostra que para o ciclo completo Q W e U 0 como deveríamos ter espe rado em um ciclo completo o calor total recebido é usado para realizar trabalho sem nenhuma variação total na energia interna do sistema Note também que as quantidades de trabalho nos dois processos adiabáticos possuem o mesmo módulo porém os sinais são contrários você conseguiria demonstrar partindo do raciocínio que levou à Equação 2013 que isso deve ocorrer sempre no caso de um ciclo de carnot Continuação BookSEARSVol2indb 327 021015 153 PM Quando a diferença de temperatura TH TC é pequena K é muito maior que a unidade nesse caso um calor muito grande pode ser bombeado da temperatura mais baixa para a mais elevada com apenas um pequeno gasto de trabalho Porém quanto maior for a diferença de temperatura menor será o valor de K e uma quantidade maior de trabalho deve ser realizada para uma dada quantidade de calor EXEMPLO 204 ANALISANDO UM REFRIGERADOR DE CARNOT Se o ciclo descrito no Exemplo 203 for invertido e se transformar em um refrigerador qual será seu coeficiente de desempenho SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema utiliza as ideias da Seção 203 sobre refrigeradores em geral assim como a discussão anterior sobre refrigeradores de Carnot A Equação 209 fornece o coeficiente de desempenho K de qualquer refrigerador em termos do calor extraído do reservatório frio por ciclo e do trabalho que precisa ser realizado por ciclo EXECUTAR no Exemplo 203 vimos que em um ciclo a máquina de Carnot rejeita um calor QC 346 J para o reservatório frio e realiza um trabalho W 230 J Logo quando funciona em sentido contrário ao de um refrigerador o sistema extrai um calor QC 346 J do reservatório frio ao mesmo tempo que requer um fornecimento de trabalho W 230 J Pela Equação 209 K QC W 346 J 230 J 150 Como se trata de um ciclo de Carnot também podemos usar a Equação 2015 K TC TH TC 300 K 500 K 300 K 150 AVALIAR as equações 2014 e 2015 mostram que em um ciclo de Carnot e e K dependem somente das temperaturas TH e TC portanto não é necessário calcular Q e W Contudo em ciclos que contêm processos irreversíveis essas duas equações não são válidas e cálculos mais detalhados são necessários O ciclo de Carnot e a segunda lei É possível demonstrar que nenhuma máquina térmica pode ter eficiência maior que a da máquina de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas A chave dessa demonstração é dada pela observação anterior segundo a qual como cada etapa do ciclo de Carnot é reversível o ciclo inteiro é reversível Percorrida em sentido inverso a máquina se transforma em um refrigerador Imagine uma máquina que possua uma eficiência maior que a de Carnot Figura 2015 Suponha que o ciclo de Carnot seja invertido funcionando como um refrigerador que mediante um trabalho negativo W receba calor QC do reservatório frio e rejeite calor QH do reservatório quente A máquina supereficiente rejeita um calor QC mas para fazer isso recebe uma grande quantidade de calor QH Δ O trabalho realizado seria W Δ e o efeito resultante das duas máquinas juntas seria receber uma quantidade de calor Δ e convertêla completamente em trabalho Isso viola o enunciado da segunda lei da termodinâmica pautado na máquina Figura 2015 Provando que a máquina de Carnot possui a maior eficiência possível Uma máquina supereficiente mais eficiente que uma máquina de Carnot combinada a um refrigerador de Carnot poderia converter totalmente o calor em trabalho sem nenhuma transferência de calor para o reservatório frio Isso violaria a segunda lei da termodinâmica Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 329 térmica Poderíamos fazer um raciocínio semelhante para mostrar que a máquina supereficiente também viola o enunciado da segunda lei da termodinâmica baseada no refrigerador observe que não precisamos supor que a máquina supereficiente seja reversível De modo análogo podemos mostrar que nenhum refrigerador pode ter um coeficiente de desempenho maior que o refrigerador de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas Logo o enunciado afirmando que nenhuma máquina térmica pode ter uma efi ciência maior que a máquina de carnot é outro enunciado equivalente à segunda lei da termodinâmica concluise também que todas as máquinas de Carnot funcio nando entre as mesmas temperaturas possuem a mesma eficiência indepen dentemente da substância de trabalho Embora tenhamos deduzido a Equação 2014 para a máquina de carnot usando um gás ideal como substância de trabalho ela vale de fato para qualquer máquina de carnot qualquer que seja a substância de trabalho a Equação 2014 que fornece a eficiência de uma máquina de carnot impõe um limite para a eficiência de qualquer máquina real como uma turbina a vapor Para maximizar esse limite superior e a eficiência da máquina real o projetista deve fazer a temperatura Th da etapa de fornecimento de calor ser a mais elevada possível e a temperatura Tc da exaustão a mais baixa possível Figura 2016 a temperatura de exaustão não pode ser menor que a menor temperatura dis ponível para esfriar a exaustão Para a turbina a vapor de uma usina termelétrica Tc pode ser a temperatura da água de um rio ou um lago logo é necessário que a temperatura Th da caldeira seja a mais elevada possível a pressão de vapor de qualquer líquido aumenta rapidamente com a temperatura de modo que a resistên cia mecânica da caldeira impõe limites a esse aumento de temperatura a 500 c a pressão de vapor da água é aproximadamente igual a 240 105 Pa 235 atm esse valor constitui um limite prático aproximado para a pressão interna nas caldeiras de vapor modernas Escala Kelvin de temperatura No capítulo 17 comentamos sobre a necessidade de se definir uma escala de temperatura que não dependa de nenhum material particular Podemos agora usar o ciclo de carnot para definir essa escala a eficiência térmica de uma máquina de carnot operando entre as temperaturas Th e Tc de dois reservatórios quentes é independente da substância de trabalho e depende somente dessas temperaturas Pela Equação 204 essa eficiência térmica é e QH QC QH 1 QC QH Portanto a razão QcQh é a mesma para todas as máquinas de carnot operando entre as temperaturas Th e Tc Kelvin propôs que podemos definir a razão entre as temperaturas TcTh como igual ao módulo da razão QcQh entre a quantidade de calor absorvido e a quan tidade de calor rejeitado TC TH 0 QC0 0 QH0 QC QH definição da temperatura Kelvin 2016 a Equação 2016 é muito parecida com a Equação 2013 porém existe uma diferença sutil e crucial as temperaturas na Equação 2013 são baseadas em um termômetro de gás ideal conforme definido na seção 173 enquanto a Equação 2016 define uma escala de temperatura pautada no ciclo de carnot e na segunda lei da termodinâmica e não depende do comportamento de nenhuma substância particular Portanto a escala Kelvin de temperatura é verdadeiramente absoluta Figura 2016 Para maximizar a eficiência a temperatura no interior de um motor a jato deve ser a maior possível são usados materiais cerâmicos especiais que suportam temperaturas de mais de 1000 c sem que haja fusão ou amolecimento BookSEARSVol2indb 329 021015 153 PM 330 Física II Para completar a definição da escala Kelvin atribuímos como fizemos na seção 173 o valor arbitrário 27316 K para a temperatura do ponto triplo da água Quando uma substância é usada em um ciclo de carnot a razão entre o calor absorvido e o calor rejeitado QhQc é igual à razão entre as temperaturas dos respectivos reservatórios como expressas pela escala de um termômetro de gás definido na seção 173 visto que o ponto triplo da água foi escolhido com o valor 27316 K em ambas as escalas concluímos que a escala Kelvin de temperatura e a escala do termômetro de gás ideal são idênticas o ponto zero da escala Kelvin denominase zero absoluto No zero absoluto um sistema possui uma energia interna total cinética mais potencial mínima contudo em razão dos efeitos quânticos não é correto dizer que em T 0 todo movimento molecular cessa Existem razões teóricas para acreditar que o zero absoluto não pode ser atingido experimentalmente embora temperaturas abaixo de 107 K já tenham sido atingidas Quanto mais próxima for a temperatura do zero absoluto mais difícil se torna baixar essa temperatura um dos enunciados da terceira lei da termodinâmica é que é impossível atingir o zero absoluto em um número finito de processos termodinâmicos TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 206 um inventor em busca de apoio finan ceiro apresenta a você a ideia de um motor a gasolina que funciona em um novo tipo de ciclo termodinâmico seu projeto é totalmente feito de cobre e resfriado a ar Ele alega que o motor terá uma eficiência de 85 será prudente investir nesse maravilhoso motor novo Dica ver a tabela 174 207 ENTroPIA a segunda lei da termodinâmica conforme enunciada não foi formulada em termos de uma equação ou relação quantitativa mas sim em termos da afirmação de uma impossibilidade contudo essa lei pode ser formulada mediante uma afir mação quantitativa usandose o conceito de entropia o assunto desta seção Mencionamos diversos processos que ocorrem naturalmente no sentido do au mento da desordem o fluxo de calor irreversível faz a desordem aumentar porque inicialmente as moléculas estavam arrumadas em regiões mais quentes e mais frias essa arrumação desaparece quando o sistema atinge o equilíbrio térmico o calor fornecido a um corpo faz sua desordem aumentar porque ocorre um aumento de velocidade média de cada molécula e portanto o estado caótico aumenta a expan são livre de um gás faz aumentar sua desordem porque as posições das moléculas tornamse mais aleatórias do que antes da expansão a Figura 2017 mostra outro processo no qual a desordem aumenta Figura 2017 Quando fogos de artifício explodem a desordem aumenta os produtos químicos cuidadosamente embalados dentro de cada cartucho são espalhados em todas as direções e a energia química armazenada é convertida em energia cinética aleatória dos fragmentos BookSEARSVol2indb 330 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 331 Entropia e desordem a entropia fornece uma medida quantitativa da desordem Para explicar esse conceito vamos considerar a expansão isotérmica de um gás ideal adicionamos uma quantidade de calor dQ e deixamos o gás expandirse apenas enquanto sua temperatura permanecer constante como a energia interna de um gás ideal de pende somente de sua temperatura a energia interna também é constante logo pela primeira lei o trabalho dW realizado pelo gás é igual ao calor dQ fornecido ao gás ou seja dQ dW P dV nRT V dV então dV V dQ nRT o gás passa a um estado mais desordenado depois da expansão porque as mo léculas se movem em um volume maior e suas posições tornamse mais aleatórias Logo a variação relativa de volume dVV constituise em uma estimativa do au mento de desordem e a equação anterior mostra que essa razão é proporcional à grandeza dQT introduzimos o símbolo S para a entropia do sistema e definimos a variação infinitesimal de entropia dS durante um processo reversível infinitesimal em uma temperatura absoluta T pela relação dS dQ T processo reversível infinitesimal 2017 se uma quantidade total de calor Q é fornecida durante um processo isotérmico reversível a uma temperatura absoluta T a variação total de entropia S S2 S1 é dada por S S2 S1 Q T processo isotérmico reversível 2018 a unidade da entropia é uma unidade de energia dividida por uma unidade de temperatura no si a unidade da entropia é 1 JK agora podemos ver como a razão QT se relaciona ao aumento da desordem uma temperatura maior implica um movimento mais aleatório se a substância está inicialmente fria com movimento molecular pequeno o fornecimento de calor Q produz um aumento fracionário substancial no movimento e no estado aleatório das moléculas se no entanto a substância já está quente a mesma quantidade de calor fornecido produz um aumento relativamente menor no já elevado movi mento molecular existente Portanto o quociente QT caracteriza o crescimento da desordem de modo apropriado quando o calor flui para o interior de um sistema Qual é a variação de entropia de 1 kg de gelo a 0 c que é lique feito reversivelmente e convertido em água a 0 c o calor de fusão da água é Lf 334 105 Jkg soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a liquefação ocorre a uma tempe ratura constante de 0 c portanto este é um processo isotérmico reversível Podemos calcular o calor adicional Q necessário para liquefazer o gelo depois calcular a variação de entropia S com a Equação 2018 EXECUTAR o calor necessário para liquefazer o gelo é Q mLf 334 105 J De acordo com a Equação 2018 S S2 S1 Q T 334 105 J 273 K 122 103 JK AVALIAR esse aumento de entropia corresponde ao aumento de desordem quando as moléculas de água passam do estado sólido cristalino para o estado muito mais desordenado de líquido Em qualquer processo isotérmico reversível a variação da entropia é igual ao calor transferido dividido pela temperatura absoluta Quando congelamos a água Q apresenta sinal contrário logo a variação da entropia da água é S 122 103 JK as moléculas da água se reorganizam formando gelo cristalino de modo que tanto a desordem quanto a entropia diminuem ExEmPlo 205 VARIAÇÃO DA ENTROPIA NA LIQUEFAÇÃO BookSEARSVol2indb 331 021015 153 PM 332 Física II Entropia em processos reversíveis Podemos generalizar a definição de variação de entropia de modo a incluir qualquer processo reversível que conduza o sistema de um estado a outro inde pendentemente de ser isotérmico ou não Podemos imaginar o processo como uma série de etapas infinitesimais reversíveis Durante uma etapa típica uma quantidade de calor infinitesimal dQ é fornecida ao sistema a uma temperatura absoluta T a seguir somamos integramos todas as razões dQT para o processo inteiro ou seja 2019 Limite superior estado fnal Fluxo de calor infnitesimal para dentro do sistema Temperatura absoluta Limite inferior estado inicial Variação de entropia em um processo reversível T dQ S L 2 1 como a entropia mede a desordem de um dado sistema ela depende apenas do estado presente do sistema e não do que ocorreu no passado Mais adiante mostraremos que isso é verdade Quando um sistema evolui de um estado inicial com entropia S1 até um estado final com entropia S2 a variação de entropia S S2 S1 definida pela Equação 2019 não depende do percurso que leva o sistema do estado inicial ao final mas é sempre a mesma em todos os processos possíveis entre o estado 1 e o estado 2 Portanto a entropia de um sistema também deve possuir um valor definido para qualquer dado estado do sistema a energia interna apresentada no capítulo 19 também possui essa propriedade embora a entropia e a energia interna sejam grandezas completamente diferentes uma vez que a entropia é uma função apenas do estado do sistema também podemos calcular variações de entropia em processos irreversíveis não equilíbrio aos quais as equações 2017 e 2019 não poderiam ser aplicadas simplesmente inventamos um caminho ligando o estado final ao inicial que seja constituído to talmente por processos reversíveis e calculamos a variação total de entropia nesse caminho hipotético Não é o caminho real mas a variação de entropia deve ser a mesma que seria obtida no caminho real como no caso da energia interna a discussão anterior não nos informa como calcular a entropia absoluta apenas as variações de entropia em um dado processo assim como acontece com a energia interna podemos atribuir arbitrariamente um valor para a entropia de um sistema em um estado de referência e depois calcular a entropia de qualquer outro estado em referência a esse estado arbitrário um quilograma de água a 0 c é aquecido até 100 c calcule sua variação de entropia suponha que o calor específico da água seja constante a 4190 Jkg K nessa faixa de temperatura soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR a variação de entropia da água depende apenas dos estados inicial e final do sistema e tanto faz se o processo é reversível ou irreversível Podemos imaginar que a temperatura da água seja aumentada reversivelmente em uma série de processos infinitesimais em cada um dos quais a temperatura aumenta um valor infinitesimal dT usamos então a Equação 2019 para integrar todas essas etapas e calcular a variação de entropia para tal processo reversível aquecer a água em um fogão cuja superfície de cozimento é mantida a 100 c seria um processo irreversível no entanto a variação de entropia seria a mesma EXECUTAR pela Equação 1714 o calor necessário para realizar cada uma dessas etapas é dado por dQ mc dT substituindo essa relação na Equação 2019 e integrando encontramos S S2 S1 2 1 dQ T T2 T1 mc dT T mc ln T2 T1 1100 kg2 14190 Jkg K2 aln 373 K 273 K b 131 103 JK S S AVALIAR a variação de entropia é positiva como era de se es perar em um processo em que o sistema absorve calor Nossa suposição sobre o calor específico da água é uma aproximação muito boa uma vez que o calor específico c da água varia menos de 1 entre 0 c e 100 c ver figura 1717 ExEmPlo 206 VARIAÇÃO DE ENTROPIA EM UMA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA BookSEARSVol2indb 332 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 333 ATENÇÃo Quando S QT pode e não pode ser usado Na solução deste problema você poderia sentirse tentado a evitar fazer uma integral usando a expressão mais simples na Equação 2018 S QT No entanto isso seria incorreto pois a Equação 2018 só se aplica a processos isotérmicos e as temperaturas inicial e final em nosso exemplo não são as mesmas a única forma correta de encontrar a variação de entropia em um processo com diferentes temperaturas inicial e final é usar a Equação 2019 um gás se expande adiabática e reversivelmente Qual é sua va riação de entropia soLUÇÃo Em um processo adiabático nenhum calor sai nem entra no sis tema Logo dQ 0 e não existe nenhuma variação de entropia nesse processo reversível S 0 todo processo adiabático reversível é um processo com entropia constante Por essa razão o processo adiabático reversível denominase processo isentrópico o aumento da desordem resultante do aumento de volume é compensado pela diminuição da desordem causada pela diminuição da temperatura do gás e pela redução das velo cidades moleculares ExEmPlo 207 VARIAÇÃO DE ENTROPIA EM UM PROCESSO ADIABÁTICO REVERSÍVEL uma caixa termicamente isolada é dividida por uma parede em dois compartimentos cada um com volume V Figura 2018 inicialmente um dos compartimentos contém n moles de um gás ideal a uma temperatura T e no outro compartimento foi criado vácuo a seguir quebramos a parede e o gás se expande preenchendo completamente os dois compartimentos da caixa Qual é a variação de entropia nesse processo de expansão livre soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR neste processo Q 0 W 0 e U 0 e portanto como o sistema é um gás ideal T 0 Poderíamos pensar que a variação de entropia fosse igual a zero porque não existe troca de calor Porém a Equação 2019 só vale quando o processo é reversível essa expansão não é reversível e existe uma variação de entropia como mencionamos no início desta seção a entropia aumenta em uma expansão livre porque as posições das moléculas tornamse mais aleatórias que antes da expansão Para calcular S lembramos que a variação de entro pia só depende dos estados final e inicial Podemos imaginar um processo reversível que apresente os mesmos pontos extremos e em geral podemos usar a Equação 2019 para calcular sua va riação de entropia que será a mesma que para a expansão livre um processo reversível adequado neste caso é uma expansão isotérmica desde V até 2V a uma temperatura T o gás realiza um trabalho W durante essa expansão de modo que seria necessário fornecer uma igual quantidade de calor Q para manter a energia interna constante EXECUTAR verificamos no Exemplo 191 que o trabalho reali zado por n moles de um gás ideal em uma expansão isotérmica de um volume V1 até V2 é dado por W nRT ln V2V1 usando V1 V e V2 2V temos Q W nRT ln 2V V nRT ln 2 