Aula 05: Técnicas do Lugar Geométrico das Raízes em Controle Analógico

Controle Analogico Aula 05 Tecnicas do lugar geometrico das raızes Gabriel Cambraia Soares MEng email gabrielsoaresifmgedubr Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia de Minas Gerais IFMG 8 de janeiro de 2023 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 1 34 Introducao Revisao dos topicos da aula passada Nas aulas passadas vimos sobre 1 O conceito de controle de processos 2 Os elementos de controle medicao e atuacao 3 Sistemas em malha aberta e fechada 4 O conceito de funcao de transferˆencia polos e zeros do sistema 5 Respostas de sistemas de 1ª ordem 6 Respostas de sistemas de 2ª ordem 7 Sistemas com realimentacao 8 Estabilidade 9 Erros em regime permanente Apresentacao dos topicos da aula de hoje Na aula de hoje vocˆes aprenderao a tecnica do lugar geometrico das raızes para a analise de sistemas de controle gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 2 34 Introducao O lugar geometrico das raızes O lugar geometrico das raızes e uma representacao grafica dos polos em malha fechada a medida que um parˆametro do sistema e variado Este e um metodo poderoso de analise e projeto para a estabilidade e a resposta transitoria Mas porque analisar graficamente sistemas de controle com realimentacao Estes sao difıceis de compreender de um ponto de vista qualitativo e portanto dependem fortemente da matematica Ate aqui os ganhos e outros parˆametros do sistema foram projetados para resultar em uma resposta transitoria desejada apenas para sistemas de primeira e segunda ordens Embora o lugar geometrico das raızes possa ser utilizado para resolver o mesmo tipo de problema seu verdadeiro poder esta na sua capacidade de fornecer solucoes para sistemas de ordem superior a 2 O lugar geometrico das raızes pode ser utilizado para descrever qualitativamente o desem penho de um sistema a medida que diversos parˆametros sao alterados Por exemplo o efeito da variacao do ganho sobre a ultrapassagem percentual o tempo de acomodacao e o instante de pico pode ser mostrado vividamente Alem da resposta transitoria o lugar geometrico das raızes tambem fornece uma repre sentacao grafica da estabilidade do sistema Podemos ver claramente faixas de estabilidade faixas de instabilidade e as condicoes que fazem com que um sistema entre em oscilacao gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 3 34 Introducao O Problema do Sistema de Controle Os polos da funcao de transferˆencia em malha aberta sao facilmente obtidos tipicamente eles sao identificados por inspecao e nao mudam com variacoes no ganho do sistema Ja os polos da funcao de transferˆencia em malha fechada sao mais difıceis de obter tipi camente eles nao podem ser obtidos sem se fatorar o polinˆomio caracterıstico do sistema em malha fechada o denominador da funcao de transferˆencia em malha fechada Alem disso os polos em malha fechada variam com variacoes no ganho do sistema Vamos relembrar um sistema em malha fechada atraves da Figura 1 Figura 1 Sistema com realimentacao Fonte Nise 2012 A funcao de transferˆencia em MA e descrita por KGsHs Uma vez que o ganho apenas interfere no numerador da FT os polos nao sao dependentes de K Por outro lado a funcao de transferˆencia em MF e dada por KGs 1KGsHs Os polos sao diretamente influenciados pelo valor de K gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 4 34 Introducao O Problema do Sistema de Controle Vamos provar essa afirmacao Consi dere NG s e DG s o numerador e o denominador do bloco Gs Gs NG s DG s 1 Considere NHs e DHs o numerador e o denominador do bloco Hs Hs NHs DHs 2 Substituindo 1 e 2 em KGs 1KGsHs temos Ts KNG sDHs DG sDHs KNG sNHs Observamos que os polos