Regra de LHopital - Formas Indeterminadas e Limites

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 1 SEÇÃO 3 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO PARTE 6 Ao final desta seção você será capaz de Compreender e aplicar a Regra de LHôpital FORMAS INDETERMINDAS E A REGRA DE LHÔPITAL Suponha que estejamos tentando analisar o comportamento da função 𝐹𝑥 ℓn 𝑥 𝑥 1 Apesar de 𝐹 não estar definida em 𝑥 1 precisamos saber como 𝐹 se comporta próximo a 1 Em particular gostaríamos de saber o valor do limite lim 𝑥1 ℓn 𝑥 𝑥 1 No cálculo desse limite não podemos aplicar a propriedade 5 dos limites propriedade do quociente pois o limite do denominador é 0 De fato embora o limite acima exista seu valor não é óbvio porque tanto o numerador como o denominador tendem a 0 e 0 0 não está definido Em geral se tivermos um limite da forma lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 em que 𝑓𝑥 0 e 𝑔𝑥 0 quando 𝑥 𝑎 então o limite pode ou não existir e é chamado forma indeterminada do tipo 𝟎 𝟎 Encontramos alguns limites desse tipo na seção 2 reveja os exercícios dessa seção também Os métodos que desenvolvemos para o cálculo desses limites lá na seção 2 não funcionam para o limite acima de modo que nesta parte da seção introduzimos um método sistemático conhecido como a regra de LHôpital para o cálculo de formas indeterminadas Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 2 REGRA DE LHÔPITAL Suponha que 𝑓 e 𝑔 sejam deriváveis e 𝑔𝑥 0 em um intervalo aberto 𝐼 que contém 𝑎 exceto possivelmente em 𝑎 Suponha que lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 0 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 0 ou que lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 Então lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 OBSERVAÇÃO 1 A regra de LHôpital diz que o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas desde que as condições dadas estejam satisfeitas É especialmente importante verificar as condições relativas aos limites de 𝑓 e 𝑔 antes de usar a regra de LHôpital OBSERVAÇÃO 2 A regra de LHôpital é válida também para os limites laterais e para os limites no infinito ou no infinito negativo isto é 𝑥 𝑎 pode ser substituído por quaisquer um dos símbolos a seguir 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 ou 𝑥 EXEMPLO 1 Encontre lim 𝑥1 ℓn 𝑥 𝑥1 SOLUÇÃO Uma vez que lim 𝑥1 ℓn 𝑥 ℓn 1 0 e lim 𝑥1𝑥 1 1 1 0 o limite é uma forma indeterminada do tipo 00 de modo que podemos aplicar a regra de LHôpital Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 3 lim 𝑥1 ℓn 𝑥 𝑥 1 lim 𝑥1 𝑑 𝑑𝑥 ℓn 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 lim 𝑥1 1 𝑥 1 lim 𝑥1 1 𝑥 1 EXEMPLO 2 Calcule lim 𝑥 𝑒𝑥 𝑥2 SOLUÇÃO Temos lim𝑥 𝑒𝑥 e lim𝑥 𝑥2 logo o limite é uma fórmula indeterminada do tipo e a regra de LHôpital fornece lim 𝑥 𝑒𝑥 𝑥2 lim 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 lim 𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 Uma vez que 𝑒𝑥 e 2𝑥 quando 𝑥 o limite do lado direito também é indeterminado mas uma segunda aplicação da regra de LHôpital fornece lim 𝑥 𝑒𝑥 𝑥2 lim 𝑥 𝑒𝑥 2𝑥 lim 𝑥 𝑒𝑥 2 EXEMPLO 3 Calcule lim 𝑥 ℓn 𝑥 𝑥 SOLUÇÃO Uma vez que ℓn 𝑥 e 𝑥 quando 𝑥 a regra de LHôpital pode ser aplicada lim 𝑥 ℓn 𝑥 𝑥 lim 𝑥 1𝑥 1 2 𝑥12 lim 𝑥 1𝑥 12𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 4 Observe que o limite no lado direito agora é do tipo indeterminado 00 Mas em vez de aplicarmos a regra de LHôpital uma segunda vez como fizemos no EXEMPLO 2 simplificamos a expressão e vemos que é desnecessária uma segunda aplicação da regra lim 𝑥 ℓn 𝑥 𝑥 lim 𝑥 1𝑥 12𝑥 lim 𝑥 2 𝑥 0 Tanto no EXEMPLO 2 quando no EXEMPLO 3 calculamos limites do tipo mas obtivemos dois resultados diferentes No exemplo 2 o limite infinito nos diz que o numerador 𝑒𝑥 cresce significativamente mais rápido do que qualquer função potência 𝑦 𝑥𝑛 No exemplo 3 tivemos a situação oposta o limite 0 significa que o denominador ultrapassa o numerador e a razão eventualmente se aproxima de 0 EXEMPLO 4 Encontre lim 𝑥𝜋 sen𝑥 1cos𝑥 SOLUÇÃO Se tentarmos usar cegamente a regra de LHôpital obteremos lim 𝑥𝜋 sen 𝑥 1 cos 𝑥 lim 𝑥𝜋 cos 𝑥 sen 𝑥 Isso está errado Embora o numerador sen 𝑥 0 quando 