Pela Equação 2018 a variação de entropia é S Q T nR ln 2 AVALIAR para um mol S 1 mol 8314 Jmol K ln 2 576 JK a variação de entropia é positiva como havíamos previsto o fator ln 2 em nossa resposta é uma consequência de o volume ter aumentado em um fator de 2 de V para 2V você consegue demonstrar que se o volume houvesse aumentado na expansão livre de V para xV onde x é um número arbitrário a variação de entropia teria sido S nR ln x Figura 2018 a b Expansão livre de um gás ideal isolado c o processo de expansão livre não passa por posições de equilíbrio de a até b contudo a variação de entropia Sb Sa pode ser calculada usandose o caminho isotérmico mostrado ou qualquer outro processo reversível de a até b a T V V b T 2V c Pa a b T O V V 2V Pa 2 W P ExEmPlo 208 VARIAÇÃO DE ENTROPIA EM UMA EXPANSÃO LIVRE BookSEARSVol2indb 333 021015 153 PM 334 Física II Entropia em processos cíclicos o Exemplo 209 mostrou que a variação total de entropia em um ciclo de uma máquina de carnot específica que usa um gás ideal como substância de trabalho é zero Esse resultado decorre diretamente da Equação 2013 que pode ser reescrita na forma QH TH QC TC 0 2020 a razão QhTh é igual a Sh a variação de entropia que ocorre em T Th analogamente QcTc é igual a Sc a variação de entropia negativa da máquina que ocorre em T Tc Portanto a Equação 2020 afirma que Sh Sc 0 ou seja a variação total de entropia é nula em um ciclo completo E quanto às máquinas de carnot que usam outras substâncias de trabalho De acordo com a segunda lei qualquer máquina de carnot operando entre duas dadas temperaturas Th e Tc apresenta a mesma eficiência e 1 TcTh Equação 2014 combinando essa expressão de e com a Equação 204 e 1 QcQh reproduzimos exatamente a Equação 2020 Logo a Equação 2020 vale para qual quer máquina de carnot operando entre essas temperaturas independentemente de a sua substância de trabalho ser ou não um gás ideal concluímos que a variação total de entropia em um ciclo de qualquer máquina de Carnot é igual a zero Esse resultado pode ser generalizado para mostrar que a variação total de en tropia em qualquer processo cíclico reversível é zero um processo cíclico rever sível aparece em um diagrama PV como um caminho fechado Figura 2019a Podemos aproximar esse caminho por meio de uma série de processos isotérmicos e adiabáticos formando partes de muitos ciclos de carnot longos e finos figura 2019b a variação total de entropia no ciclo completo é a soma das variações de entropia em cada pequeno ciclo de carnot cada um dos quais com uma variação de entropia igual a zero Logo a variação total de entropia durante qualquer ciclo reversível é igual a zero Figura 2019 a Processo cíclico reversível de um gás ideal indicado por uma curva fechada em um diagrama PV são mostradas várias isotermas passando pela curva em azul b o caminho em a pode ser aproximado por uma série de ciclos de carnot longos e finos um desses ciclos está sombreado na figura a variação de entropia total é zero em cada ciclo de carnot e no processo cíclico real c a variação de entropia entre os pontos a e b independe do caminho b O P V Aproximando o caminho do processo cíclico por uma série de ciclos de Carnot c O P V b a 1 2 Dois caminhos 1 e 2 do ponto a ao ponto b a variação de entropia é a mesma em ambos os caminhos a O P V Processo cíclico reversível de um gás ideal Isotermas calcule a variação total de entropia da máquina de carnot do Exemplo 202 seção 206 durante um ciclo soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR todas as quatro etapas do ciclo de carnot são reversíveis ver figura 2013 portanto podemos usar nossas expressões para a variação de entropia S em um processo reversível calculamos a variação de entropia em cada etapa e depois somamos as variações de entropia para obter o total para o ciclo inteiro EXECUTAR não existe nenhuma variação de entropia durante o processo de expansão adiabática b c ou compressão adiabática d a Durante a expansão isotérmica a b na temperatura Th 500 K a máquina recebe 2000 J de calor e pela Equação 2018 a variação de entropia é SH QH TH 2000 J 500 K 40 JK Durante a compressão isotérmica c d em Tc 350 K a má quina libera 1400 J de calor e sua variação de entropia é SC QC TC 1400J 350 K 40 JK a variação total de entropia da máquina durante um ciclo é Stotal Sh Sc 40 JK 40 JK 0 AVALIAR o resultado Stotal 0 nos diz que quando a máquina de carnot completa um ciclo ela apresenta a mesma entropia que apresentava no início Discutiremos esse resultado na subseção seguinte Qual é a variação de entropia total do ambiente da máquina du rante esse ciclo o reservatório quente 500 K fornece 2000 J de calor durante a expansão isotérmica reversível a b logo sua variação de entropia é 2000 J500 K 40 JK o reser vatório frio 350 K absorve 1400 J de calor durante a compres são isotérmica reversível c d logo sua variação de entropia é 1400 J350 K 40 JK Portanto cada reservatório individual apresenta uma variação de entropia contudo a soma dessas variações ou seja a variação de entropia total do am biente do sistema é zero Esses resultados aplicamse ao caso especial do ciclo de carnot para o qual todos os processos são reversíveis Nesse caso desco brimos que a variação de entropia total do sistema e do ambiente em conjunto é igual a zero veremos que se o ciclo inclui pro cessos irreversíveis como no caso do ciclo de otto ou do ciclo diesel da seção 203 a variação de entropia total do sistema e do ambiente não pode ser zero mas tem de ser positiva ExEmPlo 209 ENTROPIA E O CICLO DE CARNOT BookSEARSVol2indb 334 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 335 Entropia em processos cíclicos o Exemplo 209 mostrou que a variação total de entropia em um ciclo de uma máquina de carnot específica que usa um gás ideal como substância de trabalho é zero Esse resultado decorre diretamente da Equação 2013 que pode ser reescrita na forma QH TH QC TC 0 2020 a razão QhTh é igual a Sh a variação de entropia que ocorre em T Th analogamente QcTc é igual a Sc a variação de entropia negativa da máquina que ocorre em T Tc Portanto a Equação 2020 afirma que Sh Sc 0 ou seja a variação total de entropia é nula em um ciclo completo E quanto às máquinas de carnot que usam outras substâncias de trabalho De acordo com a segunda lei qualquer máquina de carnot operando entre duas dadas temperaturas Th e Tc apresenta a mesma eficiência e 1 TcTh Equação 2014 combinando essa expressão de e com a Equação 204 e 1 QcQh reproduzimos exatamente a Equação 2020 Logo a Equação 2020 vale para qual quer máquina de carnot operando entre essas temperaturas independentemente de a sua substância de trabalho ser ou não um gás ideal concluímos que a variação total de entropia em um ciclo de qualquer máquina de Carnot é igual a zero Esse resultado pode ser generalizado para mostrar que a variação total de en tropia em qualquer processo cíclico reversível é zero um processo cíclico rever sível aparece em um diagrama PV como um caminho fechado Figura 2019a Podemos aproximar esse caminho por meio de uma série de processos isotérmicos e adiabáticos formando partes de muitos ciclos de carnot longos e finos figura 2019b a variação total de entropia no ciclo completo é a soma das variações de entropia em cada pequeno ciclo de carnot cada um dos quais com uma variação de entropia igual a zero Logo a variação total de entropia durante qualquer ciclo reversível é igual a zero Figura 2019 a Processo cíclico reversível de um gás ideal indicado por uma curva fechada em um diagrama PV são mostradas várias isotermas passando pela curva em azul b o caminho em a pode ser aproximado por uma série de ciclos de carnot longos e finos um desses ciclos está sombreado na figura a variação de entropia total é zero em cada ciclo de carnot e no processo cíclico real c a variação de entropia entre os pontos a e b independe do caminho b O P V Aproximando o caminho do processo cíclico por uma série de ciclos de Carnot c O P V b a 1 2 Dois caminhos 1 e 2 do ponto a ao ponto b a variação de entropia é a mesma em ambos os caminhos a O P V Processo cíclico reversível de um gás ideal Isotermas 3 dQ T 0 reversible cyclic process processo cíclico reversível 2021 concluise que quando um sistema sofre um processo reversível que o conduz de qualquer estado a até qualquer estado b a variação de entropia é indepen dente do caminho seguido figura 2019c se a variação de entropia no caminho 1 fosse diferente da variação no caminho 2 o sistema poderia seguir o caminho 1 e em seguida voltar ao ponto inicial pelo caminho 2 com uma variação total de entropia diferente de zero isso violaria a conclusão de que a variação de entropia em qualquer ciclo sempre deve ser igual a zero como a variação de entropia em tais processos não depende do caminho concluímos que em qualquer estado de terminado o sistema possui um valor da entropia que depende somente do estado em que ele se encontra e não dos processos que o conduziram ao referido estado Entropia em processos irreversíveis Em um processo ideal reversível envolvendo apenas estados de equilíbrio a variação total da entropia e do ambiente é igual a zero Entretanto todos os proces sos irreversíveis envolvem um aumento de entropia Diferentemente da energia a entropia é uma grandeza que não se conserva a entropia de um sistema isolado pode variar mas como veremos ela pode nunca diminuir a expansão livre de um gás descrita no Exemplo 208 é um exemplo de processo irreversível de um sistema isolado no qual existe aumento de entropia BIo Aplicação Variações de entropia em um organismo vivo Quando um cãozinho ou outro animal em crescimento se alimenta ele toma energia química organizada do alimento e a utiliza para criar novas células que são ainda mais organizadas Esse processo isolado reduz a entropia Porém a maior parte da energia no alimento é removida nas fezes do animal ou usada para gerar calor processos que levam a um grande aumento na entropia Assim embora a entropia do animal diminua isoladamente a entropia total do animal mais o alimento aumenta suponha que 100 kg de água a 100 c seja colocado em contato térmico com 100 kg de água a 0 c Qual é a variação total de entropia suponha que o calor específico da água seja constante e igual a 4190 Jkg K nesse intervalo de temperatura soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR este processo envolve um fluxo de calor irreversível pela diferença entre as temperaturas como há massas iguais de água a 0 c e água a 100 c a temperatura final é a média dessas duas temperaturas ou 50 c 323 K Embora os processos sejam irreversíveis podemos calcular as variações de entropia da água inicialmente quente e da água inicial mente fria supondo que o processo ocorra reversivelmente Da mesma forma que no Exemplo 206 precisamos usar a Equação 2019 para calcular S para cada substância porque as tempera turas variam no processo EXECUTAR as variações de entropia da água quente subscrito h e da água fria subscrito c são SH mc T2 T1 dT T 1100 kg2 14190 Jkg K2 323 K 373 K dT T 14190 JK2 aln 323 K 373 K b 603 JK SC 14190 JK2 aln 323 K 273 K b 705 JK S S ExEmPlo 2010 VARIAÇÃO DE ENTROPIA EM PROCESSOS IRREVERSÍVEIS Continua BookSEARSVol2indb 335 021015 153 PM 336 Física II Entropia e a segunda lei os resultados do Exemplo 2010 sobre o fluxo de calor de uma temperatura mais elevada para uma mais baixa são característicos de todos os processos naturais isto é irreversíveis Quando incluímos todas as variações de entropia no interior de um sistema as variações positivas são sempre maiores que as negativas No caso especial de um processo reversível os aumentos e diminuições de entropia são exatamente iguais Portanto podemos enunciar o princípio geral quando todos os sistemas que ocorrem em um processo são incluídos a entropia aumenta ou permanece constante Em outras palavras não existe nenhum processo com diminuição de entropia quando todas as possíveis variações de entropia são incluídas Essa afirmação constitui um enunciado alternativo para a segunda lei da termodinâmica em termos de entropia Logo ele é equivalente aos enunciados da máquina e do refrigerador discutidos anteriormente a Figura 2020 mostra um exemplo específico desse princípio geral o aumento de entropia em todo processo irreversível natural mede o aumento da desordem e do caos no universo associado a esse processo considere novamente a mistura de água quente com água fria Exemplo 2010 Poderíamos usar a água quente e a água fria como reservatórios quente e frio de uma máquina térmica Enquanto retiramos calor da água quente e o fornecemos para a água fria podemos obter certa quantidade de trabalho mecânico Porém depois que a água se mistura e atinge o equilíbrio térmico a oportunidade de obter trabalho é irremediavelmente perdida Depois do equilíbrio a água quente não pode ser mais separada da água fria Não existe nenhuma diminuição de energia quando a água quente se mistura com a água fria o que foi perdido foi a disponibilidade ou seja a oportunidade de converter parte do calor da água quente em trabalho mecânico Portanto quando a entropia cresce a energia para produção de trabalho se torna menos disponível e o universo se torna mais caótico ou aleatório dAdos mosTrAm A segunda lei da termodinâmica Quando os alunos recebiam um problema envolvendo a segunda lei da termodinâmica mais de 40 davam uma resposta incorreta Erros comuns confundir o sinal algébrico do calor Q é positivo se o calor flui para um sistema mas negativo se o calor sai do sistema ou seja é rejeitado pelo sistema confundir o sinal da variação de entropia a entropia de um sistema aumenta S 0 se o calor flui para dentro dele mas diminui S 0 se o calor flui para fora dele se o calor flui do objeto A para o objeto B S é negativo para A mas positivo para B Figura 2020 a mistura de tinta colorida com água começa a partir de um estado de baixa entropia no qual os fluidos inicialmente estão separados e podem ser distinguidos No estado final as moléculas da tinta e da água são espalhadas aleatoriamente pelo volume do líquido de modo que a entropia é maior a separação espontânea da água e da tinta um processo em que haveria diminuição de entropia nunca poderá ser observado a variação total de entropia do sistema é Stotal Sh Sc 603 JK 705 JK 102 JK AVALIAR um fluxo de calor irreversível em um sistema isolado é acompanhado por um aumento de entropia Poderíamos ter che gado ao mesmo estado final simplesmente misturando as duas quantidades de água quente e fria que também é um processo irreversível a variação de entropia total que depende apenas dos estados inicial e final do sistema novamente seria a mesma 102 JK é interessante observar que a entropia do sistema aumenta conti nuamente enquanto as duas quantidades de água entram em equi líbrio Por exemplo os primeiros 4190 J de calor transferidos resfriam a água quente até 99 c e aquecem a água fria até 1 c a variação total da entropia nessa etapa é aproximadamente S 4190 J 373 K 4190 J 273 K 41 JK você consegue demonstrar de um modo semelhante que a varia ção de entropia total é positiva em qualquer variação de tempe ratura de um grau que conduza ao estado de equilíbrio Continuação BookSEARSVol2indb 336 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 337 TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 207 suponha que 200 kg de água a 50 c variem espontaneamente de temperatura de modo que metade da água esfrie até 0 c enquanto a outra metade aquece espontaneamente até 100 c toda a água permanece líquida portanto não congela nem ferve Qual seria a variação de entropia da água Esse processo é possível Dica ver Exemplo 2010 208 INTErPrETAÇÃo mICrosCóPICA dA ENTroPIA Descrevemos na seção 194 como a energia interna de um sistema pode ser cal culada pelo menos em teoria somandose todas as energias cinéticas de suas par tículas constituintes e todas as energias potenciais da interação entre as partículas isso é chamado de cálculo microscópico da energia interna também podemos fazer um cálculo microscópico da entropia S de um sistema contudo diferentemente da energia a entropia não é algo que pertence a cada partícula individual ou a pares de partículas do sistema Em vez disso a entropia é uma medida da desordem do sistema como um todo Para ver como podemos calcular a entropia microscopi camente primeiro devemos introduzir os conceitos de estado microscópico e de estado macroscópico suponha que você jogue N moedas idênticas ao chão e metade delas dê cara e a outra metade coroa tratase de uma descrição do estado macroscópico do sistema de N moedas uma descrição do estado microscópico do sistema inclui informação sobre cada moeda individual a moeda um deu cara a moeda dois deu coroa a moeda três deu coroa e assim por diante Podem existir muitos estados microscópicos que correspondem ao mesmo estado macroscópico Por exemplo com N 4 moedas existem seis possibilidades em que uma metade dê cara e a outra metade coroa Figura 2021 o número de estados microscópicos cresce ra pidamente com o aumento de N para N 100 existem 2100 127 1030 estados microscópicos dos quais 101 1029 dão metade cara e metade coroa a ocorrência menos provável da distribuição das moedas é que todas elas deem cara ou todas elas deem coroa é certamente possível que você consiga lançar cem moedas e todas deem cara mas não aposte nisso a probabilidade de isso acontecer é de apenas 1 em 127 1030 No lançamento de N moedas a probabilidade maior é que a metade dê cara e a outra metade dê coroa a razão é que esse estado macros cópico possui o maior número possível de estados microscópicos correspondentes conforme indicado na figura 2021 Para fazer a ligação com o conceito de entropia note que a descrição macroscó pica todas caras especifica completamente o estado de cada uma das N moedas o mesmo é verdade quando todas as moedas dão coroa Porém a descrição ma croscópica de metade cara metade coroa por si só informa muito pouco sobre o estado cara ou coroa de cada moeda individual comparando com o estado todas caras ou todas coroas o estado metade cara metade coroa apresenta uma grande quantidade de estados microscópicos possíveis desordem muito maior e portanto entropia muito maior que é uma medida quantitativa da desordem agora em vez de N moedas considere um mol de um gás ideal contendo o número de avogadro de moléculas o estado macroscópico desse sistema é dado pela pressão P volume V e temperatura T uma descrição do estado microscópico envolve o conhecimento da posição e da velocidade de cada molécula do gás Em uma dada pressão volume e temperatura o número de estados microscópicos é astronomicamente grande e depende das posições e das velocidades de suas 602 1023 moléculas se o gás se expande e ocupa um volume maior o inter valo de posições possíveis aumenta assim como o número dos possíveis estados microscópicos o sistema tornase mais desordenado e a entropia aumenta como calculamos no Exemplo 208 seção 207 Podemos chegar à seguinte conclusão geral em qualquer sistema termodinâ mico o estado macroscópico mais provável é aquele com o maior número de Figura 2021 todos os estados microscópicos possíveis para quatro moedas Podem existir diversos estados microscópicos para cada estado macroscópico Estado macroscópico Quatro caras Três caras uma coroa Duas caras duas coroas Uma cara três coroas Quatro coroas Estados microscópicos correspondentes BookSEARSVol2indb 337 021015 153 PM 338 Física II estados microscópicos correspondentes que é também o estado macroscópico com a maior desordem e a maior entropia Calculando a entropia estados microscópicos seja w o número de estados microscópicos possíveis para um dado estado ma croscópico Para as quatro moedas mostradas na figura 2021 o estado referente a quatro caras seria w 1 o estado com três caras e uma coroa w 4 e assim por diante Dessa forma podemos mostrar que a entropia S de um estado macros cópico é dada por S k ln w 2022 Número de estados microscópicos para determinado estado macroscópico Expressão para a entropia em termos microscópicos