Introdução ao Cálculo Vetorial e Elementos Diferenciais

CÁLCULO VETORIAL Não se preocupe com as suas dificuldades em Matemática Eu posso lhe assegurar que as minhas são ainda maiores ALBERT EINSTEIN 31 INTRODUÇÃO O Capítulo 1 trata principalmente de soma subtração e multiplicação vetoriais em coordenadas cartesianas O Capítulo 2 estende esses conceitos para outros sistemas de coordenadas Este capítulo trata do cálculo vetorial integração e diferenciação de vetores Os conceitos introduzidos neste capítulo fornecem uma linguagem conveniente para expressar certas concepções fundamentais em Eletromagnetismo ou em Matemática em geral Um estudante pode não se sentir familiarizado com esses conceitos a princípio não exclamando para que servem Tal estudante deve ser orientado a se concentrar em aprender as técnicas matemáticas e esperar por suas aplicações nos capítulos subsequentes 32 COMPRIMENTO ÁREA E VOLUME DIFERENCIAIS O elementos diferenciais de comprimento área e volume são itens em cálculo vetorial Eles são definidos nos sistemas de coordenadas cartesianas cilíndrico e esférico A Sistemas de coordenadas cartesianas Da Figura 31 observase que o deslocamento diferencial dl é o vetor do ponto Sx y z ao ponto Bx dx y dy z dz 1 O deslocamento diferencial é dado por dl dx a₁ dy a₂ dz a₃ 31 2 A área diferencial normal é dada por dS dy dz a₁ dx a₂ 32 e está ilustrada na Figura 32 3 O volume diferencial é dado por dv dx dy dz 33 O volume diferencial é dado por dv ρ dρ dφ dz 37 Conforme mencionado na seção anterior sobre coordenadas cartesianas só precisamos ter dl dS e dv podem ser obtidos facilmente a partir de dl Por exemplo dS ao longo de e a é o produto das componentes de dl ao longo de e a e isto é dρ dφ a da mesma forma dv é o produto das três componentes de dl isto é dρ ρ dφ dz C Sistemas de coordenadas esféricas Da Figura 35 os elementos diferenciais em coordenadas esféricas podem ser obtidos como segue 1 O deslocamento diferencial é dl dr ar r dθ aθ r sen θ dφ aφ 38 2 A área diferencial normal é dS r2 sen θ dθ dφ aφ r dr dθ aθ 39 conforme ilustrado na Figura 36 3 O volume diferencial é dv r2 sen θ dθ dφ ar 310 Novamente só precisamos ter dl de onde dS e dv são facilmente obtidos Por exemplo dS ao longo de aφ é obtido como o produto das componentes de dl ao longo de e a e isto é dφ enquanto dv é o produto das três componentes de dl isto é dr r sen θ dφ FIGURA 36 As áreas diferenciais normais em coordenadas esféricas a dS r2 sen θ dφ daφ b dS r sen θ dθ daθ c dS r dr dθ aθ 33 INTEGRAIS DE LINHA DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME O conceito de integração com que estamos familiarizados agora será estendido aos casos em que o integrando envolve um vetor Por linha entendemos um caminho ao longo de uma curva no espaço Utilizaremos os termos linha curva e contorno alternadamente A integral de linha A L A dl é a integral da componente tangencial de A ao longo da curva L Dado um campo vetorial A e uma curva L definimos a integral L A dl A cos θ dl 311 como a integral de linha de A em torno de L veja Figura 39 Se o caminho de integração é uma curva fechada tal como abc na Figura 39 a equação 311 tornase uma integral de linha fechada que é denominada a circulação de A em torno de L Dado um campo vetorial A continuo em uma região contendo uma curva suave S definimos a integral de superfície ou o fluxo de A através de S veja Figura 310 como Ψ S A cos θ dS S A an dS O operador del escrito é o operador diferencial com caráter vetorial Em coordenadas cartesianas x aₓ y aᵨ z a𝓏 De maneira similar para obter em termos de r θ e φ utilizamos O gradiente de um campo escalar V é um vetor que representa a magnitude e a orientação da máxima taxa espacial de variação de V FIGURA 315 Ilustração da divergência de um campo vetorial P a divergência positiva b divergência negativa c divergência zero Para a face posterior x x₀ dx2 dS dy dza Então A dS dy dz Ax₀y₀z₀ dx2 Aₓx ₚ termos de ordem superior Na Seção 33 observamos que o fluxo líquido de um campo vetorial A que flui para fora de uma superfície fechada S é obtido da integral A dS Definimos então a divergência de A como o volume se reduz a zero em torno de P A partir da definição da divergência de A na equação 332 não é difícil compreender que A dS A dv 342 Na Seção 33 definimos a circulação de um campo vetorial A em torno de um caminho fechado L como a integral A dl 345 No lado bc dl dz ax e y yo dy2 então A dl dz Axxo yo zo dy2 Axyrj 348 Aplicando na equação 354 as técnicas apresentadas no Capítulo 2 para transformação de coordenadas obtemos o rotacional de A em coordenadas cilíndricas A frac1rho left fracpartial Azpartial rho hatarho fracArhorho fracpartial Azpartial z hataz frac1rho left fracpartialAphipartial phi hataphi right right e em coordenadas esféricas A frac1r2 sin heta left A heta r hataphi r Aphi hata heta right ou A frac1r sin heta left fracpartial Aphi sin hetapartial heta hatar frac1r sin heta left fracpartial Arpartial r fracpartial A hetapartial r right hataphi frac1r left frac1sin heta fracpartial Aphipartial r fracpartial Arpartial phi right hata heta right Observe as seguintes propriedades do rotacional 1 O rotacional de um