Controle Analógico: Projeto via Lugar Geométrico das Raízes - Aula 06

Controle Analogico Aula 06 Projeto via lugar geometrico das raızes Gabriel Cambraia Soares MEng email gabrielsoaresifmgedubr Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia de Minas Gerais IFMG 8 de janeiro de 2023 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 1 35 Introducao Revisao dos topicos da aula passada Nas aulas passadas vimos sobre 1 O conceito de controle de processos 2 Os elementos de controle medicao e atuacao 3 Sistemas em malha aberta e fechada 4 O conceito de funcao de transferˆencia polos e zeros do sistema 5 Respostas de sistemas de 1ª ordem 6 Respostas de sistemas de 2ª ordem 7 Sistemas com realimentacao 8 Estabilidade 9 Erros em regime permanente 10 Conceitos e criacao do lugar geometrico das raızes Apresentacao dos topicos da aula de hoje Na aula de hoje vocˆes aprenderao as tecnicas de projeto de sistemas de controle usando o lugar geometrico das raızes gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 2 35 Introducao Breve revisao da aula passada Na aula passada vimos que o lugar geometrico das raızes mostrava grafica mente tanto informacoes sobre a res posta transitoria quanto informacoes sobre a estabilidade O lugar geometrico das raızes tipica mente nos permite escolher o ganho de malha adequado para atender uma es pecificacao de resposta transitoria A medida que o ganho e variado nos movemos atraves de diferentes regioes de resposta Ajustando o ganho em um valor par ticular produzse a resposta transitoria ditada pelos polos no ponto sobre o lu gar geometrico das raızes Assim estamos limitados as respos tas que existem ao longo do lugar geometrico das raızes Na aula de hoje veremos como projetar controladores para criar novos lugares geometricos com o intuito de chegar ate os requisitos desejados em regime tran sitorio e em regime permanente gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 3 35 Introducao Melhorando a Resposta Transitoria A flexibilidade no projeto de uma res posta transitoria desejada pode ser au mentada se pudermos projetar para res postas transitorias que nao estao sobre o lugar geometrico das raızes Considere a Fig 1 Suponha que o projeto exige o overshoot visto em A ou seja ja temos o ξ desejado No entanto a resposta do sistema para o polo na posicao A esta muito lenta O que o projetista pode fazer A unica opcao e a alteracao do ganho que mu dara a posicao do polo em MF Ao mudar o valor de K projetista con segue alterar a velocidade da resposta No entanto o fator de amortecimento e o overshoot mudarao O projetista poderia mudar a planta por exemplo para alterar o LGR Mas isso e totalmente dispendioso Figura 1 Dois polos A e B O primeiro esta localizado no LGR e o segundo fora Fonte Nise 2012 A resolucao consiste na compensacao do sistema com polos e zeros adicionais de modo que o mesmo tenha um LGR que passe pela posicao desejada do polo para algum valor de ganho gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 4 35 Introducao Melhorando a Resposta Transitoria Uma das vantagens de se compensar um sistema dessa forma e que os polos e zeros adicionais podem ser acrescenta dos na extremidade de baixa potˆencia do sistema antes da planta O acrescimo de polos e zeros de com pensacao nao precisa interferir nos re quisitos de potˆencia de saıda do sistema ou apresentar problemas adicionais de carregamento ou de projeto Os polos e zeros de compensacao po dem ser gerados com um circuito pas sivo ou com um circuito ativo Uma possıvel desvantagem de compen sar um sistema com polos e zeros adi cionais em malha aberta e que a ordem do sistema pode aumentar Um metodo de compensacao para res posta transitoria e inserir um derivador no caminho a frente em paralelo com o ganho Admitindo um controle de posicao com entrada em degrau observamos que o erro sofre uma grande variacao inicial Derivando essa variacao rapida produz se um grande sinal que aciona a planta A saıda do derivador e muito maior que a saıda do ganho puro Essa grande entrada inicial para a planta produz uma resposta mais rapida A medida que o erro se apro xima de seu valor final sua derivada tende a zero e a saıda do derivador se torna desprezıvel comparada com a saıda do ganho gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 5 35 Introducao Melhorando o Erro em Regime Permanente Os compensadores nao sao utilizados apenas para melhorar a resposta tran sitoria de um sistema Eles tambem sao utilizados indepen dentemente para melhorar as carac terısticas de erro em regime perma nente Sabemos que quanto maior o ganho menor o erro em regime permanente porem maior a ultrapassagem percen tual Por outro lado reduzindo o ganho para diminuir a ultrapassagem percen tual aumentase o erro em regime per manente Caso utilizemos compensadores dinˆamicos estruturas de compensacao que nos permitirao atender as espe cificacoes de transitorio e de erro em regime permanente simultaneamente podem ser projetadas Na aula 04 aprendemos que o e pode ser melhorado adicionadose um polo em malha aberta na origem no ca minho a frente aumentando assim o tipo do sistema e conduzindo o erro em regime permanente associado a zero Este polo adicional na origem requer um integrador para sua realizacao Em resumo entao a resposta tran sitoria e melhorada com o acrescimo de derivacao e o erro em regime perma nente e melhorado com o acrescimo de integracao no caminho a frente gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 6 35 Introducao Configuracoes Duas configuracoes de compensacao sao cobertas nesta aula compensacao em cascata e compensacao de reali mentacao Com compensacao em cascata a es trutura de compensacao G1s e colo cada na extremidade de baixa potˆencia do caminho a frente em cascata com a planta Caso a compensacao de realimentacao seja utilizada o compensador H1s e colocado no caminho de realimentacao Ambos os metodos alteram os polos e zeros em malha aberta criando dessa forma um novo lugar geometrico das raızes que passa pela posicao desejada do polo em malha fechada Figura 2 Tecnicas de compensacao a cascata b realimentacao Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 7 35 Introducao Compensadores Os compensadores que utilizam inte gracao pura para melhorar o erro em regime permanente ou derivacao pura para melhorar a resposta transitoria sao definidos como compensadores ideais Os compensadores ideais devem ser im plementados com estruturas ativas as quais no caso de circuitos eletricos re querem o uso de amplificadores ativos Uma vantagem dos compensadores com integrador ideal e que o erro em regime permanente e reduzido a zero Existem tambem compensadores que podem ser implementados com elemen tos passivos como resistores e capaci tores Estes nao utilizam integracao pura nem derivacao pura e nao sao compensado res ideais As estruturas passivas tˆem as vantagens de serem menos dispendiosas e de nao requererem fontes de alimentacao adi cionais para o seu funcionamento Sua desvantagem e que o erro em re gime permanente nao e levado a zero nos casos em que os compensadores ide ais produziriam erro nulo Assim a escolha entre um compensador ativo e um compensador passivo gira em torno de custo peso desempenho dese jado funcao de transferˆencia e interface entre o compensador e outros equipa mentos Na aula de hoje primeiro discutiremos o projeto de compensadores em cas cata utilizando compensacao ideal e em seguida a compensacao em cascata utilizando compensadores que nao sao implementados com integracao ou de rivacao pura gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 8 35 Melhorando e via Comp em Cascata Introducao Discutiremos duas maneiras de melho rar o erro em regime permanente de um sistema de controle com realimentacao utilizando compensacao em cascata A primeira tecnica e a compensacao in tegral ideal a qual utiliza um integrador puro para adicionar um polo na origem no caminho a frente em malha aberta aumentando assim o tipo do sistema e reduzindo o erro a zero A segunda tecnica nao utiliza inte gracao pura Esta tecnica de com pensacao adiciona o polo perto da ori gem e embora nao leve o erro em re gime permanente a zero resulta em uma reducao consideravel do erro em regime permanente Os nomes associados aos compensa dores proveem do metodo de imple mentacao do compensador Os sistemas que alimentam o erro adi ante para a planta sao chamados de sis temas de controle proporcional Os sistemas que alimentam a integral do erro para a planta sao chamados de sistemas de controle integral Os sistemas que alimentam a derivada do erro para a planta sao chamados de sistemas de controle derivativo Assim chamaremos o compensador in tegral ideal de controlador proporcional e integral PI uma vez que sua imple mentacao como veremos consiste em alimentar o erro proporcional mais a integral do erro adiante para a planta gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 9 35 Melhorando e via Comp em Cascata Compensacao Integral Ideal PI Para ver como melhorar o erro em re gime permanente sem afetar a resposta transitoria observe a Fig 3 Aqui temos um sistema operando com uma resposta transitoria desejavel ge rada pelos polos em MF em A Caso adicionemos um polo na origem para aumentar o tipo do sistema a con tribuicao angular dos polos em MA no ponto A nao e mais 180 e o LGR nao passara mais pelo ponto A Fig 3 b Para resolver o problema adicionamos tambem um zero proximo ao polo na origem como mostrado em c As contribuicoes angulares do zero do compensador e do polo do compensador se anulam o ponto A ainda esta sobre o LGR e o tipo do sist foi aumentado Melhoramos o e sem afetar apreci avelmente a resposta transitoria Figura 3 Efeitos da compensacao integral ideal PI Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 10 35 Melhorando e via Comp em Cascata Compensacao Integral Ideal PI Um metodo para implementar um com pensador integral ideal e mostrado na Figura 4 A estrutura de compensacao precede Gs e e um compensador integral ideal uma vez que Gcs K1 K2 s K1s K2 K1 s O valor do zero pode ser ajustado pela variacao de K2K1 Nesta implementacao o erro e a integral do erro sao alimentados adiante para a planta Gs Figura 4 Controlador PI Fonte Nise 2012 Como a Figura 4 possui ambos controle proporcional e controle integral o con trolador integral ideal ou compensador recebe o nome alternativo de controla dor PI Mais adiante neste capıtulo veremos como implementar cada bloco K1 e K2s gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 11 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Exemplo Compensacao Integral Ideal PI Exemplo Dado o sistema da Fi gura 5a operando com um fator de amortecimento de 0174 mostre que a adicao do compensador integral ideal mostrado na Figura 5b reduz o erro em regime permanente a zero para uma entrada em degrau sem afetar significa tivamente a resposta transitoria Figura 5 Sistema do exemplo Fonte Nise 2012 Solucao O primeiro passo e desenhar o LGR para Gs K s1s2s10 e en contrar a localizacao dos polos em MF para ξ 0 174 Quando K 164 o fator de amorte cimento e ξ 0 174 o que resulta na localizacao dos polos em MF em s 0 693 j3 92 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 12 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Exemplo Compensacao Integral Ideal PI Exemplo Dado o sistema da Fi gura 5a operando com um fator de amortecimento de 0174 mostre que a adicao do compensador integral ideal mostrado na Figura 5b reduz o erro em regime permanente a zero para uma entrada em degrau sem afetar significa tivamente a resposta transitoria Encontramos dois dos trˆes polos em malha fechada para K 164 Para encontrar o terceiro vamos ate o LGR que inicia em s 10 e vai para o infinito sobre o eixo real e encontramos a localizacao do polo para K 164 O terceiro polo em MF para K 164 se encontra em s 11 6 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 13 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Exemplo Compensacao Integral Ideal PI Exemplo Dado o sistema da Fi gura 5a operando com um fator de amortecimento de 0174 mostre que a adicao do compensador integral ideal mostrado na Figura 5b reduz o erro em regime permanente a zero para uma entrada em degrau sem afetar significa tivamente a resposta transitoria Vimos que quando K 164 temos o ξ 0 174 desejado Substituindo K em Gs temos Gs K s 1s 2s 10 Gs 164 s 1s 2s 10 Encontrando e do sistema Kp lim s0 Gs 164 1 2 10 8 2 e 1 1 Kp 0 108 O erro do sistema original e igual a 0108 Agora vamos adicionar o com pensador no sistema encontrar a nova posicao dos polos para ξ 0 174 e ve rificar o valor do erro novamente gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 14 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Exemplo Compensacao Integral Ideal PI Exemplo Dado o sistema da Fi gura 5a operando com um fator de amortecimento de 0174 mostre que a adicao do compensador integral ideal mostrado na Figura 5b reduz o erro em regime permanente a zero para uma entrada em degrau sem afetar significa tivamente a resposta transitoria A sistema compensado possui um zero em 01 e um polo na origem O LGR nao se altera pois o polo adicionado cria um novo