Hiperestática - Análise Matricial de Treliça Plana e Comparativo com FTOOL

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 1 TRABALHO 1 DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA OPÇÃO 2 EDUARDA LOPEZ BORBA ISADORA GARCIA SÁ Relatório descritivo apresentado como requisito parcial para obtenção de aprovação na disciplina de Sistemas de Tratamento de Hiperestática no Curso de Engenharia Civil na Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Porto Alegre 2022 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 2 RESUMO Este trabalho é apresentado como elemento parcial para aprovação em G1 para disciplina de hiperestática disciplina ministrada pela Profª Engº Bruna Manica Lazzari O trabalho contempla memorial descritivo de cálculo detalhado para uma das quatro treliças planas abaixo a treliça escolhida foi a letra D Contemplando a identificação estrutural coordenadas nodais conectividades propriedades físicas e geométricas restrições nodais e carregamento matriz de rigidez de cada barra montagem da equação de equilíbrio da estrutura condições de contorno do problema aplicadas solução do sistema de equações cálculo dos deslocamentos nodais cálculo das reações externas solicitações internas de cada barra e apresentado o comparativo dos resultados obtidos pelo método da análise matricial com o software FTOOL Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 3 SUMÁRIO 1 Indtrodução 04 2 Identificação Estrutural 05 3 Cálculo da rigidez da barra 07 4 Montagem da equação de equilíbrio da estutura 16 5 Aplicar as codições de contorno do problema 16 6 Solução do sistema de equações 17 7 Cálculo das reações externas e solicitações internas de cada barra18 8 Resultados obtidos com o ftool22 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 4 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 5 RESOLUÇÃO 1 Identificação estrutural coordenadas nodais conectividades propriedades físicas e geométricas restrições nodais e carregamento A 10 cm² E 21000 kNcm² Coordenadas nodais Nó x cm y cm 1 0 0 2 100 130 3 250 200 4 400 130 5 500 0 6 250 0 Conectividades Barra Nó inicial Nó final 1 1 2 2 2 3 3 1 6 4 2 6 5 3 6 1 2 8 9 7 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 6 6 6 4 7 6 5 8 3 4 9 4 5 Propriedades físicas e geométricas Barra A cm² E kNcm² 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 10 21000 Restrições nodais Nó Direção x Direção y 1 1 0 5 0 0 Carregamento kN Nó Direção x Direção y 2 75 0 3 0 10 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 7 2 Cálculo da matriz de rigidez de cada barra Barra 1 nó 1 e nó 2 𝑡𝑔𝜃 𝑂 𝐴 𝜃 𝑡𝑔1 𝑂 𝐴 𝑡𝑔1 130 1 5243 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑂 𝐻 𝐻 𝑂 𝑠𝑒𝑛𝜃 130 𝑠𝑒𝑛5243 16402𝑚 16402𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 16402 128033 𝑐2 037 𝑠2 063 𝑐𝑠 048 128033 037 048 037 048 47372 61456 47372 61456 048 063 048 063 61456 80661 61456 80661 037 048 037 048 47372 61456 47372 61456 048 063 048 063 61456 80661 61456 80661 YL1 XL1 XG1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 8 Barra 2 nó 2 e nó 3 𝑡𝑔𝜃 𝑂 𝐴 𝜃 𝑡𝑔1 𝑂 𝐴 𝑡𝑔1 07 15 2502 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑂 𝐻 𝐻 𝑂 𝑠𝑒𝑛𝜃 07 𝑠𝑒𝑛2502 16551𝑚 16551𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 16551 126881 𝑐2 082 𝑠2 018 𝑐𝑠 038 126881 082 038 082 038 104042 48215 104042 48215 038 018 038 018 48215 22839 48215 22839 082 038 082 038 104042 48215 104042 48215 038 018 038 018 48215 22839 48215 22839 XG2 YL2 XL2 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 9 Barra 3 nó 1 e nó 6 𝜃 0 𝐿 25𝑚 250𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 250 840 𝑐2 1 𝑠2 0 𝑐𝑠 0 840 1 0 1 0 840 0 840 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 