Lista de Exercícios de Equações Diferenciais - Cálculo II

1 Cálculo II Lista de Teoria Exercícios e Aplicações 2022 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Engenharias e Matemática Escola Politécnica Cálculo II Professoras Alex Bia Christiane e Eliana Avaliações T1 P1 T2 P2 PROJETO RECUPERAÇÃO Unidade 6 Equações Diferenciais Exercícios para aula Introdução conceito de equação diferencial Problema introdutório 1 Suponha que em determinada edificação a temperatura do meio seja de 300C e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo a Suponha que um aparelho de ar condicionado mantenha a temperatura de uma sala dessa edificação a 20oC Se o aparelho for desligado faça um esboço de como a temperatura y t da sala irá variar ao longo do tempo t decorrido após o desligamento b Repita o esboço da curva do item a considerando os seguintes valores iniciais para a temperatura da sala 10oC e 0oC c Considerando agora que a sala está inicialmente aquecida esboce a curva de variação da temperatura após o desligamento do aquecedor considerando os seguintes valores iniciais para a temperatura da sala 40oC 50oC e 60oC d De acordo com a Lei de Newton do resfriamentoaquecimento a variação da temperatura de um objeto sala ao longo do tempo dy dt é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto sala e o meio em que ele está inserido edificação Escreva a equação diferencial que modela esse problema variação da temperatura da sala Definição Equação Diferencial é uma equação que contém as derivadas de uma ou mais vaiáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes Ordem de uma equação diferencial Equação diferencial Ordem 5 dy y dx 1 2 2 4 3 5 d y dy y x dx dx 2 y 2 5 y y sent 3 Solução de uma equação diferencial ED A solução geral de uma equação diferencial é composta pela família de curvas chamadas curvas integrais que satisfazem tal equação 2 Considere a equação diferencial de primeira ordem 2 dy dx y a Mostre que 2x y e é uma solução da equação diferencial b Mostre que 5 2 x y e é uma solução da equação diferencial c Mostre que 2 x C y e é uma solução geral família de curvas integrais da equação diferencial 3 Determine os valores da constante k para que a função 𝑦 𝑘𝑒2𝑥 seja solução da equação diferencial 𝑦 𝑘𝑦 𝑦 0 Problema de valor inicial PVI Quando para um determinado valor xo conhecemos o valor y0 correspondente dizemos que se trata de um problema de valor inicial com 0 0 y x y 4 Utilizando os resultados do exercício 2 determine a solução da equação diferencial 2 y y com a condição inicial 0 3 y 5 Considere a EDO de 2ª ordem 𝑥 16𝑥 0 a Verifique que 𝑥 𝑐1 cos 4𝑡 𝑐2𝑠𝑒𝑛 4𝑡 é uma solução da equação dada b encontre uma solução do PVI de 2ª ordem 𝑥 16𝑥 0 𝑥 𝜋 2 2 𝑥 𝜋 2 1 EDs de primeira ordem separáveis Uma equação diferencial de primeira ordem é dita separável quando pode ser escrita na forma g y f x dy dx 2 Cálculo II Lista de Teoria Exercícios e Aplicações 2022 Como resolver uma ED de variáveis separáveis Separe as variáveis no formato g y f x dy dx Integre o lado esquerdo em relação a y e o lado direito em relação a x g y dy f x dx A família de soluções é dada por G y F x C 6 Utilizando o método de separar as variáveis determine a solução geral família de soluções das EDs a seguir isto é encontre y x ou y t a 2 dy dx y b dy dx x y sendo y 0 c 2 3 dy dx x y sendo y 0 d 3 2 dy dt y sendo y 6 7 Resolva o problema de valor inicial a 2 dy dx x com y 0 e 0 3 y b 230 dy dx y com y 30 e 0 20 y Aplicações modelagem e equações diferenciais Lei de newton do resfriamentoaquecimento ym temperatura do meio constante y temperatura do objeto no instante t m y y diferença de temperatura no instante t k constante de proporcionalidade O modelo considera que a variação da temperatura é proporcional à diferença de temperatura Modelo m dy y y dt k Obs na resolução use módulo ln m y y 8 Um engenheiro está estudando a capacidade de retenção de calor de uma determinada edificação Para isso ele vai determinar a equação da curva de aquecimento de certa sala Suponha que a temperatura do