Transformada Z Definição Conceitos Fundamentais e Aplicações

Unidade III A Transformada z Parte I Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Profa Zélia Myriam Assis Peixoto Tópicos Principais DEFINIÇÃO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS TRANSFORMADA Z X TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO DISCRETO DTFT DISCRETETIME FOURIER TRANSFORM REGIÕES DE CONVERGÊNCIA PROPRIEDADES A TRANSFORMADA Z INVERSA 1 Oppenheim A V e Schafer RW DiscreteTime Signal Processing Prentice Hall 3rd ed 2009 1 Definição e Conceitos Fundamentais A Transformada z desempenha um importante papel na análise dos sinais e sistemas discretos A representação dos sinaissistemas discretos através da Transformada z é análoga à Transformada de Laplace no domínio do tempo contínuo e da mesma forma guarda uma estreita relação com a Transformada de Fourier Motivações para o uso da Transformada z A Transformada de Fourier não converge para todas as sequências Em problemas analíticos a notação da Transformada z é mais conveniente que a notação da Transformada de Fourier Definindo uma variável complexa na forma polar por j z re r Módulo de z Ângulo de fase A Transformada z de uma sequência discreta xn é calculada como n n X z x n z Definição e Conceitos Fundamentais A Transformada z é uma soma infinita ou uma série de potência infinita onde z é a variável complexa Transforma uma sequência numérica em uma função sendo por vezes referida como Operador Transformada z n n Z x n X z x n z z x n X z Classes de transformadas z Transformada z Bilateral Transformada z Unilateral Direita Transformada z Unilateral Esquerda n n X z x n z 0 n n X z x n z 0 n n X z x n z r Imz Rez j z re Plano z Transformada z de Comprimento Finito 2 1 N n n N X z x n z Exemplos Dadas as sequências a seguir responda às questões a Faça o esboço e caracterize o sinal no domínio do tempo b Identifique o tipo de Transformada Z e calcule a representação do sinal no domínio z c Faça o esboço da representação do sinal no Plano z 1 𝑥 𝑛 05𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 0 1 0 1 1 1 05 05 1 05 1 1 05 1 05 05 n n n n n X z z z z z z z a b Transformada Z Unilateral Direita 05 Imz Rez 05 z c 0 1 1 1 k k a a a Série 2 Exemplos 2 𝑥 𝑛 15𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ a 0 1 0 1 1 1 15 15 1 15 1 1 15 1 15 15 n n n n n X z z z z z z z Imz Rez c 15 b Transformada Z Unilateral Direita 0 1 1 1 k k a a a Série 2 3 𝑥 𝑛 12𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ Exemplos a b Transformada Z Unilateral Esquerda 0 0 1 1 0 1 0 1 1 Troca de variáveis 12 12 12 12 1 12 1 1 08333 1 12 12 n n n n n m m m m X z z z m n n m X z z z z z z z Imz Rez c 12 0 1 1 1 k k a a a 𝑛 𝑚 𝑛 0 𝑚 0 4 𝑥 𝑛 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 05𝑛𝑢 𝑛 12𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 1 0 1 0 1 1 1 05 05 1 05 1 1 05 1 05 05 n n n n n X z z z z z z z 0 2 0 1 1 0 1 0 1 1 Troca de variáveis 12 12 12 12 1 12 1 1 08333 1 12 12 n n n n n m m m m X z z z m n n m z z z z z z Imz Rez 12 05 Exemplos 05 12 z 1 2 05 12 X z X z X z z 𝑋 𝑧 1 1 05𝑧1 1 1 08333𝑧 b Transformada Bilateral Exemplos 5 𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 𝑢 𝑛 𝑛 ℤ n n Z x n X z x n z 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 2 cos 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 cos 2 cos 1 n n j n j n n n j n n j n n n n n n j j n n j j j X z n z e e z e z e z e z e z e z z e z e z z z X z z z Para casa Simplificar e deduzir a expressão resultante 0 1 1 1 k k a a a Série 2 𝑒𝑗𝜔𝑧1 1 𝑒𝑗𝜔 1 𝑧1 𝑒𝑗𝜔 𝑧 𝑒𝑗𝜔𝑧1 1 𝑒𝑗𝜔 1 𝑧1 𝑒𝑗𝜔 𝑧 Unidade II A Transformada z Parte II Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Profa Zélia Myriam Assis Peixoto 2 Transformada z x Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT Existe uma estreita relação entre a Transformada z e a Transformada de Fourier Especificamente se r 1 então j z e n j j n n n X z x n z X e x n e No Plano z r 1 ou z 1 corresponde a um círculo de raio igual à unidade denominado Círculo Unitário Ou seja a Transformada z avaliada sobre o círculo unitário