Constante de Boltzmann constante do gás por molécula apresentamos a constante de Boltzmann na seção 183 como a Equação 2022 mostra o aumento do número de possíveis estados microscópicos w aumenta a entropia S o que importa em um processo termodinâmico não é a entropia absoluta mas sim a diferença de entropia entre os estados final e inicial Portanto uma defini ção igualmente válida e útil poderia ser S k ln w C onde C é uma constante uma vez que C é cancelada em qualquer cálculo de diferença de entropia entre dois estados No entanto é conveniente fazer essa constante igual a zero e usar a Equação 2022 com essa escolha como o menor valor possível de w é igual a um o menor valor possível de entropia S de qualquer sistema é k ln 1 0 a entropia nunca pode ser negativa Na prática o cálculo de w é uma tarefa muito difícil de modo que a Equação 2022 costuma ser usada apenas quando calculamos a entropia absoluta S de um sistema específico Porém podemos usar essa relação para calcular diferenças de entropia entre um estado e outro considere um sistema que sofre uma transforma ção termodinâmica que o leva de um estado macroscópico 1 para o qual existem w1 estados microscópicos até um estado macroscópico 2 associado a w2 estados microscópicos a variação de entropia desse processo é dada por S S2 S1 k ln w2 k ln w1 k ln w2 w1 2023 a diferença de entropia entre os dois estados macroscópicos depende da razão entre os números dos estados microscópicos possíveis como o exemplo a seguir mostrará aplicar a Equação 2023 para calcular uma variação de entropia entre um estado macroscópico e outro fornece os mesmos resultados que considerar um processo reversível conectando esses dois estados e usando a Equação 2019 use a Equação 2023 para calcular a variação de entropia na expansão livre de n mols de um gás na temperatura T conforme descrito no Exemplo 208 Figura 2022 soLUÇÃo IDENTIFICAR E PREPARAR o problema pede para que calcu lemos a variação de entropia usando o número de microesta dos no estado macroscópico inicial figura 2022a e no estado macroscópico final figura 2022b Quando a parede é remo vida as velocidades das moléculas não mudam porque nenhum trabalho é realizado Porém cada molécula pode moverse em um volume duas vezes maior e portanto dispõe de um número duas vezes maior de posições possíveis isso é tudo o que precisamos para calcular a variação de entropia usando a Equação 2023 EXECUTAR seja w1 o número de microestados do sistema como um todo quando o gás ocupa o volume V figura 2022a o nú mero total de moléculas é N nNa e cada molécula tem o dobro ExEmPlo 2011 UM CÁLCULO MICROSCÓPICO DA VARIAÇÃO DE ENTROPIA Continua Aplicação Cadeia de polímeros em solução Uma molécula de polietileno o tipo mais comum de plástico é um polímero uma longa cadeia de unidades de monômeros C2H4 Em solução essas moléculas formam cadeias e o conceito de entropia explica o motivo O polímero pode formar cadeia de diversas maneiras estados microscópicos mas existe apenas um estado microscópico no qual ele é totalmente alongado Assim a entropia do polímero em cadeia é muito maior que a de um polímero alongado A segunda lei da termodinâmica diz que sistemas isolados sempre se movem no sentido da maior entropia de modo que esperamos que uma cadeia de polímeros em solução esteja em um estado em cadeia Cadeias de polímeros retas Cadeias de polímeros em cadeia Uma molécula de polietileno é uma cadeia de monômeros de C2H4 Átomo de hidrogênio Átomo de carbono BookSEARSVol2indb 338 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 339 Estados microscópicos e a segunda lei a relação entre a entropia e o número de estados microscópicos nos proporciona uma nova visão do enunciado da segunda lei da termodinâmica segundo o qual a entropia de um sistema isolado nunca pode diminuir Pela Equação 2022 conclu ímos que um sistema isolado nunca pode sofrer espontaneamente uma transforma ção que faça diminuir o número de estados microscópicos possíveis um exemplo de tal processo proibido ocorreria se todo o ar na sala onde você está se contraísse espontaneamente e ocupasse metade do volume disponível dei xando um vácuo na outra metade Essa compressão livre seria o inverso da expan são livre dos exemplos 208 e 2011 o número de estados microscópicos possíveis se reduziria por um fator 2N Em sentido estrito esse processo não é impossível a probabilidade de encontrar uma molécula na metade da sala é de 1 2 de modo que a probabilidade de encontrar todas as moléculas na metade da sala é de 11 22N Essa probabilidade é exatamente a mesma de se obter cara N vezes seguidas quando você lança uma moeda N vezes Essa probabilidade não é zero Mas não se preocupe com a possibilidade de vir a ficar sem ar para respirar na sua sala considere que uma sala típica pode conter 1000 mols de ar logo N 1000Na 602 1026 moléculas a probabilidade de que todas essas moléculas fiquem na mesma metade da sala é portanto de 11 226021026 Expresso sob a forma de um número decimal isso equivale a um número com mais de 1026 zeros depois da vírgula como a probabilidade da ocorrência de uma compressão livre é muito pe quena ela certamente nunca ocorreu em nenhuma parte e em nenhum momento no universo desde o seu início concluímos que do ponto de vista prático a segunda lei da termodinâmica nunca é violada TEsTE sUA ComPrEENsÃo dA sEÇÃo 208 uma quantidade de N moléculas de um gás ideal inicialmente ocupa um volume V a seguir o gás se expande até um volume 2V o número de estados microscópicos do gás aumenta nessa expansão sob quais das seguintes circunstâncias esse número aumentará mais i se a expansão for reversível e isotérmica ii se a expansão for reversível e adiabática iii a variação do número será igual em ambas as circunstâncias de estados possíveis depois que a divisória é retirada assim o número w2 de estados microscópicos quando o gás ocupa um volume 2V figura 2022b cresce a um fator 2N ou seja w2 2N w1 a variação de entropia nesse processo é S k ln w2 w1 k ln 2Nw1 w1 k ln 2N Nk ln 2 como N nNa e k RNa obtemos S nNa RNa ln 2 nR ln 2 AVALIAR portanto encontramos o mesmo resultado que o obtido no Exemplo 208 porém sem nenhuma referência ao processo termodinâmico realizado pelo sistema Figura 2022 Na expansão livre de N moléculas na qual o volume dobra o número possível de estados microscópicos aumenta a um fator 2N a O gás ocupa um volume V o número de microestados é w1 V V b O gás ocupa um volume 2V o número de microestados é w2 2N w1 2V Continuação Processos reversíveis e irreversíveis um processo reversível é aquele cujo sentido pode ser invertido por mudanças infinitesimais nas condições do processo e em que o sistema está sempre em equilíbrio térmico ou muito próximo dele todos os outros processos termodinâ micos são irreversíveis Água 40 C 40 C Irreversível Metal 70 C Reversível Metal 0 C Gelo a 0 C Água 0 C 0C Gelo a 0 C capítulo 20 resumo BookSEARSVol2indb 339 021015 153 PM 340 Física II Máquinas térmicas uma máquina térmica recebe uma quantidade de calor Qh de uma fonte converte parte desse calor em trabalho W e rejeita o calor restante Qc em uma temperatura mais baixa a eficiência térmica e de uma máquina térmica mede quanto do calor absorvido é convertido em trabalho ver Exemplo 201 e W QH 1 QC QH 1 QC QH 204 204 Reservatório frio TC W QH QC 0QH0 0QC0 0QC0 Reservatório quente TH Máquina W QH Ciclo de Otto um motor a gasolina operando em um ciclo de otto possui uma eficiência máxima te órica e que depende da razão de compressão r e da razão entre os calores específicos g da substância de trabalho e 1 1 rg1 206 P V O QH c b d V rV W a Ciclo de Otto 0QC0 Refrigeradores um refrigerador recebe um calor Qc de uma fonte mais fria recebe um trabalho W e rejeita um calor Qh em uma fonte mais quente a eficiência do refrigerador é dada por seu coeficiente de desempenho K K 0 QC0 0 W0 0 QC0 0 QH0 0 QC0 209 QC Interior do refrigerador TC Ar externo TH Refrigerador 0QH0 0W0 Segunda lei da termodinâmica a segunda lei da termodinâmica descreve o sentido da realização de um processo termodinâmico natural Ela pode ser descrita mediante diversos enunciados equivalentes o enunciado da máquina afirma que nenhum processo cíclico pode converter completamente calor em trabalho o enunciado do refrigerador afirma que nenhum processo cíclico pode transferir calor de um corpo mais frio para um mais quente sem que nenhum trabalho seja fornecido ao sistema Máquina com 100 de efciência QH 0QC0 TH W Impossível TC Ciclo de Carnot o ciclo de carnot opera entre dois reservatórios de calor com temperaturas Th e Tc e utiliza somente processos reversíveis sua eficiência térmica depende apenas de Th e Tc outro enun ciado equivalente da segunda lei é que nenhuma má quina térmica operando entre os mesmos extremos de temperatura pode ter uma eficiência maior que a máquina de carnot ver exemplos 202 e 203 uma máquina de carnot com um ciclo invertido é um refrigerador de carnot seu coeficiente de desempenho depende apenas de Th e Tc outro enunciado da segunda lei é que nenhum refrigerador operando entre dois limites de temperatura pode ter um coeficiente de desempenho maior que o coefi ciente de desempenho de um refrigerador de carnot ver Exemplo 204 eCarnot 1 TC TH TH TC TH 2014 2014 KCarnot TC TH TC 2015 2015 V P d b c O TH TC a QH Ciclo de Carnot W 0QC0 Entropia a entropia é a medida quantitativa da de sordem de um sistema a variação de entropia de qualquer processo reversível depende da quantidade de fluxo de calor e da temperatura absoluta T a entropia depende apenas do estado do sistema e a variação de entropia entre um dado estado final e um dado estado inicial é sempre a mesma em qual quer processo que leve o sistema do estado inicial ao final Esse fato pode ser usado no cálculo da va riação de entropia em um processo irreversível ver exemplos 2052010 um importante enunciado da segunda lei da termo dinâmica afirma que a entropia de um sistema iso lado pode crescer mas nunca diminuir Quando um S S 2 1 dQ T processo reversível 2019 BookSEARSVol2indb 340 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 341 sistema interage com suas vizinhanças a variação total da entropia do sistema e do ambiente nunca pode diminuir Quando a interação envolve apenas processos reversíveis a entropia total é constante e S 0 quando existe um processo irreversível a variação total da entropia aumenta e S 0 Entropia e estados microscópicos quando um sistema está em dado estado macroscópico as par tículas que o compõem podem ser distribuídas em w estados microscópicos possíveis Quanto maior for o número w maior será a entropia ver Exemplo 2011 S k ln w 2022 w microestados N moléculas de gás V V 2Nw microestados 2V Problema em destaque Variações de entropia gelo frio em água quente um recipiente isolado com massa desprezível mantém 0600 kg de água a 450 c você coloca um cubo de gelo de 00500 kg a 150 c na água Figura 2023 a calcule a temperatura final da água quando o gelo tiver se derretido b calcule a variação na entropia do sistema gUIA dA soLUÇÃo IdENTIFICAr E PrEPArAr 1 faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas e identifique as variáveisalvo 2 como você achará a temperatura final da mistura gelo água como você decidirá se todo o gelo se derrete ou não 3 Quando você descobrir a temperatura final da mistura como determinará as variações na entropia i do gelo ini cialmente a 150 c e ii da água inicialmente a 450 c EXECUTAr 4 use os métodos do capítulo 17 para calcular a temperatura final T Dica primeiro considere que todo o gelo se der rete depois escreva uma equação informando que o calor que flui para o gelo é igual ao que sai da água se a sua hipótese estiver correta a temperatura final que você cal cula será maior que 0 c se a sua hipótese estiver incorreta a temperatura final será 0 c ou menos o que significa que algum gelo permanece Então você precisará refazer o cál culo para considerar isso 5 use o resultado do item 4 para calcular as variações de entropia do gelo e da água Dica você terá de incluir o fluxo de calor associado às variações de temperatura como no Exemplo 206 além do fluxo de calor associado à varia ção de fase 6 ache a variação total na entropia do sistema AVALIAr 7 os sinais das variações de entropia fazem sentido Explique o motivo Figura 2023 o que esta mistura de gelo e água se torna Estado fnal tudo água líquida ou água líquida gelo Água líquida a 450 C Recipiente isolado Gelo a 150 C problemas níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo dAdos problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIo problemas envolvendo biociências QUEsTõEs PArA dIsCUssÃo Q201 uma panela de pressão é cheia de água até a metade e sua tampa a veda de modo a impedir a saída de vapor dágua de seu interior a panela é colocada sobre a chama de um fogão e a água se vaporiza em seu interior a chama é apagada o vapor se condensa e o líquido volta ao seu estado inicial Esse processo é reversível ou irreversível Por quê Q202 forneça dois exemplos de processos reversíveis e dois exemplos de processos irreversíveis em sistemas puramente mecânicos como blocos escorregando em planos molas rol danas e fios Explique o que faz o processo ser reversível ou irreversível Q203 refrigeradores domésticos possuem serpentinas de tubos no exterior normalmente na parte traseira ou inferior Quando o BookSEARSVol2indb 341 021015 153 PM 342 Física II refrigerador está funcionando a tubulação fica quente De onde vem o calor Q204 você tenta esfriar a cozinha de sua casa deixando a porta da geladeira aberta o que ocorrerá Por quê Esse resultado seria o mesmo que o obtido se você deixasse aberta a tampa de uma caixa de isopor cheia de pedras de gelo caso os resultados sejam diferentes explique a razão dessas diferenças Q205 Por que um aparelho de arcondicionado de quarto pre cisa ser colocado em uma janela e não apoiado no solo e ligado na tomada Por que um refrigerador pode ser apoiado no solo e ligado na tomada Q206 converter energia mecânica em calor completamente é uma violação da segunda lei da termodinâmica E converter calor em trabalho completamente Explique suas respostas Q207 imagine um filtro de ar especial colocado na janela de uma casa os pequenos furos do filtro permitem a saída apenas de moléculas com velocidades maiores que certa velocidade e somente a entrada de moléculas mais lentas que um certo valor Explique por que esse filtro produziria o resfriamento da casa e por que a segunda lei da termodinâmica proíbe sua construção Q208 o eixo de um motor elétrico está ligado ao eixo de um gerador elétrico o motor faz o gerador entrar em movimento e certa corrente produzida pelo gerador é usada para fazer o motor girar a corrente excedente é utilizada para iluminar uma casa o que há de errado com esse esquema Q209 Quando uma roupa molhada é pendurada no deserto onde um vento quente sopra ela esfria por evaporação podendo atingir até uma temperatura da ordem de 20 c abaixo da tem peratura do ar Discuta esse processo com base na segunda lei da termodinâmica Q2010 compare o diagrama PV do ciclo de otto na figura 206 com o diagrama da máquina térmica de carnot na figura 2013 Explique algumas das diferenças fundamentais entre os dois ciclos Q2011 a eficiência de máquinas térmicas é alta quando a dife rença de temperatura entre os reservatórios frio e quente é grande refrigeradores por outro lado funcionam melhor quando a di ferença de temperatura é pequena tendo em mente o ciclo do refrigerador mecânico mostrado na figura 209 explique em termos físicos por que requer menos trabalho retirar calor da substância de trabalho quando os dois reservatórios o interior do refrigerador e o ar exterior estão quase à mesma temperatura do que quando o ar externo é muito mais quente que o interior do refrigerador Q2012 Qual deveria ser a eficiência de uma máquina de carnot operando com Th Tc Qual seria a eficiência se Tc 0 K e Th fosse qualquer temperatura acima de 0 K Justifique suas respostas Q2013 Em máquinas térmicas reais como o motor a gasolina de um carro há sempre algum atrito entre as partes móveis em bora os óleos lubrificantes reduzam o atrito a um valor mínimo se o atrito entre as partes móveis da máquina fosse completa mente eliminado sua eficiência seria igual a 100 Justifique sua resposta sua resposta depende do fato de a máquina seguir ou não um ciclo de carnot Novamente justifique Q2014 um refrigerador cheio de alimentos consome mais potência quando a temperatura ambiente é 20 c ou quando é 15 c ou o consumo de potência é o mesmo Explique seu raciocínio Q2015 No Exemplo 204 um refrigerador de carnot requer um fornecimento de trabalho de apenas 230 J para extrair 346 J de calor do reservatório frio Essa discrepância não implica uma violação da lei da conservação de energia Justifique sua resposta Q2016 como a condução térmica de calor de um objeto mais quente para um mais frio pode aumentar a entropia quando a mesma quantidade de calor que flui do objeto mais quente flui para o mais frio Q2017 Explique por que cada um dos processos seguintes é um exemplo do aumento da desordem ou aleatoriedade mistura de água quente com água fria expansão livre de um gás fluxo de calor irreversível e produção de calor pelo atrito mecânico Existe aumento de entropia em todos esses casos Justifique sua resposta Q2018 a expansão livre de um gás ideal é um processo adiabá tico e portanto não há transferência de calor Nenhum trabalho é realizado logo a energia interna não se altera Dessa forma QT 0 apesar disso a desordem do sistema e sua entropia aumentaram após a expansão Por que a Equação 2019 não se aplica a essa situação Q2019 a terra e o sol estão em equilíbrio térmico Existe variação de entropia associada à transmissão de energia do sol para a terra a radiação difere dos outros modos de transferência de calor no que diz respeito a variações de entropia Explique seu raciocínio Q2020 suponha que você coloque um objeto quente em con tato térmico com um objeto frio e observe para sua surpresa que o calor flui do objeto frio para o objeto quente tornando o objeto frio mais frio e o quente mais quente ainda Esse processo neces sariamente viola a primeira lei da termodinâmica E a segunda lei Explique seu raciocínio Q2021 se você roda um filme de trás para a frente é como se o sentido do tempo fosse invertido No filme com o tempo in vertido você veria processos que violam a conservação da ener gia E a conservação do momento linear você veria processos que violam a segunda lei da termodinâmica Em cada um dos casos se ocorrerem processos que violem alguma lei dê alguns exemplos Q2022 BIo alguns críticos da teoria da evolução biológica afirmam que essa teoria viola a segunda lei da termodinâmica uma vez que a evolução implica a transformação de uma forma de vida mais simples em outra mais complexa com organismos mais ordenados Explique por que esse não é um argumento vá lido contra a teoria da evolução Q2023 BIo uma planta crescendo cria uma estrutura alta mente complexa e organizada a partir de materiais simples como o ar a água e alguns minerais isso viola a segunda lei da ter modinâmica Justifique sua resposta Qual é a fonte de energia primária de uma planta Explique seu raciocínio EXErCÍCIos seção 202 máquinas térmicas 201 um motor a diesel produz 2200 J de trabalho mecânico e rejeita 4300 J de calor em cada ciclo a Qual deve ser a quan tidade de calor a ser fornecida para a máquina em cada ciclo b Qual é a eficiência térmica da máquina 202 o motor de um avião recebe um calor de 9000 J e rejeita 6400 J em cada ciclo a Qual é o trabalho realizado pela máquina em cada ciclo b Qual é a eficiência térmica da máquina 203 Motor a gasolina um motor a gasolina consome 161 104 J de calor e realiza 3700 J de trabalho em cada ciclo o calor é obtido pela queima de gasolina com calor de combustão BookSEARSVol2indb 342 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 343 igual a 460 104 Jg a Qual é a eficiência térmica b Qual é a quantidade de calor rejeitada em cada ciclo c Qual é a massa de combustível