Resolução da Lista 8: Distribuições Contínuas de Probabilidade

RESOLUÇÃO DA LISTA 8 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE 1 A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desviopadrão de 40 dias Sabese que a duração é normalmente distribuída a Calcule a probabilidade desse componente durar entre 700 e 1000 dias b Calcule a probabilidade desse componente durar mais de 800 dias c Calcule a probabilidade desse componente durar menos de 750 dias d Determine um intervalo simétrico em torno da média que contenha 90 dos componentes eletrônicos e Qual o valor da duração do componente que deixa acima dele 90 dos componentes eletrônicos Resolução X duração de um certo componente eletrônico µ média da distribuição σ desviopadrão da distribuição µ 850 mi σ 40 sigma a Calcule a probabilidade desse componente durar entre 700 e 1000 dias 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 P700 X 1000 P 700850 40 Z 1000850 40 P 375 Z 375 PZ 375 PZ 375 0999912 0000088 0999824 na resposta coloquei 1 Olhar na tabela o valor de z 375 Olhar na tabela o valor de z 375 b Calcule a probabilidade desse componente durar mais de 800 dias 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 µ 850 mi σ 40 sigma PX 800 PZ 800850 40 PZ 125 Como a tabela que vamos usar fornece PZ z a probabilidade acima precisa ser transformada Como a distribuição normal é simétrica escrever PZ 125 fornece a mesma área que PZ 125 Olhar na tabela o valor de z 125 e pegar a probabilidade correspondente PZ 125 PZ 125 0894350 c Calcule a probabilidade desse componente durar menos de 750 dias 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 µ 850 mi σ 40 sigma PX 750 PZ 750850 40 PZ 250 como a tabela que vamos usar fornece PZ z olhar na tabela o valor de z 250 e pegar a probabilidade correspondente PZ 250 0006210 d Determine um intervalo simétrico em torno da média que contenha 90 dos componentes eletrônicos x1 µ x2 X 𝑃𝑥1 𝑋 𝑥2 090 Achar 𝑥1 𝑒 𝑥2 𝑷𝑿 𝒙𝟏 𝟎 𝟎𝟓 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 005 e pegar o z1 correspondente Note que o valor mais próximo de 005 é 0050503 e o z1 correspondente é 164 Mas 𝑧1 𝑥1 𝜇 𝜎 164 𝑥1850 40 𝑥1 850 164 𝑥 40 𝑥1 6560 850 𝒙𝟏 𝟕𝟖𝟒 𝟒𝟎 𝑷𝑿 𝒙𝟐 𝟎 𝟗𝟓 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 095 e pegar o z2 correspondente Note que o valor mais próximo de 095 é 0949497 e o z2 correspondente é 164 Mas 𝑧2 𝑥2 𝜇 𝜎 164 𝑥2850 40 𝑥2 850 164 𝑥 40 𝑥2 6560 850 𝒙𝟐 91560 O intervalo simétrico em torno da média que contém 90 da distribuição é 78440 91560 e Qual o valor da duração do componente que deixa acima dele 90 dos componentes eletrônicos 𝑷𝑿 𝒙𝟏 𝟎 𝟏𝟎 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 010 e pegar o z1 correspondente Note que o valor mais próximo de 010 é 0100273 e o z1 correspondente é 128 Mas 𝑧1 𝑥1 𝜇 𝜎 128 𝑥1850 40 𝑥1 850 128 𝑥 40 𝑥1 5120 850 𝒙𝟏 𝟕𝟗𝟖 𝟖𝟎 2 A concentração de cloro de um lago distribuise de forma aproximadamente normal com média 183 e desviopadrão 12 a Calcule a probabilidade de que a concentração de cloro esteja entre 17 e 192 b Calcule a probabilidade de que a concentração de cloro seja menor do que 19 c Determine um intervalo simétrico em torno da média que contenha 80 dos valores da concentração de cloro d Suponha que a região onde foi feita a análise química seja interditada se a concentração de cloro exceder 22 Calcule a probabilidade da região ser interditada Resolução X Concentração de cloro de um lago µ média da distribuição σ desviopadrão da distribuição µ 183 mi σ 120 sigma a Calcule a probabilidade de que a concentração de cloro esteja entre 17 e 192 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 P17 X 192 P 17183 120 Z 192183 120 P 108 Z 075 PZ 075 PZ 108 