Processamento de Sinais - Método Gráfico para Soma de Convolução

PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A1 ANEXO A MÉTODO GRÁFICO PARA O CÁLCULO DA SOMA DE CONVOLUÇÃO1 Os Sistemas Lineares Invariantes no Tempo SLIT podem ser completamente caracterizados através da sua Resposta ao Impulso Conhecidos o sinal de excitação de entrada e a resposta ao impulso do sistema sua saída poderá ser determinada através da soma de convolução entre estes dois sinais Seja x n o sinal de excitação de entrada composto por uma seqüência ponderada de impulsos e n h n a resposta ao impulso do sistema Consideradas as características de linearidade e invariância no tempo então a saída y n poderá ser determinada pela soma de convolução como y n x n h n h n x n k k y n x k h n k h k x n k O cálculo das expressões da saída do sistema poderá ser realizado numericamente ou através do método gráfico apresentado a seguir B1 MÉTODO GRÁFICO PARA O CÁLCULO DA SOMA DE CONVOLUÇÃO Tomando a expressão acima considere uma sequência intermediária composta pelo produto de x k e h n k ou seja wn k x k h n k onde k passa a ser a variável independente e n é uma constante associada ao intervalo sobre k no qual a expressão do produto permanece a mesma Nesse contexto h n k h k n é uma versão refletida espelhada de h k em torno do eixo k 0 deslocada no tempo de n amostras 1 Haykin S Van Veen B Sinais e Sistemas Artmed Editora LTDA Porto Alegre Brasil 2001 PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A2 O deslocamento no tempo n indica o instante em que se deseja avaliar a saída do sistema A expressão da soma de convolução pode ser reescrita como k k n y n x k h n k w k Ou seja a saída y n poderá ser calculada para qualquer instante n a partir da identificação dos intervalos nos quais wn k é expressa por uma única função matemática Neste método é útil traçar graficamente os sinais x k e h n k de modo a se determinar os limites dos intervalos de tempo em relação às funções wn k Resumo do procedimento 1 Faça o esboço dos gráficos x k e h n k como uma função da variável independente k Para determinar h n k reflita h k em torno do eixo k 0 obtendose h k e em seguida desloquea de n unidades de tempo 2 Inicie com o deslocamento de tempo n grande e negativo n 3 A cada intervalo de tempo escreva a expressão matemática de wn k 4 Varie o deslocamento no sentido positivo do tempo até que wn k se modifique O valor de n no qual ocorre a modificação define o fim do intervalo atual e o início de um novo intervalo 5 Repita os passos 3 e 4 até que todos os intervalos de tempo e formas funcionais de wn k sejam identificados Observe que o efeito de variar n de a é deslizar h k além de x k da esquerda para a direita 6 Para cada intervalo de tempo some todos os valores de wn k para se obter y n neste intervalo O processo gráfico permite que a soma de convolução possa ser avaliada apenas no intervalo de interesse para o cálculo de y n PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A3 ANEXO B SÉRIES GEOMÉTRICAS2 Uma série geométrica pode ser escrita genericamente da forma 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 N N N N N k k N a a a a a N N É apresentada a seguir de forma simplificada a obtenção das expressões para algumas séries geométricas mais comumente usadas na análise e implementação de sistemas discretos 1 2 0 1 N k N k a a a a 1 0 1 1 1 1 1 N N k k a a a a N a A expressão para a 1 pode ser verificada multiplicandose ambos os lados por 1 a Se a 1 existem 1 N