Função de Transferência e Diagrama de Bode de um Sistema Industrial de Aquecimento de Fluídos com Resistência Elétrica - Malha Aberta e Fechada

1 Considere o sistema mostrado na Figura 1 Neste sistema uma resistência elétrica de potência submetida a uma tensão fornece o fluxo de calor qi para o interior do aquecedor Considerase que a energia do fluído de entrada seja agregada à energia do elemento de aquecimento O fluído entra com uma temperatura Ti e é aquecido a uma temperatura Tt Considere que o calor é distribuído uniformemente no interior do recipiente e que a temperatura ambiente externa é Ta t Figura 1 Sistema industrial de aquecimento de fluídos com resistência elétrica A seguinte função de Laplace em malha aberta foi obtida para este sistema Ts 0125025s1Qis 1025s1Tas 1 Considerando as informações disponíveis nesta questão responda aos seguintes itens a Considerando que a temperatura ambiente externa Ta t é muito menor que a temperatura do sistema industrial de aquecimento Tt podese desprezarse o seu efeito para obtenção da relação entradasaída do sistema Encontre a função de transferência deste sistema G1s TsQis b Faça um esboço de um diagrama de Bode referente a resposta em frequência para este sistema em malha aberta c Faça um esboço do comportamento da planta em malha aberta e em malha fechada para entrada degrau ressaltando as respectivas diferenças entre as dinâmicas transitória e de regime permanente d Faça um esboço do lugar das raízes indicando o comportamento deste sistema em malhafechada quando exposto a um ganho direto k variável positivo crescente e não nulo Considere o sistema mostrado na Figura 2 Neste sistema um braço robótico em movimento pendular no plano vertical movimenta uma carga A equação diferencial que descreve este comportamento apresenta um termo nãolinear e pode ser conferida na Equação 2 Onde θt é a posição angular do movimento pendular Tt é o torque de entrada L é o comprimento do braço robótico M é a massa da carga e do braço robótico concentrados B é amortecimento viscoso do pêndulo e g é a aceleração da gravidade Figura 2 Braço robótico em movimento pendular no plano vertical movimentando carga ML2 d2θtdt2 B dθtdt MgLsenθt Tt 2 Atividades Sistemas de Controle Função de Transferência 1 a G1s TsQis 0125025s1 1025s1TasQis G1s 0125025s1 1025s1TasQis Podemos assumir Tas 0 G1s 0125025s1 Tat Tt b Diagrama de Bode Gs K1τs Gjω Ksqrt1ωτ2 Φω arctanωτ malha aberta G1s K 0125 e τ 025 ① magnitude G1jω 0125sqrt1025ω2 A magnitude diminui à medida que a frequência aumenta ② fase Φω arctan 025ω A fase é negativa e aumenta linearmente com a frequência Considerando as informações disponíveis nesta questão responda aos seguintes itens a Determine um modelo de variáveis de estados para o sistema b Encontre a função de transferência em malha aberta deste sistema c Disserte sobre o tempo de estabilização Ts2 e sua relação com a massa M da carga deste sistema 3 O circuito mostrado na Figura 3 é recorrente na análise de sistemas elétricos pois apresenta as 3 características elétricas básicas resistência R em série indutância L em série e capacitância C em paralelo com a tensão de saída As equações diferenciais ordinárias que definem o comportamento deste sistema para uma entrada ve t e saída vf t podem ser conferidas a seguir Figura 3 Circuito RLC em série Considerando as informações disponíveis nesta questão responda aos seguintes itens a Encontre a função de transferência que descreve este sistema G3s VfsVes b Considerando os parâmetros elétricos deste circuito descritos por L 05H C 04F e R 1Ω obtenha a expressão dinâmica da tensão no capacitor vf t c Obtenha o valor final da tensão no capacitor vf t quanto t vet Rit Lditdt vft it Cdvftdt 3 c Comportamento em malha aberta Dinâmica Transitoria Polos da função de transferência s 1025 4 Componente exponencial decrescente e4t A constante do tempo τ está relacionada ao inverso do módulo do polo Dinâmica de regime permanente função de transferência tem integrador 1s a resposta de regime permanente para uma entrada degrau será nãonula Resposta constante e proporcional à amplitude do degrau Comportamento em malha fechada Tfs G1s 1 G1s Dinâmica transitória Polos de 1 G1s Polo radicial em s 0 contribui com a componente integradora na resposta transitória tornandoa mais lenta que em malha aberta Regime permanente depende do ganho k na realimentação Para entrada degrau se houver integrada no sistema o sistema terá erro em regime permanente Digitalizado com CamScanner d Transferência em malha fechada Tfs G1s 1 G1sk onde G1s 0125 025s 1 Equação é dada por 1 G1sk 0 Lugar das raízes para k 1 ganho nulo k 0 As raízes são os polos de G1s que são s 4 e s 0 2 ganho positivo crescente k 0 As raízes se movem conforme k aumenta polo em s 0 se move para esquerda no plano complexo polo em s 4 também se move mas de forma sutil 3 k infinito À medida que k aumenta o polo em s 0 se aproxima de s 4 As raízes se aproximam do eixo real negativo 2 Equação diferencial ML d²θtdt² B dθtdt B dθtdt Mg senθt Tt mθ bθ mg senθ zt onde m M b B g aceleração da gravidade l comprimento do braço robótico θ posição angular Equação de iteração método de euler Tt Tt é o torque de entrada θ t Δt θt Δt θt θ t Δt θt Δt θt o torque de entrada Tt atua como força externa que atua no pêndulo que pode ser usada no controle de movimento do pêndulo amortecimento viscoso B atua como força dissipativa que reduz a amplitude do movimento do pêndulo Digitalizado com CamScanner termo nãolinear Mg l sinθ é o responsável pela oscilação do pêndulo Força restauradora que atua no pêndulo Se o torque 0 o pêndulo terá amplitude constante se o torque for 0 o pêndulo terá amplitude variável com o tempo O período de oscilação do pêndulo depende do valor do comprimento do braço robótico e da massa da carga e do braço robótico A frequência de oscilação é o inverso do período de oscilação Se quisermos aumentar a amplitude do movimento do pêndulo devese diminuir o valor do torque de entrada Digitalizado com CamScanner