0773373 0140071 0633302 Olhar na tabela o valor de z 108 Olhar na tabela o valor de z 075 b Calcule a probabilidade de que a concentração de cloro seja menor do que 19 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 µ 183 mi σ 120 sigma PX 19 PZ 19183 120 PZ 058 como a tabela que vamos usar fornece PZ z olhar na tabela o valor de z 058 e pegar a probabilidade correspondente PZ 058 0719043 c Determine um intervalo simétrico em torno da média que contenha 80 dos valores da concentração de cloro µ 183 mi σ 120 sigma 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 𝑃𝑥1 𝑋 𝑥2 080 Achar 𝑥1 𝑒 𝑥2 𝑷𝑿 𝒙𝟏 𝟎 𝟏𝟎 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 010 e pegar o z1 correspondente Note que o valor mais próximo de 010 é 0100273 e o z1 correspondente é 128 Mas 𝑧1 𝑥1 𝜇 𝜎 128 𝑥1183 120 𝑥1 183 128 𝑥 120 𝑥1 1536 183 𝒙𝟏 𝟏𝟔 𝟕𝟔𝟒𝟎 𝑷𝑿 𝒙𝟐 𝟎 𝟗𝟎 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 090 e pegar o z2 correspondente Note que o valor mais próximo de 090 é 0899727 e o z2 correspondente é 128 Mas 𝑧2 𝑥2 𝜇 𝜎 128 𝑥2183 120 𝑥2 183 128 𝑥 120 𝑥2 1536 183 𝒙𝟐 19836 O intervalo simétrico em torno da média que contém 80 da distribuição é 167640 19836 d Suponha que a região onde foi feita a análise química seja interditada se a concentração de cloro exceder 22 Calcule a probabilidade da região ser interditada 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 µ 183 mi σ 120 sigma PX 22 PZ 22183 120 PZ 308 Como a tabela que vamos usar fornece PZ z a probabilidade acima precisa ser transformada Como a distribuição normal é simétrica escrever PZ 308 fornece a mesma área que PZ 308 Olhar na tabela o valor de z 308 e pegar a probabilidade correspondente PZ 308 PZ 308 0001035 3 Sabese que o consumo mensal de determinado medicamento tem distribuição normal com média de 1200 frascos e desviopadrão de 300 frascos X consumo mensal de determinado medicamento 𝑋𝑁1200 300 a Qual a probabilidade do consumo mensal a1 ser superior a 1000 𝑃𝑋 1000 𝑃 𝑍 10001200 300 𝑃𝑍 067 𝑃𝑍 067 Ver tabela da distribuição normalpadrão 𝑃𝑋 1000 𝑃𝑍 067 0748571 a2 estar entre 900 e 1150 𝑃900 𝑋 1150 𝑃 900 1200 300 𝑍 1150 1200 300 𝑃1 𝑍 017 A Tabela que estamos usando fornece 𝑃𝑍 𝑧 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑃𝑧1 𝑍 𝑧2 𝑃𝑍 𝑧2 𝑃𝑍 𝑧1 Logo 𝑃900 𝑋 1150 𝑃1 𝑍 017 𝑃𝑍 017 𝑃𝑍 1 Ver tabela da distribuição normalpadrão 0432505 0158655 0273850 4 O grau de eficiência de um certo componente eletrônico varia entre os níveis 0 e 100 A experiência tem demonstrado que essa variação se processa uniformemente Qual a probabilidade de que um componente selecionado ao acaso possua eficiência X Grau de eficiência de um certo componente eletrônico X tem distribuição Uniforme U 0 100 com a 0 e b 100 𝑓𝑥 1 𝑏𝑎 1 1000 1 100 a entre 60 e 75 P60 X 75 75 60 1 100 15 100 015 b acima de 90 PX 90 P90 X 100 100 90 1 100 10 100 010 5 Se o tempo entre o pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial com média igual a 10 minutos determine a probabilidade de espera X tempo entre o pedido e o atendimento em um restaurante X tem distribuição exponencial λ EX 1 𝜆 mas EX 10 Assim λ 1 10 Fx PX x 1 e λx para x 0 e λ 0 Fx Função de Distribuição Acumulada a superior a 10 minutos PX 10 1 PX 10 1 F10 1 1 e 10 10 1 1 𝑒1 1 1 03679 1 06321 03679 b não superar 10 minutos PX 10 F10 1 e 10 10 1 𝑒1 1 03679 06321 c não superar 3 minutos PX 3 F3 1 e 3 10 1 𝑒030 1 07408 02592 6 A vida de certa marca de lâmpadas tem distribuição aproximadamente exponencial com média de 1000 horas X Vida de certa marca de lâmpadas X tem distribuição exponencial λ Média EX 1 𝜆 mas EX 1000 Assim λ 1 1000 Fx PX x 1 e λx para x 0 e λ 0 Fx Função de Distribuição Acumulada a Determine a percentagem das lâmpadas que queimarão