Ficha 10: Integração pelo Método de Substituição

Engenharia Civil Turma CIV NAE2 20222 Cálculo Diferencial e Integral I Ficha 10 Integração pelo Método de Substituição I Introdução Em muitas situações não é possível encontrar uma primitiva de uma função aplicando diretamente uma das fórmulas básicas encontradas nas tabelas de integrais mas é preciso fazer uma mudança de variável antes de utilizarmos estas fórmulas Tal processo é análogo à regra da cadeia para derivação Lembrando Exemplo 1 A função y sen2x pode ser vista como a composta das funções y senu e u 2x ou seja y gu e u fx Podemos considerar a função composta y g o f x ou y g fx Como as derivadas dydu e dudx existem então a função composta y g fx tem derivada dada por dx du du dy dx dy ou y x g u fx Para o caso y sen 2x temos yx senu 2x cosu 2 2 cos 2x No caso da integração cos 2x dx Fazendo u 2x temos que 2 dx du ou seja du 2 dx Substituindo na integral temos 2senu 1 cosudu 2 1 2 cosu du cos2x dx Como u 2x temos que cos 2x dx c 2 sen2x 1 Exemplo 2 Calcule a integral x dx 1 x 2 2 Fazendo u 1 x2 temos du 2x dx Então x dx 1 x 2 2 u du ln u k ln 1 x2 k Exemplo 3 Calcule a integral f sen6 cos6 dé Fazendo u sen 6 temos n cos ou seja du cos6 dé Substituindo na integral temos Pau pe ae ay us du 3 3 ll Exercicios 1 Encontre uma solugao geral em cada um dos casos a xe dx b f xx 13dx 3 c 5 dx d fxvx41dx e fx3vxt5 dx f J dx gf at h f2tedt 1t3 i f t t8 3 dt j f sen cosé dé