Conjuntos Numéricos e Números Reais - Aula 1 ProFoco

PROGRAMA DE FORMAÇÃO COMPLEMENTAR EM MATEMÁTICA PROFOCO Profa Dra Christiane Buffo Rodrigues 2º semestre de 2022 Aula 1 Conjuntos Numéricos e Números Reais Potenciação e Radiciação Conjuntos Conjuntos Conjunto é uma coleção de elementos de natureza ou propriedade comum Exemplos alunos de uma sala de aula ruas de uma cidade números inteiros positivos possíveis valores de taxa de juros Um conjunto geralmente é denotado por uma letra maiúscula e pode ser descrito de três formas a Graficamente utilizando o Diagrama de EulerVeen b Explicitamente 𝐴 0 1 2 3 4 c Definindo a propriedade comum entre os elementos do conjunto 𝐴 𝑥 ℕ 0 𝑥 4 Exemplo Considere os conjuntos 𝐴 0 1 2 𝐵 0 1 2 3 e 𝐶 0 1 3 Então A B e A C Quando falamos de conjuntos alguns símbolos são utilizados com frequência Símbolos pertence e não pertence são usados para indicar se um elemento pertence ou não a um dado conjunto Exemplo Dado o conjunto 𝐴 0 1 2 3 4 podemos dizer que 1 𝐴 mas 5 𝐴 Símbolos está contido e não está contido são usados para indicar se um conjunto é ou não é subconjunto de outro União de conjuntos O conjunto 𝐶 𝐴 𝐵 representa o conjunto que reúne todos os elementos dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 Interseção de conjuntos O conjunto 𝐷 𝐴 𝐵 representa o conjunto constituído por todos os elementos comuns aos conjuntos 𝐴 e 𝐵 Exemplo Considere os conjuntos 𝐴 1 2 4 5 e 𝐵 0 1 3 4 5 7 Então 𝐶 𝐴 𝐵 0123457 𝐷 𝐴 𝐵 145 Conjuntos Numéricos e Números Reais Números Naturais é o conjunto numérico que reúne todos os números positivos e inteiros Este conjunto é denotado por ℕ ℕ 0123456 Números naturais geralmente são utilizados em contagem de elementos Exemplo 5 cadeiras Números Inteiros é o conjunto numérico que reúne todos os números positivos negativos e inteiros Este conjunto é denotado por ℤ ℤ 4 3 2 101234 Números inteiros podem ser utilizados para indicar temperatura Exemplo 5C Números Racionais é o conjunto numérico que reúne todos os números que podem ser escritos na forma de fração 𝑎 𝑏 em que 𝑎 𝑏 ℤ e 𝑏 0 Este conjunto é denotado por ℚ ℚ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℤ 𝑒 𝑏 0 Números racionais podem ser utilizados em medições Exemplo 175m Note que a seguinte relação de inclusão é satisfeita ℕ ℤ ℚ Números Irracionais é o conjunto numérico que reúne todos os números que não podem ser escritos na forma de fração Este conjunto é denotado por 𝕀 Exemplos a Número pi 𝜋 31415 b Número de Euler 𝑒 27182 c Raízes não exatas 2 14142 Números Reais é o conjunto numérico que reúne todos os números racionais e irracionais Este conjunto é denotado por ℝ ℝ ℚ 𝕀 Observação 1 Quando excluímos o número 0 de um conjunto numérico utilizamos o asterisco para indicar ℕ 123456 ℤ 4 3 2 11234 ℚ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℤ 𝑒 𝑎 𝑏 0 ℝ ℝ 0 Observação 2 Quando consideramos apenas os números positivos negativos de um conjunto numérico utilizamos o sinal ou para indicar Exemplos i ℤ 01234 ii ℤ 4 3 20 Q Números Racionais 32 1 12 0 12 1 32 Z Números Inteiros 3 2 1 0 1 2 3 N Números Naturais 0 1 2 3 4 R Números Reais ³5 π3 2 π e Os números reais podem ser representados geometricamente por meio de uma reta numerada e ordenada de modo crescente Esta reta é chamada de reta real Propriedades dos números reais 1 Toda subtração é na verdade uma soma Exemplo 8 2 8 2 6 2 Toda divisão é na verdade uma multiplicação Exemplo 10 5 10 1 5 2 3 Propriedade Comutativa a A ordem das parcelas não altera a soma ou seja 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 b A ordem dos fatores não altera o produto ou seja 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 4 Propriedade Associativa A ordem em adições e multiplicações sucessivas é irrelevante ou seja a 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 b 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Propriedades dos números reais 5 Propriedade Distributiva A multiplicação