Análise Matricial de Elementos de Barras - Aula 08

4421T04 HIPERESTÁTICA I Engenharia Civil AULA 08 INTRODUÇÃO À ANÁLISE MATRICIAL Profa Bruna Manica Lazzari brunalazzaripucrsbr INTRODUÇÃO A utilização de computadores para análise e projeto de estruturas é cada vez mais comum Analisar uma estrutura significa determinar os esforços internos reações externas e deformações que aparecerão com a aplicação das cargas externas Essa etapa precede o dimensionamento realizado a partir dos resultados da análise Análise matricial é uma adaptação do Método dos Deslocamentos para análise de estruturas que tem aplicação computacional HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS INTRODUÇÃO Qualquer escritório de cálculo estrutural possui uma série de programas que ajudam na análise da estrutura Tabelas no Excel Programas de verificação ou dimensionamento com interface mais amigável programado em Visual Basic por exemplo Programas acadêmicos como o Ftool Programas mais sofisticados em Elementos Finitos SAP2000 LUSAS ADAPT EFFEL ANSYS ABAQUS Palestra Simulação computacional de Estruturas em Concreto httpswwwyoutubecomwatchvYHb50LSHhpwt29s HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS INTRODUÇÃO O mais importante é não ser somente um operador do programa mas sim ser um engenheiro capaz de interpretar resultados e ter o senso crítico de avaliar se os resultados fornecidos pelo programa são coerentes ou não HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS É um método matemático utilizado para análise de estruturas com ajuda computacional A análise de estruturas de barra pelo método da rigidez compreende cinco modelos de estruturas reticuladas 1 Treliça plana 2 Treliça espacial 3 Pórtico plano inclui como caso particular a viga 4 Pórtico espacial 5 Grelhas DEFINIÇÃO Estruturas reticuladas são estruturas formadas por barras ou seja elementos cuja dimensão longitudinal é de ordem de grandeza superior às dimensões transversais HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS Estruturas reticuladas DEFINIÇÃO HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS DEFINIÇÃO GDLNÓ TRANSLAÇÃO ROTAÇÃO SOLICITAÇÕESBARRA TRELIÇA PLANA 2 X Y 1 Normal TRELIÇA ESPACIAL 3 X Y Z 1 Normal PÓRTICO PLANO 3 X Y Z 3 N Q e Mf PÓRTICO ESPACIAL 6 X Y Z X Y Z 6 N Qy Qz Mz My Mt GRELHAS 3 Y X Z 3 Q Mf Mt HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS EXEMPLO treliça plana no Ftool HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS Inicialmente estudase o comportamento individual de cada barra estabelecendo relações entre forças de extremidade de barra e deslocamentos nodais SISTEMA LOCAL Em seguida estudase o sistema global considerando a inter relação de cada barra com as demais SISTEMA GLOBAL COMPORTAMENTO TOTAL DA ESTRUTURA SOLUÇÃO DO PROBLEMA ETAPAS DE RESOLUÇÃO de forma geral HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ETAPAS DE RESOLUÇÃO de forma geral XG XG YG YG θ XG SISTEMA LOCAL x SISTEMA GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ETAPAS DE RESOLUÇÃO de forma geral XG YG θ θ SISTEMA LOCAL x SISTEMA GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS 1 Identificação estrutural preparação de dados para análise da estrutura 2 Cálculo da matriz de rigidez de cada barra utilizar a MR rotacionada rotacionar a MR de cada barra do SISTEMA LOCAL para o SISTEMA GLOBAL 3 Montagem da matriz de rigidez e do vetor de cargas de toda a estrutura montagem do sistema SISTEMA GLOBAL 4 Condições de contorno 5 Solução do sistema de equações 6 Cálculo das solicitações e das reações nos vínculos externos ETAPAS DE RESOLUÇÃO HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS TRELIÇA PLANA HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS Coordenadas nodais em função de um sistema de eixos globais arbitrariamente