Análise de Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis Aleatórias Contínuas Resolução 1 Dada a função contínua 0 para x 2 fx 0 para x 4 32𝑋 18 para 2 x 4 a Verifique se no intervalo 2 x 4 ela é uma fdp função densidade de probabilidade Resp sim b Calcule P2 X 3 Resp 818 04444 c Determine EX e VarX Resp EX 30741 EX2 97778 VarX 03277 Resolução a Note que 𝑓𝑥 0 Verificar se 32𝑋 18 𝑑𝑥 4 2 1 3 2𝑋 18 𝑑𝑥 1 18 4 2 3 2𝑋 𝑑𝑥 1 18 3𝑋 𝑋24 2 1 18 12 16 6 4 1 18 18 1 4 2 3 2𝑋 18 𝑑𝑥 1 4 2 Logo 𝑓𝑥 é uma fdp b 𝑃2 𝑋 3 3 2𝑋 18 𝑑𝑥 1 18 3 2 3 2𝑋 𝑑𝑥 1 18 3𝑋 𝑋23 2 1 18 9 9 6 4 1 18 8 8 18 3 2 c 𝐸𝑋 𝑥 32𝑋 18 𝑑𝑥 4 2 1 18 3𝑥 2𝑥2𝑑𝑥 1 18 4 2 3𝑥2 2 2𝑥3 3 4 2 1 18 9𝑥24𝑥3 6 4 2 1 18 1442563632 6 332 108 𝐸𝑋 30741 𝐸𝑋2 𝑥2 3 2𝑋 18 𝑑𝑥 4 2 1 18 3𝑥2 2𝑥3𝑑𝑥 1 18 4 2 𝑥3 𝑥4 2 4 2 1 18 2𝑥3 𝑥4 2 4 2 1 18 128 256 16 16 2 352 36 𝐸𝑋2 97778 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 97778 307412 03277 2 Uma distribuição retangular tem fdp dada por fx k no intervalo 0 x 5 a Determine a constante K Resp 02 b Faça o gráfico de fx Resolução a 𝑓𝑥 𝑑𝑥 1 𝐾 𝑑𝑥 1 𝐾 𝑑𝑥 1 𝐾 5 0 5 0 5 0 5 0 1 𝐾 1 5 02 b 0 5 X 3 Dada a fdp fx c x para 0 X 1 calcule a constante c Resp c 2 𝑓𝑥 𝑑𝑥 1 𝑐𝑥 𝑑𝑥 1 𝑐 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑐 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 𝑐 2 1 𝑐 2 4 A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X renda mensal em número de salários mínimos em determinada localidade é dada por fx 0 para x 1 mx 23 para 1 x 2 x3 43 para 2 x 4 0 para x 4 a Encontre o valor de m Resp m 23 067 b Encontre o percentual de funcionários que ganha entre 15 e 3 salários mínimos Resp ¾ 075 c Determine o valor esperado do rendimento mensal naquela localidade ou seja EX Resp EX 73 23333 Resolução a 𝑚𝑥 2 3 2 1 𝑑𝑥 4 3 𝑥 3 4 2 𝑑𝑥 1 𝑚𝑥2 2 2𝑥 3 2 1 1 3 4 𝑥 𝑑𝑥 4 2 1 2𝑚 4 3 𝑚 2 2 3 1 3 4𝑥 𝑥2 2 4 2 1 3𝑚 2 2 3 1 3 16 8 8 2 1 3𝑚 2 2 3 2 3 1 3𝑚 2 1 3𝑚 2 𝑚 2 3 fx 1 5 b 𝑃 3 2 𝑋 3 2 3𝑥 2 3 2 32 𝑑𝑥 4 3 𝑥 3 3 2 𝑑𝑥 2 3 𝑥2 2 𝑥 2 32 1 3 4 𝑥 𝑑𝑥 3 2 2 3 2 2 9 8 3 2 1 3 4𝑥 𝑥2 2 3 2 2 3 9 12 8 1 3 12 9 2 8 2 2 3 3 8 1 3 6 9 2 2 8 1 3 3 2 1 4 1 2 075 c 𝐸𝑋 𝑥 2 3 𝑥 2 3 2 1 𝑑𝑥 𝑥 4 3 𝑥 3 4 2 𝑑𝑥 2 3 𝑥2 𝑥𝑑𝑥 1 3 4𝑥 𝑥2𝑑𝑥 4 2 2 1 2 3 𝑥3 3 𝑥2 2 2 1 1 3 2𝑥2 𝑥3 3 4 2 2 3 8 3 2 1 3 1 2 1 3 32 64 3 8 8 3 2 3 7 3 3 2 1 3 24 56 3 2 3 14 9 6 1 3 72 56 3 2 3 5 6 1 3 16 3 10 18 16 9 5 9 16 9 21 9 𝐸𝑋 7 3 23333 Distribuições Contínuas de Probabilidade Uniforme e Exponencial 1 Se o tempo entre o pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média igual a 10 minutos determine a probabilidade de espera a superior a 10 minutos Resp 03679 b não superar 10 minutos Resp 06321 c não superar 3 minutos Resp 02592 d entre 8 e 12 minutos Resp 01481 Resolução X tempo entre o pedido e o atendimento