Calculando Área Entre Curvas - Integrais e Aplicações

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 1 SEÇÃO 4 A INTEGRAL PARTE 5 Ao final desta seção você será capaz de Aplicar a teoria de integrais para calcular área entre curvas Aplicar a teoria de integrais para calcular o valor médio de uma função ÁREA ENTRE CURVAS Vamos considerar agora a seguinte extensão do problema da área PRIMEIRO PROBLEMA DE ÁREA Suponha que 𝑓 e 𝑔 sejam funções contínuas em um intervalo 𝑎 𝑏 e 𝑓𝑥 𝑔𝑥 se 𝑎 𝑥 𝑏 Isso significa que a curva 𝑦 𝑓𝑥 está acima da curva 𝑦 𝑔𝑥 e que as duas podem se tocar mas não se cruzam Encontre a área 𝐴 da região delimitada acima por 𝑦 𝑓𝑥 abaixo por 𝑦 𝑔𝑥 e nas laterais pelas retas 𝑥 𝑎 e 𝑥 𝑏 figura abaixo parte a Para resolver esse problema dividimos o intervalo 𝑎 𝑏 em 𝑛 subintervalos o que tem efeito de subdividir a região em 𝑛 faixas figura acima parte b Supondo que a largura da 𝑘ésima faixa seja Δ𝑥𝑘 então a área da faixa pode ser aproximada pela do retângulo com a mesma largura e altura 𝑓𝑥𝑘 𝑔𝑥𝑘 onde 𝑥𝑘 é um ponto qualquer do 𝑘ésimo subintervalo Somando essas aproximações a soma de Riemann a seguir aproxima a área 𝐴 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 2 𝐴 𝑓𝑥𝑘 𝑔𝑥𝑘 𝑛 𝑘1 Δ𝑥𝑘 Tomando o limite quando 𝑛 crescer e a largura dos subintervalos tender a zero obteremos a seguinte integral definida para a área entre as curvas 𝐴 lim max Δ𝑥𝑘 𝑓𝑥𝑘 𝑔𝑥𝑘 𝑛 𝑘1 Δ𝑥𝑘 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Em resumo temos o seguinte resultado FÓRMULA PARA ÁREA Se 𝑓 e 𝑔 forem funções contínuas no intervalo 𝑎 𝑏 e se 𝑓𝑥 𝑔𝑥 em cada 𝑥 de 𝑎 𝑏 então a área da região limitada acima por 𝑦 𝑓𝑥 abaixo por 𝑦 𝑔𝑥 à esquerda pela reta 𝑥 𝑎 e à direita pela reta 𝑥 𝑏 é 𝐴 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 EXEMPLO 1 Encontre a área da região limitada acima por 𝑦 𝑥 6 abaixo por 𝑦 𝑥2 e nas laterais por 𝑥 0 e 𝑥 2 SOLUÇÃO A região e a seção transversal estão na figura ao lado A seção transversal se estende de 𝑔𝑥 𝑥2 na base até 𝑓𝑥 𝑥 6 no topo Movendose a seção transversal através da região a posição mais à esquerda será 𝑥 0 e a mais à direita 𝑥 2 Assim do resultado acima temos que 𝐴 𝑥 6 𝑥2 2 0 𝑑𝑥 𝑥2 2 6𝑥 𝑥3 3 0 2 34 3 0 34 3 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 3 EXEMPLO 2 Encontre a área da região englobada pelas curvas 𝑦 𝑥 6 e 𝑦 𝑥2 SOLUÇÃO O esboço da região figura ao lado mostra que o contorno inferior é 𝑦 𝑥2 e o superior 𝑦 𝑥 6 Nos extremos da região os contornos têm as mesmas coordenadas 𝑦 assim para encontrar os extremos equacionamos 𝑦 𝑥2 e 𝑦 𝑥 6 1 Isso fornece 𝑥2 𝑥 6 𝑥2 𝑥 6 0 𝑥 2𝑥 3 0 𝑥 2 ou 𝑥 3 Embora as coordenadas 𝑦 dos extremos não sejam essenciais à nossa solução elas podem ser obtidas a partir de 1 substituindo 𝑥 2 e 𝑥 3 em qualquer uma das equações Disso resulta 𝑦 4 e 𝑦 9 logo as interseções superior e inferior dos contornos são 2 4 e 3 9 A partir da fórmula para área com 𝑓𝑥 𝑥 6 e 𝑔𝑥 𝑥2 𝑎 2 e 𝑏 3 temos 𝐴 𝑥 6 𝑥2 3 2 𝑑𝑥 𝑥2 2 6𝑥 𝑥3 3 3 3 27 2 22 3 125 6 OBSERVAÇÃO Caso 𝑓 e 𝑔 sejam não negativas no intervalo 𝑎 𝑏 a fórmula 𝐴 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑔𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 estabelece que a área 𝐴 entre as curvas pode ser obtida subtraindo a área abaixo de 𝑦 𝑔𝑥 da área abaixo de 𝑦 𝑓𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 4 TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS É fácil calcular o valor médio de uma quantidade finita de números 𝑦1𝑦2 𝑦𝑛 𝑦med 