queimada em cada ciclo d se o motor gira com 600 ciclos por segundo qual é a potência fornecida pelo motor em quilowatts E em cavalosvapor 204 um motor a gasolina produz uma potência igual a 180 kw cerca de 241 hp sua eficiência térmica é 280 a Qual é a quantidade de calor fornecida para a máquina por segundo b Qual é o calor rejeitado pela máquina por segundo 205 o diagrama PV da Figura E205 mostra um ciclo de uma máquina térmica que usa 0250 mol de um gás ideal com g 140 o processo ab é adiabático a Determine a pressão do gás no ponto a b Quanto calor entra nesse gás por ciclo e onde isso acontece c Quanto calor sai desse gás em um ciclo e onde isso ocorre d Quanto trabalho esse motor realiza em um ciclo e Qual é a eficiência térmica do motor seção 203 máquinas de combustão interna 206 a calcule a eficiência teórica de um motor do ciclo de otto com g 140 e r 950 b se esse motor requer 10000 J de calor da queima de seu combustível quanto calor ele rejeita para o ar exterior 207 o motor de ciclo de otto de um MercedesBenz sLK230 tem uma razão de compressão igual a 88 a Qual é a eficiência ideal do motor use g 140 b o motor de um Dodge viper Gt2 possui uma razão de compressão ligeiramente maior igual a 96 Qual é o aumento da eficiência ideal produzido por esse aumento da razão de compressão seção 204 refrigeradores 208 o coeficiente de desempenho K HP é uma grandeza adimensional seu valor independe das unidades usadas para H e P desde que as mesmas unidades como watts sejam usadas para as duas grandezas No entanto é uma prática comum expressar H em Btuh e P em watts Quando essas unidades misturadas são usadas a razão HP é chamada de razão de eficiência de energia EER Energy Efficiency ratio se um aparelho de arcondicionado comum possui K 30 qual é sua EEr 209 um refrigerador possui coeficiente de desempenho igual a 210 Ele absorve 310 104 J de calor de um reservatório frio em cada ciclo a Qual é a energia mecânica em cada ciclo ne cessária para operar o refrigerador b Durante cada ciclo qual é o calor rejeitado para o reservatório quente 2010 um freezer possui um coeficiente de desempenho igual a 240 o freezer deve converter 180 kg de água a 250 c em 180 kg de gelo a 50 c em uma hora a Que quantidade de calor deve ser removida da água a 25 c para convertêla em gelo a 5 c b Qual é a energia elétrica consumida pelo free zer durante uma hora c Qual é a quantidade de calor rejeitado para a sala na qual o freezer está localizado 2011 um refrigerador possui um coeficiente de desempe nho de 225 recebe 135 w de potência elétrica e mantém seu compartimento interno a 5 c se você colocasse 12 garrafas plásticas de 1 litro com água a 31 c nesse refrigerador quanto tempo levaria para que elas fossem resfriadas para 5 c ignore qualquer calor que saia do plástico seção 206 o ciclo de Carnot 2012 uma máquina de carnot opera entre dois reservatórios com temperaturas de 520 K e 300 K a se a máquina recebe 645 kJ de calor do reservatório a 520 K em cada ciclo quantos joules por ciclo ela rejeita ao reservatório a 300 K b Qual é o trabalho mecânico produzido pela máquina durante cada ciclo c Qual é a eficiência térmica da máquina 2013 uma máquina de carnot cujo reservatório quente está a uma temperatura de 620 K absorve 550 J de calor nessa tem peratura em cada ciclo e fornece 335 J para o reservatório frio a Qual é o trabalho produzido pela máquina durante cada ciclo b Qual é a temperatura da fonte fria c Qual é a eficiência térmica do ciclo 2014 uma máquina que produz gelo opera em um ciclo de carnot Ela recebe calor da água a 00 c e rejeita calor para uma sala a 240 c suponha que 850 kg de água a 00 c sejam convertidos em gelo a 00 c a Qual é o calor rejeitado para a sala b Qual é a energia que deve ser fornecida para a máquina 2015 uma máquina de carnot tem uma eficiência de 66 e realiza 25 104 J de trabalho em cada ciclo a Quanto calor a máquina extrai de sua fonte de calor em cada ciclo b suponha que a máquina rejeite calor para a sala à temperatura ambiente 200 c Qual é a temperatura de sua fonte de calor 2016 certa marca de freezer anuncia que usa 730 kw h de energia por ano a supondo que o freezer funcione durante 5 horas todos os dias quanta potência ele requer enquanto está em funcionamento b se o freezer mantém seu interior a uma temperatura de 50 c em uma sala a 200 c qual é seu coe ficiente de desempenho teórico máximo c Qual é a quantidade máxima teórica de gelo que esse freezer poderia fazer em uma hora partindo de água a 20 c 2017 um refrigerador de carnot opera entre dois reserva tórios a temperaturas de 320 K e 270 K a se em cada ciclo o refrigerador recebe 415 J de calor do reservatório a 270 K qual é a quantidade de calor em joules transferida para o reservató rio a 320 K b se o refrigerador executa 165 ciclos em cada minuto qual é a potência necessária para operálo c Qual é o coeficiente de desempenho do refrigerador 2018 uma máquina térmica de carnot usa um reservatório quente que consiste em uma grande quantidade de água fervente e um reservatório frio formado por um grande tanque de gelo e água Em 5 minutos de funcionamento o calor rejeitado pela máquina derrete 00400 kg de gelo Durante esse tempo quanto trabalho W é realizado pela máquina 2019 você projeta uma máquina que absorve 150 104 J de calor a 650 K em cada ciclo e rejeita calor a uma temperatura de 290 K a máquina completa 240 ciclos em 1 minuto Qual é o máximo rendimento de potência teórico de sua máquina em cavalosvapor seção 207 Entropia 2020 um bloco de gelo de 450 kg a 000 c cai no oceano e se derrete a temperatura média do oceano é 350 c incluindo todas as águas profundas Em quanto a variação desse gelo para a água a 350 c altera a entropia do universo a entropia aumenta ou diminui Dica você acredita que a temperatura do oceano mudará de modo apreciável enquanto o gelo derrete 2021 um estudante universitário sem ter o que fazer aquece 0350 kg de gelo a 00 c até ele se fundir completamente a Qual é a variação da entropia da água b a fonte de calor é um corpo com massa muito grande a uma temperatura igual a 250 c Qual é a variação de entropia desse corpo c Qual é a variação total de entropia da água e da fonte de calor Figura E205 15 O 00020 00090 P atm a b V m3 c BookSEARSVol2indb 343 021015 153 PM 344 Física II 2022 CALC você decide tomar um banho mas descobre que o seu descuidado companheiro de quarto usou quase toda a água quente você enche a banheira com 195 kg de água a 300 c e tenta aquecêla mais despejando 500 kg de água fervente aque cida no fogão a Esse processo é reversível ou irreversível use raciocínio físico para explicar b calcule a temperatura final da água do banho c calcule a variação total na entropia do sistema água da banheira água fervente supondo que não haja troca de calor com o ar e com a própria banheira 2023 um bloco de gelo de 150 kg a 00 c se liquefaz a 00 c dentro de uma sala grande com temperatura de 200 c considere o gelo e a sala um sistema isolado e suponha que a sala seja grande o bastante para que sua variação de temperatura possa ser desprezada a a liquefação do gelo é reversível ou irreversível Explique usando raciocínio físico simples e sem recorrer a nenhuma equação b calcule a variação de entropia total do sistema durante esse processo comente se esse resultado é compatível ou não com a sua resposta à parte a 2024 CALC você faz um chá com 0250 kg de água a 850 c e o deixa esfriar à temperatura ambiente 200 c antes de bebêlo a calcule a variação de entropia da água enquanto o chá esfria b o processo de resfriamento é essencialmente iso térmico para o ar em sua cozinha calcule a variação de entropia do ar enquanto o chá esfria supondo que todo o calor perdido pela água vá para o ar Qual é a variação total de entropia do sistema chá ar 2025 Em um processo reversível 3 moles de um gás ideal são comprimidos isotermicamente a 200 c Durante a com pressão um trabalho de 1850 J é realizado sobre o gás Qual é a variação de entropia do gás 2026 Qual é a variação de entropia de 0130 kg de gás hélio em seu ponto de ebulição normal quando todo ele se condensa isotermicamente em 100 L de hélio líquido Dica ver a tabela 174 na seção 176 2027 a calcule a variação de entropia quando 100 kg de água a 100 c é vaporizado e convertido em vapor dágua a 100 c ver a tabela 174 b compare sua resposta com a variação de entropia quando 100 kg de gelo fundese a 0 c calculada no Exemplo 205 seção 207 a variação de entro pia é maior para a fusão ou para a vaporização interprete sua resposta usando a ideia de que a entropia está associada ao grau de desordem de um sistema 2028 Variação de entropia decorrente da direção a gasolina premium produz 123 108 J de calor por galão quando é queimada a aproximadamente 400 c embora a quan tidade possa variar com a mistura de combustível se o motor de um carro tem eficiência de 25 três quartos desse calor são expelidos no ar normalmente a 20 c se o seu carro faz 35 milhas por galão de gás em quanto o motor do carro varia a entropia do universo quando você dirige por 10 milha Ela diminui ou aumenta seção 208 Interpretação microscópica da entropia 2029 CALC Dois moles de um gás ideal ocupam um vo lume V o gás sofre uma expansão isotérmica reversível até um volume 3V a a distribuição das velocidades se altera com a expansão isotérmica Explique b use a Equação 2023 para calcular a variação de entropia do gás c use a Equação 2018 para calcular a variação de entropia do gás compare esse resul tado com o obtido na parte b 2030 uma caixa possui dois compartimentos de mesmo volume separados por uma divisória o lado esquerdo da caixa contém 500 moléculas do gás nitrogênio o lado direito contém 100 moléculas do gás oxigênio os dois gases estão à mesma temperatura a divisória é perfurada e o equilíbrio é atingido suponha que o volume da caixa seja suficientemente grande para que cada gás sofra uma expansão livre mantendo sua tempera tura constante a Em média quantas moléculas de cada gás estarão em cada metade da caixa b Qual é a variação da en tropia do sistema depois que a divisória foi perfurada c Qual seria a probabilidade de encontrar as moléculas com a mesma distribuição existente antes de a divisória ser perfurada ou seja 500 moléculas de nitrogênio do lado esquerdo e 100 moléculas de oxigênio do lado direito 2031 CALC um balão solitário com volume de 240 L e con tendo 0100 mol de ar é solto na Estação Espacial internacional que está temporariamente desabitada e despressurizada a luz do sol entrando por uma janela aquece e explode o balão fazendo com que o ar dentro dele passe por uma expansão livre dentro da estação vazia cujo volume total é 425 m3 calcule a variação de entropia do ar durante a expansão ProBLEmAs 2032 você está projetando uma máquina de carnot com 2 moles de co2 como substância de trabalho o gás pode ser considerado ideal o gás precisa ter uma temperatura máxima de 527 c e uma pressão máxima de 500 atm com um forne cimento de calor de 400 J por ciclo você quer 300 J de trabalho útil a ache a temperatura do reservatório frio b Quantos ciclos a máquina precisa efetuar para derreter completamente um bloco de gelo de 100 kg originalmente a 00 c usando apenas o calor rejeitado pela máquina 2033 PC uma máquina ideal de carnot funciona entre 500 c e 100 c com um fornecimento de calor de 250 J por ciclo a Que quantidade de calor é fornecida ao reservatório frio em cada ciclo b Qual é o número mínimo de ciclos ne cessário para que a máquina erga uma pedra de 500 kg a uma altura de 100 m 2034 BIo Entropia do metabolismo uma pessoa normal dormindo sofre metabolismo a uma taxa de aproximadamente 80 w pela digestão do alimento ou pela queima de gordura Normalmente 20 dessa energia entra nas funções corporais como reparo de células bombeamento de sangue e outros usos da energia mecânica enquanto o restante vai para o calor a maioria das pessoas se livra de todo esse calor em excesso transferindo o por condução e pelo fluxo de sangue à superfície do corpo onde é irradiado a temperatura interna normal do corpo onde ocorre o metabolismo é de 37 c e a pele normalmente é 7 c mais fria De quanto varia a entropia dessa pessoa por segundo em decorrência dessa transferência de calor 2035 PC certa máquina térmica operando em um ciclo de carnot absorve 410 J de calor por ciclo em seu reservatório quente a 135 c e possui eficiência térmica de 220 a Quanto trabalho essa máquina realiza por ciclo b Quanto calor essa máquina rejeita a cada ciclo c Qual é a temperatura do reserva tório frio d Em quanto a máquina varia a entropia do universo a cada ciclo e Que massa da água essa máquina poderia bom bear por ciclo a partir de um poço de 350 m de profundidade 2036 uma máquina térmica usa 0350 mol de um gás diatô mico ideal e executa o ciclo indicado no diagrama PV da Figura P2036 o processo 1 2 ocorre a volume constante o processo 2 3 é adiabático e o processo 3 1 ocorre a uma pressão constante de 10 atm o valor de g para esse gás é 140 a ache a pressão e o volume nos pontos 1 2 e 3 b calcule Q W e U BookSEARSVol2indb 344 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 345 em cada um dos três proces sos c ache o trabalho total realizado pelo gás no ciclo d calcule o fluxo de calor total para o interior da má quina em um ciclo e Qual é a eficiência térmica da má quina como esse valor se compara à eficiência de um ciclo de carnot operando entre as mesmas temperatu ras extremas T1 e T2 2037 BIo Variação de entropia da digestão de gordura a digestão de gordura produz 93 kcal por grama de gordura e normalmente 80 dessa energia vai para o calor durante o meta bolismo uma kcal corresponde a 1000 calorias e portanto é igual a 4186 J o corpo então move todo esse calor para a su perfície por uma combinação de condutividade térmica e movi mento do sangue a temperatura interna do corpo onde ocorre a digestão normalmente é de 37 c e a superfície em geral 30 c Em quanto a digestão e o metabolismo de 25 g de gordura varia a entropia de seu corpo Ela aumenta ou diminui 2038 calcule a eficiência térmica da máquina que usa n moles de um gás ideal diatô mico e executa o ciclo 1 2 3 4 1 mostrado na Figura P2038 2039 CALC você cons trói uma máquina térmica que requer 10 mol de um gás ideal diatômico em todo o ciclo mostrado na Figura P2039 a Mostre que o segmento ab é uma compressão isotérmica b Durante qualis processos do ciclo o calor é absorvido pelo gás Durante qualis processos o calor é rejeitado como você sabe disso c calcule a temperatura nos pon tos a b e c d calcule o calor total trocado com o meio ambiente e o trabalho total reali zado pela máquina em um ciclo e calcule a eficiência térmica da máquina 2040 PC sendo um engenheiro mecânico iniciante você é contratado para projetar uma máquina de carnot que tem 200 mols de um gás ideal monoatômico como sua substância de tra balho e opera de um reservatório de alta temperatura a 500 c a máquina deve erguer um peso de 150 kg até 200 m por ciclo usando 500 J de calor fornecido o gás na câmara da máquina pode ter um volume mínimo de 500 L durante o ciclo a Desenhe um diagrama PV desse ciclo Mostre em seu diagrama por onde o calor entra no gás e por onde ele sai b Qual deve ser a temperatura do reservatório frio c Qual é a eficiência térmica da máquina d Quanta energia térmica essa máquina desperdiça por ciclo e Qual é a pressão máxima que a câmara de gás precisa suportar 2041 CALC uma má quina térmica funciona se guindo o ciclo mostrado na Figura P2041 a substância de trabalho é 200 mols de gás hélio que atinge uma tem peratura máxima de 327 c considere o hélio um gás ideal o processo bc é isotér mico a pressão nos estados a e c é 100 105 Pa e a pressão no estado b é 300 105 Pa a Quanto calor entra no gás e quanto calor sai a cada ciclo b Quanto trabalho a máquina realiza a cada ciclo e qual é sua eficiência c compare a efi ciência dessa máquina com a máxima eficiência possível dos reservatórios quente e frio usados nesse ciclo 2042 PC BIo Entropia humana uma pessoa que possui uma área superficial na pele de 185 m2 e temperatura de 300 c está descansando em uma sala isolada onde a temperatura do ar ambiente é 200 c Nesse estado essa pessoa se livra do calor em excesso por irradiação Em quanto essa pessoa varia a entro pia do ar nessa sala a cada segundo Lembrese de que a sala irradia de volta para a pessoa e que a emissividade da pele é 100 2043 uma usina elétrica experimental no Laboratório de Energia Natural no havaí gera energia elétrica a partir do gra diente de temperatura do oceano a água da superfície está a 27 c e a água em profundidades elevadas está a 6 c a Qual é a eficiência teórica máxima dessa usina b se a usina deve produzir 210 kw de potência com que taxa o calor deve ser ex traído da água quente com que taxa o calor deve ser absorvido da água fria suponha a máxima eficiência teórica c a água fria que sai da usina possui temperatura igual a 10 c Qual deve ser a vazão da água fria através do sistema Dê sua resposta em kgh e em Lh 2044 PC BIo Uma máquina humana você decide usar seu corpo como uma máquina térmica de carnot o gás em ope ração está em um tubo com uma extremidade em sua boca onde a temperatura é igual a 370 c e a outra extremidade na super fície da sua pele a 300 c a Qual é a eficiência máxima dessa máquina de calor Ela seria uma máquina útil b suponha que você queira usar essa máquina humana para levantar uma caixa de 250 kg do chão até o topo de uma mesa a 120 m de altura Em quanto você precisa aumentar a energia potencial gravitacional e quanto calor deve ser fornecido para realizar isso c se o seu doce favorito possui 350 kcal 1 kcal 4186 J e 80 de sua energia alimentar se transforma em calor quantos desses doces você precisa comer para levantar a caixa dessa maneira 2045 CALC um cilindro contém oxigênio a uma pressão de 200 atm seu volume é 400 L e a temperatura é 300 K suponha que o oxigênio possa ser considerado um gás ideal o oxigênio é submetido aos seguintes processos i aquecido à pressão constante do estado inicial estado 1 até o estado 2 cuja temperatura é T 450 K ii resfriado a volume constante até 250 K estado 3 iii comprimido à temperatura constante até um volume de 400 L estado 4 iv aquecido a volume constante até 300 K fazendo o sistema retornar ao estado 1 Figura P2038 2 1 3 O P V 4 2V0 V0 P0 2P0 Figura P2039 b c a O 20 105 0005 0010 40 105 P Pa V m3 Figura P2041 b a c O P V Figura P2036 2 1 3 O T2 600 K T1 300 K T3 492 K 100 atm P V BookSEARSVol2indb 345 021015 153 PM 346 Física II a Mostre esses quatro processos em um diagrama PV fornecendo os valores numéricos de P e V em cada um dos quatro estados b calcule Q e W em cada um dos quatro processos c Encontre o trabalho total realizado pelo oxigênio no ciclo completo d Qual é a eficiência desse dispositivo como máquina térmica como se compara essa eficiência com a de um ciclo de carnot entre as mesmas temperaturas extremas de 250 K e 450 K 2046 um gás monoatômico ideal executa o ciclo da Figura P2046 no sentido indicado na figura o caminho do processo c a é uma linha reta no diagrama PV a calcule Q W e U em cada processo a b b c e c a b Quais são os valo res de Q W e U em um ciclo completo c Qual é a eficiência do ciclo 2047 uma máquina de carnot opera entre dois reservatórios de calor com temperaturas Th e Tc um inventor propõe aumen tar sua eficiência fazendo uma máquina operar entre Th e uma temperatura intermediária T e uma segunda máquina entre T e Tc usando na segunda máquina o calor rejeitado pela primeira calcule a eficiência dessa máquina composta e comparea com a eficiência da máquina original 2048 uma usina termelétrica alimentada por queima de carvão produz uma potência mecânica de 1000 Mw com uma eficiência térmica de 40 a Qual é a taxa de fornecimento de calor para a usina b o carvão usado é o antracito que possui calor de combustão de 265 107 Jkg Qual é a massa de carvão queimada por dia se a usina funciona sem interrupções c a que taxa o calor é rejeitado para o reservatório frio que vem a ser um rio próximo d