Controle Analógico: Erros em Regime Permanente - Aula 04

Controle Analogico Aula 04 Erro em Regime Permanente Gabriel Cambraia Soares MEng email gabrielsoaresifmgedubr Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia de Minas Gerais IFMG 8 de janeiro de 2023 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 1 31 Introducao Revisao dos topicos da aula passada Nas aulas passadas vimos sobre 1 O conceito de controle de processos 2 Os elementos de controle medicao e atuacao 3 Sistemas em malha aberta e fechada 4 O conceito de funcao de transferˆencia polos e zeros do sistema 5 Respostas de sistemas de 1ª ordem 6 Respostas de sistemas de 2ª ordem 7 Sistemas com realimentacao 8 Estabilidade Apresentacao dos topicos da aula de hoje Na aula de hoje vocˆes aprenderao sobre os erros em regime permanente gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 2 31 Erros em regime permanente Introducao Na primeira aula vimos que a analise e o projeto de sistemas de controle estao focados em trˆes especificacoes 1 resposta transitoria 2 estabilidade e 3 erros em regime permanente Vimos sobre a resposta transitoria nas aulas 01 e 02 onde cobrimos os sistemas de primeira e segunda ordem Vimos sobre a estabilidade na aula passada Agora estamos prontos para examinar os erros em regime permanente Primeiro vamos definir o que e esse erro O erro em regime permanente e a diferenca entre a entrada e a saıda para uma entrada de teste prescrita quando t Considere um sistema de controle de temperatura por exemplo Se a referˆencia desejada entrada for de 40 C mas a saıda estabilizou em 38 C temos um erro em regime permanente de 2 C O erro em regime permanente e totalmente indesejavel Nas proximas aulas veremos tecnicas de controle para eliminalo gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 3 31 Erros em regime permanente Entradas de Teste No estudo do erro em regime permanente devemos conhecer os tipos de entrada que sao usados em sistemas de controle Com o intuito de explicar como esses sinais de entrada sao utilizados vamos admitir um sistema de controle de posicao em que a posicao de saıda segue a posicao comandada de entrada As entradas em degrau representam posicoes constantes e assim sao uteis na determinacao da capacidade do sistema de controle se posicionar em relacao a um alvo estacionario O controle de posicionamento de uma antena e um exemplo de um sistema que pode ter a exatidao testada com a utilizacao de entradas em degrau As entradas em rampa representam entradas de velocidade constante para um sistema de controle de posicao por meio de sua amplitude linearmente crescente Essas formas de onda podem ser utilizadas para testar a capacidade de um sistema de seguir uma entrada linearmente crescente ou equivalentemente de rastrear um alvo com velocidade constante As entradas em parabolas cujas segundas derivadas sao constantes representam entradas de aceleracao constante para sistemas de controle de posicao e podem ser utilizadas para representar alvos acelerando gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 4 31 Erros em regime permanente Entradas de Teste A Figura 1 apresenta os trˆes tipos de entrada Figura 1 Representacao das entradas Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 5 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentacao Unitaria O erro em regime permanente pode ser calculado a partir da funcao de transferˆencia em malha fechada Ts ou da funcao de transferˆencia em malha aberta Gs para sistemas com realimentacao unitaria Considere o sistema da Figura 2 Figura 2 Sistema com realimentacao unitaria Fonte Nise 2012 Sabemos que o erro e a diferenca entre o sinal de entrada e o sinal de saıda Es Rs Cs 1 Mas tambem sabemos que a saıda do sistema em MF equivale a Cs RsTs 2 Substituindo 2 em 1 temos Es Rs1 Ts 3 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 6 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentacao Unitaria Substituindo 2 em 1 temos Es Rs1 Ts Embora a equacao acima nos permita obter et para qualquer instante de tempo t estamos interessados no valor final do erro e Aplicando o teorema do valor final o qual nos permite obter o valor final de et sem ter que aplicar a transformada inversa de Laplace a Es obtemos e lim t et lim s0 sEs 4 Substituindo 4 em 3 temos a equacao geral que determina o erro em regime permanente e lim s0 sRs1 Ts 5 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 7 31 ERROS EM REGIME PERMANENTE Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentaao Unitdria Exemplo 1 Determine o erro em regime permanente para o sistema em malha fechada com realimentaao unitdria onde a entrada seja um degrau unitdrio e Ts Spent Solucdo A partir do enunciado do problema sabemos que Rs t e Ts Substituindo na