Laboratorio de Sinais e Sistemas PUC Minas - Guia Pratico MATLAB

EE Laboratório de Sinais e Sistemas Instituto Politécnico PUC Minas EE Laboratório de Sinais e Sistemas Instituto Politécnico PUC Minas Sumário 1 Introdução ao MATLAB 5 11 Aspectos Gerais 5 111 Atividade Prática 7 12 Comandos Básicos e Operações com Matrizes 9 121 Atividade Prática 10 13 Ramificações e Laços 13 131 Atividade Prática 14 2 Composição e Decomposição de Sinais 16 21 Atividade Prática 16 3 Sinais Periódicos e Não Periódicos 20 31 Atividade Prática 21 4 Convolução Linear Discreta 24 41 Atividade Prática 25 5 Sistemas no Domínio S 29 51 Atividade Prática 30 6 Lugar das Raízes e Diagramas de Bode 34 61 Método do Lugar das Raízes 34 62 Diagramas de Bode 36 63 SISOTOOL 38 64 Atividade Prática 38 7 Análise de Sinais usando a Série de Fourier 41 71 Atividade Prática 42 8 Transformada Rápida de Fourier 44 81 Atividade Prática 45 9 Síntese de Sinais usando a Transformada Rápida Inversa de Fourier 47 91 Atividade Prática 47 10 Teorema da Amostragem 52 101 Atividade Prática 54 11 Reconstituição de um Sinal Analógico 60 111 Atividade Prática 61 12 Filtro Digital FIR 63 121 Projeto de Filtros 64 122 FDATool 66 123 Atividade Prática 68 Referências 69 Apêncide A Biblioteca de Blocos do Simulink 70 A1 Sinks 70 A2 Sources 70 A3 Math Operations 71 A4 Continuous 71 A5 Discrete 72 PREFÁCIO Esta apostila tem como principal objetivo auxiliar os alunos do curso de Engenharia Elétrica e Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação da PUC Minas nos estudos e práticas da disciplina Laboratório de Sinais e Sistemas e Laboratório de Processamento de Sinais visando facilita r o entendimento e compreensão do s conteúdo s básicos tratados nas disciplinas teóricas Sinais e Sistemas e Processamento de Sinais Principais Referências Bibliográficas OPPENHEIM Alan V WILLSKY Alan S Sinais e Sistemas São Paulo Prentice Hall 2010 DINIZ Paulo Sérgio Ramirez SILVA Eduardo Antônio Barros da LIMA NETTO Sérgio Processamento digital de sinais projeto e análise de sistemas Porto Alegre Bookman 2014 HAYKIN Simon VAN VEEN Barry Sinais e Sistemas Porto Alegre Bookman 2001 Sejam Bemv indos e Bons Estudos Introdução ao MATLAB Aspectos Gerais Segundo Chapman 2006 o MATLAB é um programa de uso específico para a e xecu ção de cálculos matemáticos e de engenharia F oi inicialmente concebido como um programa para operações sobre matrizes mas ao longo dos anos com o incremento d e sua s funcionalidades tornouse um sistema computacional com recursos para soluções de problema s técnico cientí fico s em geral A seguir são listados alguns itens disponíveis no ambiente MATLAB Recursos O MATLAB oferece uma ampla biblioteca de funções matemáticas e algoritmos sinx fftx dentre outr o s Comunicação com diferentes ambientes computacionais Excel Java PSIM Phyton dentre outros Interface com diversos ki ts de desenvolvimento Code Composer Studio C6000 C2000 Texas Instruments VisualDSP Blackfin AnalogDevices Green Hi lls MULTI MPC5500 Freescale etc Toolboxes O MATLAB possui uma família de aplicativos toolboxes que são conjuntos de funções usadas para resolver problemas de áreas específicas da engenharia tais como Controle de Processos e Otimização Processamento de Sinais Eletrônica de Potência Redes Neurais dentre outros Aplicações Gerais Verifica ção de software s para detectar em tempo de execução erros antes da compilação ou testes Análise de projeto s através de simulação antes da implementação e teste Desenvolvimento de código s C ou HDL para execução em sistemas embarcados via DSPs ASICs e FPGAs Sistemas Embarcados Verifica ção de projeto s antes da implementação e teste s Gera ção de código s para prototipagem e produção Processamento Digital de Sinais Aquisição de dados e análise de sinais Desenvolvimento de algoritmos para a plicações em comunicação áudio voz e vídeo dentre outros Gera ção de código s C ou HDL para execução em sistemas embarcados DSPs ASICs e FPGAs Sistemas de Controle Criar modelos para a representação de plantas Projeto de co ntroladores e lógica de controle Análise da estabilidade de sistemas Área de Trabalho do MATLAB I ntegra diversas ferramentas para gerenciar funções e variáveis internas com a possibilidade de leituraescrita em arquivos externos ao ambiente Disponíveis na opção Layout do Menu da página principal as p rincipais janelas disponíveis na área de trabalho ou que podem ser acessadas a partir dela são Command Window Janela de Comandos Command History Janela de Histórico de Comandos Workspace Espaço de Trabalho Figure Janela de Figuras Editor Janela de Edição Depuração Figura 1 Área de trabalho do MATLAB Fonte Arquivo Pessoal Obtendo Ajuda O usuário pode obter ajuda de três maneiras distintas Navegador de Ajuda Digitar lookfor seguido de uma p alavrachave do problema e em seguida avaliar as informações associadas às funções encontradas Ex lookfor integral enter Digitar help seguido do nome da função na Jan ela de Comandos Ex help sin enter Comandos relativos ao espaço de trabalho c lc limpa o conteúdo da Janela de Comandos clf limpa o conteúdo da Janelas de Figuras clear limpa as variáveis do Espaço de Trabalho close all fecha todas as janelas de Figuras whos lista todas as variáveis e matrizes atuais ctrlc interrompe o programa em execução Atividade Prática Assumindo que r 5 Ω e i 2 A calcule o valor de V através da Lei de Ohm utilizando a Janela de Comandos r 5 enter i 2 enter v ri enter O comando trapz é utilizado para cálculo de integração numérica através da aproximação trapezoidal Com a ajuda do help do MATLAB descubra como esse comando pode ser utilizado para o cálculo da área abaixo da curva figura abaixo O comando polyfit e ncontra os coeficientes de um polinômio px de grau n que se ajuste a um conjunto de dados prédefinidos no sentido dos mínimos quadrados Dados os vetores x e y determine os coefi cientes do polinômio usando esse comando Comandos Básicos e Operações com Matrizes Variáveis Existem três formas comuns para a especificação inicia lização uma variável no ambiente MATLAB Associar dados à uma variável usando declaração de valores Ex r 10 escalar Ex r 1 2 3 4 vetor Ex r 1 2 3 4 5 6 7 8 matriz Fornecer dados à uma va riável pelo teclado Ex i inputEntre com o valor da corrente A Ler dados de um arquivo disponível no diretório atual Ex v tensaomat Expressões O MATLAB é uma linguagem de expressões compostas por operadores e outros caracteres especiais de funções e dos nomes das variáveis As avaliações das expressões produzem valores escalares vetores ou matrizes que podem ou não ser mostradas na tela incluindose ou não o pontoevírgula no final da expressão e atribuídas às variáveis para uso futuro É importante ressaltar que o MATLAB faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas assim a e A não são as mesmas variáveis Além disso t odas as funções devem ser escritas em letras minúsculas invA calcula a inversa de A mas INVA é uma função