a temperatura do rio é 18 c antes de chegar à usina e 185 c depois de receber o calor rejeitado pela usina calcule a taxa de escoamento do rio em metros cúbicos por segundo e Em quanto a entropia do rio aumenta a cada segundo 2049 Termodinâmica do automóvel um Passat tem um motor a gasolina com seis cilindros operando com o ciclo de otto a uma razão de compressão r 106 o diâmetro do cilin dro chamado de furo do motor é igual a 825 mm a distância que o pistão percorre durante a compressão mostrada na figura 205 chamada de curso é 864 mm a pressão inicial da mistura de ar com gasolina no ponto a da figura 206 é 850 104 Pa e a temperatura inicial é 300 K igual à temperatura do ar externo suponha que 200 J de calor sejam fornecidos a cada cilindro em cada ciclo de queima de gasolina e que o gás possua CV 205 Jmol K e g 140 a calcule o trabalho total realizado em um ciclo em cada cilindro do motor e o calor rejeitado quando o gás esfria até a temperatura do ar externo b calcule o volume da mistura de ar com gasolina no ponto a do ciclo c calcule a pressão o volume e a temperatura do gás nos pontos b c e d do ciclo Em um diagrama PV mostre os valores numéricos de P V e T em cada um dos quatro estados d compare a eficiência desse motor com a de um ciclo de carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas 2050 um aparelho de arcondicionado funciona com 800 w de potência e apresenta um coeficiente de desempenho de 280 a uma temperatura ambiente de 210 c e uma temperatura externa de 350 c a calcule a taxa de remoção de calor dessa unidade b calcule a taxa com que o calor é rejeitado para o ar externo c calcule a variação total de entropia na sala se o arcondicio nado funcionar durante 1 hora calcule a variação total de entro pia no ar externo durante o mesmo período d Qual é a variação total na entropia no sistema sala ar externo 2051 o diagrama PV da Figura P2051 mostra o ciclo para um refrigerador operando sobre 0850 mol de h2 suponha que o gás possa ser tratado como ideal o processo ab é isotérmico Determine o coeficiente de desempenho desse refrigerador 2052 BIo Entropia humana uma pessoa com uma área na superfície da pele de 185 m2 e temperatura de 300 c está descansando em um quarto isolado onde a temperatura ambiente é igual a 200 c Nesse estado uma pessoa se livra do calor em excesso por irradiação Em quanto a pessoa varia a entropia do ar nesse quadro a cada segundo Lembrese de que o quarto irradia de volta para a pessoa e que a emissividade da pele é 100 2053 CALC um objeto de massa m1 calor específico c1 e temperatura T1 é colocado em contato com um segundo ob jeto de massa m2 calor específico c2 e temperatura T2 T1 Por causa disso a temperatura do primeiro objeto aumenta até T e a temperatura do segundo objeto diminui para T a Mostre que o aumento de entropia do sistema é dado por S m1c1 ln T T1 m2c2 ln T T2 e mostre que a conservação da energia exige que m1c1T T1 m2c2T2 T b Mostre que a variação de entropia S considerada função de T tornase máxima quando T T que é precisamente a condição de equilíbrio termodinâmico c Discuta o resultado do item b considerando a ideia de que a entropia indica o grau de desordem de um sistema 2054 CALC Para aquecer uma xícara de água 250 cm3 para fazer café você coloca um resistor de aquecimento dentro da água Enquanto a temperatura da água aumenta de 20 c para 78 c a temperatura do resistor de aquecimento mantémse cons tante e igual a 120 c calcule a variação de entropia a da água b do resistor de aquecimento c do sistema constituído pela água mais o resistor adote as mesmas hipóteses do Exemplo 2010 seção 207 sobre o calor específico da água e despreze o calor que flui para a xícara de cerâmica d Esse processo é reversível ou irreversível Explique 2055 dAdos Em seu trabalho em uma empresa de capital de risco você recebe solicitações de verba de quatro investido res de máquinas térmicas os investidores declaram os seguintes dados para seus protótipos operacionais Figura P2046 a b O P V c 300 105 Pa 100 105 Pa 0500 m3 0800 m3 Figura P2051 0700 O 00300 0100 P atm a b V m3 c BookSEARSVol2indb 346 021015 153 PM Capítulo 20 A segunda lei da termodinâmica 347 Protótipo A B C D Tc c reservatório de temperatura baixa 47 17 33 37 Th c reservatório de temperatura alta 177 197 247 137 Eficiência declarada e 21 35 56 20 a com base nos valores de Tc e Th para cada protótipo deter mine a eficiência máxima possível para cada um b alguma das eficiências alegadas é impossível Explique c Para todos os protótipos com eficiência possível classifique os protótipos em ordem decrescente da razão entre a eficiência declarada e a eficiência máxima possível 2056 dAdos Para um refrigerador ou arcondicionado o coeficiente de desempenho K geralmente indicado como coP é como na Equação 209 a razão da saída de resfriamento Qc pela entrada de energia elétrica exigida W ambas em joules o coeficiente de desempenho também é expresso como uma razão de potências K 0 QC0 t 0 W0 t onde QCt é a potência de resfriamento e Wt é a entrada de potência para o dispositivo ambas em watts a razão de eficiên cia de energia EEr é a mesma quantidade expressa em unida des de Btu para Qc e w h para W a Derive uma relação geral que expressa EEr em termos de K b Para um arcondi cionado doméstico a EEr geralmente é determinada para uma temperatura externa de 95 f e uma temperatura do ar de retorno de 80 f calcule a EEr para uma máquina de carnot que opera entre 95 f e 80 f c você tem um arcondicionado com uma EEr de 109 sua casa requer em média uma saída de resfria mento total de Qc 19 1010 J por ano se a eletricidade custa 153 centavos por kw h quanto você gasta por ano em média para usar seu arcondicionado suponha que a EEr da unidade represente com precisão a operação de seu arcondicio nado uma razão de eficiência de energia sazonal sEEr é constantemente utilizada a sEEr é calculada por um intervalo de temperaturas externas para obter uma média sazonal mais precisa d você está considerando a troca de seu arcondicio nado por outro mais eficiente com EEr de 146 com base na EEr quanto você economizaria com os custos de eletricidade por ano em média 2057 dAdos você está realizando experimentos para estudar protótipos de máquinas térmicas Em um teste 400 moles de gás argônio são retira dos do ciclo mostrado na Figura P2057 a pressão é baixa o sufi ciente para que o gás seja tratado como ideal você mede a tempe ratura do gás nos estados a b c e d e descobre que Ta 2500 K Tb 3000 K Tc 3800 K e Td 3167 K a calcule a eficiência e do ciclo b Desapontado com a baixa eficiência do ciclo você pensa em dobrar o número de moles de gás enquanto mantém a pressão e o volume inaltera dos Qual seria e nesse caso c você se lembra que a eficiência de um ciclo de carnot aumenta se a temperatura do reservatório quente for aumentada assim você volta a usar 400 moles de gás mas dobra o volume nos estados c e d enquanto mantém as pressões iguais as temperaturas resultantes nesses estados são Tc 7600 K e Td 6334 K Ta e Tb permanecem as mesmas que no item a calcule e para este ciclo com os novos valores de Tc e Td d Encorajado pelo aumento da eficiência você aumenta Tc e Td ainda mais Porém e não aumenta muito ele parece estar se aproximando de um valor limite se Ta 2500 K e Tb 3000 K e você mantém os volumes Va e Vb iguais aos do item a então TcTd TbTa e Tc 120Td Deduza uma expressão para e em função de Td para este ciclo Para que valor e se aproxima quando Td se torna muito grande ProBLEmA dEsAFIAdor 2058 considere um ciclo diesel que começa no ponto a da figura 207 com a temperatura do ar igual a Ta o ar pode ser considerado um gás ideal a se a temperatura no ponto c é Tc deduza uma expressão para a eficiência do ciclo em termos da razão de compressão r b calcule o valor da eficiência conside rando Ta 300 K Tc 950 K g 140 e r 210 Problemas com contexto Potência do mar a con versão de energia térmica do oceano é um processo que usa a diferença de temperatura entre a água superficial quente dos oceanos tropicais e a água fria do oceano profundo para fazer uma máquina térmica funcionar o grá fico mostra uma diminui ção típica da temperatura com profundidade abaixo da superfície nos oceanos tropicais Na máquina tér mica a água superficial mais quente vaporiza um fluido com baixo ponto de ebulição como a amônia o calor da vaporização da amônia é 260 calg a 27 c a temperatura da água na superfície o vapor é usado para ativar uma turbina e então é condensado de volta para o estado líquido por meio da água fria trazida da profundidade abaixo da superfície através de uma tubulação de entrada larga uma usina de energia produzindo 10 Mw de potência útil exigiria uma taxa de entrada de água fria do mar de cerca de 30000 kgs 2059 se a usina de energia utiliza um ciclo de carnot e a efi ciência teórica desejada for 65 de que profundidade a água fria deve ser trazida a 100 m b 400 m c 800 m d mais fundo que 1000 m 2060 Qual é a variação na entropia da amônia vaporizada por se gundo na usina de energia de 10 Mw considerando uma eficiên cia de carnot ideal de 65 a 6 106 JK por segundo b 5 105 JK por segundo c 1 105 JK por segundo d 0 2061 compare a variação de entropia da água mais quente com a água mais fria durante um ciclo da máquina térmica conside rando um ciclo de carnot ideal a a entropia não varia durante um ciclo em qualquer um dos casos b a entropia de ambos aumenta mas a entropia da água mais fria aumenta mais porque sua temperatura inicial é mais baixa c a entropia da água mais O P b c d V a Figura P2057 1000 500 600 700 800 900 400 300 200 100 0 5 10 15 20 25 30 Profundidade m C BookSEARSVol2indb 347 021015 153 PM 348 Física II respostas resposta à pergunta inicial do capítulo i é isto o que um refrigerador faz ele faz o calor fluir do seu interior frio para o exterior quente a segunda lei da termodi nâmica diz que o calor não pode fluir espontaneamente de um corpo frio para um corpo quente um refrigerador possui um motor que realiza trabalho sobre o sistema para forçar o calor a fluir nesse sentido respostas às perguntas dos testes de compreensão 201 resposta ii como deslizar um livro sobre a mesa esfregar as mãos uma na outra utiliza o atrito para converter energia mecânica em calor o processo inverso impossível en volveria as suas mãos ficarem mais frias espontaneamente e a energia liberada as forçaria a se moverem ritmicamente para a frente e para trás 202 respostas iii i ii Pela Equação 204 a eficiência é e WQh e pela Equação 202 W Qh Qc Qh Qc Para a máquina i Qh 5000 J e Qc 4500 J então W 5000 J 4500 J 500 J e e 500 J 5000 J 0100 Para a máquina ii Qh 25000 J e W 2000 J então e 2000 J25000 J 0080 Para a máquina iii W 400 J e Qc 2800 J logo Qh W Qc 400 J 2800 J 3200 J e e 400 J3200 J 0125 203 respostas i ii Dobrar a quantidade de combustí vel queimado por ciclo significa dobrar Qh então o resultante aumento da pressão de b a c na figura 206 é maior a razão de compressão e por conseguinte a eficiência permanecem ambos iguais então Qc a quantidade de calor rejeitado para o meio ambiente precisa aumentar pelo mesmo fator que Qh assim a diminuição da pressão de d até a na figura 206 também é maior o volume V e a razão de compressão r não variam portanto as dimensões horizontais do diagrama PV não se alteram 204 resposta não um refrigerador usa o fornecimento de trabalho para transferir calor de um sistema o interior do re frigerador para outro seu exterior que inclui a casa onde o refrigerador está instalado se a porta estiver aberta esses dois sistemas são na verdade o mesmo sistema e a temperatura final do sistema será a mesma Pela primeira lei da termodinâmica todo o fornecimento de trabalho para o motor do refrigerador será convertido em calor e a temperatura da sua casa na verdade aumentará Para esfriar a casa você precisa de um sistema que transfira calor para o exterior da casa como um aparelho de ar condicionado ou uma bomba de calor 205 respostas não não tanto a máquina com 100 de eficiência da figura 2011a quanto o refrigerador sem trabalho da figura 2011b voltam ao final de um ciclo ao mesmo estado do início portanto a variação da energia interna resultante em cada sistema é zero U 0 Na máquina com 100 de eficiência o fluxo total de calor para a máquina é igual ao trabalho realizado total logo Q W Q W 0 e a primeira lei é obedecida U Q W No refrigerador sem trabalho nenhum trabalho total é realizado portanto W 0 e o calor que sai é igual ao que entra portanto Q 0 então novamente Q W 0 e U Q W de acordo com a primeira lei é a segunda lei da termodinâmica que nos diz que tanto a máquina com 100 de eficiência quanto o refrigerador sem trabalho são impossíveis 206 resposta não a eficiência não pode ser maior que a de uma máquina de carnot operando entre as mesmas duas tem peraturas extremas ecarnot 1 TcTh Equação 2014 a temperatura Tc do reservatório frio dessa máquina resfriada a ar é cerca de 300 K temperatura ambiente e a temperatura Th do reservatório quente não pode ser superior ao ponto de liquefação do cobre 1356 K ver tabela 174 assim a maior eficiência possível da máquina de carnot é e 1 300 K1356 K 078 ou 78 a temperatura de qualquer máquina real teria de ser menor que essa logo seria impossível que a máquina do inventor atingisse 85 de eficiência é melhor você investir seu dinheiro em outro projeto 207 resposta 102 JK não o processo descrito é exata mente o oposto do processo usado no Exemplo 2010 o resul tado viola a segunda lei da termodinâmica a qual afirma que a entropia de um sistema isolado não pode diminuir 208 resposta i No caso i vimos no Exemplo 208 seção 207 que em um gás ideal a variação de entropia em uma expansão livre é a mesma que em uma expansão isotérmica Pela Equação 2023 isso implica que a razão do número de esta dos microscópicos depois e antes da expansão w2w1 também é igual nos dois casos Pelo Exemplo 2011 w2w1 2N então o número de estados microscópicos aumenta por um fator 2N No caso ii em uma expansão reversível a variação de entropia é dQT 0 se a expansão é adiabática não há transferência de calor portanto S 0 Pela Equação 2023 w2w1 1 e não há variação no número de estados microscópicos a diferença é que em uma expansão adiabática a temperatura diminui e as moléculas se movem mais lentamente então há menos estados microscópicos disponíveis para elas do que em uma expansão isotérmica Problema em destaque a 348 c b 10 JK quente diminui mais que a entropia da água mais fria aumenta pois parte do calor removido da água mais quente se transforma no trabalho realizado pela máquina d a entropia da água mais quente diminui pela mesma quantidade que a entropia da água mais fria aumenta 2062 se a usina proposta for construída e produzir 10 Mw mas a taxa com que o calor rejeitado é descartado para a água fria for 165 Mw qual é a eficiência real da usina a 57 b 61 c 65 d 165 BookSEARSVol2indb 348 021015 153 PM APÊNDICE A o sIsTEmA INTErNACIoNAL dE UNIdAdEs o sistema internacional de unidades abreviado por si é o sistema desenvolvido pela conferência Geral sobre Pesos e Medidas um congresso internacional e adotado por quase todos os países industrializados do mundo o material apresentado a seguir foi adaptado do National Institute of Standards and Technology httpphysicsnistgovcuu Grandeza Nome da unidade Símbolo Unidades básicas do SI comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente elétrica ampère a temperatura termodinâmica kelvin K quantidade de substância mol mol intensidade luminosa candela cd Unidades derivadas do SI Unidades equivalentes área metro quadrado m2 volume metro cúbico m3 frequência hertz hz s1 massa específica densidade quilograma por metro cúbico kgm3 velocidade metro por segundo ms velocidade angular radiano por segundo rads aceleração metro por segundo ao quadrado ms2 aceleração angular radiano por segundo ao quadrado rads2 força newton N kg ms2 pressão tensão mecânica pascal Pa Nm2 viscosidade cinemática metro quadrado por segundo m2s viscosidade dinâmica newtonsegundo por metro quadrado N sm2 trabalho energia calor joule J N m potência watt w Js carga elétrica coulomb c a s diferença de potencial força eletromotriz volt v Jc wa intensidade do campo elétrico volt por metro vm Nc resistência elétrica ohm V va capacitância farad f a sv fluxo magnético weber wb v s indutância henry h v sa densidade de fluxo magnético tesla t wbm2 intensidade do campo magnético ampère por metro am força magnetomotriz ampère a fluxo luminoso lúmen lm cd sr luminância candela por metro quadrado cdm2 iluminamento lux lx lmm2 número de onda um por metro m1 entropia joule por kelvin JK calor específico joule por quilogramakelvin Jkg K condutividade térmica watt por metrokelvin wm K intensidade da radiação watt por estereorradiano wsr atividade de uma fonte radioativa becquerel Bq s1 BookSEARSVol2indb 349 021015 153 PM 350 Física II dose de radiação gray Gy Jkg equivalente da dose de radiação sievert sv Jkg Unidades suplementares do SI ângulo plano radiano rad ângulo sólido estereorradiano sr dEFINIÇõEs dAs UNIdAdEs do sI metro m o metro é um comprimento igual à distância percorrida pela luz no vácuo em um intervalo de tempo igual à fração 1299792458 do segundo quilograma kg o quilograma é uma unidade de massa igual à massa de um protótipo internacional do quilo grama o protótipo internacional do quilograma é um cilindro de uma liga de platinairídio preservado em uma galeria da agência internacional de Pesos e Medidas em sèvres na frança segundo s o segundo é o intervalo de tempo correspon dente a 9192631770 ciclos da radiação emitida durante a transição entre dois níveis hiperfinos do estado funda mental do átomo de césio 133 ampère A o ampère é uma corrente constante que ao ser mantida em dois fios retilíneos e paralelos de com primentos infinitos de seções retas desprezíveis e sepa rados por uma distância de 1 m no vácuo produz entre os fios uma força igual a 2 107 N para cada metro de comprimento dos fios kelvin K o kelvin unidade de temperatura termodinâ mica é a fração igual a 127316 da temperatura termo dinâmica correspondente ao ponto triplo da água ohm V o ohm é a resistência elétrica entre dois pontos de um condutor que transporta uma corrente de 1 a quando uma diferença de potencial constante de 1 volt é aplicada entre esses dois pontos esse trecho do condutor não pode ser fonte de nenhuma força eletromotriz coulomb C o coulomb é a carga elétrica transportada em um segundo por uma corrente de 1 a candela cd a candela é a intensidade luminosa em dada direção de uma fonte que emite uma radiação mo nocromática com frequência igual a 540 1012 hertz e cuja intensidade da radiação nessa direção equivale a 1683 watt por estereorradiano moléculagrama mol o mol é a quantidade de uma substância que contém um número de unidades ele mentares equivalente ao número de átomos existentes em 0012 kg de carbono 12 Essas unidades elementares devem ser especificadas e podem ser átomos moléculas íons elétrons outras partículas ou grupos de tais partí culas especificadas newton N o newton é a força que fornece para uma massa de 1 quilograma uma aceleração de um metro por segundo por segundo joule J o joule é o trabalho realizado quando o ponto de aplicação de uma força constante de 1 N é deslocado até uma distância de 1 metro na direção da força watt W o watt é a potência que dá origem a uma produ ção de energia com uma taxa igual a 1 joule por segundo volt V o volt é a diferença de potencial elétrico entre dois pontos de um condutor que transporta uma corrente constante igual a 1 ampère quando a potência entre es ses dois pontos é igual a 1 w weber Wb o weber é o fluxo magnético que ao atraves sar um circuito com uma espira produz nela uma força eletromotriz igual a 1 v quando o fluxo é reduzido a zero com uma taxa uniforme em um segundo lúmen lm o lúmen é o fluxo luminoso emitido em um ângulo sólido igual a 1 estereorradiano por uma fonte pontual uniforme cuja intensidade é igual a 1 candela farad F o farad é a capacitância de um capacitor que possui uma diferença