Heterocedasticidade e Teorema de Gauss-Markov em Econometria II

Heterocedasticidade Prof Samira Schatzmann Leitura Wooldridge 62 e 91 principais 24b 34b 74b cap 9 complementares HGJ 63 e 862 Gujarati Cap 6 e 134 Vamos relembrar nossa trajetória O objetivo do curso de Econometria II é ver que dependemos das hipóteses do Teorema de GaussMarkov para termos um modelo econométrico com boas propriedades para ser estimado pelo método de mínimos quadrados ordinários Até agora nós já vimos que A omissão de uma variável relevante pode causar endogeneidade no modelo e consequentemente viés no estimador O modelo deve estar bem especificado para a relação entre as variáveis e a pergunta que se deseja responder A presença de elevado grau de colinearidade entre as variáveis exógenas pode acarretar maior chance de ocorrência do Erro tipo I VOCÊS DEVEM ESTAR CONFORTÁVEIS COM A COMPREENSÃO DESTAS CONCLUSÕES ATÉ AQUI ANTES DE CONTINUARMOS OK ATENÇÃO O que veremos nas próximas duas aulas Faremos um exame mais detalhado sobre o erro do MRL Para que os estimadores de MQO tenham as propriedades desejáveis de acordo com o Teorema de GaussMakov precisamos que Homocedasticidade a variância dos erros seja constante em todo X esta aula Não autocorrelação a correlação entre os erros seja nula próxima Em Econometria III vocês serão introduzidos mais formalmente ao conceito de erro ruído branco este é o ponto de partida A estrutura das aulas é a mesma 1 Demonstrar qual a implicação da violação do pressuposto nas propriedades dos estimadores de MQO 2 Saber identificar se o pressuposto é ou não violado no modelo amostral 3 Conhecer as técnicas para correção eou diminuição do impacto do problema no estimador Na aula sobre o Teorema de Gauss Markov vimos que precisamos das hipóteses ao lado para garantir que os estimadores de MQO sejam BLUE o que é isso mesmo você ainda consegue se lembrar Hoje vamos tratar da violação da hipótese RLM 5 Homocedasticidade Adicionalmente farei alguns comentários sobre a hipótese RLM 7 Normalidade dos erros Vocês entenderão porque acabamos falando pouco sobre ela DEFINIÇÃO Variância condicional do erro Homocedasticidade variância condicional dos erros é constante 𝑣𝑎𝑟 𝑢 𝐗 𝜎2 Heterocedasticidade variância condicional dos erros não é mais constante 𝑣𝑎𝑟 𝑢 𝐗 𝜎𝑖 2 Note o subscrito 𝑖 Ele indica que a variância 𝜎2 varia de acordo com cada observação 𝑖 Sua ausência indica que tratase de uma constante como no caso da homocedasticidade Impacto Como já antecipado em slide anterior a violação desta hipótese faz com que o estimador de MQO não tenha mais a menor variância Ou seja quando falamos que o estimador de MQO é BLUE ou seja melhor estimador linear não viesado estamos implicando que ele não é mais o melhor porque é melhor o estimador com menor variância lembra do diagrama dos tiros aoalvo no apocalipse zumbi E já vimos o que acontece com os testes de significância quando a variância do estimador aumenta certo Aumenta a chance de ocorrência do Erro Tipo I se você não se lembra recomendo que reveja a aula sobre multicolinearidade antes de prosseguir Por que variância condicional do erro Porque a variância do erro vai variar horrível eu sei conforme os valores de X Vamos ver graficamente a seguir Depois estudaremos exemplos de como podemos suspeitar da presença de heterocedasticidade em nosso modelo mesmo antes de vermos os dados apenas a partir do fundamento teórico da questão que desejamos estudar Pequena regra de bolso modelos com dados em crosssection costumam sofrer mais do problema de heterocedasticidade e modelos com dados de série temporal costumam sofrer mais de autocorrelação ILUSTRAÇÃO GRÁFICA No gráfico de dispersão scatterplot HGJ p 274 No gráfico de dispersão scatterplot HGJ p 274 Como está No gráfico de dispersão scatterplot HGJ p 274 𝜎1 2 𝜎2 2 No gráfico de dispersão scatterplot HGJ p 274 Como está Como deveria estar No gráfico de dispersão do resíduo HGJ Exercício 1110 p 295 No gráfico de dispersão do resíduo HGJ Exercício 1110 p 295 No gráfico de dispersão do resíduo HGJ Exercício 1110 p 295 Gráficos de dispersão e de distribuição Os gráficos de dispersão são mostrados em duas dimensões Contudo sabemos que existe a dimensão da função de probabilidade associada ao determinado par ordenado xy Portanto quando vemos um gráfico em duas dimensões estamos na verdade vendo o gráfico de cima Se quisermos adicionar a dimensão