Lista de Exercícios 2

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ Modelagem de Problemas usando Cálculo Diferencial e Integral I MPCDI 1 Turma Engenharia Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo Nome completo AVALIAÇÃO SOMATIVA AS 02 INSTRUÇÕES As listas deverão ser resolvidas em grupos de 3 a 5 participantes As listas devem ser impressas em papel A4 grampeada e identificando os nomes completos de todos os integrantes em ordem alfabética e legível A resolução deve ser feita imediatamente abaixo do enunciado de forma organizada e legível contemplando todos os passos da resolução Atenção usar a notação matemática correta Atividades do RA1 RA1 Resolver de forma analítica problemas voltados para a engenharia aplicando fundamentos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com rigor matemático 1 Considere 𝑎𝑡 3 𝑡22 ms2 a função aceleração de uma partícula que realiza um movimento retilíneo Determine a função da velocidade 𝑣𝑡 dessa partícula sabendo que no instante 𝑡 1 𝑠 a partícula possui velocidade de 1 5 𝑚𝑠 2 2 Suponha que uma barra de metal uniforme tenha 50 cm de comprimento e esteja isolada lateralmente e as temperaturas nos extremos sejam mantidas a 25 e 85 respectivamente Suponha a barra tenha seu comprimento sobre o eixo 𝑥 conforme a figura a seguir Além disso a temperatura 𝑇𝑥 em cada ponto 𝑥 satisfaça a equação 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 0 𝑐𝑚2 a Encontre a função temperatura 𝑇𝑥 com 0 𝑥 50 b Determine 𝑇0 𝑇25 e 𝑇50 3 Considere a função 𝑓 representada a seguir Usando as áreas apresentadas no gráfico determine as integrais 𝑖 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑖𝑖 𝑓𝑥 𝑐 𝑏 𝑑𝑥 𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑥 𝑐 𝑎 𝑑𝑥 𝑖𝑣 𝑓𝑥 𝑑 𝑐 𝑑𝑥 𝑣 𝑓𝑥 𝑑 𝑎 𝑑𝑥 3 4 Calcule as integrais a seguir fazendo as manipulações algébricas convenientes e utilizando as propriedades das funções envolvidas 𝑎 5𝑥 2 3𝑥5𝑑𝑥 𝑏 10 𝑥34 𝑥 3 4 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 4𝑥1 𝑥2 𝑑𝑥 2 1 𝑑 𝑥5 2𝑥2 1 𝑥4 𝑑𝑥 𝑒 2 𝑥22 𝑑𝑥 1 0 4 5 Modele a área da região limitada pela curva 𝑦𝑥 𝑥2 𝑥 e o intervalo do eixo 𝑥 no intervalo 02 usando integração faça o esboço do gráfico identificando os pontos de interseção das curvas em seguida calcule a área 6 Determine a área entre as curvas nos itens a seguir a b 5 7 Um carro percorrendo uma estrada reta a 60 kmh desacelera a uma taxa constante de 396 kmh a Utilize integração para obter a velocidade a partir da aceleração b Quanto tempo irá levar para a velocidade ser de 45 kmh c Qual é a distância que o carro irá percorrer até parar 8 Determine a função 𝑓 que derivando duas vezes obtémse 𝑔𝑥 𝑥 6 Atividades do RA2 RA2 Avaliar criticamente se as soluções analíticas dos problemas voltados para a engenharia estão consistentes com o mesmo