em um restaurante X tem distribuição exponencial λ EX 1 𝜆 mas EX 10 Assim λ 1 10 Fx PX x 1 e λx para x 0 e λ 0 Fx Função de Distribuição Acumulada a superior a 10 minutos PX 10 1 PX 10 1 F10 1 1 e 10 10 1 1 𝑒1 1 1 03679 1 06321 03679 b não superar 10 minutos 𝑃𝑋 10 𝐹10 1 𝑒10 10 1 𝑒1 1 03679 06321 c não superar 3 minutos 𝑃𝑋 3 𝐹3 1 𝑒 3 10 1 𝑒030 1 07408 02592 d 𝑃8 𝑋 12 𝑃𝑋 12 𝑃𝑋 8 𝐹12 𝐹8 1 𝑒12 10 1 𝑒 8 10 04493 03012 01481 2 O tempo de espera para um freguês ser atendido em uma lanchonete é uma variável aleatória exponencial com média de 4 minutos Qual a probabilidade de um freguês ser atendido em menos de 3 minutos em pelo menos quatro dos próximos 6 dias Resp PX3 05276 Exponencial p 05276 PX403969 Binomial para n 6 e p 05276 Resolução X Tempo de espera para um freguês ser atendido em uma lanchonete Média EX 4 1λ 4 λ ¼ PX 3 Fx PX x 1 e λx para x 0 e λ 0 Fx Função de Distribuição Acumulada PX 3 1 e 025 3 1 e 075 1 0472366553 0527633447 05276 passa a ser a probabilidade de sucesso p da Binomial PX 𝟒 𝑷𝑿 𝟒 𝑷𝑿 𝟓 𝑷𝑿 𝟔 Binomial n 6 p 05276 PX 4 6 4 x 052764 x 1 0527664 15 x 052764 x 047242 02594 6 4 6 4 64 6 4 2 6 𝑥 5 𝑥 4 2 𝑥 4 15 PX 5 6 5 x 052765 x 1 0527665 6 x 052765 x 047241 01159 6 5 6 5 65 6 5 1 6 𝑥 5 1 𝑥 5 6 PX 6 6 6 x 052766 x 1 0527666 1 x 052766 x 047240 00216 6 6 6 6 66 6 6 0 6 1 𝑥 6 1 PX 4 PX 4 PX 5 PX 6 02594 01159 00216 03969 3 Uma mensagem de email chegará em um tempo uniformemente distribuído entre 9 horas e 11 horas a Calcule a probabilidade da mensagem de email chegar entre 9 horas e 95 horas Resp 025 b Calcule a probabilidade da mensagem de email chegar depois de 10 horas Resp 050 Resolução X tempo necessário para chegar uma mensagem de email X tem distribuição Uniforme com 𝑎 9 𝑒 𝑏 11 𝑓𝑥 1 𝑏 𝑎 1 11 9 1 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 9 𝑋 11 a 𝑃9 𝑋 95 95 9 1 2 050 050 025 b 𝑃𝑋 10 𝑃10 𝑋 11 11 10 1 2 050 4 Suponha que o tempo que um operador de coleta de dados leva para preencher um formulário eletrônico para uma base de dados esteja uniformemente distribuído entre 15 e 22 minutos a Qual é a média e a variância do tempo que um operador leva para preencher um formulário eletrônico para uma base de dados Resp 185 e 00408 b Qual é a probabilidade do operador levar menos de dois minutos para preencher o formulário eletrônico para uma base de dados Resp 07143 Resolução X Tempo em minutos que um operador de coleta de dados leva para preencher um formulário eletrônico para uma base de dados X tem Distribuição Uniforme com 𝑎 15 𝑒 𝑏 22 𝑓𝑥 1 𝑏 𝑎 1 22 15 1 07 14286 𝑝𝑎𝑟𝑎 15 𝑋 22 a Média EX 𝒂𝒃 𝟐 𝟏𝟓𝟐𝟐 𝟐 𝟑𝟕 𝟐 𝟏 𝟖𝟓 Variância VarX 𝒃𝒂𝟐 𝟏𝟐 𝟐𝟐𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟒𝟎𝟖 b 𝑃𝑋 2 𝑃15 𝑋 2 2 15 14286 07143