termos na série cada termo igual a 1 A partir daí podem ser estabelecidas outras relações 2 1 2 2 2 1 1 1 1 0 0 2 1 1 1 1 1 N N N N N k k k k N k k a a a a a a a N N a 2 Gabel R A Roberts R A Signals and Linear Systems John Willey and Sons NY 1983 PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A4 3 Para avaliar somas infinitas 2 N Considerando que a 1 se a 1 a série não converge então 2lim 0 k N a 2 1 2 1 0 1 1 lim 1 0 N N k k N k N k a a a a a N Alguns casos especiais podem ser obtidos destes resultados 0 1 1 1 1 1 1 k k k k a a a a a a a Os casos anteriores pressupõem que 1 N e 2 N são positivos Estes resultados podem ser generalizados para quaisquer valores desde que 1 2 N N A tabela a seguir resume as formas fechadas de algumas séries geométricas ou aritméticas comumente utilizadas3 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 k N N N k N a a a a a N N a 5 2 0 1 1 k k a k a a a 2 0 1 1 1 k k a a a 6 2 1 2 0 1 1 N N N k k N a Na a k a a 3 1 1 1 1 N k k N a a a a 7 0 1 1 2 N k k N N 4 0 1 1 1 N k N k a a a 8 1 2 0 1 1 2 1 6 N k k N N N Nas equações acima 1 N e 2 N podem ser positivos ou negativos desde que 1 2 N N PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A5 ANEXO C A Transformada de Fourier4 1 Definição X x t F dt x t e X j t d e X x t t j 2 1 2 Propriedades i Linearidade 2 2 1 1 2 2 1 1 a X a X a x t a x t ii Deslocamento no Tempo X e t x t t j 0 0 iii Deslocamento na Frequência 0 0 X x t e t j iv Mudança de escala de tempo a a X x at 1 v Inversão no tempo X t x vi Dualidade x X t 2 vii Diferenciação no Tempo j X dt dx t viii Diferenciação em frequência d dX jt x t ix Integração X j X d x t 1 0 x Convolução 2 1 2 1 X X x t x t xi Multiplicação 2 1 2 1 2 1 X X x t x t 4 Hsu H P Teoria e Problemas de SINAIS e SISTEMAS 1ª Ed Editora Bookman 2004 Brasil PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A6 xii Sinal Real jB A X x t x t x t o e X X xiii Componente Par A X xe t Re xiv Componente Ímpar jB X j xo t Im 3 Pares de Transformadas de Fourier Usuais Função no domínio do Tempo Contínuo Transformada de Fourier t 1 t 0t 0t j e 1 2 t je 0 0 2 cos 0 t 0 0 sin 0 t 0 0 j u t j 1 u t j 1 u t e at 0 1 a a j u t et at 0 1 2 a a j a t e 0 1 2 2 a a 2 2 1 a t ea ea 2t 0 4 2 a e a a a t a t pa t 0 1 a a a 2 sin t ta sin a a pa 0 1 t sgn j 2 PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A7 k tk t 0 0 0 2 k k T PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A8 ANEXO D TRANSFORMADAS z DE SEQUÊNCIAS COMUMENTE USADAS5 Sequência Transformada RDC 1 n 1 z C 2 u n 1 1 1 z z 1 3 1 u n 1 1 1 z z 1 4 n m zm Todo z exceto 0 m 0 ou m 0 5 nu n 2 1 1 1 z z z 1 6 2 n u n 3 1 1 1 1 1 z z z z 1 7 n a u n 1 1 1 z a z a 8 1 n a u n 1 1 1 z a z a 9 n na u n 2 1 1 1 z a az z a 10 1 n na u n 2 1 1 1 z a az z a 11 an e u n 1 1 1 ea z z ea 12 1 n u n 1 1 1 1 ln z z 1 5 Oppenheim Alan V Schafer RW DiscreteTime Signal Processing 2nd ed Prentice Hall Inc USA 1999 Diniz P S R outros Processamento Digital de Sinais Projeto e Análise de Sistemas 1a ed Brasil 2004 PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A9 13 cos 0 n u n 2 1 0 1 0 2cos 1 cos 1 z z z z 1 14 0 sen n u n 2 1 0 1 0 2cos 1 sen z z z z 1 15 0 nr cos n u n 2 2 1 0 1 0 2 cos 1 cos 1 r z z r z r z r 16 0 nr sen n u n 2 2 1 0 1 0 2 cos 1 sen r z z r z r z r 17 0 1 0 an n N cc 1 1 1 1 N az az z 0 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA z Sequência Transformada RDC 1 x n X z x R 2 1x n X1 z Rx1 3 x2 n X2 z Rx2 4 1 2 a x n b x n 1 2 a X z b X z 1 2 x