de potencial de 1 v entre suas pla cas quando ele é carregado por uma carga elétrica igual a 1 coulomb henry H o henry é a indutância de um circuito fechado no qual uma força eletromotriz de 1 v é produzida quando a corrente elétrica no circuito varia com uma taxa uniforme de 1 a por segundo radiano rad o radiano é o ângulo plano entre dois raios do círculo que cortam a circunferência formando um arco de comprimento igual ao raio estereorradiano sr o estereorradiano é um ângulo só lido que possuindo seu vértice no centro de uma esfera corta a superfície da esfera formando uma calota cuja área superficial é equivalente à área de um quadrado de lado igual ao raio da esfera prefixos do SI os nomes dos múltiplos e submúltiplos das unidades do si podem ser formados usandose a lista dos prefixos apresentados no apêndice f BookSEARSVol2indb 350 021015 153 PM APÊNDiCE B rELAÇõEs mATEmáTICAs ÚTEIs álgebra ax 1 ax a1xy2 axay a1xy2 ax ay Logaritmos se log a x então a 10x log a log b logab log a log b logab logan n log a se ln a x então a ex ln a ln b lnab ln a ln b lnab lnan n ln a Equação do segundo grau se ax2 bx c 0 x b b2 4ac 2a série binomial 1a b2n an nan1 b n1n 12 an2b2 2 n1n 12 1n 22 an3b3 3 g Trigonometria No triângulo retângulo ABC x2 y2 r2 Definições das funções trigonométricas sen a yr cos a xr tan a yx Identidades sen2a cos2a 1 tan a sen a cos a sen 2a 2 sen a cos a cos 2a cos2a sen2a 2 cos2 a 1 1 2 sen2 a sen 1 2 a 1 cos a 2 cos 1 2 a 1 cos a 2 sena sen a sena b sen a cos b cos a sen b cosa cos a cos a b cos a cos b sen a sen b sena p2 cos a sen a sen b 2sen 1 2 a b cos 1 2 a b cosa p2 sen a cos a cos b 2cos 1 2 a b cos 1 2 a b Para qualquer triângulo A9 B9 C9 não necessariamente um triângulo retângulo com lados a b e c e ângulos a b e g Lei dos senos sen a a sen b b sen g c Lei dos cossenos c2 a2 b2 2ab cos g A B C y r x a A g B C a b c a b BookSEARSVol2indb 351 021015 153 PM 352 Física II geometria comprimento de uma circunferência de raio r C 2p r Área da superfície de uma esfera de raio r A 4p r2 Área de um círculo de raio r A p r2 volume de um cilindro de raio r e altura h V p r2 h volume de uma esfera de raio r V 4p r33 Cálculo diferencial e integral Derivadas d dx xn nxn1 d dx ln ax 1 x d dx eax aeax d dx sen ax a cos ax d dx cos ax a sen ax Integrais xn dx xn1 n 1 1n 12 dx x ln x e ax dx 1 a e ax sen ax dx 1 a cos ax cos ax dx 1 a sen ax dx a2 x2 arcsen x a dx x2 a2 ln 1 x x2 a22 dx x2 a2 1 a arctan x a dx 1 x2 a22 32 1 a2 x x2 a2 x dx 1 x2 a22 32 1 x2 a2 Séries de potências convergentes para os valores de x indicados 11 x2 n 1 nx n 1n 12 x2 2 n 1n 12 1n 22 3 x3 tan x x x3 3 2x5 15 17x7 315 g10 x0 6 p22 g1 0 x0 6 12 ex 1 x x2 2 x3 3 g sen x x x3 3 x5 5 x7 7 g 1 2 ln 11 x2 x x2 2 x3 3 x4 4 g1 0 x0 6 12 cos x 1 x2 2 x4 4 x6 6 g todo x 1 2 todo x 1 2 todo x BookSEARSVol2indb 352 021015 153 PM APÊNDiCE C ALFABETo grEgo Nome Maiúscula Minúscula alfa A a Beta B b Gama G g Delta D d épsilon E zeta Z z Eta H h teta U u iota I i capa K k Lambda L l Mu M m Nu N Xi J j ômicron O o Pi P p rô R r sigma g s tau T t Úpsilon Y v fi F f Qui X x Psi C c ômega V v BookSEARSVol2indb 353 021015 153 PM APÊNDiCE D TABELA PErIódICA dos ELEmENTos Para cada elemento indicase a massa atômica média da mistura dos isótopos do elemento que se encontram na natureza Para os elementos que não possuem isótopos estáveis indicase entre parênteses a massa atômica média aproximada do elemento de maior duração todas as massas atômicas são expressas usandose unidades de massa atômica 1 u 166053892173 1027 kg que equivale a grama por mol gmol 1 H 1008 2 He 4003 3 Li 6941 4 Be 9012 5 B 10811 6 C 12011 7 N 14007 8 O 15999 9 F 18998 10 Ne 20180 11 Na 22990 12 Mg 24305 13 Al 26982 14 Si 28086 15 P 30974 16 S 32065 17 Cl 35453 18 Ar 39948 19 K 39098 20 Ca 40078 21 Sc 44956 22 Ti 47867 23 V 50942 24 Cr 51996 25 Mn 54938 26 Fe 55845 27 Co 58933 28 Ni 58693 29 Cu 63546 30 Zn 65409 31 Ga 69723 32 Ge 7264 33 As 74922 34 Se 7896 35 Br 79904 36 Kr 83798 37 Rb 85468 38 Sr 8762 39 Y 88906 40 Zr 91224 41 Nb 92906 42 Mo 9594 43 Tc 98 44 Ru 10107 45 Rh 102906 46 Pd 10642 47 Ag 107868 48 Cd 112411 49 In 114818 50 Sn 118710 51 Sb 121760 52 Te 12760 53 I 126904 54 Xe 131293 55 Cs 132905 56 Ba 137327 71 Lu 174967 72 Hf 17849 73 Ta 180948 74 W 18384 75 Re 186207 76 Os 19023 77 Ir 192217 78 Pt 195078 79 Au 196967 80 Hg 20059 81 Tl 204383 82 Pb 2072 83 Bi 208980 84 Po 209 85 At 210 86 Rn 222 87 Fr 223 88 Ra 226 103 Lr 262 104 Rf 261 105 Db 262 106 Sg 266 107 Bh 264 108 Hs 269 109 Mt 268 110 Ds 271 111 Rg 272 112 Uub 285 113 Uut 284 114 Uuq 289 115 Uup 288 116 Uuh 292 117 Uus 118 Uuo Lantanídeos 57 La 138905 58 Ce 140116 59 Pr 140908 60 Nd 14424 61 Pm 145 62 Sm 15036 63 Eu 151964 64 Gd 15725 65 Tb 158925 66 Dy 162500 67 Ho 164930 68 Er 167259 69 Tm 168934 70 Yb 17304 actinídeos 89 Ac 227 90 Th 232 91 Pa 231 92 U 238 93 Np 237 94 Pu 244 95 Am 243 96 Cm 247 97 Bk 247 98 Cf 251 99 Es 252 100 Fm 257 101 Md 258 102 No 259 Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 periódico 1 2 3 4 5 6 7 BookSEARSVol2indb 354 021015 153 PM APÊNDiCE E FATorEs dE CoNVErsÃo dAs UNIdAdEs ComPrImENTo 1 m 100 cm 1000 mm 106 mm 109 nm 1 km 1000 m 06214 mi 1 m 3281 pés 3937 pol 1 cm 03937 pol 1 pol 2540 cm 1 pé 3048 cm 1 yd 9144 cm 1 mi 5280 pés 1609 km 1 Å 1010 m 108 cm 101 nm 1 milha náutica 6080 pés 1 anoluz 9461 1015 m árEA 1 cm2 0155 pol2 1 m2 104 cm2 1076 pés2 1 pol2 6452 cm2 1 pé2 144 pol2 00929 m2 VoLUmE 1 litro 1000 cm3 103 m3 003531 pé3 6102 pol3 1 pé3 002832 m3 2832 litros 7477 galões 1 galão 3788 litros TEmPo 1 min 60 s 1 h 3600 s 1 d 86400 s 1 a 36524 d 3156 107 s âNgULo 1 rad 5730 180p 1 001745 rad p180 rad 1 rotação 360 2p rad 1 rotmin rpm 01047 rads VELoCIdAdE 1 ms 3281 péss 1 pés 03048 ms 1 mimin 60 mih 88 péss 1 kmh 02778 ms 06214 mih 1 mih 1466 péss 04470 ms 1609 kmh 1 furlongfortnight 1662 104 ms ACELErAÇÃo 1 ms2 100 cms2 3281 péss2 1 cms2 001 ms2 003281 pés2 1 pés2 03048 ms2 3048 cms2 1 mih s 1467 pés2 mAssA 1 kg 103 g 00685 slug 1 g 685 105 slug 1 slug 1459 kg 1 u 1661 1027 kg 1 kg possui uma massa de 2205 lb quando g 980 ms2 ForÇA 1 N 105 dina 02248 lb 1 lb 4448 N 4448 105 dina PrEssÃo 1 Pa 1 Nm2 1450 104 lbpol2 0209 lbpé2 1 bar 105 Pa 1 lbpol2 6895 Pa 1 lbpé2 4788 Pa 1 atm 1013 105 Pa 1013 bar 147 lbpol2 2117 lbpé2 1 mm hg 1 torr 1333 Pa ENErgIA 1 J 107ergs 0239 cal 1 cal 4186 J com base em temperatura de 15 1 pé lb 1356 J 1 Btu 1055 J 252 cal 778 pés lb 1 ev 1602 1019 J 1 kwh 3600 106 J EQUIVALêNCIA ENTrE mAssA E ENErgIA 1 kg 8988 1016 J 1 u 9315 Mev 1 ev 1074 109 u PoTêNCIA 1 w 1 Js 1 hp 746 w 550 pés lbs 1 Btuh 0293 w BookSEARSVol2indb 355 021015 153 PM APÊNDiCE F CoNsTANTEs NUmérICAs Constantes físicas fundamentais Nome Símbolo Valor velocidade da luz no vácuo Módulo da carga do elétron constante gravitacional constante de Planck constante de Boltzmann Número de avogadro constante dos gases Massa do elétron Massa do próton Massa do nêutron constante magnética constante elétrica c e G h k NA R me mp mn m0 0 1m0c2 14p0 299792458 108 ms 16021765335 1019 c 66738480 1011 N m2kg2 66260695729 1034 J s 1380648813 1023 JK 60221412927 1023 moléculasmol 8314462175 Jmol K 91093829140 1031 kg 167262177774 1027 kg 167492735174 1027 kg 4p 107 wba m 8854187817 1012 c2N m2 8987551787 109 N m2c2 outras constantes úteis Equivalente mecânico do calor Pressão da atmosfera padrão zero absoluto Elétronvolt unidade de massa atômica Energia de repouso do elétron volume de um gás ideal 0 c e 1 atm aceleração da gravidade padrão 1 atm 0 K 1 ev 1 u mec2 g 4186 Jcal 15 calorias 101325 105 Pa 27315 c 160217656535 1019 J 166053892173 1027 kg 051099892811 Mev 2241396820 litromol 980665 ms2 Fonte National Institute of Standards and Technology httpphysicsnistgovcuu os números entre parênteses indicam as incertezas dos dí gitos finais dos números principais por exemplo o número 1645421 significa 16454 00021 os valores que não possuem incertezas são exatos BookSEARSVol2indb 356 021015 153 PM Apêndice F 357 dados astronômicos Corpo Massa kg Raio m Raio orbital m Período orbital sol Lua Mercúrio vênus terra Marte Júpiter saturno urano Netuno Plutão 199 1030 735 1022 330 1023 487 1024 597 1024 642 1023 190 1027 568 1026 868 1025 102 1026 131 1022 696 108 174 106 244 106 605 106 637 106 339 106 699 107 582 107 254 107 246 107 115 106 384 108 579 1010 108 1011 150 1011 228 1011 778 1011 143 1012 287 1012 450 1012 591 1012 273 d 880 d 2247 d 3653 d 6870 d 1186 a 2945 a 8402 a 1648 a 2479 a Fonte Nasa httpsolarsystemnasagovplanets Para cada corpo o raio é o seu raio médio e o raio orbital é a distância média entre o corpo e o sol para os planetas ou medida a partir da terra no caso da Lua Em agosto de 2006 o international astronomical union reclassificou Plutão e outros pequenos corpos na órbita do sol como planetas anões Prefixos para as potências de dez Potência de dez Prefixos Abreviaturas 1024 locto y 1021 zepto z 1018 atto a 1015 femto f 1012 pico p 109 nano n 106 micro m 103 mili m 102 centi c 103 quilo k 106 mega M 109 giga G 1012 tera t 1015 peta P 1018 exa E 1021 zeta z 1024 iota Y Exemplos 1 femtômetro 1 fm 1015 m 1 milivolt 1 mv 103 v 1 picossegundo 1 ps 1012 s 1 quilopascal 1 kPa 103 Pa 1 nanocoulomb 1 nc 109 c 1 megawatt 1 Mw 106 w 1 microkelvin 1 mK 106 K 1 gigahertz 1 Ghz 109 hz BookSEARSVol2indb 357 021015 153 PM BookSEARSVol2indb 358 021015 153 PM RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES CAPÍTULO 12 121 a 218 123 a 12 1011 ms² b 15 dias c não aumenta 125 21 109 ms² para baixo 127 a 24 103 N 129 b FLua FTerra 35 106 a 0634 m a partir de 3m b i instável ii estável 1211 138 107 m 1213 a 037 ms² b 1700 kgm³ 1215 610 N 735 N na Terra astronauta e satélite têm a mesma aceleração não 1217 a 5030 ms b 60200 ms 1219 903 ms² 1221 a 7410 ms b 171 h 1223 7330 ms 1225 a 41 ms 91 mph sim b 26 h 1227 a 82700 ms b 145 dias 1229 a 784 105 s 248 anos b 444 1012 m 738 1012 m 1231 23 1030 kg 12MS 1233 a i 531 109 N ii 267 109 N 1235 a GmMx²a² b GmMx x² a²32 em direção ao anel d GmMx² e U GmMa Fx 0 1237 a 337 N b 328 N 1239 a 43 1037 kg 21 107 MS b não c 632 1010 m sim 1241 916 1013 N 1243 a 967 1012 N a 45 acima do eixo x b 302 105 ms 1245 a 200 1010 N 161 acima do eixo x b x 0 y 132 m 1247 b i 149 105 ms esfera de 500 kg 746 106 ms esfera de 1000 kg ii 224 105 ms c 266 m 1249 a 359 107 m 1251 177 ms 1253 a 736 h b 247 h 1255 183 1027 kg 1257 228 m 1259 6060 kmh 1261 υ 2 G m E h RE RE h 1263 a GM²4R² b υ GM4R T 4π R³GM c GM²4R 1265 68 10⁴ ms 1267 a 7900 s b 153 c 8430 ms perigeu 5510 ms apogeu d 2420 ms 3250 ms perigeu 1269 538 10⁹ J 1271 934 ms² 1273 GmM xa² x²32 1275 a Ur G m E m 2RE³ r² b 791 10³ ms 1277 a É considerável e não mostra padrão aparente b Terra 5500 kgm³ Mercúrio 5400 kgm³ Vênus 5300 kgm³ Marte 3900 kgm³ Netuno 1600 kgm³ Urano 1200 kgm³ Júpiter 1200 kgm³ Saturno 530 kgm³ c nenhum efeito d 93 ms² 1279 a oposto oposto b 259 dias c 441 1281 2 GM m a² 1 x a² x² 1283 opção c CAPÍTULO 13 131 a 215 ms 2930 rads b 200 10⁴ Hz 126 10⁵ rads c 13 1015 s τ 23 1015 s 43 10¹⁴ Hz f 75 10¹⁴ Hz d 20 107 s 31 10⁷ rads 133 5530 rad s 114 ms 135 00625 s 137 a 080 s b 125 Hz c 785 rads d 30 cm e 148 Nm 139 a 0167 s b 377 rads c 00844 kg 1311 a 0150 s b 00750 s 1313 a 098 m b π2 rad c x 098 m sen122 rads t 1315 a 271 ms² b x 146 cm cos157 radst 0715 rad υx 229 cms sen157 radst 0715 rad ax 359 cms² cos157 radst 0715 rad 1317 120 kg 1319 a 0253 kg b 121 cm c 303 N 1321 a 151 s b 260 Nm c 308 cms d 192 N e 00125 m 304 cms 0216 ms² f 0324 N 1323 a x 00030 m cos2760 rads t b 83 ms 23 10⁴ ms² c daxdt 63 10⁷ ms³ sen2760 rads t 63 10⁷ ms³ 1325 922 ms² 1327 a 00336 J b 00150 m c 0669 ms 1329 a 120 ms b 111 ms c 36 ms² d 135 ms² e 036 J 1331 3Ms4 1333 0240 m 1335 a 0376 m b 593 ms² c 119 N 1337 a 406 cm b 121 ms c 298 rads 1339 a 0 0 392 J 392 J b 392 J 0 0 392 J c 098 J 098 J 196 J 392 J 1341 a 27 108 kg m² b 43 106 N mrad 1343 00294 kg m² 1345 a 025 s b 025 s 1347 0407 oscilação por segundo 1349 107 ms² 1351 a 284 s b 289 s c 289 s 2 1353 A 2π 2g L B 223 2π Lg pêndulo A L L 1355 0129 kg m² 1357 A 2π Lg B 1110 2π Lg pêndulo B 1359 a 030 J 1361 a 0393 Hz b 173 kgs 1363 a A₁3 b 2A₁ 1365 0353 m 1367 a 134 ms b 190 ms² 1369 a 244 cm b 0221 s c 119 ms 1371 200 m 1373 0921 12π gL 1375 a 0784 s b 112 104 s por s mais curto c 0419 s 1377 a 0150 ms b 0112 ms² para baixo c 0700 s d 438 m 1379 a 26 ms b 021 m c 049 s 1381 117 s 1383 0421 s 1385 0705 Hz 145 1387 2π M3k 1389 a 160 s b 0625 Hz c 393 rads d 51 cm 04 s 12 s 18 s e 79 cms² 04 s 12 s 18 s f 49 kg 1391 b A amplitude angular aumenta quando L diminui c cerca de 53 1393 a Mv²6 c ω 3kM M M3 1395 opção a CAPÍTULO 14 141 não 418 N 143 7020 kgm³ sim 145 16 147 616 N 149 a 186 10⁶ Pa b 184 m 1411 0581 m 1413 a 190 10⁴ Pa b causa força adicional sobre suas paredes 1415 28 m 1417 60 10⁴ Pa 1419 227 10⁵ N 1421 a 636 Pa b i 1170 Pa ii 1170 Pa 1423 109 1425 a 219 10⁷ N b 217 10⁷ N c 579 10⁸ N 360 Física II 1427 0122 m 1429 643 104 m3 278 103 kgm3 1431 105 N 1433 a 116 Pa b 921 Pa c 0822 kg 822 kgm3 1435 1640 kgm3 1437 96 ms 1439 a 170 ms b 0317 m 1441 284 ms 1443 147 105 Pa 1445 203 104 Pa 1447 225 105 Pa 1449 119D 1451 a P0 PpD24 b 776 N 1453 a 59 105 N b 18 105 N 1455 261 104 N m 1457 0964 cm sobe 1459 a 1470 Pa b 139 cm 1461 a 00500 m3 b 100 kg 1463 98 106 kg sim 1465 a 030 b 070 1467 a 827 103 m3 b 838 kN 1469 a 165 cm b 175 m 1471 a 507 ms 128 b 324 min 208 1473 a 539 N b 310 ms2 1475 a 1 rB rL b a rL rB rL rA bL c 460 cm 1477 a 2h1H h2 b h 1479 547 m 1481 a 0200 m3s b 697 104 Pa 1483 3h1 1485 b não 1487 a 25 104 m2Pa inclinação 16 m2 interceptação b 82 m 800 kgm3 1489 opção b 1491 opção a CAPÍTULo 15 151 a 0439 m 128 ms b 0219 m 153 220 ms 800 kmh 155 a 17 cm a 17 m b 43 1014 hz a 75 1014 hz c 15 cm d 64 cm 157 a 250 hz 00400 s 196 radm b yx t 00700 m cos196 m1x 157 radst c 495 cm d 00050 s 159 a sim b sim c não d vy vA coskx vt ay v2A senkx vt 1511 a 4 mm b 0040 s c 014 m 36 ms d 024 m 60 ms e não 1513 b sentido x 1515 a 175 ms b 0146 m c ambos aumentariam por um fator de 2 1517 0337 kg 1519 a 953 N b 208 ms 1521 a 100 ms b 0250 m c yx t 300 cm cos800p radmx 800p radst d 1890 ms2 e sim 1523 410 mm 1525 a 95 km b 025 mwm2 c 110 kw 1527 a 0050 wm2 b 22 kJ 1529 948 1027 w 1537 a 133 mn n 0 1 2 b 133 m n ½ n 0 1 2 1539 a 960 ms b 461 N c 113 ms 426 ms2 1541 b 280 cm c 277 cm d 185 cm 796 hz 0126 s 1470 cms e 280 cms f yx t 560 cm sen00906 radcmx sen133 radst 1543 40 m 20 m 133 m 1545 a 450 cm b não 1547 a 311 ms b 246 hz c 245 hz 140 m 1549 a 200 hz 126 rads 349 radm b yx t 250 103 m cos349 radmx 126 radst c y0 t 250 103 m cos126 radst d y135 m t 250 103 m cos126 radst 3p2 rad e 0315 ms f 250 103 m 0 1551 a 7L 2 m1 F b não 1553 a 621 m 1555 137 hz 250 m 1557 183 m 1559 361 hz cobre 488 hz alumínio 1561 a 188 cm b 00169 kg 1563 a 707 cm b 0400 kw 1565 0800 hzn n 1 2 3 1567 a 222 g b 224 104 ms2 1569 233 N 1571 1780 kgm3 1573 a 148 N b 26 1575 c 475 hz d 138 g 1577 a 392 N b 392 N 770 Nmx c 389 s 1579 opção b CAPÍTULo 16 161 a 0344 m b 12 105 m c 69 m 50 hz 163 a 778 Pa b 778 Pa c 778 Pa 165 a 90 m b 102 khz c 14 cm d 44 mm a 88 mm e 62 Mhz 167 908 m 169 814 c 1611 016 s 1613 a 55 1015 J b 0074 mms 1615 150 cm 1617 a 414 Pa b 00208 wm2 c 103 dB 1619 a 44 1012 wm2 b 64 dB c 58 1011 m 1621 140 dB 1623 a 20 107 wm2 b 60 m c 290 m d sim não 1625 a fundamental 060 m 0 120 m primeiro sobretom 030 m 090 m 0 060 m 120 m segundo sobretom 020 m 060 m 100 m 0 040 m 080 m 120 m b fundamental 0 120 m primeiro sobretom 0 080 m 040 m 120 m segundo sobretom 0 048 m 096 m 024 m 072 m 120 m 1627 506 hz 1517 hz 2529 hz 1629 a 352 hz b 176 hz 1631 a 614 hz b 1230 hz 1633 a 137 hz 050 m b 137 hz 251 m 1635 a 172 hz b 86 hz 1637 0125 m 1639 a 820 hzn n 1 2 3 b 410 hz2n 1 n 0 1 2 1641 a 433 hz b afrouxar 1643 13 hz 1645 780 ms 1647 a 375 hz b 371 hz c 4 hz 1649 a 025 ms b 091 m 1651 198 ms 1653 a 1910 hz b 0188 m 1655 a 702 ms aproximando b 1404 hz 1657 a 360 b 294 s 1659 a 100 b 800 c 473 108 m 473 nm 1661 harmônico da flauta 3n ressoa com harmônico da corda 4n n 1 3 5 1663 a fechado b 7o e 9o c 0439 m 1665 a 0026 m 053 m 127 m 271 m 901 m b 026 m 086 m 184 m 434 m c 86 hz 1667 a 00823 m b 120 hz 1669 b 20 ms 1671 a 38 hz b não 1673 a 375 ms b 139 c 08 cm 1675 d 969 cms 667 ms2 1677 opção b 1679 opção a 1681 opção b CAPÍTULo 17 171 a 810 f b 1341 f c 880 f 173 a 272 c b 556 c 175 a 180 f b 100 c 177 0964 atm 179 a 282 c b não 47600 Pa 1711 039 m 1713 19014 cm 18964 cm 1715 494 c 1717 17 105 c1 1719 a 1431 cm2 b 1436 cm2 1721 a 60 mm b 10 108 Pa 1723 555 kJ 1725 23 min 1727 240 Jkg K 1729 0526 c 1731 452 c 1733 00613 c 1735 a 215 Jkg K b água c pequeno demais 1737 0114 kg 1739 275 c 1741 150 c 1743 76 min 1745 545 kJ 130 kcal 517 Btu 1747 357 ms 1749 345 L 1751 505 1015 kg 1753 00674 kg 1755 190 g 1757 a 222 Km b 107 w c 733 c 1759 a 086 c b 24 wm2 1761 40 103 wm c 1763 1055 c 1765 a 21 kw b 64 kw 1767 15 w 1769 21 cm2 1771 350 c 1773 a 351 M b 396 c 1775 694 c 1777 230 cm primeira barra 70 cm segunda barra 1779 b 19 108 Pa 1781 a 87 c b 80 c 1783 460 s 1785 a 836 J b 186 Jmol K c 560 Jmol K 1787 a 420 107 J b 107 c c 300 c 1789 a 060 kg b 080 garrafah 1791 34 105 Jkg 1793 a não b 00 c 0156 kg 1795 a 861 c b nenhum gelo 0130 kg água líquida nenhum vapor BookSEARSVol2indb 360 021015 154 PM 1797 a 100 C b 00214 kg de vapor 0219 kg de água líquida 1799 a 939 W b 135 17101 29 17103 a 598 C b 427 C c 840 W 17105 c 170 h d 15 10¹⁰ s 500 anos não 17107 582 g 17109 a 104 kW b 871 W c 113 kW d 28 g e 11 garrafa 17111 a 300 10⁴ Jkg b 100 10³ Jkg K líquido 133 10³ Jkg K sólido 17113 A 216 Wm K B 130 Wm K 17115 a H T₂ T₁ 2πkL lnba b T T₂ T₂ T₁ lnra lnba d 73 C e 49 W 17117 opção a 17119 opção a CAPÍTULO 18 181 a 0122 mol b 14700 Pa 0145 atm 183 0100 atm 185 a 00136 kgm³ 676 kgm³ 539 kgm³ b 001 pE 56 pE 45 pE 187 503 C 189 197 kPa 1811 0159 L 1813 00508 V 1815 a 702 C b sim 1817 850 m 1819 a 695 1016 kg b 232 1013 kgm³ 1821 556 mol 335 1025 moléculas 1823 a 220 10⁶ moléculas b 244 10¹⁹ moléculas 1825 64 106 m 1827 a 583 10⁷ J b 242 ms 1829 d precisa ser verdadeira as outras poderiam ser verdadeiras 1831 a 193 10⁶ ms não b 73 10¹⁰ K 1833 a 621 1021 J b 234 10⁵ m²s² c 484 ms d 257 10²³ kg ms e 124 1019 N f 124 1017 Pa g 817 10²¹ moléculas h 245 10²² moléculas 1835 3800 C 1837 a 1870 J b 1120 J 1839 a 741 Jkg K cágua 565 cN2 b 565 kg 4850 L 1841 a 337 ms b 380 ms c 412 ms 1843 a 610 Pa b 2212 MPa 1845 180 cm³ V20 C 032Vp c 1847 a 118 kPa b 0566 L 1849 272 C 1851 0195 kg 1853 a 179 C b 12 10²⁶ moléculasm³ c ρT 48ρe 1855 192 atm 1857 a 307 cilindros b 8420 N c 7800 N 1859 a 262 ms b 161 ms 544 ms c 174 m 1861 5 10²⁷ átomos 1863 a A b B c 4250 C d B 1865 a 600 10³ Pa b 328 ms 1867 a 465 1026 kg b 611 1021 J c 204 10²⁴ moléculas d 125 kJ 1869 b r₂ c r₁ R₀2¹⁶ r₂ R₀ 2¹⁶ d U₀ 1871 a 2R 166 Jmol K b menor 1873 b 140 10⁵ K N₂ 101 10⁴ K H₂ c 6370 K N₂ 459 K H₂ 1875 3kTm o mesmo 1877 b 00421N c 294 1021 N d 00297N 208 1021 N e 00595N 415 1021 N 1879 a p₀ mgπr² b h y p₀ πr² mg c 1 2π g h 1 p₀ πr² mg não 1881 a 426 b 3 km c 1 km 1883 a 45 10¹¹ m b 703 ms 64 10⁸ s 20 anos c 14 1014 Pa d 650 ms υH υesc vaporizar f 2 10⁵ K 3Tsol não 1885 opção a 1887 opção c 1955 a W 738 J Q 2590 J ΔU 1850 J b W 0 Q 1850 J ΔU 1850 J c ΔU 0 1957 a W 187 J Q 654 J ΔU 467 J b W 113 J Q 0 ΔU 113 J c W 0 Q 580 J ΔU 580 J 1959 a a adiabático b isocórico c isobárico b 280 C c a 300 J a 0 a 200 J d a e a diminui b permanece o mesmo c aumenta 1961 b 300 J para fora do gás 1963 opção c 1965 opção d CAPÍTULO 20 201 a 6500 J b 34 203 a 23 b 12400 J c 0350 g d 222 kW 298 hp 205 a 123 atm b 5470 J ca c 3723 J bc d 1747 J e 319 207 a 58 b 14 209 a 148 kJ b 458 kJ 2011 12 h 2013 a 215 J b 378 K c 390 2015 a 38 KJ b 590 C 2017 a 492 J b 212 W c 54 2019 445 hp 2021 a 429 JK b 393 JK c 36 JK 2023 a irreversível b 1250 JK 2025 631 JK 2027 a 605 10³ JK b cerca de cinco vezes maior para a vaporização 2029 a não b 183 JK c 183 JK 2031 100 JK 2033 a 121 J b 3800 ciclos 2035 a 902 J b 320 J c 45 C d 0 e 263 g 2037 58 JK diminui 2039 b absorvido bc rejeitado ab e ca c Ta Tb 241 K Tc 481 K d 610 J 610 J e 87 