Gabarito da P1 de MAT1162

Gabarito da P1 de MAT1162 Questao 1 Considere os vetores v1 1 2 3 v2 1 0 1 v3 0 0 1 1 Ache um vetor w3 paralelo ao vetor v3 tal que o volume do paralelepipedo gerado pelos vetores v1 v2 w3 e igual a 1 Resposta O volume do paralelepipedo gerado pelos vetores v1 v2 w3 e o modulo do produto triplo dos vetores v1 v2w3 O produto vetorial e v1 v2 2 4 2 O produto interno com um vetor paralelo a v3 w3 λv3 e v1 v2w3 2 4 2λ0 0 1 2 λ Logo se o volume e igual a 1 temos 2 λ 1 λ 1 2 Um vetor como o procurado e w3 0 0 1 2 2 Ache um vetor v4 paralelo a v3 tal que o volume do paralelepipedo gerado pelos vetores v1 v2 w3 e igual a area do paralelograma com vertices 0 0 0 v1 v2 v1 v2 Resposta A area do paralelograma em questao e a norma do produto vetorial 4 16 4 24 2 6 Logo um vetor v4 paralelo a v3 v4 av3 que satisfaz a condicao do enunciado e v1 v2v4 a 2 2 6 Logo a 6 e um vetor v4 como procurado e v4 0 0 6 3 Quantos vetores satisfazem o item 1 Quantos vetores satisfazem o item 2 Resposta Em cada caso considerado temos dois vetores pois basta que λ 1 2 no primeiro caso e no segundo que a 6 4 Ache a equacao cartesiana do plano π que e paralelo aos vetores v1 e v2 e contem o ponto P 1 1 4 Resposta O plano π e perpendicular ao vetor v1 v2 2 4 2 Logo a equacao do plano tem a forma 2x 4y 2z d 1 2 onde o valor da constante d depende do ponto P 1 1 4 Com efeito substituindo na equacao as coordenadas de P obtemos 2 4 8 d 14 Concluimos que a equacao do plano e 2x 4y 2z 14 Questao 2 Considere as superfıcies S1 36x2 9y2 36y 4z2 0 S2 z2 x2 b2y2 onde b 0 1 Classifique a quadrica S1 explicitando as coordenadas de seu centro e as medidas dos seus semieixos Resposta Para achar o tipo da superfıcie S1 completamos quadrados na equacao que define S1 36x2 9y2 36y 4z2 36x2 9y2 4y 4z2 36x2 9y2 4y 4 36 4z2 36x2 9y 22 4z2 36 0 Logo a superfıcie e um elipsoide centrado no ponto 0 2 0 x2 y 22 4 z2 9 1 Seus semieixos tem comprimentos 1 na direcao do eixo x 2 na direcao do eixo y e 3 na direcao do eixo z 2 Esboce as superfıcies S1 e S2 em dois sistemas de coordenadas cartesianas Resposta A superfıcie S1 e um elipsoide 3 E a superficie z x by onde b 0 6 um cone com vértice na origem com secdes planas da forma z2 2 by que representam elipses 2 2 x a a 1 0 3 pet 40 8 5 gle a xt 8 4 pe my 3 Ache os valores do pardmetro b tais que as curvas resultantes da intersegao entre as duas superficies se projetam no plano z 0 em um circulo Resposta A intersegao entre as superficies se projeta no plano z 0 no conjunto 2 y2 a by 1 w 1 9 o que equivale a 40x 4b 9y 36y 0 V3l Como esta curva é um circulo entao 4b 9 40 donde b 3 ja que b 0 Temos 2 9 81 40a 40y 36y0 2 wt ey 88Y 59 200 9 9 que representa o circulo de raio 20 centrado no ponto 0 0 4 Parametrize as curvas na intersecado das duas superficies no item 3 A intersegaéo das superficies consiste em duas curvas uma contida no semi espaco z 0 e outra no semi espacgo z 0 A projecao das curvas no 4 plano z 0 coincide com o circulo do item 3 que pode ser parametrizado em coordenadas polares por 9 9 9 c0 spe 20 meen para 6 027 Logo as curvas na intersegao podem ser parametrizadas na seguinte forma 9 9 9 9 31 ct 0 Soni 20 99 209 30 V 008 7 vet 9 9 9 9 31 c 0 Sono 0 59 80 301 cos0 7 went Questao 3 Considere a curva plana c que satisfaz r e 1 Faga um esbogo da curva no intervalo 0 27 Resposta A curva é uma espiral que comeca no ponto 10 e termina no ponto r2m e cujas coordenadas cartesianas sao e27 0 06 05 04 03 034 J 00019 0 1 0 02 01 0 04 02 O38 O04 05 O68 O7 O08 09 1 rm 12 01 02 2 Ache o vetor velocidade da curva para qualquer 0 Resposta A curva pode ser parametrizada no plano cartesiano em coordenadas polares na forma seguinte c0 e cos0 e sen 5 Seu vetor velocidade é c0 ecos sen6 sen cos0 3 Calcule 0 comprimento da curva no intervalo 0 27 Resposta A norma do vetor velocidade é 0 V2e Logo seu comprimento é 2 2 a0 do V2edd V21 e 0 0