Lista de Exercicios de Fixacao Calculo Diferencial e Integral I

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 1 V LISTA DE EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Você está recebendo uma lista com diversos exercícios acerca dos assuntos abordados ao longo desta semana A notação 𝑝 𝑞 significa a 𝑞ésima parte da seção 𝑝 das apostilas teóricas Sendo assim vocês poderão a qualquer momento durante a resolução das questões propostas consultar o material disponível no Moodle nas apostilas ou consultar o monitor Esperamos que aproveitem bem esses exercícios e bons estudos EXERCÍCIOS 41 1 Responda as questões a seguir justificando suas respostas a Defina o termo antiderivada R É uma função 𝑭 tal que 𝑭𝒙 𝒇𝒙 b É correto se referir a uma antiderivada de 𝑓𝑥 ou a antiderivada de 𝑓𝑥 R Uma antiderivada 2 Em cada item confirme que a fórmula está correta e enuncie a fórmula de integração correspondente a 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑥2 𝑥 1𝑥2 c 𝑑 𝑑𝑥 1 5 tg5𝑥 1 sec25𝑥 1 b 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑥 1𝑒𝑥 d 𝑑 𝑑𝑥 ℓn𝑥 1 1 𝑥1 𝑥 1 3 Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente a 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 5 c 𝑑 𝑑𝑥 sen2𝑥 b 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑥23 d 𝑑 𝑑𝑥 sen 𝑥 𝑥 cos 𝑥 4 A densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por 𝜌𝑥 1𝑥 em gramas por centímetro onde 𝑥 é medido em centímetros a partir da extremidade do cabo Encontre a massa do cabo R 𝒎 𝟐𝟎 𝐠 5 Uma vez que pingos de chuva crescem à medida que caem sua área superficial cresce e portanto a resistência à sua queda aumenta Um pingo de chuva tem uma velocidade inicial de queda de 10 ms e sua aceleração para baixo é 𝑎 9 09𝑡 0 𝑡 10 0 𝑡 10 Se o pingo de chuva estiver inicialmente a 500 m acima do solo quanto tempo ele levará para cair R 𝟏𝟑𝟎 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟖 𝐬 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 2 6 Uma partícula deslocase sobre o eixo 𝑥 com velocidade 𝑣𝑡 2𝑡 3 𝑡 0 Sabese que no instante 𝑡 0 a partícula encontrase na posição 𝑥 5 Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem R 𝒕 𝟑𝟐 7 Uma partícula deslocase sobre o eixo 𝑥 com função posição 𝑥 𝑥𝑡 𝑡 0 Determine 𝑥 𝑥𝑡 sabendo que a 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑡 3 e 𝑥0 2 c 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑒𝑡 𝑣0 0 e 𝑥0 1 b 𝑣𝑡 𝑡2 1 e 𝑥0 1 d 𝑎𝑡 cos 2𝑡 𝑣0 1 e 𝑥0 0 R a 𝒙 𝒕𝟐 𝟑𝒕 𝟐 b 𝒙 𝒕𝟑 𝟑 𝒕 𝟏 c 𝒙 𝒆𝒕 𝒕 d 𝒙 𝟏 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒕 𝒕 𝟏 𝟒 8 De acordo com a primeira Lei de Kirchhoff para circuitos elétricos 𝑉 𝑅𝐼 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 onde as