Cálculo I - Unidade 4: Derivadas

Cálculo I Unidade 4 Derivadas Prof Dr Márcio Leandro Gonçalves marciopucpcaldasbr Conteúdo Conceito de derivada Derivada e reta tangente Derivada e taxas de variação Funções diferenciáveis Regras de derivação Regra da cadeia Derivadas de ordem mais alta Derivação implícita Regra de LHôpital Máximo e mínimo de funções Exercícios Respostas dos exercícios Referências 2 Cálculo I Derivadas Conceito de derivada A derivada de uma função f em um número a denotada por fa é se o limite existir 3 Cálculo I Derivadas a x f a f x a f x a lim I Conceito de derivada 4 Cálculo I Derivadas Se escrevermos x a h então h x a e h tende a 0 se e somente se x tende a a Consequentemente uma maneira equivalente de enunciar a definição de derivada é a que segue Alternativamente a derivada de uma função f em um número a denotada por fa é se o limite existir h f a h f a a f h lim 0 II Conceito de derivada 5 Cálculo I Derivadas Exemplo Seja fx x2 Calcule a f1 b fx c f3 a b c f3 23 6 usamos aqui o resultado do item b que nos dá a fórmula da derivada de fx x2 para qualquer que seja x 2 1 lim 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 2 1 1 x x x x x x x f f x f x x x x x h x h h xh h x h xh x h x h x h f x h f x x f h h h h h 2 lim 2 2 lim 2 lim lim lim 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 Obs Tanto faz utilizar as fórmulas I ou II descritas anteriormente para calcular uma derivada Devese escolher aquela cujo cálculo tornase mais fácil ou viável Geralmente usase a II quando é pedido fx para todo x Derivada e reta tangente 6 Cálculo I Derivadas Se quisermos encontrar a reta tangente à curva do gráfico de uma função y fx em um ponto Pafa consideramos um ponto Qxfx onde x a e calculamos a inclinação da reta secante PQ Então fazemos Q aproximarse de P ao longo da curva obrigando x tender a a Se mPQ tender a um número m então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m isso implica que a reta tangente é a posiçãolimite da reta secante PQ quanto Q tende a P a x f a f x mPQ Assim a reta tangente a curva de y fx em um ponto Pafa é a reta por P que tem a inclinação dada por desde que esse limite exista a x f a f x m x a lim Derivada e reta tangente A inclinação m da reta tangente a y fx no ponto a fa é dada por fa a derivada de f em a 7 Cálculo I Derivadas Se usarmos a forma pontoinclinação da equação de uma reta poderemos escrever uma equação da reta tangente à curva y fx no ponto afa f a m a a x f f a y Equação da reta tangente a curva de y fx no ponto afa Derivada e reta tangente 8 Cálculo I Derivadas Exemplo Encontre a equação da reta tangente à parábola y x2 8x 9 no ponto 36 Calculemos a derivada de fx x2 8x 9 em a Portanto fa 2a 8 8 2 8 2 lim 8 lim 2 9 8 9 8 8 2 lim 9 8 9 8 lim lim 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 a h a h h h ah h a a h a h ah a h a a h a h a h f a h f a a f h h h h h Derivada e reta tangente 9 Cálculo I Derivadas A inclinação da reta tangente em 36 é f3 23 8 2 Desse modo a equação da reta tangente é dada por y fa faxa y f3 f3x3 y 6 2x3 y 6 2x 6 y 2x Derivada e taxa de variação Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade x Ou seja podemos escrever y fx Se x variar de x1 para x2 então a variação de x é x x2 x1 e a variação correspondente de y é y fx2 fx1 O quociente das diferenças é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo x1x2 e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ ver figura 10 Cálculo I Derivadas 1 2 1 2 x x f x x f x y Derivada e taxa de variação Considere a taxa média de variação em intervalos cada vez menores fazendo x2 tender a x1 e portanto fazendo x tender a 0 zero O limite dessas taxas médias de variação é chamado taxa instantânea de variação de y em relação a x em x x1 que é interpretada como a inclinação da tangente à curva y fx em Px1 fx1 Reconhecemos este limite como a derivada fx1 Sabemos que uma das