indefinida Vetores e Matrizes A unidade fundamental de dados em qualquer programa MATLAB é a matriz A m atriz é uma coleção de dados organizados em linhas e colunas conhecidos por um único nome Vetor Pode ser do tipo linha 1x j ou coluna i x1 i e j inteiro s Exemplos Matriz matriz com i linhas e j colunas separar as linhas com ponto e vírgula Operações com Escalares Tabela 1 Operações no MATLAB Operação Forma Algébrica Forma MATLAB Soma a b a b Subtração a b a b Multiplicação a x b a b Divisão a b a b Exponencial a b ab Operações com Vetores e Matrizes As operações com vetores e matrizes no MATLAB podem ser realizadas de duas formas distintas Operações Estruturais São operações de multiplicação ou divisão executadas elemento a elemento Operações Matriciais São operações executadas segundo as regras usuais da álgebra linear O MATLAB utiliza um ponto antes do símbolo da operação para diferenciar operações estr uturais de operações matriciais ou seja multiplicação estrutural e divisão estrutural O uso de vetores ou matrizes como exponentes sem requer o uso do ponto Atividade Prática A profundidade de um poço em metros pode ser determinada deixandose cair uma pedra dentro dele com velocidade inicial zero e aguardandose até que ela atinja o fundo do mesmo Isso ocorre após a distância Onde t é o tempo de queda livre do objeto e g 98ms 2 Plote a curva d x t de queda livre de um objeto para um intervalo de 0 a 10s Solução Script MATLAB PUC MINAS IPUC Curso de Engenharia Elétrica Laboratório de Sinais e Sistemas Aluno LAB 1 Comandos Básicos e Operações com Matrizes Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas t 0110 Vetor com os valores de tempo g 98 Aceleração da gravidade d 12gt2 Cálculo da distância Plotando figuras figure1 plottd title Gráfico de Distância em Queda Livre xlabel tempos ylabel Distância m grid on Figuras O circuito mostrado na figura seguinte representa um gerador com resistência interna R1 e uma carga com resistência variável conectada externamente Determine o valor de R 2 para a máxima transferência de potência através da curva P x R 2 A figura seguinte mostra um circuito elétrico composto de resistores e fontes de tensão Determine a corrente de cada malha usando a Lei de Kirchhoff para tensões e o método das correntes de malha V1 R1 I1 R3 I1 I2 R2 I1 I3 R1 R3 R2 I1 R3 I2 R2 I3 V2 I2 R5 R4 I2 I3 R3 I2 I1 R3 I1 R5 R4R3 I2 R4 I3 0 R2I3 I1 R4I3 I2 R6I3 R2I1 R4I2 R2 R4 R6I3 V V1 V2 0 R R1 R3 R2 R3 R2 R3 R5 R4R3 R4 R2 R4 R2 R4 R6 i I1 I2 I3 V R I I invRV Ramificações e Laços As ramificações são declarações do MATLAB que permitem selecionar e executar seções específicas de um código O MATLAB disponibiliza três variações de sse tipo de construção CHAPMAN 2003 IF ELSE SWITCH CASE TRY CATCH O comando IF tem a seguinte forma if condicao1 Comandos1 Comandos2 e lseif condicao2 Comandos3 Comandos4 else Comandos5 Comandos6 end A primeira condição é sempre escrita com IF a última com ELSE e todas as intermediárias com ELSEIF A estrutura SWITCH pe rmite selecionar um bloco especí fico do código para ser executado com base no valor de um único inteiro caractere ou expressão lógica A forma geral é switch expressao case expressaocase1 Comandos1 Comandos2 case expressaocase2 Comandos1 Comandos2 otherwise Comandos1 Comandos2 end O MATLAB contém dois comand os para gerar loops o comando FOR e o comando WHILE O laço FOR executa um bloco de comandos durante um número especificado de vezes Ele tem a seguinte forma for indice expressao Comandos1 Comandos2 end O laço WHILE é um bloco de comandos que se repetem indefinidamente enquanto uma condição for satisfeita Sua forma geral é while expressao Comandos1 Comandos2 end Atividade Prática Desenvolva um script MATLAB que leia três valores de temperatura em graus Fahrenheit converta essa temperatura para um valor absoluto em Kelvin e Celsius e mostre o resultado Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 3 Ramificações e Laços Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove toda s as variáveis e funções da memó ria do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas for i113 Tf input Entre com o valor de temperatura em graus F ahrenheitF Tc 5Tf329 Tk 59Tf3227315 fprintf A temperatura em graus Celsius 62f Tc fprintf A temperatura em graus Kelvin 62f Tk end Construa uma rotina para determinar a soma dos n primeiros termos da série Execute a rotina para n 4 e n 20 A função sin x pode ser escrita em termos da série de Taylor como Escreva uma função que calcule sinx usando a série de Taylor O valor de x deverá estar em π rd C omposição e Decomposição de Sinais U m sinal ou contínuo ou discreto no tempo será um sinal par se atender à condição dada pela E quação 3 o que significa que sinais serão simétricos em relação ao eixo vertical Haykin e Van Veen 2001 U m sinal contínuo ou discreto ou será um sinal ímpar se o mesmo atender à E quação 4 e s er ão simétricos em relação à origem O sinal qualquer ou pode ser expresso como a soma das componentes par ou e í mpar ou da seguinte maneira Dess a forma temse que Atividade Prática Considere o sinal descrito pela função com uma taxa de amostragem e o intervalo 3 3 Implemente um script para a construção dos seguintes gráficos Sinal original Componente par Componente ímpar Reconstrução do sinal componente par componente ímpar Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 2 Composição e Decomposição de Sinais Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove todas as variáveis e funções da memoria do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas Criar um vetor Operador dois pontos primincrultm t 30013 Sinal Original y exp2t Componente Par yp 12exp2texp2t Componente Impar yi 12exp2texp2t figure1 subplot311 plotty title Sinal Original Título da figura xlabel t Legenda para o eixo X ylabel Y Legenda para o eixo Y legend exp2t Legenda para o figura grid on subplot312 plottyp title Componente Par Título da figura xlabel t Legenda para o eixo X ylabel Yp Legenda para o eixo Y legend Par Legenda para o figura grid on subplot313 plottyi title Componente Impar Título da figura xlabel t Legenda para o eixo X ylabel Yi Legenda para o eixo Y legend Impar Legenda para o figura grid on Reconstrução do sinal yrec yp yi figure2 plottyrec title Reconstrução do sinal Título da figura xlabel t Legenda para o eixo X ylabel Yrec Legenda para o eixo Y legend Sinal Legenda para o figura grid on Sugestão Inclua uma nova figura plotando o sinal original e o sinal recuperado com tipos de linhas diferentes em um mesmo gráfico de tal forma a visualizálos nas mesmas dimensões Figura s Considere o sinal descrito pela função com uma taxa de amostragem e o intervalo 5 5 Escreva um script para a construção dos seguintes gráficos Sinal original Componente par Componente ímpar Reconstrução do sinal componente par componente ímpar Considere o sinal descrito pela função com uma taxa de amostragem e o intervalo 4 4 Desenvolva um script para a