Equagao 5 1 5 247545 eco lim sRs1 Ts lim s 1 al lim STist s0 s30 5s s7s10 s0 s 75 10 s7s5 0747045 e00 ie aa 6 s0s7s10 077010 Sendo assim ao aplicar uma entrada degrau a resposta do sistema em malha fechada possuira erro em regime permanente de 05 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentacao Unitaria A Figura 3 mostra a resposta do Exemplo 1 para uma entrada degrau Figura 3 Sistema com realimentacao unitaria Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 9 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente em Funcao de Gs Muitas vezes temos o sistema configurado como um sistema com realimentacao unitaria com uma funcao de transferˆencia do caminho a frente Gs Embora possamos obter a funcao de transferˆencia em malha fechada Ts e entao proceder como na subsecao anterior obtemos uma maior compreensao para a analise e o projeto expressando o erro em regime permanente em funcao de Gs ao inves de Ts Sabemos por meio da Figura 2 que Es Rs Cs 7 Sabemos tambem que a saıda Cs pode ser equacionada por meio de Es e Gs Cs EsGs 8 Substituindo 8 em 7 Es Rs 1 Gs 9 Aplicando o teorema do valor final temos a equacao do erro em funcao de Gs e lim s0 sRs 1 Gs 10 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 10 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente em Funcao de Gs Exemplo 2 Vimos que o sistema em MF do exemplo 1 era descrito por Ts 5 s27s10 Sabendo que a funcao de transferˆencia em malha aberta Gs equivale a Gs 5 s27s5 calcule o erro em regime permanente para uma entrada degrau e compare o valor com o encontrado no exemplo 1 Solucao A partir do enunciado do problema sabemos que Rs 1 s e Gs 5 s27s5 Substituindo na Equacao 10 e lim s0 sRs 1 Gs lim s0 s 1 s 1 5 s27s5 lim s0 1 s27s10 s27s5 lim s0 s2 7s 5 s2 7s 10 e lim s0 s2 7s 5 s2 7s 10 02 7 0 5 02 7 0 10 0 5 Repare que o erro em regime permanente e o mesmo nos dois exemplos A unica diferenca e no modo de calcular O primeiro usou Ts e o segundo usou Gs A seguir vamos analisar a expressao de e para as 3 entradas gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 11 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para uma Entrada Degrau Para uma entrada degrau temos Rs 1s Com isso temos e lim s0 s 1 s 1 Gs 1 1 lims0 Gs 11 O termo lims0 Gs e o ganho estatico da funcao de transferˆencia Para uma entrada degrau o ganho estatico tem o nome de constante de posicao Kp em que Kp lim s0 Gs 12 Substituindo 12 em 11 temos e 1 1 Kp 13 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 12 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para uma Entrada Rampa Para uma entrada rampa temos Rs 1s2 Com isso temos e lim s0 s 1 s2 1 Gs lim s0 1 s sGs lim s0 1 sGs 14 O termo lims0 sGs e o ganho estatico da funcao de transferˆencia Para uma entrada rampa o ganho estatico tem o nome de constante de velocidade Kv em que Kv lim s0 sGs 15 Substituindo 12 em 11 temos e 1 Kv 16 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 13 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para uma Entrada Parabola Para uma entrada parabola temos Rs 1s3 Com isso temos e lim s0 s 1 s3 1 Gs lim s0 1 s2 s2Gs lim s0 1 s2Gs 17 O termo lims0 s2Gs e o ganho estatico da funcao de transferˆencia Para uma entrada parabola o ganho estatico tem o nome de constante de aceleracao Ka em que Ka lim s0 s2Gs 18 Substituindo 12 em 11 temos e 1 Ka 19 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 14 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema Encontramos as equacoes que relacionam o erro em regime permanente com as funcoes de transferˆencia em malha aberta Gs Vamos agora analisar a influˆencia que o tipo do sistema possui em relacao ao erro Primei ramente considere um sistema de Tipo n como o da Figura 6 Figura 4 Sistema de controle com realimentacao para definicao do tipo do sistema Fonte Nise 2012 Definimos o tipo do sistema como sendo o valor de n no denominador ou equivalentemente o numero de integracoes puras no caminho a frente Um sistema de Tipo 0 apresenta funcao de transferˆencia com o seguinte formato Gs Ks z1s z2 s0s p1s p2 Ks z1s z2 s p1s p2 20 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 15 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema Encontramos as equacoes que relacionam o erro em regime permanente com as funcoes de transferˆencia em malha aberta Gs Vamos agora analisar a influˆencia que o tipo do sistema possui em relacao ao erro Primei ramente considere um sistema de Tipo n como o da Figura 6 Figura 5 Sistema de controle com realimentacao para definicao do tipo do sistema Fonte Nise 2012 Definimos o tipo do sistema como sendo o valor de n no denominador ou equivalentemente o numero de integracoes puras no caminho a frente Um sistema de Tipo 1 apresenta funcao de transferˆencia com