Equação de Laplace

IFSP Campus Votuporanga Graduação em Engenharia Elétrica Eletromagnetismo MAGE5 20241 Prova 2 19062024 Data de entrega 26062024 Nome Prontuário INSTRUÇÕES 1 Respostas sem justificativas ou mera apresentação de resultados não serão consideradas 2 Argumentos de simetria devem ser justificados 1 20 pontos Uma região retangular com largura a e de comprimento infinito é delimitada pelas condições de contorno V 0y 0 V ay 0 Vx0 V0x V xy 0 a A partir do resultado do item a mostre que o campo elétrico dentro dessa região é igual a 15 pontos E 2V0 a 1senh2 πya sen2 πxa cosπxasenhπyaxˆ senπxacoshπyayˆ b Plote dois gráficos do potencial o primeiro mostrando a região do potencial e o segundo ilustrando 20 termos da série de Fourier Se os gráficos forem plotados por auxílio de um programa computacional entregue também o código desenvolvido 05 pontos 2 20 pontos Considere um anel de raio R carregada com uma carga Q em Coulombs a Encontre o potencial em qualquer ponto r do espaço Escreva sua solução em termos dos polinômios de Legendre 15 pontos b Esboce as superfícies equipotenciais geradas pelo anel carregado Escolha pontos muito próximos do anel e pontos distantes do anel e descreva tais superfícies Se os gráficos forem plotados por auxílio de um programa computacional entregue também o código desenvolvido 05 pontos 05 pontos 3 20 pontos Uma carga pontual q está situada a uma distância a do centro de uma esfera condutora de raio R carregada com um potencial V0 a Use o método das imagens Faça um desenho da configuração mostrando a posição das cargas imagens Qual o valor de tais cargas 10 ponto b Encontre o potencial fora da esfera para a configuração do item a 10 ponto Figura 1 Caption 4 40 pontos A equação de Laplace em coordenadas esféricas é dado pela equação 1r2 r r2 Vr 1r2 senθ θ senθ Vθ 1r2 sen2θ 2Vφ2 0 1 a Considerando um problema tridimensional mostre que ao se aplicar o método de separação de variáveis a equação 1 pode ser convertida para a equação diferencial generalizada de Legendre 1 x2 d2Θdx2 2x dΘdx ll 1 m2 1 x2 Θ 0 2 sendo l e m constantes inteiras20 pontos b Considere m 0 Sabendo que a solução da Equação 2 são os polinômios de Legendre Pl cosθ resolva em termos de tais polinômios o seguinte problema seja um disco de cargas positivas e raio R A densidade de cargas deste disco é σr σ0 R2 r2 sendo r a posição de um ponto do disco em relação à origem Esta densidade de cargas faz com que o potencial no disco seja uma constante V0 Resolva as questões20 pontos a Obtenha o potencial no eixo z b Obtenha o potencial em qualquer ponto r do espaço na região r R c Obtenha o potencial na região r R 1 a V0 x0 xa V0 V0x Somente em um lado do retângulo temos V0 Logo 2 V 0 Vamos supor por separação de variáveis que a solução é Vxy VxxVyy Logo função de x função de y Vx Vy VxVy 0 1Vx Vx 1Vy Vy k Logo Vx kVx 0 Temos a equação característica da EDO r2 k 0 r2 k Condição Se k0 Ω0 solução da forma VxxC1 x ex C2 ex Aplicando Vx0 0 Vxa 0 C1 C2 0 apenas a solução trivial Vamos supor K 0 Ω K solução Vx C1 ek x C2 ek x Aplicamos Vx00 Vxa0 C1C20 apenas a solução trivial Vamos supor K 0 Ω jk solução Vxx C1 senk x C2 cosk x Aplicando Vx00 Vxa0 C20 C1 senk a 0 k n2 π2 a2 Então VxxC1senmπxa Logo para Vyy Vy kVy 0 Vy n2π2 a2 Vy 0 Eq Caracteristica Ω2 n2π2 a2 Ω nπ a Logo Vy C1 emπya C2 emπya Aplicando V y 0 C10 Vy C2 emπya Temos Vmxy C3 sennπxa enπya Como temos várias soluções a solução geral é Vxy Σ An sennπxa enπya Solvendo que Vx0V0 V0 Σ An sennπxa Logo An é o coeficiente que multiplica os senos da expansão em série de Fourier de V0x na forma ímpar e periódica de período 2a Logo An 2a 0a V0 sennπxa dx Por fim E Vx î Vy ĵ Σ An nπa cosnπxa enπya î Σ An sennπxa nπa enπya ĵ 2 a Termos VΩ 1 4πε₀ Q r r dQ 1 r r 1 R n0 to r R n Pₙ cosθ Integrando no anel VΩ 1 4πε₀ n0 to R rⁿ 0 to 2π Pₙ cosθ dQ 1 4πε₀ Q 2πR n0 to R rⁿ 0 to 2π Pₙ cosθ dφ 1 4πε₀ Q 2πR n0 to R rⁿ 2π 2n1 3 a Vamos considerar uma carga pontual q localizada a uma distância a do centro de uma esfera condutora de raio R e potencial V₀ A carga imagem q será colocada em um ponto tal que a R² a q q R a b VΩ 1 4πε₀ q R q R Sabendo que q q R a e R n cosθ a² n senθ²12 sendo r R a VΩ 1 4πε₀ q R q R a r 1 4πε₀ q r 1 R a 4 a Pela separação de variáveis V RΩ Θθ Φφ sen²θ 1 R ddR r² dR dr senθ Θ ddθ senθ dΘ dθ 1 Φ d²Φ dφ² 0 Temos 1 Φ d²Φ dφ² m² 1senθ ddθ senθ dθdθ ll1 m2sen2θ θ 0 1r2 ddr r2 dRdr ll1r2 R 0 Ca equação para θθ é a equação de Legendre associada generalizada com m e l constantes inteiras ddx 1x2 dθdx ll1 m21x2 θ 0 b Considerando m0 a ddx 1x2 dθdx ll1θ 0 O potencial é Vz 14 π ε0 δn2 dAn2 z212 14 π ε0 σ0 n2 dn dφ n2 z212 R2 n212 Resolvendo Vz σ04 π ε0 0R 02π n2 dφ dn R2 n2 n2 z2 12 σ02 ε0 0R n dn R2 n2 n2 z2 12 Sendo n R senθ dn R cosθ dθ Vz σ02 ε0 0π2 R2 senθ cosθ dθ R2 R2 sen2θR2 sen2θ z2 12 σ02 ε0 sqrtR2 z2 zR b Vr 14 π ε0 Qr Lei de Gauss Q 0R 02π σn2 n2 dφ dn σ0 0R 2 π n dn R2 n212 Sendo n R senθ Q σ0 2 π R2 0π2 senθ cosθ R cosθ dθ 2 π σ0 R Logo Vr σ0 R 2 ε0 r c 2 V ρ ε0 Logo Vr 14 π ε0 σn2 dA r r σ0 2 ε0 0R n dn R2 n2 n2 z2 12 V12 δ₀ 2ε₀ R² r² r R integral já resolvida