de Ts nao sao conhecidos imediatamente e de fato podem mudar com K Por exemplo se Gs s1 ss2 e Hs s3 s4 os polos de KGsHs sao 0 2 e 4 Os zeros de KGsHs sao 1 e 3 Agora Ts Ks1s4 s36Ks284Ks3K Assim os zeros de Ts consistem nos zeros de Gs e nos polos de Hs Os polos de Ts nao sao conhecidos sem se fatorar o denominador e eles sao uma funcao de K Uma vez que a resposta transitoria e a estabilidade dependem dos polos de Ts nao conhecemos o desempenho do sistema a menos que fatoremos o de nominador para valores de K O lugar geometrico das raızes sera usado para nos dar uma representacao dos polos de Ts a medida que K varia gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 5 34 Representado Vetorial de Nimeros Complexos Qualquer numero complexo o jw jo descrito em coordenadas cartesianas Plano s pode ser representado graficamente por w um vetor como mostrado na Figura 2 6 oO O numero complexo também pode ser descrito na forma polar com magnitude M e 4ngulo 0 como MZ06 Podemos representar a magnitude e o Figura 2 Representagio vetorial Angulo entre o polozero em relaao a Fonte Nise 2012 qualquer ponto do plano Na Figura 3 por exemplo a magnitude Ne A Pi M e 0 Angulo sao dados por anos il acco M vV122 22 148 1216 O 2 6 tan 3 946 Figura 3 Vetor do zero s 7 até 0 ponto s 5 j2 Para encontrar M e imagine um Fonte Nise 2012 tridngulo M é a hipotenusa e 0 0 Angulo entre o polozero e 0 eixo horiz gabrielsoaresifmgedubr Controle Analdgico 8 de janeiro de 2023 eee INTRODUGAO Representado Vetorial de Nimeros Complexos Exemplo 1 Dado Fs qe 18 determine as magnitudes e os angulos entre cada polo e zero até o ponto i 3 54 Bp Plano s Zerosl Os p s 1 M VBR V3 ea o 4 2 6 180 tan 3 116 56 7 Polo s 0 Figura 4 Representaao vetorial do exemplo M 32 442 5 Fonte Nise 2012 Polo s 2 4 6 180 tan 3 126 86 3 MV124442V17 4 6 180 tan 5 104 03 INTRODUGAO Representado Vetorial de Nimeros Complexos Vimos que cada polozero possui uma Ou seja para se determinar o Angulo magnitude e um angulo em relaao a resultante do sistema devese subtrair um ponto no plano s somatério dos angulos dos zeros pelo Para um sistema com polos e zeros somatorio dos angulos dos polos podese calcular a magnitude total do No exemplo 1 vimos que a magnitude sistema para qualquer ponto s do vetor do ponto s 34 até 0 zero m s lera de 20 e as magnitudes até M T2 Is 2 os polos s 0 e s 2 eram de 5e Tj1 Is 2 V17 Calculando a magnitude total do sistema Onde significa produto Em outras palavras para determinar a magnitude V20 total do sistema devemos dividir o pro M 5x V1 0217 duto das distancias até os zeros pelo produto das distancias até os polos 0o angulo entre o Zero e 0 ponto s De forma semelhante podese calcular 3J4 era de 116 6 entre os polos e o Angulo total do sistema para qualquer omesmo ponto eram de 126 cneds pancre O Angulo resultante desse sistema para qualquer ponto s sera de m n 6 L4s427 4s2 0 116 6126 9104 114 3 i1 vu é Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR Um sistema de cˆamera de seguranca semelhante ao mostrado na Figura 5 pode seguir automaticamente um in divıduo O sistema de rastreamento monitora va riacoes de pixels e posiciona a cˆamera para centralizar as variacoes A tecnica do lugar geometrico das raızes pode ser utilizada para analisar e proje tar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transitoria e a estabilidade do sistema Admita o diagrama de blocos do sis tema em que os polos em malha fechada do sistema mudam de posicao a medida que o ganho K e variado Figura 5 Sistema de rastreamento Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 9 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR A Tabela ao lado apresenta os valores dos polos para diferentes valores de