840 0 840 0 0 0 0 0 0 0 0 0 XG3 YL3 XL3 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 10 Barra 4 nó 2 e nó 6 𝑡𝑔𝜃 𝑂 𝐴 𝜃 𝑡𝑔1 𝑂 𝐴 𝑡𝑔1 13 15 4091 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑂 𝐻 𝐻 𝑂 𝑠𝑒𝑛𝜃 13 𝑠𝑒𝑛4091 19851𝑚 19851𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 19851 105788 𝑐2 057 𝑠2 043 𝑐𝑠 049 105788 057 049 057 049 60299 51836 60299 51836 049 043 049 043 51836 45489 51836 45489 057 049 057 049 60299 51836 60299 51836 049 043 049 043 51836 45489 51836 45489 XG4 YL4 XL4 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 11 Barra 5 nó 3 e nó 6 𝜃 90 𝐿 2𝑚 200𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 200 1050 𝑐2 0 𝑠2 1 𝑐𝑠 0 1050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1050 0 1050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1050 0 1050 XG5 YL5 XL5 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 12 Barra 6 nó 6 e nó 4 𝑡𝑔𝜃 𝑂 𝐴 𝜃 𝑡𝑔1 𝑂 𝐴 𝑡𝑔1 13 15 4091 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑂 𝐻 𝐻 𝑂 𝑠𝑒𝑛𝜃 13 𝑠𝑒𝑛4091 19851𝑚 19851𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 19851 105788 𝑐2 057 𝑠2 043 𝑐𝑠 049 105788 057 049 057 049 60299 51836 60299 51836 049 043 049 043 51836 45489 51836 45489 057 049 057 049 60299 51836 60299 51836 049 043 049 043 51836 45489 51836 45489 XG6 YL6 XL6 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 13 Barra 7 nó 6 e nó 5 𝜃 0 𝐿 25𝑚 250𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 250 840 𝑐2 1 𝑠2 0 𝑐𝑠 0 840 1 0 1 0 840 0 840 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 840 0 840 0 0 0 0 0 0 0 0 0 XG7 YL7 XL7 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 14 Barra 8 nó 3 e nó 4 𝑡𝑔𝜃 𝑂 𝐴 𝜃 𝑡𝑔1 𝑂 𝐴 𝑡𝑔1 07 15 2502 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑂 𝐻 𝐻 𝑂 𝑠𝑒𝑛𝜃 07 𝑠𝑒𝑛2502 16551𝑚 16551𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 16551 126881 𝑐2 082 𝑠2 018 𝑐𝑠 038 126881 082 038 082 038 104042 48215 104042 48215 038 018 038 018 48215 22839 48215 22839 082 038 082 038 104042 48215 104042 48215 038 018 038 018 48215 22839 48215 22839 XG8 YL8 XL8 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 15 Barra 9 nó 4 e nó 5 𝑡𝑔𝜃 𝑂 𝐴 𝜃 𝑡𝑔1 𝑂 𝐴 𝑡𝑔1 130 1 5243 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑂 𝐻 𝐻 𝑂 𝑠𝑒𝑛𝜃 130 𝑠𝑒𝑛12757 16402𝑚 16402𝑐𝑚 𝐸 𝐴 𝐿 21000 10 16402 128033 𝑐2 037 𝑠2 063 𝑐𝑠 048 128033 037 048 037 048 47372 61456 47372 61456 048 063 048 063 61456 80661 61456 80661 037 048 037 048 47372 61456 47372 61456 048 063 048 063 61456 80661 61456 80661 XG9 YL9 XL9 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 16 3 Montagem da equação de equilíbrio da estrutura 4 Aplicar as condições de contorno do problema Como os nós 1 e 5 possuem restrições devido aos vínculos uy1 0 ux5 0 uy5 0 Sendo assim Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 17 Logo todas as combinações dos nós 1 e 5 São removidas Portanto a matriz resultante é de ordem 5 5 Solução do sistema de equações cálculo dos deslocamentos nodais U Para solucionar esse sistema 5x5 devese multiplicar a matriz inversa das equações de equilíbrio pelas cargas externas e como resultado teremos os deslocamentos em x e em y de cada nó Como resultado obtêmse cm Direção ux1 0000 ux2 0009 Direita uy2 0011 Baixo ux3 0004 Direita uy3 0018 Baixo ux4 0001 Direita uy4 0008 Baixo ux6 0003 Direita uy6 0016 Baixo Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 18 6 Cálculo das reações externas e solicitações internas de cada barra Cálculo das reações nodais Barra 1 nó 1 e nó 2 47372 61456 47372 61456 00001 228 61456 80661 61456 80661 00000 305 47372 61456 47372 61456 00093 228 61456 80661 61456 80661 00109 305 Barra 2 nó 2 e nó 3 104042 48215 104042 48215 00093 