constantes 𝑉 𝑅 e 𝐿 denotam a força eletromotriz a resistência e a indutância respectivamente 𝐼 denota a corrente no instante 𝑡 Se a força eletromotriz for interrompida no instante 𝑡 0 e se nesse instante a corrente é 𝐼0 mostre que 𝐼 𝐼0𝑒𝑅 𝐿𝑡 9 A função 𝑦 𝑓𝑥 𝑥 ℝ é tal que 𝑓0 1 e 𝑓𝑥 2𝑓𝑥 para todo 𝑥 Esboce o gráfico de 𝑓 10 Seja 𝑦 𝑓𝑥 𝑥 ℝ derivável até segunda ordem e tal que para todo 𝑥 𝑓𝑥 𝑓𝑥 0 Seja 𝑔 dada por 𝑔𝑥 𝑓𝑥 sen 𝑥 𝑓𝑥 cos 𝑥 Prove que 𝑔 é constante EXERCÍCIOS 42 E 43 11 Se 𝐹𝑥 𝑓𝑡 𝑥 2 𝑑𝑡 onde 𝑓 é a função cujo gráfico é dado qual dos seguintes valores é o maior a 𝐹0 b 𝐹1 c 𝑭𝟐 d 𝐹3 e 𝐹4 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 3 12 Cada uma das regiões 𝐴 𝐵 e 𝐶 delimitadas pelo gráfico de 𝑓 e pelo eixo 𝑥 tam área 3 Encontre o valor de 𝑓𝑥 2𝑥 5 2 4 𝑑𝑥 R 𝟏𝟓 13 A figura a seguir representa o gráfico de uma função contínua 𝑓 0 8 ℝ Sabese que i 𝑓𝑥 4 0 𝑑𝑥 3 iii 𝑓𝑥 7 6 𝑑𝑥 5 ii 𝑓𝑥 6 4 𝑑𝑥 4 iv 𝑓𝑥 8 7 𝑑𝑥 2 Então 𝑓𝑥 𝑓𝑥 8 0 𝑑𝑥 é igual a a 0 b 𝟏𝟐 c 16 d 18 e 20 14 Suponha que 𝑓 e 𝑔 sejam integráveis e que 𝑓𝑥 2 1 𝑑𝑥 4 𝑓𝑥 5 1 𝑑𝑥 6 𝑔𝑥 5 1 𝑑𝑥 8 Use as propriedades das integrais para determinar a 𝑔𝑥 2 2 𝑑𝑥 R 𝟎 d 𝑓𝑥 5 2 𝑑𝑥 R 𝟏𝟎 b 𝑔𝑥 1 5 𝑑𝑥 R 𝟖 e 𝑓𝑥 𝑔𝑥 5 1 𝑑𝑥 R 𝟐 c 3𝑓𝑥 2 1 𝑑𝑥 R 𝟏𝟐 f 4𝑓𝑥 𝑔𝑥 5 1 𝑑𝑥 R 𝟏𝟔 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 4 15 Obtenha 𝑓𝑥 2𝑔𝑥 2 1 𝑑𝑥 se 𝑓𝑥 2 1 𝑑𝑥 5 e 𝑔𝑥 2 1 𝑑𝑥 3 R 𝟏 16 Decida em cada parte se a função 𝑓 é integrável no intervalo 1 1 a 𝑓𝑥 cos 𝑥 c 𝑓𝑥 1𝑥2 𝑥 0 0 𝑥 0 b 𝑓𝑥 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 d 𝑓𝑥 sen 1𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 17 Seja 𝑔𝑥 𝑓𝑡 𝑥 0 𝑑𝑡 onde 𝑓 é a função cujo gráfico é mostrado a Calcule 𝑔0 𝑔1 𝑔2 𝑔3 e 𝑔6 R 𝟎 𝟐 𝟓 𝟕 𝟑 b Em que intervalos 𝑔 está crescendo R 𝟎 𝟑 c Onde 𝑔 tem um valor máximo R 𝒙 𝟑 d Esboce o gráfico de 𝑔 18 Determine as derivadas i calculando a integral e derivando o resultado e ii derivando a integral diretamente a 𝑑 𝑑𝑥 cos 𝑡 𝑥 0 𝑑𝑡 b 𝑑 𝑑𝑥 sec2 𝑡 tg 𝑥 0 𝑑𝑡 c 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝑥3 1 𝑑𝑡 19 Seja 𝐹𝑥 𝑒𝑡2 𝑥 2 𝑑𝑡 Encontre uma equação da reta tangente à curva 𝑦 𝐹𝑥 no ponto com coordenada 𝑥 igual a 2 R 𝒚 𝒆𝟒𝒙 𝟐𝒆𝟒 20 Suponha que 𝑓𝑡 𝑥 1 𝑑𝑡 𝑥2 2𝑥 1 Determine 𝑓𝑥 R 𝒇𝒙 𝟐𝒙 𝟐 21 A atmosfera da Terra absorve aproximadamente 32 da radiação proveniente do Sol A Terra também emite radiação a maior parte em forma de calor e a atmosfera absorve aproximadamente 93 dessa radiação A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito estufa Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra Seja 𝐼0 a intensidade da radiação do Sol e 𝐼 a intensidade depois de percorrer uma distância 𝑥 na atmosfera Se 𝛿𝑥 é a densidade na atmosfera na altitude ℎ então a espessura ótica é 𝜖𝑥 𝑘 𝜌ℎ 𝑥 0 