𝑥 𝜋 perceba que o denominador 1 cos 𝑥 não tende a zero logo não podemos aplicar aqui a regra de LHôpital O limite pedido é na verdade fácil de ser encontrado pois a função é contínua em 𝜋 e denominador diferente de zero lim 𝑥𝜋 sen 𝑥 1 cos 𝑥 sen 𝜋 1 cos 𝜋 0 1 1 0 O EXEMPLO 4 mostra o que pode acontecer de errado ao usar impensadamente a regra de LHôpital Outros limites podem ser encontrados pela regra mas são mais facilmente calculados por outros métodos Assim quando calcular qualquer limite você deve considerar outros métodos antes de usar a regra de LHôpital Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 5 PRODUTOS INDETERMINADOS Se lim𝑥𝑎 𝑓𝑥 0 e lim𝑥𝑎 𝑔𝑥 ou então não está claro qual o valor de lim𝑥𝑎𝑓𝑥𝑔𝑥 se houver algum Há uma disputa entre 𝑓 e 𝑔 Se 𝑓 ganhar a resposta é 0 se 𝑔 vencer a resposta será ou Ou pode haver um equilíbrio e então a resposta é um número finito diferente de zero Esse tipo de limite é chamado é chamado forma indeterminada do tipo 𝟎 Podemos lidar com ela escrevendo o produto 𝑓𝑔 como um quociente 𝑓𝑔 𝑓 1𝑔 ou 𝑓𝑔 𝑔 1𝑓 Isso converte o limite dado na forma indeterminada do tipo 00 ou de modo que podemos usar a regra de LHôpital EXEMPLO 5 Calcule lim 𝑥0 𝑥 ℓn 𝑥 SOLUÇÃO O limite dado é indeterminado pois como 𝑥 0 o primeiro fato 𝑥 tende a 0 enquanto o segundo fator ℓn 𝑥 tende a Escrevendo 𝑥 11𝑥 temos 1𝑥 quando 𝑥 0 logo a regra de LHôpital fornece lim 𝑥0 𝑥 ℓn 𝑥 lim 𝑥0 ℓn 𝑥 1𝑥 lim 𝑥0 1𝑥 1𝑥2 lim 𝑥0𝑥 0 DIFERENÇAS INDETERMINADAS Se lim𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim𝑥𝑎 𝑔𝑥 então o limite lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 é chamado forma indeterminada do tipo Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 6 De novo há uma disputa entre 𝑓 e 𝑔 A resposta será se 𝑓 ganhar ou se 𝑔 ganhar ou haverá um equilíbrio entre elas resultando um número finito Para descobrirmos tentamos converter a diferença em um quociente usando um denominador comum ou racionalização ou pondo em evidência um fator em comum por exemplo de maneira a termos uma forma indeterminada do tipo 00 ou EXEMPLO 6 Calcule lim 𝑥1 1 ℓn 𝑥 1 𝑥1 SOLUÇÃO Observe primeiro que 1 ℓn 𝑥 e 1𝑥 1 quando 𝑥 1 logo o limite é indeterminado do tipo Aqui podemos começar com um denominador comum lim 𝑥1 1 ℓn 𝑥 1 𝑥 1 lim 𝑥1 𝑥 1 ℓn 𝑥 𝑥 1 ℓn 𝑥 Tanto o numerador quanto o denominador tem limite 0 de modo que a regra de LHôpital se aplica fornecendo lim 𝑥1 𝑥 1 ℓn 𝑥 𝑥 1 ℓn 𝑥 lim 𝑥1 1 1 𝑥 𝑥 1 1 𝑥 ℓn 𝑥 lim 𝑥1 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 ℓn 𝑥 Novamente temos um limite indeterminado do tipo 00 de modo que aplicamos a regra de LHôpital uma segunda vez lim 𝑥1 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 ℓn 𝑥 lim 𝑥1 1 1 𝑥 1 𝑥 ℓn 𝑥 lim 𝑥1 1 2 ℓn 𝑥 1 2 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 7 POTÊNCIAS INDETERMINADAS Várias formas indeterminadas surgem do limite lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥𝑔𝑥 1 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 0 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 0 tipo 00 2 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 0 tipo 0 3 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 1 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 tipo 1 Cada um dos três casos pode ser tratado tanto tomando o logaritmo natural seja 𝑦 𝑓𝑥𝑔𝑥 então ℓn 𝑦 𝑔𝑥 ℓn 𝑓𝑥 quanto escrevendo a função como uma exponencial 𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑒𝑔𝑥 ℓn𝑓𝑥 Relembre que ambos os métodos foram utilizados na derivação dessas funções Em qualquer método somos levados a um produto indeterminado 𝑔𝑥 ℓn 𝑓𝑥 que é do tipo 0 EXEMPLO 7 Calcule lim 𝑥01 sen 4𝑥cotg𝑥 SOLUÇÃO Observe primeiro que quando 𝑥 0 temos 1 sen 4𝑥 1 e cotg 𝑥 assim o limite dado é indeterminado tipo 1 Considere 𝑦 1 sen 4𝑥cotg𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 8 Então ℓn 𝑦 ℓn1 sen 4𝑥cotg𝑥 cotg 𝑥 ℓn1 sen 4𝑥 ℓn1sen4𝑥 tg 𝑥 e logo a regra de LHôpital fornece lim 𝑥0 ℓn 𝑦 lim 𝑥0 ℓn1 sen 4𝑥 tg 𝑥 lim 𝑥0 4 cos 4𝑥 1 sen 4𝑥 sec2 𝑥 4 Até agora calculamos o limite de ℓn 𝑦 mas o que realmente queremos é o limite de 𝑦 Para achalo usamos o fato de que 𝑦 𝑒ℓn 𝑦 lim 𝑥01 sen 4𝑥cotg𝑥 lim 𝑥0 𝑦 lim 𝑥0 𝑒ℓn 𝑦 𝑒4