2041 a 210 kJ entra 166 kJ sai b 44 kJ 21 c e 031 emáx a 70 b 30 MW 28 MW c 6 10⁵ kgh 6 10⁵ Lh 2043 a 1 200 atm 400 L 2 200 atm 600 L 3 111 atm 600 L 4 167 atm 400 L b 1 2 1422 J 405 J 2 3 1355 J 0 3 4 274 J 274 J 4 1 339 J 0 c 131 J d 744 e 0168 ec 2047 1 TC TH a mesma 2049 a 122 J 78 J b 510 104 m³ c b 232 MPa 481 10⁵ m³ 771 K c 401 MPa 481 10⁵ m³ 1332 K d 0147 MPa 510 10⁴ m³ 518 K d 611 775 2051 623 2055 a A 289 B 383 C 538 D 244 b C c B D A 2057 a 483 b 483 c 625 d e 080 Td 200 12 Td 2700 667 2059 opção b 2061 opção d BookSEARSVol2indb 362 021015 154 PM CréDiTos sobre a capa do livro o projeto arquitetônico exibido na capa deste livro foi baseado em um desenho feito por Leonardo da vinci em 1502 para ser uma ponte de pedra na turquia as anotações de Leonardo da vinci permaneceram cerca de 500 anos na obscuridade finalmente em 2001 o artista norueguês vebjØrn sand em colaboração com a administração de Estra das da Noruega transformou em realidade aquele desenho de Leonardo da vinci e projetou esta elegante ponte que foi cons truída nas proximidades de oslo o caminho para pedestres na parte superior da ponte é sustentado por três arcos parabólicos Capítulo 12 abertura JPLcaltechssicornellNasa p 398 lei fonte Newton published the law of gravitation in 1687 Philosophiae naturalis principia mathematica MacLehose 1726 1871 reimpresso para sir william thomson e hugh Blackburn 133 Jupiter JPLuniversity of arizonaNasa 133 inset JPLcornell universityNasa 136 Esahub bleNasa appl p 403 Nasa 137 swisshippofoto lia 1313 National aeronautics and space administration Nasa 1314 Baseado em Newton isaac 1728 A Treatise on the System of the World 1316 John f Kennedyspace centerNasa 1317 Esa and M showalterNasa p 411 leis Kepler Johannes 1597 Mysterium Cosmographicum appl p 412 Nasa 1321b Nasa p 419 citação fonte John Michell 1784 on the Means of Discovering the Dis tance Magnitude c of the fixed stars in consequence of the Diminution of the velocity of their Light in case such a Diminution should be found to take Place in any of them and such other Data should be Procured from observations as would be farther Necessary for that Purpose Philosophi cal Transactions of the Royal Society 74 0 3557 1327ab Nasa 1328 Nasa 1329 andrea GhezucLa P1376 ta bela fonte ssdjplnasagov P1377 tabela fonte nssdc gsfcnasagovplanetaryfactsheet Capítulo 13 abertura blurazshutterstock appl p 434 steve Bylandshutterstock 147 american Diagnostic corpo ration 1421a zurijetashutterstock 1425 christopher Gri ffinalamy appl p 455 symbiotshutterstock appl p 456 sonya Etchisonshutterstock Capítulo 14 abertura esquerda orlandinshutterstock ope ner direita isabelle Kuehnshutterstock appl p 370 Jorg hackemannshutterstock 126 sPLscience source p 373 lei Pascal Blaise 1653 Treatise on the Equilibrium of Li quids 129b andrey Jitkovshutterstock appl p 375 Lisa f Youngshutterstock p 376 principle fonte archimedes 1214 Pali afotolia 1219 Pearson 1220 Popov Niko layshutterstock 1222 fribus Ekaterinashutterstock appl p 382 Kairos69shutterstock 1228 shutterstock appl p 386 Edward Larashutterstock 1230a jupeartshutterstock 1230b Btrsellershutterstock 1231f harold Edgerton at Mit copyright 2014 cortesia da Palm Press inc Capítulo 15 abertura walter D Mooneyus Geological sur vey appl p 469 Marco PolocollectionBalan Madhavan alamy 152 charles Platiaureuters 155 EpicstockMedia shutterstock 1512 Koddashutterstock appl p 482 chris tian Delbertshutterstock 1523ad richard Megnafunda mental Photographs 1525 shmeliova Nataliashutterstock 1527 National optical astronomy observatories Capítulo 16 abertura Eduard Kyslynskyyshutterstock 165 line art Berg richard E stork David G The Physics Of Sound 1st Ed 1982 reimpresso e reproduzido eletroni camente com permissão da Pearson Education inc upper saddle river New Jersey 165a ollyshutterstock 165b Le brecht Music e arts Photo Libraryalamy appl p 510 steve thorneGetty images 166 Geoff DannDK images 169 Kretztechnikscience source 1610 auremarshutterstock 1615 Digoarpishutterstock appl p 523 Piotr Marcinski shutterstock 1620 Martin Boughfundamental Photogra phs 1624 roger a freedman 1626 r Gino santa Maria shutterstock 1629 aaron Kohrshutterstock 1636c Nasa 1637 Nasa Capítulo 17 abertura huyangshushutterstock 174 PrNews fotoExergen temporalscanneraP images appl p 548 su perior David thybergshutterstock appl p 548 inferior hofhausershutterstock 175a roger a freedman 1711 Eugene sergeevshutterstock 1713 Eric schraderPearson Education 1716 hugh D Young 1718 roman sigaev shutterstock 1719 science source 1721 richard Megna fundamental Photographs 1722 Nasa 1723 Maszas shutterstock appl p 566 superior Dmitry Deshevykh Getty images appl p 566 inferior Paul NicklenNatio nal GeographicGetty images 1728 hugh D Young 1729 steve Gschmeissnerscience source 1730a fonte Trends A Compendium of Data on Global Change us Department of Energys carbon Dioxide information analysis center http cdiacesdornlgovtrendsco2contentshtm 1730b fonte httpdata gissnasagovgistempgraphsv3 first graph P1791 satoshi KuribayashiNature ProductionNature Pic ture Library Capítulo 18 abertura stockyimagesshutterstock 182 to phamthe image works 1810 cortesia da Bruker corpora tion 1813 rich iwasakistoneGetty images 1814 arctic imagesalamy 1816 David Grossmanthe image works appl p 604 ray colemanscience source 1825 PhotoDisc Getty images E1824 National optical astronomy observa tory P1883 National optical astronomy observatory Capítulo 19 abertura Ken Paulall canada PhotosGetty ima ges 191 roger a freedman via John P surey 192a sto cktrekPhotodiscGetty images 192b alin Dragulinalamy appl p 624 Diego cervoshutterstock 1910 Liv friislar senshutterstock 1914 tom Branchscience source 1915 BookSEARSVol2indb 363 021015 154 PM 364 Física II rob Byronshutterstock appl p 635 Dean Bertoncelj shutterstock Capítulo 20 abertura George Burbashutterstock 202 Ja mes Morganshutterstock appl p 650 tyler olsonshut terstock 2012 Bill Bachmanscience source 2016 us air force photo by staff sgt robert zoellner 2017 cowardlion shutterstock appl p 669 DenisNatashutterstock 2020 abc Eric schraderPearson Education summ p 675 Eric schra derPearson Education PP205962 gráfico fonte Public domain from wikimedia commons httpcommonswikime diaorgwikifilethermoclinejpg BookSEARSVol2indb 364 021015 154 PM Nota os números de página seguidos de f indicam figuras aqueles seguidos de t indicam tabelas A aceleração de partícula em uma onda 122124 em diferentes latitudes e elevações 2425 módulo 5 no Mhs 4850 peso aparente e 8 2325 versus gravitação 2 afélio 16 Água expansão térmica da 208209 superresfriada 217 aleatoriedade nos processos termodinâmicos 312313 alimento valor energético do 218 altura de um som 158 amortecimento 64 crítico 65 amplitude de deslocamento 155 164165 de ondas sonoras 155158 de oscilação 42 do pêndulo 64 pressão 157158 165 amplitude de pressão 157159 intensidade sonora e 164165 análise de fourier 159 análise harmônica 141 ângulo de fase 49 aquecimento global 227228 ar como isolante 222 arcondicionado 319321 atmosfera 8384 Átomos interações entre 5860 intervalo audível 155 Massa atômica 250 audição 158159 167 automóveis compressão do gás 246 movimento harmônico simples vertical 57 aviões controle de ruído para 177 estrondo sônico dos 185 ressonância da asa 68 sustentação sobre asa 98 avogadro número de 250 B Balança de cavendish torsão 34 bar 371 Balança de torção 3 Barômetro de mercúrio 8788 Batimentos 177179 Beisebol bola curva no 100101 Bell alexander Graham 167 Bernoulli equação de 9495 Boltzmann constante 254 Bombas de calor 321 Brahe tycho 16 British thermal unit Btu 211 Buracos negros 2529 Buracos negros com supermassas 28 C cálculos calorimetria 218220 unidades de medida nos Ver unidades de medida cálculos de calor 218220 cálculos de calorimetria 218220 calor 210211 adicionado no processo termodinâmico 284285 aquecimento global e 227228 como energia em trânsito 258 da sublimação 216 da vaporização 215217 de combustão 218 de fusão 215 energia mecânica e 211 específico 211212 fusão e 215217 mudanças de fase e 215218 quantidade de 210214 regras de sinal para 280281 transferência de energia e 210214 Ver também transferência de calor unidades de medida para 211 vapor 217 versus temperatura 211 calor de vaporização 216 calor específico molar 213214 258260 294296 296t calor específico 212 258261 dos gases 258260 294297 296t dos sólidos 261 modelo de molécula puntiforme da 258259 molar 213214 258260 razão entre os 296 variação de temperatura 261 vibração e 260261 calor latente de fusão 215 caloria cal 211 calorimetria mudanças de fase e 215218 caminhos entre estados termodinâmico 283285 campo 6 carnot ciclo 323330 da máquina térmica 323327 do refrigerador 327328 eficiência do 328329 entropia e 334335 escala de temperatura Kelvin e 329330 para o gás ideal 324325 reversibilidade 327328 segunda lei da termodinâmica e 328329 carros Ver automóveis cavendish balança 34 cavendish experiência de 3132 celsius escala de temperatura 201 centro de massa Escala centígrada 201 movimento planetérios e 19 ciclo de oscilação 43 ciclo de otto 317318 ciclos 43 círculo de referência 46 círculo referência 46 clausius enunciado de 322 coeficiente de desempenho 319 coeficiente de dilatação linear 205 coeficiente de dilatação volumétrica 206207 coesão líquida em árvores 82f colisões moleculares 256258 pressão de gás e 251252 combustão 218 combustíveis fósseis mudança do clima e 228 cometa halley 1819 cometa halley órbita do 1819 composição harmônica semelhante 141 159 compressão densidade de fluido e 117 compressibilidade de fluidos 91 comprimento de onda 116 condensação 216 condições de contorno para cordas 133 condução 221225 condutividade térmica 221 ÍNDiCE rEmissiVo BookSEARSVol2indb 365 021015 154 PM 366 Física II condutores térmicos 200 221 conservação de energia no Mhs 5255 conservação de massa em fluido 9295 conservação do momento angular de planetas 1617 consonância 179 constante de torção 57 constante do gás ideal 244 constante gravitacional 2 cálculo da 34 controle de ruído interferência de onda no 177 convecção 221 224225 conversão de energia térmica do oceano 347 copérnico Nicolau 16 corda ondas estacionárias na Ver ondas estacionárias corpo humano como sistema termodinâmico 286 radiação do 226227 corpo negro 227 corrente de calor 221 Bola curva 100101 curva de ressonância 173 criopreservação 240 curva adiabática 293 d Densidade 8183 82t da terra 8 fluido 89 117 massa linear 124 média 82 medida de 82 razão entre massa e volume e 82 versus pressão 245 Densidade do fluido 8183 compressão e 117 empuxo e 8893 expansão e 117 medição de 89 Densidade linear 124 Densidade média 82 Densidade relativa 82 Densímetro 89 Derivadas parciais 123 Deslocamento amplitude de deslocamento 166 intensidade de som e 164165 na oscilação 42 no movimento harmônico simples 44 4850 princípio da superposição e 134 pulso de onda e 132133 Deslocamento para o vermelho gravitacional 27 Dewar garrafa de 227 Dewar James 227 Diagramas de fase 264 Diagramas do fluxo de energia para máquinas térmicas 314315 para refrigeradores 319 Diagramas PV 248 Diapasões 47 Diesel ciclo 318 Diesel motores 318 compressão adiabática em 300 Dilatação do tempo 27 Dilatação linear 204206 206t Dilatação volumétrica 206208 Dinâmica 101 ver também forças Massa Movimento celeste 1 fluido 81 99101 Dinâmica celeste 1 Dinâmica de fluidos 81 viscosidade e 91 99 Dióxido de carbono efeito estufa e 227228 Direção de ondas 127 130131 Disco de acréscimo 28 Dissonância 179 Doppler christian 179 Dulong e Petit regra de 214 261 E Ebulição 215216 Efeito Doppler para ondas de som 179185 para ondas eletromagnéticas 184185 Efeito estufa 227 Eficiência térmica da máquina térmica 315 317 Efluxo velocidade de 97 Einstein albert 25 Ver também relatividade Eixo elíptico 16 semieixo maior 16 17 Emissividade 225 Empuxo 8891 Energia cinética Ver Energia cinética de ativação 264 equipartição da 259 interna Ver Energia interna molecular 249 no movimento harmônico simples 5255 no movimento ondulatório 129132 oscilações amortecidas 66 Energia cinética calor específico e 258261 equipartição de 259 molecular 249 253254 258 293 no movimento harmônico simples 5255 pressão de gás e 253254 Energia cinética molecular 249 258260 pressão de gás e 253254 temperatura e 293 Energia de ativação 264 Energia interna 279 285 285288 332 de gás ideal 293 de processos cíclicos 287291 de sistemas isolados 287291 entropia e 332 notação para 286 primeira lei da termodinâmica e 285291 temperatura e 293 variação na 286287 297 Energia mecânica calor e 211 312313 conservação da 5255 no movimento harmônico simples 5255 Energia potencial gravitacional 911 como valor negativo 9 versus força gravitacional 10 Energia potencial de moléculas 249 forças intermoleculares e 249250 gravitacional 911 no movimento harmônico simples 5255 Entropia 311 330337 cálculo de 338339 ciclo de carnot e 334335 de cadeia de polímeros 338 desordem e 330331 em organismos vivos 335 em processos cíclicos 334335 em processos irreversíveis 335336 energia interna e 332 interpretação microscópica 337339 reversibilidade da 332334 336 segunda lei de Newton e 336 339 Enunciado de máquina da segunda lei da termodinâmica 321 Enunciado do refrigerador da segunda lei da termodinâmica 322 Equação da continuidade 9293 Equação de onda 123 128 para ondas mecânicas 123 128 Equação do gás ideal 243245 Equações da continuidade 9293 de Bernoulli 9495 de estado 243248 266 do movimento harmônico simples 4547 gás ideal 243245 onda Ver Equação de onda van der waals 247248 Equilíbrio fase 215 265 para ondas mecânicas 114115 térmico 199 Equilíbrio de fase 215 264 Equilíbrio térmico 199 Equipartição da energia 259 Escala de decibéis 166168 Escala de temperatura absoluta Kelvin 203204 329330 Escala de temperatura do gás ideal 202203 330 Escalas de temperatura 201202 absolutas 203204 329330 celsius 201 conversão entre 201 fahrenheit 201 gás ideal 202 330 Kelvin 202204 325 329330 Escoamento de fluidos 9193 equação da continuidade e 9293 equação de Bernoulli e 9495 estacionário 91 laminar 92 99 100 BookSEARSVol2indb 366 021015 154 PM Índice remissivo 367 medição do 9798 pressão e 9498 taxa do 9293 turbulento 92 100 velocidade do 9498 Escoamento estacionário 91 Escoamento laminar 92 100 Escoamento turbulento 92 100 Esferas distribuições de massa e 1923 gravitação e 3 Esfriamento produzido pela vaporização 217 Estação Espacial internacional 11 33 Estado de imponderabilidade 13 verdadeiro 13 Estado macroscópico 337 Estados da matéria 215 variáveis de estado 243 Estática dos fluidos 81 Estrelas binárias 28 sistemas de 5 28 Excentricidade orbital 16 Excentricidade orbital 16 Exoplanetas 39 Expansão 117 Expansão isotérmica de um gás ideal 283 Expansão livre 285 293 Expansão térmica 204210 da água 208209 em objeto com um buraco 206 linear 204206 volume 206208 F fahrenheit escala 201 fase 215 onda 121 fase de onda 121 fase gasosa 215216 fase líquida 215216 fases da matéria 264267 diagramas PV e 248 interações moleculares e 264 ponto crítico e 265 ponto triplo e 265 sublimação e 265 superfícies PVT e 266267 fasor 46 fluido ideal 91 fluidos compressibilidade de 91 ideal 91 movimento de 9192 velocidade do som nos 160161 viscosos 99 fluxo de calor 210211 fluxo do sangue 100 focos 16 força central 17 força gravitacional 21 entre distribuições de massa esférica 21 na massa pontual no interior de uma casca esférica 22 versus energia potencial gravitacional 10 força propulsora 6668 força propulsora periódica oscilação amortecida e 6668 força restauradora 42 no movimento harmônico simples 44 no pêndulo 60 forças atuando a distância 6 campos de força 6 centrais 17 empuxo 89 intermoleculares 249250 maré 28 periódicas 6668 propulsora 6668 restauradoras 42 superposição de 4 versus pressão 84 forças de maré 28 forças intermoleculares 249250 frequência 43 angular 43 batimento 177179 de ondas estacionárias 139140 fundamental 140 modo normal 140 período e 43 versus frequência angular 47 frequência angular 4344 natural 67 no Mhs 4547 período e 4344 versus frequência 47 frequência angular natural 67 frequência fundamental 140 função de distribuição 262263 função de onda 118 gráficos de 120 intensidade de onda 131132 para ondas longitudinais 124 para ondas mecânicas 118121 para ondas senoidais 118121 para ondas transversais 122124 princípio da superposição e 134 propriedade aditiva da 134 fusão 215217 g Gálio temperatura de fusão do 216 Garrafas térmicas 227 Garrafas térmicas 227 Gás calor específico do 258260 diagramas PV para 248 energia cinética do 258 forças intermoleculares 249250 ideal Ver Gás ideal isotermas e 248 massa do 243245 moléculas no 249250 ondas de som no 162164 poliatômico 259 velocidade molecular no 263264 volume do 245 Gás ideal 244 calor específico do 294297 ciclo de carnot para 324325 energia interna do 293 expansão isotérmica do 283 modelo cinéticomolecular do 251258 processo adiabático para 297300 volume do 245 Gases anestésicos 309 Gelo derretimento do 215217 Gradiente de temperatura 221 Gráficos da função de onda 120 de ondas sonoras 156157 Graus 201 203 Graus de liberdade 259 Gravitação 129 aceleração por causa da Ver aceleração da gravidade buracos negros e 2528 como força conservativa 9 corpos de simetria esférica e 3 densidade relativa e 82 distribuição esférica de massa e 1923 em escala cósmica 6 lei de Newton da 16 medição da 34 órbitas de satélites e 1215 pares açãoreação e 23 peso e 68 superposição de forças e 45 trabalho realizado por 910 velocidade de escape e 10 2526 h harmônicos 140 hertz 43 hohmann órbita de transferência de 38 hooke lei de movimento harmônico simples e 44 45 horizontes de evento 26 I incubadoras 227 infrassom 155 instrumentos de cordas ondas estacionárias e 141143 instrumentos de sopro 170173 instrumentos musicais corda 141143 instrumentos de sopro 170173 ondas estacionárias 141143 tubos de órgão 170173 intensidade amplitude de pressão e 165 de onda 131132 lei do inverso do quadrado para 131132 165 som 164168 intensidade do som 164168 escala de decibel para 166168 perda de audição e 158 159 167 valores representativos para 167t intensidade sonora 158 BookSEARSVol2indb 367 021015 154 PM 368 Física II interferência 132134 175177 de ondas progressivas 175 no controle de ruído 177 ondas de som e 175177 ondas estacionárias e 136 interferência construtiva 136 176 177 interferência de onda Ver interferência interferência destrutiva 136 175 intervalo de temperatura 202 isóbara 293 isócora 293 isolantes 220 isoterma 248 293 isotermas PV 248 J Janelas isolando 277 Joule 211 Joule James 211 K Kelvin 203 Kelvin escala 202204 325 329330 KelvinPlanck enunciado 321 Kepler Johannes 16 Kepler primeira lei 16 Kepler segunda lei 1617 Kepler terceira lei 17 18 Kilocaloria kcal 211 Kundt tubo de 168169 L Lei de coulomb 249 amortecimento crítico 65 Lei de Newton da gravitação 16 Lei do inverso do quadrado para intensidade 131 165 Lei zero da termodinâmica 199200 Leis de Newton do movimento leis de Kepler e 1618 19 Ligações moleculares 260 Linha de corrente 92 Linha de fluxo 91 Ver também fluxo de fluidos Líquidos fases dos 264267 moléculas em 250 velocidade molecular em 264 Litotripsia extracorpórea por ondas de choque 186 Livre caminho médio 257 Lua 6 7f 1011 14 Luz efeito Doppler para 184 m Mach número 186 Manômetros de pressão 8788 Manômetros de pressão 8788 Manômetros 87 Máquinas Ver Máquinas térmicas Máquinas térmicas 313316 carnot 323330 334335 Ver também carnot ciclo de combustão interna 300 316318 diagramas do fluxo de energia e 314315 eficiência térmica de 315 refrigeradores como 319321 reservatórios quentes e frios e 313314 Marte gravitação em 8 Massa da molécula 250251 densidade e 82 do átomo 250251 do gás 243245 molar 163 213 243 250 Massa molar 163 213 243 250 Massa molecular 250 Massa pontual dentro da casca esférica 22 Massa por unidade de comprimento 124 Matéria fases da 264267 propriedades moleculares da 249251 MaxwellBoltzmann distribuição 263264 Mecânica de fluidos 81101 densidade e 8183 8990 empuxo e 