posicionado Conetividades nó inicial e final de cada barra Restrições nodais ou seja os deslocamentos impedidos pela vinculação externa 0 desloc restringido 1 desloc livre Propriedades físicas propriedades do material sendo para treliças o módulo de elasticidade Propriedades geométricas área comprimento de barra Cargas no caso de treliças teremos somente cargas nodais IDENTIFICAÇÃO ESTRUTURAL ETAPA 1 HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 L L E A N X Y X Y INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE BARRA Nó i Nó j Nó i Nó j Nó i Nó j Nó i Nó i Nó j Nó j NÓ INICIAL NÓ FINAL ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS Expressa as forças de extremo de barra FL em função dos deslocamentos nodais UL L L L K U F KL matriz de rigidez em coordenadas locais simétrica FL vetor de solicitações nas extremidades de barra em coordenadas locais UL vetor de deslocamentos nodais em coordenadas locais CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 Próxima etapa passar KLOCAL para o sistema GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG XG V V SISTEMA LOCAL SISTEMA GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG XG V V VXL VYL VX VY SISTEMA LOCAL SISTEMA GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG XG VXL VYL VX VY SISTEMA LOCAL SISTEMA GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG VXL VYL VX VY θ SISTEMA GLOBAL PARA O SISTEMA LOCAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG VXL VYL VX VY θ SISTEMA GLOBAL PARA O SISTEMA LOCAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG VXL VYL VY VX SISTEMA GLOBAL PARA O SISTEMA LOCAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG VXL VYL VY SISTEMA GLOBAL PARA O SISTEMA LOCAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 θ XG YG VXL VYL VY SISTEMA GLOBAL PARA O SISTEMA LOCAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 XG YG VXL VYL VXL VXcosθ VYsenθ VYL VXsenθ VYcosθ SISTEMA GLOBAL PARA O SISTEMA LOCAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO Organizando de forma matricial y x L L x V V c s s c V V y V sen V V V sen V V x y L y y x L x cos cos sen s c cos c s s c r Matriz de rotação Vale para a rotação de qualquer vetor CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 rV V L HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO rV V L SISTEMA GLOBAL SISTEMA LOCAL rT V L V SISTEMA LOCAL SISTEMA GLOBAL De forma inversa CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 V L r V 1 Matriz de rotação uma matriz ortogonal r1 rT HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO As expressões anteriores permitem a conversão das coordenadas de qualquer grandeza vetorial força deslocamento velocidade CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 rV V L SISTEMA GLOBAL SISTEMA LOCAL rT V L V SISTEMA LOCAL SISTEMA GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA BARRA NO SISTEMA GLOBAL Em termos de deslocamento CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 uxi uxj uyj uyi θ XG NÓ INICIAL i NÓ FINAL j NÓ INICIAL i NÓ FINAL j HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA BARRA NO SISTEMA GLOBAL Em termos de deslocamento j i L L i U U r r U U j 0 0 RU U L yj xj yi xi L yj L xj L yi L xi u u u u c s s c c s s c u u u u 0 0 0 0 0 0 0 0 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 NÓ i NÓ j NÓ i NÓ j HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS R matriz de rotação total da barra UL vetor de deslocamentos em coord locais U vetor de deslocamentos em coord globais j i L L i U U r r U U j 0 0 RU U L yj xj yi xi L yj L xj L yi L xi u u u u c s s c c s s c u u u u 0 0 0 0 0 0 0 0 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA BARRA NO SISTEMA GLOBAL Em termos de solicitações CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 fxi