Tarefa Potencial Elétrico

IFSP Campus Votuporanga Graduação em Engenharia Elétrica Eletromagnetismo MAGE5 20241 Prova 2 19062024 Data de entrega 26062024 Nome Prontuário INSTRUÇÕES 1 Respostas sem justificativas ou mera apresentação de resultados não serão consideradas 2 Argumentos de simetria devem ser justificados 1 20 pontos Uma região retangular com largura a e de comprimento infinito é delimitada pelas condições de contorno V0y0 Vay0 Vx0V0x Vxy a A partir do resultado do item a mostre que o campo elétrico dentro dessa região é igual a 15 pontos E 2V0a 1 senh²πya sen²πxa cosπxasenhπya x senπxacoshπya y b Plote dois gráficos do potencial o primeiro mostrando a região do potencial e o segundo ilustrando 20 termos da série de Fourier Se os gráficos forem plotados por auxílio de um programa computacional entregue também o código desenvolvido 05 pontos 2 20 pontos Considere um anel de raio R carregada com uma carga Q em Coulombs a Encontre o potencial em qualquer ponto r do espaço Escreva sua solução em termos dos polinômios de Legendre 15 pontos b Esboce as superfícies equipotenciais geradas pelo anel carregado Escolha pontos muito próximos do anel e pontos distantes do anel e descreva tais superfícies Se os gráficos forem plotados por auxílio de um programa computacional entregue também o código desenvolvido 05 pontos 05 pontos 3 20 pontos Uma carga pontual q está situada a uma distância a do centro de uma esfera condutora de raio R carregada com um potencial V0 a Use o método das imagens Faça um desenho da configuração mostrando a posição das cargas imagens Qual o valor de tais cargas 10 ponto b Encontre o potencial fora da esfera para a configuração do item a 10 ponto Figura 1 Caption 4 40 pontos A equação de Laplace em coordenadas esféricas é dado pela equação 1r² r r² Vr 1r² senθ θ senθ Vθ 1r² sen²θ ²Vφ² 0 1 a Considerando um problema tridimensional mostre que ao se aplicar o método de separação de variáveis a equação 1 pode ser convertida para a equação diferencial generalizada de Legendre 1x² d²Θdx² 2x dΘdx ll1 m²1x² Θ 0 2 sendo l e m constantes inteiras20 pontos b Considere m 0 Sabendo que a solução da Equação 2 são os polinômios de Legendre Plcosθ resolva em termos de tais polinômios o seguinte problema seja um disco de cargas positivas e raio R A densidade de cargas deste disco é σr σ0 R²r² sendo r a posição de um ponto do disco em relação à origem Esta densidade de cargas faz com que o potencial no disco seja uma constante V0 Resolva as questões20 pontos a Obtenha o potencial no eixo z b Obtenha o potencial em qualquer ponto r do espaço na região r R c Obtenha o potencial na região r R Questão 01 Sabemos que Ê V Então precisamos determinar Vr Como condição de contorno V0y0 Vay0 Vx0V0x e também lim y Vxy 0 Então pela equação de Laplace ²V 0 ²Vx² ²Vy² 0 Por separação de variáveis Vxy Xx Yy 1Xx d²Xdx² 1Y d²ydy² 0 1X d²Xdx² 1Y d²Ydy² λ² d²Xdx² λ²Xx 0 d²Ydy² λ²Y 0 Xx A sin λx B cos λx X00 B Xx A sin λx como Xa A sin λa 0 λa nπ λn nπa Xnx Asin nπxa Resta agora resolver em Yy d²Ydy² nπa² Yy 0 Yny Cn eλn y Dn eλn y como lim y Yn 0 Yny Dn eλny Vxy n1 to An sin nπxa enπya Anmindo Vx0 VoxVo 0 to a Vo sin