Lista de Exercícios de Fixação - Cálculo Diferencial e Integral I

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 1 IV LISTA DE EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Você está recebendo uma lista com diversos exercícios acerca dos assuntos abordados ao longo desta semana A notação 𝑝 𝑞 significa a 𝑞ésima parte da seção 𝑝 das apostilas teóricas Sendo assim vocês poderão a qualquer momento durante a resolução das questões propostas consultar o material disponível no Moodle nas apostilas ou consultar o monitor Esperamos que aproveitem bem esses exercícios e bons estudos EXERCÍCIOS 31 Em todos os exercícios desta seção quando for necessário encontrar a derivada da função usando a definição 1 Encontre 𝑓𝑎 a 𝑓𝑥 3𝑥2 4𝑥 1 b 𝑓𝑥 1 2𝑥 2 Determine uma equação para a tangente à curva no ponto dado a 𝑦 4 𝑥2 1 3 b 𝑦 𝑥 4 2 3 Encontre a derivada da função Em seguida diga quais são os domínios da função e da derivada a 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 b 𝑓𝑥 𝑥21 2𝑥3 4 Associe o gráfico de cada função em a d com o gráfico de sua derivada em I IV Dê razões para suas escolhas 5 Cada figura a seguir mostra o gráfico de uma função em um intervalo 𝐷 fechado Em que pontos do domínio a função parece ser 𝐚 derivável 𝐛 contínua mas não derivável 𝐜 nem contínua nem derivável Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 2 i ii iii iv 6 Estude a diferenciabilidade das funções a seguir a 𝑓𝑥 𝑥2 2 se 𝑥 1 2𝑥 1 se 𝑥 1 c ℎ𝑥 2𝑥 6 1 se 𝑥 0 𝑥 se 𝑥 0 b 𝑔𝑥 𝑥 1 se 𝑥 1 3 𝑥 se 𝑥 1 d 𝑖𝑥 𝑥2 sen 1 𝑥 se 𝑥 0 0 se 𝑥 0 7 Suponha que 𝑓 seja uma função que satisfaça a equação 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑥2𝑦 𝑥𝑦2 para todos os números reais 𝑥 e 𝑦 Suponha também que lim 𝑥0 𝑓𝑥 𝑥 1 a Encontre 𝑓0 b Encontre 𝑓0 c Encontre 𝑓𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 3 8 Suponha que 𝑓 seja uma função com a propriedade 𝑓𝑥 𝑥2 para todo 𝑥 Mostre que 𝑓0 0 A seguir mostre que 𝑓0 0 9 Seja 𝑓 uma função diferenciável e 𝑔𝑥 𝑥𝑓𝑥 Use a definição de derivada para mostrar que 𝑔𝑥 𝑥𝑓𝑥 𝑓𝑥 EXERCÍCIOS 32 10 Determine os valores 𝑎 𝑏 e 𝑐 de modo que as curvas 𝑦 𝑥2 𝑎𝑥 𝑏 e 𝑦 𝑥2 𝑐𝑥 sejam tangentes uma à outra no ponto 1 2 11 Determine uma equação para a reta perpendicular à tangente da curva 𝑦 𝑥3 4𝑥 1 no ponto 2 1 12 Determine todos os pontos 𝑥0 𝑦0 sobre a curva 𝑦 4𝑥4 8𝑥2 16𝑥 7 tais que a tangente à curva em 𝑥0 𝑦0 seja paralela à reta 16𝑥 𝑦 5 0 13 Determine todos os pontos 𝑥 𝑦 no gráfico de 𝑓𝑥 𝑥2 com tangentes que passam pelo ponto 3 8 14 Seja 𝑓 ℝ ℝ a função definida por 𝑓𝑥 𝑥3 2𝑥2 3𝑥 𝑎 Se uma das retas tangentes ao gráfico de 𝑓 tem equação 𝑦 2𝑥 2 3 então 𝑎 é igual a a 2 3 ou 22 27 b 1 3 ou 11 27 c 2 3 ou 22 27 