Conceitos de Variáveis e Medidas de Dispersão

O que já vimos Aula de hoje Conceitos elemento variável observação caso Tipos de variáveis Gráficos Tabela de Frequências Medidas de tendência central Medidas Separatrizes Medidas de Dispersão Medidas de Posição ouTendência Central Medidas de localização descrevem um aspecto dos dados numéricos que é a posição do centro da distribuição Não descrevem um outro aspecto importante que é a variabilidade ou seja a medida de afastamento dos dados em relação a um valor central Medidas de Variação ou Dispersão Medidas de posição indicam um valor importante mas não devem ser usadas isoladamente para sintetizar um conjunto de dados A dispersão dos dados em torno deste valor central é outra estatística fundamental para acompanhar as medidas de tendência central Medidas de Variação ou Dispersão As estatísticas usadas para mensurar variabilidade são chamadas de medidas de dispersão ou medidas de variação ou medidas de variabilidade As mais comuns são amplitude total dos dados máx min distância interquartis Q3 Q1 variância desvio padrão e o coeficiente de variação Exemplo Notas de cinco alunos no ano letivo Observase que para os cinco alunos a média das notas durante o ano é 5 No entanto percebese que o aluno E apresenta notas mais dispersas que os demais Alunos 1º Bim 2º Bim 3º Bim 4º Bim A 5 5 5 5 B 4 4 6 6 C 3 5 7 5 D 0 5 5 10 E 0 0 10 10 Amplitude A amplitude total At é uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade É definida como a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados At valor máximo valor mínimo Amplitude A amplitude total é fácil de calcular mas tem a desvantagem de levar em conta apenas dois valores desprezando a informação das outras observações do conjunto Isso torna a amplitude total uma medida muito sensível à presença de valores extremos Intervalo Interquartil Distância interquartil Q3 Q1 diferença entre o terceiro e o primeiro quartis Medida de amplitude modificada não considera os extremos somente mas 50 dos dados que estão no centro do conjunto Intervalo Interquartil Definição IIQ Q3 Q1 Exemplo X11 13 8 9 7 4 1 Ordenando os dados 4 7 8 9 11 13 2 Mediana 85 3 Dividindo em dois subconjuntos 4 7 8 9 11 13 Q1 e Q3 correspondem às medianas desses conjuntos Q17 Q3 11 IIQ Q3 Q1 4 Interpretação A variação máxima entre 50 das observações mais próximas da mediana é de 4 O IIQ é uma medida muito mais robusta do que a amplitude dos dados Desvio Outra forma de medir ou quantificar a dispersão das observações é calculandose os desvios de cada observação em relação à medida de tendência central geralmente a média O desvio d é definido como a diferença entre o valor observado e a medida de tendência central do conjunto de observações de uma variável x x d i i Desvio Dadas as idades de 5 crianças calcule os desvios em relação à média ഥ𝒙 ഥ𝒙 305 6 Idade x Desvio 𝒙 ഥ𝒙 3 3 6 3 6 6 6 0 5 5 6 1 7 7 6 1 9 9 6 3 Desvio Problema O somatório dos desvios de todas as observações em relação à média é zero pela própria característica desta medida de centro que representa o ponto de equilíbrio anulando os desvios em relação a média trabalhar com o módulo ou o quadrado dos desvios Variância A Variância de um conjunto de x1 x2 xn de observações de uma amostra é denotada por s2 e definida por Obs Se estamos trabalhando com dados populacionais não amostrais dividese por n e não n1 1 2 1 1 2 2 n n x x x s n i i n i i 1 1 1 2 1 2 2 n x x n d x s n i i n i i Fórmula alternativa Variância Dadas as idades de 5 crianças calcule os desvios em relação à média ഥ𝒙 ഥ𝒙 305 6 Idade x Desvio 𝒙 ഥ𝒙 Desvio Quadrático 𝒙 ഥ𝒙2 3 3 6 3 32 9 6 6 6 0 02 0 5 5 6 1 1 2 1 7 7 6 1 12 1 9 9 6 3 32 9 5 4 20 1 5 0 1 1 9 9 1 1 2 2 n x x s n i i Desvio Padrão Mais usado Como a variância é uma medida que expressa um desvio quadrático médio sua unidade é o quadrado da unidade dos dados e isto pode causar dificuldades de interpretação Portanto costumase usar a raiz quadrada positiva da variância o que é denominado desvio padrão O desvio padrão é mais adequado porque tem a mesma unidade dos dados Desvio Padrão O desvio padrão s de um conjunto de x1 x2 xn observações é definido por 1 1 2 2 n x x s s n i i 2 24 5 exemplo No s Desvio Padrão O desvio padrão isoladamente tem interpretação limitada sobre a variabilidade de um conjunto de dados É difícil avaliar separadamente se o desvio padrão é grande ou pequeno Coeficiente de Variação O coeficiente de variação CV é uma medida de variabilidade relativa definido como a razão percentual entre o desvio padrão e a média sendo assim uma medida adimensional e expressa em percentual 𝐶𝑉 𝑠 ҧ𝑥 100 s desvio padrão ҧ𝑥 média No exemplo 𝐶𝑉 5 6 100 373 Exemplo Nota Desvio Desvio Quadrático A 8 B 5 C 5 D 8 E 4 Soma 30 Média 6 Exemplo Nota Desvio Desvio Quadrático A 8 2 4 B 5 1 1 C 5 1 1 D 8 2 4 E 4 2 4 Soma 30 0 14 Média 6 Variância 144 35 Desvio Padrão 19 Coef de Variação 31 Exemplo Idade Desvio Desvio Quadrático A 56 B 68 C 32 D 45 E 27 F 65 G 77 H 33 I 60 J 45 Soma Média Var dp Exemplo Idade Desvio Desvio Quadrático A 56 52 270 B 68 172 2958 C 32 188 3534 D 45 58 336 E 27 238 5664 F 65 142 2016 G 77 262 6864 H 33 178 3168 I 60 92 846 J 45 58 336 Soma 508 00 25996 Média 508 Var 28884 dp 1700