Projeto Final Automação e Controle - Modelagem de Sistemas de Segunda Ordem

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA LEONARDO VALE DE ARAUJO Email leonardovaleifrnedubr ALUNOS PROJETO FINAL Curso Tecnologia em Energias Renováveis Disciplina Automação e Controle Tema Projeto Final ORIENTAÇÕES GERAIS O projeto da disciplina de Automação e Controle será realizado em grupo contendo no máximo quatro pessoas as exceções devem ser dialogadas e acordadas com o professor O trabalho vale 80 pontos Desses 80 pontos 40 correspondem à realização do projeto e entrega do arquivo de simulação Os outros 40 pontos serão avaliados quanto ao relatório de acordo as orientações apresentadas a seguir neste documento A data para entrega do relatório e o arquivo de simulação é dia 050124 as exceções devem ser dialogadas e acordadas com o professor Até o dia 050124 o aluno deve entregar relatório e arquivo de simulação do projeto ORIENTAÇÕES DO PROJETO O projeto deverá ser desenvolvido em algum software a escolha do aluno Tente utilizar o softwarelinguagem de programação no qual está mais familiarizado Deverão ser utilizados modelos de componentes reais no desenvolvimento dos cálculos do projeto procure utilizar os modelos que mais se aproximam dos componentes reais Participe de todas as etapas do projeto Eventualmente procure o professor para tirar as dúvidas PROJETO Todos os cálculos realizados durante o projeto deverão ser apresentados no relatório O grupo deverá escolher um sistema real de segunda ordem para realizar algumas etapas no software Inicialmente o grupo deve optar por qual sistema será modelado Algumas possibilidades de sistemas que os grupos poderão escolher o Mecânicos o Elétricos o Pneumáticos o Hidráulicos o Térmicos o Dentre outros Em seguida o grupo deverá começar a modelagem MODELAGEM Após a escolha do sistema o grupo deverá encontrar a equação diferencial de segunda ordem levando em conta a escolha de parâmetros para que a resposta ao degrau seja subamortecida Em seguida devese aplicar a Transformada de Laplace para obtenção da função de transferência Determinar os polos e zeros caso tenha do sistema e apresentar o diagrama no plano S plotar o gráfico Apresentar os valores dos seguintes parâmetros e especificações do sistema o Fator de Amortecimento ζ o Frequência Natural ωN o Tempo de Subida TR o Tempo de Acomodação TS o TempoInstante de Pico TP o UltrapassagemSobressinal Percentual UP ou MP É importante que na entrada do sistema seja aplicado um degrau O grupo irá escolher qual será a amplitude utilizada apresentar o gráfico da entrada A resposta ao degrau saída do sistema deverá ser apresentada por meio de um gráfico É importante também que o grupo apresente a equação correspondente no relatório Por fim o grupo deverá mudar os parâmetros da função de transferência para transformar a resposta em superamortecida criticamente amortecida e não amortecida apresentando os gráficos e quando possível recalculando as especificações do sistema A entrada não deverá ser modificada e deve ser apresentada a nova saída para cada um dos casos ORIENTAÇÕES DO RELATÓRIO O relatório deverá incluir o Capa o Sumário o Introdução o Desenvolvimento Teórico o Projeto o Conclusões o Referências Bibliográficas O relatório pode ser desenvolvido no Microsoft Word LaTex ou Open Office O trabalho deverá ser entregue em doc ou pdf Observações o Apresente os cálculos realizados ao longo do projeto na seção de Desenvolvimento teórico o Explique as equações tabelas e figuras colocadas no texto o Apresente os resultados gráficos extraídos do software na seção Projeto AUTOMAÇÃO E CONTROLE PROJETO FINAL Nomes MUNICÍPIO ESTADO 2024 Sumário 1 Introdução1 2 Desenvolvimento Teórico2 3 