corresponde à Transformada de Fourier para sinais discretos Imz Rez 1 j z e 1 Plano z Círculo Unitário A periodicidade da Transformada de Fourier na frequência z 1𝑒𝑗0 0 j 𝑒𝑗𝜋 2 p2 1 𝑒𝑗𝜋 p ou p j 𝑒𝑗𝜋 2 3p2 ou p2 1 𝑒𝑗2𝜋 2p ou 0 Uma mudança de 2p radianos corresponde a um giro completo sobre o Plano z e o retorno à mesma posição 𝑧 𝑟𝑒𝑗𝜔 𝑟 cos 𝜔 𝑗 𝑟 sin 𝜔 3 Regiões de Convergência A Transformada z não converge para todos valores de z O conjunto de valores para o qual a Transformada z converge é denominado região de convergência ROC region of convergence Temse que ou n n n n n n X z x n z x n z x n z Ou seja a convergência da Transformada z depende apenas do z Assim se z z1 está na região de convergência então todos os valores de z sobre o círculo definido por z z1 r estarão na ROC Como consequência a região de convergência consistirá de um anel no Plano z centrado na origem Amplitude real positivo 1 z z r Imz Rez Plano z ROC r Observação Uma sequência xn pode não ser absolutamente somável 1 e ainda assim convergir no Plano z 2 ou seja n x n 1 n n j n n j n n n n n n x n z x n r e x n r e x n r se r 1 2 O módulo da soma é sempre menor ou igual à soma dos módulos n n n S z f z f z n Regiões de Convergência Uma série genérica da forma pode ser expressa como a soma das parcelas e 1 0 n n S z f z 1 2 n n S z f z A série Sz só irá convergir se e somente se as parcelas S1z e S2z convergem ou seja 1 1 lim 1 n n n f z z f z 1 2 lim 1 n n n f z z f z Regiões de Convergência 1 0 n n n n n n X z x n z x n z x n z Condições de convergência da Transformada z 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 lim n n n R R n n x n z z x n z x n x n z z r r x n x n 1 2 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim n n n L L n n x n z z x n z x n x n z z r r x n x n rR z rL A ROC da Transformada z de uma sequência bilateral é definida por uma região anular sobre o Plano Complexo z e é dada por Imz Rez Plano z rL rR Usando a teoria de séries a convergência da Transformada z bilateral pode ser analisada com base na Teoria das Séries tomandose Exemplos Determine as regiões de convergência para as transformadas z das sequências dadas a seguir 1 𝑥 𝑛 05𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 0 1 0 1 1 1 05 05 1 05 1 1 05 1 05 05 n n n n n X z z z z z z z 1 1 1 1 1 1 lim 05 05 lim 05 1 05 05 lim 05 05 05 n n n n n n n n n R R n n z z z z z r r ROC z Imz Rez Plano z 0 1 1 1 k k a a a Série 2 0 𝟓 2 𝑥 𝑛 15𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ Exemplos 0 1 0 1 1 1 15 15 1 15 1 1 15 1 15 15 n n n n n X z z z z z z z 1 1 1 1 1 1 lim 15 15 lim 15 1 15 15 lim 15 15 15 n n n n n n n n n R R n n z z z z z r r ROC z Imz Rez Plano z 0 1 1 1 k k a a a Série 2 15 3 𝑥 𝑛 12𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ Exemplos 0 0 1 1 0 1 0 1 1 Troca de variáveis 12 12 12 12 1 12 1 1 08333 1 12 12 n n n n n m m m m X z z z m n n m z z z z z z 1 1 2 1 1 1 1 1 1 lim 12 12 lim 12 1 12 12 1 lim 12 lim 12 12 12 lim 12 12 12 n n n n n n n n n n n n n n n L L n n z z z z z z z r r ROC z Imz Rez Plano z 0 1 1 1 k k a a a Série 2 12 Regiões de Convergência Dentre as mais importantes e utilizadas transformadas z destacamse aquelas para as quais Xz é uma função racional dentro da região de convergência sendo Pz e Qz polinômios em z P z X z Q z Zeros raízes finitas do numerador que tornam Xz 0 Polos raízes finitas do denominador para os quais Xz é infinito 1 1 1 k K m k k P z X z p z k k p m K Polo indicado pelo índice k Multiplicidade de pk Número de polos distintos 1 1 2 1 1 1 1 1 02 015 1 1 05 1 03 z X z z z z z z Exemplo 𝑃1 05 𝑒 𝑃2 03 𝑈𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑧 05 𝑈𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐸𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑧 03 Se considerados os zeros e polos no zero e infinito 𝑋 𝑧 terá o mesmo número de polos e zeros 1 1 2 1 1 1 1 1 02 015 1 1 05 1 03 z X z z z z z z Exemplo 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 02 015 02 015 05 03 1 1 05 1 03 z z X z z z z z z z z z z z z z z z Regiões de Convergência Função de