da densidade de probabilidade precisamos de um gráfico em três dimensões Não é fácil reproduzir este gráfico à mão mas vale tentar e exercitar Considerando a função densidade de probabilidade conjunta xy Gujarati pág 314 Considerando a função densidade de probabilidade conjunta xy HGJ pág 275 BREVES COMENTÁRIOS SOBRE A NORMALIDADE DOS ERROS Breves comentários sobre a hipótese RLM 7 Normalidade dos erros Note que a fdp conjunta de xy no exemplo anterior possui distribuição NORMAL De que forma devo pensar isso Imagine que você vai cortar a distribuição em algum ponto de X Visto de perfil vai aparecer o sino da distribuição normal Visto em três dimensões vai parecer uma montanha Se você ainda têm dificuldade de visualizar as funções de distribuição de probabilidade você pode simular uma distribuição bivariada neste site aqui ou aqui Considerando que o erro do modelo de regressão ou o resíduo da estimação é a distância do ponto observado ao ponto predito pela reta de regressão é fácil observar que a distribuição dos erros também será NORMAL Breves comentários sobre a hipótese RLM 7 Normalidade dos erros A necessidade desta hipótese para a confiabilidade da estimação já foi bastante discutida pelos estatísticos e econometristas ao longo do tempo Alguns ainda mantêm algumas discordâncias mas via de regra os econometristas fiamse na Teoria Assintótica ou seja as propriedades de estimadores e testes estatísticos para grandes amostras com 𝑛 não enxergando prejuízo significativo da não verificação da distribuição normal dos erros uma vez que supõese que se a amostra fosse aumentada este problema não se verificaria grosso modo Todas as variáveis inclusive os resíduos da regressão podem passar por um Teste de Normalidade que é o chamado JarqueBera Antigamente ele costumava ser reportado em artigos aplicados hoje já não é mais EXEMPLO GASTOS COM ALIMENTAÇÃO SEGUNDO FAIXAS DE RENDA FAMILIAR Modelo de gastos com alimentação Exemplo clássico onde provavelmente os dados terão heterocedasticidade CONSEQUÊNCIAS PARA OS ESTIMADORES DE MQO Consequência para os estimadores de MQO Continua não viesado Não é mais o mais eficiente a variância verdadeira é maior que a variância estimada supondo que o modelo é homocedástico e sem autocorrelação também o que veremos na próxima aula Assim os testes t e F de significância individual e conjunta dos parâmetros respectivamente produzirão resultados enganosos Vejamos o impacto na variância do estimador de MQO Vamos anteriormente que podemos definir o estimador de MQO por βn βn Σwiεi onde wi xiΣxi² Vamos precisar usar as seguintes propriedades 1 Var ax a² var x 2 Var c ax a² var x 3 Var ax by a² var x b² var y 2ab cov xy se x e y forem independentes esse termo é 0 Portanto var β₁ var β₁ Σωεᵢ Portanto var β₁ var β₁ Σωεᵢ o constante Portanto Portanto Portanto Portanto Portanto Portanto Por tanto Por tanto Por tanto Portanto varβλ varβ1 Σωεi varβn varW1ε1 W2ε2 W3ε3 Wnεn varβ W1² varε1 W2² varε2 Wn² varεn Agora isso não vale mais varεi varεj i j Portanto varβλ varβ1 Σωεi varβn varW1ε1 W2ε2 W3ε3 Wnεn varβ W1² varε1 W2² varε2 Wn² varεn Se novo modelo for heterocedástico o estimador de MQO não será mais BLUE Ele continua viesado mas não será mais o estimador de menor variância Portanto varβλ varβ1 Σωεi varβn varW1ε1 W2ε2 W3ε3 Wnεn varβ W1² varε1 W2² varε2 Wn² varεn Além disso lembremos da 3ª propriedade da variância da soma de variáveis aleatórias Portanto var βλ var β1 Σωεi var βn var ω1ε1 ω2ε2 ω3ε3 ωnεn var β ω12 var ε1 ω22 var ε2 ωn2 var εn precisamos considerar a covariância entre elas Portanto var βλ var β1 Σωεi var βn var ω1ε1 ω2ε2 ω3ε3 ωnεn var β ω12 var ε1 ω22 var ε2 ωn2 var εn 2ω1ω2 covε1ε2 2ω1ω3 covε1ε3 2ω2ω3 covε2ε3 Se o modelo não tem autorrelações ou seja se RLM é válida então covεiεj 0 ij logo varβλ varβ1 Σωεi PS Já ficou claro o que veremos na próxima aula certo Em suma 1 Mesmo se a hipótese de nãoautocorrelação se verificar se estimarmos a variância do estimador መ𝛽 como se ele fosse homocedástico quando na verdade ele não é estamos estimando incorretamente 2 A variância real com heterocedasticidade é menor do que a variância calculada erroneamente como se fosse homocedástica Isso implica que os testes t e F serão inválidos Afinal lembremos H0 βn 0 H1 βn 0 tc βn epβ1 Afinal lembremos Afinal lembremos Qual o risco Não rejeitar 𝐻0 quando ela for falsa Ou seja risco aumentado de incorrer no