Funções de Várias Variáveis em Topologia

Aula 1 Funções de Várias Variáveis TOPOLOGIA 1 Espaço IRn Chamase espaço IRn ou apenas IRn o conjunto de todos os pontos que podem ser representados por uma nupla de números reais 𝒏 n vezes TOPOLOGIA Obs Representação gráfica somente até o IR3 a IR n 1 Exemplo b x IR a x A 1 b IR2 n 2 Exemplo 4 2 2 2 2 y x IR x y A Exterior Fronteira Interior FUNÇÕES A temperatura T em um ponto da superfície da Terra num instante depende da latitude x e longitude y do ponto Dessa forma podemos pensar que T é uma função depende de duas variáveis T fxy Outro exemplo é o volume de um cilindro sabendo que V r2h sendo assim o volume depende do raio da base r e da altura h 𝟐 Definição 4 Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais xy um único valor real denotado por fxy 𝟐 O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de z Essa definição se estende naturalmente a funções de mais variáveis FUNÇÕES Se n 2 temos f IR2 IR ou z fxy x e y variáveis independentes Exemplos z x2 y2 1 fxy 2xy 3x 5y 10 y x xy fx y FUNÇÕES Se n 3 temos f IR3 IR ou w fxyz xy e z variáveis independentes 2 2 2 z y x xyz x y z f Exemplo FUNÇÕES Exemplo 6 Encontre o domínio e calcule f32 das funções a Domínio Condição de existência 𝟐 b Gráfico do domínio y x 1 FUNÇÕES 𝟐 a Domínio Condição de existência 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 b Gráfico do domínio FUNÇÕES Exemplo 7 Determine o domínio e a imagem da função 𝟐 𝟐 a Domínio Condição de existência 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 b Gráfico do domínio FUNÇÕES 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Então z 3 0 b Imagem 𝟐 𝟐 Partindo de que 9 menos alguma coisa 𝟐 𝟐 é FUNÇÕES a Gráfico de gxy z 3 0 Imagem Domínio FUNÇÕES Exemplo 8 Determine o domínio da função a Domínio Condição de existência 𝟑 b Gráfico do domínio FUNÇÕES Definição 5 Se f é uma função de duas variáveis com domínio Df então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos xyz no IR3 tal que z fxy e xy D 𝒇 𝟑 𝒇 Para representálo geometricamente precisamos identificar suas interseções com os planos coordenados e planos paralelos aos coordenados até que tenhamos uma ideia razoável de sua forma Essas interseções são chamadas de traços PLANOS COORDENADOS Traço no plano yOz Traço no plano xOz Traço no plano xOy FUNÇÕES Exemplo 9 Esboce o gráfico da função 6 3 2 FUNÇÕES 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 y z x z Exemplo 10 Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 FUNÇÕES Elipse 𝟐 𝟐 Para z 4 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Parabolóide Elíptico Exercício complementar Esboce o gráfico da função 𝟐 𝟐 Interseção com o plano xOy Interseção com o plano xOz 𝟐 𝟐 𝟐 z x 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Interseção com o plano yOz 𝟐 𝟐 𝟐 z y Para z 2 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