Transferência Dentre as mais importantes e utilizadas transformadas z destacamse aquelas para as quais Hz é uma função racional dentro da região de convergência sendo Yz e Xz polinômios em z Função de Transferência do sistema Trans z do sinal de saída Trans z do sinal de entrada Y z H z Z h n X z H z Y z Z y n X z Z x n Zeros raízes finitas do numerador que tornam Hz 0 Polos raízes finitas do denominador para os quais Hz é infinito 1 1 1 k K m k k Y z H z p z k k p m K Polo indicado pelo índice k Multiplicidade de pk Número de polos distintos 1 1 2 1 1 1 1 1 02 015 1 1 05 1 03 z H z z z z z z Exemplo 𝑃1 05 𝑒 𝑃2 03 𝑈𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑧 05 𝑈𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐸𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑧 03 Se considerados os zeros e polos no zero e infinito 𝐻 𝑧 terá o mesmo número de polos e zeros Transformada z Exercício Extras Valor 3 pontos 1 𝑥 𝑛 15𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 2 𝑥 𝑛 15𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 3 𝑥 𝑛 02𝑛𝑢 𝑛 55𝑢 𝑛 𝑛 ℤ Calcule as transformadas z e regiões de convergência das sequências indicadas a seguir Faça o esboço dos sinais no domínio do tempo e no domínio z 4 𝑥 𝑛 sin 𝜋 15 𝑛 𝑢 𝑛 𝑒𝑗 𝜋 15𝑛𝑒𝑗 𝜋 15𝑛 2𝑗 𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 5 𝑥 𝑛 55𝑛𝑢 𝑛 55𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ Regiões de Convergência Sequência unilateral direita A região de convergência é dada por z rR e assim os pólos devem estar no interior da circunferência dada por Sequência unilateral esquerda A região de convergência é dada por z rL e assim os pólos devem estar no exterior da circunferência dada por 1min k k K z p 1max k k K z p Sequência Bilateral A região de convergência é dada por rR z rL e portanto alguns pólos estão no interior da circunferência dada por z rR e outros no exterior da circunferência z rL Regiões de Convergência Localização dos polos2 ROC a Sequência Unilateral Direita b Sequência Unilateral Esquerda c Sequência Bilateral 2 Diniz P SR e outros 2014 Processamento Digital de Sinais Projeto e Análise Bookman 2014 Regiões de Convergência Propriedades Considerando que Xz é uma função racional e que xn é finito temse que 1 A região de convergência ROC é um anel ou disco no Plano z centrado na origem 2 A Transformada de Fourier de xn converge absolutamente se e somente se a ROC da Transformada z de xn inclui o círculo unitário 3 A ROC não contém polos 4 Se xn é uma sequência de duração finita isto é se a sequência é nãonula apenas no intervalo N1 n N2 então a ROC é todo o Plano z exceto possivelmente onde z 0 ou z infinito 5 Se xn é uma sequência unilateral direita a ROC estendese para fora do círculo definido pelo polo de maior módulo possivelmente até o infinito 6 Se xn é uma sequência unilateral esquerda a ROC estendese para dentro do círculo definido pelo polo de menor módulo possivelmente até a origem 7 Se xn é uma sequência bilateral a ROC consiste de um anel no Plano z limitado interna e externamente pelos polos de menor e maior módulos respectivamente que não contém polos 8 A ROC é uma região conectada Aplicação Exemplo Determine a representação no domínio z Transformada z e ROC para a expressão a seguir 𝑥 𝑛 05𝑛𝑢 𝑛 𝑢 𝑛 3 𝑋 𝑧 𝑛0 2 05𝑛 𝑧𝑛 𝑛0 2 05 𝑧1𝑛 Série geométrica aplicável 𝑋 𝑧 1 05 𝑧13 1 05 𝑧1 𝑋 𝑧 1 0125 𝑧3 1 05 𝑧1 Polos e zeros P1 05 Z1 05 Z2 025 j0433 Z3 025 j0433 𝑋 𝑧 1 05 𝑧11 0 25 0433𝑗𝑧11 0 25 0433𝑗𝑧1 1 05 𝑧1 𝑋 𝑧 1 0 25 0433𝑗𝑧11 0 25 0433𝑗𝑧1 A ROC será todo o plano Z exceto em P1 05 Cálculo dos zeros no MatLab 𝑛𝑢𝑚 1 0 0 0125 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑜𝑜𝑡𝑠𝑛𝑢𝑚 Unidade II A Transformada z Parte III Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Profa Zélia Myriam Assis Peixoto 4 Propriedades As propriedades da Transformada z são de fundamental importância na análise dos sinaissistemas discretos Associadas às técnicas de cálculo da Transformada z Inversa auxiliam na determinação das sequências no domínio do tempo discreto e formam a base para a manipulação das equações de diferenças lineares de coeficientes constantes Para as discussões seguintes serão adotados em relação aos pares de transformadas e regiões de convergência z x x n X z ROC R onde Rx representa um conjunto de valores tal que L R r z r Para propriedades que envolvem duas sequências temse que 1 1 1 2 2 2 z x z x x n X z ROC R x n X z ROC R Propriedades 1 Linearidade 1 2 1 2 1 2 z x x a x n b x n aX z bX z ROC R R Exemplo 1 2 1 1 2 2 1 1 02 1 Anexo D 1 1 02 02 Anexo D 7 1 02 logo 1 1 02 1 02 n n y n x n x n n u n X z Z x n Z n ROC X z Z x n Z u n ROC z z Y z ROC z z 2 Deslocamento no tempo 0 0 n z x x n n z X z ROC R Observação Exceto para a inclusão ou exclusão de z 0 ou z infinito Propriedades Exemplo 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 Anexo D 7 1 02 3 02 1 02 3 02 3 02 02 3 02 02 02 02 1 02 z n n n n n a u n ROC z a az y n u n y n u n u n u n z Y z z X z ROC z z 𝑦 𝑛 02 𝑛1 u 𝑛 1 𝑌 𝑧 𝑧1 1 02𝑧1 O que fazer Apenas o degrau unitário está deslocado no tempo 3 Multiplicação por uma Exponencial 0 0 0 z n x z z x n X ROC z R z Propriedades Exemplo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 02 02 02 1 1 02 1 02 02 02 1 02 z z Y z ROC z z z z Y z ROC z z 1 1 02 1 1 1 1 n z y n u n z u n ROC z z Anexo D Sequência 2 Deslocamento no tempo Multiplicação por uma Exponencial Propriedades 5 Reversão no tempo 1 1 z x x n X ROC z R 6 Conjugação de uma sequência complexa z x x n X z ROC R Caso Particular Aplicação da propriedade da reversão no tempo 1 1 z x x n X ROC z R 4 Diferenciação z x d X z n x n z ROC R d z 7 Convolução de sequências 1 2 1 2 1 2 z x x x n x n X z X z ROC R R Propriedades Exemplo Dados o sinal de excitação e a resposta ao impulso de um SLIT determine a Transformada z do sinal de saída 𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 ℎ 𝑛 do sistema 3 1 1 1 3 1 1 1 z z x n u n u n X z z z z Anexo D Sequência 2 Propriedade de deslocamento no tempo 4 4 1 1 1 05 4 05 05 1 05 1 05 z n z h n u n u n H z z z z Anexo D Sequência 7 Propriedade de deslocamento no tempo 3 4 4 1 1 1 1 05 1 1 1 05 X H Y z X z H z ROC R R z z ROC z z z 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z z X z z z z z 4 4 4 4 1 1 1 1 1 05 05 05 1 05 1 05 1 05 z z H z z z z z Propriedade da Convolução Propriedades 5 Transformada z Inversa 1 Método da inspeção Usualmente a análise de sistemas discretos envolve a determinação da Transformada z de uma sequência alguma manipulação dessas equações algébricas e a determinação da Transformada z inversa z x n X z 1 Método da inspeção Consiste em reconhecer e ajustar as equações algébricas em z incluindose suas propriedades aos pares usuais de transformadas z Anexo D Como exemplo dado que 1 1 1 z n a u n z a a z Então a Transformada z Inversa das expressões seguintes por inspeção serão 2 1 2 1 1 1 1 z z X z 1 2 n x n u n 1 1 1 1 2 1 2 X z z z 1 1 2 n x n u n 1 1 1 1 z n a u n z a a z Transformada z Inversa Representações usuais Por vezes a Transformada z não é dada explicitamente na Tabela de Pares de Transformadas e alguma manipulação matemática é necessária para se obter termos mais simples No caso de funções racionais a expansão em frações parciais permite identificar as sequências correspondentes aos termos individuais a partir dos polinômios do numerador e denominador em z1 1 0 0 1 1 0 1 0 M k M k k M N N k N k k b z b b z b z X z a a z a z a z para M zeros raízes do numerador e N polos raízes do denominador da Transformada z Para a decomposição em frações parciais é mais conveniente expressar Xz como uma razão dos produtórios dos monômios do numerador e denominador principalmente denominador 1 0 1 1 0 1 1 1 M k k N k k c z b X z a d z Torna o termo independente igual a 1 para a fatoração em monômios Zeros Polos Caso 1 e todos os polos são de primeira ordem multiplicidade 1 1 1 1 N k k k A X z d z onde 1 1 k k k z d A d z X z M N Transformada z Inversa 2 Expansão em Frações Parciais Exemplo 1 1 1 2 1 1 1 1 1 04 005 1 01 1 05 z z X z z z z z 1 1 2 e 1 01 05 1 2 c d d M N M N Portanto 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 N N A A A X z d z d z d z Cálculo dos resíduos 1 1 1 2 1 1 05 05 1 1 05 1 05 25 1 01 1 05 z z z A z X z z z z 1 1 1 1 1 1 01 01 1 1 01 1 01 15 1 01 1 05 z z z A z X z z z z 1 2 1 1 1 01 1 05 A A X z z z 1 1 1 15 25 15 01 25 05 1 01 1 05 n n z X z x n u n u n z z Transformada z Inversa 2 Expansão em Frações Parciais Transformada z Inversa 2 Expansão em Frações Parciais Caso 2 e todos os polos são de primeira ordem M N 1 0 1 1 M N N k r r r k k A X z B z d z Termo direto Quociente da divisão inteira ou longa calculado até o expoente MN com os polinômios ordenados de forma crescente Resíduo s Exemplo 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 2 z z z X z z z z z z 1 1 2 com multiplicidade e 1 2 1 1 2 2 2 c d d M N M N Portanto 0 2 1 0 1 1 M N k r r r k k A X z B z d z 1 2 0 1 1 1 1 1 2 A A X z B z z 1 1 1 2 1 1 9 2 z A z X z 1 2 1 1 8 z A z X z 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 2 3 2 2 5 1 z z z z z z z Cálculo do Termo Direto Cálculo dos Resíduos 1 1 9 8 2 1 1 1 1 2 X z z z z 1 2 9 8 2 n x n n u n u n Transformada z Inversa 2 Expansão em Frações Parciais Caso 3 com k polos dk de primeira ordem e di polos de ordem múltipla s maior que 1 M N 1 1 0 1 1 1 1 M N N s k r m r m r k k i m k i A C X z B z d z d z 1 1 1 1 s m s m i s m s m w d i i d C d w X w dw s m d Transformada z Inversa 2 Expansão em Frações Parciais Termo direto Quociente da divisão inteira ou longa calculado até o expoente MN com os polinômios ordenados de forma crescente Cálculo dos resíduos para os polos de 1ª ordem Cálculo dos resíduos para os polos de multiplicidade maior que 1 MatLab residuez Transformada z Inversa 3 Expansão em Séries de Potência ou Expansão Polinomial Como a Transformada z pode ser expressa como uma série de potência em z 2 1 1 2 1 0 1 n n X z x n z x z x z x x z A sequência temporal original pode ser determinada diretamente dos coeficientes da Transformada z Caso 1 Sequência Unilateral Direita Os polinômios do numerador e denominador devem ser funções de z ordenados na forma decrescente antes de se efetuar a divisão longa Exemplo 2 1 2 3 2 1 06 052 0408 06 016 z X z z z z z z 06 1 052 2 0408 3 0 0 1 06052 0408 0123 x n n n n n n x n n xn n 1 06 052 0408 1 0 1 2 2 Expansão Polinomial Caso 2 Sequência Unilateral Esquerda Os polinômios do numerador e denominador devem ser funções de z1 ordenados na forma crescente antes de se efetuar a divisão longa Exemplo 2 3 4 2 1 1 625 2343 12695 016 06 1 X z z z z z z Transformada z Inversa 2 Expansão Polinomial 625 2 2343 3 12695 4 12695 2343 625 4 3 2 0 2 x n n n n n x n n Fim da Unidade III Unidade II A Transformada z Parte II Exercícios extras Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Profa Zélia Myriam Assis Peixoto Transformada z Exercícios Extras Valor 3 pontos incluídos nos 100 1 𝑥 𝑛 15𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 2 𝑥 𝑛 15𝑛𝑢 𝑛 𝑛 ℤ 3 𝑥 𝑛 02𝑛𝑢 𝑛 55𝑛 𝑛 𝑛 ℤ Calcule as transformadas z e regiões de convergência das sequências indicadas a seguir Faça o esboço dos sinais no domínio do tempo e no domínio z 4 𝑥 𝑛 sin 𝜋 15 𝑛 𝑢 𝑛 𝑛 ℤ Trabalho em grupo a ser postado individualmente Postar no CANVAS como Tarefa até as 2230h Unidade III Resposta em Frequência e Representações de Fourier Parte I Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Profa Zélia Myriam Assis Peixoto Oppenheim A V e Schafer R W DiscreteTime Signal Processing Prentice Hall Signal Processing Series 3rd ed 2009 Tópicos Principais Conceitos Básicos Resposta em Frequência Aplicações Usuais Representações através da Transformada de Fourier de Tempo Discreta DTFT Propriedades de Simetria da DTFT Teoremas da DTFT Representações Tempo x Frequência de SLITs Um sistema linear invariante no tempo disponibiliza a convolução linear do sinal de entrada com sua resposta ao impulso à sua saída Como a Transformada de Fourier da convolução de dois sinais é o produto das Transformadas de Fourier de Tempo discreto DTFT Discrete Time Fourier Transform dos sinais é possível implementar digitalmente um sistema linear a partir do cálculo das Transformadas de Fourier no domínio da frequência SLIT Sinal de entrada Sinal de