d 2 3 ou 22 27 e 2 3 ou 11 27 15 Suponha que 𝑢 e 𝑣 sejam funções de 𝑥 deriváveis em 𝑥 0 e que 𝑢0 5 𝑢0 3 𝑣0 1 𝑣0 2 Determine os valores das derivadas a seguir em 𝑥 0 a 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 c 𝑣 𝑢 b 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 d 7𝑣 2𝑢 16 A equação 𝑦 𝑦 2𝑦 𝑥2 é chamada equação diferencial pois envolve uma função desconhecida 𝑦 e suas derivadas 𝑦 e 𝑦 Encontre as constantes 𝐴 𝐵 e 𝐶 tais que a função 𝑦 𝐴𝑥2 𝐵𝑥 𝐶 satisfaça a equação 17 A resposta do corpo a uma dose de um medicamento é às vezes representada por uma equação na forma 𝑅 𝑀2 𝐶 2 𝑀 3 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 4 em que 𝐶 é uma constante positiva e 𝑀 a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue Se a resposta é uma variação na pressão sanguínea então 𝑅 é medido em milímetros de mercúrio Se a resposta for uma variação de temperatura 𝑅 será medido em graus e assim por diante Determine 𝑑𝑅𝑑𝑀 18 A Lei da Gravitação Universal de Newton afirma que a magnitude 𝐹 da força exercida por um ponto com massa 𝑀 sobre um ponto com massa 𝑚 é 𝐹 𝐺 𝑚𝑀 𝑟2 onde 𝐺 é uma constante e 𝑟 a distância entre os pontos Supondo os pontos em movimento encontre uma fórmula para a taxa de variação de 𝐹 em relação a 𝑟 19 Se um gás for mantido em um cilindro a uma temperatura constante 𝑇 a pressão 𝑃 estará relacionada com o volume 𝑉 de acordo com uma fórmula da forma 𝑃 𝑛𝑅𝑇 𝑉 𝑛𝑏 𝑎𝑛2 𝑉2 em que 𝑎 𝑏 𝑛 e 𝑅 são constantes Determine 𝑑𝑃𝑑𝑉 20 O número de galões de água em um tanque 𝑡 minutos após o início de seu esvaziamento é dado por 𝑄𝑡 200 30 𝑡2 A que taxa a água escoará ao final de 10 minutos Qual é a taxa média de saída da água durante os 10 primeiros minutos 21 No instante 𝑡 a posição de um corpo que se desloca ao longo do eixo 𝑠 é 𝑠 𝑡3 6𝑡2 9𝑡 m a Determine a aceleração do corpo cada vez que a velocidade for nula b Determine o módulo da velocidade do corpo cada vez que a aceleração for nula c Determine a distância total percorrida pelo corpo de 𝑡 0 a 𝑡 22 A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo 𝑥 depende do tempo de acordo com a equação 𝑥 𝑡3 3𝑡2 𝑡 0 a Estude o sinal de 𝑣𝑡 b Estude o sinal de 𝑎𝑡 c Calcule lim𝑡𝑡3 3𝑡2 d Utilizando as informações acima esboce o gráfico da função 𝑥 𝑡3 3𝑡2 𝑡 0 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 5 23 Uma partícula 𝑃 se desloca na reta coordenada mostrada no item a da figura a seguir O item b mostra a posição de 𝑃 em função do tempo 𝑡 a Quando 𝑃 se desloca para a esquerda E para a direita E quando permanece parado b Faça o gráfico do módulo da velocidade e da velocidade da partícula onde estiverem definidos 24 Suponha que o sol nascente passe