e breve LGR ate o zero adicionado Para ξ 0 174 temos O novo ganho K 158 gerou ξ 0 174 Temos agora 4 polos em MF Os dois primeiros estao em s 0 677j3 84 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 15 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Exemplo Compensacao Integral Ideal PI Exemplo Dado o sistema da Fi gura 5a operando com um fator de amortecimento de 0174 mostre que a adicao do compensador integral ideal mostrado na Figura 5b reduz o erro em regime permanente a zero para uma entrada em degrau sem afetar significa tivamente a resposta transitoria O terceiro polo em MF aquele para K 158 esta em s 11 7 O quarto polo em MF esta no curto LGR gerado entre pc e zc em s 0 09 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 16 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Exemplo Compensacao Integral Ideal PI Exemplo Dado o sistema da Fi gura 5a operando com um fator de amortecimento de 0174 mostre que a adicao do compensador integral ideal mostrado na Figura 5b reduz o erro em regime permanente a zero para uma entrada em degrau sem afetar significa tivamente a resposta transitoria Resumindo ao adicionar o compensa dor adicionamos um polo e um zero em malha aberta Com isso adicionamos um polo em malha fechada aos demais trˆes existentes anteriormente K 158 fez com que os polos em MF estejam localizados com ξ 0 174 em p1 11 7 p2 0 677 j3 84 p3 0 677 j3 84 e p4 0 09 A FT em MA com o compensador e Gs Ks 0 1 ss 1s 2s 10 Gs 158s 0 1 ss 1s 2s 10 O sistema agora e do tipo 1 Uma entrada degrau em sistemas do tipo 1 gera um erro nulo Logo ao adicionar o compensador eliminamos e Alem disso ao manter ξ 0 174 man temos tambem o overshoot gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 17 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Exemplo Compensacao Integral Ideal PI Figura 6 Resposta do sistema sem o compensador e com o compensador Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 18 35 Melhorando e via Comp em Cascata Compensacao de Atraso de Fase A compensacao integral ideal com seu polo na origem requer um integrador ativo Caso utilizemos estruturas passivas o polo e o zero sao movidos para a es querda nas proximidades da origem como mostrado na Fig 7c Esse posicionamento do polo embora nao aumente o tipo do sistema re sulta na melhoria da constante de erro estatico em relacao a um sistema sem compensacao Admita o sistema sem compensacao mostrado na Fig 7a constante de erro estatico Kvo para o sistema e Kvo Kz1z2 p1p2 Admitindo o compensador de atraso de fase mostrado na Fig 7b e c a nova constante de erro estatico e Figura 7 a Sistema do Tipo 1 sem compensacao b sistema do Tipo 1 compensado c diagrama de polos e zeros do compensador Fonte Nise 2012 Kvn Kz1z2zc p1p2pc Se zc pc estaremos aumentando a constante de erro estatico Logo esta remos diminuindo o e gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 19 35 Melhorando e via Comp em Cascata Compensacao de Atraso de Fase A Fig 8 mostra os efeitos da adicao do comp de atraso de fase sobre o LGR O LGR do sistema sem compensacao e mostrado na Fig 8 a na qual o ponto P e admitido como polo dominante Caso pc e zc estejam proximos um do outro a contribuicao angular do com pensador no ponto P e de quase nula Na Fig 8 b com o compensador adicionado o ponto P esta quase na mesma posicao sobre o LGR compen sado Que melhoria pode ser esperada no erro em regime permanente Kvn Kvo zc pc Kvo A Eq anterior mostra que a melhoria no Kv do sistema comp em relacao ao Kv do sistema sem comp e igual a razao entre as magnitudes de zc e pc Figura 8 LGR a antes da compensacao de atraso de fase b depois da compensacao Fonte Nise 2012 Para manter a resposta transitoria inal terada pc e zc devem estar proximos um do outro Para manter a razao de zc e pc grande e resultar em uma melhoria no e e ter pc e zc proximos um do outro para minimizar a contribuicao angular e po sicionar pc e zc proximo da origem Por exemplo a razao entre zc e pc pode ser igual a 10 se o polo estiver em 0001 e o zero em 001 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 20 35 Melhorando e via Comp em Cascata Exercıcio Compensacao de Atraso de Fase Um sistema com realimentacao unitaria com a funcao de transferˆencia Gs K ss7 esta operando com uma resposta ao degrau em malha fechada que tem 15 de ultrapassagem Faca o se guinte a Calcule o erro em regime per manente