Lista de Exercícios Cálculo Diferencial Integral I - Limites e Funções

Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 1 III LISTA DE EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Você está recebendo uma lista com diversos exercícios acerca dos assuntos abordados ao longo desta semana A notação 𝑝 𝑞 significa a 𝑞ésima parte da seção 𝑝 das apostilas teóricas Sendo assim vocês poderão a qualquer momento durante a resolução das questões propostas consultar o material disponível no Moodle nas apostilas ou consultar o monitor Esperamos que aproveitem bem esses exercícios e bons estudos EXERCÍCIOS 21 1 Para a função 𝑓 cujo gráfico é dado ao lado diga qual o valor de cada quantidade indicada se ela existir Se não existir explique por quê a lim 𝑥1 𝑓𝑥 b lim 𝑥3 𝑓𝑥 c lim 𝑥3 𝑓𝑥 d lim 𝑥3 𝑓𝑥 e 𝑓3 2 Um paciente recebe uma injeção de 150 mg de uma droga a cada 4 horas O gráfico abaixo mostra a quantidade 𝑓𝑡 da droga na corrente sanguínea após 𝑡 horas Encontre lim 𝑡12 𝑓𝑡 e lim 𝑡12 𝑓𝑡 e explique o significado desses limites laterais Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 2 3 Na Teoria Especial da Relatividade o comprimento 𝑙 de um bastão curto em movimento longitudinal é uma função 𝑙 𝑙𝑣 da velocidade 𝑣 do bastão A figura a seguir em que 𝑐 denota a velocidade da luz exibe algumas das características qualitativas dessa função a Qual é a interpretação física de 𝑙0 b Qual é o lim𝑣𝑐 𝑙𝑣 Qual o significado físico desse limite 4 Quais das afirmações a seguir com relação à função 𝑦 𝑓𝑥 representada graficamente aqui são verdadeiras E quais são falsas a lim 𝑥2 𝑓𝑥 b lim 𝑥2 𝑓𝑥 2 c lim 𝑥1 𝑓𝑥 d lim 𝑥𝑥0 𝑓𝑥 em todo ponto 𝑥0 1 1 e lim 𝑥𝑥0 𝑓𝑥 em todo ponto 𝑥0 1 3 5 Sejam 𝑔 e ℎ duas funções reais de variável real definidas a seguir Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 3 Determine se existir os limites a seguir Caso não existam justifique sua resposta a lim𝑥1 𝑔𝑥 ℎ𝑥 b lim𝑥0ℎ 𝑔𝑥 6 Existe um número 𝑎 tal que lim 𝑥2 3𝑥2 𝑎𝑥 𝑎 3 𝑥2 𝑥 2 exista Caso exista encontre 𝑎 e o valor do limite 7 A função sinal denotada por sgn é definida por sgn 𝑥 1 se 𝑥 0 0 se 𝑥 0 1 se 𝑥 0 a Esboce o gráfico dessa função b Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites a seguir i lim𝑥0 sgn 𝑥 ii lim𝑥0 sgn 𝑥 iiilim𝑥0 sgn 𝑥 iv lim𝑥0sgn 𝑥 8 Suponha que lim𝑥4 𝑓𝑥 0 e lim𝑥4 𝑔𝑥 3 Determine a lim 𝑥4𝑔𝑥 3 c lim 𝑥4𝑔𝑥2 b lim 𝑥4 𝑥𝑓𝑥 d lim 𝑥4 𝑔𝑥 𝑓𝑥1 9 Se lim𝑥𝑐𝑓𝑥 𝑔𝑥 3 e lim𝑥𝑐𝑓𝑥 𝑔𝑥 1 determine lim𝑥𝑐 𝑓𝑥𝑔𝑥 10 A figura mostra um círculo fixo 𝐶1 de equação 𝑥 12 𝑦2 1 e um círculo 𝐶2 a ser escolhido com raio 𝑟 e centro na origem 𝑃 é o ponto 0 𝑟 𝑄 é o ponto de intersecção superior dos dois círculos e 𝑅 é o ponto de intersecção da reta 𝑃𝑄 com o eixo O𝑥 O que acontecerá com 𝑅 quando 𝐶2 se contrair Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 4 EXERCÍCIOS 22 11 Para a função 𝑓 cujo gráfico é dado determine os seguintes limites a lim 𝑥4 𝑓𝑥 e lim 𝑥3 𝑓𝑥 i lim 𝑥0 𝑓𝑥 b lim 𝑥2 𝑓𝑥 f lim 𝑥3 𝑓𝑥 j lim 𝑥0 𝑓𝑥 c lim 𝑥2 𝑓𝑥 g lim 𝑥3 𝑓𝑥 k lim 𝑥 𝑓𝑥 d lim 𝑥2 𝑓𝑥 h lim 𝑥0 𝑓𝑥 l lim 𝑥𝑓𝑥 12 Na Teoria Especial da Relatividade a massa 𝑚 de um objeto em movimento é uma função 𝑚 𝑚𝑣 da velocidade 𝑣 do objeto A figura abaixo em que 𝑐 denota a velocidade da luz exibe algumas das características qualitativas dessa função a Qual é a interpretação física de 𝑚0 b Qual é o lim𝑥𝑐 𝑚𝑣 Qual o significado físico desse limite 13 Seja 𝑇 𝑓𝑡 a temperatura de uma cenoura cozida 𝑡 minutos depois de retirada de um forno quente A figura abaixo mostra a curva temperatura versus tempo para a cenoura Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 5 a Qual é o significado físico de lim𝑡0 𝑓𝑡 b Qual é o significado físico de lim𝑡 𝑓𝑡 14 Um tanque contém 5 000 litros de água pura Água salgada contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 Lmin a Mostre que a concentração de sal depois de 𝑡 minutos em gramas por litro é 𝐶𝑡 30𝑡 200𝑡 b O que acontece com a concentração após um longo período de tempo 15 Sob certas condições a velocidade 𝑣𝑡 de uma gota de chuva caindo no instante 𝑡 é 𝑣𝑡 𝑣1 𝑒𝑔𝑡𝑣 onde 𝑔 é a aceleração da gravidade e 𝑣 é a velocidade final da gota a Encontre lim𝑡 𝑣𝑡 e interprete seu resultado b Use uma calculadora gráfica de sua preferência para fazer o gráfico de 𝑣𝑡 se 𝑣 1 ms e 𝑔 98 ms2 Quanto tempo levará para a velocidade da gota atingir 99 de sua velocidade final 16 Um circuito é do tipo 𝑅𝐿 se possuir um resistor e um indutor Nesse tipo de circuito a corrente é dada em função do tempo pela expressão 𝐼𝑡 𝑉 𝑅 1 𝑒𝑅 𝐿𝑡 a Calcule 𝐼 3 𝐿 𝑅 em função de 𝑉 e 𝑅 b Defina o comportamento final da corrente deste circulo 𝑅𝐿 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 6 17 Pesquise as assíntotas das funções a seguir caso existam a 𝑓𝑥 1𝑥2 𝑥21 c 𝑓𝑥 4𝑥310𝑥211𝑥1 𝑥23𝑥 b 𝑓𝑥 𝑥4 𝑥4 d 𝑓𝑥 6𝑥42𝑥33 2𝑥3𝑥 EXERCÍCIOS 23 18 Considere as funções 𝑓𝑥 1 𝑥 4 1 𝑥 4 e 𝑔𝑥 4𝑥 10 𝑥 4 6 𝑥 4 Em cada parte verifique se a função dada é contínua em 𝑥 4 a 𝑓𝑥 d 𝑓𝑥 g 𝑔𝑥 6𝑓𝑥 b 𝑔𝑥 e 𝑓𝑥𝑔𝑥 c 𝑔𝑥 f 𝑔𝑓𝑥 19 Encontre um valor diferente de zero para a constante 𝑘 que torne 𝑔𝑥 tg𝑘𝑥 𝑥 𝑥 0 3𝑥 2𝑘2 𝑥 0 contínua em 𝑥 0 20 Sejam 𝑓 𝑔 ℝ ℝ tais que i 𝑓 é contínua em 𝑥 0 e ii 𝑔 é descontínua em 𝑥 0 Podese concluir corretamente que é descontínua em 𝑥 0 a função a 𝑓 𝑔 b 𝑓𝑔 c 𝑓 𝑔 d 𝑔 𝑓 e 𝑔 21 