construção dos seguintes gráficos Sinal original Componente par Componente ímpar Reconstrução do sinal componente par componente ímpar Sinais Periódicos e Não Periódicos A caracterização dos sinais quanto à simetria par ou ímpar ou periodicidade são de grande importância para o desenvolvimento de algoritmos eficientes Quanto à periodicidade para um sinal no domínio do tempo contínuo e xn no domínio do tempo discreto temse que Sinais de Tempo Contínuo Um sinal é periódico se satisfaz a condição Ou seja s e esta condição for satisfeita para T To ela também será satisfeita para T 2 To T 3 To Assim o menor valor de T que satisfaz a expressão 8 é chamado período fundamental e define a duração de um ciclo completo de A frequência do sinal é calculada como rads 9 Figura 2 Forma de onda de um sinal periódico de tempo contínuo Fonte Arquivo Pessoal Sinais de Tempo Discreto Um sinal é periódico se satisfaz a condição 10 O menor valor de N inteiro que satisfaz a expressão 10 é chamado período fundamental do sinal discreto A frequência angular ou frequ ência fundamental é radamostra 11 Figura 3 Forma de onda de um sinal periódico de tempo discreto Fonte Arquivo Pessoal Atividade Prática Um sinal discreto é descrito por P lote este sinal para Este sinal é periódico Se for qual o período fundamental Repita I e II para o sinal Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 3 Sinais Periódicos Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas n 20 0 120 y sin0 5 n Plotando figuras figure1 stemy LineWidth 2axis1 41 1 1 title y sin0 5 n grid on Figuras Um sinal contí nuo é descrito por Onde f 60 Hz e o sinal é amostrando amostrado com uma frequência fa 1000 Hz Plote este sinal para Este sinal é periódico Se for qual o período fundamental Repita I e II para uma frequência de amostragem fa 300π Elabore o gráfico da função Com base no gráfico determine o período fundamental Investigue diferentes escalas de tempo Convolução Linear Discreta Um sistema discreto é definido matematicamente como uma transformação ou um operador H que mapeia uma sequência de entrada x n em uma sequência de saída y n ou seja OPPENHEIM SCHAFER 2010 1 2 Se um sistema atende às propriedade s da linearidade teorema da superposição e invariância no tempo q ualquer deslocamento sobre o sinal de entrada implica em um mesmo deslocamento no sinal de saída então o sistema é denominado linear e invariante no tempo SLIT e poderá ser completamente caracterizado por sua Resposta ao Impulso G enericamente um s inal discret o qualquer pode ser express o como sequência de impulsos deslocados no tempo e amplitude x k em nk 1 3 Tomando se a expressão 1 3 e indicando como a resposta do sistema ao impulso aplicado à entrada δ nk em nk a saída do SLIT poderá ser cal culada conforme a seguinte expressão 1 4 Figura 4 Sistema Discreto representado pelo operador H Fonte Arquivo Pessoal y n k x k H δ nk y n k x k h nk k x nk h k x n h n 15 Observação importante O objetivo dessa prática trata principalmente da aplicação da função conv para o cálculo da saída de um sistema discreto dinâmico a partir do conhecimento do sinal de entrada e da resposta ao impulso In i cialmente será apresentado um exemplo que ilustra o método gráfico utilizado manualmente para a solução manual do problema O método gráfico para o cálculo da convolução O exemplo a seguir tem como objetivo ilustrar a aplicação do método gráfico para o cálculo manual da saída de um SLIT discreto cuja resposta ao impulso e sinal de excitação são dados a seguir Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 4 Ilustração do Método Gráfico Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove toda s as variáveis e funções da memó ria do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas Parte 1 n1 11 h 3 2 1 fprintf Pressione qualquer tecla para visualizar a Resposta ao Impulso pause figure1 stemn1h LineWidth 2 axis4 6 3 3 title Resposta ao Impulso hn xlabel Amostras ylabel Amplitude fprintf Pressione qualquer tecla para visualizar o Sinal de Excitação pause Parte 2 n2 02 x 4 3 2 figure2 stemn2x r LineWidth 2 axis4 6 3 4 title Sinal de Excitação xn xlabel Amostras ylabel Amplitude Parte 3 fprintf Pressione qualquer tecla para a Resposta ao Impulso espelhada pause hespelhado 1 2 3 figure3 stemn1hespelhado LineWidth 2 axis4 6 3 3 title Resposta ao Impulso hn espelhada xlabel Amostras ylabel Amplitude Parte 4 fprintf Pressione qualquer tecla para visualizar os deslocamentos sucessivos entre os sinais fprintf Os resultados parciais da convolução serão a soma dos produtos ponto a ponto dos impulsos pause Parte 5 for i06 n1 31 n1 n1i figure4 stemn1hespelhado LineWidth 2 hold on stemn2x r LineWidth 2 axis4 6 3 4 if i0 title yn0 elseif i1 title yn12 elseif i2 title yn1 elseif i3 title y n16 elseif i4 title yn1 elseif i5 title yn2 else title yn0 end pause close all end Parte 6 fprintf Pressione qualquer tecla para o gráfico resultante da saída yn pause saida 0 12 1 16 1 2 0 figure5 stemsaida LineWidth 2 axis4 6 12 4 title Saida yn resultante xlabel Amostras ylabel Amplitude Atividade Prática Considere os sinais x n e h n A1 Analise a função conv usando o help do MatLab A2 Construa os gráficos dos sinais e sincronizados no tempo A2 Construa o gráfico do sinal de saída Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 4 Atividade A Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove todas as variáveis e funções da memória do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas for n 115 i n 2 ti n if n1 n5 xi 5 else xi 0 end if n1 n15 hi 05n else hi 0 end end y convxh Plota os sinais figure1 stemtx title Sinal de entrada xlabel n ylabel xn figure2 stemth title Resposta ao Impulso xlabel n ylabel hn figure3 stemy title Sinal de saida xlabel amostras ylabel yn Considere os sinais xn e hn B1 Construa os gráficos dos sinais e sincronizados no tempo B2 Res olver a convolução xnhn usando a função conv disponível n o MATLAB C onstrua o gráfico do sina l de saída yn B 3 Interprete os resultados obtidos Considere h n 11 1 1 1 1 onde h n é a resposta ao impulso de um sistema linear e invariante no tempo cuja entrada é excitada pelo sinal exponencial x n 01 t durante 05s com intervalo de amostragem igual T0001 s Construa os gráficos dos sinais x n h n e do sinal de saída h n C1 Faça a interpretação do sinal de saída C2 O que ocorrerá se os valores da resposta ao impulso forem multiplicados por um valor escalar C3 O que ocorrerá se o intervalo de amostragem for modificado Sistemas no Domínio S A T ransformada de Laplace é basicamente um método dedicado à solução de equações diferenciais lineares dentre outros O GATA 2003 Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo também chamado de Plano Assim uma equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação linear algébrica função de uma variável complexa HAYKIN e VAN VEEN 2001 Se considerarmos uma exponencial complexa então as parcelas real e imaginária de são respectivamente