Resolução de Exercícios sobre Variáveis Aleatórias Bidimensionais

LISTA 9 Variáveis Aleatórias Bidimensionais RESOLUÇÃO 1 Exercício 2 Morettin e Bussab A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y Y X 1 2 3 Total 0 01 01 01 03 1 02 0 03 05 2 0 01 01 02 Total 03 02 05 10 a Determine as Distribuições Marginais de X e Y b Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y Resp Ex22 EY09 VarX 076 VarY 049 c Verifique se X e Y são independentes Resp X e Y não são independentes d Calcule PX 1 Y 0 e P Y 2 X 3 Resp 03333 020 e Calcule PX 2 e PX 2 Y 1 Resp 050 010 RESOLUÇÃO a Distribuição de Probabilidades de X ou Distribuição Marginal de X x 1 2 3 Total PX x 03 02 05 1 Distribuição de Probabilidades de Y ou Distribuição Marginal de Y y 0 1 2 Total PY y 03 05 02 1 b 𝐸𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 1 03 2 02 3 05 03 04 15 22 𝐸𝑌 𝑦 𝑃𝑌 𝑦 0 03 1 05 2 02 0 05 04 09 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 e 𝐸𝑋2 𝑥2 𝑃𝑋 𝑥 𝐸𝑋2 𝑥2 𝑃𝑋 𝑥 12 03 22 02 32 05 03 08 45 56 𝑽𝒂𝒓𝑿 𝑬𝑿𝟐 𝑬𝑿𝟐 𝟓 𝟔 𝟐 𝟐𝟐 𝟓 𝟔 𝟒 𝟖𝟒 𝟎 𝟕𝟔 𝐸𝑌2 𝑦2 𝑃𝑌 𝑦 02 03 12 05 22 02 0 05 08 13 𝑽𝒂𝒓𝒀 𝑬𝒀𝟐 𝑬𝒀𝟐 𝟏 𝟑 𝟎 𝟗𝟐 𝟏 𝟑 𝟎 𝟖𝟏 𝟎 𝟒𝟗 c X e Y são independentes se 𝑝𝑋 𝑌 𝑃𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑃𝑋 𝑥 𝑃𝑌 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒 𝑦 Basta que não se aplique para um único par para dizermos que X e Y não são independentes 𝑃𝑋 1 𝑌 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑌 0 𝑃𝑋 1 𝑌 0 01 𝑃𝑋 1 𝑃𝑌 0 03 𝑥 03 009 Note que 01 009 Como não se aplicou para este par X e Y não são independentes Você poderia verificar para qualquer outro par 𝑃𝑋 1 𝑌 1 𝑃𝑋 1 𝑃𝑌 1 𝑃𝑋 1 𝑌 1 02 𝑃𝑋 1 𝑃𝑌 1 03 𝑥 05 015 Note que 02 015 d PX 1 Y 0 𝑃𝑋1 𝑌0 𝑃𝑌0 01 03 03333 P Y 2 X 3 𝑃𝑋3 𝑌2 𝑃𝑋3 01 05 020 e 𝑃𝑋 2 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 03 02 05 𝑃𝑋 2 𝑌 1 𝑃𝑋 2 𝑌 0 𝑃𝑋 2 𝑌 1 01 0 01 2 Exercício 9 Modificado Morettin e Bussab Dada a distribuição conjunta de X e Y abaixo determine Y X 1 2 3 Total 1 527 127 327 927 2 427 327 427 1127 3 227 327 227 727 Total 1127 727 927 1 a EX e VarX b EY e VarY c EX Y e VarXY d EXY Resp a 5227 07353 b 5227 05871 c 38519 14596 d 37778 RESOLUÇÃO a Distribuição de Probabilidades de X ou Distribuição Marginal de X x 1 2 3 Total PX x 11 27 7 27 9 27 1 𝐸𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 1 11 27 2 7 27 3 9 27 11 27 14 27 27 27 52 27 19259 