Cálculo 1 Derviadas

20 Determine a segunda derivada da função fx sen³3x 2 2 Dada a função fx x 4 x determine a 10 A derivada de fx b 10 A equação da reta tangente ao gráfico de fx no ponto em que x 2 3 10 Determine as coordenadas x dos pontos em que o gráfico da função fx x³ 3x² 9x 7 tem uma reta tangente horizontal 4 Usando as regras de derivação estudadas encontre a derivada das seguintes funções Simplifique os resultados quando possível a 10 fx 1x 2x³ 5 ln x3 4x 3e b 10 fx e3x cosx³ c 10 fx 6 3x² 2x 1² d 10 fx ³1 2x e 10 fx lnsenx² Questão 3 Seja a função fx x3 3x2 9x 7 A derivada de primeira ordem de fx é fx ddxx3 3x2 9x 7 ddxx3 3 ddxx2 9 ddxx ddx7 3x2 3 2x 9 1 0 3x2 6x 9 As retas horizontais tangentes à curva fx possuem inclinação nula ou seja m 0 Logo devemos encontrar os pontos tais que fx 0 3x2 6x 9 0 x2 2x 3 0 x 3x 1 0 x 3 ou x 1 Portanto os pontos em que as retas horizontais são tangentes à curva fx são x 3 e x 1 Questão 1 Seja a função fx sen3 3x 2 Temos que ddx3x 2 3 ddxx ddx2 3 1 0 3 ddxsenx cosx ddxsen3x 2 dd3x 2sen3x 2 ddx3x 2 cos3x 2 3 Logo pela Regra da Cadeia a derivada de primeira ordem de fx é fx ddxsen3 3x 2 ddsen3x 2sen33x 2 ddxsen3x 2 3 sen23x 2 3 cos3x 2 9 sen2 3x 2 cos3x 2 Temos que ddxcosx senx ddxcos3x 2 dd3x 2cos3x 2 ddx3x 2 sen3x 2 3 ddxsen23x 2 ddsen3x 2sen23x 2 ddxsen3x 2 2 sen3x 2 3 cos3x 2 6 sen3x 2 cos3x 2 Logo pela Regra do Produto a derivada de segunda ordem de fx é fx ddx9 sen23x 2 cos3x 2 9 ddxsen23x 2 cos3x 2 9 sen23x 2 ddxcos3x 2 9 6 sen3x 2 cos3x 2 cos3x 2 9 sen23x 2 3 sen3x 2 54 sen3x 2 cos23x 2 27 sen33x 2 Portanto a derivada de segunda ordem de fx é fx 54 sen3x 2 cos23x 2 27 sen33x 2 Questão 2 a Seja a função fx x 4x 1 4x 1 4x1 A derivada de primeira ordem de fx é fx ddx1 4x1 ddx1 4 ddxx1 0 4 1x2 4x2 4x2 b A inclinação da reta tangente à curva fx em um ponto x x0 é dada por m fx0 Para x 2 temos f2 422 44 1 Logo a inclinação da reta tangente à curva fx no ponto x 2 é m 1 Aplicando x 2 na função fx temos f2 1 4 21 1 4 12 1 2 3 Logo a reta é tangente à curva fx no ponto 2 3 Desse modo sua equação é y y0 mx x0 y 3 1 x 2 y 3 x 2 y x 5 Portanto a equação da reta tangente à curva fx no ponto x 2 é y x 5 Questão 4 a Seja a função fx 1x 2x3 5 lnx3 4x 3e x1 2x32 53 lnx 4x 3e A derivada de primeira ordem de fx é fx ddx x1 2x32 53 lnx 4x 3e ddx x1 2 ddx x32 53 ddx lnx 4 ddx x ddx 3e x2 2 32 x12 53 1x 4 1 0 x2 3x12 53x 4 1x2 3x 53x 4 Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 1x2 3x 53x 4 Questão 4 b Seja a função fx e3x cosx3 Pela Regra da Cadeia temos que ddx 3x 3 ddx x 3 1 3 ddx ex ex ddx e3x dd3x e3x ddx 3x e3x 3 3e3x ddx x3 3x2 ddx cosx senx ddx cosx3 dd x3 cosx3 ddx x3 senx3 3x2 3x2 senx3 Logo pela Regra do Produto a derivada de primeira ordem de fx é fx ddx e3x cosx3 ddx e3x cosx3 e3x ddx cosx3 3e3x cosx3 e3x 3x2 senx3 3e3x cos x3 3e3x x2 senx3 3e3x cos x3 x2 senx3 Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 3e3x cos x3 x2 senx3 Questão 4 c Seja a função fx 63x2 2x 12 6 3x2 2x 12 Temos que ddx 3x2 2x 1 3 ddx x2 2 ddx x ddx 1 3 2x 2 1 0 6x 2 Logo pela Regra da Cadeia a derivada de primeira ordem de fx é fx ddx 6 3x2 2x 12 6 ddx 3x2 2x 12 6 dd 3x2 2x 1 3x2 2x 12 ddx 3x2 2x 1 6 2 3x2 2x 13 6x 2 12 3x2 2x 13 6x 2 126x 23x2 2x 13 72x 243x2 2x 13 Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 72x 243x2 2x 13 Questão 4 d Seja a função fx ³1 2x 1 2x13 Temos que ddx 1 2x ddx 1 2 ddx x 0 2 1 2 Logo pela Regra da Cadeia a derivada de primeira ordem de fx é fx ddx 1 2x13 dd1 2x 1 2x13 ddx 1 2x 131 2x23 2 231 2x23 2 3 ³1 2x2 Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 2 3 ³1 2x2 Questão 4 e Seja a função fx ln sen x² Temos que ddx x² 2x ddx senx cosx ddx senx² dd x² senx² ddx x² cosx² 2x 2x cosx² ddx lnx 1x Logo pela Regra da Cadeia a derivada de primeira ordem de fx é fx ddx ln sen x² dd sen x² ln sen x² ddx sen x² 1sen x² 2x cos x² 2x cos x²senx² 2x cotg x² Portanto a derivada de primeira ordem de fx é fx 2x cotg x²