um cosseno e um seno exponencialmente amortecidos A T ransformada de Laplace de uma função no domínio do tempo contínuo é definida como L U m sistema pode ser facilmente modelado por uma função de transferência L que relacion a algebricamente as transformadas de Laplace dos sinais de saída e entrada conforme equação 20 Esta abordagem ainda permite a modelagem do sistema através de um diagrama de blocos relacionando a entrada o sistema e saída conforme a figura 6 Figura 5 Representação por diagrama de blocos Fonte Arquivo Pessoal Um dos requisitos básico s para a análise e projeto de um sistema de controle é determinar a resposta no domínio do tempo de sse sistema a uma dada entrada Desta maneira geralmente são selecionad a s entradas para teste padronizadas para verificação da resposta e se os requisitos de desempenho podem ser alcançados através de um simples ajuste nos parâmetros do sistema Estas entradas de teste são mostradas na tabela 2 NISE 2002 Tabela 2 Sinais de Teste Usados em Sistemas de Controle Entrada Função Gráfico Uso Impulso ft t ft t Modelagem de Resposta Transitória Degrau ft t ft t Resposta transitória Erro de Estado Estacionário Rampa ft t ft t Erro de Estado Estacionário Senóide ft t ft t Resposta transitória Erro de Estado Estacionário Fonte Nise 2002 Atividade Prática Seja o sistema Ms um motor CC controlador pela corrente de campo cuja função de transferência é dada por Onde  ngulo de rotação T ensão de armadura C onstante de torque do motor I nércia C oeficiente de atrito viscoso Indutância de campo Resistência de campo Os valores dos parâmetros são fornecidos na Tabela 3 Tabela 3 Parâmetros do motor CC Parâmetros Valores Constante de torque do motor 5 NmA Inércia 1 Nms 2 rad Coeficiente de atrito viscoso 20 kg m s Indutância d e campo 1 mH Resistência d e campo 1 Ω Implemente um script que plote A resposta do sistema quando submetido a um degrau unitário na entrada A resposta do sistema quando submetido a um impulso unitário na entrada Calcule a saída do sistema em resposta a uma entrada xt senoidal com f requ ência 5Hz amostrada com ta001 durante 1 segundo Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 5 a Sistemas no Domínio S Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove todas as variáveis e funções da memoria do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas s tf s Km 5 J 1 b 20 Lf 1 Rf 1 f 5 t00011 y sin2pift M KmsJsbLfsRf Plotando figuras figure1 step M title Resposta ao Degrau grid on figure2 impulse M title Resposta ao Impulso grid on figure3 lsim Myt title Resposta à Senoide grid on Figuras O diagrama de blocos mostrado abaixo representa um sistema térmico com malha de realimentação unitária Com base na função de transferência em malha aberta FTMA determ ine a constante de tempo Tc o tempo de assentamento Ts e erro de estado estacionário para uma entrada em degrau unitário Compare estes resultados com aqueles obtidos para o sistema em malha fechada FTMF Definir constante de tempo tempo de acomodação ou assentamento e erro em regime estacionário para sistemas de 1ª ordem e 2ª ordem Função de Transferência em malha aberta Função de Transferência em malha aberta FTMA FTMF Tc Ts Erro Considere o acréscimo de um controlador proporcional K P para melhorar a resposta do sistema Determine o valor de K P de modo que o erro de estado estacionário seja de 1 considerando a entrada degrau unitário Lugar das Raízes e Diagramas de Bode Método do Lugar das Raízes Seja o diagrama de blocos de um sistema em malha fechada Gs Hs Gs Hs A função de transferência em malha fechada FTMF é dada por FTMF G s 1G s H s e a função de transferência em malha aberta FTMA é dada por FTMAG s Hs As raízes do denominador da FTMF são os polos do sistema As raízes do numerador da FTMF são os zeros Em um sistema o número de polos é igual ao número de zeros Desta forma a FTMF pode ser escrita como FTMF s z 1 s z 2 s z m s p 1 s p 2 s p n A equação característica é obtida igualando o denominador da FTMF a zero como segue 1G s H s 0 Adicionando um ganho a a equação característica pode ser reescrita na forma 1K s z 1 s z 2 s z m s p 1 s p 2 s p n 0 O Lugar das Raízes do sistema é a trajetória descrita pelos polos em malha fechada quando o ganho varia de a O traçado do Lugar das Raízes permite analisar a estabilidade de um sistema em malha fechada a partir do posicionamento de suas raízes em malha aberta no plano s conforme mostrado a seguir Semiplano In stável Semiplano In stável Semiplano Estável Semiplano Estável Análise da estabilidade de um sistema em malha fechada a partir de seu Lugar das Raízes malha aberta O semiplano esquerdo do plano s é denominado região estável O semiplano direito do plano s é denominado região instável A região de fronteira entre os semiplanos é denominada do limiar de instabilidade Quanto maior a componente imaginária maior é a oscilação da resposta O comando MATLAB usado para plotar o Lugar das Raízes utiliza o numerador e o denominador da FTMA rlocus numden Caso queirase plotar o lugar das raízes para um vetor ganho específico utilizase a forma rlocus numdenK Diagramas de Bode A resposta em f requência de um sistema linear pode ser obtida a partir da aplicação de uma entrada do tipo senoidal com frequência variável dentro de um a faixa adequada à análise do sistema Para cada valor de frequência obtémse a amplitude e fase do sinal de saída Em sistemas reais s e a entrada xt for um sinal senoidal a saída yt em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma frequência mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase s erão diferentes A resposta em frequência é a Transformada de Fourier da resposta ao Impulso do sistema fazendo sσjω e considerando o fator de amortecimento igual a zero σ0 Desta forma temos A partir do diagrama de Bode é possível determinar a Margem de Ganho e a Margem de Fase do sistema Margem de Ganho é a variação no ganho do sistem a quando a fase é igual a 180 º que resulta em um sistema marginalmente estável Margem de Fase é a variação no ângulo de fase do sist ema quando o ganho é igual a 0 dB que resulta em um sistema marginalmente estável Dessa forma a análise da estabilidade de sistemas de fase não mínima 1 pode ser realizada como segue Análise da estabilidade de um sistema em malha fechada a partir de seu diagrama de Bode de malha aberta A Margem de G anho i ndica quanto o ganho do sistema pode ser aumentado de forma que ele ainda seja estável em malha fechada A Margem de fase i ndica quanto a fase do sistema pode ser atrasada na freqüência de cruzamento de ganho de forma que o sistema ainda seja estável em malha fechada 1 Um sistema é dito ser de fase Mínima se todos os zeros ou polos da Função de Transferência que o caracterizam estiverem no semiplano esquerdo do plano s O comando MATLAB usado para plotar o Lugar das Raízes utiliza o numerador e o denominador da FTMA bode numden Para traçar o diagrama de Bode para uma frequência