Desenvolver o Controlador por Realimentação no Espaço de Estado com Integrador

Desenvolver o controlador por realimentação no espaço de estado com integrador deverá ser desenvolvido também o observador via transformação 10x mais rápido e verificar controlabilidade e observabilidade via suas respectivas matrizes GS s1s05s2s4 Ts1 UP15 e Erp001 OBS com os cálculos e breve explicação em cada passo Modelagem Seja um processo em malha aberta cuja dinâmica é descrita por GsYsUss1s05s2s4s3s365s211s4 sendo Ys a saída do processo e Us o sinal de controle ou o sinal de entrada da planta O processo será submetido a uma malha de controle com realimentação de estados com integrador e observador de modo que ele atenda aos requisitos de projeto 1 tempo de acomodação Ts1s 2 máximo overshoot percentual UP15015 3 erro de regime permanente máximo ERP01 O terceiro critério é atendido com a adição do integrador que fará com que a saída siga a referência Os demais critérios são atendidos com o projeto dos ganhos de realimentação de modo a alocar os polos de malha fechada na localização de garanta tal performance Os polos da malha fechada devem ser alocados de modo a atender aos primeiros dois critérios O coeficiente de amortecimento que garantirá o sobressinal máximo de 15 segue ζlnUP100π² lnUP10005169 e a frequência natural não amortecida deve ser ωn4ζTs77380 rads A realimentação de estados é desenvolvida usando as matrizes A e B da equação de estados enquanto que o projeto do observador utiliza as matrizes A e C Diante disto fazse necessário transformar o modelo da planta de função de transferência para espaço de estados Para isto determinase os coeficientes do numerador e do denominador de 1 a165 a211 a34 b00 b10 b21 b31 As matrizes do sistema na forma canônica controlável são A0 1 0 0 0 1 a3 a2 a10 1 0 0 0 1 4 11 65 B0 01 Cb3 a3 b0 b2 a2 b0 b1 a1 b01 1 0 Db00 A dinâmica do sistema é descrita por ẋ1 ẋ2 ẋ3AxBu0 1 0 0 0 1 4 11 65x1 x2 x30 0 1u yCx1 1 0x1 x2 x3 Como o processo é representado na forma canônica controlável ele tem estados completamente controláveis No entanto os estados x1 x2 e x3 não tem significado físico e portanto não é possível medilos com um sensor na planta Em outras palavras fazse necessário o projeto de um observador para que a realimentação de estados seja possível Figura 1 Realimentação de estados com integrador Fonte Nise 2015 p 684 isso resultará no aumentando de um estado chamado xN no diagrama de blocos acima Analisando o fluxo de sinais obtémse ẋAxBu xN e dt yCx eryrCx Reescrevendo 9 eẋN O sistema de espaço de estados aumentado é ẋ ẋNA 0 C 0x xNB 0u AaxaBau yC 0x xN enquanto a variável manipulada é descrita por uKexNKxK Ke 22 Controlabilidade A controlabilidade do sistema aumentado será avaliado com o uso da matriz de controlabilidade CM Ba Aa Ba Aa2 Ba Aa3 Ba 0 0 1 65 0 1 65 3125 1 65 3125 135625 0 0 1 55 16 o determinante desta matriz é det CM 1 0 17 que não é nulo isto é o sistema aumentado tem estados completamente controláveis Deste modo é possível alocar os polos do sistema aumentado em qualquer lugar e qualquer performance pode ser obtida então é certo que os requisitos estipulados podem ser atendidos 23 Projeto dos ganhos Os polos dominantes devem ser alocados em p1 ζωn ωn1ζ2 4 j66239 18 p2 ζωn ωn1ζ2 4 j66239 19 ainda restam alocar dois polos um destes será posicionado sobre o zero da planta em s 05 e o outro uma década abaixo da parte real dos polos dominantes ou seja p3 1 20 p4 40 21 A equação característica é Ds s p1s p2s p3s p4 23950525 27749288s 4278763s2 49s3 s4 22 substituindo s por Aa DAa 2225 2303 1406 0 5625 6782 13893 0 5557 15845 8354 0 2601 2720 1831 2395 23 Nestes termos o vetor de ganhos aumentado K Ke é projetado usando a fórmula de Ackermann com as matrizes aumentadas Assim Ka 0 0 0 1 CM1 DAa 37587631 41687631 425 23950525 24 ou seja K 37587631 41687631 425 e Ke 23950523 25 3 Observador A próxima etada é realizar o projeto do observador para somente os estados da planta Não será estimado o valor de xN pois ele pode ser calculado diretamente com xN e dt r y dt e ambos sinais r e y são conhecidos precisamente O diagrama de blocos do sistema com observador é apresenta0 na FIG 2 Figura 2 Sistema com observador de estados completo Fonte Nise 2015 p 667 31 Observabilidade A observabilidade do sistema também será avaliado com a sua matriz de observabilidade CO C CA CA2 1 1 0 0 1 1 4 11 55 26 o determinante desta matriz é det CO 15 0 27 que não é nulo isto é o sistema tem estados completamente observáveis Deste modo a estimativa dos estados realizada pelo observador irá convergir para os estados reais da planta independentemente das circunstâncias iniciais 32 Projeto dos ganhos do observador Os polos do observador devem ser alocados de modo a garantir uma dinâmica dez vezes mais rápida do que o polo mais lento da malha fechada Desta forma p1 p2 p3 400 28 A equação característica é Ds s p13 64000000 480000s 1200s2 s3 29 substituindo s por A DA 64000000 480001 1200 4800 63986800 472201 1888804 5199011 60917494 30 Nestes termos o vetor de ganhos do observador L é projetado usando a fórmula de Ackermann e o Princípio da Dualidade então L DAC1 O 0 0 1 42347466 42346266 42818467 31 6 4 Sistema em malha fechada A união dos dois projetos anteriores resulta no diagrama de blocos da FIG 3 na qual a realimentação de estados é feita com os estados estimados pelo observador Figura 3 Realimentação de estados com integrador e observador Fonte Nise 2015 p 688 Adaptação de adição do integrador A equação de estados do observador é ẋ A x Bu Lye Ax Bu Ly ŷ A LCx Ly Bu 32 no entanto o sinal de controle u é descrito por u Ke xN K x 33 então ẋ A LCx Ly BKexN K x A LC BK x Ly BKexN 34 Escrevendo na forma matricial ẋ A LC BK x L By KexN 35 enquanto a saída são os estados estimados ou seja yo ˆx1 ˆx2 ˆx3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ˆx1 ˆx2 ˆx3 36 5 Simulação da malha fechada Implementando o observador como um sistema em espaço de estados descrito pelas equações 35 e 36 o diagrama de blocos no XCOS do Siclab é como mostrado na FIG 4a e o resultado da simulação pode ser visto na FIG 4b a Diagrama de blocos da malha fechada no XCOS b Resposta da malha fechada Figura 4 Simulação da malha fechada 8 Como pode ser observado pelos pontos marcados a saída do sistema apresenta um overshoot e um tempo de acomodação e do erro de regime per manente de UP 146 Ts 104 s e ERP 0 37 Os valores são muito próximos dos requisitos de projeto validando o projeto do controlador e do observador 9