ga nho A medida que o ganho K aumenta o polo em malha fechada que esta em 10 para K 0 se move para a direita Por outro lado o polo em malha fe chada que esta em 0 para K 0 se move para a esquerda Eles se encontram em 5 saem do eixo real e se movem no plano complexo Um dos polos em malha fechada se move para cima enquanto o outro se move para baixo K Polo 1 Polo 2 0 10 0 5 9 47 0 53 10 8 87 1 13 15 8 16 1 84 20 7 24 2 76 25 5 5 30 5 j2 24 5 j2 24 35 5 j3 16 5 j3 16 40 5 j3 87 5j3 87 45 5 j4 47 5j4 47 50 5 j5 5j5 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 10 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR Os graficos da Figura 8 apresentam as localizacoes dos polos em malha fe chada de acordo com a variacao do ga nho Como foi visto o primeiro polo em 10 quando K 0 tende para a direita com o aumento do ganho enquanto o segundo tende para a esquerda No ponto s 5 em K 25 eles se encontram passam a trilhar o eixo ima ginario No grafico inferior as posicoes individu ais dos polos em malha fechada sao re movidas e seus caminhos sao represen tados por linhas contınuas E esta representacao dos caminhos dos polos em malha fechada a medida que o ganho e variado que chamamos de lugar geometrico das raızes Figura 6 Localizacao dos polos para ganhos distintos Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 11 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR O lugar geometrico das raızes mostra as variacoes na resposta transitoria a me dida que o ganho K varia Em primeiro lugar os polos sao reais para ganhos inferiores a 25 Assim o sistema e superamortecido Com um ganho de 25 os polos sao re ais e multiplos e portanto criticamente amortecidos Para ganhos superiores a 25 o sistema e subamortecido Dirigindo nossa atencao para a parcela subamortecida do lugar geometrico das raızes observamos que independente mente do valor do ganho as partes reais dos polos complexos sao sempre as mes mas Figura 7 Localizacao dos polos para ganhos distintos Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 12 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR Como o tempo de acomodacao e inver samente proporcional a parte real inde pendentemente do valor do ganho este permanece o mesmo para todas as si tuacoes de respostas subamortecidas A medida que aumentamos o ganho o fator de amortecimento ξ diminui e a ultrapassagem percentual aumenta A frequˆencia amortecida de oscilacao ωd tambem aumenta com um aumento do ganho resultando em uma reducao do instante de pico Como o lugar geometrico das raızes nunca passa para o semiplano da direita o sistema sera sempre estavel indepen dentemente do valor do ganho Essas conclusoes para um sistema sim ples como este podem parecer triviais Veremos a aplicacao a sistemas de or dem superior a 2 Figura 8 Localizacao dos polos para ganhos distintos Fonte Nise 2012 Nos quais e difıcil relacionar as ca racterısticas da resposta transitoria a posicao dos polos gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 13 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR No sistema de rastreamento des crito anteriormente chegamos ao lugar geometrico das raızes fatorando o po linˆomio de segunda ordem no denomi nador de Gs Considere o que aconteceria se aquele polinˆomio fosse de quinta ou decima or dem Sem um computador fatorar o po linˆomio seria um grande problema para inumeros valores do ganho Estamos prestes a examinar as proprie dades do lugar geometrico das raızes A partir dessas propriedades seremos capazes de fazer um esboco do lugar geometrico das raızes para sistemas de ordem elevada sem ter que fatorar o de nominador da funcao de transferˆencia em malha fechada Lembremos que a FT em malha fechada e descrita por Ts