específica W bode numdenW SISOTOOL O MATLAB também possui uma ferramenta de projeto que utiliza o método do Lugar das Raízes e o Diagrama de Bode chamada SISOTOOL Tratase de uma ferramenta interativa para análise e projeto de sistemas de controle do tipo SISO Single Input Single Output LTI Linear Time Invariant SISOTOOL utiliza uma arquitetura básica de sistema do tipo Fs Cs Gs Hs Fs Cs Gs Hs que pode ser alterada de acordo com a configuração desejada É possível ativar a SISOTOOL e configurar os parâmetros no ambiente de projeto ou declarar as funções Fs Cs GS e HS previamente e ativar o SISOTOOL como segue sisotool G s C s H s F s Atividade Prática A Dado o diagrama de blocos e respectivas funções tra ce o lugar das raízes e o digrama de bode utilizando os comando rlocus e bode respectivamente Analise a estabilidade do sistema Fs Cs Gs Hs Fs Cs Gs Hs Fs1 Cs1 G s s1 ss2 Hs1 Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC Método do Lugar das Raízes através da função rlocus clc clear all close all Equação característica 1GsHs0 Como Hs1 1Gs0 1munden0 num1 1 den conv1 0 1 2 rlocusnumden figure2 bodenumden B Utilize agora a ferramenta SISOTOOL para resolver a questão A Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC Método do Lugar das Raízes através do SISOTOOL clc clear all close all F1 C1 Gtf1 1conv1 01 2 H1 sisotoolGCHF Dica s No menu da janela que contém o gráfico do lugar das raízes clique na opção Analysis Response to Step Command para obter o gráfico de resposta ao degrau unitário Clique com o botão direito do mouse sobre o gráfico da resposta ao degrau selecione a opção Systems e mantenha apenas a seleção Close d L oop r to y blue Posicione o mouse sobre os quadrados vermelhos do gráfico do lugar das raízes e movimenteos Observe o efeito sobre a resposta ao degrau Na janela principal Control and Estimation Tools Manager verifique na aba Compensator Editor o valor do ganho atribuido à função Cs que neste caso atua como um controlador puramente proporcional C Para o mesmo diagrama da questão A tra ce o lugar das raízes e o digrama de Bode utilizando SISOTOOL considerando Fs1 Cs1 G s 1 s 4 12 s 3 64 s 2 128s Hs1 Analise a estabilidade do sistema Determine o valor do ganho do controlador para o qual o sistema é marginalmente estável Para este valor de ganho analise a resposta ao degrau D Para o mesmo diagrama da questão A tra ce o lugar das raízes e o digrama de Bode utilizando SISOTOOL considerando Fs1 Cs1 G s s3 s4 s5 Hs1 Analise a estabilidade do sistema Determine o valor do ganho do controlador para o qual o coeficiente de amortecimento é 0707 Para este valor de ganho determine o tempo de subida sobressinal máximo tempo de acomodação e o erro em regime permanente Dica s No gráfico do lugar das raízes movimente com o mouse os quadrados vermelhos até atingir o valor próximo ao amortecimento desejado variável Damping na parte inferior da janela Neste mesmo campo é informada a posição de uma das raízes e a frequência natural de oscilação Abra o gráfico da resposta ao degrau Clique com o botão direito do mouse sobre a área do gráfico e selecione todas as opções do item Characteristics Peak response sobressinal máximo Settling Time tempo de acomodação Rise Time tempo de subida e Steady State regime permanente Os pontos serão indicados com círculos azuis e os valores apresentados ao passar o mouse sobre os mesmos Também é possível definir alguns requisitos de projeto Para tal clique com o botão direito do mouse sobre a área do gráfico do Lugar das Raízes ou do Diagrama de Bode e selecione a opção Design RequirementsNew Escolha os parâmetros desejados e indique os valores Análise de Sinais usando a Série de Fourier Conhecendo os coeficientes da Série de Fourier é possível reconstruir um sinal periódico qualquer para n 1 2 3 4 5 Onde f 0 frequência fundamental n indicativo do enésimo harmônico a 0 a n b n coeficientes Para gerar uma onda triangular considere para n 1 3 5 7 Para gerar uma onda quadrada considere para n 1 3 5 7 Para gerar uma onda dente de serra considere para n 1 2 3 4 Atividade Prática Utilize os coeficientes da Sé rie de Fourier para traçar um a onda triangular entre 0 e 3s com intervalo de amostragem Ta 001s e frequ ência fundamental fo 1Hz Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 7 Composição de Sinais Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove todas as variáveis e funções da memoria do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas A1 Ta001 fa1Ta t0Ta3 m input Nú mero de harmônicos da sé rie f01 T01f0 w02pif0 somatoriozeros1lengtht pause for n12m yatual1n2cosnw0t harmônico atual yyyatual somatorio soma anterior yatual somatorioyy atualização do somatório if n1 zyatual somatorio elseif n1 zyatual somatorio z end yAT0 A 8pi2T0z figure1plotty grid on pause end figure2plotty2 grid on Figuras Utilize os coeficientes da Sé rie de Fourier para traçar um a onda quadrada entre 0 e 3s com Ta 001s e frequ ência fundamental fo 1Hz Utilize os coeficientes da Sé rie de Fourier para traçar um a onda dente de serra entre 0 e 3s com T a 0 01s e frequ ência fundamental fo 1Hz Transformada Rápida de Fourier Em d iversos problemas da engenharia há a necessidade de analisar sistemas no domínio do tempo discreto excitados por sinais não peri ódicos A representação por Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT é expressa como A notação prática da DTFT é definida por Em ROBERTS 2009 é proposto o seguinte algoritmo para calcular computacionalmente a DTFT escrito em script MATLAB que implementa as operações realizadas na equação 1 8 Calcular Xk em um laço de repetição duplo aninhado for k 0N 1 for n 0NF1 Xk1 Xk1 Xn1expj2pinkN end end Exemplo A DTFT e a FFT para um sinal de comprimento 1024 amostras DTFT N o de operações aritméticas 1024 1024 1048576 Cooley e Tukey 1965 FFT Fast Fourier Transform N o de operações aritméticas N log 2 N1024 x log 2 2 10 10240 O cálculo computacional de uma D T FT utilizando este algoritmo requer N 2 operações de soma e multiplicações complexas Em 1965 Cooley e Tukey propuseram um algoritmo mais eficiente em termos computacionais aplicável a vetores de grandes comprimento s desde que representados como potência s inteira s de dois Esse algoritmo é denominado de Transforma da Rápida de Fourier Fast Fourier Transform FFT Abaixo são destacadas algumas considerações impo rtantes para a aplicação da FFT Sejam L e N respectivamente os comprimentos do sinal e de sua Transformada de Fourier PEIXOTO 2013 Devese observar que se L N então o sinal deve ser preenchido com zeros até o comprimento N adaptando o comprimento da sequ ência para o cálculo da DFT zeropadding Quanto maior é o número de zeros acrescentados a mais a DFT aproximase da sua T ransformada de Fourier Isto ocorre devido ao maior número de amostras tomadas no intervalo A quantidade de zeros no preenchimento depende da complexidade aritmética permitida pela aplicação desejada pois quanto