para uma entrada em rampa unitaria b Projete um compensador de atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente por um fator de 20 c Calcule o erro em regime per manente para uma entrada em rampa unitaria para seu sistema compensado d Calcule a melhoria obtida no erro em regime permanente Solucao facam em casa Letra a sabendo que o sistema deve ter 15 de ultrapassagem calcule ξ que gera esse valor Na sequˆencia plote o LGR no software de simulacao e encon tre o ganho para o qual os polos de se gunda ordem tenham o ξ encontrado Substitua o ganho K encontrado em Gs e calcule o erro Letra b Projete zc e pc de forma que zc pc seja igual a 20 Se lembrem que zc e pc devem estar proximos a origem no eixo real possuir valores pequenos Letra c Plote o LGR compensado e en contre o novo valor de K para o ξ dese jado Substitua K na funcao de trans ferˆencia em MA do sistema compensado e encontre o erro gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 21 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Introducao Uma vez que resolvemos o problema da melhoria do erro em regime permanente sem afetar a resposta transitoria vamos agora melhorar a propria resposta tran sitoria A primeira tecnica que discutiremos e a compensacao derivativa ideal Com a compensacao derivativa ideal um derivador puro e adicionado ao ca minho a frente do sistema de controle com realimentacao Veremos que o resultado de adicionar a derivacao e o acrescimo de um zero a funcao de transferˆencia do caminho a frente Esse tipo de compensacao requer uma estrutura ativa para sua realizacao A segunda tecnica nao utiliza derivacao pura Ao inves disso ela aproxima a derivacao com uma estrutura passiva adicionando a funcao de transferˆencia do caminho a frente um zero e um polo mais distante Chamaremos um compensador deriva tivo ideal de controlador proporcional e derivativo PD uma vez que a imple mentacao como veremos consiste em alimentar o erro proporcional mais a derivada do erro adiante para a planta A segunda tecnica utiliza uma estru tura passiva chamada de compensador de avanco de fase gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 22 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Compensacao Derivativa Ideal PD A resposta transitoria de um sistema pode ser ajustada atraves da escolha apropriada da posicao do polo em ma lha fechada no plano s Caso este ponto esteja sobre o LGR entao um simples ajuste de ganho e tudo o que e requerido para atender a especificacao de resposta transitoria Caso a posicao do polo em malha fe chada nao esteja sobre o LGR entao este deve ser remodelado de modo que o LGR compensado novo passe pela posicao escolhida para o polo em malha fechada Polos e zeros podem ser adicionados no caminho a frente para produzir uma nova funcao em malha aberta cujo lugar geometrico das raızes passe pelo ponto de projeto no plano s Uma forma de aumentar a velocidade do sistema original que geralmente fun ciona e adicionar um unico zero ao ca minho a frente Esse zero pode ser representado por um compensador cuja funcao de trans ferˆencia e Gcs s zc Essa funcao a soma de um derivador e de um ganho puro e chamada de con trolador derivativo ou controlador PD Uma escolha sensata da posicao do zero do compensador pode acelerar a res posta do sistema sem compensacao Em resumo respostas transitorias ina tingıveis atraves de um simples ajuste de ganho podem ser obtidas aumentando se os polos e zeros do sistema com um compensador derivativo ideal gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 23 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Compensacao Derivativa Ideal PD Mostramos agora que a compensacao derivativa ideal aumenta a velocidade da resposta de um sistema A Fig 9 mostra um exemplo em os zeros do compensador estao em 2 b 3 c e 4 d Para cada caso compensado os po los dominantes de segunda ordem estao mais distantes ao longo da reta de fa tor de amortecimento 04 do que para o sistema sem compensacao Cada um dos casos compensados pos sui polos dominantes com o mesmo ξ do caso sem compensacao Portanto pre dizemos que o overshoot sera o mesmo para cada caso Os polos dominantes em MF compen sados possuem parte real mais negativa que os polos sem compensacao Logo os tempos de acomodacao serao meno res Figura 9 Usando compensacao derivativa ideal a sem com pensacao b zero do compensador em 2 c zero do com