Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos e Análise de Circuitos

Modelagem e sistemas lineares 7 Uso das transformadas de Laplace na análise de circuitos e 8 Modelamento de sistemas dinâmicos Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas A modelagem matemática de sistemas dinâmicos é realizada por meio de equações que representam suas dinâmicas com um determinado grau de precisão estabelecido A complexidade que os sistemas reais podem apresentar na prática ou o desconhecimento de todos os detalhes constituintes dos mesmos leva à necessidade de se trabalhar com aproximações Dependente da precisão requerida existem vários modelos possíveis de serem utilizados relação de compromisso entre simplicidade do modelo matemático adotado e a precisão resultante Modelagem caixa branca realizada através de conhecimentos da física e natureza do sistema modelagem fenomenológica ou conceitual Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas As relações entre os parâmetros e as variáveis pertinentes envolvidos no sistema ou processo são expressas por equações diferenciais funções de transferência variáveis de estado etc Os coeficientes ou parâmetros relativos às equações ou funções dos modelos podem ser obtidos por meio de medições ou ensaios experimentais Quando está disponível um modelo matemático adequado de um sistema podese estudar o comportamento do mesmo sem a necessidade de acessar o sistema real utilizandose apenas sua representação matemática que pode ser resolvida por meio de métodos analíticos ou numéricos Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas Térmic o Mecâni co Eletromagnéti co Térmoelétri co Eletromecâni co Termo mecânico Sistema físico real Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos As variáveis ou grandezas físicas frequentemente utilizadas para descrever o comportamento de sistemas elétricos são tensões e correntes em função do tempo que geralmente é a variável independente Os elementos básicos constituintes desses sistemas são fontes de tensão ou corrente resistências indutâncias e capacitâncias Componen te Tensão corrente Corrente tensão Tensãocarga Impedância Admitância Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RL 𝑣 𝑅 𝑡 𝑅𝑖 𝑡 𝑣 𝐿 𝑡𝐿 𝑑𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑎 𝑡 𝑉 𝑎 𝑠 𝑉 𝑅 𝑠 𝑅 𝐼 𝑠 𝑣 𝐿 𝑡 𝐿 𝑖 𝑡 𝑉 𝐿 𝑠 𝐿 𝑠 𝐼 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RL 𝑉 𝑎 𝑠 𝑉 𝑅 𝑠 𝑉 𝐿 𝑠 𝑉 𝑎 𝑠 𝑅 𝐼 𝑠𝐿 𝑠 𝐼 𝑠 𝑉 𝑎 𝑠 𝑅 𝐿𝑠 𝐼 𝑠 𝐼 𝑠 𝑉 𝑎𝑠 1 𝑅𝐿 𝑠 𝑣𝑎 𝑡 𝑣𝑅 𝑡 𝑣𝐿 𝑡 𝑣𝑎 𝑡 𝑅𝑖 𝑡 𝐿 𝑖 𝑡 𝑖 𝑡 𝑅 𝐿 𝑖 𝑡 1 𝐿 𝑣𝑎𝑡 tempo frequência Domínio do Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RC 𝑣 𝑓 𝑡 1 𝐶 0 𝑡 𝑖 𝜏 𝑑𝜏 𝑖 𝑡 𝐶 𝑑 𝑣 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑉 𝑓 𝑠 𝐼 𝑠 𝐶 𝑠 𝐶 𝑣 𝑓 𝑡𝑖 𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 1 𝑅𝐶 𝑣 𝑓 𝑡 1 𝑅𝐶 𝑣𝑒𝑡 Domínio do tempo 𝑣𝑒 𝑡 𝑣𝑅 𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 𝑣𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑑 𝑣𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 𝑣𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑣 𝑓 𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RC 𝑞1 0 𝑡 𝑖 𝜏 𝑑𝜏 Domínio do tempo 𝑣𝑒 𝑡 𝑣𝑅 𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 𝑣𝑒 𝑡 𝑅𝑖 𝑡 1 𝐶 0 𝑡 𝑖 𝜏 𝑑𝜏 𝑣𝑒 𝑡 𝑅 𝑞1 1 𝐶 𝑞1 𝑞1𝑖 𝑡 𝑞1 1 𝑅𝐶 𝑞1 1 𝑅 𝑣𝑒 𝑡 𝑖 𝑡 1 𝑅𝐶 𝑞1 1 𝑅 𝑣𝑒 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RC 𝑉 𝑒𝑠 𝑉 𝑅 𝑠 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝑅 𝐼 𝑠 1 𝐶 𝑠 𝐼 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝑅𝐶𝑠1 𝐶𝑠 𝐼 𝑠 𝐼 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝐶 𝑠 𝑅𝐶 𝑠1 Domínio da frequência 𝑉 𝑒𝑠 𝑉 𝑅 𝑠 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝑅 𝐼 𝑠𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑓 𝑠𝑉 𝑓 𝑠𝑅𝐶 𝑠1 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 1 𝑅𝐶𝑠1 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RC Obtendo a descrição em espaço de estados da função de transferência Agrupando os termos em função da frequência complexa 𝐼 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝐶 𝑠 𝑅𝐶 𝑠1 𝑅𝐶 𝑠1 𝐼 𝑠𝐶 𝑠𝑉 𝑒 𝑠 𝑠 𝑅𝐶 𝐼 𝑠 𝐶𝑉 𝑒 𝑠 𝐼 𝑠 𝑞1𝐶 𝑉 𝑒 𝑠 𝑅𝐶 𝐼 𝑠 𝐼 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑞1 1 𝑅 𝑉 𝑒 𝑠 𝑠𝑞1𝐼 𝑠 𝑠𝑞1 1 𝑅𝐶 𝑞1 1 𝑅 𝑉 𝑒 𝑠 𝑠 𝐶 𝑉 𝑒 𝑠 𝑅𝐶 𝐼 𝑠 𝐼 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RC Obtendo a descrição em espaço de estados da função de transferência 𝑖 𝑡 1 𝑅𝐶 𝑞1 1 𝑅 𝑣𝑒 𝑡 𝑠𝑞1 1 𝑅𝐶 𝑞1 1 𝑅 𝑉 𝑒 𝑠 𝑞1 1 𝑅𝐶 𝑞1 1 𝑅 𝑣𝑒 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RLC Domínio do tempo 𝑣𝑒 𝑡 𝑣𝑅 𝑡 𝑣𝐿 𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 𝑣𝑒 𝑡𝑅𝐶 𝑣 𝑓 𝑡 𝐿𝐶 𝑣𝑓 𝑡𝑣 𝑓 𝑡 𝑣𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑑 𝑣𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝑑2𝑣 𝑓 𝑡 𝑑𝑡2 𝑣 𝑓 𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 𝑅 𝐿 𝑣 𝑓 𝑡 1 𝐿𝐶 𝑣 𝑓 𝑡 1 𝐿𝐶 𝑣𝑒𝑡 𝑣𝑒 𝑡 𝑅𝑖 𝑡 𝐿 𝑑𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑓 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RLC 𝑞1 𝑞2 0 1 1 𝐿𝐶 𝑅 𝐿 𝑞1 𝑞2 0 1 𝐿𝐶 𝑣𝑒𝑡 𝑞1𝑣 𝑓 𝑡 𝑞2 𝑞1 𝑣 𝑓 𝑡 𝑞2 𝑞1 𝑣 𝑓 𝑡 𝑞2 𝑅 𝐿 𝑞2 1 𝐿 𝐶 𝑞1 1 𝐿 𝐶 𝑣𝑒 Espaço de estados 𝑣 𝑓 𝑡 1 0 𝑞1 𝑞20 𝑣𝑒 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RLC Domínio da frequência 𝑉 𝑒𝑠 𝑉 𝑅 𝑠 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝐿 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝑅 𝐼 𝑠𝐿 𝑠 𝐼 𝑠𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑓 𝑠𝐿𝐶 𝑠 2𝑉 𝑓 𝑠𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 1 𝐿𝐶 𝑠 2𝑅𝐶 𝑠1 𝑉 𝑒 𝑠 𝐿 𝐶 𝑠2𝑅𝐶 𝑠1𝑉 𝑓 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RLC Modelo no domínio da frequência em função da corrente Obtendo a descrição em espaço de estados da função de transferência Agrupando os termos em função da frequência complexa 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 1 𝐿𝐶 𝑠2𝑅𝐶 𝑠1 𝐼 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 𝐶 𝑠 𝐿𝐶 𝑠 2 𝑅𝐶𝑠1 1 𝐶 𝑠 𝐼 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 1 𝐿𝐶 𝑠2 𝑅𝐶𝑠1 𝐿 𝐶𝑠2𝑅𝐶 𝑠1𝐼 𝑠 𝐶𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑠 𝐿 𝐶𝑠 𝐼 𝑠 𝑅𝐶 𝐼 𝑠𝐶𝑉 𝑒𝑠𝐼 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito RLC Obtendo a descrição em espaço de estados da função de transferência 𝑠 𝐿 𝐶𝑠 𝐼 𝑠 𝑅𝐶 𝐼 𝑠𝐶𝑉 𝑒𝑠𝐼 𝑠 𝑞1𝐼 𝑠 𝑞2𝐿 𝐶𝑠 𝑞1𝑅 𝐶 𝑞1𝐶 𝑉 𝑒 𝑠 𝑠𝑞2 𝐼 𝑠 𝑞2𝐿 𝐶 𝑞1𝑅𝐶 𝑞1𝐶𝑉 𝑒 𝑠 𝑞1 1 𝐿𝐶 𝑞2 𝑅 𝐿 𝑞1 1 𝐿 𝑉 𝑒 𝑠 𝑞2𝑞1 𝑞1 𝑞2 𝑅 𝐿 1 𝐿𝐶 1 0 𝑞1 𝑞2 1 𝐿 0 𝑣𝑒 𝑡 Espaço de estados 𝑖 𝑡 1 0 𝑞1 𝑞2 0 𝑣𝑒 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito avançoatraso de fase Circuito utilizado em implementações de compensadores analógicos em sistemas de controle O circuito funciona alterando a fase da tensão de entrada em relação a tensão de saída 𝑍 2𝑅2 1 𝑠𝐶2 𝑍1 𝑅1 𝑠𝐶1 𝑅1𝑠 𝐶1 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito avançoatraso de fase A tensão de saída pode ser obtida por meio do divisor de tensão 𝑉 𝑐 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 𝑠2𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2 𝑠1 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2𝑠2 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2𝑅1 𝐶2𝑠1 𝑉 𝑐 𝑠 𝑍2 𝑍1𝑍 2 𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑍2 𝑍1𝑍 2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito avançoatraso de fase Obtendo a descrição em espaço de estados da função de transferência Agrupando os termos em função da frequência complexa 𝑉 𝑐 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 𝑠2𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2 𝑠1 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2𝑠2 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2𝑅1 𝐶2𝑠1 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 𝑠2 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2 𝑅1 𝐶2 𝑠1 𝑉 𝑐 𝑠 𝑅1𝐶1 𝑅2 𝐶2 𝑠2𝑅1𝐶1𝑅2 𝐶2𝑠1 𝑉 𝑒 𝑠 𝑠 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito avançoatraso de fase Obtendo a descrição em espaço de estados