Lista de Exercícios - Intervalo de Confiança e Testes de Hipóteses

Exercıcio 1 Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma certa raca siga o modelo Normal com media µ desconhecida e variˆancia igual a 001 m2 Uma amostra de dez animais foi sorteada e forneceu uma media de 169 m Desejamos uma estimativa intervalar para o parˆametro desconhecido µ com nıvel de confianca de 95 Exercıcio 2 A vida media de baterias automotivas de uma certa marca esta sendo usada Baseado em estudos similares com outras marcas e possıvel admitir que a vida dessas baterias segue a distribuicao Normal com desvio padrao de 45 meses De qual tamanho devera ser a amostra para que a amplitude do intervalo de 90 de confianca para a vida media seja de 3 meses OBS a amplitude do intervalo de confianca e dada pela diferenca entre o extremo superior e inferior Exercıcio 3 Um provedor de acesso a Internet esta monitorando a duracao do tempo das conexoes de seus clientes com o objetivo de dimensionar seus equipamentos Sao desconhecidos a media e a distribuicao de probabilidade desse tempo mas o desvio padrao por analogia a outros servicos e considerado igual a 50 minutos Uma amostra de 500 conexoes resultou num valor medio observado de 25 minutos O que dizer da verdadeira media com confianca de 92 Exercıcio 4 Uma industria eletrica fabrica lˆampadas com vida util distribuıda aproximadamente normal com desviopadrao de 40 horas a Se uma amostra de 30 lˆampadas tem media de vida de 780 horas determine um intervalo de confianca de 96 para a media populacional de todas as lˆampdas produzidas pela empresa b Qual deve ser o tamanho da amostra se desejarmos estar 96 confiantes de que nossa media amostral estara dentro das 10 horas da media verdadeira Exercıcio 9 Suponha que queiramos testar H0 µ 50 contra H1 µ 50 em que µ e a media de uma normal N µ 900 Extraıda uma amostra de n 36 elementos da populacao obtemos x 52 Calcule o valor p do teste Exercıcio 10 Os sistemas de escape da tripulacao de uma aeronave funcionam devido a um propelente solido A taxa de queima desse propelente e uma caracterıstica importante do produto As especificacoes requerem que a taxa media de queima tem de ser 50 centımetros por segundo Sabemos que o desvio padrao da taxa de queima e σ 2 centımetros por segundo O experimentalista decide especificar um nıvel de significˆancia de 5 Ele seleciona uma amostra aleatoria de n 25 e obtem uma taxa media amostral de queima de x513 Que conclusoes poderiam ser tiradas Calcule o valor p Exercıcio 11 Calcule o intervalo de confianca de 98 para a proporcao de itens defeituosos em um processo quando se sabe que uma amostra de tamanho 100 gera oito itens defeituosos Alem disso qual e o tamanho da amostra necessario se desejarmos estar 98 confiantes de que a proporcao amostral estara a 0 05 da proporcao real de defeituosos Exercıcio 12 Um novo sistema de lancamentos de foguetes esta sendo coniderado para a implementacao de foguetes pequenos e de certo alcance O sistema existente tem p 0 8 como probabildade de uma lancamento bemsucedido Uma amostra de 40 lancamentos experimentais como o novo sistema e reali zada de 34 obtem sucesso Construa um intervalo de confianca de 95 para p O sistema e melhor Exercıcio 15 Um novo equipamento de radar esta sendo considerado para um sistema de defesa antimíssil O sistema e experimentado em uma aeronave real na qual uma morte ou nao morte e simulada Se de 300 tentativas ocorrem 250 mortes aceite ou rejeite no nvel de significˆancia 004 a afirmacao de que a probabilidade de uma morte com o sistema nao excede a probabilidade de 08 do equipamento ja existente Exercıcio 16 Um estudo envolve a avaliacao de um novo sistema operacional de computador desenvolvido para criancas com idades entre 8 e 12 anos Afirmase que o novo sistema e mais rapido do que o atual lıder de mercado Para testar essa afirmacao foram selecionados em uma mesma escola dois grupos independentes com 15 criancas cada As criancas sem conhecimento previo relacionado ao uso de computadores utilizaram maquinas de mesma configuracao para realizar uma certa tarefa que teve seu tempo anotado O primeiro grupo denominado Grupo A trabalhou com o sistema operacional convencional ao passo que o segundo grupo Grupo B desenvolveu atividades no novo sistema Ao final do experimento todas as 30 criancas haviam realizado a tarefa Os dados obtidos foram os seguintes Grupo A 182 185 193 175 184 192 175 173 186 178 162 179 164 182 186 Grupo B 92 76 76 90 97 90 86 93 100 115 85 80 90 86 94 Alem disso assuma que as informacoes adicionais fornecidas pelas empresas indicam que a variabilidade dos tempos de aprendizado e a mesma para ambos os sistemas operacionais e igual a σ 10 min Verifique com um nıvel de 5 se o tempo medio e igual para ambos os sistemas X Y Exercıcio 17 Digitadores sao treinados em uma empresa em duas turmas distintas Na primeira