saída Convolução entre o sinal de entrada e a resposta ao impulso do sistema Meio Digital Sinal de entrada Sinal de saída Produto das Transformadas de Fourier do sinal de entrada e da resposta ao impulso do sistema 1 Conceitos Básicos Nos SLITs discretos uma sequência de entrada formada como uma soma de impulsos ponderados weighted e deslocados no tempo leva a uma sequência de saída composta como uma soma de impulsos ponderados weighted e deslocados no tempo Sequências senoidais ou exponenciais complexas autofunções ou eigenfunctions desempenham um importante papel na representação dos sinaissistemas no tempo discreto pois as respostas de um SLIT a esses sinais serão também uma sequência senoidal ou exponencial complexa de mesma frequência do sinal de entrada porém com amplitude e fase definidas pelo sistema j n k k j k j n j j n k y n h k e h k e e H e e Autovalor característica do sistema Autofunção não é modificada pelo sistema Resposta ao Impulso j j k k H e h k e Por definição esta é Transformada de Fourier de Tempo Discreto da Resposta ao Impulso DTFT 2 Resposta em Frequência j j k j n k n H e h k e h n e Descreve a variação na amplitude e fase do sinal de entrada provocada pelo SLIT em função da frequência digital w É denominada Resposta em Frequência do sistema Em geral é uma função complexa e pode ser expressa em termos de suas parcelas real e imaginária ou mais usualmente na forma polar ou j j j j R I j H e j j j j H e H e jH e H e H e e H e e Resposta em Módulo Resposta em Fase Transformada de Fourier de Tempo Discreto DTFT da Resposta ao Impulso Resposta em Frequência Sobre a Periodicidade O conceito de Resposta em Frequência é o mesmo para os sistemas no domínio do tempo discreto ou contínuo Uma diferença na representação devese ao fato dos sistemas discretos possuírem sempre uma resposta em frequência que é uma função periódica da frequência com período igual a 2p 2 2 2 j j n j n j n j n n H e h n e h n e e H e p p p z 1 0 j p2 1 p ou p j 3p2 ou p2 1 2p ou 0 Imz Rez j z e Círculo Unitário w 1 1 Plano z A periodicidade da Transformada de Fourier na frequência Uma mudança de 2p radianos corresponde a um giro completo sobre o Plano z e o retorno à mesma posição Igual à unidade Z r H e H e j r j 2 p A Resposta em Frequência de um SLIT é sempre periódica com período 2p Basta portanto especificar a Resposta em Frequência em um intervalo de comprimento 2p Usualmente adotase o intervalo p p Exemplo Filtro Passabaixas Região de baixas frequências próximas de 0 ou múltiplo par de 2p Região de altas frequências próximas de p ou múltiplo ímpar de p Resposta em Frequência Sobre a Periodicidade Resposta em Amplitude do Filtro Passabaixas a Periodicidade b Período de p a p Filtros Ideais a Passa altas b Rejeita faixa c Passa faixa Filtros Seletivos em Frequência Ideais 1 Sistema de Atraso Ideal 3 Aplicações Usuais d y n x n n Qualquer sinal de entrada estará sujeito ao mesmo atraso de tempo independente das frequências que o compõem Por definição a Resposta ao Impulso de um SLIT é o sinal de saída quando um impulso é aplicado à sua entrada d x n n h n y n n n 1 d j j j d d n H e H e e n d n d p p p j H e p 1 nd p p dn 1 0 d d n n n n cc Atraso de grupo j j n j n d n n H e h n e n n e 2 Filtro de Média Móvel Causal 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 1 1 1 1 sin 1 2 1 1 sin 2 M M j j n k n M j h n n k H e e M M M e M Resposta em Módulo e Fase para um Sistema de Média Móvel com M1 0 e M2 4 Obs A Resposta de Fase exclui parcelas descontínuas múltiplas de p para limitar a fase p p Aplicações Usuais 2 2 2 2 0 1 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 j j n n M j n n k j M M j n j k H e h n e n k e M e e M M e Aplicações Usuais Filtro de Média Móvel Causal 2 2 0 1 como 1 M x n n k y n x n k h n y n M 2 2 0 1 1 M k h n n k M 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 sin 2 2 1 1 sin 2 2 1 sin 2 1 1 sin 2 j M j j M M M j j j j j j M j j e H e M e e e e M e e e M j e M j M e M 2 2 M Resposta em Módulo Resposta em Fase Aplicações Usuais Filtro de Média Móvel Causal Identidade de Euler