Aula 11: Integrais Duplas - Parte I

Aula 11 Integrais Duplas Parte I De maneira análoga ao que vimos em Modelagem de Sistemas seja 𝟐 definida em um retângulo fechado 𝟐 e vamos supor que Considere o sólido S que está acima da região R e abaixo do gráfico de f Nosso objetivo é determinar o volume de S INTRODUÇÃO Se escolhermos um ponto arbitrário 𝒊𝒋 𝒊𝒋 em cada retângulo podemos aproximar a parte de S que está acima de cada por 𝒊𝒋 𝒊𝒋 O volume desse paralelepípedo é dado por 𝒃 𝒊𝒋 𝒊𝒋 𝒊𝒋 𝒊𝒋 Observação Se fxy 1 temos a área da região R INTEGRAIS DUPLAS Obs dA dxdy ou dA dydx 1 Calcular a área delimitada pelas curvas 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 Seja fxy integrável no retângulo R xy IR2 a x b e c y d e suponhamos que exista y cd e que exista x ab então 𝒃 𝒂 𝒅 𝒄 x y 2 x y 2 2 1 Exemplo 58 Calcule a integral dupla 𝑹 onde R 02 x 12 𝑹 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝑹 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝑹 𝟐 𝟏 𝑹 𝟐 𝟏 𝟐 𝑹 𝑹 𝟐 𝟐 𝑹 𝟐 𝟏 𝝅 𝟎 constante 𝑹 𝟐 𝟏 𝝅 𝟎 𝑹 𝟏 𝟐 𝝅 𝟎 Exemplo 59 Calcule a integral dupla 𝑹 onde R 12 x 0 𝑹 𝝅 𝟎 𝑹 𝟎 𝝅 𝑹 0 0 0 0 𝑹 𝑹 𝟏 𝟐 𝝅 𝟎 Para uma função com valores positivos e negativos a é a diferença dos volumes V1 e V2 onde V1 é o volume acima de R e V2 é o volume abaixo de R O fato da integral do exemplo 61 ser zero significa que os dois volumes V1 e V2 são iguais Observe a figura Exemplo 60 Calcule o volume do sólido 𝟑 𝟐 𝟐 Verifique se o volume é coerente comparando com um sólido conhecido 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟑 𝟎 𝟏 Para verificar se o volume encontrado é coerente considere o paralelepípedo de base quadrada de lado igual a 1 e altura igual a 𝟐 𝟐 logo seu volume é 2 uv Como o sólido descrito no problema está contido nesse paralelepípedo e 𝑺 𝟐 𝟑 𝑷 então o volume encontrado é coerente Exemplo 61 Determine o volume do sólido S que é limitado pelo parabolóide Elíptico x2 2y2 z 16 pelos planos x 2 e y 2 e pelos três planos coordenados Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 Para verificar se o volume encontrado é coerente considere o paralelepípedo de base quadrada de lado igual a 2 e altura igual a 𝟐 𝟐 isto corresponde ao ponto 0016 logo seu volume é Vp 2216 64 uv Como o sólido descrito no problema está contido nesse paralelepípedo e 𝑺 𝑷 então o volume encontrado é coerente Cuidado quando a região de integração não é um retângulo devese ficar atento à inversão do intervalo Dizemos que D é uma região de integração se a região D está delimitada por i Duas retas paralelas a um dos eixos coordenados ii Duas curvas cuja variável dependente é a do eixo paralelo às duas retas paralelas Temos dois casos a considerar Caso Retas paralelas ao eixo Oy Nesse caso a região D é formada pelos pontos Pxy que estão entre as retas x a x b e entre as curvas y1 g1x e y2 g2x contínuas REGIÃO TIPO I a b 𝟐 𝟏 Se D é uma região do tipo I e se f é contínua em D então 𝒈𝟐𝒙 𝒈𝟏𝒙 𝒃 𝒂 𝑫 Consideramos também regiões planas do tipo II que podem ser expressas como Retas paralelas ao eixo Ox Nesse caso a região D é formada pelos pontos Pxy que estão entre as retas y c y d e entre as curvas x1 h1y e x2 h2y contínuas REGIÃO TIPO II c d 𝟏 𝟐 x y De maneira análoga se D é uma região do tipo II e f é contínua em D então 𝒉𝟐𝒚 𝒉𝟏𝒚 𝒅 𝒄 𝑫 Exemplo complementar Calcule 𝒙𝟐 𝟏 𝒚 𝟏 𝟎 𝒙𝟐 𝟏 𝒚 integral sem solução analítica 𝒙𝟐 𝟏 𝒚 𝟏 𝟎 𝒙𝟐 𝒙 𝟎 𝟏 𝟎 𝒙𝟐 𝟏 𝒚 𝟏 𝟎 𝒙𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝒙𝟐 𝟏 𝒚 𝟏 𝟎 𝒖 𝟏 𝟎 𝒙𝟐 𝟏 𝒚 𝟏 𝟎 𝒙𝟐 𝟎 𝟏 𝒙𝟐 𝟏 𝒚 𝟏 𝟎 Exemplo 62 Considere a seguinte região 𝟐 𝟐 faça o gráfico da região de integração e indique se é uma região tipo I ou II 𝟐 Calcule a integral dupla 𝑩 na região B 1 𝟐 𝒙𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝑩 𝟐 𝟎 𝒙𝟐 𝟏 𝟎 𝑩 𝟓 𝟏 𝟎 𝑩 𝟔 𝟎 𝟏 𝑩 𝑩 𝟐 2 1 Exemplo 64 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x 2y z 2 x 2y x 0 e z 0 Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 Para verificar se o volume encontrado é coerente considere a pirâmide com vértices em 200 010 e 002 logo seu volume é 𝒑 𝟏 𝟑 𝒃 𝒑 𝟏 𝟑 𝟐𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 Como o sólido descrito no problema está contido nessa pirâmide e 𝑺 𝟏 𝟑 𝑷 𝟐 𝟑 então o volume encontrado é coerente 𝟐 𝟐 𝟐 Não é possível integrar desta forma vamos ter que redefinir a região de integração Exemplo 65 Calcule a integral dupla 𝟐 𝟗 𝒚𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝒙 𝟗 𝟎 𝒙 𝟎 𝟗 𝟎 𝟐 𝟐 𝟗 𝟎 𝒙 𝟎 𝟗 𝟎 𝟐 𝟐 𝟗 𝟎 𝒙 𝟎 𝟗 𝟎 𝟐 𝟗 𝟎 𝒙 𝟎 𝟗 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟗 𝒙 𝟎 𝟗 𝟎 𝟐 𝒙 𝟎 𝟗 𝟎 𝟐 𝒙 𝟎 𝟗 𝟎