interpretações da derivada é a inclinação da reta tangente à curva Agora temos uma segunda interpretação 11 Cálculo I Derivadas Taxa instantânea de variação 1 2 1 2 0 0 lim lim x x fx fx Δx Δy Δx Δx A derivada fa é a taxa instantânea de variação de y fx em relação a x quando x a Derivada e taxa de variação 12 Cálculo I Derivadas Derivada fa Inclinação da reta tangente à curva de y fx em a Taxa instantânea de variação de y fx em relação a x em a Interpretações da derivada interpretação 1 interpretação 2 Quando a derivada for grande significa que a curva é íngreme ou seja a reta tangente estará bastante inclinada e isso implica que os valores de y mudarão rapidamente a taxa de variação é maior veja o ponto P Quando a derivada for pequena a curva será relativamente achatada A reta tangente estará quase paralela ao eixo x menos inclinada e isso implica que os valores de y mudarão lentamente a taxa de variação é menor veja o ponto Q Derivada e taxa de variação 13 Cálculo I Derivadas Exemplo 1 Se s ft for a função posição deslocamento de uma partícula que se move ao longo de uma reta responda a O que é fa fa é a taxa de variação do deslocamento s em relação ao tempo t Lembrando de Física v dt fa é portanto a velocidade da partícula no instante t a b Suponha que uma bola foi abandonada de uma altura de 450m acima do solo e que sua função posição é dada por s ft 49t2 Qual será a velocidade da bola após 5 segundos Galileu descobriu que a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve caindo desprezando a resistência do ar m s t t t t t t t t t t f f t f v t t t t t t 49 10 94 5 94 5 5 94 lim 5 94 lim 5 5 5 94 lim 5 5 94 lim 5 94 5 94 lim 5 5 lim 5 5 5 5 5 2 2 5 2 2 5 5 Derivada e taxa de variação 14 Cálculo I Derivadas Exemplo 2 Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa e o custo da produção de x metros desse material é C fx a Qual o significado da derivada fx Quais são as suas unidades fx significa a taxa de variação do custo de produção da peça em relação ao número de metros produzidos A sua unidade é reais por metro Os economistas chamam essa taxa de variação de custo marginal b Em termos práticos o que significa dizer que f1000 9 Significa que depois de 1000 metros de peça produzida a taxa segundo a qual o custo de produção está aumentando é R9m x C x f x lim0 Derivada e taxa de variação 15 Cálculo I Derivadas Exemplo 3 Depois de analisar o exemplo 2 suponha que o custo total ao se fabricar q unidades de brinquedos seja de 3q2 5q 10 a Deduza a fórmula do custo marginal Resp Cq 6q 5 b Qual é o custo marginal de 50 unidades produzidas Resp C50 305 c Qual é o custo real de produção do 51º brinquedo Resp C51C50780325510750025010308 Note que as respostas dos itens b e c diferem por R 300 isto é o custo marginal é próximo do custo real de produção de uma unidade adicional Esta discrepância ocorre porque o custo marginal é a taxa de variação instantânea de Cq em relação a uma unidade de variação em q Logo C50 é o custo aproximado da produção do 51º brinquedo Derivada e taxa de variação 16 Cálculo I Derivadas Observe que o cálculo de C50 no exemplo é mais simples do que o de C51 C50 Os economistas frequentemente aproximam o custo da produção de uma quantidade adicional usando a função custo marginal ou seja usam a derivada C As respostas dos itens b e c do exemplo anterior são muito próximas por causa da proximidade dos pontos 50 C50 e 51 C51 e porque esses pontos pertencem a uma porção praticamente linear da curva de custo Para tais pontos o coeficiente angular da secante é uma boa aproximação do coeficiente angular da tangente Como usualmente se obtém esta aproximação e sendo mais fácil de maneira geral calculase o custo marginal como aproximação do custo real de produção de uma unidade adicional Funções diferenciáveis 17 Cálculo I Derivadas Uma função f é derivável ou diferenciável em a se fa existir É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto ab ou a ou a ou se for diferenciável em cada número do intervalo Tanto a continuidade como a diferenciabilidade são propriedades desejáveis em uma função A recíproca do Teorema acima é falsa isto é há funções que são contínuas mas não são diferenciáveis Veja o exemplo a seguir Teorema Se f for diferenciável em a então f é contínua em a Funções diferenciáveis 18 Cálculo I Derivadas Exemplo A função fx x é contínua em 0 mas não é diferenciável em 0 Retomando a definição de continuidade apresentada no slide 34 da Unidade 3 temos que fx x é contínua pois 1 fx está definida para x 0 f0 0 2 existe 3 ver exercício 12 da Unidade 3 e lembrar que no cálculo do limite x tende a zero x 0 não implica em x ser igual a zero lim 0 x f x 0 lim lim 0 0 x x f x x fx x Funções diferenciáveis 19 Cálculo I Derivadas No entanto fx x não é diferenciável para x 0 pois f0 não existe Retomando o exercício 13 da unidade 3 temos que o limite acima não existe pois os seus limites laterais são diferentes Ou seja h h h h h f h f f h h h lim 0 lim 0 0 lim 0 0 0 0 1 1 lim lim lim 1 lim 1 lim lim 0 0 0 0 0 0 h h h h h h h h h h h h h h 0 x se 0 se x x f 1 1 fx Funções diferenciáveis 20 Cálculo I Derivadas Como pode uma função não ser diferenciável Basicamente de 3 formas quina ou bico descontínua tangente vertical Quando muda abruptamente de direção não possuirá tangente naquele ponto e não será diferenciável Ex fx x Pelo Teorema do slide 15 podemos afirmar que se f não é contínua então f não é diferenciável Quando a reta tangente fica muito íngreme lim x f a x Regras de derivação As regras de derivação são úteis para realizarmos os cálculos de derivadas de uma maneira mais prática sem precisarmos recorrer a definição Notações alternativas para a derivada 21 Cálculo I Derivadas D f x Df x dx f x d dx df dx dy y x f x Regras de derivação Derivada de uma função constante 22 Cálculo I Derivadas 0 dx c d Derivada da função identidade 1 dx d x Regras de derivação Regra da soma 23 Cálculo I Derivadas dx g x d dx f x d g x dx f x d A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas Regra da soma dx g x d dx f x d g x dx f x d A derivada de uma diferença é igual a diferença das derivadas Regras de derivação Regra da Potência se n for um número real qualquer então 24 Cálculo I Derivadas 1 n n nx dx x d Exemplos 1 5 0 1 5 3 3 4 1 5 5 5 x x dx d dx x d dx x d dx x d x a 3 3 1 2 2 2 2 2 2 1 x x x dx x d dx x d b 13 23 1 23 3 2 3 2 3 2 x x dx x d dx x d c Regras de derivação Regra do produto por constante se c for uma constante e f uma função derivável então 25 Cálculo I Derivadas dx c df x dx d cf x Exemplo 3 4 20 3 2 2 5 4 3 2 4 3 2 4 4 2 1 1 5 2 5 2 5 x x x x dx x d dx x d dx x d dx x x x d Regras de derivação Derivada da função exponencial natural 26 Cálculo I Derivadas x x e dx d e Exemplo 1 x x x e dx x d dx e d dx x d e Regras de derivação Regra do produto 27 Cálculo I Derivadas dx f x g x d dx g x f x d dx f x g x d A derivada de um produto de duas funções é igual a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira Exemplo 2 2 2 2 2 2 2 x x e x e x e dx e d x dx x d e dx x e d x x x x x x Regras de derivação Regra do quociente 28 Cálculo I Derivadas 2 x g dx g x f x d dx f x x d g x g x f dx d A derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador todos divididos pelo quadrado do denominador Exemplo 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 6 6 3 3 6 6 6 23 1 6 6 6 2 2 6 6 2 x x x x e e x e x x x x e e x x dx d x x e dx x d e x dx x x e d x x x x x x x x Regras de derivação 29 Cálculo I Derivadas Tabela das regras de derivação g f dx de x 2 1 0 g fg gf gf fg fg g f g f g f g f cf cf e nx dx x d dx d c x n n Regras de derivação 30 Cálculo I Derivadas Derivadas das funções trigonométricas cossec x cotgx secxtgx cossecxcotgx cossecx 2 dx d x dx tg x d dx x d sen x dx x d dx d x dx sen x d sec sec cos cos 2 Regras de