meio temperatura da edificação seja de 300C e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo Suponha que um aparelho de ar condicionado mantenha a temperatura dessa sala a 20oC O engenheiro verificou que 10 minutos após o aparelho ser desligado a temperatura da sala passou para 25oC a Escreva a equação diferencial que modela o problema da determinação da curva de aquecimento y t b Escreva a equação diferencial no formato de variáveis separadas c Resolva a equação diferencial PVI d Qual será a temperatura da sala 20 min após o desligamento do aquecedor e Se considerarmos que a temperatura da sala é igual à temperatura do meio quando ela atinge um valor que é no máximo 5 menor que a temperatura do meio quanto tempo a sala demora para atingir a temperatura do meio f Faça um esboço do gráfico de y t Modelo do crescimento populacional irrestrito É um modelo teórico que supõe que a população irá crescer sem restrições Normalmente é válido apenas para um certo período de tempo Este modelo supõe que a taxa de crescimento da população em um dado instante é proporcional à população daquele instante Modelo dP dt kP ou dy dt ky Onde y y t é a população em um instante t qualquer k é uma constante de proporcionalidade positiva que pode ser determinada experimentalmente 9 Considere o modelo dP dt kP a Utilizando a técnica de separação de variáveis obtenha P em função de t b Mostre que C e é o valor inicial população incial isto é mostre que P0 0 C e P condição inicial c Mostre que a solução do modelo é 0 kt P t Pe onde P0 é a população inicial em t0 k é uma constante para cada caso e t é o tempo 10 Uma população de 1000 indivíduos foi introduzida em um ambiente inicialmente sem limitações para o crescimento dessa espécie Depois de um certo período observouse que a taxa de crescimento relativo era de 5 ao ano isto é k 005 a Sendo Pt a população em um instante t qualquer t em anos qual é a equação diferencial que representa este modelo b Qual é a solução da equação diferencial com o valor inicial P0 1000 c Utilizando a equação obtida no item c qual é a população estimada um ano após a inserção d Calculo e tempo de duplicação doubling time para esta população Dado ln 2 07 Modelo de decaimento exponencial 11 Mostre que um modelo para o decaimento exponencial é dado por 0 kt P t Pe onde k é 3 Cálculo II Lista de Teoria Exercícios e Aplicações 2022 uma constante positiva taxa de decaimento relativo em porcentagem decimal 12 Uma população que conta atualmente com 5000 espécimes está decaindo exponencialmente Sabese que decorridos 8 anos a população cai para 1840 espécimes a Obtenha a equação da curva dessa população b Em quanto tempo a população se reduzirá à metade da atual Dado ln 2 07 13 O isótopo radioativo de chumbo Pb209 decai a uma taxa proporcional à quantidade presente no instante t e tem meia vida de 33 horas Se houver 1 grama de chumbo inicialmente quanto tempo levará para que 90 do chumbo decaia 14 Um corpo foi encontrado dentro de uma sala fechada de uma casa onde a temperatura era constante e igual a 21C No instante da descoberta a temperatura do corpo foi medida e era de 29C Uma hora depois uma segunda medição mostrou que a temperatura do corpo era de 27C Suponha que no momento da morte t0 a temperatura do corpo era de 37C Determine quantas horas se passaram entre a morte e a descoberta do corpo Eq Diferenciais lineares de primeira ordem Uma equação diferencial linear de primeira ordem é aquela que pode ser escrita na forma dy p x q x dx y Onde p x e q x são funções contínuas em um intervalo As equações diferenciais lineares de primeira ordem têm a particularidade de o lado esquerdo da equação multiplicado por uma função apropriada I x ser igual à derivada do produto da função I x por y ou seja é possível determinar uma função I x tal que d dy I x y I x I x P x y dx dx A função I x é chamada de fator integrante e é dada por p x dx I x e Exemplo para dedução do método de resolução 15 Considere a equação 2 y x xy I a Mostre que I é uma equação linear diferencial de primeira ordem 