da função de transferência 𝑠 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 𝑞1𝑉 𝑐 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑞2𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 𝑠𝑞1𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2𝑅1𝐶2𝑞1 𝑅1𝐶2𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 𝑞1𝑉 𝑒 𝑠 𝑞2𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑅1𝐶1𝑅2 𝐶2𝑅1 𝐶2𝑉 𝑐 𝑠 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2𝑉 𝑒 𝑠 𝑞2𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2 𝑞1 𝑅1 𝐶1𝑅2𝐶2𝑅1𝐶2𝑞1𝑅1 𝐶2𝑣𝑒 𝑡 𝑞1 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2 𝑅1𝐶2 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2 𝑞1 1 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 𝑞2 𝑅1𝐶2 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 𝑣𝑒𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Circuito avançoatraso de fase Obtendo a descrição em espaço de estados da função de transferência 𝑠 𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 𝑠𝑞2𝑉 𝑒 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠𝑞1 𝑞2𝑞1 𝑞1 𝑞2 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2 𝑅1 𝐶2 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 1 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 1 0 𝑞1 𝑞2 𝑅1𝐶2 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐶2 0 𝑣𝑒 𝑡 𝑣𝑐 𝑡 1 0 𝑞1 𝑞2 1 𝑣𝑒 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Algoritmo geral método de Maxwell para descrição de circuitos elétricos 1 Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias 2a Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas transformadas de Laplace 2b Escolha as variáveis de estado escrevendo as equações diferenciais para todos os elementos armazenadores de energia isto é o indutor e o capacitor 3 Admitir um sentido de corrente em cada malha 4 Escrever a lei de Kirchhoff das tensões para cada malha 5 Resolver as equações simultâneas para a saída 6a Formar a função de transferência sugestão de utilizar a regra de Cramer 6b Desenvolver os circuitos de forma à obter as equações de estado no formato padrão Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Obtenção da descrição do circuito pelo método de Maxwell 𝑖2 𝑖1 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 0 𝑅1 𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅2 1 𝐶 𝑠 𝐼 1 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑅1 𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 𝐼1 𝑠 1 𝐶 𝑠 𝐼 2𝑠 0 1 𝐶 𝑠 𝐼1 𝑠 𝑅2 1 𝐶 𝑠𝐼 2 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑡𝑅1𝑖1 𝑡𝐿 𝑑𝑖1𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶 0 𝑡 𝑖1 𝜏 𝑑𝜏 0 1 𝐶 0 𝑡 𝑖1 𝜏 𝑑𝜏𝑅2𝑖2 𝑡 1 𝐶 0 𝑡 𝑖2 𝜏 𝑑𝜏 1 𝐶 0 𝑡 𝑖2 𝜏 𝑑𝜏 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Modelo em espaço de estados 𝑉 𝑖𝑛 𝑡𝑅1𝑖1 𝑡𝐿 𝑑𝑖1𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶 0 𝑡 𝑖1 𝜏 𝑑𝜏 1 𝐶 0 𝑡 𝑖2𝜏 𝑑 𝜏 0 1 𝐶 0 𝑡 𝑖1 𝜏 𝑑𝜏𝑅2𝑖2 𝑡 1 𝐶 0 𝑡 𝑖2 𝜏 𝑑𝜏 𝑞1 0 𝑡 𝑖1 𝜏 𝑑𝜏 𝑞2 0 𝑡 𝑖2 𝜏 𝑑𝜏 𝑞3 𝑞1𝑖1 𝑡 𝑉 𝑖𝑛 𝑡𝑅1𝑞3𝐿 𝑑𝑞3 𝑑𝑡 1 𝐶 𝑞1 1 𝐶 𝑞2 𝑞2𝑖2 𝑡 0 1 𝐶 𝑞1 𝑅2 𝑞2 1 𝐶 𝑞2 𝑉 𝑖𝑛 𝑡𝑅1𝑞3𝐿 𝑞3 1 𝐶 𝑞1 1 𝐶 𝑞2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Modelo em espaço de estados 𝑞1 𝑞2 𝑞3 0 0 1 1 𝐶 𝑅2 1 𝐶 𝑅2 0 1 𝐶 𝐿 1 𝐶 𝐿 𝑅1 𝐿 𝑞1 𝑞2 𝑞3 0 0 1 𝐿 𝑉 𝑖𝑛 𝑡 𝑖1𝑡 𝑖2𝑡 𝑉 𝑐 𝑡 0 0 1 1 𝐶 𝑅2 1 𝐶 𝑅2 0 1 𝐶 1 𝐶 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 0 0 0𝑉 𝑖𝑛 𝑡 𝑖2 𝑖1 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Modelo em função de transferência utilizando a regra de Cramer 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 0 𝑅1 𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅2 1 𝐶 𝑠 𝐼 1 𝑠 𝐼 2 𝑠 Δ 𝑅1𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 𝑅2 1 𝐶𝑠 𝑅1𝐿 𝑠 1 𝐶 𝑠𝑅2 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 2 𝑅1 𝐶𝑠𝐿𝐶 𝑠21 𝐶 𝑠 𝑅2𝐶 𝑠1 𝐶 𝑠 1 𝐶2 𝑠2 𝑅2 𝐿𝐶 𝑠2𝐿𝑅1 𝑅2𝐶 𝑠 𝑅1𝑅2 𝐶 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Modelo em função de transferência utilizando a regra de Cramer 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 0 𝑅1 𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅2 1 𝐶 𝑠 𝐼 1 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝐼 1 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 1 𝐶 𝑠 0 𝑅2 1 𝐶 𝑠 Δ 𝑅2 1 𝐶 𝑠 𝑅2 𝐿 𝐶 𝑠2 𝐿𝑅1 𝑅2 𝐶 𝑠 𝑅1𝑅2 𝐶 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝐼1 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑅2𝐶 𝑠1 𝑅2 𝐿𝐶 𝑠2𝐿𝑅1 𝑅2𝐶 𝑠 𝑅1𝑅2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Modelo em função de transferência utilizando a regra de Cramer 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 0 𝑅1 𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅2 1 𝐶 𝑠 𝐼 1 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝑅1 𝐿 𝑠 1 𝐶 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 1 𝐶𝑠 0 Δ 1 𝐶 𝑠 𝑅2 𝐿 𝐶 𝑠2 𝐿 𝑅1 𝑅2𝐶 𝑠𝑅1 𝑅2 𝐶 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 1 𝑅2 𝐿𝐶 𝑠2𝐿𝑅1 𝑅2𝐶 𝑠 𝑅1𝑅2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Modelo em função de transferência utilizando a regra de Cramer 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 0 𝑅1 𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶 𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅2 1 𝐶 𝑠 𝐼 1 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 1 𝑅2 𝐿𝐶 𝑠2𝐿𝑅1 𝑅2𝐶 𝑠 