antes de 1000 horas PX 1000 F1000 1 𝑒 1 1000 1000 1 𝑒1 1 03679 06321 6321 b Qual o número mínimo de horas necessárias para queimar 50 das lâmpadas PX 𝑥1 1 𝑒 1 1000 𝑥1 050 𝑒 1 1000 𝑥1 1 050 𝑒 1 1000 𝑥1 050 ln 𝑒 1 1000 𝑥1 ln 050 𝑥1 1000 06931 𝑥1 6931 7 O tempo de espera para um freguês ser atendido em uma lanchonete é uma variável aleatória exponencial com média de 4 minutos Qual a probabilidade de um freguês ser atendido em menos de 3 minutos em pelo menos quatro dos próximos 6 dias X Tempo de espera para um freguês ser atendido em uma lanchonete 𝑋𝐸𝑥𝑝𝜆 𝐸𝑋 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑋 4 𝐸𝑋 1 𝜆 4 1 𝜆 𝜆 1 4 Fx PX x 1 e λx para x 0 e λ 0 A probabilidade de um freguês ser atendido em menos de 3 minutos é 𝑃𝑋 3 𝐹3 1 𝑒1 4 3 1 𝑒075 1 0472366553 0527633447 Essa probabilidade é a probabilidade de sucesso da Binomial Assim para 𝑝 05276 𝑒 𝑛 6 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑃𝑋 4 𝑃𝑋 4 𝑃𝑋 5 𝑃𝑋 6 PX 4 6 4 x 052764 x 1 0527664 15 x 052764 x 047242 02594 6 4 6 4 6 4 6 4 2 6 5 4 4 2 15 PX 5 6 5 x 052765 x 1 0527665 6 x 052765 x 047241 01159 6 5 6 5 6 5 6 5 1 6 5 5 1 6 PX 6 6 6 x 052766 x 1 0527666 1 x 052766 x 047240 00216 6 6 6 6 6 6 6 6 0 6 6 1 1 𝑃𝑋 4 02594 01159 00216 03969 8 A dureza de uma peça de cerâmica é proporcional ao tempo de queima Suponha que conseguiuse um processo de medição dessa dureza e que a medida respectiva seja uma variável aleatória distribuída uniformemente entre 0 e 10 Se a dureza de uma peça de cozinha deve estar no intervalo 5 9 qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser adequada ao uso na cozinha X Dureza de uma peça de cerâmica X tem distribuição Uniforme U 0 10 com a 0 e b 10 𝑓𝑥 1 𝑏𝑎 1 100 1 10 P5 X 9 9 5 1 10 4 10 040 9 Suponha que a distância em milhas que um carro pode percorrer antes de sua bateria estragar é exponencialmente distribuída com média de 10000 milhas Se uma pessoa deseja fazer uma viagem de 5000 milhas qual é a probabilidade de que ela possa completar a viagem sem substituir a bateria X Distância em milhas que um carro pode percorrer antes de sua bateria estragar 𝑋𝐸𝑥𝑝𝜆 𝐸𝑋 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑋 10000 𝐸𝑋 1 𝜆 10000 1 𝜆 𝜆 1 10000 Fx PX x 1 e λx para x 0 e λ 0 𝑃𝑋 5000 1 𝑃𝑋 5000 1 𝐹5000 1 1 𝑒 1 100005000 1 1 𝑒05 𝑒05 06065 Obs Note que 𝑃𝑋 5000 𝑃𝑋 5000 1 𝑃𝑋 5000 1 𝑃𝑋 5000 10 O diâmetro interno de um anel de piston é normalmente distribuído com média de 10 cm com desviopadrão de 003 cm X Diâmetro interno de um anel de piston 𝑋𝑁10 003 a Qual é a proporção de anéis que terão diâmetro superior a 10075 cm 𝑃𝑋 10075 𝑃 𝑍 10075 10 003 𝑃𝑍 250 𝑃𝑍 250 Olhar na tabela o valor de z 250 e pegar a probabilidade correspondente 0006210 b Abaixo de qual valor do diâmetro interno teremos 15 dos anéis 𝑷𝑿 𝒙𝟏 𝟎 𝟏𝟓 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 015 e pegar o z1 correspondente Note que o valor mais próximo de 015 é 0149170 e o z1 correspondente é 104 Mas 𝑧1 𝑥1 𝜇 𝜎 104 𝑥110 003 𝑥1 10 104 𝑥 003 𝑥1 00312 10 𝒙𝟏 𝟗 𝟗𝟔𝟖𝟖 c Qual o intervalo simétrico em torno da média que contém 80 dos valores dos diâmetros internos 𝑃𝑥1 𝑋 𝑥2 080 Achar 𝑥1 𝑒 𝑥2 𝑷𝑿 𝒙𝟏 𝟎 𝟏𝟎 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 010 e pegar o z1 correspondente Note que o valor mais próximo de 010 é 0100273 e o z1 correspondente é 128 Mas 𝑧1 𝑥1 𝜇 𝜎 128 𝑥110 003 𝑥1 10 128 𝑥 003 𝑥1 00384 10 𝒙𝟏 𝟗 𝟗𝟔𝟏𝟔 𝑷𝑿 𝒙𝟐 𝟎 𝟗𝟎 ver na tabela da distribuição normalpadrão na probabilidade o valor mais próximo de 090 e pegar o z2 correspondente Note que o valor mais próximo de 090 é 0899727 e o z2 correspondente é 128 Mas 𝑧2 𝑥2 𝜇 𝜎 128 𝑥210 003 𝑥2 10 128 𝑥 003 𝑥2 00384 10 𝒙𝟐 100384 O intervalo simétrico em torno da média que contém 80 da distribuição é 99616 100384