Medidas de Tendência Central: Cálculo da Mediana

Retomando aula passada Medidas de Tendência Central Média Moda 2 3 MEDIANA Valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade das observações sejam iguais ou maiores do que ela e que haja pelo menos outra metade de observações maiores do que ela Para dados quantitativos discretos O índice i define a posição do elemento mediano e depende da quantidade de dados observados n Quando n é ímpar 𝑖 𝑛1 2 Neste caso a mediana é dada pelo elemento 𝑥𝑖 Quando n é par i n2 Neste caso a mediana é a média aritmética dos valores 𝑥𝑖 e 𝑥𝑖1 Exemplos Para um número ímpar de observações 12 14 19 26 18 em ordem ascendente 27 27 26 18 27 12 14 27 19 7 observações A mediana está no valor central Mediana 19 12 14 19 26 18 em ordem ascendente 27 27 30 A mediana é a média dos dois valores centrais Mediana 19262225 Para um número par de observações 26 18 27 12 14 27 30 8 observações 19 Para dados quantitativos contínuos a fórmula abaixo aproxima o valor mediano usando basicamente uma regra de três 𝑀𝑒𝑑 𝐿𝑖 𝑛 2 𝑓𝑎𝑐 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑓𝑖 ℎ Onde 𝐿𝑖 é o limite inferior da classe mediana h é a amplitude da classe mediana 𝑓𝑎𝑐 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana 𝑓𝑖 é a frequência da classe mediana 𝑛 é o total de dados 6 CLASSES PMi fi faci 155162 1585 4 4 162169 1655 5 9 169176 1725 6 15 176183 1795 9 24 183190 1865 2 26 190197 1935 1 27 27 σ fi 2 27 2 135 Exemplo Classe Mediana 169176 O cálculo da Mediana será obtido pela expressão f facanterior h 2 f l Md i 6 9 7 2 1 Md 27 69 17425 5 25 169 4 69 6 57 1 Md 8 Exemplos Um treinador mediu a circunferência abdominal de dez homens que se apresentaram para uma aula em uma academia de ginástica Obteve em centímetros 88 83 79 76 78 70 80 82 86 105 Qual a mediana desse conjunto de dados Para obter a mediana os dados devem ser escritos em ordem crescente 70 76 78 79 80 82 83 86 88 105 Como o tamanho da amostra n é par n10 a mediana será a média aritmética dos valores que estão no centro dos dados ordenados isto é a média entre 80 e 82 Portanto a mediana é 81 cm RESUMINDO MÉDIA MEDIANA MODA Variáveis Quantitativas DISCRETAS E CONTÍNUAS Variáveis Quantitativas DISCRETAS E CONTÍNUAS Variáveis Qualitativas ORDINAIS E NOMINAIS Variáveis Quantitativas DISCRETAS E CONTÍNUAS Variáveis Qualitativas ORDINAIS Comparando algumas características das medidas Média muito usada fácil de obter sensível a valores extremos ou atípicos Mediana não é afetada pelos valores extremos Moda se o conjunto é amodal ou possui mais de uma moda a utilização desta medida pode não ser representativa A escolha depende do tipo de dados da maneira como são utilizados e o tipo de informação que se deseja obter 10 Média ou Mediana Sempre que um conjunto de dados tem valores extremos é preferível usar a mediana como medida de posição central Poucos valores muito altos podem inflar a média 12 Exemplo Escolhendo entre média e mediana Imagine que estão reunidos em uma sala seis professores cinco recebem dois saláriosmínimos por mês e um recebe 14 saláriosmínimos por mês Nesse caso a média é 𝑥 25141 6 4 Portanto o salário médio mensal desses professores é de 4 saláriosmínimos Ordenando os dados 2 2 2 2 2 14 obtémse a mediana 2 Nesse caso a mediana descreve melhor o ponto em que estão concentrados os salários dos professores da instituição Veja a figura abaixo