fxj fyj fyi θ XG NÓ INICIAL i NÓ INICIAL i NÓ FINAL j NÓ FINAL j HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA BARRA NO SISTEMA GLOBAL Em termos de solicitações j i L L i F F r r F F j 0 0 R F F L yj xj yi xi L yj L xj L yi L xi f f f f c s s c c s s c f f f f 0 0 0 0 0 0 0 0 R matriz de rotação total da barra FL vetor de solicitações em coord locais F vetor de solicitações em coord globais CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 NÓ i NÓ j NÓ i NÓ j j i L L i U U r r U U j 0 0 RU U L yj xj yi xi L yj L xj L yi L xi u u u u c s s c c s s c u u u u 0 0 0 0 0 0 0 0 HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA BARRA NO SISTEMA GLOBAL Transformando para o sistema global L L L K U F R F F L SISTEMA LOCAL RU U L RU K R F L RU K R R F R L 1 1 RU K R F L 1 rT r1 Sabese que K R R K K L T MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 Multiplicando por R1 em cada lado SISTEMA GLOBAL HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS K U F RU R K F L T c s s c c s s c EA L L EA EA L L EA c s s c c s s c K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 s cs s cs cs c cs c s cs s cs cs c cs c L EA K MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL rotacionada CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA ETAPA 2 NÓ i NÓ j NÓ i NÓ j SISTEMA GLOBAL K T R K L R Para cada barra da treliça teremos uma matriz de rigidez global rotacionada HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA ETAPA 3 É montado considerando todas as barras da estrutura SISTEMA GLOBAL 1 Quantos nós existem na estrutura 2 Quantos GDL por nó K U F Fx2 Fy2 Qual é o tamanho da matriz de rigidez da estrutura O tamanho da matriz de rigidez da estrutura será igual a Quantidade de nós x número de GDLnó HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA ETAPA 3 A treliça em questão tem 4 nós Como cada nó possui dois graus de liberdade resulta um sistema com 8 equações e 8 incógnitas Escrevendo pelas partições teremos 4 3 2 1 4 3 2 1 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 P P P P u u u u k k k k k k k k k k k k k k k k XY XY XY XY XY XY XY XY K U F F1 F2 F3 F4 Fx2 Fy2 NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 4 NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 4 K K K K K K K K K K K K K K K K U1 U2 U3 U4 HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS CONDIÇÕES DE CONTORNO ETAPA 4 A anulação dos movimentos impedidos é viabilizada fazendose alterações na matriz de rigidez e no vetor de cargas Matriz de Rigidez anulamse todos os coeficientes da linha e da coluna correspondentes ao deslocamento impedido com exceção daquele da diagonal que toma valor unitário Vetor de Cargas anulase o termo da linha correspondente ao deslocamento impedido Fx2 Fy2 HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS CONDIÇÕES DE CONTORNO ETAPA 4 0 P P P P P 0 0 u u u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k 0 0 0 k k k k k 0 0 0 k k k k k 0 0 0 k k k k k 0 0 0 k k k k k 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 x 3 y 3 x 2 y 2 x 4 y 4 x 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 x 77 76 75 74 73 67 66 65 64 63 57 56 55 54 53 47 46 45 44 43 37 36 35 34 33 X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y Fx2 Fy2 Fx2 Fy2 Fx3 Fy3 Fx4 ux1 uy1 uy4 0 NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 4 NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 4 HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES ETAPA 5 Obtémse os deslocamentos nodais U HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES ETAPA 6 REAÇÕES EXTERNAS SISTEMA GLOBAL PARA CADA BARRA K U F R F F L SOLICITAÇÕES INTERNAS N SISTEMA LOCAL PARA CADA BARRA HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS EXEMPLO HIPERESTÁTICA I Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS ANÁLISE MATRICIAL DE ELEM DE BARRAS EXEMPLO 1 A 5 cm² E 21000 kNcm² EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL a Coordenadas nodais ETAPA 1 IDENTIFICAÇÃO ESTRUTURAL EXEMPLO 1 NÓ X cm Y cm 1 2 3 NÓ X cm Y cm 1 0 0 2 3 NÓ X cm Y cm 1 0 0 2 400 300 3 NÓ X cm Y cm 1 0 0 2 400 300 3 800 0 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 1 IDENTIFICAÇÃO ESTRUTURAL b Conectividades EXEMPLO 1 BARRA NÓ INICIAL NÓ FINAL 1 2 BARRA NÓ INICIAL NÓ FINAL 1 1 2 2 BARRA NÓ INICIAL NÓ FINAL 1 1 2 2 3 2 BARRA 1 BARRA 2 1 2 2 3 Nó inicial Nó inicial Nó final Nó final XL1 XL2 YL2 YL1 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL c Propriedades físicas e geométricas d Restrições nodais e Carregamento kN ETAPA 1 IDENTIFICAÇÃO ESTRUTURAL EXEMPLO 1 BARRA A cm² E kNcm² 1 5 21000 2 5 21000 NÓ DIREÇÃO X DIREÇÃO Y 1 3 NÓ DIREÇÃO X DIREÇÃO Y 1 0 0 3 0 0 NÓ DIREÇÃO X DIREÇÃO Y 2 NÓ DIREÇÃO X DIREÇÃO Y 2 10 20 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 2 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA EXEMPLO 1 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL a Barra 1 nó 1 e nó 2 ETAPA 2 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA EXEMPLO 1 BARRA 1 1 2 Nó inicial Nó final XL1 YL1 1 2 XL1 θa XG 1 2 XL1 XG θb θa 3687 θb 360 3687 θb 32313 3687o 4 tan 1 3 θ EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL a Barra 1 nó 1 e nó 2 ETAPA 2 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 210 1 GLOBAL BARRA K NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 210 500 21000 5 L E A 3687o 4 tan 1 3 0 48 36 0 64 0 2 2 cs s c 22 21 12 11 1 K K K K K GLOBAL BARRA EXEMPLO 1 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL b Barra 2 nó 3 e nó 2 ETAPA 2 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA EXEMPLO 1 BARRA 2 θa XG θa 14313 θb 360 14313 θb 21690 2 3 Nó inicial Nó final XL2 YL2 3 Nó final XL2 2 θb XG 3 Nó final XL2 2 3687o 4 tan 1 3 θ θ EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL b Barra 2 nó 3 e nó 2 ETAPA 2 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA BARRA 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 210 2 GLOBAL BARRA K NÓ 2 NÓ 3 NÓ 2 NÓ 3 210 500 21000 5 L E A o o o 14313 3687 180 0 48 36 0 64 0 2 2 cs s c EXEMPLO 1 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 3 MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA EXEMPLO 1 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 210 1 GLOBAL BARRA K NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 22 21 12 11 1 K K K K K GLOBAL BARRA 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 0 36 0 48 0 36 48 0 0 48 0 64 0 48 64 0 210 2 GLOBAL BARRA K NÓ 2 NÓ 3 NÓ 2 NÓ 3 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 3 MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA EXEMPLO 1 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 1 GLOBAL BARRA K NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 22 21 12 11 1 K K K K K GLOBAL BARRA 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 2 GLOBAL BARRA K NÓ 2 NÓ 3 NÓ 2 NÓ 3 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 3 MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA A treliça tem 3 nós Cada nó possui dois graus de liberdade resultando em um sistema com 6 equações e 6 incógnitas NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 P P P u u u k k k k k k k k k NÓ 3 NÓ 3 EXEMPLO 1 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 3 MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA Onde a partição aparecer em mais de uma barra as contribuições serão somadas 0 0 20 10 0 0 3 3 2 2 1 1 y x y x y x u u u u u u NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 EXEMPLO 1 3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 P P P u u u K K K K K K K K K EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL 0 0 20 10 0 0 75 6 100 8 75 6 100 8 0 0 100 8 134 4 100 8 134 4 0 0 75 6 100 8 75 6 75 6 100 8 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 100 8 134 4 134 4 100 8 4 134 0 0 75 6 100 8 75 6 8 100 0 0 100 8 134 4 100 8 4 134 3 3 2 2 1 1 y x y x y x u u u u u u NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 ETAPA 3 MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 0 0 20 10 0 0 75 6 100 8 75 6 100 8 0 0 100 8 134 4 100 8 134 4 0 0 75 6 100 8 1512 0 75 6 8 100 100 8 134 4 0 268 8 100 8 4 134 0 0 75 6 100 8 75 6 8 100 0 0 100 8 134 4 100 8 4 134 3 3 2 2 1 1 y x y x y x u u u u u u Somando os termos EXEMPLO 1 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 4 CONDIÇÕES DE CONTORNO 0 0 20 10 0 0 u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1512 0 0 0 0 0 0 268 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 x Nó 1 ux1 0 uy1 0 Nó 3 ux3 0 uy3 0 EXEMPLO 1 X Y X Y X Y X Y X Y X Y EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 5 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES EXEMPLO 1 X Y 0 0 20 10 0 0 u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1512 0 0 0 0 0 0 268 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 x 0 0 20 10 0 0 u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1512 0 0 0 0 0 0 268 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 x 0 0 20 10 0 0 u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1512 0 0 0 0 0 0 268 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 x 0 0 3210 1 7210 3 0 0 U 1 2 Nó 1 ux1 0 uy1 0 Nó 2 ux2 372102 cm uy2 132101 cm Nó 3 ux3 0 uy3 0 0 0 20 10 0 0 u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1512 0 0 0 0 0 0 268 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 x 0 0 20 10 0 0 u u u u u u 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1512 0 0 0 0 0 0 268 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 x X Y DESLOCAMENTOS NODAIS REFERENTES AO SISTEMA GLOBAL EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 5 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES EXEMPLO 1 ux1 0 uy1 0 ux2 372102 cm uy2 132101 cm ux3 0 uy3 0 1 2 uX1 uX2 uy2 uy1 uX3 uX2 uy2 uy3 3 2 1 3 2 372102 cm 132101 cm EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 5 SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES EXEMPLO 1 ux1 0 uy1 0 ux2 372102 cm uy2 132101 cm ux3 0 uy3 0 1 2 uX1 uX2 uy2 uy1 uX3 uX2 uy2 uy3 3 2 1 3 2 DEFORMADA DA TRELIÇA EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL COMPARANDO COM O FTOOL EXEMPLO 1 0 0 3210 1 7210 3 0 0 U 1 2 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 1 1 1 K U F a Barra 1 nó 1 e nó 2 REAÇÕES EXTERNAS EXEMPLO 1 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 1 GLOBAL BARRA K 0 0 3210 1 7210 3 0 0 U 1 2 NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 K U F EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 1 2 1 3210 1 7210 3 0 0 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 GLOBAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 1 1 1 F K U a Barra 1 nó 1 e nó 2 REAÇÕES EXTERNAS EXEMPLO 1 25 6 33 8 25 6 33 8 1 GLOBAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 X Y X Y 1 2 FX1 FX2 Fy2 Fy1 FX1 Fy1 FX2 Fy2 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 1 2 1 3210 1 7210 3 0 0 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 GLOBAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 1 1 1 F K U a Barra 1 nó 1 e nó 2 REAÇÕES EXTERNAS EXEMPLO 1 25 6 33 8 25 6 33 8 1 GLOBAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 X Y X Y 1 2 FX1 FX2 Fy2 Fy1 1 2 833 kN 625 kN 833 kN 625 kN EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 25 6 33 8 25 6 33 8 1 GLOBAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 a Barra 1 nó 1 e nó 2 SOLICITAÇÕES 6 25 8 33 6 25 33 8 80 60 