Lista de Exercícios Resolvidos Funcao de Segundo Grau e Derivada PUCPR

PUCPR Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão 01 Função de segundo grau e derivada Semana 7 Uma indústria pode fabricar fogões ao custo de R 150 cada Os números de venda indicam que se os fogões forem vendidos a x reais cada aproximadamente 900 x serão vendidos por mês a Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda x b Qual o preço ótimo de venda ou seja o preço para o qual o lucro é máximo c Qual é o lucro máximo Questão 02 Função de segundo grau e derivada Semana 7 Um fabricante estima que quando q milhares de unidades de certa mercadoria são produzidos por mês o custo total é Cq 04q2 3q 40 milhares de reais e os q milhares de unidades podem ser vendidos por um preço unitário pq 222 12q reais Determine o nível de produção para o qual o lucro é máximo Qual é o lucro máximo Questão 03 Função de segundo grau e derivada Semana 7 O único empório de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado 40 centavos a garrafa O dono do empório estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderá 70 5x 4y garrafas da marca local e 80 6x 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro Suponha que o lucro máximo coincide com o máximo relativo da receita diária PUCPR Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização RESOLUÇÕES Questão 01 O custo total para se fabricar 900 x fogões ao custo unitário de R 15000 é Cx 150 900 x Cx 135000 150 x A receita total na venda de 900 x fogões com preço de venda unitário a x reais é Rx x 900 x Rx 900 x x2 a O lucro que é a diferença entre a receita e o custo é Lx Rx Cx Lx 900 x x2 135000 150 x Lx 900 x x2 135000 150 x Lx x2 1050 x 119000 b O preço para o qual o lucro é máximo é igual ao vértice de x da função mas também é o valor para o qual a derivada é nula Pelo vértice de x temse xV xV xV xV 525 Pela derivada temse Lx x2 1050 x 135000 Lx 2 x 1050 0 2 x 1050 2 x 1050 x x 525 Assim o preço ótimo de venda é de R 52500 PUCPR Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização c O lucro máximo é obtido pelo vértice de y da função ou substituindo o vértice de x na função Lx x2 1050 x 135000 L495 5252 1050 525 135000 L495 275625 551250 135000 L495 551250 410625 L495 140625 Assim o lucro máximo é de R 140625 Questão 02 A receita é Rq qpq q222 12q 222q milhares de reais e portanto o lucro é milhares de reais Temos para Como P6 32 0 o teste da derivada segunda para extremos absolutos mostra que o lucro é máximo quando 6000 unidades são produzidas O lucro máximo é P6 1662 1926 40 176 milhares de reais R 1760000 Questão 03 PUCPR Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização Como O lucro diário com a venda de suco de laranja é dado pela função Calculamos as derivadas parciais fx 10x 10y 20 e fy 10x 14y 240 e igualamos as derivadas a zero 10x 10y 20 0 e 10x 14y 240 0 Ou x y 2 5x 7y 120 Para resolver o sistema no método de substituição isolamos y na primeira função e obtemos um valor para y y x 2 Agora vamos substituir na segunda função e encontrar o valor de x 5x 7y 120 5x 7x 2 120 5x 7x 14 120 2x 120 14 2x 106 1 x 1062 x 53 Agora vamos substituir em qualquer uma das fórmulas o valor de x para encontrar o valor de y y x 2 y 53 2 PUCPR Todos os direitos reservados Nenhum texto pode ser reproduzido sem prévia autorização y 55 Resolvemos esse sistema de equações para obter x 53 e y 55 Assim 53 55 é o único ponto crítico de f O passo seguinte consiste em aplicar o teste das derivadas de segunda ordem A conclusão é que f possui um máximo relativo para x 53 y 55 Em outras palavras o dono do supermercado pode maximizar o lucro vendendo a marca local de suco de laranja por 53 centavos a garrafa e a marca nacional por 55 centavos a garrafa