𝑅1𝑅2 𝑉 𝑐 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑅2 𝑅2 𝐿𝐶 𝑠2𝐿𝑅1 𝑅2𝐶 𝑠 𝑅1𝑅2 𝐼 2 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 𝑅2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Encontrar a tensão no capacitor onde e 𝑖2 𝑖1 𝑖3 𝑅 𝐼𝑖𝑛 𝑠 0 𝑅𝐿 𝑠 𝐿 𝑠 𝐿 𝑠 𝐿𝑠 1 𝐶 𝑠 𝐼 2 𝑠 𝐼 3 𝑠 𝑅 𝐼𝑖𝑛 𝑠 𝑅 𝐿𝑠 𝐼 2 𝑠 𝐿 𝑠 𝐼 3 𝑠 0 𝐿𝑠 𝐼 2𝑠𝐿 𝑠 1 𝐶 𝑠 𝐼3 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Devido é útil realizar a mudança de variável para a corrente no indutor substituindose nas equações 𝑅 𝐼𝑖𝑛 𝑠 𝑅 𝐿𝑠 𝐼 2 𝑠 𝐿 𝑠 𝐼 3 𝑠 0 𝐿𝑠 𝐼 2𝑠𝐿 𝑠 1 𝐶 𝑠 𝐼3 𝑠 𝑞1 1 𝑠 𝐼3 𝑠 𝑞2𝐼 𝐿 𝑠 𝑅 𝐼𝑖𝑛 𝑠 𝑅 𝐼 3 𝑠 𝑅 𝐼 𝐿 𝑠 𝐿𝑠 𝐼 𝐿 𝑠 0𝐿 𝑠 𝐼 𝐿 𝑠 1 𝐶 𝑠 𝐼 3 𝑠 𝑅 𝐼𝑖𝑛 𝑠 𝑅𝑠 𝑞1 𝑅𝑞2 𝐿𝑠𝑞2 0𝐿 𝑠𝑞2 1 𝐶 𝑞1 𝑠𝑞2 1 𝐿 𝐶 𝑞1 𝑅 𝐼𝑖𝑛 𝑠 𝑅𝑠 𝑞1 𝑅𝑞2 1 𝐶 𝑞1 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto 𝑠𝑞2 1 𝐿 𝐶 𝑞1 𝑅 𝐼𝑖𝑛 𝑠 𝑅𝑠 𝑞1 𝑅𝑞2 1 𝐶 𝑞1 𝑠𝑞1 𝑠 𝑞2 1 𝑅𝐶 1 1 𝐿𝐶 0 𝑞1 𝑞2 1 0 𝐼 𝑖𝑛 𝑠 𝑞1 𝑞2 1 𝑅𝐶 1 1 𝐿𝐶 0 𝑞1 𝑞2 1 0𝑖𝑖𝑛 𝑡 𝑣𝑐 𝑡 1 𝐶 0 𝑞1 𝑞2 0 𝑖𝑖𝑛 𝑡 𝑞1 𝑞2 8 1 2 0 0 𝑞1 𝑞21 04 𝑢 𝑡 𝑣𝑐 𝑡 8 0 0 𝑞1 𝑞2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Resposta pela transformada de Laplace 𝑞1 𝑞2 8 1 2 0 0 𝑞1 𝑞21 04 𝑢 𝑡 𝑣𝑐 𝑡 8 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑠 𝐼 𝐴 𝑠8 1 20 𝑠 Φ 𝑠 𝑠 𝐼 𝐴 1 𝑎𝑑𝑗 𝑠 𝐼 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝑠 𝐼 𝐴 𝑠 1 20 𝑠8 𝑠 𝑠8 20 𝑠 𝑠28𝑠20 1 𝑠28 𝑠20 20 𝑠28𝑠20 𝑠8 𝑠28 𝑠20 𝑑𝑒𝑡 𝑠 𝐼 𝐴𝑠 𝑠820𝑠28𝑠20𝑠 4 𝑗2 𝑠 4 𝑗 2 𝜆14 𝑗2 𝜆24 𝑗2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Resposta pela transformada de Laplace 𝑞1 𝑞2 8 1 2 0 0 𝑞1 𝑞21 0 4 𝑢 𝑡 𝑣𝑐 𝑡 8 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑉 𝑐 𝑠 5 𝑠160 𝑠28𝑠20 320 𝑠28 𝑠20 𝑞1 0 1 𝑠 𝐼 30 𝐶𝑉 𝑐 0 00625 𝑞20 𝐼 𝐿 02 𝑉 𝑐 𝑠 𝐶 Φ 𝑠 𝑞 0 𝐷𝐶 Φ 𝑠 𝐵 4 𝑠 𝑉 𝑐 𝑠 𝐶 Φ 𝑠 400 2 𝐶Φ 𝑠 𝐵 4 𝑠 Componente de entrada nula Componente de estado nulo Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Resposta pela transformada de Laplace 5 𝑠160 𝑠28𝑠20 5 𝑠4 𝑠4 222 70 2 𝑠4 222 𝑣𝑐 𝑡 ℒ 1 5𝑠160 𝑠28𝑠20ℒ 1 320 𝑠28𝑠20 𝑣𝑐 𝑡 5cos2𝑡70sin 2𝑡 𝑒 4𝑡 𝑢 𝑡 160sin 2𝑡 𝑒 4𝑡 𝑢 𝑡 320 𝑠28𝑠20 160 2 𝑠4 222 Componente de entrada nula Componente de estado nulo 𝑒𝑎𝑡 cos𝜔 𝑡 𝑢 𝑡 𝑠𝑎 𝑠𝑎2𝜔2 𝑒𝑎 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑢 𝑡 𝜔 𝑠𝑎2𝜔2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Resposta pela solução direta 𝑞1 𝑞2 8 1 2 0 0 𝑞1 𝑞21 04 𝑢 𝑡 𝑣𝑐 𝑡 8 0 0 𝑞1 𝑞2 𝛽0 𝛽1 1 𝜆1 1 𝜆2 1 𝑒 𝜆1𝑡 𝑒 𝜆 2𝑡 𝛽005 𝑗 𝑒 4 𝑗2 𝑡 05 𝑗 𝑒 4 𝑗 2 𝑡𝑒4𝑡 cos2𝑡 2sin 2𝑡 𝛽1025 𝑗𝑒 4 𝑗2 𝑡 025 𝑗 𝑒 4 𝑗 2 𝑡05𝑒 4𝑡 sin 2𝑡 𝑒 𝐴 𝑡𝛽0 𝐼 𝛽1 𝐴 𝛽0 𝛽1 1 4 𝑗2 1 4 𝑗 2 1 𝑒 4 𝑗2 𝑡 𝑒 4 𝑗 2 𝑡 05 𝑗 0 5 𝑗 025 𝑗 0 25 𝑗 𝑒 4 𝑗 2 𝑡 𝑒 4 𝑗2 𝑡 𝑣𝑐 𝑡𝐶𝑒 𝐴𝑡𝑞 0𝐶 0 𝑡 𝑒 𝐴 𝑡𝜏 𝐵4 𝑢𝜏 𝑑𝜏 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Resposta pela solução direta 𝑒 𝐴 𝑡𝛽0 𝐼 𝛽1 𝐴 𝛽0 0 0 𝛽0 