derivação 31 Cálculo I Derivadas Derivadas das funções trigonométricas inversas cotg x cossec x 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 sec 1 1 cos 1 1 1 1 x dx d x dx x tg d x x dx x d x dx x d x x dx d x dx x sen d Regras de derivação 32 Cálculo I Derivadas Derivadas de funções exponenciaislogarítmicas x dx x d a x dx x d a 1 ln ln 1 log Regra da cadeia Como calcular a derivada da função abaixo F é uma função composta De fato se tomarmos então y Fxfgx isto é F f o g Sabemos derivar as duas funções f e g separadamente Portanto seria útil uma regra que nos mostrasse como achar a derivada de F f o g em termos das derivadas de f e g Essa regra é chamada de Regra da Cadeia 33 Cálculo I Derivadas 1 2 x x F 1 x2 gx u e u f u y Regra da cadeia A Regra da Cadeia é empregada portanto para calcular derivadas de funções compostas 34 Cálculo I Derivadas Regra da Cadeia Se g for derivável em x e f for derivável em gx então a função composta F f o g definida por Fx fgx será derivável em x e F será dada pelo produto Na notação de Leibniz se y fu e u gx forem deriváveis então g x g x f F x dx du du dy dx dy Regra da cadeia 35 Cálculo I Derivadas Exemplo 1 Calcular a derivada da função Solução 1 Solução 2 Notação de Leibniz 1 2 x x F 1 2 1 2 1 2 2 x x x x g x g x f x f o g F x 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 x x x x x u dx du du dy x u dx dy x F e y u Regra da cadeia Ao utilizarmos a Regra da Cadeia trabalhamos de fora para dentro 36 Cálculo I Derivadas Derivamos a função de fora e então multiplicamos pela derivada da função de dentro Exemplo 2 Calcular a derivada da função fx senx2 Exemplo 3 Calcular a derivada da função fx sen2x 2 cos 2 cos 2 2 2 x x x x x sen dx d dx dy função de fora Calculada na função de dentro Derivada da função de fora Calculada na função de dentro Derivada da função de dentro cosx 2 2 sen x sen x dx d dx dy Derivada da função de fora Calculada na função de dentro Derivada da função de dentro Derivadas de ordem mais alta Se f for uma função diferenciável então sua derivada f também é uma função de modo que f pode ter sua própria derivada denotada por f f Esta nova função f é chamada de segunda derivada ou derivada de ordem dois de f Usando a notação de Leibniz escrevemos a segunda derivada de y fx como Podemos interpretar fx como a inclinação da curva yfx no ponto xfx Em outras palavras é a taxa de variação da inclinação da curva original y fx dx dy dx d dx y d 2 2 Em Física a função aceleração at é a derivada da função velocidade vt e portanto é a segunda derivada da função deslocamento st at vt st Derivadas de ordem mais alta A terceira derivada ou derivada de terceira ordem é a derivada da segunda derivada ff Assim fx pode ser interpretada como a inclinação da curva y fx ou como a taxa de variação de fx Se y fx então as notações alternativas são O processo pode continuar Em geral a nésima derivada de f é denotada por fne é obtida a partir de f derivado n vezes Se y fx escrevemos 2 2 3 3 dx y d dx d dx d y x f y n n n n dx d y x f y Derivadas de ordem mais alta Exemplo Dada fx x3 x Calcular fx fx fx e f4x fx 3x2 1 fx 6x fx 6 f4x 0 Derivação implícita Quando escrevemos yfx estamos dizendo que y é uma função da variável independente x explicitando a expressão da referida função É o caso por exemplo de y x2 ysenx ylnx3x4tg x e assim por diante Podemos estabelecer uma infinidade de funções dessa maneira Derivação implícita Assim dada uma equação envolvendo as variáveis x e y quando conseguimos isolar a variável y dizemos que y é uma função de x e podemos naturalmente estudála Entretanto quando não conseguimos isolar y dizemos que y é uma função implícita de x ou que a relação dada define y implicitamente como uma função de x Exemplos 4x2 2y 6 4x2 2y 6 8x 2y 0 y 4x 5y2 seny x2 5y2 seny x2 10yy cosyy 2x y10y cosy 2x y 2x10y cosy Para derivar uma função dada na forma implícita basta lembrar que y