considerando requisitos e restrições fundamentados no Cálculo Diferencial e Integral de uma variável 9 Verifique se a integral a seguir foi calculada corretamente usando derivadas ou seja 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝑓𝑥 Argumente justificando o porquê a integração está correta ou incorreta compare o resultado com a função integranda e faça uma conclusão 𝑎 𝑥3 𝑥2 3 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥3 2𝑥2 6 2𝑥 𝑐 𝑏 𝑥1 3 5 𝑥2 𝑑𝑥 3 4𝑥 4 3 5 𝑥 𝑐 7 10 Considere o gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥3 𝑥 Um estudante modelou o cálculo da área entre as seguintes curvas 𝑓𝑥 𝑥3 𝑥 e o eixo 𝑥 entre 𝑥 1 e 𝑥 2 usando integração e obteve 𝐴 𝑥3 𝑥𝑑𝑥 2 1 9 4 𝑢 𝑎 a A modelagem da área apresentada está correta Justifique Se você concluir que a modelagem está incorreta apresente a modelagem correta b A resposta da área apresentada está coerente Justifique 1 dVdt a dV adt V V0 a dt V V0 3t2 2 dt 9 6t2 t4 dt 9t 2t3 t55 Comp V1 15 1 V0 9 2 15 V0 7 Vt 9t 2t3 t55 7 2 d2 Tdx2 0 dTdx C1 Tx C1 x C2 T0 25C 25 C2 T50 85 85 50 C1 25 C1 852550 65 125 Log0 Tx 12x 25 b T0 25 T25 12 25 25 55 T50 12 50 25 85 3 Sabemos que A fx dx i from 0 to 1 fx dx 10 10 ii from 1 to 4 fx dx 94 from 1 to 4 fx dx 94 iii from 0 to 4 fx dx 10 94 84 iv from c to 4 fx dx 9 v from 0 to d fx dx 10 94 9 75 4a from 1 to 3 5x 2x5 dx 5x dx 23 dxx5 5x22 23 x44 5x22 16x4 b 10x34 3x 4x dx 10 x34 dx x13 dx 4 x12 dx 10 x14 14 x4 4 8 x12 2 40 x14 x44 4 x12 c from 1 to 2 4x 1 x2 dx from 1 to 2 4x dx from 1 to 2 4x3 dx 2x2 from 1 to 2 x4 from 1 to 2 8 2 16 1 21 d x5 2x2 1x4 dx x 2x2 1x4 dx x dx 2 x2 dx x4 dx x22 2 x1 x3 3 x22 2x 33x3 x22 2x 1x3 e from 0 to 1 4 2x2 x4 dx from 0 to 1 4 dx from 0 to 1 2x2 dx from 0 to 1 x4 dx 4x from 0 to 1 2x33 from 0 to 1 x55 from 0 to 1 4 23 15 8315 5 graph with two areas A1 and A2 drawn fx x2 x f1 0 x2 x 0 x 1 or x 0 fx 2x 1 fx 0 2x 1 0 x 12 fx 2 0 f12 14 12 14 A A1 A2 A from 0 to 1 fx dx from 1 to 2 fx dx A from 0 to 1 x3 x dx from 1 to 2 x3 x dx x33 x22 from 0 to 1 x33 x22 from 1 to 2 16 56 1 6 a A from 0 to 4 x dx from 0 to 4 14 x dx 23 x32 from 0 to 4 18 x2 from 0 to 4 A 163 2 223 DS T QQ SS O O O O O O b y 2 x Ponto de interseção x 2 x² 0 x² x 2 0 x 2 A1 2x dx x dx 22x³² y²2 A1 43 163 0 2 2 A2²2x dx 22x ³² 0 3 0 238 423 A2 A1 A2 2 42 3 V Vo adt V 60 396f V 396 t 60 45 396t 60 t 0378 Nt 0 0 396t 60 t 151 ΔS Vdt 396t 60 198t² 60 t ΔS 198151² 60151 4545 9090 4545 DS T QQ SS O O O O O O 8 gx 12x 12 x¹² gx fx 14 x³² 9a Fx x³ 2x² 6 2x x²2 x 3x fx Fx x 1 3x² x³ x² 3 x² b Fx 3x⁴³ x¹ c 4 Fx x⁷³ 5 x² x¹¹³ 5 x² 10 Não está correta pois há intervalos que fx 0 e fx 0 a modulação correta é A x³x dx x³ dx x³ x dx x⁴4 x³2 0 x⁴4 x³2 0 x³4 x²2 1² 14 12 14 12 4 2 14 12 2 34 114 b Não pois precisa m pegar os módulo das integrais