Suponha que 𝑓 e 𝑔 sejam funções contínuas tais que 𝑔2 6 e lim 𝑥23𝑓𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥 36 Encontre 𝑓2 22 Para que a função 𝑓𝑥 𝑥22𝑥3 𝑥1 se 𝑥 1 𝑥 𝑘 se 𝑥 1 seja contínua em ℝ o valor da constante 𝑘 deve ser a 7 b 1 c 3 d 1 e 5 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 7 23 A aceleração devida à gravidade 𝐺 varia com a altitude em relação à superfície terrestre 𝐺 é função de 𝑟 a distância ao centro da Terra e é dada por 𝐺𝑟 𝑔𝑀𝑟 𝑅3 se 𝑟 𝑅 𝑔𝑀 𝑟2 se 𝑟 𝑅 onde 𝑅 é o raio da Terra 𝑀 sua massa e 𝑔 a constante gravitacional a 𝐺𝑟 é uma função contínua Justifique sua resposta b Esboce o gráfico de 𝐺𝑟 24 Mostre que a equação 𝑒𝑥2 𝑥 possui pelo menos uma solução no intervalo 0 1 25 Mostre que a função 𝑓 ℝ ℝ definida por 𝑓𝑥 𝑥3 4 sen𝜋𝑥 3 assume o valor 4 3 26 A população em milhares de uma colônia de bactérias 𝑡 minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função 𝑓𝑡 𝑡2 7 se 𝑡 5 8𝑡 72 se 𝑡 5 Explique por que a população deve ser de 10 000 bactérias em algum momento entre 𝑡 1 e 𝑡 7 27 Suponha que a função 𝑓 seja contínua em ℝ e que 𝑓2 3 𝑓1 1 𝑓0 4 𝑓1 1 e 𝑓2 5 O Teorema do Valor Intermediário garante que 𝑓 tem raiz nos intervalos a seguir a 2 1 b 1 0 c 1 1 d 0 2 28 Considere a função 𝑓 dada por 𝑓𝑥 2𝑥3 𝑥2 3𝑥 a Verifique que 𝑓 é contínua em 0 b Mostre que 1 é a única raiz de 𝑓 em 0 que 𝑓2 0 e que 𝑓 1 2 0 c Conclua que 𝑓𝑥 0 em 1 e que 𝑓𝑥 0 em 0 1 29 Se 5 2𝑥2 𝑓𝑥 5 𝑥2 para 1 𝑥 1 determine lim𝑥0 𝑓𝑥 30 Se 2𝑥 𝑔𝑥 𝑥4 𝑥2 2 para todo 𝑥 avalie lim𝑥1 𝑔𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 8 EXERCÍCIOS 24 31 Qual é o valor do limite lim 𝑥0 sen2𝑥sen4𝑥sen𝑥 5sen𝑥sen2𝑥sen3𝑥 a 02 b 0333 c 04 d 05 e 06 Nas questões a seguir calcule os limites se existirem 32 lim 𝑥2 𝑥416 𝑥2 45 lim 𝑥 𝑥1 9𝑥1 33 lim 𝑥3 𝑥29 𝑥274 46 lim 𝑥 8𝑥23 2𝑥2𝑥 34 lim 𝑥3 𝑥2165 𝑥23𝑥 47 lim 𝑥𝑥2 3 𝑥 35 lim 𝑥1 1 𝑥1 3 1𝑥3 48 lim 𝑥2𝑥 4𝑥2 3𝑥 2 36 lim 𝑥0 𝑥41 3 1 𝑥4 49 lim 𝑥 𝑥2 1 𝑥4 1 37 lim 𝑥0 1 𝑥1 1 𝑥1 𝑥 50 lim 𝑥 arctg 𝑒𝑥 38 lim 𝑥2 𝑥22𝑥 𝑥24𝑥4 51 lim 𝑥 5𝑥9 3𝑥24𝑥27 39 lim 𝑥3 𝑥26𝑥9 𝑥3 52 lim 𝑥1 𝑒 𝑥1 𝑥1 40 lim 𝑥2 𝑥38 𝑥416 53 lim 𝑥𝑒2 ℓn 𝑥 41 lim 𝑥2 1𝑥 2𝑥 54 lim 𝑥0 𝑥2 cos 20𝜋𝑥 42 lim 𝑥6 2𝑥1 𝑥6 55 lim 𝑥0 𝑥 sen 1 𝑥 43 lim 𝑥2 2𝑥39𝑥212𝑥4 𝑥32𝑥24𝑥8 56 lim 𝑥0 𝑥𝑒cos𝜋𝑥 44 lim 𝑥1 𝑥21𝑥1 𝑥1 57 lim 𝑥0 𝑥 cossec 2𝑥 cos5𝑥 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I Professora Flávia Peixoto Faria 9 58 lim 𝑥4 log1 2 3𝑥25𝑥2 2𝑥2𝑥2 59 lim 𝑥0 sen30𝑥 sen201𝑥 60 lim 𝑥0 𝑥𝑥 cos𝑥 sen𝑥 cos𝑥 61 lim 𝑥 1 2 𝑥 2𝑥 62 lim 𝑥 𝑥1 𝑥1 𝑥 63 lim 𝑥0 ℓn2𝑥1 𝑥 64 lim 𝑥0 𝑒2𝑥1 𝑒3𝑥1 65 lim 𝑥0 𝑒7𝑥1 𝑥 66 lim 𝑥0 3𝑥1 𝑥2 67 lim 𝑥 𝑥sen𝑥 𝑥sen𝑥 68 lim 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