Exercicios Resolvidos Teste de Hipoteses e Inferencias Estatisticas

Exercıcio 1 Os sistemas de escape da tripulacao de uma aeronave funcionam devido a um propelente solido A taxa de queima desse propelente e uma caracterıstica importante do produto As especificacoes requerem que a taxa media de queima tem de ser 50 centımetros por segundo Sabemos que o desvio padrao da taxa de queima e σ 2 centımetros por segundo O experimentalista decide especificar um nıvel de significˆancia de 5 Ele seleciona uma amostra aleatoria de n 25 e obtem uma taxa media amostral de queima de x513 Que conclusoes poderiam ser tiradas Calcule o valor p Exercıcio 2 Um novo equipamento de radar esta sendo considerado para um sistema de defesa antimíssil O sistema e experimentado em uma aeronave real na qual uma morte ou nao morte e simulada Se de 300 tentativas ocorrem 250 mortes aceite ou rejeite no nvel de significˆancia 004 a afirmacao de que a probabilidade de uma morte com o sistema nao excede a probabilidade de 08 do equipamento ja existente Exercıcio 3 Um estudo envolve a avaliacao de um novo sistema operacional de computador desenvolvido para criancas com idades entre 8 e 12 anos Afirmase que o novo sistema e mais rapido do que o atual lıder de mercado Para testar essa afirmacao foram selecionados em uma mesma escola dois grupos independentes com 15 criancas cada As criancas sem conhecimento previo relacionado ao uso de computadores utilizaram maquinas de mesma configuracao para realizar uma certa tarefa que teve seu tempo anotado O primeiro grupo denominado Grupo A trabalhou com o sistema operacional convencional ao passo que o segundo grupo Grupo B desenvolveu atividades no novo sistema Ao final do experimento todas as 30 criancas haviam realizado a tarefa Os dados obtidos foram os seguintes Grupo A 182 185 193 175 184 192 175 173 186 178 162 179 164 182 186 Grupo B 92 76 76 90 97 90 86 93 100 115 85 80 90 86 94 Alem disso assuma que as informacoes adicionais fornecidas pelas empresas indicam que a variabilidade dos tempos de aprendizado e a mesma para ambos os sistemas operacionais e igual a σ 10 min Verifique com um nıvel de 5 se o tempo medio e igual para ambos os sistemas X Y Exercıcio 4 Digitadores sao treinados em uma empresa em duas turmas distintas Na primeira denominada Turma J utilizase um metodo japonˆes de ensino ao passo que na segunda turma denomimada Turma A utilizase um metodo alemao Deseja se comparar os dois metodos e para tanto 16 alunos de cada turma foram escolhidos aleatoriamente e uma mesma tarefa foi atribuıda a cada um Ao final do experimento o tempo gasto na realizacao da tarefa para cada aluno foi anotado No processo dois computadores utilizados pelos alunos selecionados da turma J e 3 da turma A apresentaram problemas que impediram a realizacao da tarefa Os dados obtidos foram Turma J 10 13 9 10 14 13 10 15 12 10 9 10 13 14 Turma A 15 12 18 16 15 17 17 15 16 17 11 17 14 Apesar de nao conhecidas as variˆancias populacionais para as duas turmas sao consideradas iguais com base em dados anteriores Verifique se os dois metodos sao equivalentes para α 0 01 Exercıcio 5 Dois catalisadores estao sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento medio de um processo quımico Especificamente o catalisador 1 esta corretamente em uso mas o catalisador 2 e aceitavel Uma vez que o catalisador 2 e mais barato ele deve ser adotado desde que nao mude o rendimento do processo Um teste e feito em uma planta piloto resultando em x1 92 255 e s1 2 39 e x2 92 733 e s2 2 98 as medias e os desvios amostrais considerando amostras de tamanho 8 dos catalisadores 1 e 2 respectivamente Ha alguma diferenca entre os rendimentos medios Use α 0 05 e considere variˆancias iguais Exercıcio 6 A concentracao de arsˆenio em suprimentos publicos de agua potavel e um risco potencial de saude Um artigo reportou as concentracoes em partes por bilhao de arsˆenio em agua potavel para 10 comunidades metropolitanas de Fˆenix e 10 comunidades rurais do Arizona A media e o desvio padrao para a regiao de Fˆenix foram x1 12 5 e s1 7 63 e para a regiao do Arizona x2 27 5 e s2 15 3 Desejamos