Erro Tipo II Relembrando o que significa na prática cometer um Erro Tipo II no contexto de um teste de significância concluirmos que uma determinada variável 𝑥 não é importante para explicar 𝑦 quando na verdade ela é Imaginem o impacto de um erro deste tipo na avaliação de uma política pública por exemplo No limite podemos levar à interrupção do financiamento de uma política pública por ter concluído erroneamente que ela não tinha efetividade TESTES PARA HETEROCEDASTICIDADE Testes Teste BP Teste White Teste GoldfeldQuandt em desuso Já falamos várias vezes mas não custa repetir Quando estamos falando de teste de hipótese precisamos ter muita clareza sobre Qual é a hipótese nula que estamos testando Como interpretamos o resultado do teste em termos das implicações para nosso modelo Teste de White Teste de White Teste de White modelo Yi β0 β1X1i β2X2i ui Regessor auxiliar Teste de White Ho Homocedasticidade Teste BP Teste BP Teste BP Isso sugere avaliar a heterocedasticidade avaliando a seguinte equação Isso sugere avaliar a heterocedasticidade avaliando a seguinte equação note as semelhanças com o Teste de White Isso sugere avaliar a heterocedasticidade avaliando a seguinte equação wi 𝜃0 𝜃1𝑦i 𝜃2𝑦i2 𝑣i H0 𝜃0 𝜃1 𝜃2 0 Na prática assim como o teste de White o teste BP também está testando H0 homocedasticidade COMO LIDAR COM MODELOS HETEROCEDÁSTICOS Depende Modelo com Heterocedasticidade Conhecido Desconhecido Padrão da Heterocedasticidade Mínimos Quadrados Ponderados Estimador Robusto de White Procedimento Na prática Muito difícil conhecer o padrão de heterocedasticidade Todo mundo usa estimador robusto de White mesmo sem testar para a heterocedasticidade Muito embora se não houver heterocedasticidade pode ser melhor usar a estimativa de erro padrão Muitas vezes o problema da heterocedasticidade resolve apenas por utilizar a forma funcional logarítmica Mínimos Quadrados Ponderados Consiste em ponderar as observações para dar mais peso para aquelas com a menor variância e menos peso para aquelas com a maior variância Como fazer isso Dividir cada observação pela raiz do padrão de heterocedasticidade Ou seja estaremos criando uma nova variável que é a variável antiga transformada ponderada pelo peso inverso da sua variância Como descobrir o padrão boa pergunta O modelo transformado não terá heterocedasticidade e voltará a ser BLUE precisamos saber como provar isso MQP Relembrando Vamos avaliar o modelo transformado MQP com relação às principais hipóteses do Teorema de GaussMarkov ui inc 1 E ui inc inc 1 E ui inc inc 1 inc Eui inc E ui inc inc 1 inc Eui inc 0 E ui inc inc 1 inc Eui inc 0 ui inc ui inc ui inc ui inc ui inc 2 Var ui inc 1 inc² Varu inc 1 inc ²inc ² média condicional Eux0 variância constante Ou seja o modelo transformado de MQP atende às hipóteses do Teorema de GaussMarkov Em particular o novo modelo é homocedástico MQP corrige a heterocedasticidade Estimador de White Estimador da variância de MQO varβ σ²x² onde x xᵢ x σ² uᵢ²nk1 Estimador de White Estimador de White Estimador robusto de White Como nem sempre conseguimos obter o padrão de heterocedasticidade para aplicarmos MQP utilizaremos um estimador para que corrija os errospadrão Lógica simples utilizar 𝜀𝑖 2 como proxy da 𝑣𝑎𝑟𝜀𝑖 EXERCÍCIOS Exercícios 1 ErroPadrão Robusto de White 2 Minimos Quadrados Generalizados ponderados 3 Exercícios Extras 1 Estimador Robusto de White a Calcule no Excel o seguinte MRL na base de dados wine erro padrão da base de dados wine supondo homocedasticidade a Ainda no Excel calcule o erro padrão robusto à heterocedasticidade b Compare os dois resultados c Confira no EViews se acertou o cálculo do estimador robusto 1 Estimador Robusto de White a Calcule no Excel o seguinte MRL na base de dados wine erro padrão da base de dados wine supondo homocedasticidade a Ainda no Excel calcule o erro padrão robusto à heterocedasticidade b Compare os dois resultados c Confira no EViews se acertou o cálculo do estimador robusto 2 Mínimos Quadrados Generalizados¹ Generalized Least Squares GLS 1 Os Mínimos Quadrados Ponderados que vimos são um caso particular dos Mínimos Quadrados Generalizados 2 Mínimos Quadrados Generalizados¹ Generalized Least Squares GLS 1 Os Mínimos Quadrados Ponderados que vimos são um caso particular dos Mínimos Quadrados Generalizados Exercícios adicionais para estudo Wooldridge Cap 8 2 5 C2 HGJ Cap 11 1 2 5 9 10 11 Gujarati