Medidas de Posição: Tendência Central, Quartis e Percentis

MEDIDAS DE POSIÇÃO Já vistas Medidas de Tendência Central Média Moda e Mediana Medidas de Posição ou Medidas Separatrizes Quartis Decis Percentis Medidas de Posição Média Mediana Moda Percentis Quartis Medidas de Posição Central Tercis Quartis Quintis Decis e Percentis Medidas de posição semelhantes à mediana na sua concepção embora não sejam medidas de tendência central Mediana divide a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de observações Quartis Q1 Q2 e Q3 Medidas de posição que dividem a série de dados em quatro partes com o mesmo número de observações O segundo quartil coincide com a mediana Q2 md Quartis Diferentes métodos Método de Tukey X 13 2 11 5 4 8 7 6 Número par de observações Ordene os dados 2 4 5 6 7 8 11 13 Encontre a mediana Q2 65 Divida o conjunto em 2 subconjuntos 2 4 5 6 7 8 11 13 Calcule a mediana de cada conjunto Q1 e Q3 Q1 45 Q3 95 X 13 2 11 5 4 8 7 6 4 Número ímpar de observações Ordene os dados 2 4 4 5 6 7 8 11 13 Encontre a mediana Q2 6 Divida o conjunto em dois subconjuntos não leve em conta a mediana 2 4 4 5 6 7 8 11 13 Calcule a mediana de cada conjunto Q1 e Q3 Q1 4 Q3 95 Quartis Diferentes métodos Método dos percentis i kn4 onde k é o quartil que queremos calcular e n é o total de observações Para Q1 i 184 2 Como i é um número inteiro Q1 será a média da 2a e 3a posições dos dados ordenados Logo Q145 Para Q2 mediana i 284 4 Como i é um número inteiro Q2 será a média da 4a e 5a posições dos dados ordenados Logo Q265 Para Q3 i 384 6 Como i é um número inteiro Q3 será a média da 6a e 7a posições dos dados ordenados Logo Q345 Percentis P1 P2 P3 P10 P11 P99 Denominamos percentis aos noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais Há 99 percentis com cerca de 1 em cada grupo Os quartis são percentis específicos 1º Quartil Percentil 25 2º Quartil Percentil 50 Mediana 3º Quartil Percentil 75 P10 10 50 20 P20 P30 30 60 40 70 80 90 P40 P50 P60 P70 P80 P90 Percentis Um percentil dá a informação sobre como os dados estão dispersos no intervalo entre o menor valor e o maior valor Alguns testes podem ser reportados em termos de percentis O pésimo ou pth percentil de um conjunto de dados é o valor tal que pelo menos p porcento de todos os itens assumem esse valor ou menos e pelo menos 100 p porcento dos itens tem esse valor ou mais Observação importante Não se deve confundir percentis com percentagens Um percentil é relacionado somente com a posição relativa de uma observação quando comparada com os outros valores Desse modo se um estudante que acerta 75 de um teste mas cuja nota é o 40o percentil significa que somente 40 da turma tiveram nota pior que aquele estudante e 60 saíramse melhor Organizar os dados em ordem crescente Calcular o índice i a posição do pésimo percentil i p100n Se i não for um inteiro arredondar para o próx inteiro O pésimo percentil é o valor na iésima posição Se i é um inteiro o pésimo percentil é a média dos valores nas posições i e i1 PERCENTIS i kn100 Setenta apartamentos foram selecionados aleatoriamente em uma pequena cidade ao lado de uma famosa Universidade O preço mensal dos aluguéis para esses apartamentos estão listados em ordem crescente a seguir Exemplos 1 Aluguel de Apartamento 425 430 430 435 435 435 435 435 440 440 440 440 440 445 445 