Momento Linear e Sua Conservação Colisões

3 A figura abaixo ilustra uma colisão entre duas massas desconhecidas sendo que a segunda massa está inicialmente em repouso Após a colisão em virtude das forças trocadas entre as duas massas a massa m2 passa a se mover no sentido positivo do eixo x enquanto a massa m1 se move no sentido oposto A situação descrita acima é consistente com a realidade Qualis deve ser a relação entre as massas m1m2 para que isso de fato possa acontecer 5 Com o intuito de se determinar o módulo da velocidade do projétil ao sair de uma arma usase o chamado pêndulo balístico O procedimento consiste em disparar a em direção a um bloco de madeira o qual está suspenso num fio de comprimento l Após o impacto medese o ângulo de elevação θ A massa do bloco é determinada antes m e depois do impacto M Determine a velocidade da bala em função dos parâmetros apresentados 1 A figura abaixo ilustra dois pinguins de mesma massa inicialmente em repouso em um iglu Após ser solto o primeiro pinguim desce sem atrito e obviamente se choca com o segundo pinguim Após a colisão o segundo pinguim inicia seu movimento de subida Determine a máxima e a mínima altura que o segundo pinguim pode atingir 2 a Imagine uma colisão elástica unidimensional entre duas massas iguais digamos A e B Prove que após a colisão há uma troca dos momentos lineares individuais ou seja o momento linear final da massa B é igual ao inicial da massa A e o momento linear final da massa A é igual ao inicial da massa B b Imagine uma colisão elástica unidimensional entre duas massas iguais digamos A e B Estando a bola B inicialmente em repouso prove que se a colisão não for unidimensional então as massas irão se afastar formando um ângulo de 90 1 A altura máxima será alcançada caso a colisão seja perfeitamente elástica Nesse caso a energia se conserva e a altura máxima é a altura inicial Hmax R Agora se a colisão for completamente inelástica teremos a altura mínima A velocidade com a qual os 2 pinguins se moverão após a colisão pode ser calculada pela conservação do momento mV0 2m VF com V0 sqrt2gR Logo VF sqrt2gR2 Daí a altura será mg Hmin 2m VF2 2 mg Hmin 2mgR 4 Hmin R2 4 Considere a seguinte colisão abaixo Note que o corpo de massa m1 se move inicialmente com uma velocidade de maior módulo que o corpo de massa m2 Após a colisão o corpo de massa m2 passa a se mover mais rapidamente Faça o que se pede abaixo a Determine as velocidades de aproximação e afastamento b Considere m1 m2 e determine a porcentagem máxima de energia cinética dissipada na colisão c Considere agora uma colisão elástica sendo as massas diferentes e v2 0 Descreva o movimento de cada bloco após a colisão d Repita o item anterior considerando as massas iguais 2 a Na colisão elástica a energia se conserva e o momento também Temos VA1 VB1 VA2 VB2 Conservação do momento VA12 VB12 VA22 VB22 Conservação da energia Logo VA22 VA12 VB22 VB12 1 VA2 VA1 VB1 VB2 2 Dividindo 1 por 2 VA22 VA12 VA2 VA1 VB12 VB22 VB1 VB2 VA2 VA1 VB2 VB1 3 Mas somando 3 com 2 2 VA2 2 VB1 VA2 VB1 b Suponha que a bola A se mova com uma velocidade vetor v vo u Conservação de momento Em x vo Va cos theta Vb cos phi 1 Em y 0 Va sen theta Vb sen phi 2 Conservação de energia vo2 Va2 Vb2 3 Elevando 1 e 2 ao quadrado vo2 Va2 cos2 theta Vb2 cos2 phi 2 Va Vb cos theta cos phi 0 Va2 sen2 theta Vb2 sen2 phi 2 Va Vb sen theta sen phi Somando as duas expressões acima vo2 Va2 Vb2 2 Va Vb cos theta cos phi sen theta sen phi Igualando com a expressão 3 temos 2 Va Vb cos theta cos phi sen theta sen phi 0 Logo cos theta cos phi sen theta sen phi 0 ou cos theta phi 0 Logo theta phi 90 Vamos generalizar a questão anterior e aplicar nas questões 3 e 4 Deixa as partículas de massas m1 e m2 velocidades iniciais u1 e u2 e velocidades finais v1 e v2 Temos m1 u1 m2 u2 m1 v1 m2 v2 e m1 u12 m2 u22 m1 v12 m2 v22 Logo pelo mesmo desenvolvimento da questão 2a temos v1 u1 u2 v2 v1 v2 u2 u1 Além disso m1 v1 m2 v2 m1 u1 m2 u2 de modo que v1 m1 m2m1 m2 u1 2 m2m1 m2 u2 e v2 2 m1m1 m2 u1 m2 m1m1 m2 u2 3 Se u2 0 v1 m1 m2m1 m2 u1 v2 2 m1m1 m2 u1 Logo para v1 ser negativo m1 m2 ou m1m2 1 4 a Conservação do momento m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 Para continuar o item a e b a questão deveria dizer alguma relação entre as velocidades eou o coeficiente de restituição c Usando o resultado generalizado para v20 v1 m1 m2 m1 m2 u1 v2 2m1 m1 m2 u1 Se m1 m2 ambos se movem para a direita Se m1 m2 o bloco m1 se move para a esquerda e o m2 para a direita d Se m1 m2 v1 0 e v2 u1 ou seja os blocos trocam de velocidade 5 Após o impacto por conservação de energia Mv22 Mgl1cosθ Logo v 2gl1cosθ Mas por conservação de momento no impacto massa da bala Mmvo MV M2gl1cosθ vo M Mm 2gl1cosθ