8 𝛽1 𝛽1 20 𝛽1 0 𝛽0 8 𝛽1 𝛽1 20 𝛽1 𝛽0 𝑒 4𝑡 cos 2𝑡 2sin 2𝑡 05𝑒 4𝑡 sin 2𝑡 10𝑒4𝑡 sin 2𝑡 𝑒4 𝑡 cos2𝑡2sin 2𝑡 𝑣𝑐 𝑡𝐶𝑒 𝐴𝑡𝑞 0𝐶 0 𝑡 𝑒 𝐴 𝑡𝜏 𝐵4 𝑢𝑡 𝑑𝜏 𝐶 𝑒 𝐴𝑡 𝑞 0 8 0 0 𝑒𝐴 𝑡 400 2 5cos 2𝑡70sin 2𝑡 𝑒4 𝑡 𝑢 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Resposta pela solução direta 𝐶 0 𝑡 𝑒 𝐴𝑡𝜏 𝐵4𝑢𝜏 𝑑𝜏80 0 0 𝑡 4 𝑒 4𝜏 cos 2𝜏 2sin2𝜏 𝑢𝜏 𝑑𝜏 0 𝑡 40𝑒 4 𝜏sin2𝜏𝑢𝜏 𝑑𝜏 320 0 𝑡 𝑒 4 𝜏 cos 2𝜏 2sin2𝜏 𝑢𝜏 𝑑𝜏32005𝑒 4𝜏 sin2𝑡𝑢𝑡 𝐶 0 𝑡 𝑒 𝐴𝑡𝜏 𝐵4𝑢𝜏 𝑑𝜏160sin 2𝑡𝑒 4 𝑡𝑢𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Circuitos elétricos 2 Prof Ernesto Resposta pela solução direta 𝑞1 𝑞2 8 1 2 0 0 𝑞1 𝑞21 04 𝑢 𝑡 𝑣𝑐 𝑡 8 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑣𝑐 𝑡 5cos2𝑡70sin 2𝑡 𝑒 4𝑡 𝑢 𝑡 160sin 2𝑡 𝑒 4𝑡 𝑢 𝑡 Componente de entrada nula Componente de estado nulo Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Amplificadores operacionais Entre os dispositivos ativos frequentemente utilizados para construção de compensadores e instrumentos eletrônicos analógicos estão os Amplificadores Operacionais AmpOp Filtros ativos e controladores PID Proporcional Integrativo e Derivativo e avançoatraso podem ser construídos por meio de AmpOp Características Entrada diferencial Elevada impedância de entrada Baixa impedância de saída Elevado ganho de amplificação A saída Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Amplificadores operacionais Amplificador inversor Considere 𝑍𝑅 1 𝐶𝑠 𝑣𝑜 𝑡 𝑣𝑖𝑛 𝑡 𝑍 2 𝑍 1 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Amplificadores operacionais Amplificador inversor 𝑍 2𝑅2 1 𝐶2𝑠 𝑅2𝐶2𝑠1 𝐶2𝑠 𝑉 𝑜 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑍2 𝑍1 𝑅2𝐶2𝑠1 𝑅1𝐶2𝑠 𝑍1𝑅1 𝑅2 𝑅1 1 𝑅1𝐶2𝑠 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Amplificadores operacionais Amplificador inversor 𝑍1𝑅1 1 𝐶1𝑠 𝑅1𝐶1 𝑠1 𝐶1 𝑠 𝑉 𝑜 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑍2 𝑍1 𝑅2𝐶1𝑠 𝑅1𝐶1 𝑠1 𝑍 2𝑅2 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Amplificadores operacionais Amplificador nãoinversor 𝑣𝑜 𝑡 𝑣𝑖𝑛 𝑡 1 𝑍2 𝑍1 𝑍 1 𝑍2 𝑍1 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Princípios de eletrônica Prof Henrique Questão 15 Boylestad e Nashelsky em Dispositivos eletrônicos e teórica de circuitos 6ª edição Calcule a frequência de corte do filtro passabaixas de primeira ordem no circuito da figura 1558 Ganho do amplificador não inversor 𝑉 2 𝑠 1 𝐶1 𝑠 𝑅1 1 𝐶1 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 1 𝑅1 𝐶1 𝑠1 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑉 𝑜 𝑠 𝑉 2 𝑠 1 𝑍 2 𝑍 1 𝑅2𝑅3 𝑅2 𝑉 𝑜 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑅2 𝑅3 𝑅2 1 𝑅1𝐶1 𝑠1 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Princípios