Projeto5 4 Conclusões16 5 Referências17 1 1 Introdução Objetivase modelar um sistema representativo de um circuito RLC série apresentado a seguir Figura 1 Circuito RLC série A saída do circuito será tomada no capacitor representada pela tensão V Ct sobre o elemento No caso fazse o modelo de tal circuito no domínio da transformada de Laplace a partir da análise da equação diferencial ordinária que rege o comportamento de tal circuito 2 2 Desenvolvimento Teórico Para o circuito RLC série equacionase a tensão em seus elementos pela lei de Kirchhoff V RtV Ct V LtV it Para cada componente podese escrever V R t Ri t R dq t dt V LtL di t dt L d 2q t dt 2 V C t 1 Ci tdt 1 C q t Assim temse a equação R dq t dt L d 2q t dt 2 1 C q t V it que pode ser reescrita como d 2q t d t 2 R L dq t dt 1 LC q t 1 L V it Desta equação obtémse qt de onde se calcula V C t 1 C qt A equação diferencial para o circuito RLC série pode ser representada literalmente por 3 d 2q t d t 2 2α dq t dt ωn²q t1 L V it Onde α é o chamado coeficiente de amortecimento Comparando os termos com a equação diferencial para o RLC série temos α R 2L Observase que vale a igualdade ωn 1 LC que define ωn como a frequência natural do circuito Os regimes de amortecimento dependem dos valores de α eωn Representase o coeficiente de amortecimento também por αωn sendo o chamado fator de amortecimento No domínio da transformada de Laplace considerase que o polinômio característico P s s 22ωnsωn 2 é o polinômio característico associado à equação diferencial homogênea padrão d 2 y t dt 2 2ωn dy t dt ωn² y t 0 4 Definemse assim os regimes de amortecimento α ωnou1 Caso superamortecido em que as raízes do polinômio característico s1 e s2 são reais e negativas sendo a solução da equação na forma y tk1e s1tk2e s2t αωnou1 Caso criticamente amortecido em que as raízes do polinômio característico são reais negativas e iguais sendo a solução da equação na forma y tk e αt α ωnou1 Caso subamortecido em que as raízes do polinômio característico são complexas conjugadas sendo a solução da equação na forma y te αt A1cosωdt A2sen ωdt onde ωd é a chamada frequência amortecida dada por ωdωn 2α ²ωn1² α0 Caso não amortecido ou oscilatório em que as raízes do polinômio característico são imaginários conjugados puros sendo a solução da equação na forma y tA1cosωnt A2senωnt 5 3 Projeto Para estabelecer o regime de subamortecimento no sistema considerado devese escolher 1 Isso implica uma escolha de parâmetros de forma a se ter os polos s12ωn j ωn1² Selecionase como opção o valor 2 2 0707 e ωn1rads de modo que o polinômio característico do sistema é dado por P s s 21414 s1 com raízes polos do sistema de 2ª ordem associado s120707 j 0707 A figura a seguir ilustra os polos do sistema 6 08 07 06 05 04 03 02 01 0 08 06 04 02 0 02 04 06 08 05 06 07 08 038 094 05 064 08 008 028 038 094 05 064 08 008 017 028 017 01 02 03 04 05 06 07 08 01 02 03 04 PoleZero Map Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 Figura 2 Polos do sistema projetado caso subamortecido Selecionamse assim os valores de componentes αωn R 2L0707 R1Ω L0707 H ωn 1 LC 1C1414 F R1Ω L0707 H C1414 F 7 Logo para a EDO d 2q t d t 2 R L dq t dt 1 LC q t 1 L V it Temos s 2 R L s 1 LCQ s 1 L V is Q s V is 1 L s 2 R L s 1 LC H s V os V is 1 C Q s V is 1 LC s 2 R L s 1 LC 1 s 21414s1 Determinandose os parâmetros da resposta para 0707 e ωn1rads Tempo de subida t r ωd arctg 1² ωd 33322s Tempo de pico t p ωd 44429 s Tempo de acomodação critério de 2 8 t s 4 α 4 ωn 56569s Sobressinal percentual OS e 1²4 32 A figura a seguir ilustra a resposta ao degrau unitário para o caso subamortecido considerado utilizandose a função STEP do Matlab 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 0 02 