x R R 5 0 x n n z n0 X z x R exceto possivelmente pela inclusão ou exclusão de z 0 ou z 6 0 nz x n 0 X z z 0 x z R 7 n x n z dX z dz x R exceto possivelmente pela inclusão ou exclusão de z 0 ou z 8 x n X z x R 9 Re x n 1 2 X z X z x R 10 Im x n 1 2 X z X z j x R PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A10 11 x n X 1 z 1 x R 12 x n 1 X z 1 x R 13 1 2 x n x n 1 2 X z X z 1 2 x x R R 14 Teorema do Valor Inicial 0 0 lim 0 z x n n X z x PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A11 ANEXO E TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO 6 Pares comuns de DTFT Sequência x n Transformada de Fourier de Tempo Discreto X e j n 1 0 n n 0 j n e 1 2 1 n 2 2 k k j 0 e n 0 2 2 k k u n 1 2 1 j k k e 1 n a u n a j e a 1 1 1 1 an u n a j e a 1 1 1 1 n n a u n a 2 1 1 j e a 0 cos n 0 0 2 2 j j k e k e k 0 sin n 0 0 2 2 j j k e k e k j j 6 Oppenheim Alan V Schafer RW DiscreteTime Signal Processing 2nd ed Prentice Hall Inc USA 1999 Hayes M H Digital Signal Processing McGrawHill Companies Inc USA 1999 PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A12 contrário caso M n 0 1 2 sin 2 1 2 sin M 1 0 0 n M caso contrário 2 2 1 sin 2 sin 2 M j M e 0 sin n n n 0 0 1 0 sin 1 1 sin P P rn n u n r 2 2 1 1 2 cos P j j r e r e PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A13 ANEXO F PROPRIEDADES DE SIMETRIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DISCRETOS7 Sequência x n Transformada de Fourier j X e 18 x n j X e 19 x n j X e 20 Re x n j Xe e Parcela conjugada simétrica de j X e 21 j Im x n j Xo e Parcela conjugada antisimétrica de j X e 22 ex n Parcela conjugada simétrica de x n Re j j XR e X e 23 ox n Parcela conjugada antisimétrica de x n Im j j jXI e j X e As propriedades a seguir aplicamse apenas às sequências reais 24 Qualquer real x n j j X e X e A Transformada de Fourier é conjugada simétrica 25 Qualquer real x n R R j j X e X e A parcela real é par 26 Qualquer real x n I I j j X e X e A parcela imaginária é ímpar 27 Qualquer real x n j j X e X e A amplitude ou módulo é par 28 Qualquer real x n j j X e X e A fase é ímpar 29 ex n Parcela par de x n Re j j XR e X e 30 ox n Parcela ímpar de x n Im j j jXI e j X e 7 Oppenheim Alan V Schafer RW DiscreteTime Signal Processing 2nd ed Prentice Hall Inc USA 1999 PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A14 TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS DISCRETOS1 Sequência x n y n Transformada de Fourier j X e j Y e 1 ax n by n j j aX e bY e 2 d x n n dn é um inteiro d j n j e X e 3 j o n e x n j e o X e 4 x n j X e j X e se x n é real 5 nx n j d X e j d 6 x n y n j j X e Y e 7 x n y n 1 2 j j X e Y e d Teoremas de Parseval 8 2 2 1 2 n j x n X e d 9 1 2 n j j x n y n X e Y e d PUCMINAS PROCESSAMENTO DE SINAIS Notas de Aulas Profa Zélia Myriam Assis Peixoto A15 ANEXO H REPRESENTAÇÕES DE FOURIER PARA SINAIS8 Relação entre as Propriedades de um Sinal no Tempo e a Representação de Fourier Adequada Propriedade Tempo Periódica Não periódica Contínuo Série de Fourier FS Transformada de Fourier FT Discreto Série de Fourier de Tempo Discreto DTFS Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT As Quatro Representações de Fourier Domínio de Tempo Periódica Não periódica Contínuo 2 2 1 2 k k k T o j k t T j k t T x t a e a x t e dt T T dt x t e j X d e X j t x t j t j 2 1 Não periódica Discreto 1 0 1 0 0 2 2 1 2 N k N n j k n N j k n N x n X k e X k x n e N N 1 2 n j j n j j n x n X e e d X e x n e Periódica Discreto Contínuo Domínio de Frequência