Lista de Exercícios sobre Distribuição Hipergeométrica

LISTA 6 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 1 Uma fábrica usa um plano de controle de itens produzidos antes dos mesmos serem despachados O plano é em duas etapas Preparamse caixas com 20 itens e sabese que em geral 3 são defeituosos Uma amostra de 3 é testada sem reposição dos itens Se algum item defeituoso é encontrado a caixa toda é devolvida para um teste total Se não são achados itens defeituosos a caixa é despachada Qual é a probabilidade de ser necessário realizar um teste total Resolução Sem reposição hipergeométrica N 20 Tamanho da população n 3 Tamanho da amostra X número de itens defeituosos na amostra Se X 0 a caixa é despachada Se X 1 a caixa é devolvida para um teste total PX 1 PX 1 PX 2 PX 3 K 3 Número total de itens defeituosos na população N 20 Tamanho da população n 3 Tamanho da amostra 𝑃𝑋 𝑥 𝐾 𝑥 𝑁 𝐾 𝑛 𝑥 𝑁 𝑛 𝑃𝑋 1 3 1 203 31 20 3 3 1 17 2 20 3 3 𝑥 136 1140 03579 3 1 3 1 31 3 1 2 3 𝑥 2 2 3 17 2 17 2 172 17 2 15 17 𝑥 16 𝑥 15 2 𝑥 15 136 20 3 20 3 203 20 6 17 20 𝑥 19 𝑥 18 𝑥 17 6 17 1140 𝑃𝑋 𝑥 𝐾 𝑥 𝑁 𝐾 𝑛 𝑥 𝑁 𝑛 𝑃𝑋 2 3 2 203 32 20 3 3 2 17 1 20 3 3 𝑥 17 1140 00447 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 𝑥 2 2 1 3 17 1 17 1 171 17 1 16 17 𝑥 16 1 𝑥 16 17 𝑃𝑋 𝑥 𝐾 𝑥 𝑁 𝐾 𝑛 𝑥 𝑁 𝑛 𝑃𝑋 3 3 3 20 3 3 3 20 3 3 3 17 0 20 3 1 𝑥 1 1140 00009 3 3 3 3 3 3 3 3 0 3 3 1 1 17 0 17 0 170 17 1 17 1 PX 1 PX 1 PX 2 PX 3 03579 00447 00009 04035 2 Para evitar ser detido pela alfândega um viajante colocou 6 cápsulas de narcótico num vidro contendo 9 pílulas de vitaminas que a elas se assemelham Se o funcionário da alfândega seleciona 3 pílulas ao acaso para analisar qual é a probabilidade de que o viajante seja preso por posse ilegal de narcóticos Ao ser retirada a pílula não é recolocada no vidro Sem reposição hipergeométrica PX 1 Ppelo menos 1 ser de narcótico para N 9 6 15 população n 3 amostra K 6 total de pílulas de narcótico na população PX 1 1 PX 0 ou PX 1 PX 1 PX 2 PX 3 𝑃𝑋 𝑥 𝐾 𝑥 𝑁 𝐾 𝑛 𝑥 𝑁 𝑛 PX 1 1 PX 0 1 01846 08154 𝑃𝑋 0 6 0 15 6 3 0 15 3 6 0 9 3 15 3 1 84 455 01846 9 3 9 3 9 3 9 3 6 9 𝑥 8 𝑥 7 𝑥 6 3 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 6 84 15 3 15 3 15 3 15 3 12 15 𝑥 14 𝑥 13 𝑥 12 3 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 12 455 3 Um carregamento de 80 alarmes contra ladrão contém 4 defeituosos Se 3 alarmes são escolhidos aleatoriamente e despachados para um freguês ache a probabilidade de que o freguês receba exatamente um alarme defeituoso usando a a distribuição hipergeométrica PX 1 para N 80 população n 3 amostra K 4 total de defeituosos na população 𝑃𝑋 𝑥 𝐾 𝑥 𝑁 𝐾 𝑛 𝑥 𝑁 𝑛 𝑃𝑋 1 4 1 804 31 80 3 4 1 76 2 80 3 4 𝑥 2850 82160 11400 82160 01388 b a distribuição binomial como aproximação Só podese usar a aproximação da hipergeométrica pela Binomial se nN 010 nN 3 80 00375 Como 00375 010 podese usar tal aproximação Binomial n 3 e 𝑝 𝐾 𝑁 4 80 005 defeituoso PX 1 𝑃𝑋 𝑥 𝑛 𝑥 𝑝𝑥 1 𝑝𝑛𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 1 2 3 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛𝑥 𝑃𝑋 1 3 1 0051 1 00531 3 𝑥 005 𝑥 0952 01354 3 1 3 1 31 3 1 2 3 𝑥 2 1 𝑥 2 3