04 06 08 1 12 yt Resposta ao degrau caso subamortecido Figura 3 Resposta ao degrau unitário caso subamortecido O cálculo da resposta do sistema ao degrau unitário pelo cálculo da transformada inversa de Laplace da resposta Y s conduz a Y s 1 s 1 s 21414 s1 1 ss 21414 s1 9 cuja transformada inversa leva a y t1e 0707 t sen0707t cos 0707t t 0 São feitas agora modificações no circuito para que o sistema apresente diferentes condições de amortecimento a Caso superamortecido Escolhese agora 1414 e ωn1rads de modo que se adotam os valores αωn R 2L1414 R1Ω L03535 H ωn 1 LC 1C2828 F R1Ω L03535 H C2828 F H s 1 LC s 2 R L s 1 LC 1 s 22828 s1 Com polos em s10414 s22414 10 As figuras a seguir ilustram o novo posicionamento de polos do sistema bem como a resposta do novo sistema ao degrau unitário 25 2 15 1 05 0 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 1 15 2 25 02 04 058 072 083 091 096 099 05 02 04 058 072 083 091 096 099 PoleZero Map Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 Figura 4 Polos do sistema projetado caso superamortecido 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 yt Caso superamortecido Figura 5 Resposta ao degrau unitário caso superamortecido Para o caso superamortecido não se calculam o tempo de subida o tempo de pico o tempo de acomodação e o sobressinal percentual posto que a saída não oscila b Caso criticamente amortecido Escolhese agora 1 e ωn1rads de modo que se adotam os valores αωn R 2L1 R1Ω L0 5 H ωn 1 LC 1C2 F R1Ω L0 5 H 12 C2 F H s 1 LC s 2 R L s 1 LC 1 s 22 s1 Com polos em s121 As figuras a seguir ilustram o novo posicionamento de polos do sistema bem como a resposta do novo sistema ao degrau unitário 1 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 04 06 08 1 008 02 04 06 017 028 038 05 064 08 094 008 02 017 028 038 05 064 08 094 08 1 PoleZero Map Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 Figura 6 Polos do sistema projetado caso criticamente amortecido 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 yt Caso criticamente amortecido Figura 7 Resposta ao degrau unitário caso criticamente amortecido Para o caso criticamente amortecido não se calculam o tempo de subida o tempo de pico o tempo de acomodação e o sobressinal percentual posto que a saída não oscila c Caso não amortecido Escolhese agora 0 e ωn1rads de modo que se adotam os valores αωn R 2L0 R0Ω L1 Harbitrado ωn 1 LC 1C1F R0Ω 14 L1 H C1F H s 1 LC s 2 R L s 1 LC 1 s 21 Com polos em s12 j As figuras a seguir ilustram o novo posicionamento de polos do sistema bem como a resposta do novo sistema ao degrau unitário 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 04 06 08 1 016 02 04 034 05 064 076 086 094 0985 016 02 034 05 064 076 086 094 0985 06 08 1 PoleZero Map Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 Figura 8 Polos do sistema projetado caso não amortecido 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 yt Caso não amortecido Figura 9 Resposta ao degrau unitário caso não amortecido Para o caso não amortecido não se calculam o tempo de subida o tempo de pico o tempo de acomodação e o sobressinal percentual posto que a saída oscila sem qualquer amortecimento 16 4 Conclusões Por meio da modelagem de sistemas no presente caso de 2ª ordem é possível estimar o comportamento da saída desses sistemas em resposta a sinais conhecidos permitindo que se possa avaliar situações de regime transitório e permanente apenas como o conhecimento de seus parâmetros físicos Com isso atestase a funcionalidade do estudo do posicionamento de polos do sistema e consequente parâmetros de resposta para caracterizar seu regime de funcionamento 17 5 Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5 Ed São Paulo Pearson Universidades 2010