445 445 445 450 450 450 450 450 450 450 460 460 460 465 465 465 470 470 472 475 475 475 480 480 480 480 485 490 490 490 500 500 500 500 510 510 515 525 525 525 535 549 550 570 570 575 575 580 590 600 600 600 600 615 615 3o quartil Percentil 75 i p100n 7510070 525 53 Posição 53 3o quartil 525 425 430 430 435 435 435 435 435 440 440 440 440 440 445 445 445 445 445 450 450 450 450 450 450 450 460 460 460 465 465 465 470 470 472 475 475 475 480 480 480 480 485 490 490 490 500 500 500 500 510 510 515 525 525 525 535 549 550 570 570 575 575 580 590 600 600 600 600 615 615 Percentil 90 425 430 430 435 435 435 435 435 440 440 440 440 440 445 445 445 445 445 450 450 450 450 450 450 450 460 460 460 465 465 465 470 470 472 475 475 475 480 480 480 480 485 490 490 490 500 500 500 500 510 510 515 525 525 525 535 549 550 570 570 575 575 580 590 600 600 600 600 615 615 i p100n 9010070 63 Média dos valores 63o e 64o Percentil 90 580 5902 585 Percentil 90 425 430 430 435 435 435 435 435 440 440 440 440 440 445 445 445 445 445 450 450 450 450 450 450 450 460 460 460 465 465 465 470 470 472 475 475 475 480 480 480 480 485 490 490 490 500 500 500 500 510 510 515 525 525 525 535 549 550 570 570 575 575 580 590 600 600 600 600 615 615 Pelo menos 90 dos itens têm um valor de 585 ou menos Pelo menos 10 dos itens têm um valor de 585 ou mais 6370 9 ou 90 770 1 ou 10 16 2 Uma importante característica de qualidade da água é a concentração de material sólido em suspensão medido em mgl Foram feitas 11 medições em um lago em 11 dias consecutivos e obtidos os resultados 424 657 298 587 521 558 570 687 673 540 543 Que valores estão acima do terceiro quartil indicando pior qualidade da água Resposta Para responder a questão acima precisamos encontrar o terceiro quartil Para isso primeiro ordenamos os dados 298 424 521 587 540 543 558 570 657 673 687 calculamos 𝑖 311 4 825 O valor 𝑖 acima significa que 𝑄3 estará na 9 posição dos dados ordenados Logo 𝑄3 657 Logo os valores acima do terceiro quartil são 673 e 687 O boxplot ou diagrama de caixa é uma ferramenta gráfica que permite visualizar a distribuição e valores discrepantes outliers dos dados É um gráfico muito útil para facilitar a comparação entre conjunto de dados O boxplot pode ser apresentado na posição horizontal ou vertical BOXPLOT Outlier 𝑀á𝑥 𝑄3 𝑄2 𝑀𝑒𝑑 𝑄1 𝑀í𝑛 Boxplot 1 O resumo dos cinco números do número de contas gerenciadas por cada gerente de vendas da Force SA é mostrado na tabela a seguir O resumo dos cinco números sugere que cerca de 50 dos gerentes de vendas da Force SA gerencia menos que qual número de contas a 35 b 45 c 50 d 65 e 85 C 2 O resumo dos cinco números do número de touchdowns feitos por cada quarterback na Liga Britânica de Futebol Americano é mostrado na tabela a seguir Cerca de quantos por cento dos quarterbacks da Liga Britânica de Futebol Americano fizeram mais que 13 touchdowns a 0 b 25 c 50 d 75 e 100 b 3 O diagrama de caixa sugere que cerca de 25 dos quarterbacks da Liga Masculina de Futebol Americano fizeram menos que qual número de touchdowns a 3 b 7 c 10 d 13 e 18 b 4 Cerca de quantos por cento dos lagos de Minnesota têm menos de 23 casas flutuantes a 0 b 25 c 50 d 75 e 100 c 5 Encontre a amplitude dos dados no diagrama de caixa abaixo Resposta 20 6 Encontre a mediana dos dados no diagrama de caixa abaixo Resposta 6