diretamente sobre um prédio de 30 metros de altura e seja 𝜃 o ângulo formado de elevação do sol Encontre a taxa segundo a qual o comprimento 𝑥 veja a figura a seguir da sombra do prédio está variando em relação a 𝜃 quando 𝜃 𝜋 4 Expresse a resposta em metrosgraus Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 6 EXERCÍCIOS 33 25 Determine as equações para i a tangente à curva em 𝑃 e ii a tangente horizontal à curva em 𝑄 a b 26 Considere a seguinte função 𝑓𝑥 𝑥 𝑏2 2 𝑥 0 𝑎 sen 𝑥 𝑥 0 a Encontre todos os valores de 𝑎 e 𝑏 tais que 𝑓𝑥 seja contínua e diferenciável para todo 𝑥 ℝ b Encontre o valor 𝑏 tal que a reta tangente 𝑡 à curva 𝑦 𝑓𝑥 no ponto 𝑥 1 possui inclinação 2 Em seguida escreva a equação cartesiana de 𝑡 c Encontre o valor 𝑎 tal que a reta 𝑠 normal à reta tangente à curva 𝑦 𝑓𝑥 no ponto 𝑥 𝜋 possui inclinação 1 2 Em seguida escreva a equação cartesiana de 𝑠 27 Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior da tira Quando o corpo é puxado para baixo e então solto ele vibra verticalmente A equação do movimento é 𝑠 2 cos 𝑡 3 sen 𝑡 𝑡 0 onde 𝑠 é medido em centímetros e 𝑡 em segundos Consideremos o sentido positivo para baixo a Encontre a velocidade e a aceleração no instante 𝑡 b Faça os gráficos das funções velocidade e aceleração c Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez d A que distância da posição de equilíbrio o corpo chega e Quando é a velocidade máxima 28 Um objeto de massa 𝑚 é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto Se a corda faz um ângulo 𝜃 com o plano então a intensidade da força é 𝐹 𝜇𝑚𝑔 𝜇 sen 𝜃 cos 𝜃 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 7 onde 𝜇 é uma constante chamada coeficiente de atrito a Encontre a taxa de variação de 𝐹 em relação a 𝜃 b Quando essa taxa de variação é nula 29 Seja 𝜑 ℝ ℝ uma função derivável tal que 𝜑3 4 e 𝜑3 1 Se 𝑢𝑥 𝑥2𝜑5𝑥3 2𝑥 o valor de 𝑢1 é a 8 b 7 c 1 d 2 e 5 30 Sejam 𝑓 ℝ ℝ e 𝑔 ℝ ℝ duas funções definidas respectivamente por 𝑒𝑥2𝑥1 e 𝑥6 O valor de 𝑓2 𝑔2 é a 0 b 𝑒3 64 c 𝑒3 6 d 𝑒3 e 3𝑒3 31 Seja 𝑔 ℝ ℝ uma função diferenciável e seja 𝑓 dada por 𝑓𝑥 𝑥𝑔𝑥2 Calcule 𝑓1 supondo 𝑔1 4 e 𝑔1 2 32 Seja 𝑔 ℝ ℝ uma função diferenciável tal que 𝑔2 2 e 𝑔2 2 Calcule 𝐻2 sendo 𝐻 dada por 𝐻𝑥 𝑔 𝑔𝑔𝑥 33 Para oscilações de pequena amplitude balanços curtos é seguro modelar a relação entre o período 𝑇 e o comprimento 𝐿 de um pêndulo simples com a equação 𝑇 2𝜋𝐿 𝑔 em que 𝑔 é a aceleração constante da gravidade no local em que o pêndulo se encontra Se medirmos 𝑔 em cms2 devemos usar 𝐿 em centímetros e 𝑇 em segundos Se o pêndulo for de metal seu comprimento variará de acordo com a temperatura aumentando ou diminuindo a uma taxa aproximadamente proporcional