o seguinte formato Gs Ks z1s z2 s1s p1s p2 Ks z1s z2 ss p1s p2 21 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 16 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema Encontramos as equacoes que relacionam o erro em regime permanente com as funcoes de transferˆencia em malha aberta Gs Vamos agora analisar a influˆencia que o tipo do sistema possui em relacao ao erro Primei ramente considere um sistema de Tipo n como o da Figura 6 Figura 6 Sistema de controle com realimentacao para definicao do tipo do sistema Fonte Nise 2012 Definimos o tipo do sistema como sendo o valor de n no denominador ou equivalentemente o numero de integracoes puras no caminho a frente Um sistema de Tipo 2 apresenta funcao de transferˆencia com o seguinte formato Gs Ks z1s z2 s2s p1s p2 22 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 17 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema para Entrada Degrau Agora vamos analisar os trˆes tipos de sistemas citados quando uma entrada degrau e aplicada Iniciando por um sistema de tipo 0 temos que o erro e dado por e 1 1 lims0 Gs 1 1 lims0 sz1sz2 sp1sp2 1 1 z1z2 p1p2 1 1 Kp A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 0 e constante quando e aplicada uma entrada degrau Quando o sistema e do Tipo 1 temos que e 1 1 lims0 Gs 1 1 lims0 sz1sz2 ssp1sp2 1 1 z1z2 0p1p2 1 1 0 A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 1 e nulo quando e aplicada uma entrada degrau Quando o sistema e do Tipo 2 temos que e 1 1 lims20 Gs 1 1 lims0 sz1sz2 s2sp1sp2 1 1 z1z2 02p1p2 1 1 0 A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 2 e nulo quando e aplicada uma entrada degrau gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 18 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema para Entrada Rampa Agora vamos analisar os trˆes tipos de sistemas citados quando uma entrada rampa e apli cada Iniciando por um sistema de tipo 0 temos que o erro e dado por e 1 lims0 sGs 1 lims0 ssz1sz2 sp1sp2 1 0z1z2 p1p2 1 0 A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 0 e infinito quando e aplicada uma entrada rampa Quando o sistema e do Tipo 1 temos que e 1 lims0 sGs 1 lims0 ssz1sz2 ssp1sp2 1 z1z2 p1p2 1 Kv A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 1 e constante quando e aplicada uma entrada rampa Quando o sistema e do Tipo 2 temos que e 1 lims0 sGs 1 lims0 ssz1sz2 s2sp1sp2 1 z1z2 0p1p2 1 z1z2 0 1 0 A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 2 e nulo quando e aplicada uma entrada rampa gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 19 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema para Entrada Parabola Agora vamos analisar os trˆes tipos de sistemas citados quando uma entrada parabola e aplicada Iniciando por um sistema de tipo 0 temos que o erro e dado por e 1 lims0 s2Gs 1 lims0 s2sz1sz2 sp1sp2 1 02z1z2 p1p2 1 0 A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 0 e infinito quando e aplicada uma entrada parabola Quando o sistema e do Tipo 1 temos que e 1 lims0 s2Gs 1 lims0 s2sz1sz2 ssp1sp2 1 0z1z2 p1p2 1 0 A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 1 e infinito quando e aplicada uma entrada parabola Quando o sistema e do Tipo 2 temos que e 1 lims0 s2Gs 1 lims0 s2sz1sz2 s2sp1sp2 1 z1z2 p1p2 1 Ka A equacao acima nos mostra que o erro de um sistema do tipo 2 e constante quando e aplicada uma entrada parabola gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 20 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema A Figura 7 mostra a relacao das entradas com os tipos de sistemas Figura 7 Relacao das entradas com os tipos de sistemas Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 21 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema Exemplo 3 Um sistema com realimentacao unitaria possui a seguinte FT Gs 1000s 8 s 7s 9 Determine o tipo do sistema Kp Kv e Ka Utilize as entradas degrau rampa e parabola para determinar os erros em regime permanente Solucao O sistema nao possui integracao Logo o sistema e do tipo 0 Em um sistema Tipo 0 temos que Kp e constante e finito Kv 0 e Ka 0 Achando Kp Kp lim s0 Gs lim s0 1000s 8 s 7s 9 10000 8 0 70 9 126 9841 Determinando e para as 3 entradas edegrau 1 1 Kp 1 1 126 9841 0 00781347 erampa 1 Kv 1 0 eparabola 1 Ka 1 0 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 22 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema A resposta de Gs para uma entrada degrau e apresentada na Figura 8 Reparem que o valor final da resposta Figura 8 Relacao das entradas com os tipos de sistemas Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 23 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente Conforme o Tipo do sistema Exemplo 4 Dado o sistema de controle na Figura 9 determine o valor de K de modo que haja um erro de 10 em