859 48215 22839 48215 22839 00109 402 104042 48215 104042 48215 00044 859 48215 22839 48215 22839 00182 402 Barra 3 nó 1 e nó 6 840 0 840 0 00001 228 0 0 0 0 00000 000 840 0 840 0 00026 228 0 0 0 0 00163 000 Barra 4nó 2 e nó 6 60299 51836 60299 51836 00093 118 51836 45489 51836 45489 00109 096 60299 51836 60299 51836 00026 118 51836 45489 51836 45489 00163 096 Barra 5 nó 3 e nó 6 0 0 0 0 00044 000 0 1050 0 1050 00182 195 0 0 0 0 00026 000 0 1050 0 1050 00163 195 Barra 6 nó 6 e nó 4 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 19 60299 51836 60299 51836 00009 330 51836 45489 51836 45489 00079 291 60299 51836 60299 51836 00026 330 51836 45489 51836 45489 00163 291 Barra 7 nó 6 e nó 5 840 0 840 0 00000 220 0 0 0 0 00000 000 840 0 840 0 00026 220 0 0 0 0 00163 000 Barra 8 nó 3 e nó 4 104042 48215 104042 48215 00009 859 48215 22839 48215 22839 00079 403 104042 48215 104042 48215 00044 859 48215 22839 48215 22839 00182 403 Barra 9 nó 4 e nó 5 47372 61456 47372 61456 00000 530 61456 80661 61456 80661 00000 695 47372 61456 47372 61456 00009 530 61456 80661 61456 80661 00079 695 Resumo reações nodais kN Fx1 000 Fy1 305 Fx2 750 Fy2 000 Fx3 000 Fy3 1000 Fx4 000 Fy4 000 Fx5 750 Fy5 695 Fx6 000 Fy6 000 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 20 Reações externas Fy1 305kN positivo para cima Fx5 750kN negativo para esquerda Fy5 695kN positivo para cima Cálculo das solicitações internas Barra 1 nó 1 e nó 2 061 079 000 000 228 380 079 061 000 000 305 007 000 000 061 079 228 380 000 000 079 061 305 007 Barra 2 nó 2 e nó 3 091 042 000 000 859 951 042 091 000 000 402 005 000 000 091 042 859 951 000 000 042 091 402 005 Barra 3 nó 1 e nó 6 100 000 000 000 228 228 000 100 000 000 000 000 000 000 100 000 228 228 000 000 000 100 000 000 Barra 4nó 2 e nó 6 076 065 000 000 118 152 065 076 000 000 096 003 000 000 076 065 118 152 000 000 065 076 096 003 Barra 5 nó 3 e nó 6 000 100 000 000 000 195 100 000 000 000 195 000 000 000 000 100 000 195 000 000 100 000 195 000 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 21 Barra 6 nó 6 e nó 4 076 065 000 000 330 440 065 076 000 000 291 007 000 000 076 065 330 440 000 000 065 076 291 007 Barra 7 nó 6 e nó 5 100 000 000 000 220 220 000 100 000 000 000 000 000 000 100 000 220 220 000 000 000 100 000 000 Barra 8 nó 3 e nó 4 091 042 000 000 859 951 042 091 000 000 403 006 000 000 091 042 859 951 000 000 042 091 403 006 Barra 9 nó 4 e nó 5 061 079 000 000 530 872 079 061 000 000 695 005 000 000 061 079 530 872 000 000 079 061 695 005 Resumo solicitações internas Barra N kN Esforço 1 380 Compressão 2 951 Compressão 3 228 Tração 4 152 Compressão 5 195 Compressão 6 440 Compressão 7 220 Tração 8 951 Tração 9 872 Tração Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 22 71 Resultados obtidos com o ftool 72 Estrutura Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 23 712 Reações externas e solicitações internas 73 Resultados obtidos com o método da análise matricial Resumo deslocamentos nodais cm Direção ux1 0000 uy1 0000 ux2 0009 Direita uy2 0011 Baixo ux3 0004 Direita uy3 0018 Baixo ux4 0001 Direita uy4 0008 Baixo ux5 0000 uy5 0000 ux6 0003 Direita uy6 0016 Baixo 1 2 8 9 7 3 4 5 6 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIACIVIL DISCIPLINA DE HIPERESTÁTICA 24 Resumo reações externas Fy1 305kN positivo para cima Fx5 750kN negativo para esquerda Fy5 695kN positivo para cima Resumo solicitações internas Barra N kN Esforço 1 380 Compressão 2 951 Compressão 3 228 Tração 4 152 Compressão 5 195 Compressão 6 440 Compressão 7 220 Tração 8 951 Tração 9 872 Tração Observação Pequena diferença gerada em função do arredondamento adotado de 2 casas decimais após a vírgula