é função de x e usar a regra da cadeia Máximos e mínimos de funções c é um número crítico fc 0 í Teste CrescenteDecrescente a Se fx 0 então f é crescente em x inclinação da tangente é positiva b Se fx 0 então f é decrescente em x inclinação da tangente é negativa Teste da Primeira Derivada a Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em c então f tem um máximo local em c b Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em c então f tem um mínimo local em c Máximos e mínimos de funções í Teste da Segunda Derivada a Se fc 0 e fc 0 então f tem um mínimo local em c concavidade para cima b Se fc 0 e fc 0 então f tem um máximo local em c concavidade para baixo Máximos e mínimos de funções Se uma curva num ponto P for contínua e mudar de côncava para cima para côncava para baixo e viceversa então P é um ponto de inflexão í Para achar os pontos de inflexão calculase os zeros da segunda derivada caso ela exista Ou seja c é um número de inflexão de f se fc 0 São os pontos em que fx troca de sinal Máximo e mínimos de funções Exemplo Dada fx 12 2x2 x4 encontre os máximos e mínimos locais e seus pontos de inflexão fx 4x3 4x derivada primeira fx 12x2 4 derivada segunda Números críticos fx 0 4x3 4x 0 x4x2 4 0 x 0 ou x 1 ou x 1 Máximos e mínimos teste da derivada segunda nos números críticos f0 4 0 mínimo local f1 8 máximo local f1 8 máximo local Máximo e mínimos de funções Número crítico f Sinal de f Conclusão 1 8 Máximo local f1 13 0 4 Mínimo local f0 12 1 8 Máximo local f1 13 Máximos e mínimos de funções í Teste da Nésima derivada Seja f uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas e vamos admitir que f possui um ponto crítico c isto é f c0 e que f 2cf 3cf 4cf n1c0 mas f nc 0 Então a Se n é par e f nc 0 xc é ponto de máximo local para a função f b Se n é par e f nc 0 xc é ponto de mínimo local para a função f c Se n é ímpar e f nc 0 x c é ponto de inflexão horizontal para a função f Exercícios 54 1 Seja fx 3x2 7x 1 Calcule a fx b f2 c f3 usando limite 2 Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado Construa o gráfico da curva e da tangente 3 Considere a função fx x2 4x 8 a Encontre as equações das retas tangentes em fx para x ½ x 2 e x 72 b Esboce os gráficos de fx e das três retas tangentes no mesmo plano cartesiano interprete e compare as suas inclinações Cálculo I Derivadas 0 a 1 x 2x 1 d y a 2x y c 1 3 b y x a a 2 x x 1 y 2 3 5 x a Exercícios 55 4 Suponha que um objeto foi lançado de uma altura de 600m Usando a equação de movimento s ft 49t2 Responda a Qual a fórmula da velocidade para qualquer instante de tempo t b Qual a velocidade do objeto no instante de tempo t 5s c Qual a velocidade do objeto no instante de tempo t 8s d Qual a taxa média de variação do deslocamento entre t 5s e t 8s e Quanto tempo o objeto leva para tocar o solo f Com qual velocidade o objeto chega ao solo g Qual a fórmula da aceleração para qualquer instante de tempo t h Qual a aceleração do objeto no instante de tempo t 5s i Qual a aceleração do objeto no instante de tempo t 8s Cálculo I Derivadas Exercícios 56 5 O deslocamento em metros de uma partícula movendose ao longo de uma reta é dada pela equação do movimento s 1t2 onde t é medido em segundos Encontre a velocidade da partícula nos instantes t a t 1 t 2 e t 3 Qual a fórmula da aceleração para qualquer instante de tempo t 6 O custo em R de produzir x unidades de uma certa mercadoria é Cx 5000 10x 005x2 Encontre a A taxa média da variação de C em relação a x quando os níveis de produção estiverem variando de x 100 a x 105 b A taxa instantânea da variação de C em relação a x quando x 100 c A taxa instantânea da variação de C em relação a x quando x 105 Cálculo I Derivadas Exercícios 57 7 Uma peça de carne foi colocada no freezer no instante t 0 Após t horas sua temperatura em graus centígrados é dada por Tt 30 5t 4t1 Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas 8 A forma