Derivadas e Aplicações - Taxa de Variação, Pontos Críticos e Teorema Fundamental do Cálculo

I DERIVADAS E APLICAÇÕES 1 Explique o significado da derivada de uma função como taxa de variação Qual a unidade da derivada Dê exemplo 2 O que é a diferencial de uma função Em que condições podemos usar a diferencial como aproximação da variação sofrida pela função ao modificar o valor da variável independente Dê exemplos 3 O que são pontos críticos de uma função Como se determina esses pontos Como se classifica esses pontos críticos Como se determina o valor máximo eou valor mínimo de uma função Dê exemplos 4 O que são pontos de inflexão de uma função Como se determina esses pontos Dê exemplos 5 Como se pode determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função usando derivada Dê exemplos 6 Como se pode determinar os intervalos de concavidade pra cima ou para baixo no gráfico de uma função usando derivada Dê exemplos 7 Como se pode confirmar que o resultado de uma integral indefinida está correto Dê exemplos 8 Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo Dê exemplos 9 Como se pode calcular área usando integral definida Dê exemplos 10 Seja f uma função contínua não negativa em𝑎 𝑏 Seja R a região sob o gráfico de f de a até b Como se pode calcular o volume de um sólido gerado pela revolução de uma região R em torno do eixo dos x Dê exemplos 11 Dê exemplo e faça os cálculos 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟏 𝐴 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑜 𝑞𝑢ã𝑜 𝑟á𝑝𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑚 𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑈𝑚 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑠𝑡 2𝑡2 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 é 4𝑡 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 é 𝑑𝑒 4𝑡 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟐 𝑂 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 é 𝑢𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚𝑖𝑥𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒 é 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑃𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑏𝑜𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 é 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎 𝑈𝑚 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 é 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝛥𝑥 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑥 cos𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑆𝑒𝑗𝑎𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝜋 4 𝑒 𝛥𝑥 01 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 cos 𝜋 4 01 2 2 01 007 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟑 Os pontos críticos de uma função são os pontos onde sua derivada é igual a zero ou não está definida Para determinar esses pontos calcule a derivada da função igualea a zero e resolva a equação para encontrar os valores correspondentes A classificação dos pontos críticos é feita usando a segunda derivada da função Se a segunda derivada for positiva o ponto crítico é um mínimo local Se for negativa é um máximo local Se a segunda derivada for zero é necessário utilizar outros métodos para classificar o ponto Para encontrar o valor máximo eou mínimo da função avalie a função nos pontos críticos e nos extremos do domínio O maior valor obtido representa o valor máximo e o menor valor obtido representa o valor mínimo Considere a função fx x³ 3x² 9x 5 Derivando aa função fx fx 3x² 6x 9 Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação 3x² 6x 9 0 Dividindo todos os termos por 3 x² 2x 3 0 Fatorando x 3x 1 0 Resolvendo as equações x 3 ou x 1 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟒 Pontos de inflexão são os pontos onde a concavidade de uma função muda Para determinálos devemos fazer o seguinte Calcular a segunda derivada da função após isso encontrar os valores das variáveis independentes onde a segunda derivada é zero ou indefinida E verificar se ocorre uma mudança de concavidade nos pontos encontrados Se a segunda derivada muda de sinal em um ponto esse ponto é um ponto de inflexão Exemplo Considere a função fx x³ 6x Derivada segunda fx 6x 6 Igualando a segunda derivada a zero e resolvendo a equação 6x 6 0 6x 6 x 1 Portanto o ponto crítico é x 1 Verificando a mudança de concavidade f0 60 6 6 negativo f2 62 6 6 positivo Como a segunda derivada muda de sinal de negativo para positivo em x 1 esse ponto é um ponto de inflexão 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟓 Deve ser feito o seguinte Derivar a função igualar a derivada a zero e achar as raízes testar um ponto dentro de cada intervalo em um número maior que os pontos críticos e outro número menor que os pontos críticos para determinar se a função está crescendo ou decrescendo Exemplo fx 2x² 8x 3 Derivada fx 4x 8 Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação 4x 8 0 4x8 x2 Portanto o ponto crítico é x 2 Assim os intervalos entre os pontos críticos Os intervalos são 2 e 2 Para o intervalo 2 escolhemos x 0 Substituindo na função original f0 20² 80 3 3 Como f0 é positivo a função está crescendo nesse intervalo Para o intervalo 2 escolhemos x 3 Substituindo na função original f3 23² 83 3 9 Como f3 é negativo a função está decrescendo nesse intervalo Portanto a função fx 2x² 8x 3 é crescente no intervalo 2 e decrescente no intervalo 2 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟔 Devese primeiro encontrar a segunda derivada da função após isso encontrar as raízes e os ponto de inflexão e analisar os sinais da segunda derivada Se a segunda derivada for positiva em um intervalo a função será côncava para cima caso cotrário será negativa Exemplo fxx²2x sua derivada segunda é f x2 portanto não existem pontos de inflexão logo é concava pra cima em todo o seu intervalo 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟕 Basta derivar a função obtida com a integral se resultar na função original está correto Exemplo vamos analisar se 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 A derivada de 𝑥2 2 é dada por 2 𝑥 2 x logo está correto 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟖 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑓 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑎 𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝐹𝑏 𝐹𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹 é 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑓 Exemplo 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐹𝑥 𝑥3 3 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 13 3 03 3 1 3 0 1 3 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟗 Basta identificar a função e os limites de integração escrever a integral definida da função nos limites de integração e calcular a integral A área será dada justamente pela integral definida da função escolhida no intervalado dado limites de integração Exemplo Calcule a área da região limitada por fxx² em 02 𝑥2 2 0 𝑑𝑥 𝑥3 3 0 2 23 3 03 3 8 3 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟏𝟎 Para calcular o volume do sólido gerado pela revolução da região R em torno do eixo dos x pode ser usado o método de integração conhecido como Método dos Discos que consite em Considerar a região R dividida em infinitos discos horizontais Cada disco tem um raio igual à altura da função fx no ponto correspondente O volume de cada disco é dado por π r² espessura Somando os volumes de todos os discos ao longo da região R obtemos o volume total do sólido gerado O volume do sólido de revolução é dado pela integral definida V 𝜋 𝑓𝑥² 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Por exemplo se tivermos a função fx x² no intervalo 0 2 e quisermos calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x usamos a fórmula acima 𝑉 𝜋 𝑥22 2 0 𝑑𝑥 𝜋 𝑥4 𝑑𝑥 2 0 𝜋 𝑥5 5 0 2 𝑉 𝜋 25 5 05 5 32𝜋 5 𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟏𝟏