Atividades da Matéria Física 2

1 O conceito de momento angular foi utilizado por Isaac Newton para demonstrar a validade das leis de Kepler Faça uma pesquisa enuncie e demonstre as três leis de Kepler explicando em detalhes cada passagem matemática bem como a interpretação física 2 O Teorema dos eixos paralelos é um Teorema que nos auxilia na determinação do momento de inércia com auxílio do centro de massa a Enuncie e demonstre o teorema dos eixos paralelos b Apresente uma outra demonstração para o teorema dos eixos paralelos porém utilizando o conceito de energia cinética de rotação c Utilizando o teorema dos eixos paralelos determine o momento de inércia de uma barra delgada girando em torno de uma das extremidades Primeira Lei de Kepler Lei das Órbitas Enunciado A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas que giram em torno do Sol não é circular mas sim elíptica Além disso o Sol sempre ocupa um dos focos dessa elipse Apesar de elípticas algumas órbitas como a da Terra são muito próximas de um circulo pois são elipses que apresentam uma excentricidade muito pequena A excentricidade por sua vez é a medida que mostra o quanto uma figura geométrica diferese de um círculo e pode ser calculada pela relação entre os semieixos da elipse Demonstração Para entender matematicamente consideremos a equação da elipse no plano xy com os focos localizados ao longo do eixo x onde a é o semieixo maior e b é o semieixo menor da elipse O Sol está localizado em um dos focos da elipse Interpretação Física A elipse descreve a trajetória de um planeta ao redor do Sol onde a força gravitacional mantém o planeta em órbita Essa forma elíptica implica que a distância entre o planeta e o Sol varia ao longo da órbita Segunda Lei de Kepler Lei das Áreas Enunciado A segunda lei de Kepler afirma que a linha imaginária que liga o Sol aos planetas que o orbitam varre áreas em intervalos de tempo iguais Em outras palavras essa lei afirma que a velocidade com que as áreas são varridas é igual isto é a velocidade aureolar das órbitas é constante A linha imaginária que liga o Sol aos planetas que o orbitam varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais Demonstração Para um planeta em órbita o vetor de posição r em relação ao Sol varre uma área ΔA em um tempo Δt A velocidade angular ω do planeta é dada por ω dθdt A taxa com que a área é varrida pode ser expressa como dAdt 12 r² dθdt Como L r p momento angular e p m v temos L m r v A magnitude do momento angular é L m r² dθdt Para um planeta em órbita o momento angular L é constante dAdt L2m Como L2m é constante a área varrida ΔA é proporcional ao tempo Δt confirmando a segunda lei de Kepler Interpretação Física Essa lei implica que os planetas se movem mais rapidamente quando estão mais próximos do Sol periélio e mais lentamente quando estão mais distantes afélio Terceira Lei de Kepler Lei dos Períodos Enunciado A terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período orbital T² de um planeta é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol R³ Além disso a razão entre T² e R³ tem exatamente a mesma magnitude para todos os astros que orbitam essa estrela A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio da órbita de um planeta é constante A expressão usada para o cálculo da terceira lei de Kepler é mostrada a seguir confira T período orbital Rraio médio da órbita Observe a próxima figura nela mostramos os semieixos maior e menor de uma órbita planetária em torno do Sol O raio médio da órbita utilizado no cálculo da terceira lei de Kepler é dado pela média entre os raios máximo e mínimo As posições mostradas na figura que caracterizam a maior e a menor distância da Terra em relação ao Sol são chamadas de afélio e periélio respectivamente O raio médio é calculado pela média entre os raios do periélio e afélio Interpretação Física Essa lei relaciona o período orbital ao tamanho da órbita mostrando que planetas mais distantes do Sol têm períodos orbitais mais longos Questão 02 Vamos abordar cada parte da sua pergunta sobre o Teorema dos Eixos Paralelos A Enunciado e Demonstração do Teorema dos Eixos Paralelos Enunciado Demonstração Aqui demonstração do Teorema dos Eixos Paralelos usando o conceito de energia cinética de rotação Teorema dos Eixos Paralelos e Energia Cinética de Rotação C Determinação do Momento de Inércia de uma Barra Delgada Girando em Torno de uma das Extremidades Para determinar o momento de inércia de uma barra delgada de comprimento L e massa m girando em torno de uma das extremidades usamos o Teorema dos Eixos Paralelos Situação A barra delgada está girando em torno de uma extremidade Vamos considerar o eixo de rotação como passando pela extremidade O e um eixo paralelo a uma distância L da extremidade O 1 Momento de Inércia em relação ao Centro de Massa Para uma barra delgada de comprimento L o momento de inércia em relação ao centro de massa localizado no centro da barra é Icm 112 m L² onde m é a massa da barra 2 Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos A distância d entre o eixo que passa pela extremidade O e o eixo paralelo é L Aplicando o teorema I Icm m L² Substituindo Icm I 112 m L² m L² I 112 m L² 1212 m L² I 1312 m L² Portanto o momento de inércia de uma barra delgada de massa m e comprimento L girando em torno de uma das extremidades é 1312 m L² ABOUT THE AWARDS The Distinguished Achievement Awards recognize achievements in book design and production Award categories include illustration cover design interior design opening credits book jackets front and back cover design typography embossingdebossing die cutting foil stamping metallic inks special papers hand finishing photography and special binding Eligibility All entries must be published between January 1 and December 31 2006 Entries must have US or Canadian ISBN numbers and be available in North America Commercially available printondemand POD and selfpublished titles are also eligible to enter the competition