Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem: Vibração de Molas

Aplicações de equações diferenciais de Segunda Ordem Vibração de molas a Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola que está na vertical ou na horizontal sobre uma superfície plana 2 Pela lei de Hooke se uma mola for esticada passa para posição de equilíbrio e a posição de equilíbrio é x 0 Caso for comprimida x unidades a partir de seu tamanho natural então ela exerce uma força que é proporcional a x força elástica kx onde k é uma constante positiva chamada constante elástica Obs Se ignorarmos qualquer perda de resistência externa devido à resistência do ar ao ativo em seguida para a segunda lei de Newton força é igual à massa vezes aceleração temos 1 F ma e como a d²xdt² aceleração é a derivada de segunda da posição em relação ao tempo 2 F kx fazendo 1 2 verificamos que md²xdt² kx 3 md²xdt² kx 0 equação diferencial linear de segunda ordem 4 Vamos a equação auxiliar mx² kx 0 onde x r² e x 1 então mr² k 0 Δ 0² 4mk b 4mk0 dá assim a solução geral é xt c₁cosωt c₂senωt 5 fazendo ω km onde ω km é a frequência 6 e A c₁² c₂² é a amplitude logo a solução geral também pode ser xt Acosωt φ 7 cosφ c₁A onde φ é o ângulo da fase 8 senφ c₂A 9 esse tipo de movimento é chamado de movimento harmônico simples Ex Uma mola com a massa de 2kg tem comprimento natural de 05m Uma força de 256N é necessária para mantêla esticada até um comprimento de 07m Se a mola é esticada até um comprimento de 07m e em seguida libertada com uma velocidade inicial igual a zero encontre a posição da massa em qualquer momento 1 Pela lei de Hooke 144 derivando xt como vibrações amortecidas de mẏ² c dẏ kx 0 dt² e a solução é xt C₁er₁t C₂er₂t r₁ b Δ2a r₂ b Δ2a an m2 k128 então temos x0 16C1e0 4C2e0 06