8893 equação de Bernoulli e 9498 Escoamento de fluidos e 9193 pressão e 8388 tensão superficial e 9091 Meio 113 114 Metais como condutores 221 222t Mhs Ver Movimento harmônico simples Microscópio dinâmico de força atômica 78 Estado microscópico 337339 Milibar 83 Mitchell John 26 Modelo cinéticomolecular do gás ideal 251258 Modelo de molécula puntiforme do calor específico do gás 258259 Modo normal 140 Molas ideais 44 movimento harmônico simples em 44 60 Ver também Movimento harmônico simples oscilação em 4142 Ver também oscilação Moléculas forças intermoleculares 249250 gás 249 251252 líquidas 250 poliatômicas 259 sólidas 249 Moléculas diatômicas 259 Moléculas poliatômicas 259 Moles 213 250 Momento no movimento harmônico simples 5455 teorema do impulsomomento e 125126 transversal 125126 velocidade de onda e 125126 Momento de inércia cálculo do 62 no movimento harmônico simples 57 Motores a combustão interna 300 316318 ciclo de otto em 317318 ciclo Diesel em 318 Motores a gasolina 316318 Movimento Ver também Movimento retilíneo circular 4547 Ver também Movimento circular harmônico simples Mhs 4460 leis de Kepler do 1519 Música ondas de som na 158159 orbital 1115 periódico 4168 Ver também oscilação planetário 1519 rotacional 1115 translacional 259 Movimento circular 4547 órbitas circulares 1215 17 Movimento de onda versus movimento de partícula 116 Movimento de partículas versus movimento de onda 116 Movimento de translação energia cinética molecular e 259 vibratório 259 Movimento harmônico simples Mhs 435450 Ver também oscilação aceleração no 4850 amplitude no 4748 angular 57 aplicações de 5560 como modelo de movimento periódico 44 deslocamento no 4850 energia no 5255 equações do 4547 momento no 5455 movimento circular e 4547 período no 4748 velocidade no 4850 vertical 5657 Movimento harmônico simples angular 57 Movimento periódico 4168 Ver também oscilação amplitude do 43 da mola 4142 de ondas 115118 deslocamento no 42 do pêndulo 6064 em osciladores harmônicos 44 frequência do 43 movimento harmônico simples e 4460 Ver também Movimento harmônico simples ressonância e 6668 vibração molecular e 5860 visão geral do 4143 Movimento planetário 1519 Ver também órbitas centro de massa e 19 leis de Kepler do 1618 BookSEARSVol2indb 368 021015 154 PM Índice remissivo 369 Mudança de clima 227228 Mudança de fase 215218 N Névoa 217 Nível da intensidade sonora 166 167t Nós 135 de deslocamento 168169 pressão 169 Nósventres de deslocamento 168170 Nósventres de pressão 169 Número de onda 119120 o ondas choque 185187 mecânicas 113143 Ver também ondas mecânicas meio para 113 114 nas cordas vocais 152 refletidas 132 som 118 154187 sonar 162 ondas de choque 185187 ondas de som 118 154187 Ver também ondas mecânicas ondas amplitude da pressão 157159 165 amplitude de deslocamento das 155 164165 batimentos e 177179 choque 185187 como flutuações de pressão 155157 composição harmônica semelhante das 141 efeito Doppler e 179185 estacionárias 168173 frequência das 158159 instrumentos de sopro e 170173 interferência das 175177 intervalo audível das 155 musicais 158159 no fluido 160161 no gás 162164 nos sólidos 161162 órgãos de tubos e 170173 percepção das 158159 potência das 164165 propagação das 155 representação gráfica das 156 superposição de 134 velocidade das 117 128 159164 ondas de sonar 162 ondas eletromagnéticas efeito Doppler para 184185 potência em 129131 ondas propagandose 135 137 interferência de 175177 ondas estacionárias 135143 complexas 141 em corda fixa 139143 frequências de 140 harmônicas e 140 instrumentos de cordas e 141143 interferência e 136 nós e ventres e 135 som 168173 ondas incidentes 137 ondas longitudinais 124 Ver também ondas mecânicas ondas função de onda para 124 periódicas 117 som 118 ondas mecânicas 113143 Ver também sob ondas comprimento de onda 116 condições de contorno para 133 descrição matemática das 118124 direção das 117 123124 energia de 129132 equação de onda para 123 128 estacionárias 135143 estado de equilíbrio para 114115 incidente 137 intensidade de 164 interferência de 132 longitudinais Ver ondas longitudinais padrões no modo normal de 139143 periódicas 115118 Ver também ondas periódicas potência de 129132 propagação de 114115 propagandose 135 137 senoidais 116124 Ver também ondas senoidais som 118 superposição de 134 141 tipos de 114115 transmissão de energia por 115 transversais Ver ondas transversais velocidade de Ver velocidade de onda ondas periódicas 115118 Ver também ondas mecânicas descrição matemática de 118124 longitudinais 117118 Ver também ondas longitudinais senoidais 116 118124 Ver também ondas senoidais transversais 115117 Ver também ondas transversais ondas senoidais 116 118124 Ver também ondas mecânicas ondas energia de 129132 estacionárias 135143 Ver também ondas estacionárias função de onda para 118120 propagandose 135 137 refletidas 132 velocidadeaceleração da partícula em 122124 ondas transversais 114 Ver também ondas mecânicas ondas função de onda para 122124 periódicas 115118 velocidade de 124129 órbitas abertas 12 centro de massa e 19 circulares 1215 17 do cometa halley 1819 elípticas 1617 fechadas 12 satélite 1115 semieixo maior das 16 17 velocidade setorial e 16 órbitas abertas 12 órbitas de satélite 1115 órbitas elípticas 1617 órbitas fechadas 12 órgãos de tubos 170173 oscilação 4143 amortecida 6466 amplitude de 43 com força propulsora 6668 de ondas periódicas 115118 deslocamento em 42 do pêndulo 6064 em osciladores harmônicos Ver osciladores harmônicos forçada 6668 173 frequência de 43 movimento harmônico simples e 4460 Ver também Movimento harmônico simples na mola 4142 ressonância e 6668 173175 vibração molecular e 5860 visão geral da 4143 oscilação amortecida 6668 oscilações amortecidas 6466 oscilações forçadas 6668 173 osciladores harmônicos 44 ouvido humano 157158 174 P Pares ação e reação forças gravitacionais como 2 Pascal 83 Pascal Blaise 85 Pascal lei de 85 Pêndulo físico 6264 movimento periódico do 6064 simples 6061 63 Pêndulo físico 6264 Pêndulo simples 6061 versus pêndulo físico 63 Periélio 16 Período frequência e 43 no movimento harmônico simples 4748 orbital 17 oscilação 43 Período de oscilação 43 Período orbital 17 Peso aparente 2325 gravitação e 68 molecular 213 243 real 23 Peso aparente aceleração da gravidade e 2325 módulo do 24 rotação da terra e 2325 Peso do pêndulo 60 BookSEARSVol2indb 369 021015 154 PM 370 Física II Peso molecular 213 243 Peso real 23 Pianos vibração de corda no 174 Poços de potencial 249 Ponto crítico 265 Ponto de referência 46 Ponto triplo 265 Potência de ondas 129131 de ondas de som 164166 trabalho e 129130 Potência instantânea em ondas 129131 Potência média 130 Pressão absoluta 86 água residencial 96 atmosférica 83 em fluidos 8388 fluxo de fluidos e 9498 manométrica 8788 medição de 8788 sobre elefante na água 111 velocidade e 9498 versus densidade 245 versus força 84 Pressão absoluta 86 Pressão atmosférica 8384 elevação e 246247 medida da 8788 Pressão da água em uma casa 96 Pressão do ar 83 Pressão do fluido 8388 lei de Pascal e 85 medição da 8688 profundidade e 8486 Pressão do gás colisões moleculares e 251252 energia cinética molecular e 253254 temperatura e 202204 Pressão manométrica 8688 Pressão sanguínea 87f 95f Primeira lei da termodinâmica 279300 energia interna e 285291 processos cíclicos e 287291 sistemas isolados e 287291 Princípio de arquimedes 8889 Processo a pressão constante 292 Processo a temperatura constante 292 Processo a volume constante 292 Processo adiabático 291292 ciclo de carnot e 324 para um gás ideal 297300 Processo cíclico em máquinas térmicas 313 Processo irreversível 311312 Processo isobárico 292293 Processo isocórico 292293 Processo isotérmico 292293 ciclo de carnot e 323324 Processo reversível 312 Processos de equilíbrio 312 Processos termodinâmicos 279 280 adiabáticos 291292 297300 324 calor fornecido em 284285 desordem em 312313 em máquinas térmicas 313316 equilíbrio em 312 estados intermediários caminhos em 283284 isobáricos 292 isocóricos 292 isotérmicos 292293 324 mudanças de estado infinitesimais em 291 reversível 312 323 sentidos de 311312 tipos de 291293 trabalho realizado em 281283 Profundidade pressão do fluido e 8486 Propriedades macroscópicas teorias da matéria e 251 versus propriedades microscópicas 242 Propriedades microscópicas versus macroscópicas 242 Propriedades térmicas da matéria 242267 Pulso ondulatório 115 Q Quantidade de calor 210214 r R valor de 222 radar Doppler 184 radiação 221 225228 absorção de 226227 aplicações da 227 aquecimento global e 227228 corpo negro 227 do corpo humano 226227 eletromagnética 225 Ver também ondas eletromagnéticas irradiador ideal 227 solar 227228 stefanBoltzmann leiconstante e 226 radiação eletromagnética 225226 Ver também ondas eletromagnéticas radiação solar 227228 raio schwarzschild 26 raiz quadrada média da velocidade 254255 razão das capacidades caloríficas 162163 296 razão de compressão 316 razão entre massa e volume densidade e 82 reações Deslocamento para o vermelho gravitacional 27 27f energia de ativação para 264 químicas 264 reações químicas Ver reações rede cristalina 249 refletor ideal 227 reflexão de ondas 132 senoidais 132 refrigeradores sem trabalho 321 refrigeradores 319321 carnot 327328 comuns 319321 sem trabalho 321 regra de Dulong e Petit 214 261 relatividade efeito Doppler e 184 teoria geral da 25 reservatórios frios 313314 reservatórios quentes 313314 resistência térmica 222 ressonância 68 173175 em sistemas mecânicos 68 ruído 159 s schwarzschild raio 26 segunda lei da termodinâmica 311339 ciclo de carnot e 323330 enunciado de clausius da 322 enunciado de KelvinPlanck da 321 enunciado de máquina da 321 enunciado do refrigerador da 322 segunda lei de Newton do movimento entropia e 336 339 segundos 43 segundos por ciclo 43 semieixo maior 16 17 série de fourier 141 série harmônica 140 simetria esférica gravitação e 1923 síntese newtoniana 19 sistema de estrela binária 28 sistemas isolados energia interna de 287291 sistemas termodinâmicos 279281 caminhos em 283285 corpo humano como 286 energia interna de Ver Energia interna trabalho realizado em 281283 sobretom 140 sólidos calor específico de 261 fases de 264267 moléculas em 249 ondas de som em 161162 som 154 altura do 158 infrassom 155 intensidade sonora do 158 ressonância e 173175 timbre do 159 ultrassom 155 stefanBoltzmann constante 226 stefanBoltzmann lei 226 subamortecimento 65 sublimação 216 265 superamortecimento 65 superaquecimento 217 superfícies PVT 266267 superposição de forças 4 de ondas 134 141 princípio da 134 BookSEARSVol2indb 370 021015 154 PM Índice remissivo 371 superposição linear 134 superresfriamento 217 T tanque de mergulho massa do ar no 246 taxa de escoamento 9192 temperatura 198204 absoluta 163 corporal 202f 233 crítica 248 definição macroscópica da 199 ebulição 215 energia cinética molecular e 293 energia interna e 293 fusão 215 pressão de gás e 202 unidades de medida para 201202 203 versus calor 211 versus intervalo de temperatura 202 temperatura absoluta 163 temperatura crítica 248 tensão superficial 9091 tensão térmica 209210 teorema binomial 58 59 teorema de torricelli 97 teorema do impulsomomento 125126 teoria da relatividade Ver relatividade teoria geral da relatividade 25 Ver também relatividade terceira lei da termodinâmica 330 termodinâmica 198 aplicações da 280 lei zero da 199200 primeira lei da 279301 Ver também Primeira lei da termodinâmica regras de sinais para 280281 segunda lei da 311339 Ver também segunda lei da termodinâmica terceira lei da 330 termômetro de artéria temporal 201 termômetro de lâmina bimetálica 201 termômetro por resistência 201 termômetros 199 a gás 202204 245 329 artéria temporal 201 lâmina bimetálica 201 termômetros a gás 202204 245 330 termômetros de gás a volume constante 202 terra densidade 8 rotação da 2325 temperatura superficial da 227228 timbre 159 tom de diferença 176 torr 87 trabalho potência e 129132 realizado durante variação de volume 258 realizado no sistema termodinâmico 281283 realizado por gravitação 910 realizado por ondas 129130 realizado por substituição de trabalho 314 realizado por transferência de calor 321 regras de sinais para 280281 substância de trabalho 313 314 transferência de calor 210214 mecanismos de 220228 por condução 221224 por convecção 224225 por radiação 225227 transferência de energia calor e 210214 taxas de 220 transições de fase 215220 264267 tubos de escoamento 92 tubos de órgão 170173 Tyrannosaurus rex pêndulo físico e 6364 U ultrassom 155 162 190 unidades de medida 47 para amplitude 43 para calor 218220 para frequência angular 43 para frequência 43 para período 43 para pressão 8384 para temperatura 201202 203 V valores da raiz quadrada média 254255 van der waals equação 247248 van der waals interações 5859 247248 vaporização 215 calor de 216 vaporização 217 variação da pressão atmosférica com a altura 246247 variação de volume trabalho realizado durante 248 variáveis de estado 243 velocidade de partícula na onda 122124 fase 121 no movimento harmônico simples 4850 setor 1617 velocidade da partícula versus velocidade de onda 164 velocidade de escape 10 14 2526 velocidade de fase 121 velocidade de onda 115 116 121 124129 cálculo da 125128 em uma corda 123128 para ondas transversais 122129 teorema do impulsomomento e 125126 versus velocidade de partícula 164 velocidade de onda versus velocidade de partícula 164 velocidade de propagação 115 116 velocidade do setor 1617 velocidade escalar da onda 115 116 121 124129 de efluxo 97 de ondas de som 159164 escape 10 14 2526 molecular 254255 263264 orbital 18 quadrática média rmq 254 supersônica 185 velocidade molecular 254255 262264 distribuição de Maxwell Boltzmann e 263264 velocidade orbital 1718 velocidade rmq 254255 velocidade supersônica 185 ventres 135 deslocamento 168169 pressão 169 venturi medidor 9798 verne Jules 10 viagem interplanetária 17f 38 viagem no espaço danos biológicos da 17 vibração molecular 5860 249 259261 vibração 43 calor específico e 259260 molecular 5860 249 259 viscosidade 91 99 volume densidade e 8182 do gás 245 Y Yeager chuck 186 z zero absoluto 204 330 BookSEARSVol2indb 371 021015 154 PM BookSEARSVol2indb 372 021015 154 PM soBrE os AuTorEs Roger A Freedman é conferencista de física na universidade da califórnia em santa Bárbara ucsB Ele fez a graduação no campus da universidade da califór nia em san Diego e Los angeles e as pesquisas para sua tese de doutorado versaram sobre teoria nuclear na universidade de stanford sob a orientação do professor J Dirk walecka o dr freedman ingressou na ucsB em 1981 depois de ter trabalhado por três anos em pesquisa e ensino de física na universidade de washington Na ucsB lecionou no Departamento de física bem como no college of creative studies um setor da universidade destinado a alunos de graduação altamente moti vados e competentes Ele publicou trabalhos de pesquisa em física nuclear física das partículas elementares e física do laser ultimamente tem lutado para tornar as aulas de física uma experiência mais interativa com o uso de sistemas de resposta em sala de aula e vídeos préaula Nos anos 1970 o dr freedman trabalhou como letrista de revistas de quadrinhos e ajudou a organizar a san Diego comiccon atualmente a maior convenção de cultura popular do mundo durante seus primeiros anos hoje quando não está le cionando ou debruçado sobre um computador dr freedman está voando ele tem licença de piloto comercial ou com sua esposa caroline animando os remadores da equipe masculina e feminina da ucsB À mEmórIA dE hUgh YoUNg 19302013 Hugh D Young foi professor emérito de física na universidade carnegie Mellon em Pittsburgh Pennsylvania Ele estudou na carnegieMellon tanto na graduação quanto na pósgraduação obtendo o título de PhD na teoria de par tículas fundamentais sob a orientação do professor richard cutkosky Young começou a trabalhar na carnegie Mellon em 1956 e aposentouse em 2004 Ele também atuou duas vezes como professor visitante na universidade da califórnia em Berkeley a carreira do professor Young girou inteiramente em torno do ensino de graduação Ele escreveu diversos livros de física em nível de graduação e em 1973 foi coautor com francis sears e Mark zemansky dos famosos livros de introdução à física além de sua participação no livro University Physics de sears e zemansky ele foi autor de College Physics dos mesmos autores o professor Young obteve o título de bacharel em performance de órgão pela carnegie Mellon em 1972 e foi organista associado por vários anos na catedral de st Paul em Pittsburgh Ele frequentemente se aventurava no deserto para caminhar escalar ou explorar cavernas com os alunos do Explorers club da carnegie Mellon que fundou como aluno de graduação e depois assessorou o professor Young e sua esposa alice hospedavam até 50 alunos a cada ano para jantares de ação de Graças em sua casa sempre generoso dr Young expressava sua admiração de forma ardente Estendo meus cordiais agradecimentos aos meus colegas da carnegie Mellon em especial aos professores robert Kraemer Bruce sherwood ruth chabay helmut vogel e Brian Quinn por discussões estimulantes sobre pedagogia da física e por seu apoio e incentivo du rante a elaboração das sucessivas edições deste livro agradeço também às muitas gerações de estudantes da carnegie Mellon por me ajudarem a entender o que é ser um bom professor e um bom escritor e por me mostrarem o que fun ciona ou não é sempre um prazer e um privilégio expressar minha gratidão à minha esposa alice e minhas filhas Gretchen e rebecca pelo amor apoio e amparo emocional durante a elaboração das sucessivas edições deste livro Quem dera todos os homens e mulheres fossem abençoados com o amor que elas me dedicam Nós da Pearson apre ciamos seu profissionalismo boa índole e cooperação sentiremos falta dele BookSEARSVol2indb 373 021015 154 PM 374 Física II A Lewis Ford é professor de física na universidade aM do texas Ele recebeu o grau de Bachelor of Arts Ba na universidade rice em 1968 e o título de PhD em físicoquí mica na universidade do texas em austin em 1972 Depois de um pósdoutorado de um ano na universidade de harvard ele começou a trabalhar na faculdade de física da universidade aM do texas em 1973 e ali permanece até hoje suas pesquisas versam sobre física atômica teórica particularmente em colisões atômicas Na universidade aM do texas lecionou em diversos cursos de graduação e de pósgraduação porém se dedicou mais à física básica BookSEARSVol2indb 374 021015 154 PM ISBN 9788543005737 9 788543 005737 Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r TERMODINÂMICA E ONDAS II FÍSICA 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY Física w w w p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint manual de soluções e exercícios adicionais em inglês Para estudantes exercícios adicionais Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site 14e TERMODINÂMICA E ONDAS YOUNG FREEDMAN II FÍSICA Desde sua primeira edição esta obra tem sido referência por sua ênfase nos princípios fundamentais de física e em como aplicálos Estruturado de maneira clara e com uma didática minuciosa aliada a uma extensa gama de exercícios e exemplos explicativos este livro permite que os alunos desenvolvam habilidades de identificação estabele cimento execução e avaliação de problemas Fundamental para estudantes dos cursos de graduação em matemática física e para todos os ramos da engenharia esta 14a edição foi totalmente atualizada e revisada para oferecer um aprendizado eficaz por meio de uma abordagem mais explicativa somada a uma quantidade maior de figuras fotos e exercícios E todo esse conteúdo é complementado por notas explicativas nas principais equações quadros com os erros mais comuns conteúdo atualizado da física moderna e aplicações de biociência o que o torna a grande referência para os estudiosos da área SEARS ZEMANSKY 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY FÍSICA II TERMODINÂMICA E ONDAS VIRA VIRA VIRA VIRA 9788543005737SEARSFISICA IIindd 1 17122015 115951