a 𝐿 Usando os símbolos 𝑢 para temperatura e 𝑘 para a constante de proporcionalidade temos 𝑑𝐿 𝑑𝑢 𝑘𝐿 Considerando que esse seja o caso mostre que a taxa de variação do período em relação à temperatura é 𝑘𝑇2 34 Suponha que as funções 𝑓 e 𝑔 e suas derivadas em relação a 𝑥 tenham os seguintes valores em 𝑥 0 e 𝑥 1 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 8 𝒙 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝟎 1 1 5 13 𝟏 3 4 13 83 Determine as derivadas em relação a 𝑥 das seguintes combinações usando o valor dado de 𝑥 a 5𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑥 1 d 𝑔𝑓𝑥 𝑥 1 b 𝑓𝑥𝑔3𝑥 𝑥 0 e 𝑥11 𝑓𝑥 2 𝑥 1 c 𝑓𝑥 𝑔𝑥1 𝑥 1 f 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑥 0 35 O gráfico de 𝑦2 𝑥3 mostrado na figura ao lado é chamado de parábola semicúbica Determine a constante 𝑏 de modo que a reta 𝑦 1 3 𝑥 𝑏 intercepte esse gráfico ortogonalmente 36 Existe algo especial em relação às tangentes das curvas 𝑦2 𝑥3 e 2𝑥2 3𝑦2 5 nos pontos 1 1 Justifique sua resposta Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 9 37 O projetista de um balão esférico de ar quente com 30 m de diâmetro quer suspender uma gôndola que está 8 m abaixo da parte inferior do balão com cabos tangentes à superfície do balão como mostra a figura a seguir Podese ver dois cabos saindo das laterais superiores da gôndola e chegando aos pontos de tangência 12 9 e 12 9 Qual deve ser a largura da gôndola EXERCÍCIOS 34 38 Explique por que a função logarítmica natural 𝑓𝑥 ℓn 𝑥 é usada mais frequentemente no cálculo do que as outras funções logarítmicas 𝑓𝑥 log𝑏 𝑥 39 Encontre a derivada da função Simplifique quando possível a 𝑦 tg1 𝑥 d 𝑦 sec1 1 𝑥 0 𝑥 1 b 𝑦 arccos 𝑥 e 𝑦 ℓn𝑥2 4 𝑥 tg1 𝑥 2 c 𝑦 sen12𝑥 1 f 𝑦 cossec1 𝑒𝑥 40 Se 𝑓𝑥 ℓn𝑥 ℓn 𝑥 encontre 𝑓1 41 Use derivação logarítmica para achar a derivada da função a 𝑦 𝑥1 𝑥41 c 𝑦 𝑥 𝑥 b 𝑦 𝑥sen𝑥 d 𝑦 𝑥𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 10 EXERCÍCIOS 35 42 Se dois resistores com resistências 𝑅1 e 𝑅2 estão conectados em paralelo como na figura então a resistência total 𝑅 medida em ohms Ω é dada por 1 𝑅 1 𝑅1 1 𝑅2 Se 𝑅1 e 𝑅2 estão aumentado a taxas de 03 Ωs e 02 Ωs respectivamente quão rápido 𝑅 está variando quando 𝑅1 80 Ω e 𝑅2 100 Ω 43 A voltagem 𝑉 volts a corrente 𝐼 ampères e a resistência 𝑅 ohms de um circuito elétrico como o mostrado aqui estão relacionados pela equação 𝑉 𝑅𝐼 Suponha que 𝑉 aumente a uma taxa de 1 volts enquanto 𝐼 diminui a uma taxa de 13 As Represente o tempo 𝑡 em segundos a Qual é o valor de 𝐷𝑡𝑉 b Qual é o valor de 𝐷𝑡𝐼 c Qual equação relaciona 𝑑𝑅𝑑𝑡 a 𝐷𝑡𝑉 e 𝐷𝑡𝐼 d Determine a taxa de variação de 𝑅 quando 𝑉 12 V e 𝐼 2 A 𝑅 aumenta ou diminui 44 As coordenadas