de eletrônica Prof Henrique Questão 15 Boylestad e Nashelsky em Dispositivos eletrônicos e teórica de circuitos 6ª edição Calcule a frequência de corte do filtro passabaixas de primeira ordem no circuito da figura 1558 𝑉 𝑜 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑅2 𝑅3 𝑅2 1 𝑅1𝐶1 𝑠1 𝑓 𝜔 2 𝜋 1 2𝜋 𝑅1𝐶1 145𝑘𝐻𝑧 𝑉 𝑜 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 𝑅2 𝑅3 𝑅2 1 𝑅1𝐶1 𝑠 1 𝑅1𝐶1 2 909091 𝑠909091 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Princípios de eletrônica Prof Henrique Questão 15 Boylestad e Nashelsky em Dispositivos eletrônicos e teórica de circuitos 6ª edição Calcule a frequência de corte do filtro passabaixas de primeira ordem no circuito da figura 1558 𝑣𝑜 𝑡 1818181𝑒9090 91𝑡 𝑣𝑖𝑛 𝑡 𝑉 𝑜 𝑠 𝑉 𝑖𝑛 𝑠 1818181 1 𝑠909091 𝜆909091 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Princípios de eletrônica Prof Henrique Questão 15 Boylestad e Nashelsky em Dispositivos eletrônicos e teórica de circuitos 6ª edição Calcule a frequência de corte do filtro passabaixas de primeira ordem no circuito da figura 1558 Ganho do amplificador nãoinversor 𝑣𝑜 𝑡 𝑣2 𝑡 1 𝑍2 𝑍1 𝑅2𝑅3 𝑅2 𝑣2 𝑡 1 𝐶1 0 𝑡 𝑖𝑐 𝜏 𝑑𝜏 𝑖𝑐 𝑡𝐶1 𝑑 𝑣2𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑖𝑛 𝑡𝑅𝑖𝑐 𝑡 1 𝐶1 0 𝑡 𝑖𝑐 𝜏 𝑑 𝜏 𝑣𝑖𝑛 𝑡 𝑅𝐶1 𝑑 𝑣2𝑡 𝑑𝑡 𝑣2 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Princípios de eletrônica Prof Henrique Questão 15 Boylestad e Nashelsky em Dispositivos eletrônicos e teórica de circuitos 6ª edição Calcule a frequência de corte do filtro passabaixas de primeira ordem no circuito da figura 1558 𝑣𝑜 𝑡 𝑅2 𝑅3 𝑅2 𝑞 𝑡 𝑣2 𝑡 1 𝑅𝐶1 𝑣2 𝑡 1 𝑅𝐶1 𝑣𝑖𝑛 𝑡 𝑞 𝑡 1 𝑅𝐶1 𝑞 𝑡 1 𝑅𝐶1 𝑣𝑖𝑛 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Modelagem de sistemas elétricos Exemplo integrador Princípios de eletrônica Prof Henrique Questão 15 Boylestad e Nashelsky em Dispositivos eletrônicos e teórica de circuitos 6ª edição Calcule a frequência de corte do filtro passabaixas de primeira ordem no circuito da figura 1558 𝑣𝑜 𝑡 2𝑞 𝑡 𝑞 𝑡 909091𝑞 𝑡 909091𝑣𝑖𝑛 𝑡 𝑣𝑜 𝑡2 0 𝑡 𝑒 9090 91𝑡𝜏 9090 91𝑣𝑖𝑛𝜏 𝑑𝜏 𝑣𝑜 𝑡 1818181𝑒 9090 91𝑡 𝑣𝑖𝑛 𝑡 REFERÊNCIAS LATHI B P e GREEN R Sinais e sistemas lineares 3ª edição Oxford University Press 2018 DORF R C e BISHOP R H Sistemas de controle modernos 13ª edição LTC 2017 OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª edição Pearson 2014 NISE N S Engenharia de sistemas de controle 7ª edição Wiley 2018 DE SOUZA A C Z e PINHEIRO C A M Introdução à modelagem análise e simulação de sistemas dinâmicos 1ª edição Interciência 2008 CASTRUCCI P B de L BITTAR A e SALES R M Controle Automático 2ª edição LTC 2018