0 0 60 80 0 0 0 0 80 60 0 0 60 80 1 LOCAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 c s s c c s s c R 0 0 0 0 0 0 0 0 60 3687 80 3687 cos o o sen EXEMPLO 1 3687o 0 42 10 0 42 10 R F F L X Y X Y FX1 Fy1 FX2 Fy2 FX1 L FY1 L FX2 L FY2 L NÓ 1 NÓ 2 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES a Barra 1 nó 1 e nó 2 SOLICITAÇÕES EXEMPLO 1 R F F L 1 2 FX1 FX2 Fy2 Fy1 1 2 FX1 L FY1 L FX2 L FY2 L REAÇÕES SISTEMA GLOBAL SOLICITAÇÕES SISTEMA LOCAL EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES NÓ 1 NÓ 2 NÓ 1 NÓ 2 EXEMPLO 1 a Barra 1 nó 1 e nó 2 SOLICITAÇÕES R F F L 6 25 8 33 6 25 33 8 80 60 0 0 60 80 0 0 0 0 80 60 0 0 60 80 1 LOCAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 X Y X Y 1 2 1 2 6 25 8 33 6 25 33 8 80 60 0 0 60 80 0 0 0 0 80 60 0 0 60 80 1 LOCAL BARRA F 0 42 10 0 42 10 FX1 L FY1 L FX2 L FY2 L 1042 kN 1042 kN BARRA 1 ESTÁ COMPRIMIDA EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 6 25 8 33 6 25 33 8 1 GLOBAL BARRA F NÓ 1 NÓ 2 a Barra 1 nó 1 e nó 2 0 42 10 0 42 10 1 LOCAL BARRA F EXEMPLO 1 REAÇÕES SOLICITAÇÕES X Y X Y NÓ 1 NÓ 2 X Y X Y 1 2 1042 kN 1042 kN 833 kN 625 kN 833 kN 625 kN EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES b Barra 2 nó 3 e nó 2 REAÇÕES EXTERNAS EXEMPLO 1 2 2 2 F K U K U F 0 0 3210 1 7210 3 0 0 U 1 2 NÓ 1 NÓ 2 NÓ 3 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 2 GLOBAL BARRA K NÓ 2 NÓ 3 NÓ 2 NÓ 3 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 1 2 2 3210 1 7210 3 0 0 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 GLOBAL BARRA F NÓ 3 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 2 b Barra 2 nó 3 e nó 2 REAÇÕES EXTERNAS EXEMPLO 1 2 2 2 K U F 75 13 33 18 75 13 33 18 2 GLOBAL BARRA F NÓ 3 NÓ 2 X Y X Y 2 2 2 K U F FX3 FX2 Fy2 Fy3 FX3 Fy3 FX2 Fy2 3 2 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 1 2 2 3210 1 7210 3 0 0 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 75 6 100 8 75 6 8 100 100 8 134 4 100 8 4 134 GLOBAL BARRA F NÓ 3 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 2 b Barra 2 nó 3 e nó 2 REAÇÕES EXTERNAS EXEMPLO 1 2 2 2 K U F 75 13 33 18 75 13 33 18 2 GLOBAL BARRA F X Y X Y 2 2 2 K U F 1833 kN 1833 kN 1375 kN 3 2 FX3 FX2 Fy2 Fy3 3 2 NÓ 3 NÓ 2 1375 kN EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES b Barra 2 nó 2 e nó 3 SOLICITAÇÕES c s s c c s s c R 0 0 0 0 0 0 0 0 75 13 33 18 75 13 33 18 80 60 0 0 60 80 0 0 0 0 80 60 0 0 60 80 2 LOCAL BARRA F NÓ 3 NÓ 2 60 14313 80 14313 cos o o sen EXEMPLO 1 R F F L 75 13 33 18 75 13 33 18 2 GLOBAL BARRA F NÓ 3 NÓ 2 14313o 0 2292 0 2292 X Y X Y FX3 Fy3 FX2 Fy2 FX3 L FY3 L FX2 L FY2 L NÓ 3 NÓ 2 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL 75 13 33 18 75 13 33 18 80 60 0 0 60 80 0 0 0 0 80 60 0 0 60 80 2 LOCAL BARRA F ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES NÓ 3 NÓ 2 NÓ 3 NÓ 2 EXEMPLO 1 R F F L NÓ 3 NÓ 2 X Y X Y b Barra 2 nó 2 e nó 3 SOLICITAÇÕES 0 2292 0 92 22 3 2 3 2 2292 kN FX2 L FY2 L FX3 L FY3 L 2292 kN BARRA 2 ESTÁ COMPRIMIDA EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES b Barra 2 nó 2 e nó 3 0 2292 0 92 22 2 LOCAL BARRA F NÓ 3 NÓ 2 75 13 33 18 75 13 33 18 2 GLOBAL BARRA F NÓ 3 NÓ 2 EXEMPLO 1 X Y X Y X Y X Y REAÇÕES SOLICITAÇÕES 2 3 1833 kN 1375 kN 2292 kN 1833 kN 1375 kN 2292 kN EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES EXEMPLO 1 2 3 1833 kN 1375 kN 1833 kN 1375 kN 1 2 833 kN 625 kN 833 kN 625 kN EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL ETAPA 6 CÁLCULO DAS REAÇÕES E SOLICITAÇÕES EXEMPLO 1 3 1833 kN 1375 kN 10 kN 20 kN 1 2 833 kN 625 kN EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL COMPARANDO COM O FTOOL EXEMPLO 1 EXEMPLO ANÁLISE MATRICIAL 4421T04 HIPERESTÁTICA I Engenharia Civil Profa Bruna Manica Lazzari brunalazzaripucrsbr Obrigada pela atenção AULA 08 INTRODUÇÃO À ANÁLISE MATRICIAL