regime permanente Figura 9 Sistema de controle com realimentacao Fonte Nise 2012 Solucao O sistema e do Tipo 1 Temos que Kp Kv lims0 sGs e Ka 0 Calculando o valor de Kv Kv lim s0 sGs lim s0 s Ks 5 ss 6s 7s 8 5K 336 23 Para que o erro em regime permanente seja de 10 e 10 0 1 1 Kv Kv 10 24 Substituindo 24 em 23 Kv 10 5K 336 K 672 25 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 24 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para Sistema com Realimentacao Nao Unitaria Os sistemas de controle frequentemente nao possuem realimentacao unitaria por causa da compensacao utilizada para melhorar o desempenho Ou ate mesmo por causa do modelo fısico do sistema O caminho de realimentacao pode ser um ganho puro com valor diferente da unidade ou possuir alguma repre sentacao dinˆamica Um sistema com realimentacao geral mostrando o transdutor de entrada G1s o controlador e a planta G2s e a realimentacao H1s e mostrado na Figura 10 Movendo o transdutor de entrada para a direita gerase o sistema com re alimentacao nao unitaria geral mos trado na Figura 11 em que Gs G1sG2s e Hs H1sG1s Figura 10 Transformacao da realimentacao naounitaria Fonte Nise 2012 Figura 11 Transformacao da realimentacao naounitaria Fonte Nise 2012 Diferentemente de um sistema com re alimentacao unitaria no qual Hs 1 o erro nao e a diferenca entre a entrada e a saıda gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 25 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para Sistema com Realimentacao Nao Unitaria Chamamos o sinal de saıda da juncao de soma de sinal de atuacao Eas Se rt e ct tiverem as mesmas unida des podemos determinar o e como e rc O 1passo e mostrar Es RsCs no diagrama de blocos Para isso devese transformar o dia grama de blocos de modo a ter uma realimentacao unitaria Primeiro sao criados dois ramos um com realimentacao positiva e outro com negativa Figura 12 Em seguida o bloco com realimentacao negativa e associado ao bloco de Hs O proximo passo sera associar o bloco Hs1 a funcao de transferˆencia Gs Ges Gs 1 GsHs 1 Figura 12 Transformacao da realimentacao naounitaria Fonte Nise 2012 Figura 13 Transformacao da realimentacao naounitaria Fonte Nise 2012 Aplicando a distributiva Ges Gs 1 GsHs Gs gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 26 31 Erros em regime permanente Erro em Regime Permanente para Sistema com Realimentacao Nao Unitaria Sendo assim quando a realimentacao nao e unitaria devemos transformar o sistema em uma realimentacao unitaria para aplicar os conceitos e as equacoes vistas anteriormente Ges Gs 1 GsHs Gs Figura 14 Sistema com realimentacao nao unitaria transformado Fonte Nise 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 27 31 Erros em regime permanente Exemplo 5 Considere o sistema da Figure 15 De termine o tipo do sistema a constante de erro apropriada associada ao tipo do sistema e o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitario Solucao De imediato ao olhar Gs e observar uma integracao pura pen sarıamos que o sistema e do Tipo 1 No entanto por conta da realimentacao nao unitaria devese calcular a funcao de transferˆencia que possua a dinˆamica do elemento da realimentacao Hs Ges Gs 1 GsHs Gs Ges 100s 5 s3 15s2 50s 400 Repare que a funcao de transferˆencia equivalente e do Tipo 0 pois nao pos sui integracoes puras no denominador Figura 15 Sistema do exemplo Fonte Nise 2012 A constante de erro apropriada para sis temas do Tipo 0 e Kp Kp lim s0 Ges 100 5 400 1 25 O erro em regime permanente e e e 1 1 Kp 1 1 1 25 4 O valor negativo de e implica que o degrau de saıda e maior do que o degrau de entrada gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 28 31 Erros em regime permanente Exemplo 5 Figura 16 Resposta para uma entrada degrau do sistema do Exemplo 5 Fonte Do autor 2021 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 29 31 Exercıcios Exercıcio 1 Para um sistema de controle com realimentacao unitaria com uma funcao de transferˆencia Gs 16 ssa projete o valor de a para produzir uma resposta ao degrau em malha fechada que tenha 5 de ultrapassagem Exercıcio 2 Um sistema com realimentacao unitaria possui a seguinte funcao de trans ferˆencia Gs Ks12 s14s18 Determine o valor de K para resultar em um erro de 10 em regime permanente Exercıcio 3 Determine o erro em regime permanente e rc para uma entrada em degrau unitario dado o sistema com realimentacao nao unitaria da Figura 17 Repita para uma entrada em rampa unitaria Figura 17 Sistema do exercıcio 3 Fonte Nise 2012 Solucao edegrau 3 846 102 e erampa gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 30 31 Referˆencias Bibliograficas NISE Norman S Engenharia de sistemas de controle 6ºed LTC Sao Paulo 2012 gabrielsoaresifmgedubr Controle Analogico 8 de janeiro de 2023 31 31