determinar se ha alguma diferenca nas concentracoes medias de arsˆenio entre as comunidades Adote α 0 05 Exercıcio 7 Um artigo reportou os resultados de uma analise do peso de calcio em cimentopadrao e em cimento contendo chumbo Nıveis reduzidos de calcio indicariam que o mecanismo de hidratacao no cimento estaria bloqueado permitindo a agua atacar varias localizacoes na estrutura do cimento Dez amostras de cimentopadrao tiveram um teor medio percentual em peso de calcio de x1 90 0 com um desvio padrao de s1 5 0 enquanto 15 amostras do cimento com chumbo tiveram um teor medio percentual em peso de calculo de x2 87 0 com um desvio amostral de s2 4 0 Considerando que o teor percentual em peso de calcio seja normalmente distribuıdo e que ambas as populacoes tenham o mesmo desvio padrao encontre um intervalo de confianca de 95 para a diferenca de medias Exercıcio 8 Um fabricante de panetones costuma vender produtos de segunda qualidade a precos reduzi dos Para panetones de 500 gramas suspeitase que o produto de segunda qualidade apresente maior variabilidade no que se refere ao peso Para tanto 26 panetones de primeira qualidade e 20 de segunda tiveram seus pesos aferidos Denotaremos esses pesos por X1 X26 e Y1 Y20 respectivamente Foram calculados os valores das variˆancias amostrais sendo dados por S2 0 29 e S2 0 73 Verifique se os panetones de segunda qualidade apresentam peso com maior variabilidade do que os panetones de primeira qualidade Adote α 0 05 Exercıcio 9 Uma distribuidora de combustıveis deseja verificar se um novo tipo de gasolina e eficaz na revitalizacao de motores velhos Com esse objetivo seleciona 12 automoveis de um mesmo modelo com mais de 8 anos de uso e apos regulagem de seus motores verifica o consumo de combustıvel Em seguida o carro e abastecido com o novo tipo de combustıvel durante 15 semanas e uma nova afericao do consumo e feita Defina as variaveis aleatorias Xi e Yi como o rendimento do automovel i respectivamente antes e apos as 15 semanas Os valores observados em kml para os 12 automoveis sao apresentados na tabela a seguir Considerando um nıvel de significˆancia de 5 verifique se o novo combustıvel aumenta de fato o rendimento Automovel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Apos Y 116 88 99 95 116 91 106 108 134 106 105 114 AntesX 81 79 68 78 76 79 57 84 80 95 80 68 Exercıcio 10 Um pesquisador desenvolveu um método de cultivo de flores com o objetivo de aumentar a produtividade Para testar o método ele sorteou 10 pequenas áreas de uma fazenda e em cada uam delas plantou uma muda de gérbera com cultivo tradicionale uma muda com cultivo desenvolvido pelo pesquisador Ele observou então o número de hastes geradas por cada uma das mudas obtendo os dados abaixo Ao nível de significância 5 o que podemos dizer a respeito do método desenvolvido pelo pesquisador Caso em média haja diferença entre os dois métodos obtenha o intervalo de confiança de 95para quantificar essa diferença Pesquisador 35 35 39 35 37 34 31 30 26 31 Tradicional 28 25 31 27 24 22 18 22 18 19 Lista de Probabilidade Teste de Hipótese para média populacional Hipóteses H0 μ50centimetro por segundo H 1 μ50centimetros por segundos Estatística calculada Zcalc xμ σ n 51350 2 25 325 Região Crítica Pvalor pvalorP Z 3 25 00006006 Conclusão Como o pvalor é menor que 005 e a estatística calculada é maior que o ponto crítico que é de 196 logo a estatística calculada está na região crítica portanto com 5 de significância rejeitase a hipótese nula logo podese concluir que a taxa média de queima de proteína é diferente do que 50 centímetros por segundo Teste de hipótese para a proporção Hipóteses H 0 p08 H 1 p08 Cálculo da estimativa da proporção p250 30008333 Estatística do teste Zcalculado pp p1p n 0833308 08 108 300 14434 Região Crítica Pvalor pvalorP Z 144 004004 Conclusão Como a estatística calculada é menor que o valor crítico de 175 isso significa que a estatística calculada esta na Região de Não Rejeição da Hipótese Nula logo com 4 de significância não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula Teste de Hipótese para comparação de média Hipóteses H 0 