maior o número de zeros maiores os requisitos computacionais e de memória envolvido s Atividade Prática O sinal yt é a soma de dois sinais senoidais o primeiro com amplitude de 07 e frequência de 50Hz e o segundo com amplitude 1 e frequência de 120Hz Usando o MATLAB calcule a FFT do sinal yt para uma frequência de amostragem igual a 1kHz Além disso plote as figuras do sinal yt e da sua FFT Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 8 Transformada Rápida de Fourier Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove toda s as variáveis e funções da memória do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas Fs 1000 Frequência de amostragem T 1Fs Período de amostragem L 1000 Comprimento do sinal t 0L1T Vetor de tempo Soma de uma senoide de 50 Hz e uma senoide de 120 Hz y 07sin2pi50t sin2pi120t NFFT 2nextpow2L Calcula a potência de 2 mais próxima do comprimento do vetor y Y fftyNFFTL Calcula a FFT f Fs2linspace01NFFT21 Plotando figuras Sinal y figure1 subplot211 plotFst150y150 title Sinal yt xlabel Tempo milisegundos Espectro de Amplitude de yt subplot212 plotf2absY1NFFT21 title Espectro de Amplitude de yt xlabel Frequência Hz ylabel Yf Figuras O sinal z t é a soma de dois sinais senoidais yt e xt Usando o MATLAB calcule a FFT do sinal yt para uma frequência de amostragem igual a 1kHz Além disso plote as figuras do sinal yt e da sua FFT Considere Vm 10 f 60 Síntese de Sinais usando a Transformada Rápida Inversa de Fourier As equações 29 e 30 constituem o Par de T ransforma das de Fourier no tempo contínuo que permitem a mudança do domínio do tempo para o domínio da frequência e viceversa conforme ilustra a figura 6 A função Xjω é definida como T ransformada de Fourier e a função xt a T ransformada I nversa de Fourier OPPENHE IM WILLSKY 2010 29 30 Figura 6 Relação entre FFT e IFFT Fonte Arquivo Pessoal Atividade Prática O sinal y t é a soma de dois sinais senoidais z t e xt Usando o MATLAB calcule a FFT do sinal y t para uma frequência de amostragem igual a 1kHz Além disso calcule da IFFT para recuperar o sinal a partir das componentes geradas pelo cálculo da FFT Considere A 1 07 A 2 1 f 1 25 f 2 60 Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS IPUC LAB 9 Transformada Rápida Inversa de Fourier Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove todas as variáveis e funções da memoria do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas Fs 1000 Frequência de amostragem T 1Fs Período de amostragem L 1024 Comprimento do sinal t 0L1T Vetor de tempo f1 25 frequência 1 f2 60 frequência 2 A1 07 amplitude 1 A2 1 amplitude 2 PARTE 1 Soma de uma senoide de 6 Hz e uma senoide de 20 Hz y A1sin2pif1t A2sin2pif2t PARTE 2 NFFT 2nextpow2L Calcula a potência de 2 mais próxima do comprimento do vetor y Y fftyNFFTL Calcula a FFT f Fs2linspace01NFFT21 PARTE 3 w NFFT2NFFT21FsNFFT intervalo de frequência centralizado Yshift fftshiftY PARTE 4 yf ifftfftshiftYshift Plotando figuras Sinal y figure1 subplot211 plottytitle Onda senoidal 25Hz 60Hz axis0 04 2 2 grid on xlabel Tempo s ylabel yt Espectro de Amplitude de yt subplot212 plotty r title Sinal com Ruido grid on plotf2absY1NFFT21 title Espectro de Amplitude de yt xlabel Frequência Hz ylabel Yf figure2 plotw2absYshift grid on xlabel Frequência Hz ylabel Amplitude title FFT centralizada figure3 subplot211 plottNFFTrealyfaxis0 04 2 2 title Sinal Recuperado a partir das Componentes Geradas pela FFT grid on xlabel Tempo s ylabel yt subplot212 plottyaxis0 04 2 2 title Sinal Original grid on xlabel Tempo s ylabel yt figure 4 plottNFFTrealyfaxis0 04 2 2 title Sinal Recuperado e Sinal Original hold on ylabel yt plotty axis0 04 2 2 grid on xlabel Tempo s hold off Figuras O sinal y t é a soma de dois sinais senoidais wt zt e xt Usando o MATLAB calcule a FFT do sinal y t para uma frequência de amostragem igual a 2 kHz Além disso calcule da IFFT para recuperar o sinal a partir das componentes geradas pelo cálculo da FFT Considere A 1 07 A 2 1 A 3 2 f 1 25 f 2 60 f 3 40 Seja o sinal xt amostrado com frequ ência de amostragem Fs 10kHz Considere f 1 200Hz e f 2 400Hz Foram coletados 200 pontos Plote O sinal no domínio do tempo O sinal no domínio da frequência A transformada inversa de Fourier Teorema da Amostragem De acordo com Oppenhe im e Willsky 2010 uma forma de representar a amostragem de um sinal de tempo contínuo em intervalos regulares é por meio de um trem de impulsos periódico multip licado pelo sinal de tempo contí nuo xt que se deseja amostrar Em que Desta forma é um trem de impulsos com amplitudes dos impulsos iguais às amostras de em intervalos espaçados de De acordo com o Teorema de Nyquist a frequência de amostragem deve ser maior ou igual ao dobro da maior frequência contida no sinal amostrado ou seja Desta forma o sinal amostrado pode ser reproduzido integralmente sem distorção de ali a sing conforme é demonstrado na figura 7 Figura 7 Amostragem de um sinal contínuo no tempo Fonte Arquivo Pessoal Na pr ática como esses impulso s são difíceis de serem gerados e transmitidos é utilizado o retentor de ordem zero zeroorder h old ZOH Este sistema mostrado na figura 8 amostra o sinal xt em determinado instante e mantém esse valor durante um intervalo de tempo até a próxima amostragem A frequência de amostragem determinada esse intervalo de tempo entre as amostragens Figura 8 Sistema com retentor de ordem zero Fonte Arquivo Pessoal O resultado desse processo é mostrado na figura 9 onde um sinal senoidal xt com frequência de 50 Hz é amostrado a uma taxa de 500 Hz gerando o sinal x p t Figura 9 Amostragem utilizando o retentor de ordem zero Fonte Arquivo Pessoal Para digitalizar um sinal precis amos de uma base de tempo e um conversor analógico d igital analogtodigital converter ADC que fornece uma aproxi mação digital do sinal original conforme figura 8 Essa aproximação digital é registrada em N bits A base de tempo determina a velocidade como que podemos amostrar a forma de onda e varia mais com o tipo de ADC É possível ter uma resolução de 24 bits e frequ ências de 1 GHz mas não simultaneamente Em geral quanto maior for o número de bits mais lento o dispositivo Figura 10 Conversor analógicodigital Fonte Arquivo Pessoal Nos microcontroladores a pós o processo de conversão do ADC a s aproximaç ões digitais de N bits são armazenada s temporariamente na memória RAM do dispositivo O bit mais significativo MSB é o que registra a maior variação de tensão e o bit menos significativo LSB registra a menor variação de tensão Atividade Prática Considere o sinal xt onde f 1 20 Hz e f 2 9 0 Hz Plote O sinal xt no domínio do tempo O sinal xt com frequência de amostragem Fs 300 Hz O sinal xt com frequência de amostragem Fs 600 Hz O sinal xt com frequê ncia de amostragem Fs 1200 Hz Análise e compare os resultados obtidos para as diferentes frequências de amostragem Solução Script MATLAB Laboratório de Sinais e Sistemas PUC MINAS Engenharia Elétrica LAB 10 Transformada Rápida de