é distributiva em relação à adição 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 6 Existência de elemento neutro a Na adição existe apenas um número real 0 que somado a qualquer outro número real x resulta no próprio número x ou seja 0 𝑥 𝑥 0 𝑥 b Na multiplicação existe apenas um número real 1 que multiplicado por qualquer outro número real x resulta no próprio número x ou seja 1 𝑥 𝑥 1 𝑥 Propriedades dos números reais 7 Existência de oposto e inverso a Na adição para todo número real 𝑥 existe um único número real oposto 𝑥 tal que 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 0 b Na multiplicação para todo número real 𝑥 0 existe um único número real inverso 1 𝑥 tal que 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 𝑥 1 8 Lei do fator zero Para qualquer número real 𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 Consequência Se 𝑥 e 𝑦 são dois números reais tais que 𝑥 𝑦 0 então obrigatoriamente 𝑥 0 ou 𝑦 0 9 Propriedade dos opostos a 1 𝑎 𝑎 b 1 𝑎 𝑎 𝑎 c 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 d 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 10 Lei dos Quocientes a 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 b 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 c 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 se e somente se 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 d 𝑎 𝑏 𝑘𝑎 𝑘𝑏 para qualquer 𝑘 𝑅 11 Lei da ordem das operações Em uma expressão uma soma ou uma subtração só deve ser realizada após todas as operações de multiplicação e divisão já terem sido efetuadas a menos que elas apareçam entre os símbolos ou Regra de sinais para produto e quociente de números reais 1 O produto ou quociente de dois números reais com sinais iguais Resultado positivo 2 O produto ou quociente de dois números reais com sinais diferentes Resultado negativo Sinal Operação Sinal Sinal resultante Exemplo Multiplicação ou Divisão 3 2 6 4 2 2 Multiplicação ou Divisão 3 2 6 4 2 2 Multiplicação ou Divisão 3 2 6 4 2 2 Multiplicação ou Divisão 3 2 6 4 2 2 Operações com os Racionais Adição Para somar duas frações podemos proceder da seguinte forma prática 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏 𝑑 Exemplo 1 3 3 7 1 7 3 3 3 7 7 9 21 16 21 Subtração Para subtrair duas frações podemos proceder da seguinte forma prática 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏 𝑑 Exemplo 1 3 3 7 1 7 3 3 3 7 7 9 21 2 21 2 21 Multiplicação A multiplicação de duas frações é feita da seguinte forma multiplicamse os numeradores e os denominadores para obter respectivamente o numerador e o denominador da fração resultante ou seja 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 Exemplo 5 4 8 5 5 8 4 5 40 20 2 Divisão A divisão de duas frações é feita da seguinte forma multiplicase a fração do numerador pela fração inversa do denominador ou seja 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 Exemplo 4 5 7 3 4 5 3 7 12 35 POTENCIAÇÃO Potenciação é uma forma de representar a multiplicação de um número real 𝑎 por ele mesmo 𝑛 vezes De forma geral temos 𝑎𝑛 𝑏 em que 𝑎 é a base 𝑛 é o expoente e 𝑏 é a potência Por definição temos que 𝑎0 1 𝑎1 𝑎 𝑎𝑛 1 𝑎𝑛 se 𝑎 0 Exemplos a 23 2 2 2 8 b 5 4 2 5 4 5 4 25 16 c 3 3 3 3 3 27 d 𝜋0 1 e 71 7 f 52 1 52 1 5 1 5 1 25 g 4 2 1 4 2 1 4 1 4 1 16 Propriedades da Potenciação a 𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑚𝑛 Exemplo 23 22 232 25 32 b 𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑚𝑛 Exemplo 37 35 375 32 9 c 𝑎𝑚 𝑛 𝑎𝑚𝑛 Exemplo 23 2 232 26 64 d 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎𝑛 Exemplo 1 2 4 2 1 2 2 42 1 4 16 4 e 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛 Exemplo 2 3 3 23 33 8 27 f 𝑎 𝑚 𝑛 𝑛 𝑎𝑚 Exemplo 3 1 2 2 31 3 g 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎𝑏 Exemplo 3 2 3 4 3 2 4 3 8 2 h 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑏 𝑠𝑒 𝑏 0 Exemplo 2 8 2 2 2 8 2 2 4 2 i 𝑛 𝑚 𝑎 𝑛𝑚 𝑎 Exemplo 2 2 16 22 16 4 16 2