pensador em 3 d zero compensador em 4 Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 24 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Compensacao Derivativa Ideal PD A Fig 10 exibe as respostas do exemplo anterior Note que a resposta em reg transitorio melhorou com todos os compensadores Nesse exemplo o compensador com zc 2 obteve a melhor resposta com menor Tp e menor Ts polo em MF com maior ωd Agora que vimos o que a compensacao derivativa ideal pode fazer estamos prontos para projetar nosso proprio compensador derivativo ideal para aten der a uma especificacao de resposta transitoria Basicamente iremos calcular a soma dos ˆangulos a partir dos polos e zeros em malha aberta ate um ponto de pro jeto que e o polo em malha fechada que resulta na resposta transitoria desejada Figura 10 Sistema sem compensacao e solucoes de compensacao derivativa ideal do exemplo Fonte Nise 2012 A diferenca entre 180 e o ˆangulo cal culado deve ser a contribuicao angular do zero do compensador A trigonome tria e entao utilizada para determinar a posicao do zero que fornece a diferenca angular requerida gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 25 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Compensacao Derivativa Ideal PD Uma vez que tenhamos decidido a posicao do zero de compensacao como implementamos o controlador deriva tivo ideal ou controlador PD O compensador derivativo ideal utili zado para melhorar a resposta tran sitoria e implementado com um contro lador proporcional e derivativo PD A funcao de transferˆencia do controla dor PD e dada por Gcs K2s K1 K2s K1 K2 Figura 11 Controlador PD Fonte Nise 2012 Portanto K1K2 e escolhida igual ao negativo do zero do compensador e K2 e escolhido para contribuir para o valor de ganho de malha requerido gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 26 35 Resposta Transitoria via Comp em Cascata Compensacao de Avanco de Fase Assim como o compensador integral ideal ativo pode ser aproximado por uma estrutura de atraso de fase passiva um compensador derivativo ideal ativo pode ser aproximado por um compen sador de avanco de fase passivo Quando estruturas passivas sao utiliza das um unico zero nao pode ser produ zido ao inves disso um zero e um polo do compensador sao produzidos Entretanto se o polo esta mais afastado do eixo imaginario que o zero a contri buicao angular do compensador ainda e positiva e assim pode ser aproximada por um unico zero equivalente Considere a Fig 12 Para o polo na posicao desejada a contribuicao an gular resultante deve resultar em um multiplo ımpar de 180 Logo θ2 θ1 θ3 θ4 θ5 2k 1180 Figura 12 Geometria da compensacao de avanco de fase Fonte Nise 2012 Onde θ2 θ1 θc e a contribuicao angular do compensador de avanco de fase Para o projeto escolhemos arbitraria mente pc ou zc e determinamos a con tribuicao angular no ponto de projeto desse polo ou zero junto com os polos e zeros do sistema em MA A diferenca entre esse ˆangulo e 180e a contribuicao requerida do polo ou zero remanescente do compensador gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 27 35 Melhorando e e a Resposta Transitoria Introducao Combinamos agora as tecnicas de pro jeto cobertas anteriormente para obter uma melhoria no erro em regime per manente e na resposta transitoria inde pendentemente Basicamente primeiro melhoraremos a resposta transitoria e na sequˆencia melhoramos o erro em regime perma nente Uma desvantagem desta abordagem e a pequena reducao na velocidade da res posta quando o erro em regime perma nente e melhorado O projeto pode utilizar compensado res ativos ou compensadores passivos como descrito anteriormente Caso projetemos um controlador PD ativo seguido de um controlador PI ativo o compensador resultante e cha mado de controlador proporcional inte gral e derivativo PID Caso projetemos primeiro um compen sador de avanco de fase passivo e em seguida projetemos um compensador de atraso de fase passivo o compensador resultante e chamado de compensador de avanco e atraso de fase gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 28 35 Melhorando e e a Resposta Transitoria Projeto de Controlador PID Um controlador PID e mostrado na Fi gura 13 Sua funcao de transferˆencia e Gcs K1 K2 s K3s K1s K2 K3s2 s a qual possui dois zeros mais um polo na origem Um zero e o polo na origem podem ser projetados como o compensador inte gral ideal O outro zero pode ser projetado como o compensador derivativo ideal A tecnica de projeto do compensador PID consiste nos seguintes passos 1 Avalie o desempenho do sistema sem compensacao para determinar a melho ria na resposta transitoria 2 Projete o controlador PD para aten der as especificacoes de resposta tran sitoria Figura 13 Compensador PID Fonte Nise 2012 3 Projete o controlador PI para resultar no erro em regime permanente desejado 4 Determine os ganhos K1 K2 e K3 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 29 35 Melhorando e e a Resposta Transitoria Projeto de Compensador de Avanco e Atraso de Fase Agora melhoraremos a resposta tran sitoria e o erro em regime permanente utilizando um compensador de avanco de fase e um compensador de atraso de fase em vez do PID ideal Nosso compensador e chamado de com pensador de avanco e atraso de fase Primeiro projetaremos o compensador de avanco de fase para melhorar a res posta transitoria Em seguida avaliaremos a melhoria no erro em regime permanente que ainda e requerida Finalmente projetaremos o compensa dor de atraso de fase para atender ao re quisito de erro em regime permanente Mais adiante neste capıtulo mostramos projetos de circuitos para a estrutura passiva Os passos a seguir resumem o procedi mento de projeto 1 Avalie o desempenho do sistema sem compensacao para determinar a melho ria necessaria na resposta transitoria 2 Projete o compensador de avanco de fase para atender as especificacoes de resposta transitoria O projeto inclui a posicao do zero a posicao do polo e o ganho de malha 3 Avalie o desempenho do erro em re gime permanente do sistema compen sado com avanco de fase para deter minar a melhoria adicional requerida no erro em regime permanente 4 Projete o compensador de atraso de fase para resultar no erro em regime perma nente requerido gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 30 35 Melhorando e e a Resposta Transitoria Exemplo Projeto de Compensador de Avanco e Atraso de Fase Agora melhoraremos a resposta tran sitoria e o erro em regime permanente utilizando um compensador de avanco de fase e um compensador de atraso de fase em vez do PID ideal Nosso compensador e chamado de com pensador de avanco e atraso de fase Primeiro projetaremos o compensador de avanco de fase para melhorar a res posta transitoria Em seguida avaliaremos a melhoria no erro em regime permanente que ainda e requerida Finalmente projetaremos o compensa dor de atraso de fase para atender ao re quisito de erro em regime permanente Mais adiante neste capıtulo mostramos projetos de circuitos para a estrutura passiva Os passos a seguir resumem o procedi mento de projeto 1 Avalie o desempenho do sistema sem compensacao para determinar a melho ria necessaria na resposta transitoria 2 Projete o compensador de avanco de fase para atender as especificacoes de resposta transitoria O projeto inclui a posicao do zero a posicao do polo e o ganho de malha 3 Avalie o desempenho do erro em re gime permanente do sistema compen sado com avanco de fase para deter minar a melhoria adicional requerida no erro em regime permanente 4 Projete o compensador de atraso de fase para resultar no erro em regime perma nente requerido gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 31 35 Realizacao Fısica da Compensacao Realizacao de Circuito Ativo A funcao de transferˆencia de um ampli ficador operacional inversor Fig 14 e dada por Vss Ves Z2s Z1s Por meio de uma escolha criteriosa de Z1s e de Z2s este circuito pode ser utilizado para implementar os compen sadores e os controladores Figura 14 Amp Op Inversor Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 32 35 Realizacao Fısica da Compensacao Realizacao de Circuito Ativo Figura 15 Compensadores implementados com amplificadores operacionais Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 33 35 Realizacao Fısica da Compensacao Realizacao de Circuito Passivo Os compensadores de atraso de fase de avanco de fase e de avanco e atraso de fase tambem podem ser implementados com circuitos passivos A Figura 16 resume os circuitos e suas funcoes de transferˆencia Figura 16 Compensadores implementados com circuitos passivos Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 34 35 Referˆencias Bibliograficas NISE Norman S Engenharia de sistemas de controle 6ºed LTC Sao Paulo 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 35 35