KGs 1 KGsHs A partir equacao acima um polo s existe quando o polinˆomio caracterıstico no denominador se anula ou KGsHs 1 12k 1180 Ou seja um valor de s e um polo em malha fechada se KGsHs 1 3 e KGsHs 2k 1180 4 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 14 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR Sendo assim para que s seja um polo em malha fechada para algum valor de K o mesmo precisa ter magnitude igual a 1 e ˆangulo de 180 540 900 2k1180 Mas qual valor de K levaria esse ponto s a ser polo em malha fechada Basta calcular para o ponto s especıfico K 1 GsHs Exemplo considere o sist da Fig 11 A funcao de transferˆencia em ma lha aberta e dada por KGsHs Ks3s4 s1s2 A funcao de transferˆencia em malha fe chada Ts e Ts Ks 3s 4 1 Ks2 3 7Ks 2 12K Figura 9 Exemplo Fonte Nise 2012 Se o ponto s e um polo do sistema em malha fechada para algum valor de ga nho K entao s deve satisfazer as Eqs 3 e 4 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 15 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR Exemplo considere o sist da Fig 11 Considere o ponto s 2 j3 Vamos calcular o ˆangulo resultante θpolo1 180 tan1 3 1 108 43 θpolo2 180 tan1 3 0 90 θzero3 tan1 3 1 71 56 θzero4 tan1 3 2 56 31 Calculando a magnitude resultante θ 71 56 56 31 90 108 43 θ 70 55 Figura 10 Exemplo Fonte Nise 2012 Como o ˆangulo resultante nao e multiplo ımpar de 180 s 2 j3 nao e um polo em MF para algum valor de K gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 16 34 Definindo o Lugar Geometrico das Raızes O Lugar Geometrico das Raızes LGR Exemplo considere o sist da Fig 11 Agora considere s 2 j 2 2 Vamos calcular o ˆangulo resultante θpolo1 180tan1 0 7071 1 144 73 θpolo2 180 tan1 0 7071 0 90 θzero3 tan1 0 7071 1 35 25 θzero4 tan1 0 7071 2 19 47 Calculando a magnitude resultante θ 35 25 19 47 144 73 90 θ 180 Figura 11 Exemplo Fonte Nise 2012 O ˆangulo resultante e multiploımpar de 180 Logo existe um valor de K que torna s 2 j 2 2 polo em malha fechada gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 17 34 7 4 DEFININDO 0 LUGAR GEOMETRICO DAS RAIZES O Lugar Geométrico das Raizes LGR Para encontrar o valor de K que torna kK 1 1 e s2 ee um polo em malha fe 7 GsHs mM 5 chada devemos encontrar a magnitude 1 resultante M K 033 2 2 Mpolo J 12 v V15 Ou seja quando o ganho é K 0 330 ponto s eee é um polo em malha Ve fechada para o sistema do exemplo Mpolo 02 05 Resumindo dados os polos e zeros da FT em malha aberta KGsHs um 2 lano s estard sobre o lugar 9 ponto no p ig Mzero3 J 12 v V15 geométrico das raizes para um valor de ganho K se os angulos dos zeros menos 2 os angulos dos polos todos tracados até Mzero4 22 3 HV 45 ponto escolhido no plano s totaliza rem 2k 1180 Calculando a magnitude resultante O ganho K é encontrado dividindose o a produto das distancias até os polos pelo M ae oe 3 produto das distancias até os zeros V x V 7 4 LUGAR GEOMETRICO DAS RAIZES Esbocando o Lugar Geométrico das Raizes O LGR pode ser obtido varrendose os Pontos de inicio e de término O lugar pontos do plano s para localizar aqueles geométrico das raizes se inicia nos polos para os quais a soma dos Angulos resulta finitos e infinitos de GsHs e termina em um miltiplo impar de 180 nos zeros finitos e infinitos de GsHs Esse conceito pode ser utilizado para Lembrese de que esses polos e zeros sao desenvolver regras para se esbocar o os polos e zeros em malha aberta LGR sem o esforco exigido para tracar Comportamento no infinito O lugar com exatidao o lugar geométrico geométrico das raizes tende a retas as As cinco regras a seguir nos permitem sintdticas quando o lugar geométrico esbocar o lugar geométrico das raizes tende a ee disso a equacao Mcilicanconnimaninimencdereseloss das