campo vetorial é um outro campo vetorial 2 A B A B 3 A B A B B A B A A B 4 A 0 5 A divergência do rotacional de um campo vetorial é zero isto é A 0 6 O rotacional do gradiente de um campo vetorial é zero isto é V 0 ou 0 Outras propriedades do rotacional encontramse no Apêndice A Este é o teorema de Stokes O teorema de Stokes estabelece que a circulação de um campo vetorial A em torno de um caminho fechado L é igual a integral de superfície do rotacional de A sobre a superfície aberta S limitada por L veja Figura 321 desde que A e A sejam contínuos sobre S A demonstração do teorema de Stokes é semelhante à do teorema da divergência A superfície S é subdividida em um grande número de células como mostra a Figura 322 Se késima célula tem uma área superficial dS e é limitada pelo caminho Lo Conforme mostrado na Figura 322 há cancelamento de todos os caminhos internos de modo que o somatório das integrais de linha em torno dos caminhos internos do modo que o somatório das integrais de linha em torno do caminho Lo é igual a integral de linha em torno da cápsula Portanto tomando o limite do lado direito da equação 358 quando S 0 e incorporando a equação 345 obtémse que é o teorema de Stokes A orientação de dS na equação 357 deve ser escolhida usandose a regra da mão direita ou do parafuso de rosca direita Ao usar a regra da mão direita se posicionarmos os dedos ao longo de dl o polegar indicará a orientação de dS O laplaciano de um campo escalar V escrito como 2V é o divergente do gradiente de V Portanto em coordenadas cartesianas Laplaciano V V left fracpartial2 Vpartial x2 fracpartial2 Vpartial y2 fracpartial2 Vpartial z2 right isto é 2V frac2Vx2 frac2Vy2 frac2Vpartial z2 Observe que o laplaciano de um campo escalar é um outro campo escalar O laplaciano de V em outros sistemas de coordenadas pode ser obtido a partir da equação 360 fazendo a transformação de coordenadas Em coordenadas cilíndricas 2V frac1rho fracpartialpartial rho left rho fracpartial Vpartial rho right frac1rho2 fracpartial2 Vpartial phi2 fracpartial2 Vpartial z2 e em coordenadas esféricas 2V frac1r2 fracpartialpartial r left r2 fracpartial Vpartial r right frac1r2 sin heta fracpartialpartial heta left sin heta fracpartial Vpartial heta right frac1r2 sin2 heta fracpartial2 Vpartial phi2 Um campo escalar V é dito harmônico em uma dada região quando o seu laplaciano se anula nessa região Em outras palavras se a igualdade abla2V 0 for satisfeita nessa região a solução para V na equação 363 é harmônica isto é na forma de seno ou cosseno A equação 363 é denominada equação de Laplace Resolver essa equação será nosso principal objetivo no Capítulo 6 Consideramos até aqui apenas o laplaciano de um escalar Já que o operador laplaciano 2 é um operador escalar é possível definir também o laplaciano de um vetor A Neste contexto 2A deve ser interpretado como o divergente de divergente de A ou que não faz sentido Na verdade 2A deve ser entendido como o gradiente do divergente de A Isto é 2A A A Essa equação pode ser empregada para determinar o ²A em qualquer sistema de coordenadas No sistema cartesiano e unicamente nesse sistema a equação 364 tornase 2A frac2 Arhopartial rho2 frac2 Aphipartial phi2 frac2 Azpartial z2 39 CLASSIFICAÇÃO DE CAMPOS VETORIAIS Um campo vetorial é univocamente caracterizado pelo seu divergente e seu rotacional Nem só o divergente nem o rotacional individualmente são suficientes para descrever completamente o campo Todos os campos vetoriais podem ser classificados em termos de anulação ou não anulação de seu divergente ou de seu rotacional como segue a A 0 A 0 b A 0 A 0 c A 0 A 0 d A 0 A 0 A Figura 324 ilustra campos típicos dessas quatro categorias Um campo vetorial A é dito solenoidal ou não divergente se A 0 Esse campo não é nem fonte nem sumidor de fluxo Do teorema da divergência Assim as linhas de fluxo de A que entram em qualquer superfície fechada devem sair dela Exemplos de campos solenoidais são fluidos incompressíveis campos magnéticos e densidade de corrente de condução sob condições estacionárias Em geral o campo do rotacional de F para qualquer F é puramente solenoidal porque F 0 como demonstrado no Exemplo 310 Portanto um campo solenoidal A pode ser sempre expresso em termos de um outro vetor F isto é se A 0 então S A dS 0 e A F 0 Um campo vetorial A é dito irrotacional ou potencial se A 0 Isto é um vetor sem rotacional é irrotacional A partir do teorema de Stokes Portanto em um campo irrotacional A a circulação de A em torno de um caminho fechado é identicamente zero Isso implica que a integral de linha de A independe do caminho escolhido Portanto um campo irrotacional é também conhecido como um campo conservativo Exemplos de campos irrotacionais incluem o campo eletrostático e o campo gravitacional Em geral o campo do gradiente de V para qualquer escalar V é puramente irrotacional já que veja Exercício 310 Dessa forma um campo irrotacional A pode ser sempre expresso em termos de um campo escalar V isto é se A 0 então L A dI 0 A V Por essa razão A pode ser chamado de campo potencial e V de potencial escalar de A O sinal negativo na equação 370 foi inserido por razões da Física que ficaram claras no Capítulo 4