de uma partícula em um plano 𝑥𝑦 são funções deriváveis do instante 𝑡 com 𝑑𝑥𝑑𝑡 1 ms e 𝑑𝑦𝑑𝑡 5 ms Qual a taxa de variação da distância entre a partícula e a origem quando esta passa pelo ponto 5 12 45 Um balão sobre verticalmente acima de uma estrada plana a uma velocidade constante de 1 péss Quando está 65 pés acima do solo uma bicicleta que se desloca a uma taxa constante de 17 péss passa sob ele A que taxa o balão e a bicicleta se distanciam 3 segundos mais tarde 46 Os lados de um triângulo equilátero estão crescendo a uma taxa de 10 cmmin A que taxa a área do triângulo está crescendo quando os lados têm 30 cm de comprimento Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 11 47 Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 5 km e passa diretamente sobre um telescópio no chão Quando o ângulo de elevação for 𝜋3 esse ângulo estará diminuindo a uma taxa de 𝜋6 radmin A que velocidade o avião está viajando naquele instante 48 Um homem começa a andar para o norte a 12 ms a partir de um ponto 𝑃 Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 16 ms de um ponto 200 m a leste de 𝑃 A que taxa as pessoas estão se distanciando 15 min após a mulher começar a andar 49 Enchese um reservatório cuja forma é a de um cone circular reto de água a uma taxa de 01 m3s O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m Com que velocidade o nível ℎ da água está subindo no instante em que ℎ 5 m 50 Suponha que os comprimentos dos segmentos 𝐴𝐵 e 0𝐵 sejam respectivamente 5 cm e 3 cm Suponha ainda que 𝜃 esteja variando a uma taxa constante de 1 2 rads Determine a velocidade de 𝐴 quando 𝜃 𝜋 2 rad Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 12 EXERCÍCIOS 36 51 Se um objeto de massa 𝑚 é solto a partir do repouso um modelo para sua velocidade 𝑣 após 𝑡 segundos levandose em conta a resistência do ar é 𝑣 𝑚𝑔 𝑐 1 𝑒𝑐𝑡𝑚 onde 𝑔 é a aceleração da gravidade e 𝑐 uma constante positiva a Calcule lim𝑡 𝑣 Qual o significado desse limite b Para um valor fixo de 𝑡 use a regra de lHôspital para calcular lim𝑐0 𝑣 O que você pode concluir sobre a velocidade de um objeto caindo no vácuo 52 Encontre o limite Use a regra de lHôspital quando for apropriado a lim 𝑥 𝑥 ℓn 1 1 𝑥 d lim 𝑥0 𝑥 3𝑥 3𝑥1 g lim 𝑥0 12𝑥14𝑥 𝑥 b lim 𝑥0 arctg2𝑥 ℓn 𝑥 e lim 𝑥 1 2 𝑥 𝑥 h lim 𝑥𝜋 2 cos𝑥 1sen𝑥 c lim 𝑥 ℓn2 𝑥 𝑥 f lim 𝑥0 8𝑥5𝑥 𝑥 i lim 𝑥2 𝑥38 𝑥2 Nos exercícios a seguir encontre 𝑦 das funções dadas em relação às variáveis correspondentes 53 𝑦 𝑥4 3𝑥2 53 61 sen𝑥𝑦 𝑥2 𝑦 54 𝑦 𝑥 1 𝑥4 3 62 𝑥2 4𝑥𝑦 𝑦2 9 55 𝑦 ℓn𝑥 ℓn 𝑥 63 𝑦 4𝑥𝑥 𝑥 56 𝑦 log51 2𝑥 64 𝑦 𝑥2 cotg 5𝑥 57 𝑦 tg 𝑥 1cos𝑥 65 𝑦 𝑥2 sen2𝑥3 58 𝑦 𝑒𝑥 sec 𝑥 66 𝑦 𝑥 1𝑥 2 59 𝑦 cos 𝑡𝑡 67 𝑥𝑒𝑦 𝑦 1 60 𝑦 arcsen 2𝑡𝑡 68 𝑦 2 tg2 𝑥 sec2 𝑥