assintotas é dada pela interseao com o eixo real o3 O Angulo 62 Niimero de Ramos O numero de ramos como se segue do LGR é igual ao numero de polos em malha fechada or Le PolOstinitos D2 ZerOStinitos aot sat at Wo Simetria O LGR é simétrico em relacdo poloStinitos ZFOSfinitos ao eixo real Segmentos do eixo real No eixo real 0 2k 1 a para K 0 o LGR existe a esquerda de polostinitos FEZEFOSfinitos um nimero jmpar de polos eou zeros finitos em MA sobre o eixo real J ee gabrielsoaresifmgedubr Controle Analdgico 8 de janeiro de 2023 cava LUGAR GEOMETRICO DAS RAIZES Esbocando o Lugar Geométrico das Raizes Exemplo Esboce o lugar geométrico Ris Kis 3 Cs das raizes para o sistema mostrado na PPER RTT APT Sis MS HS Figura 12 Solugao O primeiro passo é calcular as Pee cule A intersegado com o eixo Figue i Gistoma de eomea real é calculada por P Fonte Nise 2012 d polostinitos ZrOStinitos a polostinitos ZrOStinitos A Regra 4 estabelece que o lugar geométrico se inicia nos polos em ma 124 3 4 lha aberta e termina nos zeros em malha Para o exemplo existem mais polos em Os angulos das retas que se cruzam em malha aberta do que zeros em malha 43 sao aberta Assim devem existir zeros no ok1 infinito As assintotas nos dizem como 6 kK Am chegar a esses zeros no infinito POlOStinitos FFZEFOSfinitos 2k 1 T 57 9 CAA IT gg Tn 3 3 3 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analdgico 8 de janeiro de 2023 LCL Lugar Geometrico das Raızes Esbocando o Lugar Geometrico das Raızes A Figura 14 mostra o lugar das raızes do exemplo Repare que duas assıntotas foram posi cionadas em σa 43 1 33 Uma assıntota possui ˆangulo de θa π 3 e a outra de θa 5π 3 A assıntota serve para orientar a porcao do LGR que tende ao infinito originada pelos dois polos s 0 e s 1 Mas professor como eu sei o sentido do LGR em relacao aos polos e zeros Devemos comecar a analise da direita para a esquerda A regra 3 nos diz que o LGR existe a esquerda de um numero ımpar de polos eou zeros finitos O primeiro polo ımpar gerou o LGR a sua esquerda Uma vez que nao existe um zero entre os dois primeiros polos o segundo polo gerou o LGR a sua direita Figura 13 LGR do exemplo Fonte Nise 2012 O 3polo ımpar gerou o LGR para a esquerda ate encontrar um zero 4elemento O 4polo 5elemento gerou o LGR para a esquerda gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 21 34 Lugar Geometrico das Raızes Esbocando o Lugar Geometrico das Raızes Trarei algumas dicas para tracar o LGR a seguir O primeiro passo e desenhar os polos e zeros do sistema em malha aberta no plano s Na sequˆencia calcule a posicao σa e os ˆangulos das assıntotas θa Desenhe as assıntotas do graficos Iniciando na direita e indo em direcao a esquerda analise a posicao dos polos e zeros No nosso exemplo temos 1ª posicao Polo em 0 2ª posicao Polo em 1 3ª posicao Polo em 2 4ª posicao Zero em 3 5ª posicao Polo em 4 Os polos de posicoes ımpares geram LGR para a esquerda enquanto os pa res geram para a direita Figura 14 LGR do exemplo Fonte Nise 2012 O LGR sempre se inicia nos polos finitos e terminam nos zeros finitosinfinitos gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 22 34 Lugar Geometrico das Raızes Esbocando o Lugar Geometrico das Raızes Exemplo Esboce o lugar geometrico das raızes para um sistema com reali mentacao unitaria que possui a funcao de transferˆencia Gs K s 2s 4s 6 O sistema possui 3 polos em malha aberto e nenhum zero 1ª posicao Polo em 2 2ª posicao Polo em 4 3ª posicao Polo em 6 O primeiro polo se movera para a es querda o segundo para a direita e o terceiro para a esquerda Vamos agora calcular as assıntotas σa 2 4 6 0 3 0 12 3 4 Vamos agora calcular os ˆangulos das assıntotas θa 2k 1π polos θa 2k 1π 3 Para k 0 θa π 3 Para k 1 θa π