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋2 𝐸𝑋2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 e 𝐸𝑋2 𝑥2 𝑃𝑋 𝑥 𝐸𝑋2 𝑥2 𝑃𝑋 𝑥 12 11 27 22 7 27 32 9 27 11 27 28 27 81 27 120 27 44444 𝑽𝒂𝒓𝑿 𝑬𝑿𝟐 𝑬𝑿𝟐 𝟒 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏 𝟗𝟐𝟓𝟗𝟐 𝟒 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟑 𝟕𝟎𝟗𝟏𝟗𝟎𝟔𝟕𝟐 𝟎 𝟕𝟑𝟓𝟑 b Distribuição de Probabilidades de Y ou Distribuição Marginal de Y y 1 2 3 Total PY y 9 27 11 27 7 27 1 𝐸𝑌 𝑦 𝑃𝑌 𝑦 1 9 27 2 11 27 3 7 27 9 27 22 27 21 27 52 27 19259 𝐸𝑌2 𝑦2 𝑃𝑌 𝑦 12 9 27 22 11 27 32 7 27 9 27 44 27 63 27 116 27 𝑽𝒂𝒓𝒀 𝑬𝒀𝟐 𝑬𝒀𝟐 116 27 𝟏 𝟗𝟐𝟓𝟗𝟐 𝟎 𝟓𝟖𝟕𝟏 c 𝒙𝒊 𝒚𝒋 X Y X Y 𝒑𝒙𝒊 𝒚𝒋 11 2 1 527 12 3 2 427 13 4 3 227 21 3 2 127 22 4 4 327 23 5 6 327 31 4 3 327 32 5 6 427 33 6 9 227 A Distribuição de X Y é x y 2 3 4 5 6 Total px y 5 27 5 27 8 27 7 27 2 27 1 𝐸𝑋 𝑌 2 5 27 3 5 27 4 8 27 5 7 27 6 2 27 10 27 15 27 32 27 35 27 12 27 104 27 38519 𝑽𝒂𝒓𝑿 𝒀 𝑽𝒂𝒓𝑿 𝑽𝒂𝒓𝒀 𝟐𝑪𝑶𝑽𝑿 𝒀 𝐶𝑂𝑉𝑋 𝑌 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 𝐸𝑋 19259 𝐸𝑌 19259 VarX 07353 VarY 05871 A Distribuição de XY é x y 1 2 3 4 6 9 Total px y 5 27 5 27 5 27 3 27 7 27 2 27 1 𝐸𝑋𝑌 1 5 27 2 5 27 3 5 27 4 3 27 6 7 27 9 2 27 5 27 10 27 15 27 12 27 42 27 18 27 102 27 37778 𝐶𝑂𝑉𝑋 𝑌 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 37778 19259 𝑥 19259 00686 𝑽𝒂𝒓𝑿 𝒀 𝑽𝒂𝒓𝑿 𝑽𝒂𝒓𝒀 𝟐𝑪𝑶𝑽𝑿 𝒀 07353 05871 2 00686 14596 d 𝐸𝑋𝑌 1 5 27 2 5 27 3 5 27 4 3 27 6 7 27 9 2 27 5 27 10 27 15 27 12 27 42 27 18 27 102 27 37778 3 Exercício 13 Morettin e Bussab Sejam X e Y com a distribuição conjunta da tabela seguinte Mostre que COVXY0 mas X e Y não são independentes Y X 1 0 1 Total 1 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ ½ 1 0 ¼ 0 ¼ Total ¼ 24 ¼ 1 RESOLUÇÃO 𝐶𝑂𝑉𝑋 𝑌 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 Distribuição de Probabilidades de X ou Distribuição Marginal de X x 1 0 1 Total PX x 1 4 2 4 1 4 1 𝐸𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 1 1 4 0 2 4 1 1 4 1 4 0 1 4 0 Distribuição de Probabilidades de Y ou Distribuição Marginal de Y y 1 0 1 Total PY y 1 4 1 2 1 4 1 𝐸𝑌 𝑦 𝑃𝑌 𝑦 1 1 4 0 1 2 1 1 4 1 4 0 1 4 0 𝐸𝑋𝑌 𝒙𝒊 𝒚𝒋 X Y 𝒑𝒙𝒊 𝒚𝒋 11 1 0 10 0 14 11 1 0 01 0 14 00 0 0 01 0 14 11 1 0 10 0 14 11 1 0 A Distribuição de XY é x y 1 0 1 Total px y 0 4 4 0 1 𝐸𝑋𝑌 1 0 0 4 4 1 0 0 𝐶𝑂𝑉𝑋 𝑌 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 0 0 0 0 X e Y são independentes se 𝑝𝑋 𝑌 𝑃𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑃𝑋 𝑥 𝑃𝑌 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑒 𝑦 Basta que não se aplique para um único par para dizermos que X e Y não são independentes 𝑃𝑋 1 𝑌 1 𝑃𝑋 1 𝑃𝑌 1 𝑃𝑋 1 𝑌 1 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑌 1 1 4 𝑥 1 4 1 16 Note que 0 1 16 Como não se aplicou para este par X e Y não são independentes Você poderia verificar para qualquer outro par 𝑃𝑋 0 𝑌 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑌 1 𝑃𝑋 0 𝑌 1 1 4 𝑃𝑋 0 𝑃𝑌 1 2 4 𝑥 1 4 2 16 1 8 Note que 1 4 1 8 4 Exercício 10 Morettin e Bussab Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta Y X 1 2 3 Total 1 01 01 00 02 2 01 02 03 06 3 01 01 00 02 Total 03 04 03 10 a Determine a distribuição de X Y e a partir dela Calcule EXY Podese obter a mesma resposta de outra maneira b Determine a distribuição de XY e em seguida calcule EXY c Determine COVXY d Determine o Coeficiente de Correlação 𝜌𝑋 𝑌 Resp a EXY 4 Sim b 4 c zero d zero RESOLUÇÃO a 𝒙𝒊 𝒚𝒋 X Y X Y 𝒑𝒙𝒊 𝒚𝒋 11 2 1 01 12 3 2 01 13 4 3 01 21 3 2 01 22 4 4 02 23 5 6 01 31 4 3 00 32 5 6 03 33 6 9 00 A Distribuição de XY é x y 1 2 3 4 6 9 Total px y 01 02 01 02 04 00 1 A Distribuição de XY é x y 2 3 4 5 6 Total px y 01 02 03 04 00 1 𝐸𝑋 𝑌 2 01 3 02 4 03 5 04 6 00 02 06 120 2 0 4 Ou 𝐸𝑋 𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 Distribuição de Probabilidades de X ou Distribuição Marginal de X x 1 2 3 Total PX x 03 04 03 1 𝐸𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 1 03 2 04 3 03 03 08 09 2 Distribuição de Probabilidades de Y ou Distribuição Marginal de Y y 1 2 3 Total PY y 02 06 02 1 𝐸𝑌 𝑦 𝑃𝑌 𝑦 1 02 2 06 3 02 02 12 06 2 𝐸𝑋 𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 2 2 4 b A Distribuição de XY é x y 1 2 3 4 6 9 Total px y 01 02 01 02 04 00 1 𝐸𝑋 𝑌 1 01 2 02 3 01 4 02 6 04 9 00 𝐸𝑋 𝑌 01 04 03 08 24 0 4 c 𝐶𝑂𝑉𝑋 𝑌 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑌 4 2 2 0 d 𝜌𝑋 𝑌 𝐶𝑂𝑉𝑋 𝑌 𝜎𝑋 𝜎𝑌 Distribuição de Probabilidades de X ou Distribuição Marginal de X x 1 2 3 Total PX x 03 04 03 1 𝐸𝑋2 𝑥2 𝑃𝑋 𝑥 12 03 22 04 32 03 03 16 27 46 𝑽𝒂𝒓𝑿 𝑬𝑿𝟐 𝑬𝑿𝟐 𝟒 𝟔 𝟐𝟐 𝟒 𝟔 𝟒 𝟎 𝟔 𝜎𝑋 𝑉𝑎𝑟𝑥 06 07746 Distribuição de Probabilidades de Y ou Distribuição Marginal de Y y 1 2 3 Total PY y 02 06 02 1 𝐸𝑌2 𝑦2 𝑃𝑌 𝑦 12 02 22 06 32 02 02 24 18 44 𝑽𝒂𝒓𝒀 𝑬𝒀𝟐 𝑬𝒀𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 𝜎𝑌 𝑉𝑎𝑟𝑦 04 06324 𝜌𝑋 𝑌 𝐶𝑂𝑉𝑋 𝑌 𝜎𝑋 𝜎𝑌 0 07746 06324 0