μ AμBμAμB0 H 1 μA μB μAμB0 Médias amostrais x A i1 15 x A 15 2696 15 1797333 xB i1 15 x B 15 1350 15 90 Estatística do teste Zcalculado x AxB σ 1 nA 1 nB 179733390 10 1 15 1 15 3204907 Região Crítica Pvalor pvalorP Z32049070 Conclusão Como o pvalor da estatística do teste é próximo de 0 com 5 de significância rejeita se a hipótese nula logo podese concluir que o tempo médio é diferente para ambos os sistemas Teste de Hipótese para comparação de média Hipóteses H 0 μJμA μJμA0 H 1 μJ μA μJμA0 Médias e variâncias amostrais xJ i1 14 xJ 1 4 162 14 115714 SJ 2 i1 14 xJxJ 2 141 554286 13 42637 x A i1 13 x A 13 200 13 153846 SA 2 i1 13 x Ax A 2 131 510769 12 42564 Sp 2 141SJ 2131 S A 2 14132 13 426371242564 25 42602 Estatística do teste T calculado xJx A S p 2 1 nJ 1 nA 115714153846 42602 1 14 1 13 47965 Região Crítica Pvalor pvalorP T4796500000315664 Conclusão Como o pvalor é menor que 001 com 1 de significância rejeitase a hipótese nula logo podese concluir que os métodos que os dois métodos não são equivalentes Pvalor pvalorP Z32049070 Conclusão Como o pvalor da estatística do teste é próximo de 0 com 5 de significância rejeita se a hipótese nula logo podese concluir que o tempo médio é diferente para ambos os sistemas Teste de Hipótese para comparação de média Hipóteses H 0 μ1μ2 μ1μ20 H 1 μ1μ2 μ1μ20 Estatística do teste Sp 2 81 S1 281 S2 2 882 7 239 27298 2 14 72963 T calculado x1x2 S p 2 1 n1 1 n2 9225592733 72963 1 8 1 8 03539 Região Crítica Pvalor pvalorP T03539 03643 Conclusão Como o pvalor foi maior que 005 com 5 de significância não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula logos podese concluir que não há diferença entre os rendimentos médios dos dois catalisadores Teste de Hipótese para comparação de média Hipóteses H 0 μ1μ2 μ1μ20 H 1 μ1μ2 μ1μ20 Estatística do teste Sp 2 101 S1 2101S2 2 10102 9763 29153 2 18 1461535 T calculado x1x2 S p 2 1 n1 1 n2 125275 1461535 1 10 1 10 27744 Região Crítica Pvalor pvalorP T27744 00063 Conclusão Como o pvalor foi menor que 005 com 5 de significância rejeitase a hipótese nula logos podese concluir que há diferença entre as concentrações médias de arsênio entre as comunidades Intervalo de Confiança para a diferença da média Sp 2 101 S1 2151 S2 2 10152 95 214 4 2 23 195217 T tabelado20687 Px1x2T α 2 Sp 2 1 n1 1 n2μ1μ2 x1x2T 1α 2 S p 2 1 n1 1 n21α P908720687 195217 1 10 1 15μ1μ2908720687 195217 1 10 1 15095 P 07314 μ1μ267314095 IC07314 67314 Conclusão Com 95 de confiança temse que a média da diferença das médias estar entre 073 e 673 Teste de Hipótese para igualdade de variância Hipóteses H0 σ XσY σ X σ Y 1 H1σ XσY σ X σ Y 1 Estatística do teste FcalculadoS X 2 SY 2 029 07303973 Região crítica Pvalor pvalorP F0 3973 00159 Conclusão Como o pvalor é menor que 005 com 5 de significância rejeitase a hipótese nula logo podemos concluir que os panetones de segunda qualidade apresentam uma variabilidade maior do que os panetones de primeira qualidade Teste de Hipótese para amostra emparelhadas Hipóteses H 0 μdiferença0 H 1 μdiferença0 Calculado as diferenças YX Y X d YX 116 81 35 88 79 09 99 68 31 95 78 17 116 76 4 91 79 12 106 57 49 108 84 24 134 8 54 106 95 11 105 8 25 114 68 46 Cálculos da média e da variância da diferença d i1 12 di 12 29417 Sd 2 i1 12 did 12 121 24281 Estatística do teste T calculadodμdiferença Sd 2 n 294170 24281 12 65396 Região Crítica T tabelado17959 Conclusão Como T calculado é maior que T tabelado com 5 de significância rejeitase a hipótese nula logo podese concluir que o novo combustível aumenta de fato o rendimento Teste de hipótese para comparação de média Hipóteses H 0 μ pμtμ pμt0 H 1 μ p μtμ pμt0 Médias e variância x p333e Sp 2144556 xt234e S p 2196 Estatística Sp 2 101144556101196 10102 170278 T calculado33323 4 170278 5 53646 Região Crítica T tabelado21009 Conclusão Como T calculado é maior que T tabelado portanto rejeitase a hipótese nula logo há uma diferença entre o método de cultivo do pesquisador e o método tradicional P33323421009 170278 5 μ pμt933323421009 170278 5 095 P 60229μ pμt137771095 IC60229137771 Com 95 de confiança a diferença entre as médias esta entre 60229 e 137771