nπxa dx An 0 to a sin nπxa sin mπxa dx An 2a 0 to a Vo sin nπxa dx 2a anπ cos nπxaa0 An 4Vonπ 1 1n2 Logo se n for ímpar An 4Vonπ Vxy n13 4Vonπ sin nπxa enπya sendo enπya 2 sinh nπya Vxy n1 4Vonπ sin nπxa sinh nπya Como E V e levando em conta apenas n1 E 4Voa cos πxa sinh πya 4Voa sin πxa cosh πya b A região de potencial deve ser algo similar a Questão 02 a Temor que Vr 14πε0 λ dlr r Sendo r R cosφ R senφ 0 r r sinθ cosφ r sinθ senφ r cosθ Vrθ λ4πε0 0 to 2π R dφr² R² 2rR sinθ cosφ12 Expandindo estas em termos de Polinômio de Legendre 1r² R² 2rR sinθ cosφ l0 to Rlrl1 Plcosγ em que cosγ sinθ cosφ Vrθ l0 to Rlrl1 0 to 2π Plsinθ cosφ dφ como 0 to 2π Plsinθ cosφ dφ 2π Pl0 Note que Pl0 0 se l é ímpar ou par mas P00 1 l 0 Vrθ λR4πε0 1r 2π λR2ε0r Vrθ 2πλR4πε0r Q4πε0r b Perceba que as superfícies equipotenciais vivem em dois planos distintos no plano do anel isto é z0 r cosθ θ π2 e no plano em que z 0 ou seja X ou Y não zero No caso z0 θπ2 φ0 1 r² R² constante r² R² constante o que define superfície de circula r² R² constante Para z 0 por acoma x 0 r min com ϕ 0 ou seja θ 02π ou ϕ π2 Com isso os equipotenciais vao ser deformados ao longo do eixo z considerando ϕ π2 z y x dQuestão 03 a Novo problema real é Para fazer o problema utilizando o método dos imagens precisamos que o problema imagem tenha as mesma condision de contorno do problema real Para isso considere uma carga q dentro da esfera e uma imagem de carga Q na origem devido a no problema real haver um potencial Vo bR²a a Q q qAmin o valor de Q deve ser tal que a soma do potencial devido a q e q na superficie é Vo Sendo q Ra q q q 1 Ra q Q Vo 4πƐ₀ R 1 Ra b Para calcular o potencial total fora da esfera basta somar as contribuições individuais V Vq Vq VQ q4πƐ₀ r² a² 2arcosθ qRa 4πƐ₀ r² Ra² 2rRa cosθ Vo 4πƐ₀R 1 Ra 14πƐ₀ q 4πƐ₀ r² a 2arcosθ qRa 4πƐ₀ r² Ra² 2rRa cosθ VoR r1 Ra Assim para r R e r a Vr q Q 4πƐ₀r dQuestão 04 a Tema que ²V 0 tal que V Vr θ ϕ Assim 1r² r r² Vr 1rsinθ θ sino Vθ 1r² sin²θ ²Vϕ² 0 Se V Rr Θθ Φϕ 1R ddr r² dRdr 1Θ sinθ ddθ sino dΘdθ 1Φ sin²θ d²Φdϕ² 0 Cada termo deve então ser uma constante 1Φ d²Φdϕ² m² d²Φdϕ² m² Φ 0 Enquanto 1Θ sino ddθ sinθ dΘdθ m² sin²θ λ ddθ sinθ dΘdθ λ sinθ m² Θ 0 ddθ sinθ dΘdθ 1sinθ λ m² sin²θ 0 Fazendo a substituição x cosθ dxdθ sino dθdx 1sino dΘdθ dΘdx dxdθ dΘdx sino sino dΘdx ddθ sinθ dθdθ ddθ sinθ sinθ dθdx ddθ sin²θ dθdθ ddx sin²θ dθdx dxdθ e como sin²θ 1x² ddθ sin²θ dθdx ddx 1x² dθdx logo a equação angular retorna ddx 1x² dθdx λ m²1x² θ 0 1x² d²θdx² 2x dθdx λ m²1x² θ 0 tal que λ ll1 sendo os autovalores da equação radial b considerando m0 ou seja 1x² d²θdx² 2x dθdx l l1 θ 0 i dado σr σ₀R² r² dq σr 2πrdr σ₀ 2πrdrR² r² Vz ₀ᴿ 2πσ₀ rdrR² r² z² r² como r R sinθ dr R cosθ Vz 2πσ₀ ₀π2 R sinθ R cosθR² R² sin²θ z² R² sin²θ fazendo u sin²θ 12 du sinθ cosθ Vz πσ₀R ₀¹ du1u z² R² u Para u 1 Vz 2πσ₀R z² R² z ii r R efetivamente quer dizer fora do disco Vr 14πε₀ ₗ₀ 1rl1 σr rl Pₗcosθ dA como cosθ zzr r para pontar no eixo z cosθ 1 zz r r Para r R então Vr 2πσ₀4πε₀ ₗ₀ 1rl1 ₀ᴿ rl1 drR² r² Pₗ1 em que considerando Pₗ1 1 Vr 2πσ₀ R²4πε₀ r σ₀ R²2ε₀ iii Para r R como estamos internamente em θ0 cosθ 1 e Pₗ1 1 Vr 14πε₀ ₀ᴿ σ 2π r drR² r²