Para k 2 θa 5π 3 A assıntota de 180para k 1 fara que o LGR do polo mais afastado 6 va para o infinito trilhando o eixo real As assıntotas de 60e 300indicam o comportamento do LGR entre os polos 2 e 4 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 23 34 Lugar Geometrico das Raızes Esbocando o Lugar Geometrico das Raızes A Figura 15 apresenta o LGR As retas pretas indicam as assıntotas de 60e 300 O 1e o 2polo se encontram em um ponto entre 3 e 2 e depois seguem as assıntotas O LGR do 3polo segue para a esquerda junto com a assıntota de 180no eixo real Figura 15 LGR do exemplo Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 24 34 Lugar Geometrico das Raızes Esbocando o Lugar Geometrico das Raızes As regras cobertas na secao anterior nos permitem esbocar rapidamente um lu gar geometrico das raızes Caso desejemos mais detalhes precisa mos ser capazes de determinar com exa tidao pontos importantes sobre o lugar geometrico das raızes junto com seus respectivos ganhos A partir de agora vamos refinar o esboco ate entao conhecido Por exemplo qual e o ponto que o LGR entra e sai do eixo real Repare na Fig 16 que conhecemos ape nas os locais onde as assıntotas cruzam o eixo real Figura 16 LGR do exemplo Fonte Do autor 2021 De forma semelhante em qual ponto o LGR cruza o eixo jw Aprenderemos tambem como tracar os ˆangulos de partida dos polos complexos e de chegada dos zeros complexos gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 25 34 Lugar Geometrico das Raızes Pontos de Saıda e de Entrada sobre o Eixo Real Inumeros lugares geometricos das raızes parecem sair do eixo real quando os po los do sistema se movem do eixo real para o plano complexo Outras vezes os LGR parecem retornar ao eixo real quando um par de polos complexos se torna real Isso esta ilustrado na Figura 17 Este lugar geometrico e esbocado uti lizando as quatro primeiras regras 1 numero de ramos 2 simetria 3 seg mentos sobre o eixo real e 4 pontos de inıcio e de termino A figura mostra um LGR deixando o eixo real entre 1 e 2 e retornando ao eixo real entre 3 e 5 O ponto em que o LGR deixa o eixo real σ1 e chamado de ponto de saıda e o ponto em que retorna ao eixo real σ2 e chamado de ponto de entrada Figura 17 Exemplo de LGR Fonte Nise 2012 Mostrarei agora como determinar os pontos de saıda e de entrada gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 26 34 7 4 LUGAR GEOMETRICO DAS RAIZES Pontos de Saida e de Entrada sobre o Eixo Real Os pontos de saida e de entrada podem Tirando o MMC e resolvendo para a ser encontrados por meio do método de transicao Segundo esse método os pontos de et il ie caine saida e de entrada satisfazem 4 relacao o305 0 2o 1 m n 1 1 ee 6 o305 0201 Em que Zz e p sao os negativos dos valores dos zeros e dos polos respecti 1lo 260 610 vamente de GsHs Logo 01 145 e o2 3 82 Exemplo Determine os pontos de saida e de entrada para o LGR de Se voltarmos no slide anterior veremos Gs s3s5 que o ponto de saida dos polos e de che s1s2 gada dos zeros é exatamente nos locais Usando 6 temos que acabamos de encontrar 1 in 1 1 n 1 o3 05 otl1 o2 Lugar Geometrico das Raızes Os Cruzamentos do Eixo jω Agora refinamos ainda mais o lugar geometrico das raızes determinando os cruzamentos do eixo imaginario A importˆancia dos cruzamentos do eixo jω deve ser facilmente percebida Quanto o LGR cruza o eixo jω para o lado direito os ganhos subsequentes trazem instabilidade para o sistema Logo o cruzamento do eixo jω e um ponto do LGR que separa a operacao estavel do sistema da operacao instavel Para determinar o cruzamento do eixo jω podemos utilizar o criterio de RouthHurwitz como se segue Forcando uma linha de zeros na tabela de Routh obtemse o ganho Retornando uma linha para a