de uma colina pode ser descrita pela equação y x2 17x 66 6 x 11 Considere um caçador munido de um rifle de alta precisão localizado no ponto 20 A partir de que ponto na colina uma presa estará 100 segura Cálculo I Derivadas Exercícios 58 9 Através dos gráficos abaixo determine os números em que a função não é diferenciável e justifique a b Cálculo I Derivadas Exercícios 59 10 Calcule as derivadas das funções abaixo Cálculo I Derivadas t 2 2t o ft r ny x 1 x x l y 1 x k y y 1 i Fy u hYu 2x t g Vx 4 2t f ft x 1 x d y e e c y x b gx fx x a 2 3 2 3 2 2 3 2 x 2 x 2 r t x x r e t t t y m x t e t R t j y y y u u u x x x x g x e e e 2 1 2 3 2 3 5 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 3 4 2 5 3 4 Exercícios 60 11 Calcule as derivadas das funções trigonométricas abaixo 12 Calcule as derivadas das funções abaixo use a regra da cadeia Cálculo I Derivadas 2 θ 3 x senx hy tgx 2 x e cotg θ fy cossec θ eh t dgt senx 10tgx 3senx cy x tgx bfx 1 fx secx a sec 1 sec cos f g t tgx sen ffx e ey x x x y d t t cgt x x bfx x y a senx cos 1 1 2 1 2 2 1 1 1 4 3 5 9 3 2 100 3 Exercícios 61 Cálculo I Derivadas 2 x 1 x senx xln log 2 wfx lnx lnsenx vy uy 1 z z 1 s Fz e ry 1 x 1 x y q x x 4x 3 1 pgx x oy xe cosa y n 1 t 1 x mgt 2x 1 4x lFx x Fx k e sen4x i y 1 x jy hy e gy 10 xcosx 3 2 2 8 2 5 kx 3 3 3 4 4 3 7 3 x 10 2 sec3x 1 ln 3x y t Exercícios 62 Cálculo I Derivadas 4 4 dx d y Exercícios 63 17 Para cada uma das funções abaixo encontre os pontos críticos os máximos e mínimos locais e os pontos de inflexão faça os gráficos usando algum software para conferir a fx x3 12x 1 b fx x5 5x3 c fx x4 2x2 3 d fx x3 1 e fx x2 x 5 Cálculo I Derivadas Respostas dos exercícios 64 1 a 6a7 b 19 c 25 2 a y x 5 b y 12x ½ c y x 4 d y 2x Cálculo I Derivadas Respostas dos exercícios 65 3 x ½ reta tangente y 3x 775 inclinação negativa f12 3 x 2 reta tangente y 4 inclinação paralela ao eixo x f2 0 x 72 reta tangente y 3x 425 inclinação positiva f72 3 Cálculo I Derivadas Respostas dos exercícios 66 4 a vt 98t b 49ms c 784ms d 637 ms e 1106s dica ft 49t 2 600 f 10838ms dica v1106 g 98 ms2 h 98 ms2 i 98 ms2 5 2a3 ms 2 ms 14 ms 227 ms at 6t4 6 a R2025unidade b R20unidade c R205unidade 7 5444Chora 8 86 9 a 4 bico 0 descontinuidade b 1 tangente vertical 4 bico Cálculo I Derivadas Respostas dos exercícios 67 10 11 Cálculo I Derivadas 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 3 6 2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 3 3 9 2 2 6 4 14 1 2 1 2 t 2 t 4 of t r ny 2x ly x k y 14y 5 iF y 3u h Y u t 4 8 2t 1 ff t 2x 5 egx c y x 2e e b g x 12 2 3 2 2 2 2 2 2 x x r t t t x x e t t t t y m x x x x x t e t e e t R t j y u u x x x V g x xe y d x x x e x x x f a gf θ cossec e cotg θ cossec θ cotg θ θ h 3t dg t 10sec cosx cy 1 3cosx bf x 2 θ 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 cos sec 1 sec 2 sec 2 cos 1 sec sec x sen x x x y h tg x tg x x tg x y f e t sen t t x x tg x x tg x tg x x f a Respostas dos exercícios 68 12 Cálculo I Derivadas 1x 2 2x x 5 senxln10 x 2 cosx w senx u cosx x t 3x z 1 s1 rcosx xsenxe 4x 41 p n 3x t 12t m k7x je i 20x1 x g3e ee 1 2t c 45t 2 3 b 1 3 2 12 xcosx 4 2 4 3 3 x 2 sec3x senx 10 8 ln 2 1 cot 1 1 1 1 12 21 9 17 3 1 1 2 1 4 3 2 4 4 3 2 4cos4 3 sec3 sec coscos cos 3 9 6 1 17 1 22 1 2 1 1 300 2 3 4 2 2 2 2 7 2 3 3 4 3 4 3 2 2 6 9 2 2 3 3 3 4 43 2 99 3 2 x x v g x z x x x q x x x x kx e o x sen a x x x l x x x x h x x tg x sen tg x tg x f x x x x x x x d x x x x x a kx Respostas dos exercícios 69 13 ex 14 6x4 15 a xy b 1 2xy 3y3x2 9xy2 c y32x32 d sinxecosxcosyesiny 16 a 89y3 b 2yx2 Cálculo I Derivadas Referências 70 Stewart J Cálculo Vol 1 Tradução da 6ª Edição norte americana capítulo 1 Thomas G B Cálculo Vol 1 10ª Edição Pearson preliminares Swokowski E W Cálculo com Geometria Analítica Vol 1 2ª Edição Makron Books capítulo 1 Guidorizzi H L Um curso de cálculo Vol 1 Editora LTC 2ª Edição capítulo 2 Cálculo I Derivadas