Fourier Ajuste interface Menu VIEW Desktop Layout Default clc Limpa a janela de comando clear all Remove toda s as variáveis e funções da memó ria do MATLAB close all Fecha todas as janelas de figuras abertas Fs 300 Frequência de amostragem Tamost 1Fs Período de amostragem dt 1e6 amost 0 f1 20 f2 70 temp sinalcont amostZ tcont for t0dt005 X 20sin2pif1t Y 10sin2pif2t Z X Y if tamost amost amost Tamost temp temp t amostZ amostZ Z end sinalcont sinalcont Z tcont tcont t end Plotando figuras Sinal y figure1 plottcontsinalcont LineWidth 2 title Sinal xt grid on Sinal Amostrado figure2 plotamostZ LineWidth 2 axis1 15 30 30 title Sinal Amostrado Fs 1200 hold on stemamostZ r axis1 15 30 30 grid on Figuras Considere o sinal xt onde f 1 5 0Hz Implemente no Simulink um modelo de simulação e p lote O sinal xt no domínio do tempo O sinal xt com frequência de amostragem Fs 2 00 Hz O sinal xt com frequência de amostragem Fs 10 00 Hz Command Window plotsinal1sinal2 hold on plotsinal1sinal3r Considere o sinal yt Onde A 1 07 A 2 1 f 1 25 f 2 60 Plote O sinal y t no domínio do tempo O sinal y t com frequência de amostragem Fs 180 Hz O sinal y t com frequência de amostragem Fs 300 Hz O sinal y t com frequência de amostragem Fs 6 00 Hz Calcule a FFT e compare os resultados obtidos para as diferentes frequências de amostragem Restauração de um Sinal Analógico De acordo com a teoria de Fourier qualquer sinal pode ser decomposto em uma soma infinita de harmônicos em frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental Desta forma a Série de Fourier pode ser utilizada para representar um sinal de onda quadrada como o sinal proveniente da modulação por largura de pulso PWM pulse width modulation Este processo pode ser simplificado colocando criteriosamente o sinal centrado na origem t 0 com a mesma simetria para que o mesmo se torn e uma função matemática conforme é mostrado na figura 13 Figura 11 Representação de um sinal PWM Fonte ALTER 2014 Na figura 13 p denota o ciclo de trabalho 0 p 1 do sinal PWM e o T denota o período em segundos A representação através da Série de Fourier de qualquer função periódica pode ser calculada da seguinte forma Onde Considerando que K denot e a amplitude do sinal ft representado na figura 13 são obtidos os seguintes resultados após realizar as integrais 35 a 37 A componente a 0 corresponde à parcela CC do sinal e é igual à amplitude do sinal PWM multiplicado pelo ciclo de trabalho Supondo que este seja o sinal desejável na saída ao selecionar o ciclo de trabalho adequado a t ensão de saída pode ser obtida dentro do intervalo de 0 a K Volts O termo a n representa a amplitude das componentes harmônicas de alta frequência do sinal PWM o qual são multiplas inteiras da frequ ência PWM 2πT Desta forma para a obtenção da componente contínua de tensão gerada pelo forma de onda PWM é necessário que este seja aplicado a um filtro do tipo passabaixas LPF low passfrequency conforme a figura 14 Nesse tipo de sistema a frequência de corte deve ser calculada para eliminar as componentes harmônicas de alta frequ ência diminuindo ao máximo a ondulação do sinal resultante Figura 12 Processo de filtragem do sinal PWM com filtro passabaixas Fonte NISARGA 2014 Atividade Prática Os circuitos integrados dedicados a geração de sinais PWM são amplamente utilizados em fontes chaveadas e sistemas de controle de motores CC O funcionamento do CI SG 3524 cujo diagrama de blocos é mostrado na figura seguinte consiste basicamente na geração de um sinal PWM a partir da comparação de uma onda dentedeserra com um sinal de referência geralmente um sinal de tensão contínua O gerador de onda dente de serra tem sua frequência determinada por um par RC conectado externamente através dos pinos 6 e 7 O limite usual é de 500kHz A rampa gerada tem uma excursão de aproximadamente 25V Conforme a figura abaixo o comparador PWM tem uma entrada positiva proveniente deste gerador de rampa e a outra pode ser fornecida pelo amplificador de erro da tensão de saída ou pelo limitador de corrente da saída POMILIO 2014 Implemente no Simulink um modelo que gere um sinal PWM a partir da comparação de uma sinal dentedeserra com um valor de referência constante Além disso projete um filtro passabaixas de primeira ordem que deverá ser conectado na saída des t e sistema para obter a componente CC d o sinal PWM Solução Filtro Digital FIR Os filtros digitais são utilizados em diversas aplicações da área de processamento de sinais como a eliminação de ruídos reconhecimento de voz compressão de sinais tratamento de imagens etc Suas aplicações mais comuns referemse à filtragem seletiva de frequências onde são realizadas operações para a eliminação restauração de parcelas do espectro de frequência dos sinais de interesse Essas operações podem também ser realizadas por filtros analógicos porém a flexibilidade e capacidade de parametrização aliada ao aumento da disponibilidade e redução de custos tem fortalecido cada vez mais o desenvolvimento por meio dos recursos digitais programáveis O processo de filtragem digital de sinais pode ser resumido conforme o diagrama em blocos da figura 1 6 O bloco AD converte o sinal no domínio do tempo contínuo xt em uma sequência discreta xn O filtro digital processa a sequência xn resultando em uma sequência yn que representa o sinal filtrado na forma digital Este sinal é então novamente convertido em um sinal no domínio do tempo contínuo por um conversor DA e reconstruído através de um filtro passabaixas resultando no sinal yt HAYKIN VAN VEEN 2001 Figura 13 Esquema do processo de filtragem de sinais Fonte Arquivo Pessoal Os filtros digitais podem ser classificados como FIR Resposta ao Impulso Finita ou IIR Resposta ao Impulso Infinita em ambos os casos implementados por meio de equações lineares de diferenças com coeficientes constantes conforme a express ão 33 33 O projeto de um filtro digital assim como na metodologia aplicável aos filtros analógicos resumese a aproximar a Resposta em Módulo desejada No caso dos filtros digitais por meio do cálculo adequado dos coeficientes da equação de diferenças Os filtros FIR são de natureza não recursiva dependem apenas do valor atual eou passados da entrada e intrinsecamente estável não contêm polos A função de transferência de um filtro digita l FIR é um polinômio em com a seguinte relação entradasaída 34 O filtro FIR apresenta as seguintes características YNOGUTY 2010 Possuem desempenho depende nte do comprimento do filtro Memória finita portanto qualquer transitório tem duração limitada São sempre BIBO estáveis Possibilitam um a resposta em módulo desejada com resposta em fase linear Projeto de Filtros No projeto de um filtro três fases precisam ser cumpridas Especificação das propriedades desejadas para o sistema determinada pela aplicação A aproximação das especificações usando um sistema causal discreto no tempo A implementação do sistema através da transcrição do projeto para hardware ou software