equacao do polinˆomio par e resolvendo para as raızes obtemse a frequˆencia no cruza mento do eixo imaginario Exemplo Cruzamento do eixo jω para Gs Ks3 ss1s2s4 A funcao de transferˆencia em MF e Ts Ks 3 s4 7s3 14s2 8 Ks 3K A tabela de Routh e dada por Devemos zerar uma linha na tabela Para valores positivos do ganho somente a linha s1 pode resultar em uma linha de zeros K 2 65K 720 0 K 9 65 Formando o polinˆomio par c a linha s2 90 Ks2 21K 80 35s2 202 7 0 s j1 59 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 28 34 Lugar Geometrico das Raızes Exercıcios de Fixacao Exemplo Dado o sistema com re alimentacao unitaria em que Gs Ks1 ss2s3s4 a Esboce o lugar geometrico das raızes b Determine as assıntotas c Determine o valor de ganho que tornara o sistema marginalmente estavel Solucao Os polos em malha aberta estao em 0 2 3 e 4 O sistema possui um zero em 1 Fig 19 O primeiro passo e varrero eixo real no sentido da direita para a esquerda e observar a localizacao de polos e zeros O primeiro elemento e um polo em s 0 Na sequˆencia temos um zero em s 1 Figura 18 Plano s com os polos e zeros de Gs Fonte Do autor 2021 O LGR sempre parte de um polo na direcao de um zero Desse modo o LGR iniciali zara em s 0 ate s 1 Figura 19 LGR inicial entre o polo e o zero Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 29 34 Lugar Geometrico das Raızes Exercıcios de Fixacao Na sequˆencia sobraram 3 polos finitos Uma vez que nao existem mais zeros fi nitos os caminhos dos 3 polos tenderao ao infinito seguindo as assıntotas O local das assıntotas diagonais e defi nido por σa 0 2 3 4 1 4 1 8 3 2 66 Os ˆangulos das assıntotas sao θa 2k 1π polos zeros 2k 1π 3 θa π 3 π 5π 3 As assıntotas sao posicionadas em s 2 66 e possuem ˆangulos de 60 180 e 300 Figura 20 Posicionamento das assıntotas Fonte Do autor 2021 Vamos descobrir os pontos de partida proximos das assıntotas no eixo real do LGR 1 σ 1 1 σ 1 σ 2 1 σ 3 1 σ 4 Resolvendo σ encontramos σ 2 4 Logo o LGR saira de 2 4 e tendera ao infinito conforme a assıntota diagonal Vamos definir o ponto de cruzamento com o eixo imaginario gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 30 34 Lugar Geometrico das Raızes Exercıcios de Fixacao Para definir o ponto de cruzamento no eixo imaginario devemos definir o valor do ganho K limite entre a estabilidade e a instabilidade A funcao de transferˆencia em malha fe chada para Gs e Ts Ks 1 ss 2s 3s 4 Ks 1 A Tabela de Routh e apresentada facam em casa e treinem s4 1 26 K s3 9 24K 0 s2 210K 9 K 0 s1 K2105K5040 9 0 0 s0 K 0 0 Para valores positivos de K somente a li nha s1 pode resultar em uma linha total mente zerada Calculando a raiz de s1 K 2 105K 5040 9 K 140 Ou seja K 140 e o valor de ganho a partir do qual o LGR se encontra no eixo imaginario Qual e a localizacao do LGR quando K 140 210 K 9 s2 K 0 70 9 s2 140 0 s j4 2 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 31 34 Lugar Geometrico das Raızes Exercıcios de Fixacao Figura 21 LGR do exemplo Reparem no ponto de saıda do eixo real e de chegada no eixo imaginario Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 32 34 Exercıcios Exercıcio 1 Dado Fs s2s4 ss3s6 determine a magnitude e o ˆangulo resultantes no ponto s 7 j9 Solucao M 0 096 110 7 Exercıcio 2 Dado um sistema com realimentacao unitaria em que Gs K s1s2s3 a Esboce o lugar geometrico das raızes b Determine K para 20 de ultrapassagem c Para K obtido no Item b qual e o tempo de acomodacao e qual e o instante de pico d Determine a faixa de K para estabilidade gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 33 34 Referˆencias Bibliograficas NISE Norman S Engenharia de sistemas de controle 6ºed LTC Sao Paulo 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 34 34