denominada Turma J utilizase um metodo japonˆes de ensino ao passo que na segunda turma denomimada Turma A utilizase um metodo alemao Deseja se comparar os dois metodos e para tanto 16 alunos de cada turma foram escolhidos aleatoriamente e uma mesma tarefa foi atribuıda a cada um Ao final do experimento o tempo gasto na realizacao da tarefa para cada aluno foi anotado No processo dois computadores utilizados pelos alunos selecionados da turma J e 3 da turma A apresentaram problemas que impediram a realizacao da tarefa Os dados obtidos foram Turma J 10 13 9 10 14 13 10 15 12 10 9 10 13 14 Turma A 15 12 18 16 15 17 17 15 16 17 11 17 14 Apesar de nao conhecidas as variˆancias populacionais para as duas turmas sao consideradas iguais com base em dados anteriores Verifique se os dois metodos sao equivalentes para α 0 01 Exercıcio 18 Dois catalisadores estao sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento medio de um processo quımico Especificamente o catalisador 1 esta corretamente em uso mas o catalisador 2 e aceitavel Uma vez que o catalisador 2 e mais barato ele deve ser adotado desde que nao mude o rendimento do processo Um teste e feito em uma planta piloto resultando em x1 92 255 e s1 2 39 e x2 92 733 e s2 2 98 as medias e os desvios amostrais considerando amostras de tamanho 8 dos catalisadores 1 e 2 respectivamente Ha alguma diferenca entre os rendimentos medios Use α 0 05 e considere variˆancias iguais Exercıcio 19 A concentracao de arsˆenio em suprimentos publicos de agua potavel e um risco potencial de saude Um artigo reportou as concentracoes em partes por bilhao de arsˆenio em agua potavel para 10 comunidades metropolitanas de Fˆenix e 10 comunidades rurais do Arizona A media e o desvio padrao para a regiao de Fˆenix foram x1 12 5 e s1 7 63 e para a regiao do Arizona x2 27 5 e s2 15 3 Desejamos determinar se ha alguma diferenca nas concentracoes medias de arsˆenio entre as comunidades Adote α 0 05 Exercıcio 20 Um artigo reportou os resultados de uma analise do peso de calcio em cimentopadrao e em cimento contendo chumbo Nıveis reduzidos de calcio indicariam que o mecanismo de hidratacao no cimento estaria bloqueado permitindo a agua atacar varias localizacoes na estrutura do cimento Dez amostras de cimentopadrao tiveram um teor medio percentual em peso de calcio de x1 90 0 com um desvio padrao de s1 5 0 enquanto 15 amostras do cimento com chumbo tiveram um teor medio percentual em peso de calculo de x2 87 0 com um desvio amostral de s2 4 0 Considerando que o teor percentual em peso de calcio seja normalmente distribuıdo e que ambas as populacoes tenham o mesmo desvio padrao encontre um intervalo de confianca de 95 para a diferenca de medias Exercıcio 21 Um fabricante de panetones costuma vender produtos de segunda qualidade a precos reduzi dos Para panetones de 500 gramas suspeitase que o produto de segunda qualidade apresente maior variabilidade no que se refere ao peso Para tanto 26 panetones de primeira qualidade e 20 de segunda tiveram seus pesos aferidos Denotaremos esses pesos por X1 X26 e Y1 Y20 respectivamente Foram calculados os valores das variˆancias amostrais sendo dados por S2 0 29 e S2 0 73 Verifique se os panetones de segunda qualidade apresentam peso com maior variabilidade do que os panetones de primeira qualidade Adote α 0 05 Exercıcio 22 Uma distribuidora de combustıveis deseja verificar se um novo tipo de gasolina e eficaz na revitalizacao de motores velhos Com esse objetivo seleciona 12 automoveis de um mesmo modelo com mais de 8 anos de uso e apos regulagem de seus motores verifica o consumo de combustıvel Em seguida o carro e abastecido com o novo tipo de combustıvel durante 15 semanas e uma nova afericao do consumo e feita Defina as variaveis aleatorias Xi e Yi como o rendimento do automovel i respectivamente antes e apos as 15 semanas Os valores observados em kml para os 12 automoveis sao apresentados na tabela a seguir Considerando um nıvel de significˆancia de 5 verifique se o novo combustıvel aumenta de fato o rendimento Automovel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Apos Y 116 88 99 95 116 91 106 108 134 106 105 114 AntesX 81 79 68 78 76 79 57 84 80 95 80 68 Exercıcio 23 Um pesquisador desenvolveu um método de cultivo de flores com o objetivo de aumentar a produtividade Para testar o método ele sorteou 10 pequenas áreas de uma fazenda e em cada uam delas plantou uma muda de gérbera com cultivo tradicionale uma muda com cultivo desenvolvido pelo pesquisador Ele observou então o número de hastes geradas por cada uma das mudas obtendo os dados abaixo Ao nível de significância 5 o que podemos dizer a respeito do método desenvolvido pelo pesquisador Caso em média haja diferença entre os dois métodos obtenha o intervalo de confiança de 95para quantificar essa diferença Pesquisador 35 35 39 35 37 34 31 30 26 31 Tradicional 28 25 31 27 24 22 18 22 18 19