𝑑ℎ Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 5 onde 𝑘 é uma constante de absorção e 𝐼 é dada por 𝐼 𝐼0𝑒𝜖𝑥 Mostre que 𝑑𝐼𝑑𝑥 𝑘𝜌𝑥𝐼 22 Calcule as integrais a seguir usando quando for necessário as fórmulas apropriadas de Geometria a 1 𝑥 4 2 𝑑𝑥 R 𝟒 d 1 3 𝑥 2 9 0 𝑑𝑥 R 𝟗 𝟐 b 1 9 𝑥2 0 3 𝑑𝑥 R 𝟑 𝟗𝝅 𝟒 e 𝑥 25 𝑥2 5 5 𝑑𝑥 R 𝟐𝟓𝝅 𝟐 c 1 2 𝑥 3 4 𝑑𝑥 R 𝟐𝟓 𝟒 f 2𝑥 1 1 0 𝑑𝑥 R 𝟏 𝟐 EXERCÍCIOS 45 21 Quais das seguintes áreas são iguais Por quê R Todas as três áreas são iguais 22 Uma população de bactérias tem inicialmente 400 bactérias e cresce a uma taxa de 𝑟𝑡 450268𝑒112567𝑡 bactérias por hora Quantas bactérias existirão após 3 horas R 𝟏𝟏 𝟕𝟏𝟑 bactérias 23 Encontre a área da região sombreada a EEEE c Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 6 b FFFFFF d R a 𝟑𝟐 𝟑 b 𝟏𝟔𝟒𝟐 𝟑 𝓵𝐧 𝟑 c 𝒆 𝟏 𝒆 𝟏𝟎 𝟑 d 𝟗 24 Determine as áreas totais das regiões sombreadas a seguir a VVVVV b R a 𝟗 b 𝟒𝟑 25 Determine a a reta horizontal 𝑦 𝑘 que divide a área entre as curvas 𝑦 𝑥2 e 𝑦 16 em duas partes iguais b a reta vertical 𝑥 𝑘 que divide a área entre as curvas 𝑥 𝑦 3 e 𝑥 4 em duas partes iguais R a 𝟖𝟐 𝟑 b 𝟐𝟖 𝟒 26 Determine a área das regiões 𝑆 descritas a seguir a 𝑆 é a região no primeiro quadrante delimitada pelas retas 𝑦 𝑥 e 𝑥 2 a curva 1𝑥2 e o eixo 𝑥 R 𝟏 b 𝑆 é a região delimitada pelas curvas 𝑦 ℓn 𝑥 e 𝑦 ℓn 2𝑥 para 1 𝑥 5 R 𝓵𝐧𝟏𝟔 c 𝑆 𝑥 𝑦 ℝ2𝑥 0 e 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑥2 5𝑥 R 𝟏𝟔𝟑 d 𝑆 é a região compreendida entre as curvas 4𝑥2 𝑦 4 e 𝑥4 𝑦 1 R 𝟏𝟎𝟒𝟏𝟓 e 𝑆 é a região compreendida entre as curvas 𝑥 𝑦3 0 e 𝑥 𝑦 0 R 𝟏𝟐 f 𝑆 𝑥 𝑦 ℝ20 𝑥 1 e 𝑥 𝑦 3 R 𝟕𝟑 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 7 27 Para quais valores de 𝑚 a reta 𝑦 𝑚𝑥 e a curva 𝑦 𝑥𝑥2 1 delimitam uma região Encontre a área da região R 𝟎 𝒎 𝟏 𝒎 𝓵𝐧 𝒎 𝟏 28 A densidade linear de uma barra de 8 m de comprimento é 12𝑥 1 kgm onde 𝑥 é medido em metros a partir da ponta da barra Encontre a densidade média da barra R 𝟔 𝐤𝐠𝐦 29 Se 𝑓 é contínua e 𝑓𝑥 3 1 𝑑𝑥 8 mostre que 𝑓 assume o valor 4 pelo menos uma vez no intervalo 1 3 30 Encontre os valores 𝑏 tais que o valor médio de 𝑓𝑥 2 6𝑥 3𝑥2 no intervalo 0 𝑏 é igual a 3 R 𝟑𝟓 𝟐 Nos exercícios a seguir calcule as integrais Cuidado não confunda a integral definida com a integral indefinida 31 𝑥1 𝑥2 𝑑𝑥 42 ℓn𝑦 𝑦 9 4 𝑑𝑦 32 𝑒𝑢 1𝑒𝑢2 𝑑𝑢 43 𝑥2 2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 33 tg 𝜃 𝑑𝜃 44 𝑒𝑥 𝑑𝑥 34 𝑥𝑒𝑥2 𝑑𝑥 45 𝑥 ℓn1 𝑥 𝑑𝑥 35 sen2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 46 𝑒𝑠 sen𝑡 𝑠 𝑑𝑠 36 5𝑡 sen5𝑡 𝑑𝑡 47 𝑡2𝑒𝑠𝑡 𝑥 0 𝑑𝑡 𝑠 0 37 arctg𝑥2 𝑥21 1 0 𝑑𝑥 48 ℓn 𝑥 𝑑𝑥 38 𝑥𝑥2 𝑎2 𝑎 0 𝑑𝑥 𝑎 0 49 𝑥 ℓn2 𝑥 𝑑𝑥 39 sen𝑡 cos2 𝑡 𝜋6 0 𝑑𝑡 50 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 40 3𝑒𝑥1𝑥 1𝑥𝑒𝑥3 1 0 𝑑𝑥 51 𝑡2 ℓn 𝑡 2 1 𝑑𝑡 41 sen3 𝑥 𝑑𝑥 52 ℓn2 𝑥 𝑑𝑥