1 2 y x y II b Verifique pela regra do produto que y xy xy III c Substitua III em II e verifique que 2 xy x IV d Integre IV em ambos os lados para obter 2 C xy x ou C y x x V O método do fator integrante A chave da solução acima foi multiplicar II por um fator integrante Ix apropriado de forma que o lado esquerdo de I é a derivada do produto Ixy Teorema para resolver uma equação diferencial linear P x y Q x y multiplique ambos os lados pelo fator integrante p x dx I x e e integre ambos os lados Solução geral de uma ED linear de 1ª ordem Ao multiplicar ambos os lados pelo fator integrante e fazer a integração obtémse a solução geral 1 I x y x I x q x dx c Passos para resolver uma ED linear de 1ª ordem I Escreva a equação na forma dy p x q x dx y II Calcule o fator integrante p x dx I x e III Com as informações de I e II resolva a integral a seguir e obtenha a solução geral 1 I x y x I x q x dx c 16 Utilizando o método do fator integrante encontre a solução geral da equação diferencial 2 6 dy dx y 17 Resolva novamente problema 8 utilizando o método do fator integrante Modelo que envolve misturas A variação da quantidade de certa substância presente em um determinado instante numa solução depende da taxa de entrada e da taxa de saída desta substância 18 Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 lmin Encontre o número At de gramas de sal no tanque no instante t supondo que a a solução bem misturada é bombeada para fora a mesma taxa 4 Cálculo II Lista de Teoria Exercícios e Aplicações 2022 b a solução bem misturada é bombeada para fora à taxa de 6 lmin c a solução bem misturada é bombeada para fora à taxa de 2 lmin Eq Diferenciais lineares de segunda ordem Nesta seção iremos explorar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes Exemplos de ED lineares de 2ª ordem Dada uma equação diferencial linear de segunda ordem ay by cy d Se d 0 a ED de segunda ordem é homogênea Se d 0 a ED de segunda ordem é não homogênea Solução geral Se a equação é homogênea d0 e os coeficientes a b c são constantes usando uma equação auxiliar teremos 3 casos para obter a solução geral Equação diferencial 0 a b y y cy Equação auxiliar 2 0 m m a b c Discriminante 2 4 b ac Raízes reais ou complexas 1 m 2 m A solução geral da ED linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes é dada por Caso Raízes Solução geral 0 1 2 m m 1 2 1 2 x x m m y c e c e 0 1 2 m m 1 1 1 2 x m m x y c e c xe 0 1 2 i m m i 1 2 cos x y e c x c sen x C1 e C2 são constantes a determinar que dependem das condições dadas PVIPVC Exemplos 19 Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas dadas a seguir a 5 6 0 y y y com 0 1 y e 0 0 y b 6 9 0 y y y com 0 3 y e 0 8 y c 4 5 0 y y y com 0 5 y e 0 6 y 20 Prove que se a equação diferencial é da forma 2 0 y k y então a solução geral é da forma 1 2 kx kx y c c e e 21 Prove que se a equação diferencial é da forma 2 0 y k y então a solução geral é da forma 1 2 cos y c kx c sen kx Exercícios propostos para prática e aplicações 1 Mostre que 𝑦 𝑥 𝑥1 é uma solução da equação diferencial 𝑥𝑦 𝑦 2𝑥 2 Separe as variáveis nas equações a seguir isto é escreva na forma h y dy g x dx a 4 3 dy dx x y b 1 dy dx x y c dy dx y x d 0 dy dx y e 02 dy dt y f 02 20 dy dt y g 10 20 dy dt y h 3 dy y dx y x 3 Resolva o problema de valor inicial a 5 dy dt y com 0 20 y b dy dx x y com y 0 e 0 4 y 4 Um engenheiro está estudando a capacidade de retenção de calor de uma determinada edificação Para isso ele vai determinar a equação da curva de resfriamento de certa sala Suponha que a temperatura do meio temperatura da edificação seja de 100C e que essa temperatura se mantenha constante por certo intervalo de tempo Suponha que um aquecedor mantenha a temperatura dessa sala a 20oC O engenheiro verificou que 5 minutos após o aparelho ser desligado a temperatura da sala passou para 15oC a Escreva a equação diferencial que modela esse problema b Escreva a equação diferencial no formato de variáveis separadas c Resolva a equação diferencial d Qual será a temperatura da sala 10 min após o desligamento