Limites de Funções de Várias Variáveis e Pontos de Acumulação

Aula 3 Limites de Funções de Várias Variáveis PONTO DE ACUMULACAO Seja A IR um ponto P IR é dito um ponto de acumulacao de A se V bola aberta BpR contiver uma infinidade de pontos de A Intuitivamente podese dizer que P é ponto de acumulacao de A quando existirem pontos de A diferentes de P que estejam tao proximos de P quanto desejarmos Exemplos Sejao conjunto A xy IR x y 1 00 ponto de acumulacao de A iii e10 6 ponto de acumulacao de A xo ay 2 e20 nao é ponto de acumulacao de A CONJUNTO ABERTO Seja A um subconjunto de 𝒏 A é um conjunto aberto se A coincide com o seu interior isto é intA A Exemplo O conjunto A xy IR2 x2 y2 4 é aberto x y 2 2 x y 2 2 LIMITES EM UMA VARIAVEL REVISAO y y fX Lep dd y L eL X 6 et x x Xo c x c ct6 V 0 dado existir um 6 0 tal que para todo x D tal que xc 6 implica fx L Teorema O lim f x L existe se e somente se existem ambos os xX9Q limites lateraise lim fx lim f x XXot xX XQ LIMITES Definição 7 Sejam f D IR2 IR uma função cujo domínio D é um conjunto aberto um ponto de acumulação de D e L um número real Definimos 𝟎 𝟎 0 0 tal que 𝟎 𝟎 PROPRIEDADES 𝟎 𝟎 então 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝒙𝒚𝒙𝟎𝒚𝟎 Propriedade 1 As propriedades de limite podem ser utilizadas para facilitar o cálculo do limite de funções de duas variáveis são elas EXEMPLO DE CONJUNTO LIMITADO Seja fxy roe verificar se fxy é limitada Propriedades de modulo y Oe y Jy Jy x7 y ly yx y 0ly X dividindo por jx y y a 0 1mas ly Y poisy20 X7 y Como 0 a 1 fxy é limitada xX y lgylsM1 EXEMPLO DE CONJUNTO LIMITADO Outro modo de comprovar esse fato é através de coordenadas polares x y r Pxy x y argumento r distância polar Ao mudarmos as coordenadas da função fxy para coordenadas polares e obtivermos uma função limitada então fxy será limitada EXEMPLO DE CONJUNTO LIMITADO Usando coordenadas polares Como fxy é limitada 1 1 PROPRIEDADES 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 EXEMPLO 12 Calcule caso exista os seguinte limites dividindo por fxy é limitada EXEMPLO 12 Calcule caso exista os seguinte limites EXEMPLO 12 Calcule caso exista os seguinte limites 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝟐 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝟐 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝟐 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝟐 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝟐 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝟐 EXEMPLO 12 𝒙𝒚𝟎𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 A princípio parece não haver nenhum truque algébrico Vamos tentar por caminhos para verificar a não existência Note que nesta situação temos infinitos caminhos ou direções para nos aproximarmos da origem conforme figura EXEMPLO 12 Vamos usar o caminho x 0 e y variável Vamos usar o caminho y 0 e x variável Conclusão LIMITES Testes dos caminhos para a não existência de um limite Se uma função f tem limites diferentes ao longo de dois caminhos distintos no domínio da f quando xy se aproxima de x0y0 então 𝟎 𝟎 ATENÇÃO A análise de limites por caminhos permite provar que o limite não existe Não para provar que existe e vale L Exemplo 13 Vamos usar o caminho y 0 e x variável Vamos usar o caminho y x Exemplo 14 Vamos usar o caminho y 0 e x variável Vamos usar o caminho y x Verifique utilizando caminhos que LIMITES EM COORD POLARES x y r Pxy x y argumento r distância polar Se o limite ficar apenas em função de o limite não existe LIMITES EM COORD POLARES Exemplo 15 Calcule usando mudança polar os seguintes limites LIMITES EM COORD POLARES Exemplo 15 Calcule usando mudança polar os seguintes limites 𝒓𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Definição 8 Uma f D IR2 IR é contínua em x0 y0 se f x0 y0 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 Observação 4 Quando uma função é continua em todos os pontos do seu domínio dizemos simplesmente que f é contínua Contínua Descontínua em 00 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Exemplo 16 A função constante fxy k é contínua f x0 y0 k 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 Logo é contínua em 𝟐 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Exemplo 17 A função primeira projeção identidade fxy x é contínua 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 Logo é contínua em CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Exemplo 17 A função primeira projeção identidade fxy x é contínua Observação 5 Funções com apenas uma regra sempre são contínuas no seu domínio Exemplo 18 Seja Verifique se f é contínua em 00 Exercício 121 Logo f é contínua em 00 Exemplo 19 Seja Verifique se f é contínua em 00 Exemplo 14 Logo fxy é descontínua em 00