Um filtro passabaixa ideal permite a passagem de todas as componentes de frequência que se situam dentro da faixa de passagem sem nenhuma distorção e rejeita todos os componentes de frequência que se situam dentro da faixa de rejeição como pode s er visto na figura 1 6 A transição da faixa de passagem para a faixa de rejeição é abrupta HAYKIN VAN VEEN 2001 Figura 14 Resposta em frequência de um filtro passa baixas ideal Fonte Arquivo Pessoal Em termos práticos não é possível implementar este tipo de filtro Portanto é preciso considerar um nível de distorção permitindo desvios destas condições ideais Dentro da faixa de passagem a resposta em módulo do filtro deve situarse entre e Em que é a frequência de corte da faixa de passagem e é o desvio na faixa de passagem Dentro da faixa de rejeição a resposta em módulo do filtro não deve ultrapassar o valor de Em que é a frequência de corte da faixa de rejeição e é o desvio na faixa de rejeição A Largura de faixa de transição tem largura finita igual a A figura 1 7 apresenta o diagrama de tolerância a partir das especificações listadas acima incluído a frequência de corte na faixa de passagem a frequência de corte na faixa de rejeição o desv io na faixa de passagem e o desvio na faixa de rejeição Figura 15 Diagrama de tolerância de um filtro passabaixas prático Fonte Arquivo Pessoal A etapa seguinte é escolha de uma função de transferência para resolver o problema de aproximação a partir de um conjunto de especificações do projeto A escolha desta função de tra n sferência determinada o desempenho do filtro Para este projeto as funções consideradas serão da forma polinomial caso dos filtros nãorecursivos Estes filtros são caracterizados por uma equação de diferenças na forma Onde os coeficientes se relacionam diretamente com a resposta ao impulso do sistema e M denota a ordem do filtro correspondente a um comprimento de filtro M1 Aplicando a transformada Z à equação 41 obtemos a seguinte relação entradasaída Várias estruturas podem ser empregadas para realizar uma dada função de transferência associada a uma equação de diferença s específica pela transformada Z A estrutura na forma dire t a obtida a partir da equação 42 é mostrada na figura 1 8 Os coeficientes multiplicadores são obtidos diretamente da função de transferência do filtro DINIZ DA SILVA NETTO 2004 Figura 16 Diagrama do filtro FIR na forma direta Fonte Arquivo Pessoal A sequência yn representa o sinal filtrado na forma digital podendo ser descrita pela seguinte equação FDATool A ferramenta FDAT oo L Filter Design Analysis Tool é parte integrante da toolbox de processamento digital de sinais do MATLAB Ela é utilizada para a implementação e análise de filtros digitais Os coeficientes gerados a partir da s especificações do projeto do filtro podem ser utilizados na implementação do código em sistemas embarcados microcontroladores DSPs e FPGAs Neste capítulo esta ferramenta será utilizada para traçar o gráfico de resposta do filtro FIR e a obtenção dos coeficientes para utilização posterior em um projeto a ser implementado no Simulink O processo de design do filtro é autoexplicativo Para começar é preciso iniciar o MATLAB Agora digite fdatool enter na janela Command Window Isto deve quando executado abrir a janela de interface gráfica do usuário do FDATool como mostrado na figura 1 9 A partir deste ponto basta o usuário definir todas as especificações do filtro na parte inferior da janela Feito isto clique no botão Design Filter A resposta de magnitude do filtro irá aparecer no painel Magnitude Response Note que você pode visualizar os coeficientes da função de transferência do filtro clicando no botão de coeficientes d o filtro na parte superior da GUI que se parece com b a Um recurso interessante do FDATool é a possibilidade de exportar os filtros para um modelo implementado em Simulink através de um bloco formado por uma única entrada e saída Para fazer isso verifique se o filtro que deseja implementar está sendo mostrado na GUI Em seguida clique em File Export to Simulink Model um novo conjunto de opções deve aparecer na metade inferior da GUI Insira um nome em Block Nam e e certifique o destino atual Então p ressione o botão Realize Model isso só funciona se você tiver um modelo Simulink aberto KUNDUR 2014 Figura 17 Janela do FDATool Fonte Arquivo Pessoal Atividade Prática Considere o sinal xt onde f 1 10 0Hz Implemente no Simulink um modelo de simulação e faça o que se pede Plote o sinal xt no domínio do tempo Plote o sinal xt com frequência de amostragem Fs 10 000 Hz Implemente um filtro com a seguinte especificação Tipo FIR Passa b aixas Ordem 50 Fs 10 000 Hz Fpass 1 000 Hz Fstop 1 5 00 Hz Solução Referências OPPENHEIM Alan V WILLSKY Alan S Sinais e Sistemas São Paulo Prentice Hall 2010 DINIZ Paulo Sérgio Ramirez SILVA Eduardo Antônio Barros da LIMA NETTO Sérgio Processamento digital de sinais projeto e análise de sistemas Porto Alegre Bookman 2014 HAYKIN Simon VAN VEEN Barry Sinais e Sistemas Porto Alegre Bookman 2001 ROBERTS Michael J Fundamentos em Sinais e Sistemas São Paulo McGraeHill 2009 CHAPMAN S J Programação em MATLAB para Engenheiros São Paulo Thomson Learning 2003 GILAT A MATLAB com Aplicações em Engenharia Porto Alegre Bookman 2006 KUNDUR D Lab 2 Filter Design and Implementation Disponível em httpwwwcommutorontocadkundurcourseinforealtimeDSPimplementationKundurLab2FilterImplementation6437pdf Acesso em 9 Julho 2014 NISE N Engenharia de Controle de Sistemas Rio de Janeiro LTC 2002 OGATA K Engenharia de Controle Moderno São Paulo Prentice Hall 2003 ROBERTS M J Fundamentos em Sinais e Sistemas São Paulo McGrawHill 2009 YNOGUTY CA Processamento Digital de Sinais Introdução aos Filtros Digitais Institut o Nacional de Telecomunicações Disponível em httpynogutiinatelbrdocentesynogutidocmane724introducaoaosfiltrosdigitaisdownloadhtml Acesso em 1 Julho 2010 Apêncide A Biblioteca de Blocos do Simulink A1 Sinks Display exibe valores numéricos Scope osciloscópio gráfico To File exporta sinal para um arquivo mat To Workspace exporta sinal para uma variável do workspace A2 Sources From File importa sinal de um arquivo mat From Workspace importa sinal de uma variável do workspace Signal Generator gerador de sinais de onda senoidal quadrada e dente de serra Sine Wave gerador de onda senoidal A3 Math Operations Sum operação de soma Abs valor absolute Gain ganho Math Function função matemática A4 Continuous Integrator gera a integral do sinal aplicado na entrada Derivative gera a derivada do sinal aplicado na entrada Transfer Fcn implementa uma função de transferência PID Controller implementa um controlador PID A5 Discrete Discrete FIR Filter implementa um filtro FIR Discrete Filter implementa um filtro discreto Discrete Transfer Fcn implementa função de transferência discreta ZeroOrder Hold implementa um samplehold IPUC Página 30 IPUC Página 30 EE Laboratório de Sinais e Sistemas EE Laboratório de Sinais e Sistemas