O Filtro de média móvel é um filtro passabaixas pobre devido ao decaimento lento e baixa atenuação na faixa de rejeição A escala de frequência é normalizada em relação à Frequência de Nyquist A frequência de amostragem deve ser igual ou maior que duas vezes a máxima frequência desejável 3 sin 2 05 1 1 2 2 05 2 1 3 sin 2 j x x x H e p p Exemplo Resposta em Amplitude para f 05 metade da frequência de amostragem e M 2 Aplicações Usuais Filtro de Média Móvel Causal Representações Tempo versus Domínio z versus Frequência xn yn xn 1 12 12 z1 Todo o plano ROC 1 1 1 2 1 1 2 Y z X z z X z z X z 1 1 1 2 Y z H z X z z Aplicando a Transformada z Cálculo da Função de Transferência Diagrama esquemático o Imz Rez Representação no domínio z 1 1 1 2 y n x n x n Aplicações Usuais Um Filtro FIR de 1ª ordem Cálculo da Resposta em frequência 1 1 2 j j z e j H e H z e 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 j j j j j j j H e e e e e e e 2 1 2 sin 2 2 j H e j j e 2 2 2 sin 2 sin 2 j j j j j H e e e H e e p p sin 2 j H e 1 2 d d 2 p Resposta de amplitude Resposta de fase Atraso de grupo Para casa Esboçar os gráficos cos sin 2 2 j j p p rad amostra rad amostra Unidade IV Resposta em Frequência e Representações de Fourier Versão Online Parte II Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Profa Zélia Myriam Assis Peixoto Oppenheim A V e Schafer R W DiscreteTime Signal Processing Prentice Hall Signal Processing Series 3rd ed 2009 4 Representações de sequências através da Transformada de Fourier de Tempo Discreto A Resposta em Frequência possibilita a representação de SLIT de forma fácil e direta Generalizando sinais formados por sequências de impulsos também podem ser representadas pela Integral de Fourier da forma 1 2 F j j n j j n n x n X e e d X e x n e p p p Transformada de Fourier Inversa ou Fórmula de Síntese O sinal é representa do como uma superposição de senóides complexas sobre um intervalo de 2p com amplitudes determinadas em função da frequência Transformada de Fourier1 ou Fórmula de Análise Indica como cada componente de frequência contribui para sintetizar o sinal original Em geral a Transformada de Fourier é uma função complexa da frequência e periódica com período 2p A Transforma de Fourier de Tempo Discreto é uma função complexa de e tal como a Resposta em Frequência pode ser expressa na forma retangular ou polar j j j j R I j X e j j X e X e jX e X e X e e Espectro de Fase Espectro de Amplitude Condição de existência Se a sequência é absolutamente somável condição de convergência então a Representação de Fourier existe Caso contrário podese buscar por aproximações truncando a sequência infinita j j n j n n n n X e x n e x n e x n Representações através da DTFT Aplicações 1 Sinal exponencial descrescente ou decrescente alternado absolutamente somável 1 1 1 n j j x n a u n X e a ae 2 Transformada de Fourier de uma constante não é absolutamente somável Representações através da DTFT Aplicações 1 2 2 j r x n n X e r p p Z A DTFT de sequência infinita de impulsos unitários no tempo deslocados entre si de n 1 é um trem de impulsos infinito na frequência de amplitude 2𝜋 e deslocados entre si de 2𝜋 3 Degrau Unitário Embora não facilmente podese demonstrar que 1 2 1 j j r x n u n U e r e p p Sequência infinita de impulsos 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 4 Sistema Acumulador a saída em n é a soma de todos os valores anteriores valor atual 5 Sistema de diferença de um passo à frente foward difference dedução a seguir 1 1 1 j j y n x n x n h n n n H e e 0 0 1 0 0 0 1 2 1 n n k k j j k n y n x k h n k u n n h n u n H e k e p p 6 Sistema de diferença de um passo atrás backward difference dedução a seguir 1 1 j j h n n n H e e Representações através da DTFT Aplicações 5 Sistema de diferença de um passo à frente foward difference Representações através da DTFT Aplicações 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑛 ℎ 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 Resposta em frequência 𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 1 𝑥 𝑛 ℎ 𝑛 𝛿 𝑛 1 𝛿 𝑛 ℎ 𝑛 ቚ 𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝛿 𝑛 1 𝛿 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑒𝑗𝜔 1 𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 2 2𝑗 sin𝜔 2 sin𝜃 𝑒𝑗𝜃 𝑒𝑗𝜃 2𝑗 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 2 2𝑗 sin𝜔 2 2 sin𝜔 2 𝑒𝑗𝜋 2𝑒𝑗𝜔 2 2 sin𝜔 2 𝑒𝑗 𝜔𝜋 2 𝐻 𝑒𝑗𝜔 2 sin𝜔 2 𝜎 𝜔 𝑑𝜃 𝜔 𝑑𝜔 1 2 Resposta de amplitude Resposta de fase 𝜃 𝜔 𝜔 𝜋 2 Atraso de grupo Identidade de Euler 6 Sistema de diferença de um passo atrás backward difference Representações através da DTFT Aplicações 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑛 ℎ 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 Resposta em frequência ℎ 𝑛 𝛿 𝑛 𝛿 𝑛 1 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝛿 𝑛 𝛿 𝑛 1 𝑒𝑗𝜔𝑛 1 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 2 2𝑗 sin 𝜔 2 sin𝜃 𝑒𝑗𝜃 𝑒𝑗𝜃 2𝑗 𝐻 𝑒𝑗𝜔 2 sin𝜔 2 𝜎 𝜔 𝑑𝜃 𝜔 𝑑𝜔 1 2 Resposta de amplitude Resposta de fase 𝜃 𝜔 𝜋 𝜔 2 Atraso de grupo Identidade de Euler 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 2 2𝑗 sin 𝜔 2 2 sin𝜔 2 𝑒𝑗𝜋 2𝑒𝑗𝜔 2 2 sin 𝜔 2 𝑒𝑗 𝜋𝜔 2 ℎ 𝑛 ቚ 𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 𝛿 𝑛 𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 1 Filtro FIR Finite Impulse Response Representações através da DTFT Aplicações Filtro Digital IIR Infinite Impulse Response 𝑦 𝑛 𝑙0 𝑀 𝑏𝑙𝑥 𝑛 𝑙 𝑘1 𝑁 𝑎𝑘𝑦 𝑛 𝑘 𝑏0𝑥 𝑛 𝑏𝑀𝑥 𝑛 𝑀 𝑎1𝑦 𝑛 1 𝑎𝑘𝑦 𝑛 𝑁 𝑦 𝑛 𝑙0 𝑀 𝑏𝑙𝑥 𝑛 𝑙 𝑏0𝑥 𝑛 𝑏1𝑥 𝑛 1 𝑏𝑀𝑥 𝑛 𝑀 7 Gráficos das Respostas em Amplitude e Fase de um Filtro FIR de 1a ordem Resposta em Módulo Resposta em Fase Representações através da DTFT Aplicações 1 1 1 2 2 2 j j x n x n n n e y n h n H e 7 Gráficos das Respostas em Amplitude e Fase de um Filtro FIR de 1a ordem Representações através da DTFT Aplicações 2 2 2 2 2 1 2 2 cos 2 cos 2 j j j j j j j j e H e e e e e H e e Resposta de Frequência Resposta em Amplitude Resposta de Fase Resposta em Amplitude Resposta de Fase 7 Resposta em Frequência e Resposta ao Impulso do Filtro Passabaixas Ideal p c c H e j 0 1 n n n sen h n c p A Resposta ao Impulso não é absolutamente somável Requer o truncamento em 2M1 termos o que provoca oscilações nos pontos de descontinuidade denominadas Fenômeno de Gibbs Intuitivamente sin 2 1 2 1 2 2 c c M c j j n M n M j M n H e e n M sen H e d sen p p Representações através da DTFT Aplicações 05sin 2 2 1 05cos 05sin 2 1 05cos 2 05sin 2 1 05cos 2 1 05 1 05cos 05sin 1 05cos 05sin 1 cos 05cos 05sin 1 cos 05cos 05sin j j j tg j tg j tg H e e j e e e 05sin 1 05cos 125 cos j tg e Representações através da DTFT Aplicações 5 Propriedades de Simetria da Transformada de Fourier Sequência Conjugada Simétrica n x n x e e Sequência Conjugada Antisimétrica n x n x o o A partir dessas definições qualquer sequência xn pode ser expressa como a soma de uma sequência conjugada simétrica e uma sequência conjugada antisimétrica ou seja 1 2 onde 1 2 e e e o o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n Uma sequência real conjugada simétrica é denominada par even se e e x n x n Uma sequência real conjugada simétrica é denominada ímpar odd se o o x n x n Por definição temse Consequentemente Propriedades de Simetria da Transformada de Fourier Analogamente a Transformada de Fourier pode ser decomposta em uma soma de uma função conjugada simétrica e uma função conjugada antisimétrica j j j o j j j e j o j e j e X X e e X e X X e e X e X X e e X 2 1 2 1 onde Transformada Conjugada Simétrica definição De forma similar j e j e e X e X Transformada Conjugada Antisimétrica definição j o j o e X e X Obs Ver caso particular das sequências reais 6 Teoremas da Transformada de Fourier 1 Linearidade 1 2 1 2 F j j a x n b x n a X e b X e 2 Deslocamento no Tempo e Deslocamento na Frequência j n j F d X e e n x n d 0 0 j F n j X e x n e 3 Reversão no Tempo j F X e n x 4 Diferenciação na Frequência d j d X e x n n j F Teoremas da Transformada de Fourier 5 Teorema de Parseval 2 2 1 2 j n E x n X e d p p p Espectro de Densidade de Energia Indica como a energia é distribuída no domínio da frequência 6 Teorema da Convolução j j F H e X e h n x n 7 Modulação ou Janelamento 1 2 F j j j y n x n w n Y e X e W e d p p p