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 𝑛 Mas como calcular a temperatura média durante o dia se infinitas leituras de temperatura forem possíveis A figura ao lado mostra o gráfico de uma função de temperatura 𝑇𝑡 onde 𝑡 é medido em horas e 𝑇 em C e é feita uma estimativa da temperatura média 𝑇med Em geral vamos tentar calcular o valor médio da função 𝑦 𝑓𝑥 𝑥 𝑎 𝑏 Começamos por dividir o intervalo 𝑎 𝑏 em 𝑛 subintervalos iguais cada qual com comprimento Δ𝑥 𝑏 𝑎𝑛 Em seguida escolhemos pontos 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 em subintervalos sucessivos e calculamos a média dos números 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥𝑛 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥𝑛 𝑛 Por exemplo se 𝑓 representa a função temperatura e 𝑛 24 isso significa que temos a leitura de temperatura a cada hora e então calculamos sua média A partir de Δ𝑥 𝑏 𝑎𝑛 podemos escrever 𝑛 𝑏 𝑎Δ𝑥 e a média dos valores se torna 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥𝑛 𝑏 𝑎 Δ𝑥 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2 𝑓𝑥𝑛Δ𝑥 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥1 Δ𝑥 𝑓𝑥2 Δ𝑥 𝑓𝑥𝑛Δ𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 5 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 Δ𝑥 Se 𝑛 aumentar podemos calcular o valor médio de um grande número de valores igualmente espaçados Por exemplo poderíamos calcular a média de medições de temperatura tomadas a cada minuto ou até a cada segundo O valor do limite é lim 𝑛 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 Δ𝑥 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 pela definição de integral definida Portanto definimos o valor médio de 𝑓 no intervalo 𝑎 𝑏 como 𝑓med 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 EXEMPLO 3 Encontre o valor médio da função 𝑓𝑥 1 𝑥2 no intervalo 1 2 SOLUÇÃO Com 𝑎 1 e 𝑏 2 temos 𝑓med 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 1 2 1 1 𝑥2 2 1 𝑑𝑥 1 3 𝑥 𝑥3 3 1 2 2 Se 𝑇𝑡 for a temperatura no instante 𝑡 poderíamos imaginar a existência de um instante específico no qual a temperatura seja a mesma da temperatura média Para a função temperatura traçada no início deste parágrafo vemos que existem dois instantes imediatamente antes do meiodia e imediatamente antes da meianoite Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 6 Em geral existe um número 𝑐 no qual o valor da função 𝑓 é exatamente igual ao valor médio da função isto é 𝑓𝑐 𝑓med O seguinte teorema diz que isto é verdade para funções contínuas TEOREMA 1 Teorema do Valor Médio para Integrais Se 𝑓 for contínua em 𝑎 𝑏 então existe um número 𝑐 em 𝑎 𝑏 tal que 𝑓𝑐 𝑓med 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ou seja 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑓𝑐𝑏 𝑎 A interpretação geométrica do teorema do valor médio para integrais é que para funções positivas 𝑓 existe um número 𝑐 tal que o retângulo com base 𝑎 𝑏 e altura 𝑓𝑐 tem a mesma área que a região sob o gráfico de 𝑓 de 𝑎 até 𝑏 Veja a figura ao lado EXEMPLO 4 Se 𝑓𝑥 1 𝑥2 é contínua no intervalo 1 2 o teorema do valor médio para integrais indica que existe um número 𝑐 em 1 2 tal que 1 𝑥2 2 1 𝑑𝑥 𝑓𝑥2 1 Neste caso em particular podemos encontrar 𝑐 explicitamente Do EXEMPLO 3 sabemos que 𝑓med 2 então o valor de 𝑐 satisfaz 𝑓𝑐 𝑓med 2 Portanto 1 𝑐2 2 e assim 𝑐2 1 Dessa forma nesse caso existem dois números 𝑐 1 no intervalo 1 2 que cumprem o teorema do valor médio para integrais Os exemplos 3 e 4 estão ilustrados na figura acima