do aquecedor e Se considerarmos que a temperatura da sala é igual à temperatura do meio quando ela atinge um valor que é no máximo 5 maior que a temperatura do meio quanto tempo a sala demora para atingir a temperatura do meio 5 Cálculo II Lista de Teoria Exercícios e Aplicações 2022 f Faça um esboço do gráfico de y t 5 Uma população de 500 indivíduos foi introduzida em um ambiente inicialmente sem limitações para o crescimento dessa espécie Depois de 10 anos observouse que a população passou para 1360 indivíduos a Sendo Pt a população em um instante t qualquer t em anos determine Pt b Qual será a população após 20 anos 6 Uma população que conta atualmente com 4000 espécimes está decaindo exponencialmente Sabese que decorrido 1 ano a população cai para 3620 espécimes a Obtenha a equação da curva dessa população Adote ln0905 010 b Em quanto tempo aproximadamente a população se reduzirá à metade da atual Adote ln 2 07 7 O elemento químico einstêinio 253 decai à uma taxa proporcional à sua massa presente Determine a meia vida deste material sabendo que o mesmo perde um terço de sua massa em 117 dias 8 Um termômetro marcando 70F é colocado em um forno pré aquecido a uma temperatura constante Através de uma janela na porta do forno um observador verifica que o termômetro marca 110F após ½ minuto e 145F após 1 minuto Qual é a temperatura do forno 9 A prefeitura de uma cidade decidiu mudar a taxa de fluor da água que os habitantes usam No reservatório local que possui 300 mil metros cúbicos de água há 2000 kg de flúor O consumo médio de água na cidade é de 3 mil metros cúbicos por dia e a água utilizada é reposta com 100 gramas de flúor por m3 a determine a quantidade de flúor no reservatório em qualquer instante t b determine o que ocorre com a concentração de flúor na água quando 𝑡 10 Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas dadas a seguir a 3 2 0 y y y com 0 6 y e 0 8 y b 4 4 0 y y y com 0 5 y e 0 7 y c 6 10 0 y y y com 0 2 y e 0 9 y 11 Há dois tipos de equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas que são muito úteis par resolver alguns problemas práticos a saber 2 0 y k y e 2 0 y k y Obtenha a solução geral sem determinar os valores dos parâmetros c1 e c2 das equações diferenciais a seguir a 9 0 y y b 9 0 y y 12 Uma mola tem comprimento natural de 075 m e uma massa de 5 kg presa a ela Uma força de 25 N é necessária para manter a mola esticada até o comprimento de 1 m Se a mola for esticada para um comprimento de 11 m e então solta com velocidade 0 encontre a posição da massa após t segundos 13 Uma massa de 1 16 Kg presa a uma mola de constante elástica k4Nm é liberada de um ponto 2 3m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade para cima de 4 3ms Determine a equação do movimento livre 14 Uma mola presa a uma massa de 2Kg tem uma constante de amortecimento c14 e uma força de 6 N é necessária para manter a mola esticada 05 m além do seu comprimento natural A mola é esticada 1 m além do seu comprimento natural e então é solta com velocidade 0 Determine a posição da massa em qualquer instante t Gabarito dos exercícios propostos 2 Respostas a 3 4 y dy x dx b 1 ydy x dx c 1 1 dy dx y x d ydy dx e 1 02 dy dt y f 1 02 20 dy dt y g 1 1 200 20 dy dt y h 1 3 1 x dy dx y x 3 Respostas a 5 20 t y t e b 2 16 y x com 4 4 x 4 Respostas a 10 dy dt k y 6 Cálculo II Lista de Teoria Exercícios e Aplicações 2022 b 1 10 dy kdt y c 0138 10 10 t y e d 1250C e 217 min f Curva de resfriamento da sala 5 Respostas a 01 500 t P t e b 3695 6 Respostas a 01 4000 t P t e ou 10 4000 t P t e b Aproximadamente 7 anos 7 a 20 8 390 9 a 𝐴𝑡 103 30 28𝑒 𝑡 100 b 𝐶 010 𝑔𝑙 10 Respostas a 2 4 2 x x y e e b 2 2 5 3 x x y xe e c 3 2cos 3 x y x sen x e 11 Respostas a 1 2 3 3 x x y c c e e b 1 2 cos3 3 y c x c sen x 12 𝑥𝑡 035 cos 25t 13 𝑥𝑡 2 3 cos8𝑡 1 6 𝑠𝑒𝑛8𝑡 14 𝑥𝑡 1 5 𝑒6𝑡 6 5 𝑒𝑡 Leituras sugeridas e referências bibliográficas ANTON H BIVENS I C DAVIS S L Cálculo v 2 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 STEWART J Cálculo V II São Paulo Pioneira Thompson Learning 2016